Τι είναι μια κανονική στιγμή δεύτερης τάξης; Αρχικές και κεντρικές στιγμές

3.4. Στιγμές τυχαία μεταβλητή.

Παραπάνω γνωρίσαμε τα περιεκτικά χαρακτηριστικά του SV: τη συνάρτηση κατανομής και τη σειρά διανομής για ένα διακριτό SV, τη συνάρτηση κατανομής και την πυκνότητα πιθανότητας για ένα συνεχές SV. Αυτά τα ζεύγη ισοδύναμα χαρακτηριστικά όσον αφορά το περιεχόμενο πληροφοριών είναι λειτουργίεςκαι να περιγράψουν πλήρως το SV από πιθανολογική άποψη. Ωστόσο, σε πολλές πρακτικές καταστάσεις είναι είτε αδύνατο είτε περιττό να χαρακτηριστεί μια τυχαία μεταβλητή με εξαντλητικό τρόπο. Συχνά αρκεί να προσδιορίσετε ένα ή περισσότερα αριθμητικόςπαραμέτρους που σε κάποιο βαθμό περιγράφουν τα κύρια χαρακτηριστικά της κατανομής και μερικές φορές η εύρεση εξαντλητικών χαρακτηριστικών είναι, αν και επιθυμητή, πολύ δύσκολη μαθηματικά, και λειτουργώντας με αριθμητικές παραμέτρους, περιοριζόμαστε σε μια κατά προσέγγιση, αλλά απλούστερη περιγραφή. Οι καθορισμένες αριθμητικές παράμετροι καλούνται αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαίες μεταβλητές και παίζουν σημαντικό ρόλο στις εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, διευκολύνοντας την επίλυση προβλημάτων και επιτρέποντας την παρουσίαση των αποτελεσμάτων της λύσης σε απλή και οπτική μορφή.

Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους: στιγμές και χαρακτηριστικά θέσης.Υπάρχουν διάφοροι τύποι στιγμών, από τους οποίους οι δύο πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι είναι: πρωτοβάθμια και κεντρική. Άλλοι τύποι στιγμών, π.χ. απόλυτες στιγμές, παραγοντικές στιγμές, δεν θεωρούμε. Προκειμένου να αποφευχθεί η χρήση μιας γενίκευσης του ολοκληρώματος - το λεγόμενο ολοκλήρωμα Stieltjes, δίνουμε ορισμούς ροπών ξεχωριστά για συνεχή και διακριτά SV.

Ορισμοί. 1. Η αρχική στιγμήκ-ης τάξης διακριτό SVονομάζεται ποσότητα

Οπου φά(Χ) είναι η πυκνότητα πιθανότητας ενός δεδομένου SV.

3. Κεντρική στιγμήκ-ης τάξης διακριτό SVονομάζεται ποσότητα

Σε περιπτώσεις όπου εξετάζονται ταυτόχρονα πολλά SV, είναι βολικό, προς αποφυγή παρεξηγήσεων, να υποδεικνύεται η ταυτότητα της στιγμής. θα το κάνουμε αυτό υποδεικνύοντας τον προσδιορισμό του αντίστοιχου SV σε αγκύλες, για παράδειγμα, , κ.λπ. Αυτός ο προσδιορισμός δεν πρέπει να συγχέεται με τον συμβολισμό της συνάρτησης και το γράμμα στην παρένθεση δεν πρέπει να συγχέεται με το όρισμα συνάρτησης. Τα αθροίσματα και τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά των ισοτήτων (3.4.1 - 3.4.4) μπορούν να συγκλίνουν ή να αποκλίνουν ανάλογα με την τιμή κκαι ειδική διανομή. Στην πρώτη περίπτωση λένε ότι η στιγμή δεν υπάρχει ή αποκλίνει, στο δεύτερο - τι στιγμή υπάρχει ή συγκλίνει.Εάν ένα διακριτό SV τελικός αριθμόςτελικές τιμές ( Νφυσικά), τότε όλες οι στιγμές του είναι πεπερασμένης τάξης κυπάρχει. Στο άπειρο Ν, ξεκινώντας από μερικά κκαι για υψηλότερες παραγγελίες, οι ροπές ενός διακριτού SV (τόσο αρχικού όσο και κεντρικού) μπορεί να μην υπάρχουν. Οι ροπές ενός συνεχούς SV, όπως φαίνεται από τους ορισμούς, εκφράζονται με ακατάλληλα ολοκληρώματα, τα οποία μπορούν να αποκλίνουν ξεκινώντας από ένα ορισμένο κκαι για υψηλότερες παραγγελίες (ταυτόχρονα αρχικές και κεντρικές). Στιγμές μηδενική σειράπάντα συγκλίνουν.

Ας εξετάσουμε πιο αναλυτικά πρώτα τις αρχικές και μετά τις κεντρικές στιγμές. Από μαθηματική άποψη, η αρχική στιγμή κ-η σειρά είναι ο «σταθμισμένος μέσος όρος» κ-οι βαθμοί των τιμών SV. Στην περίπτωση ενός διακριτού SV, τα βάρη είναι οι πιθανότητες των τιμών, στην περίπτωση ενός συνεχούς SV, η συνάρτηση βάρους είναι η πυκνότητα πιθανότητας. Οι πράξεις αυτού του είδους χρησιμοποιούνται ευρέως στη μηχανική για να περιγράψουν την κατανομή των μαζών (στατικές ροπές, ροπές αδράνειας κ.λπ.). Οι αναλογίες που προκύπτουν από αυτή την άποψη συζητούνται παρακάτω.

Για την καλύτερη κατανόηση των αρχικών στιγμών, τις θεωρούμε ξεχωριστά δεδομένες κ. Στη θεωρία πιθανοτήτων, οι ροπές των χαμηλότερων τάξεων είναι πιο σημαντικές, δηλ. στις μικρές κ, επομένως, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η σειρά αύξησης των τιμών κ. Η αρχική ροπή μηδενικής τάξης είναι ίση με

1, για διακριτό SV.

=1, για συνεχή SV,

εκείνοι. για οποιοδήποτε SV είναι ίσο με την ίδια τιμή - ένα, και επομένως δεν φέρει καμία πληροφορία σχετικά με τις στατιστικές ιδιότητες του SV.

Η αρχική ροπή πρώτης τάξης (ή πρώτη αρχική στιγμή) είναι ίση με

Για διακριτό SV;

, για συνεχή SV.

Αυτό το σημείο είναι το πιο σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό οποιουδήποτε SV, για το οποίο υπάρχουν αρκετοί αλληλένδετοι λόγοι. Πρώτον, σύμφωνα με το θεώρημα του Chebyshev (βλ. ενότητα 7.4), με απεριόριστο αριθμό δοκιμών στο SV, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών τείνει (κατά μία έννοια) σε , επομένως, για οποιοδήποτε SV, αυτός είναι ένας χαρακτηριστικός αριθμός γύρω από το οποίο ομαδοποιούνται οι αξίες του με βάση την εμπειρία. Δεύτερον, για ένα συνεχές βιογραφικό σημείωμα είναι αριθμητικά ίσο με Χ-η συντεταγμένη του κέντρου βάρους του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που σχηματίζεται από την καμπύλη φά(Χ) (μια παρόμοια ιδιότητα εμφανίζεται για ένα διακριτό SV), επομένως αυτή η στιγμή θα μπορούσε να ονομαστεί «κέντρο βάρους της κατανομής». Τρίτον, αυτή η στιγμή έχει αξιοσημείωτες μαθηματικές ιδιότητες που θα γίνουν σαφείς κατά τη διάρκεια του μαθήματος, ιδίως, επομένως η τιμή της περιλαμβάνεται στις εκφράσεις για τις κεντρικές στιγμές (βλ. (3.4.3) και (3.4.4)).

Η σημασία αυτής της στιγμής για τα θεωρητικά και πρακτικά προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων και οι αξιοσημείωτες μαθηματικές ιδιότητές της έχουν οδηγήσει στο γεγονός ότι εκτός από τον προσδιορισμό και το όνομα «πρώτη αρχική στιγμή», χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία και άλλοι προσδιορισμοί και ονόματα. βολικό και αντικατοπτρίζει τις αναφερόμενες ιδιότητες. Τα πιο κοινά ονόματα είναι: αναμενόμενη αξία, μέση αξία, και σημειογραφία: Μ, Μ[Χ], . Τις περισσότερες φορές θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μαθηματική προσδοκία» και τη σημειογραφία Μ; εάν υπάρχουν πολλά SV, θα χρησιμοποιήσουμε έναν δείκτη που υποδεικνύει την ιδιοκτησία μαθηματική προσδοκία, Για παράδειγμα, Μ Χ , Μ yκαι τα λοιπά.

Η αρχική ροπή δεύτερης τάξης (ή δεύτερη αρχική ροπή) είναι ίση με

Για διακριτό SV;

, για συνεχή SV?

μερικές φορές λέγεται μέσο τετράγωνο της τυχαίας μεταβλητήςκαι ορίζεται Μ.

Η αρχική ροπή τρίτης τάξης (ή τρίτη αρχική ροπή) ισούται με

Για διακριτό SV;

, για συνεχή SV

μερικές φορές λέγεται μέσος κύβος μιας τυχαίας μεταβλητήςκαι ορίζεται Μ[Χ 3 ].

Δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε να απαριθμούμε τα αρχικά σημεία. Ας σταθούμε στη σημαντική ερμηνεία των στιγμών τάξης κ>1. Αφήστε, μαζί με τον SV Χυπάρχει και SV Υ, και Υ=Χ κ (κ=2, 3, ...). Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι οι τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υσυνδέονται ντετερμινιστικά με την έννοια ότι όταν ο SV Χπαίρνει την αξία Χ, ΒΑ Υπαίρνει την αξία y=x κ(στο μέλλον, αυτή η σύνδεση του SV θα εξεταστεί λεπτομερέστερα). Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις (3.4.1) και (3.4.2)

=Μ y , κ=2, 3, ...,

δηλ. κΗ αρχική στιγμή του SV είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία κ-η δύναμη αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η τρίτη αρχική ροπή του μήκους της άκρης ενός τυχαίου κύβου είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία του όγκου του κύβου. Η δυνατότητα κατανόησης των στιγμών ως ορισμένων μαθηματικών προσδοκιών είναι μια άλλη πτυχή της σημασίας της έννοιας της μαθηματικής προσδοκίας.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των κεντρικών σημείων. Εφόσον, όπως θα γίνει σαφές παρακάτω, οι κεντρικές στιγμές εκφράζονται ξεκάθαρα μέσω των αρχικών στιγμών και αντίστροφα, τίθεται το ερώτημα γιατί χρειάζονται καθόλου οι κεντρικές στιγμές και γιατί οι αρχικές στιγμές δεν είναι αρκετές. Ας εξετάσουμε το SV Χ(συνεχές ή διακριτό) και άλλο SV Y, που σχετίζεται με το πρώτο ως Υ=Χ+α, Οπου ένα 0 - μη τυχαίο πραγματικός αριθμός. Κάθε τιμή Χτυχαία μεταβλητή Χαντιστοιχεί στην αξία y=x+aτυχαία μεταβλητή Υ, επομένως η κατανομή του SV Υθα έχει το ίδιο σχήμα (εκφρασμένο από το πολύγωνο κατανομής στη διακριτή περίπτωση ή την πυκνότητα πιθανότητας στη συνεχή περίπτωση) με την κατανομή SV Χ, αλλά μετατοπίστηκε κατά μήκος του άξονα x κατά το ποσό ένα. Κατά συνέπεια, οι αρχικές στιγμές του SV Υθα διαφέρει από τις αντίστοιχες ροπές του SV Χ. Για παράδειγμα, είναι εύκολο να το δεις Μ y =m Χ +α(στιγμές περισσότερες υψηλή τάξησυνδέονται με πιο σύνθετες σχέσεις). Το έχουμε διαπιστώσει λοιπόν οι αρχικές στιγμές δεν είναι αμετάβλητες ως προς τη μετατόπιση της κατανομής στο σύνολό της. Το ίδιο αποτέλεσμα θα ληφθεί εάν μετατοπίσετε όχι την κατανομή, αλλά την αρχή του άξονα x οριζόντια κατά ένα ποσό - ένα, δηλ. Ισχύει και το ισοδύναμο συμπέρασμα: οι αρχικές ροπές δεν είναι αμετάβλητες ως προς την οριζόντια μετατόπιση της αρχής του άξονα x.

Οι κεντρικές ροπές, που προορίζονται να περιγράψουν εκείνες τις ιδιότητες των κατανομών που δεν εξαρτώνται από τη μετατόπισή τους στο σύνολό τους, είναι απαλλαγμένες από αυτό το μειονέκτημα. Πράγματι, όπως φαίνεται από τις (3.4.3) και (3.4.4), όταν η κατανομή ως σύνολο μετατοπίζεται κατά ένα ποσό ένα, ή, τι είναι το ίδιο, μετατοπίζοντας την αρχή του άξονα x κατά το ποσό - ένα, όλες τις αξίες Χ, με τις ίδιες πιθανότητες (στη διακριτή περίπτωση) ή την ίδια πυκνότητα πιθανότητας (στη συνεχή περίπτωση), θα αλλάξει κατά το ποσό ένα, αλλά η ποσότητα θα αλλάξει κατά το ίδιο ποσό Μ, επομένως οι τιμές των παρενθέσεων στις δεξιές πλευρές των ισοτήτων δεν θα αλλάξουν. Ετσι, οι κεντρικές ροπές είναι αμετάβλητες ως προς τη μετατόπιση της κατανομής στο σύνολό της ή, το ίδιο, ως προς την οριζόντια μετατόπιση της αρχής του άξονα x.Αυτές οι στιγμές έλαβαν το όνομα «κεντρικές» εκείνες τις μέρες που η πρώτη αρχική στιγμή ονομαζόταν «κέντρο». Είναι χρήσιμο να σημειωθεί ότι η κεντρική στιγμή του SV Χμπορεί να νοηθεί ως η αντίστοιχη αρχική ροπή του SV Χ 0 ίσο

Χ 0 =X-m Χ .

ΒΑ Χ 0 ονομάζεται κεντραρισμένος(σε σχέση με τον SV Χ), και η πράξη που οδηγεί σε αυτήν, δηλαδή η αφαίρεση της μαθηματικής προσδοκίας της από μια τυχαία μεταβλητή, ονομάζεται κεντράρισμα. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, αυτή η ιδέα και αυτή η λειτουργία θα είναι χρήσιμα σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος. Σημειώστε ότι η κεντρική στιγμή της παραγγελίας κ>1 μπορεί να θεωρηθεί ως η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος) κο βαθμός κεντρικού SV: .

Ας εξετάσουμε χωριστά τις κεντρικές στιγμές των κατώτερων τάξεων. Η κεντρική ροπή μηδενικής τάξης είναι ίση με

, για διακριτά SVs.

, για συνεχή SV?

δηλαδή για οποιοδήποτε SV και δεν φέρει καμία πληροφορία σχετικά με τις στατιστικές ιδιότητες αυτού του SV.

Η κεντρική ροπή πρώτης τάξης (ή η πρώτη κεντρική ροπή) ισούται με

για διακριτό SV?

για συνεχή CB? δηλαδή για οποιοδήποτε SV και δεν φέρει καμία πληροφορία σχετικά με τις στατιστικές ιδιότητες αυτού του SV.

Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης (ή δεύτερη κεντρική ροπή) ισούται με

, για διακριτό SV;

, για συνεχή SV.

Όπως θα γίνει σαφές παρακάτω, αυτό το σημείο είναι ένα από τα πιο σημαντικά στη θεωρία πιθανοτήτων, καθώς χρησιμοποιείται ως χαρακτηριστικό του μέτρου της διασποράς (ή της διασποράς) των τιμών SV, επομένως συχνά ονομάζεται διασποράκαι ορίζεται ρεΧ. Σημειώστε ότι αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό ως το μέσο τετράγωνο του κεντρικού SV.

Η κεντρική ροπή τρίτης τάξης (τρίτη κεντρική ροπή) ισούται με

Ας εξετάσουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που δίνεται από τον νόμο κατανομής:

Αναμενόμενη αξία ισούται με:

Βλέπουμε ότι είναι πολύ περισσότερα. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι η τιμή Χ= –150, πολύ διαφορετική από τις άλλες τιμές, αυξήθηκε απότομα στο τετράγωνο. η πιθανότητα αυτής της τιμής είναι χαμηλή (0,02). Έτσι, η μετάβαση από M(X)Προς την M(X 2)κατέστησε δυνατό να ληφθεί καλύτερα υπόψη η επίδραση στη μαθηματική προσδοκία τέτοιων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής που είναι μεγάλες σε απόλυτη τιμή, αλλά η πιθανότητα εμφάνισής τους είναι μικρή. Φυσικά, αν η ποσότητα είχε πολλές μεγάλες και απίθανες τιμές, τότε η μετάβαση στην ποσότητα Χ 2, και ακόμη περισσότερο στις ποσότητες , κ.λπ., θα μας επέτρεπε να «ενισχύουμε περαιτέρω τον ρόλο» αυτών των μεγάλων αλλά απίθανων δυνατών αξιών. Γι' αυτό αποδεικνύεται σκόπιμο να ληφθεί υπόψη η μαθηματική προσδοκία του συνόλου θετικό βαθμότυχαία μεταβλητή, όχι μόνο διακριτή, αλλά και συνεχής.

Ορισμός 6.10.Η αρχική στιγμή της ης τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της ποσότητας:

Συγκεκριμένα:

Χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία, ο τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης μπορεί να γραφτεί διαφορετικά

Εκτός από τις ροπές μιας τυχαίας μεταβλητής, είναι σκόπιμο να ληφθούν υπόψη οι στιγμές απόκλισης.

Ορισμός 6.11.Η κεντρική στιγμή της ης τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της ποσότητας.

(6.23)

Συγκεκριμένα,

Οι σχέσεις που συνδέουν την αρχική και την κεντρική στιγμή προκύπτουν εύκολα. Έτσι, συγκρίνοντας τις (6.22) και (6.24), παίρνουμε:

Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

Επίσης:

Οι ροπές υψηλότερης τάξης χρησιμοποιούνται σπάνια. Για τον προσδιορισμό των κεντρικών ροπών, χρησιμοποιούνται αποκλίσεις μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία (κέντρο). Γι' αυτό λέγονται οι στιγμές κεντρικός.

Για τον προσδιορισμό των αρχικών ροπών, χρησιμοποιούνται επίσης αποκλίσεις μιας τυχαίας μεταβλητής, αλλά όχι από τη μαθηματική προσδοκία, αλλά από το σημείο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με μηδέν, που είναι η αρχή των συντεταγμένων. Γι' αυτό λέγονται οι στιγμές αρχικός.

Στην περίπτωση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η αρχική ροπή της 1ης τάξης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

(6.27)

Η κεντρική ροπή της τάξης μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται από τον τύπο:

(6.28)

Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι συμμετρική σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία. Τότε όλες οι κεντρικές ροπές περιττής τάξης είναι ίσες με μηδέν. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι για καθένα θετική αξίαποσότητες X-M(X)υπάρχει (λόγω της συμμετρίας της κατανομής σε σχέση με M(X)) ίσο με αυτό σε απόλυτη τιμή αρνητικό νόημααυτή η τιμή και οι πιθανότητές τους θα είναι ίδιες.

Εάν η κεντρική ροπή μιας περιττής τάξης δεν είναι ίση με μηδέν, τότε αυτό υποδηλώνει ασυμμετρία της κατανομής και όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή, τόσο μεγαλύτερη είναι η ασυμμετρία. Επομένως, είναι πιο λογικό να λαμβάνεται κάποια περίεργη κεντρική ροπή ως χαρακτηριστικό της ασυμμετρίας κατανομής. Δεδομένου ότι η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα μηδέν, συνιστάται η χρήση της κεντρικής ροπής τρίτης τάξης για το σκοπό αυτό.

Ορισμός 6.12.Ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι η ποσότητα:

Εάν ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι αρνητικός, τότε αυτό δείχνει μεγάλη επίδραση στην τιμή αρνητικές αποκλίσεις. Σε αυτή την περίπτωση, η καμπύλη κατανομής (Εικ. 6.1 ΕΝΑ) είναι πιο επίπεδη στα αριστερά του . Εάν ο συντελεστής είναι θετικός, που σημαίνει ότι κυριαρχεί η επίδραση των θετικών αποκλίσεων, τότε η καμπύλη κατανομής είναι πιο επίπεδη στα δεξιά.

Όπως είναι γνωστό, η δεύτερη κεντρική στιγμή (διακύμανση) χρησιμεύει για τον χαρακτηρισμό της διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Εάν αυτή η στιγμή για κάποια τυχαία μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλη, π.χ. Εάν η διασπορά είναι μεγάλη, τότε η αντίστοιχη καμπύλη κατανομής είναι πιο επίπεδη από την καμπύλη κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής με μικρότερη ροπή δεύτερης τάξης. Ωστόσο, η στιγμή δεν μπορεί να εξυπηρετήσει αυτόν τον σκοπό λόγω του ότι για οποιαδήποτε διανομή .

Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται η κεντρική ροπή τέταρτης τάξης.

Ορισμός 6.13.Η κούρτωση είναι η ποσότητα:

Για τον πιο κοινό νόμο κανονικής κατανομής στη φύση, ο λόγος είναι . Επομένως, υπέρβαση δίνεται από τον τύποΤο (6.28) χρησιμεύει για τη σύγκριση αυτής της κατανομής με την κανονική (Εικ. 6.1 σι).

Για να χαρακτηριστούν διάφορες ιδιότητες τυχαίων μεταβλητών, χρησιμοποιούνται αρχικές και κεντρικές ροπές.

Η αρχική στιγμήκ-πρώτη σειράμιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η μαθηματική προσδοκία της kth ισχύος αυτής της μεταβλητής:

α K = M.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή

ντο

X = X – M[X]

μια κεντραρισμένη τυχαία μεταβλητή είναι η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Ας συμφωνήσουμε να διακρίνουμε ένα κεντραρισμένο r.v. εικονίδιο 0 στην κορυφή.

Κεντρική στιγμήμικρό-η σειράείναι η μαθηματική προσδοκία της Sth δύναμης μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής

 S = M [(X – m x) S ].

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή

 S = (x i – m x) S p i .

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή

.

Ιδιότητες ροπών τυχαίων μεταβλητών

η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία (εξ ορισμού):

α 1 = M = m x .

η κεντρική ροπή της πρώτης τάξης είναι πάντα ίση με μηδέν (θα το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας διακριτής r.v.):

 1 = M [(X – m x) 1 ] = (x i – m x) p i = x i p i - m x p i = m x –m x p i =m x –m x = 0.

Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης χαρακτηρίζει την εξάπλωση μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της.

Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης ονομάζεται διασποράΜε. V. και συμβολίζεται με D[X] ή D x

Η διακύμανση έχει τη διάσταση του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής.

Μέση τιμή τυπική απόκλιση σ x = √D x.

σ x - ακριβώς όπως το D x, χαρακτηρίζει την εξάπλωση μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της αλλά έχει τη διάσταση μιας τυχαίας μεταβλητής.

η δεύτερη αρχική στιγμή α 2 χαρακτηρίζει τον βαθμό διασποράς της τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μαθηματική της προσδοκία, καθώς και τη μετατόπιση της τυχαίας μεταβλητής στον αριθμητικό άξονα

Σχέση μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης αρχικής ροπής με τη διασπορά (χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας συνεχούς r.v.):

Η τρίτη κεντρική ροπή χαρακτηρίζει τον βαθμό διασποράς της τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μαθηματική προσδοκία, καθώς και τον βαθμό ασυμμετρίας της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής.

f(x μέσος όρος) > f(-x μέσος όρος)

Για συμμετρικούς νόμους κατανομής m 3 = 0.

Για να χαρακτηριστεί μόνο ο βαθμός ασυμμετρίας, χρησιμοποιείται ο λεγόμενος συντελεστής ασυμμετρίας

Για συμμετρικό νόμο κατανομής Sk = 0

Η τέταρτη κεντρική στιγμή χαρακτηρίζει τον βαθμό διασποράς της τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μαθηματική προσδοκία, καθώς και τον βαθμό αιχμής του νόμου κατανομής.

Ιδιαίτερη σημασία για τον χαρακτηρισμό της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχουν τα αριθμητικά χαρακτηριστικά που ονομάζονται αρχικές και κεντρικές ροπές.

Η αρχική στιγμή κ-η σειρά α k(Χ) τυχαία μεταβλητή Χ κ-η δύναμη αυτής της ποσότητας, δηλ.

α k(Χ) = Μ(Χ κ) (6.8)

Ο τύπος (6.8), λόγω του ορισμού της μαθηματικής προσδοκίας για διάφορες τυχαίες μεταβλητές, έχει τη δική του μορφή, δηλαδή για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών

για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή

, (6.10)

Οπου φά(Χ) - πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

Ακατάλληλο ολοκλήρωμαστον τύπο (6.10) μετατρέπεται σε οριστικό ολοκλήρωμασε ένα πεπερασμένο διάστημα, εάν οι τιμές μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπάρχουν μόνο σε αυτό το διάστημα.

Ένα από τα προηγούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά– μαθηματική προσδοκία – δεν είναι τίποτα άλλο από την αρχική στιγμή της πρώτης τάξης, ή, όπως λένε, την πρώτη αρχική στιγμή:

Μ(Χ) = α 1 (Χ).

Στην προηγούμενη παράγραφο, εισήχθη η έννοια της κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής HM(Χ). Εάν αυτή η ποσότητα θεωρείται ως η κύρια, τότε μπορούν να βρεθούν και οι αρχικές στιγμές για αυτήν. Για το ίδιο το μέγεθος Χαυτές οι στιγμές θα ονομαστούν κεντρικές.

Κεντρική στιγμή κ-η σειρά μk(Χ) τυχαία μεταβλητή Χπου ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-η δύναμη της κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής, δηλ.

μk(Χ) = Μ[(HM(Χ))κ] (6.11)

Με άλλα λόγια, το κεντρικό σημείο κ-η σειρά είναι η μαθηματική προσδοκία κο βαθμός απόκλισης.

Κεντρική στιγμή κη σειρά για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών βρίσκεται από τον τύπο:

, (6.12)

για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

(6.13)

Στο μέλλον, όταν γίνει σαφές για τι είδους τυχαία μεταβλητή μιλάμε, δεν θα τη γράψουμε στη σημειογραφία των αρχικών και κεντρικών ροπών, δηλ. αντί α k(Χ) Και μk(Χ) απλά θα γράψουμε α kΚαι μk .

Είναι προφανές ότι η κεντρική ροπή της πρώτης τάξης είναι ίση με μηδέν, αφού αυτή δεν είναι τίποτα άλλο από τη μαθηματική προσδοκία της απόκλισης, η οποία ισούται με μηδέν σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν προηγουμένως, δηλ. .

Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυμπίπτει με τη διακύμανση της ίδιας τυχαίας μεταβλητής, δηλ.

Επιπλέον, υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι που συνδέουν την αρχική και την κεντρική ροπή:

Έτσι, οι στιγμές της πρώτης και της δεύτερης τάξης (μαθηματική προσδοκία και διασπορά) χαρακτηρίζουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της κατανομής: τη θέση της και τον βαθμό διασποράς των τιμών. Για περισσότερα Λεπτομερής περιγραφήοι διανομές είναι στιγμές υψηλότερων τάξεων. Ας το δείξουμε.

Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι συμμετρική σε σχέση με τις μαθηματικές προσδοκίες της. Τότε όλες οι κεντρικές ροπές περιττής τάξης, αν υπάρχουν, είναι ίσες με μηδέν. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι, λόγω της συμμετρίας της κατανομής, για κάθε θετική τιμή της ποσότητας Χ − Μ(Χ) υπάρχει μια αρνητική τιμή ίση σε μέγεθος με αυτήν και οι πιθανότητες αυτών των τιμών είναι ίσες. Κατά συνέπεια, το άθροισμα στον τύπο (6.12) αποτελείται από πολλά ζεύγη όρων ίσων σε μέγεθος αλλά διαφορετικών ως προς το πρόσημο, οι οποίοι αλληλοεξουδετερώνονται κατά την άθροιση. Έτσι, ολόκληρο το ποσό, δηλ. η κεντρική ροπή οποιασδήποτε διακριτής τυχαίας μεταβλητής περιττής τάξης είναι μηδέν. Ομοίως, η κεντρική ροπή οποιασδήποτε περιττής τάξης μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με μηδέν, όπως και το ολοκλήρωμα σε συμμετρικά όρια μιας περιττής συνάρτησης.

Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι εάν η κεντρική ροπή μιας περιττής τάξης είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε η ίδια η κατανομή δεν θα είναι συμμετρική ως προς τη μαθηματική της προσδοκία. Επιπλέον, όσο περισσότερο η κεντρική ροπή διαφέρει από το μηδέν, τόσο μεγαλύτερη είναι η ασυμμετρία στην κατανομή. Ας πάρουμε την κεντρική στιγμή της μικρότερης περιττής τάξης ως χαρακτηριστικό της ασυμμετρίας. Εφόσον η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι μηδέν για τυχαίες μεταβλητές με οποιαδήποτε κατανομή, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί η κεντρική ροπή τρίτης τάξης για το σκοπό αυτό. Ωστόσο, αυτή η στιγμή έχει τη διάσταση ενός κύβου μιας τυχαίας μεταβλητής. Για να απαλλαγείτε από αυτό το μειονέκτημα και να μετακινηθείτε σε μια αδιάστατη τυχαία μεταβλητή, διαιρέστε την τιμή της κεντρικής ροπής με τον κύβο της τυπικής απόκλισης.

Συντελεστής ασυμμετρίας Οπως και ή απλά ασυμμετρίαονομάζεται λόγος της κεντρικής ροπής τρίτης τάξης προς τον κύβο της τυπικής απόκλισης, δηλ.

Μερικές φορές η ασυμμετρία ονομάζεται "λοξότητα" και ορίζεται S kτι προέρχεται από Αγγλική λέξηλοξό - «λοξό».

Εάν ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι αρνητικός, τότε η τιμή του επηρεάζεται έντονα από αρνητικούς όρους (αποκλίσεις) και η κατανομή θα έχει αριστερή ασυμμετρία, και το γράφημα κατανομής (καμπύλη) είναι πιο επίπεδο στα αριστερά της μαθηματικής προσδοκίας. Αν ο συντελεστής είναι θετικός, τότε ασυμμετρία σωστά, και η καμπύλη είναι πιο επίπεδη στα δεξιά της μαθηματικής προσδοκίας (Εικ. 6.1).

Όπως έχει αποδειχθεί, για να χαρακτηριστεί η εξάπλωση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της, χρησιμοποιείται η δεύτερη κεντρική ροπή, δηλ. διασπορά. Αν αυτή η στιγμή έχει μεγάλη σημασία αριθμητική αξία, τότε αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει μεγάλη διασπορά τιμών και η αντίστοιχη καμπύλη κατανομής έχει πιο επίπεδο σχήμα από την καμπύλη για την οποία η δεύτερη κεντρική ροπή έχει μικρότερη τιμή. Επομένως, η δεύτερη κεντρική στιγμή χαρακτηρίζει, σε κάποιο βαθμό, την καμπύλη κατανομής «επίπεδης κορυφής» ή «κοφτερής κορυφής». Ωστόσο, αυτό το χαρακτηριστικό δεν είναι πολύ βολικό. Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης έχει διάσταση ίση με το τετράγωνο της διάστασης της τυχαίας μεταβλητής. Αν προσπαθήσουμε να λάβουμε ένα αδιάστατο μέγεθος διαιρώντας την τιμή της ροπής με το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης, τότε για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή λαμβάνουμε: . Έτσι, αυτός ο συντελεστής δεν μπορεί να είναι κανένα χαρακτηριστικό της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Είναι το ίδιο για όλες τις διανομές. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κεντρική ροπή τέταρτης τάξης.

Υπέρβαση Ε κ είναι η ποσότητα που καθορίζεται από τον τύπο

(6.15)

Το Kurtosis χρησιμοποιείται κυρίως για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και χρησιμεύει για τον χαρακτηρισμό της λεγόμενης «απότομης» καμπύλης κατανομής ή αλλιώς, όπως αναφέρθηκε ήδη, για τον χαρακτηρισμό της καμπύλης κατανομής «επίπεδης κορυφής» ή «κοφτιάς κορυφής». Η καμπύλη κατανομής αναφοράς θεωρείται η καμπύλη κανονική κατανομή(αυτό θα συζητηθεί αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο). Για μια τυχαία μεταβλητή κατανεμημένη κανονικός νόμος, ισχύει η ισότητα. Επομένως, η κύρτωση που δίνεται από τον τύπο (6.15) χρησιμεύει για τη σύγκριση αυτής της κατανομής με μια κανονική, για την οποία η κύρτωση είναι ίση με μηδέν.

Εάν ληφθεί μια θετική κύρτωση για κάποια τυχαία μεταβλητή, τότε η καμπύλη κατανομής αυτής της τιμής είναι πιο κορυφαία από την καμπύλη κανονικής κατανομής. Εάν η κύρτωση είναι αρνητική, τότε η καμπύλη είναι πιο επίπεδη σε σύγκριση με την καμπύλη κανονικής κατανομής (Εικ. 6.2).

Ας προχωρήσουμε τώρα σε συγκεκριμένους τύπους νόμων κατανομής για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Οι κεντρικές ροπές ονομάζονται ροπές κατανομής, κατά τον υπολογισμό των οποίων η απόκλιση των επιλογών από τον αριθμητικό μέσο μιας δεδομένης σειράς λαμβάνεται ως αρχική τιμή.

1. Υπολογίστε την κεντρική ροπή πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

2. Υπολογίστε την κεντρική ροπή δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

πού είναι η τιμή του μέσου των διαστημάτων?

Αυτός είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος.

Fi είναι ο αριθμός των τιμών.

3. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τρίτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

πού είναι η τιμή του μέσου των διαστημάτων? - αυτός είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος. - fi-αριθμός τιμών.

4. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τέταρτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

πού είναι η τιμή του μέσου των διαστημάτων? - αυτός είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος. - fi-αριθμός τιμών.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.2

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.4

1. Υπολογίστε την κεντρική ροπή πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.1):

2. Υπολογίστε την κεντρική ροπή δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.2):

3. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τρίτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.3):

4. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τέταρτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.4):

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.6

1. Υπολογίστε την κεντρική ροπή πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.1):

2. Υπολογίστε την κεντρική ροπή δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.2):

3. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τρίτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.3):

4. Υπολογίστε την κεντρική ροπή τέταρτης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.4):

Οι στιγμές των παραγγελιών 1, 2, 3, 4 υπολογίστηκαν για τρία προβλήματα. Όπου χρειάζεται η ροπή τρίτης τάξης για τον υπολογισμό της ασυμμετρίας και η ροπή τέταρτης τάξης για τον υπολογισμό της κύρτωσης.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Στη στατιστική πρακτική, συναντώνται διάφορες κατανομές. Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι καμπυλών κατανομής:

· Καμπύλες μονής κορυφής: συμμετρικές, μέτρια ασύμμετρες και εξαιρετικά ασύμμετρες.

· Καμπύλες πολλαπλών κορυφών.

Οι ομοιογενείς πληθυσμοί, κατά κανόνα, χαρακτηρίζονται από κατανομές μονής κορυφής. Το Multivertex υποδεικνύει την ετερογένεια του πληθυσμού που μελετάται. Η εμφάνιση δύο ή περισσότερων κορυφών καθιστά απαραίτητη την ανασυγκρότηση των δεδομένων για τον εντοπισμό πιο ομοιογενών ομάδων.

Ανακαλύπτοντας γενικόςΗ κατανομή περιλαμβάνει την αξιολόγηση της ομοιογένειάς της, καθώς και τον υπολογισμό δεικτών ασυμμετρίας και κύρτωσης. Για συμμετρικές κατανομές, οι συχνότητες οποιωνδήποτε δύο επιλογών που βρίσκονται εξίσου και στις δύο πλευρές του κέντρου διανομής είναι ίσες μεταξύ τους. Ο μέσος όρος, ο τρόπος και η διάμεσος που υπολογίζονται για τέτοιες κατανομές είναι επίσης ίσοι.

Σε μια συγκριτική μελέτη της ασυμμετρίας πολλών κατανομών με διαφορετικές μονάδες μέτρησης, υπολογίζεται σχετικός δείκτηςασυμμετρία():

πού είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος; Mo-fashion; - ρίζα μέση τετραγωνική σταθμισμένη διασπορά. Με-διάμεσος.

Η τιμή του μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Στην πρώτη περίπτωση μιλάμε γιασχετικά με την ασυμμετρία της δεξιάς όψης και στη δεύτερη - για την ασυμμετρία της αριστερής όψης.

Με δεξιόπλευρη ασυμμετρία Mo>Me >x. Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη (ως δείκτης ασυμμετρίας) είναι ο λόγος της κεντρικής ροπής τρίτης τάξης προς την τυπική απόκλιση μιας δεδομένης σειράς σε κύβους:

πού είναι η κεντρική ροπή τρίτης τάξης; - τυπική απόκλιση σε κύβους.

Η χρήση αυτού του δείκτη καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό όχι μόνο του μεγέθους της ασυμμετρίας, αλλά και τον έλεγχο της παρουσίας του σε πληθυσμός. Είναι γενικά αποδεκτό ότι η λοξότητα μεγαλύτερη από 0,5 (ανεξάρτητα από το πρόσημο) θεωρείται σημαντική. αν είναι μικρότερο από 0,25, τότε είναι ασήμαντο.

Η αξιολόγηση της ουσιαστικότητας βασίζεται στον μέσο όρο τετράγωνο σφάλμα, συντελεστής ασυμμετρίας (), ο οποίος εξαρτάται από τον αριθμό των παρατηρήσεων (n) και υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων.

Σε αυτή την περίπτωση, η ασυμμετρία είναι σημαντική και η κατανομή του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό είναι ασύμμετρη. Διαφορετικά, η ασυμμετρία είναι ασήμαντη και η παρουσία της μπορεί να προκληθεί από τυχαίες περιστάσεις.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.2Ομαδοποίηση του πληθυσμού κατά μέσο όρο μηνιαία μισθοί, τρίψτε.

Αριστερή, σημαντική ασυμμετρία.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.4Ομαδοποίηση καταστημάτων ανά κύκλο εργασιών λιανικής, εκατομμύρια ρούβλια.

1. Ας προσδιορίσουμε τις ασυμμετρίες χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.5):

Δεξιά, σημαντική ασυμμετρία.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.6Ομαδοποίηση μεταφορικών οργανισμών ανά κύκλο εργασιών μεταφοράς εμπορευμάτων κοινή χρήση(εκατομμύρια t.km)

1. Ας προσδιορίσουμε τις ασυμμετρίες χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.5):

Δεξιά, ελαφρά ασυμμετρία.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΟΥΡΤΕΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ

Για συμμετρικές κατανομές, ο δείκτης κύρτωσης () μπορεί να υπολογιστεί:

πού είναι η κεντρική στιγμή τέταρτης τάξης; - τυπική απόκλιση στην τέταρτη ισχύ.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.2Ομαδοποίηση του πληθυσμού κατά μέσο μηνιαίο μισθό, τρίψιμο.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.4Ομαδοποίηση καταστημάτων ανά κύκλο εργασιών λιανικής, εκατομμύρια ρούβλια.

Ας υπολογίσουμε τον δείκτη κύρτωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.7)

Μέγιστη κατανομή.

Υπολογισμός για τον πίνακα 3.6Ομαδοποίηση μεταφορικών οργανισμών ανά εμπορευματικό κύκλο εργασιών δημόσιων συγκοινωνιών (εκατομμύρια t.km)

Ας υπολογίσουμε τον δείκτη κύρτωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.7)

Διανομή επίπεδης κορυφής.

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ

Αξιολόγηση ομοιογένειας για τον πίνακα 3.2Ομαδοποίηση του πληθυσμού κατά μέσο μηνιαίο μισθό, τρίψιμο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι αν και οι δείκτες ασυμμετρίας και κύρτωσης χαρακτηρίζουν άμεσα μόνο τη μορφή κατανομής του χαρακτηριστικού εντός του υπό μελέτη πληθυσμού, ο ορισμός τους δεν έχει μόνο περιγραφική σημασία. Η λοξότητα και η κύρτωση συχνά παρέχουν συγκεκριμένες οδηγίες για περαιτέρω έρευνακοινωνικά - οικονομικά φαινόμενα. Το αποτέλεσμα που προκύπτει υποδεικνύει την παρουσία ασυμμετρίας σημαντικής σε μέγεθος και αρνητικής φύσης· πρέπει να σημειωθεί ότι η ασυμμετρία είναι αριστερής όψης. Επιπλέον, ο πληθυσμός έχει μια επίπεδη κατανομή.

Αξιολόγηση ομοιογένειας για τον πίνακα 3.4Ομαδοποίηση καταστημάτων ανά κύκλο εργασιών λιανικής, εκατομμύρια ρούβλια.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει υποδεικνύει την παρουσία ασυμμετρίας σημαντικής σε μέγεθος και θετικής φύσης· πρέπει να σημειωθεί ότι η ασυμμετρία είναι δεξιά. Και επίσης ο πληθυσμός έχει μια κατανομή απότομη κορυφή.

Αξιολόγηση ομοιογένειας για τον πίνακα 3.6Ομαδοποίηση μεταφορικών οργανισμών ανά εμπορευματικό κύκλο εργασιών δημόσιων συγκοινωνιών (εκατομμύρια t.km)

Το ληφθέν αποτέλεσμα δείχνει την παρουσία ασυμμετρίας που είναι ασήμαντη σε μέγεθος και θετική φύση· πρέπει να σημειωθεί ότι η ασυμμετρία είναι δεξιά. Επιπλέον, ο πληθυσμός έχει μια επίπεδη κατανομή.