Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, δείτε τη μέση έννοια.

Μέση τιμή(στα μαθηματικά και τη στατιστική) σύνολα αριθμών - το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης.

Προτάθηκε (μαζί με τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο) από τους Πυθαγόρειους.

Ειδικές περιπτώσεις του αριθμητικού μέσου όρου είναι ο μέσος όρος (του γενικού πληθυσμού) και ο μέσος όρος του δείγματος (δειγμάτων).

Εισαγωγή

Δηλώστε το σύνολο δεδομένων Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, Χ n), τότε ο μέσος όρος του δείγματος συνήθως συμβολίζεται με μια οριζόντια γραμμή πάνω από τη μεταβλητή (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , προφέρεται " Χμε παύλα»).

Το ελληνικό γράμμα μ χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμητικό μέσο όρο ολόκληρου του πληθυσμού. Για μια τυχαία μεταβλητή για την οποία ορίζεται μια μέση τιμή, το μ είναι πιθανότητα μέσοςή τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής. Αν το σετ Χείναι μια συλλογή τυχαίων αριθμών με μέσο όρο μ, τότε για οποιοδήποτε δείγμα Χ Εγώαπό αυτή τη συλλογή μ = E( Χ Εγώ) είναι η προσδοκία αυτού του δείγματος.

Στην πράξη, η διαφορά μεταξύ μ και x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) είναι ότι το μ είναι μια τυπική μεταβλητή επειδή μπορείτε να δείτε το δείγμα και όχι ολόκληρο τον πληθυσμό. Επομένως, εάν το δείγμα αναπαρίσταται τυχαία (από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων), τότε το x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (αλλά όχι μ) μπορεί να αντιμετωπιστεί ως μια τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή πιθανότητας στο δείγμα ( κατανομή πιθανότητας του μέσου όρου).

Και οι δύο αυτές ποσότητες υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Αν ένα Χείναι μια τυχαία μεταβλητή, τότε η μαθηματική προσδοκία Χμπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ποσότητας Χ. Αυτή είναι μια εκδήλωση του νόμου των μεγάλων αριθμών. Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της άγνωστης μαθηματικής προσδοκίας.

Στη στοιχειώδη άλγεβρα αποδεικνύεται ότι ο μέσος n+ 1 αριθμοί πάνω από το μέσο όρο nαριθμοί εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον παλιό μέσο όρο, μικρότερος εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μικρότερος από τον μέσο όρο και δεν αλλάζει εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι ίσος με τον μέσο όρο. Περισσότερο n, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ του νέου και του παλιού μέσου όρου.

Σημειώστε ότι υπάρχουν πολλά άλλα διαθέσιμα "μέσα", συμπεριλαμβανομένου του μέσου όρου του νόμου ισχύος, του μέσου όρου Kolmogorov, του αρμονικού μέσου, του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και διαφόρων σταθμισμένων μέσων (π. .

Παραδείγματα

• Για τρεις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Για τέσσερις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ή πιο εύκολα 5+5=10, 10:2. Επειδή προσθέσαμε 2 αριθμούς, που σημαίνει ότι πόσους αριθμούς προσθέσουμε, διαιρούμε με τόσους.

Συνεχής τυχαία μεταβλητή

Για μια συνεχώς κατανεμημένη τιμή f (x) (\displaystyle f(x)) ο αριθμητικός μέσος όρος στο διάστημα [ a ; b ] (\displaystyle ) ορίζεται μέσω ενός ορισμένου ολοκληρώματος:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Μερικά προβλήματα χρήσης του μέσου όρου

Έλλειψη στιβαρότητας

Κύριο άρθρο: Ισχυρότητα στη στατιστική

Αν και ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνά ως μέσος όρος ή κεντρικές τάσεις, αυτή η έννοια δεν ισχύει για ισχυρές στατιστικές, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από "μεγάλες αποκλίσεις". Αξίζει να σημειωθεί ότι για διανομές με μεγάλη λοξότητα, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να μην αντιστοιχεί στην έννοια του "μέσου όρου" και οι τιμές του μέσου όρου από ισχυρά στατιστικά στοιχεία (για παράδειγμα, ο διάμεσος) μπορεί να περιγράφουν καλύτερα την κεντρική τάση.

Το κλασικό παράδειγμα είναι ο υπολογισμός του μέσου εισοδήματος. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παρερμηνευθεί ως διάμεσος, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν περισσότεροι άνθρωποι με περισσότερα εισοδήματα από όσα πραγματικά υπάρχουν. Το «μέσο» εισόδημα ερμηνεύεται με τέτοιο τρόπο ώστε τα εισοδήματα των περισσότερων ανθρώπων να πλησιάζουν αυτόν τον αριθμό. Αυτό το "μέσο" (με την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου) εισόδημα είναι υψηλότερο από το εισόδημα των περισσότερων ανθρώπων, καθώς ένα υψηλό εισόδημα με μεγάλη απόκλιση από τον μέσο όρο κάνει τον αριθμητικό μέσο όρο να στρέφεται έντονα (αντίθετα, το μεσαίο εισόδημα "αντίσταται" τέτοια λοξή). Ωστόσο, αυτό το "μέσο" εισόδημα δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο μεσαίο εισόδημα (και δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο τροπικό εισόδημα). Ωστόσο, αν ληφθούν σοβαρά υπόψη οι έννοιες «μέσος όρος» και «πλειοψηφία», τότε μπορεί κανείς να συμπεράνει λανθασμένα ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν εισοδήματα υψηλότερα από αυτά που είναι στην πραγματικότητα. Για παράδειγμα, μια αναφορά για το «μέσο» καθαρό εισόδημα στη Μεδίνα της Ουάσιγκτον, που υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των ετήσιων καθαρών εισοδημάτων των κατοίκων, θα δώσει έναν εκπληκτικά υψηλό αριθμό λόγω του Bill Gates. Εξετάστε το δείγμα (1, 2, 2, 2, 3, 9). Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι 3,17, αλλά πέντε από τις έξι τιμές είναι κάτω από αυτόν τον μέσο όρο.

Ανατοκισμός

Κύριο άρθρο: ROI

Αν αριθμοί πολλαπλασιάζω, αλλά όχι πτυχή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον γεωμετρικό μέσο όρο, όχι τον αριθμητικό μέσο όρο. Τις περισσότερες φορές, αυτό το περιστατικό συμβαίνει κατά τον υπολογισμό της απόδοσης της επένδυσης στη χρηματοδότηση.

Για παράδειγμα, εάν οι μετοχές έπεσαν 10% το πρώτο έτος και αυξήθηκαν 30% το δεύτερο έτος, τότε δεν είναι σωστό να υπολογιστεί η "μέση" αύξηση κατά τη διάρκεια αυτών των δύο ετών ως αριθμητικός μέσος όρος (−10% + 30%) / 2 = 10%; Ο σωστός μέσος όρος σε αυτή την περίπτωση δίνεται από τον σύνθετο ετήσιο ρυθμό αύξησης, από τον οποίο η ετήσια αύξηση είναι μόνο περίπου 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Ο λόγος για αυτό είναι ότι τα ποσοστά έχουν ένα νέο σημείο εκκίνησης κάθε φορά: 30% είναι 30% από έναν αριθμό μικρότερο από την τιμή στην αρχή του πρώτου έτους:αν η μετοχή ξεκίνησε από 30 $ και έπεσε 10%, αξίζει 27 $ στην αρχή του δεύτερου έτους. Εάν η μετοχή αυξηθεί κατά 30%, αξίζει 35,1 $ στο τέλος του δεύτερου έτους. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της αύξησης είναι 10%, αλλά δεδομένου ότι η μετοχή έχει αυξηθεί μόνο κατά 5,1 $ σε 2 χρόνια, μια μέση αύξηση 8,2% δίνει ένα τελικό αποτέλεσμα 35,1 $:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Εάν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο του 10% με τον ίδιο τρόπο, δεν θα λάβουμε την πραγματική τιμή: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Σύνθετο επιτόκιο στο τέλος του έτους 2: 90% * 130% = 117% , δηλαδή συνολική αύξηση 17%, και ο μέσος ετήσιος ανατοκισμός είναι 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \περίπου 108,2\%) , δηλαδή μέση ετήσια αύξηση 8,2%.

Κατευθύνσεις

Κύριο άρθρο: Στατιστικά στοιχεία προορισμού

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου κάποιας μεταβλητής που αλλάζει κυκλικά (για παράδειγμα, φάση ή γωνία), πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος των 1° και 359° θα ήταν 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Αυτός ο αριθμός είναι λανθασμένος για δύο λόγους.

• Πρώτον, τα γωνιακά μέτρα ορίζονται μόνο για την περιοχή από 0° έως 360° (ή από 0 έως 2π όταν μετρώνται σε ακτίνια). Έτσι, το ίδιο ζεύγος αριθμών θα μπορούσε να γραφεί ως (1° και −1°) ή ως (1° και 719°). Οι μέσοι όροι κάθε ζεύγους θα είναι διαφορετικοί: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Δεύτερον, σε αυτήν την περίπτωση, μια τιμή 0° (ισοδύναμη με 360°) θα ήταν ο γεωμετρικά καλύτερος μέσος όρος, καθώς οι αριθμοί αποκλίνουν λιγότερο από 0° παρά από οποιαδήποτε άλλη τιμή (η τιμή 0° έχει τη μικρότερη απόκλιση). Συγκρίνω:
  • ο αριθμός 1° αποκλίνει από 0° μόνο κατά 1°.
  • ο αριθμός 1° αποκλίνει από τον υπολογισμένο μέσο όρο των 180° κατά 179°.

Η μέση τιμή για μια κυκλική μεταβλητή, που υπολογίζεται σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, θα μετατοπιστεί τεχνητά σε σχέση με τον πραγματικό μέσο όρο στο μέσο της αριθμητικής περιοχής. Εξαιτίας αυτού, ο μέσος όρος υπολογίζεται με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή, ο αριθμός με τη μικρότερη απόκλιση (κεντρικό σημείο) επιλέγεται ως μέση τιμή. Επίσης, αντί της αφαίρεσης, χρησιμοποιείται η απόσταση συντελεστών (δηλαδή η περιφερειακή απόσταση). Για παράδειγμα, η αρθρωτή απόσταση μεταξύ 1° και 359° είναι 2°, όχι 358° (σε κύκλο μεταξύ 359° και 360°==0° - μία μοίρα, μεταξύ 0° και 1° - επίσης 1°, συνολικά - 2 °).

4.3. Μέσες τιμές. Η ουσία και η έννοια των μέσων όρων

Μέση αξίαστις στατιστικές, ονομάζεται ένας γενικευμένος δείκτης, ο οποίος χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο ενός φαινομένου σε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου, που αντικατοπτρίζει το μέγεθος μιας μεταβλητής ιδιότητας ανά μονάδα ενός ποιοτικά ομοιογενούς πληθυσμού. Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιείται ένα ευρύ φάσμα δεικτών, που υπολογίζονται ως μέσοι όροι.

Για παράδειγμα, ένας γενικευμένος δείκτης του εισοδήματος των εργαζομένων σε μια ανώνυμη εταιρεία (JSC) είναι το μέσο εισόδημα ενός εργαζομένου, που καθορίζεται από την αναλογία του ταμείου μισθών και των κοινωνικών πληρωμών για την υπό εξέταση περίοδο (έτος, τρίμηνο, μήνας ) στον αριθμό των εργαζομένων στο ΚΕΠ.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αντικατοπτρίζει το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός ευκαιρίακαι χρειάζομαι.Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, η τυχαιότητα αλληλοεξουδετερώνεται, εξισορροπείται, ώστε να μπορείτε να αφαιρέσετε από τα ασήμαντα χαρακτηριστικά του φαινομένου, από τις ποσοτικές τιμές του χαρακτηριστικού σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Στην ικανότητα αφαίρεσης από την τυχαιότητα των μεμονωμένων τιμών, οι διακυμάνσεις έγκειται στην επιστημονική αξία των μέσων τιμών ως συνοψίζονταςσυγκεντρωτικά χαρακτηριστικά.

Όπου υπάρχει ανάγκη γενίκευσης, ο υπολογισμός τέτοιων χαρακτηριστικών οδηγεί στην αντικατάσταση πολλών διαφορετικών επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού Μεσαίοένας δείκτης που χαρακτηρίζει το σύνολο των φαινομένων, που καθιστά δυνατό τον εντοπισμό προτύπων εγγενών σε μαζικά κοινωνικά φαινόμενα, ανεπαίσθητα σε μεμονωμένα φαινόμενα.

Ο μέσος όρος αντικατοπτρίζει το χαρακτηριστικό, τυπικό, πραγματικό επίπεδο των μελετηθέντων φαινομένων, χαρακτηρίζει αυτά τα επίπεδα και τις αλλαγές τους στο χρόνο και στο χώρο.

Ο μέσος όρος είναι ένα συνοπτικό χαρακτηριστικό των κανονικοτήτων της διαδικασίας υπό τις συνθήκες υπό τις οποίες προχωρά.

4.4. Τύποι μέσων όρων και μέθοδοι υπολογισμού τους

Η επιλογή του τύπου μέσου όρου καθορίζεται από το οικονομικό περιεχόμενο ενός συγκεκριμένου δείκτη και τα αρχικά δεδομένα. Σε κάθε περίπτωση, εφαρμόζεται μία από τις μέσες τιμές: αριθμητική, γαρμονική, γεωμετρική, τετραγωνική, κυβικήκαι τα λοιπά. Οι αναφερόμενοι μέσοι όροι ανήκουν στην κατηγορία εξουσίαΜεσαίο.

Εκτός από τους μέσους όρους power-law, στη στατιστική πρακτική, χρησιμοποιούνται δομικοί μέσοι όροι, οι οποίοι θεωρούνται ότι είναι ο τρόπος και ο διάμεσος.

Ας σταθούμε λεπτομερέστερα στα μέσα ισχύος.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι μέση τιμή αριθμητική.Χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος μιας μεταβλητής ιδιότητας για ολόκληρο τον πληθυσμό είναι το άθροισμα των τιμών των χαρακτηριστικών των μεμονωμένων μονάδων του. Τα κοινωνικά φαινόμενα χαρακτηρίζονται από την προσθετικότητα (άθροισμα) των όγκων ενός ποικίλου χαρακτηριστικού, αυτό καθορίζει το εύρος του αριθμητικού μέσου όρου και εξηγεί την επικράτηση του ως γενικευτικό δείκτη, για παράδειγμα: το συνολικό ταμείο μισθών είναι το άθροισμα των μισθών όλων εργαζομένων, η ακαθάριστη συγκομιδή είναι το άθροισμα των παραγόμενων προϊόντων από ολόκληρη την περιοχή σποράς.

Για να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο, πρέπει να διαιρέσετε το άθροισμα όλων των τιμών χαρακτηριστικών με τον αριθμό τους.

Ο αριθμητικός μέσος όρος εφαρμόζεται στη μορφή απλός μέσος όρος και σταθμικός μέσος όρος.Ο απλός μέσος όρος χρησιμεύει ως αρχική, καθοριστική μορφή.

απλός αριθμητικός μέσος όροςισούται με το απλό άθροισμα των μεμονωμένων τιμών του μέσου όρου του χαρακτηριστικού, διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό αυτών των τιμών (χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μη ομαδοποιημένες μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού):

όπου
- μεμονωμένες τιμές της μεταβλητής (επιλογές). Μ - αριθμός πληθυσμιακών μονάδων.

Περαιτέρω όρια αθροίσματος στους τύπους δεν θα αναφέρονται. Για παράδειγμα, απαιτείται να βρεθεί η μέση απόδοση ενός εργάτη (κλειδαράς), εάν είναι γνωστό πόσα μέρη παρήγαγε ο καθένας από τους 15 εργάτες, δηλ. δεδομένου ενός αριθμού επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού, τεμ.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται με τον τύπο (4.1), 1 τεμ.:

Ο μέσος όρος των επιλογών που επαναλαμβάνονται διαφορετικές φορές, ή λέγεται ότι έχουν διαφορετικό βάρος, ονομάζεται σταθμισμένη.Τα βάρη είναι οι αριθμοί των μονάδων σε διαφορετικές ομάδες πληθυσμού (η ομάδα συνδυάζει τις ίδιες επιλογές).

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος- μέσες ομαδοποιημένες τιμές, - υπολογίζεται με τον τύπο:

, (4.2)

όπου
- βάρη (συχνότητα επανάληψης των ίδιων χαρακτηριστικών).

- το άθροισμα των γινομένων του μεγέθους των χαρακτηριστικών με βάση τις συχνότητές τους·

- ο συνολικός αριθμός των πληθυσμιακών μονάδων.

Θα επεξηγήσουμε την τεχνική για τον υπολογισμό του αριθμητικού σταθμισμένου μέσου όρου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, ομαδοποιούμε τα αρχικά δεδομένα και τα τοποθετούμε στον πίνακα. 4.1.

Πίνακας 4.1

Η διανομή εργαζομένων για την ανάπτυξη ανταλλακτικών

Σύμφωνα με τον τύπο (4.2), ο αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος είναι ίσος, τεμάχια:

Σε ορισμένες περιπτώσεις, τα βάρη μπορούν να αναπαρασταθούν όχι με απόλυτες τιμές, αλλά με σχετικές (σε ποσοστά ή κλάσματα μονάδας). Τότε ο τύπος για τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο θα μοιάζει με:

όπου
- συγκεκριμένα, δηλ. μερίδιο κάθε συχνότητας στο συνολικό άθροισμα όλων

Αν οι συχνότητες μετρηθούν σε κλάσματα (συντελεστές), τότε
= 1, και ο τύπος για τον αριθμητικά σταθμισμένο μέσο όρο είναι:

Υπολογισμός του αριθμητικού σταθμισμένου μέσου όρου από τους μέσους όρους της ομάδας πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

,

όπου φά-αριθμός μονάδων σε κάθε ομάδα.

Τα αποτελέσματα του υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου των μέσων της ομάδας παρουσιάζονται στον Πίνακα. 4.2.

Πίνακας 4.2

Κατανομή των εργαζομένων κατά μέσο όρο προϋπηρεσίας

Σε αυτό το παράδειγμα, οι επιλογές δεν είναι μεμονωμένα δεδομένα για τη διάρκεια της υπηρεσίας μεμονωμένων εργαζομένων, αλλά μέσοι όροι για κάθε συνεργείο. Ζυγός φάείναι ο αριθμός των εργαζομένων στα καταστήματα. Ως εκ τούτου, η μέση εργασιακή εμπειρία των εργαζομένων σε όλη την επιχείρηση θα είναι έτη:

.

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου στη σειρά κατανομής

Εάν οι τιμές του μέσου όρου χαρακτηριστικού δίνονται ως διαστήματα ("από - έως"), π.χ. σειρές κατανομής διαστήματος, τότε κατά τον υπολογισμό της μέσης αριθμητικής τιμής, τα μέσα αυτών των διαστημάτων λαμβάνονται ως τιμές των χαρακτηριστικών σε ομάδες, ως αποτέλεσμα των οποίων σχηματίζεται μια διακριτή σειρά. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα (Πίνακας 4.3).

Ας περάσουμε από μια σειρά διαστήματος σε μια διακριτή αντικαθιστώντας τις τιμές διαστήματος με τις μέσες τιμές τους / (απλός μέσος όρος

Πίνακας 4.3

Κατανομή των εργαζομένων ΑΟ ανά επίπεδο μηνιαίων αποδοχών

Ομάδες εργαζομένων για	Αριθμός εργαζομένων	Το μέσο του διαστήματος
μισθούς, τρίψτε.	pers., φά	τρίψιμο., Χ
900 και περισσότερα

οι τιμές των ανοιχτών διαστημάτων (πρώτο και τελευταίο) εξισώνονται υπό όρους με τα διαστήματα που γειτνιάζουν με αυτά (δεύτερο και προτελευταίο).

Με έναν τέτοιο υπολογισμό του μέσου όρου, επιτρέπεται κάποια ανακρίβεια, αφού γίνεται μια υπόθεση για την ομοιόμορφη κατανομή των μονάδων του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας. Ωστόσο, το σφάλμα θα είναι όσο μικρότερο, τόσο στενότερο είναι το διάστημα και τόσο περισσότερες μονάδες στο διάστημα.

Αφού βρεθούν τα μέσα των διαστημάτων, οι υπολογισμοί γίνονται με τον ίδιο τρόπο όπως σε μια διακριτή σειρά - οι επιλογές πολλαπλασιάζονται με τις συχνότητες (βάρη) και το άθροισμα των γινομένων διαιρείται με το άθροισμα των συχνοτήτων (βάρη) , χιλιάδες ρούβλια:

.

Έτσι, το μέσο επίπεδο αμοιβής των εργαζομένων στην JSC είναι 729 ρούβλια. κάθε μήνα.

Ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου συνδέεται συχνά με μεγάλη δαπάνη χρόνου και εργασίας. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, η διαδικασία για τον υπολογισμό του μέσου όρου μπορεί να απλοποιηθεί και να διευκολυνθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές του. Ας παρουσιάσουμε (χωρίς απόδειξη) μερικές βασικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου.

Ιδιοκτησία 1. Εάν όλες οι επιμέρους χαρακτηριστικές τιμές (δηλ. όλες οι επιλογές) μείωση ή αύξηση σε Εγώφορές, τότε η μέση τιμή μιας νέας δυνατότητας θα μειωθεί ή θα αυξηθεί ανάλογα σε Εγώμια φορά.

Ιδιοκτησία 2. Εάν όλες οι παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού μειωθούνράψτε ή αυξήστε κατά τον αριθμό Α και μετά τον αριθμητικό μέσο όρομειώνεται σημαντικά ή αυξάνεται κατά τον ίδιο αριθμό Α.

Ιδιοκτησία 3. Εάν μειωθούν τα βάρη όλων των επιλογών με μέσο όρο ή να αυξηθεί σε προς την φορές, ο αριθμητικός μέσος όρος δεν θα αλλάξει.

Ως μέσες σταθμίσεις, αντί για απόλυτους δείκτες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε συγκεκριμένα βάρη στο σύνολο (μερίδια ή ποσοστά). Αυτό απλοποιεί τον υπολογισμό του μέσου όρου.

Για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς του μέσου όρου, ακολουθούν το μονοπάτι της μείωσης των τιμών των επιλογών και των συχνοτήτων. Η μεγαλύτερη απλοποίηση επιτυγχάνεται όταν ΑΛΛΑΗ τιμή μιας από τις κεντρικές επιλογές με την υψηλότερη συχνότητα επιλέγεται ως / - η τιμή του διαστήματος (για σειρές με τα ίδια διαστήματα). Η τιμή του L ονομάζεται προέλευση, επομένως αυτή η μέθοδος υπολογισμού του μέσου όρου ονομάζεται "μέθοδος μέτρησης από το μηδέν υπό όρους" ή «μέθοδος στιγμών».

Ας υποθέσουμε ότι όλες οι επιλογές Χπρώτα μειώνεται κατά τον ίδιο αριθμό Α και μετά μειώνεται σε Εγώμια φορά. Λαμβάνουμε μια νέα παραλλαγμένη σειρά διανομής νέων παραλλαγών .

Επειτα νέες επιλογέςθα εκφραστεί:

,

και τον νέο αριθμητικό τους μέσο όρο , -στιγμή πρώτης παραγγελίας- τύπος:

.

Είναι ίσο με το μέσο όρο των αρχικών επιλογών, αρχικά μειωμένο κατά ΑΛΛΑ,και μετά μέσα Εγώμια φορά.

Για να αποκτήσετε τον πραγματικό μέσο όρο, χρειάζεστε μια στιγμή της πρώτης τάξης Μ 1 , πολλαπλασιάστε με Εγώκαι προσθέστε ΑΛΛΑ:

.

Αυτή η μέθοδος υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου από μια μεταβλητή σειρά ονομάζεται «μέθοδος στιγμών».Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται σε σειρές με ίσα διαστήματα.

Ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου με τη μέθοδο των ροπών απεικονίζεται από τα δεδομένα του Πίνακα. 4.4.

Πίνακας 4.4

Κατανομή των μικρών επιχειρήσεων στην περιοχή με βάση την αξία των παγίων περιουσιακών στοιχείων παραγωγής (OPF) το 2000

Ομάδες επιχειρήσεων με κόστος OPF, χιλιάδες ρούβλια	Αριθμός επιχειρήσεων φά	μεσαία διαστήματα, Χ
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Εύρεση της στιγμής της πρώτης παραγγελίας

.

Στη συνέχεια, υποθέτοντας A = 19 και γνωρίζοντας ότι Εγώ= 2, υπολογίστε Χ,χιλιάδες ρούβλια.:

Τύποι μέσων τιμών και μέθοδοι υπολογισμού τους

Στο στάδιο της στατιστικής επεξεργασίας, μπορούν να τεθούν ποικίλες ερευνητικές εργασίες, για τη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να επιλεγεί ο κατάλληλος μέσος όρος. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να καθοδηγηθείτε από τον ακόλουθο κανόνα: οι τιμές που αντιπροσωπεύουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του μέσου όρου πρέπει να σχετίζονται λογικά μεταξύ τους.

• μέσους όρους ισχύος;
• διαρθρωτικούς μέσους όρους.

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Τις τιμές για τις οποίες υπολογίζεται ο μέσος όρος.

Μέσος όρος, όπου η παραπάνω γραμμή δείχνει ότι λαμβάνει χώρα ο μέσος όρος των μεμονωμένων τιμών.

Συχνότητα (επαναληψιμότητα των τιμών μεμονωμένων χαρακτηριστικών).

Διάφορα μέσα προέρχονται από τον γενικό τύπο μέσης ισχύος:

(5.1)

για k = 1 - αριθμητικός μέσος όρος. k = -1 - αρμονικός μέσος όρος. k = 0 - γεωμετρικός μέσος όρος. k = -2 - ρίζα μέσο τετράγωνο.

Οι μέσοι όροι είναι είτε απλοί είτε σταθμισμένοι. σταθμισμένους μέσους όρουςονομάζονται ποσότητες που λαμβάνουν υπόψη ότι ορισμένες παραλλαγές των τιμών του χαρακτηριστικού μπορεί να έχουν διαφορετικούς αριθμούς και επομένως κάθε παραλλαγή πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό. Με άλλα λόγια, τα «βαρίδια» είναι οι αριθμοί των πληθυσμιακών μονάδων σε διαφορετικές ομάδες, δηλ. κάθε επιλογή «σταθμίζεται» με τη συχνότητά της. Η συχνότητα f ονομάζεται στατιστικό βάροςή μέσος όρος ζύγισης.

Αριθμητικός μέσος όρος- ο πιο κοινός τύπος μέσου. Χρησιμοποιείται όταν ο υπολογισμός πραγματοποιείται σε μη ομαδοποιημένα στατιστικά δεδομένα, όπου θέλετε να λάβετε τη μέση άθροιση. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τέτοια μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού, κατά τη λήψη του οποίου ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό παραμένει αμετάβλητος.

Ο αριθμητικός μέσος τύπος ( απλός) έχει τη μορφή

όπου n είναι το μέγεθος του πληθυσμού.

Για παράδειγμα, ο μέσος μισθός των εργαζομένων μιας επιχείρησης υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος:

Οι καθοριστικοί δείκτες εδώ είναι οι μισθοί κάθε εργαζόμενου και ο αριθμός των εργαζομένων της επιχείρησης. Κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου, το συνολικό ποσό των μισθών παρέμεινε το ίδιο, αλλά κατανεμήθηκε, όπως ήταν, ισότιμα ​​μεταξύ όλων των εργαζομένων. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων μιας μικρής εταιρείας όπου απασχολούνται 8 άτομα:

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, οι μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο μπορούν να επαναληφθούν, επομένως ο μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ομαδοποιημένα δεδομένα. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για χρήση αριθμητικός μέσος σταθμισμένος, που μοιάζει με

(5.3)

Επομένως, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή της μετοχής μιας μετοχικής εταιρείας στο χρηματιστήριο. Είναι γνωστό ότι οι συναλλαγές πραγματοποιήθηκαν εντός 5 ημερών (5 συναλλαγές), ο αριθμός των μετοχών που πωλήθηκαν με την τιμή πώλησης κατανεμήθηκε ως εξής:

1 - 800 ac. - 1010 ρούβλια

2 - 650 ακ. - 990 τρίψτε.

3 - 700 ακ. - 1015 ρούβλια.

4 - 550 ακ. - 900 τρίψτε.

5 - 850 ακ. - 1150 ρούβλια.

Η αρχική αναλογία για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής της μετοχής είναι η αναλογία του συνολικού ποσού των συναλλαγών (OSS) προς τον αριθμό των μετοχών που πωλήθηκαν (KPA).

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

απλός αριθμητικός μέσος όρος

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του οποίου ο συνολικός όγκος ενός δεδομένου χαρακτηριστικού στα δεδομένα κατανέμεται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον πληθυσμό. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι μια τέτοια τιμή του όγκου της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται από τον τύπο:

απλός αριθμητικός μέσος όρος— Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1 . Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό
Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ένας σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι καθορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και η τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Το αντιπροσωπεύουμε με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος- ισούται με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής του χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν οι παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού εμφανίζονται άνιση πολλές φορές.

Παράδειγμα 2 . Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων στα καταστήματα ανά μήνα

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με τον συνολικό αριθμό των εργαζομένων:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για μια σειρά διαστημάτων

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά μεταβολών διαστήματος, ο μέσος όρος για κάθε διάστημα προσδιορίζεται πρώτα ως το μισό άθροισμα του ανώτερου και του κατώτερου ορίου, και στη συνέχεια ο μέσος όρος ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από την τιμή των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των μαθητών στο απογευματινό τμήμα.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από τον βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει ομοιόμορφη.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη:

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τον υπολογισμό:

1. Το γινόμενο του μέσου όρου και του αθροίσματος των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής και των συχνοτήτων, δηλ.

2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων τιμών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των τιμών:

3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι μηδέν:

4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ.

Για να βρείτε τη μέση τιμή στο Excel (είτε είναι αριθμητική, κείμενο, ποσοστό ή άλλη τιμή), υπάρχουν πολλές συναρτήσεις. Και καθένα από αυτά έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα. Μετά από όλα, ορισμένες προϋποθέσεις μπορούν να τεθούν σε αυτήν την εργασία.

Για παράδειγμα, οι μέσες τιμές μιας σειράς αριθμών στο Excel υπολογίζονται χρησιμοποιώντας στατιστικές συναρτήσεις. Μπορείτε επίσης να εισάγετε χειροκίνητα τον δικό σας τύπο. Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών;

Για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, προσθέτετε όλους τους αριθμούς του συνόλου και διαιρείτε το άθροισμα με τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι βαθμοί ενός μαθητή στην επιστήμη των υπολογιστών: 3, 4, 3, 5, 5. Τι ισχύει για ένα τέταρτο: 4. Βρήκαμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Πώς να το κάνετε γρήγορα χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις του Excel; Πάρτε για παράδειγμα μια σειρά τυχαίων αριθμών σε μια συμβολοσειρά:

Ή: κάντε το κελί ενεργό και απλώς εισαγάγετε χειροκίνητα τον τύπο: =AVERAGE(A1:A8).

Τώρα ας δούμε τι άλλο μπορεί να κάνει η συνάρτηση AVERAGE.

Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο πρώτων και τριών τελευταίων αριθμών. Τύπος: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). Αποτέλεσμα:



Μέσος όρος κατά συνθήκη

Η προϋπόθεση για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου μπορεί να είναι ένα αριθμητικό κριτήριο ή ένα κριτήριο κειμένου. Θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση: =AVERAGEIF().

Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο αριθμών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 10.

Συνάρτηση: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Το αποτέλεσμα της χρήσης της συνάρτησης AVERAGEIF στην συνθήκη ">=10":

Το τρίτο όρισμα - "Εύρος μέσου όρου" - παραλείπεται. Πρώτον, δεν απαιτείται. Δεύτερον, το εύρος που αναλύεται από το πρόγραμμα περιέχει ΜΟΝΟ αριθμητικές τιμές. Στα κελιά που καθορίζονται στο πρώτο όρισμα, η αναζήτηση θα εκτελεστεί σύμφωνα με τη συνθήκη που καθορίζεται στο δεύτερο όρισμα.

Προσοχή! Το κριτήριο αναζήτησης μπορεί να καθοριστεί σε ένα κελί. Και στον τύπο να γίνει αναφορά σε αυτό.

Ας βρούμε τη μέση τιμή των αριθμών με το κριτήριο του κειμένου. Για παράδειγμα, οι μέσες πωλήσεις του προϊόντος «πίνακες».

Η συνάρτηση θα μοιάζει με αυτό: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Εύρος - μια στήλη με ονόματα προϊόντων. Το κριτήριο αναζήτησης είναι ένας σύνδεσμος προς ένα κελί με τη λέξη "πίνακες" (μπορείτε να εισαγάγετε τη λέξη "πίνακες" αντί του συνδέσμου A7). Εύρος μέσου όρου - αυτά τα κελιά από τα οποία θα ληφθούν δεδομένα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής.

Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού της συνάρτησης, λαμβάνουμε την ακόλουθη τιμή:

Προσοχή! Για ένα κριτήριο κειμένου (συνθήκη), πρέπει να καθοριστεί το εύρος του μέσου όρου.

Πώς να υπολογίσετε τη σταθμισμένη μέση τιμή στο Excel;

Πώς γνωρίζουμε τη σταθμισμένη μέση τιμή;

Τύπος: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο SUMPRODUCT, ανακαλύπτουμε τα συνολικά έσοδα μετά την πώληση ολόκληρης της ποσότητας των αγαθών. Και η συνάρτηση SUM - συνοψίζει την ποσότητα των αγαθών. Διαιρώντας τα συνολικά έσοδα από την πώληση αγαθών με τον συνολικό αριθμό μονάδων αγαθών, βρήκαμε τη μέση σταθμισμένη τιμή. Αυτός ο δείκτης λαμβάνει υπόψη το «βάρος» κάθε τιμής. Το μερίδιό του στη συνολική μάζα των αξιών.

Τυπική απόκλιση: τύπος στο Excel

Διακρίνετε την τυπική απόκλιση για τον γενικό πληθυσμό και για το δείγμα. Στην πρώτη περίπτωση, αυτή είναι η ρίζα της γενικής διακύμανσης. Στη δεύτερη, από τη διακύμανση του δείγματος.

Για τον υπολογισμό αυτού του στατιστικού δείκτη, καταρτίζεται ένας τύπος διασποράς. Η ρίζα λαμβάνεται από αυτό. Αλλά στο Excel υπάρχει μια έτοιμη συνάρτηση για την εύρεση της τυπικής απόκλισης.

Η τυπική απόκλιση συνδέεται με την κλίμακα των δεδομένων πηγής. Αυτό δεν αρκεί για μια εικονική αναπαράσταση της διακύμανσης του αναλυόμενου εύρους. Για να ληφθεί το σχετικό επίπεδο διασποράς στα δεδομένα, υπολογίζεται ο συντελεστής διακύμανσης:

τυπική απόκλιση / αριθμητικός μέσος όρος

Ο τύπος στο Excel μοιάζει με αυτό:

STDEV (εύρος τιμών) / AVERAGE (εύρος τιμών).

Ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται ως ποσοστό. Επομένως, ορίζουμε τη μορφή ποσοστού στο κελί.

5.1. Η έννοια του μέσου όρου

Μέση αξία -αυτός είναι ένας γενικευμένος δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο του φαινομένου. Εκφράζει την τιμή του χαρακτηριστικού, που σχετίζεται με τη μονάδα του πληθυσμού.

Ο μέσος όρος γενικεύει πάντα την ποσοτική διακύμανση του χαρακτηριστικού, δηλ. σε μέσες τιμές, ακυρώνονται μεμονωμένες διαφορές στις μονάδες του πληθυσμού λόγω τυχαίων περιστάσεων. Σε αντίθεση με τον μέσο όρο, η απόλυτη τιμή που χαρακτηρίζει το επίπεδο ενός χαρακτηριστικού μιας μεμονωμένης μονάδας του πληθυσμού δεν επιτρέπει τη σύγκριση των τιμών του χαρακτηριστικού για μονάδες που ανήκουν σε διαφορετικούς πληθυσμούς. Επομένως, εάν χρειάζεται να συγκρίνετε τα επίπεδα αμοιβής των εργαζομένων σε δύο επιχειρήσεις, τότε δεν μπορείτε να συγκρίνετε δύο υπαλλήλους διαφορετικών επιχειρήσεων σε αυτή τη βάση. Οι μισθοί των εργαζομένων που επιλέχθηκαν για σύγκριση μπορεί να μην είναι τυπικοί για αυτές τις επιχειρήσεις. Εάν συγκρίνουμε το μέγεθος των αμοιβαίων κεφαλαίων στις υπό εξέταση επιχειρήσεις, τότε ο αριθμός των εργαζομένων δεν λαμβάνεται υπόψη και, επομένως, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί πού είναι υψηλότερο το επίπεδο των μισθών. Τελικά, μόνο οι μέσοι όροι μπορούν να συγκριθούν, δηλ. Πόσο κερδίζει ένας εργαζόμενος κατά μέσο όρο σε κάθε εταιρεία; Επομένως, υπάρχει ανάγκη να υπολογιστεί η μέση τιμή ως γενικευτικό χαρακτηριστικό του πληθυσμού.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αρνείται το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός τύχης και αναγκαιότητας. Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, η τυχαιότητα αλληλοεξουδετερώνεται, εξισορροπείται, ώστε να μπορείτε να αφαιρέσετε από τα ασήμαντα χαρακτηριστικά του φαινομένου, από τις ποσοτικές τιμές του χαρακτηριστικού σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Στην ικανότητα αφαίρεσης από την τυχαιότητα των επιμέρους τιμών, τις διακυμάνσεις, έγκειται η επιστημονική αξία των μέσων όρων ως γενικευτικών χαρακτηριστικών των αδρανών.

Προκειμένου ο μέσος όρος να είναι πραγματικά χαρακτηριστικός, πρέπει να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψη ορισμένες αρχές.

Ας σταθούμε σε μερικές γενικές αρχές για την εφαρμογή των μέσων όρων.
1. Ο μέσος όρος πρέπει να προσδιορίζεται για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες.
2. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για έναν πληθυσμό που αποτελείται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μονάδων.
3. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για τον πληθυσμό, οι μονάδες του οποίου βρίσκονται σε κανονική, φυσική κατάσταση.
4. Ο μέσος όρος θα πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη.

5.2. Τύποι μέσων όρων και μέθοδοι υπολογισμού τους

Ας εξετάσουμε τώρα τους τύπους των μέσων όρων, τα χαρακτηριστικά του υπολογισμού τους και τους τομείς εφαρμογής. Οι μέσες τιμές χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: μέσους όρους ισχύος, δομικούς μέσους όρους.

Προς την δύναμη σημαίνειπεριλαμβάνουν τους πιο διάσημους και ευρέως χρησιμοποιούμενους τύπους όπως γεωμετρικό μέσο, ​​αριθμητικό μέσο και μέσο τετράγωνο.

Οπως και διαρθρωτικούς μέσους όρουςλαμβάνεται υπόψη ο τρόπος και η διάμεσος.

Ας σταθούμε στους μέσους όρους ισχύος. Οι μέσοι όροι ισχύος, ανάλογα με την παρουσίαση των αρχικών δεδομένων, μπορεί να είναι απλοί και σταθμισμένοι. απλός μέσος όροςυπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει την ακόλουθη γενική μορφή:

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου χαρακτηριστικού.

n είναι ο αριθμός των επιλογών.

Σταθμισμένος μέσος όροςυπολογίζεται με ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει γενική μορφή

,

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου του χαρακτηριστικού ή η μεσαία τιμή του διαστήματος στο οποίο μετράται η παραλλαγή·
m είναι ο εκθέτης του μέσου όρου.
f i - συχνότητα που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή i-e του μέσου όρου του χαρακτηριστικού.

Ας δώσουμε ως παράδειγμα τον υπολογισμό του μέσου όρου ηλικίας των μαθητών σε μια ομάδα 20 ατόμων:

Υπολογίζουμε τη μέση ηλικία χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο μέσου όρου:

Ας ομαδοποιήσουμε τα δεδομένα πηγής. Λαμβάνουμε την ακόλουθη σειρά διανομής:

Ως αποτέλεσμα της ομαδοποίησης, παίρνουμε έναν νέο δείκτη - συχνότητα, που υποδεικνύει τον αριθμό των μαθητών ηλικίας X ετών. Ως εκ τούτου, ο μέσος όρος ηλικίας των μαθητών της ομάδας θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο μέσο όρο:

Οι γενικοί τύποι για τον υπολογισμό των εκθετικών μέσων όρων έχουν εκθέτη (m). Ανάλογα με την τιμή που παίρνει, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι μέσου όρου ισχύος:
αρμονικός μέσος όρος εάν m = -1;
γεωμετρικός μέσος όρος εάν m –> 0;
αριθμητικός μέσος όρος εάν m = 1;
ρίζα μέσο τετράγωνο αν m = 2;
μέση κυβική αν m = 3.

Οι τύποι μέσης ισχύος δίνονται στον Πίνακα. 4.4.

Εάν υπολογίσουμε όλους τους τύπους μέσων τιμών για τα ίδια αρχικά δεδομένα, τότε οι τιμές τους δεν θα είναι ίδιες. Εδώ ισχύει ο κανόνας της μείζονος σημασίας των μέσων όρων: με αύξηση του εκθέτη m, αυξάνεται και η αντίστοιχη μέση τιμή:

Στη στατιστική πρακτική, συχνότερα από άλλους τύπους σταθμισμένους μέσους όρους, χρησιμοποιούνται αριθμητικοί και αρμονικοί σταθμισμένοι μέσοι όροι.

Πίνακας 5.1

Τύποι μέσων ισχύος

Τύπος ισχύος Μέσης	Δείκτης μοίρες (m)	Τύπος υπολογισμού
		Απλός	σταθμισμένη
αρμονικός	-1
Γεωμετρικός	0
Αριθμητική	1
τετραγωνικός	2
κυβικός	3

Ο αρμονικός μέσος όρος έχει πιο σύνθετη δομή από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για υπολογισμούς όταν τα βάρη δεν είναι οι μονάδες του πληθυσμού - οι φορείς του χαρακτηριστικού, αλλά τα γινόμενα αυτών των μονάδων και οι τιμές του χαρακτηριστικού (δηλαδή m = Xf). Ο μέσος χρόνος διακοπής της αρμονικής θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις προσδιορισμού, για παράδειγμα, του μέσου κόστους εργασίας, χρόνου, υλικών ανά μονάδα παραγωγής, ανά μέρος για δύο (τρεις, τέσσερις κ.λπ.) επιχειρήσεις, εργαζομένους που ασχολούνται με την κατασκευή του ίδιο είδος προϊόντος, ίδιο ανταλλακτικό, προϊόν.

Η κύρια απαίτηση για τον τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής είναι όλα τα στάδια του υπολογισμού να έχουν μια πραγματική ουσιαστική αιτιολόγηση. η προκύπτουσα μέση τιμή θα πρέπει να αντικαταστήσει τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού για κάθε αντικείμενο χωρίς να σπάσει τη σύνδεση μεταξύ μεμονωμένων και συνοπτικών δεικτών. Με άλλα λόγια, η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε όταν κάθε μεμονωμένη τιμή του μέσου όρου δείκτη αντικαθίσταται από τη μέση τιμή του, κάποιος τελικός συνοπτικός δείκτης, που συνδέεται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τον μέσο όρο, να παραμένει αμετάβλητος. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται καθοριστικόαφού η φύση της σχέσης του με μεμονωμένες τιμές καθορίζει τον συγκεκριμένο τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής. Ας δείξουμε αυτόν τον κανόνα στο παράδειγμα του γεωμετρικού μέσου όρου.

Γεωμετρικός μέσος τύπος

χρησιμοποιείται συχνότερα κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής των επιμέρους σχετικών τιμών της δυναμικής.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται εάν δοθεί μια ακολουθία αλυσίδων σχετικών τιμών δυναμικής, που υποδεικνύει, για παράδειγμα, μια αύξηση της παραγωγής σε σύγκριση με το επίπεδο του προηγούμενου έτους: i 1 , i 2 , i 3 ,..., σε . Προφανώς, ο όγκος της παραγωγής το τελευταίο έτος καθορίζεται από το αρχικό της επίπεδο (q 0) και την επακόλουθη ανάπτυξη με την πάροδο των ετών:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Λαμβάνοντας το q n ως καθοριστικό δείκτη και αντικαθιστώντας τις επιμέρους τιμές των δεικτών δυναμικής με μέσες, καταλήγουμε στη σχέση

Από εδώ

5.3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι

Ένας ειδικός τύπος μέσων τιμών - δομικοί μέσοι όροι - χρησιμοποιείται για τη μελέτη της εσωτερικής δομής της σειράς κατανομής τιμών χαρακτηριστικών, καθώς και για την εκτίμηση της μέσης τιμής (τύπος ισχύος), εάν, σύμφωνα με τα διαθέσιμα στατιστικά δεδομένα, ο υπολογισμός του δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί (για παράδειγμα, εάν δεν υπήρχαν δεδομένα στο εξεταζόμενο παράδειγμα) και για τον όγκο της παραγωγής και για το ποσό του κόστους ανά ομάδες επιχειρήσεων).

Οι δείκτες χρησιμοποιούνται συχνότερα ως δομικοί μέσοι όροι. μόδα -η πιο συχνά επαναλαμβανόμενη τιμή χαρακτηριστικού - και διάμεσος -την τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τη διατεταγμένη ακολουθία των τιμών του σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό. Ως αποτέλεσμα, στο ένα ήμισυ των μονάδων πληθυσμού, η τιμή του χαρακτηριστικού δεν υπερβαίνει το διάμεσο επίπεδο και στο άλλο μισό δεν είναι μικρότερη από αυτό.

Εάν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό έχει διακριτές τιμές, τότε δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής. Εάν τα δεδομένα σχετικά με τις τιμές του χαρακτηριστικού X παρουσιάζονται με τη μορφή διατεταγμένων διαστημάτων μεταβολής του (σειρές διαστημάτων), ο υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής γίνεται κάπως πιο περίπλοκος. Εφόσον η διάμεση τιμή διαιρεί ολόκληρο τον πληθυσμό σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό, καταλήγει σε ένα από τα διαστήματα του χαρακτηριστικού X. Χρησιμοποιώντας την παρεμβολή, η διάμεση τιμή βρίσκεται σε αυτό το διάμεσο διάστημα:

,

όπου X Me είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.
h Εγώ είναι η αξία του.
(Άθροισμα m) / 2 - το ήμισυ του συνολικού αριθμού παρατηρήσεων ή το ήμισυ του όγκου του δείκτη που χρησιμοποιείται ως στάθμιση στους τύπους για τον υπολογισμό της μέσης τιμής (σε απόλυτες ή σχετικές τιμές).
S Me-1 είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων (ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης) που έχει συσσωρευτεί πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος.
m Me είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο διάμεσο διάστημα (επίσης σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).

Στο παράδειγμά μας, μπορούν να ληφθούν ακόμη και τρεις διάμεσες τιμές - με βάση τα σημάδια του αριθμού των επιχειρήσεων, του όγκου παραγωγής και του συνολικού κόστους παραγωγής:

Έτσι, για τις μισές επιχειρήσεις, το κόστος μιας μονάδας παραγωγής υπερβαίνει τα 125,19 χιλιάδες ρούβλια, το ήμισυ του συνολικού όγκου παραγωγής παράγεται με επίπεδο κόστους ανά προϊόν μεγαλύτερο από 124,79 χιλιάδες ρούβλια. και το 50% του συνολικού κόστους διαμορφώνεται στο επίπεδο του κόστους ενός προϊόντος πάνω από 125,07 χιλιάδες ρούβλια. Σημειώνουμε επίσης ότι υπάρχει μια ορισμένη ανοδική τάση στο κόστος, καθώς το Me 2 = 124,79 χιλιάδες ρούβλια και το μέσο επίπεδο είναι 123,15 χιλιάδες ρούβλια.

Κατά τον υπολογισμό της τροπικής τιμής ενός χαρακτηριστικού σύμφωνα με τα δεδομένα της σειράς διαστημάτων, είναι απαραίτητο να προσέχετε το γεγονός ότι τα διαστήματα είναι τα ίδια, καθώς ο δείκτης της συχνότητας των τιμών χαρακτηριστικών X εξαρτάται από αυτό. μια σειρά διαστημάτων με ίσα διαστήματα, η τιμή του τρόπου λειτουργίας καθορίζεται ως

όπου X Mo είναι η χαμηλότερη τιμή του διαστήματος των τρόπων.
m Mo είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο τροπικό διάστημα (σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).
m Mo -1 - το ίδιο για το διάστημα που προηγείται του modal.
m Mo+1 - το ίδιο για το διάστημα που ακολουθεί το modal.
h είναι η τιμή του διαστήματος μεταβολής του χαρακτηριστικού σε ομάδες.

Για το παράδειγμά μας, τρεις τιμές μπορούν να υπολογιστούν με βάση τα σημάδια του αριθμού των επιχειρήσεων, του όγκου της παραγωγής και του ύψους του κόστους. Και στις τρεις περιπτώσεις, το χρονικό διάστημα είναι το ίδιο, καθώς για το ίδιο διάστημα τόσο ο αριθμός των επιχειρήσεων, ο όγκος παραγωγής όσο και το συνολικό ποσό του κόστους παραγωγής αποδεικνύονται τα μεγαλύτερα:

Έτσι, οι επιχειρήσεις με επίπεδο κόστους 126,75 χιλιάδες ρούβλια συναντώνται συχνότερα, προϊόντα με επίπεδο κόστους 126,69 χιλιάδες ρούβλια παράγονται συχνότερα και συνήθως το κόστος παραγωγής εξηγείται από ένα επίπεδο κόστους 123,73 χιλιάδες ρούβλια.

5.4. Δείκτες διακύμανσης

Οι συγκεκριμένες συνθήκες στις οποίες βρίσκεται καθένα από τα αντικείμενα που μελετήθηκαν, καθώς και τα χαρακτηριστικά της δικής τους ανάπτυξης (κοινωνική, οικονομική κ.λπ.) εκφράζονται με τα αντίστοιχα αριθμητικά επίπεδα στατιστικών δεικτών. Με αυτόν τον τρόπο, παραλλαγή,εκείνοι. η ασυμφωνία μεταξύ των επιπέδων του ίδιου δείκτη σε διαφορετικά αντικείμενα είναι αντικειμενική και βοηθά στην κατανόηση της ουσίας του υπό μελέτη φαινομένου.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μέτρησης της διακύμανσης στα στατιστικά στοιχεία.

Ο πιο απλός είναι ο υπολογισμός του δείκτη παραλλαγή εύρους H ως η διαφορά μεταξύ των μέγιστων (X max) και ελάχιστων (X min) παρατηρούμενων τιμών του χαρακτηριστικού:

H=X max - X min .

Ωστόσο, το εύρος διακύμανσης δείχνει μόνο τις ακραίες τιμές του χαρακτηριστικού. Η επαναληψιμότητα των ενδιάμεσων τιμών δεν λαμβάνεται υπόψη εδώ.

Τα πιο αυστηρά χαρακτηριστικά είναι δείκτες διακύμανσης σε σχέση με το μέσο επίπεδο του χαρακτηριστικού. Ο απλούστερος δείκτης αυτού του τύπου είναι μέση γραμμική απόκλιση L ως αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων ενός χαρακτηριστικού από το μέσο επίπεδό του:

Με την επανάληψη των επιμέρους τιμών του X, χρησιμοποιείται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος τύπος:

(Θυμηθείτε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων από το μέσο επίπεδο είναι μηδέν.)

Ο δείκτης της μέσης γραμμικής απόκλισης έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην πράξη. Με τη βοήθειά του, για παράδειγμα, αναλύεται η σύνθεση των εργαζομένων, ο ρυθμός παραγωγής, η ομοιομορφία της προσφοράς υλικών και αναπτύσσονται συστήματα υλικών κινήτρων. Αλλά, δυστυχώς, αυτός ο δείκτης περιπλέκει τους υπολογισμούς ενός πιθανολογικού τύπου, καθιστά δύσκολη την εφαρμογή των μεθόδων μαθηματικών στατιστικών. Επομένως, στη στατιστική επιστημονική έρευνα, ο δείκτης χρησιμοποιείται συχνότερα για τη μέτρηση της διακύμανσης. διασπορά.

Η διακύμανση χαρακτηριστικών (s 2) προσδιορίζεται με βάση τη μέση τετραγωνική ισχύ:

.

Ένας εκθέτης s ίσος με ονομάζεται τυπική απόκλιση.

Στη γενική θεωρία της στατιστικής, ο δείκτης διακύμανσης είναι μια εκτίμηση του ομώνυμου δείκτη της θεωρίας πιθανοτήτων και (ως το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων) μια εκτίμηση της διακύμανσης στις μαθηματικές στατιστικές, που καθιστά δυνατή τη χρήση των διατάξεων αυτών. θεωρητικούς κλάδους για την ανάλυση των κοινωνικοοικονομικών διαδικασιών.

Εάν η διακύμανση εκτιμάται από έναν μικρό αριθμό παρατηρήσεων που λαμβάνονται από έναν απεριόριστο γενικό πληθυσμό, τότε η μέση τιμή του χαρακτηριστικού προσδιορίζεται με κάποιο σφάλμα. Η υπολογισμένη τιμή της διασποράς φαίνεται να μετατοπίζεται προς τα κάτω. Για να ληφθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση, η διακύμανση του δείγματος που λαμβάνεται από τους παραπάνω τύπους πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί n / (n - 1). Ως αποτέλεσμα, με έναν μικρό αριθμό παρατηρήσεων (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Συνήθως ήδη στο n > (15÷20) η απόκλιση μεταξύ των μεροληπτικών και των αμερόληπτων εκτιμήσεων γίνεται ασήμαντη. Για τον ίδιο λόγο, η προκατάληψη συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στον τύπο για την προσθήκη διακυμάνσεων.

Εάν ληφθούν πολλά δείγματα από τον γενικό πληθυσμό και κάθε φορά προσδιορίζεται η μέση τιμή του χαρακτηριστικού, τότε προκύπτει το πρόβλημα της εκτίμησης της μεταβλητότητας των μέσων όρων. Εκτίμηση διακύμανσης μέση τιμήμπορεί επίσης να βασίζεται σε ένα μόνο δείγμα παρατήρησης σύμφωνα με τον τύπο

,

όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος. s 2 είναι η διακύμανση του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται από τα δείγματα δεδομένων.

αξία λέγεται μέσο δειγματοληπτικό σφάλμακαι είναι χαρακτηριστικό της απόκλισης της μέσης τιμής του δείγματος του χαρακτηριστικού X από την πραγματική μέση τιμή του. Ο δείκτης μέσου σφάλματος χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της παρατήρησης του δείγματος.

Σχετικοί δείκτες διασποράς.Για να χαρακτηριστεί το μέτρο της διακύμανσης του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, οι δείκτες διακύμανσης υπολογίζονται σε σχετικούς όρους. Σας επιτρέπουν να συγκρίνετε τη φύση της διασποράς σε διαφορετικές κατανομές (διαφορετικές μονάδες παρατήρησης του ίδιου χαρακτηριστικού σε δύο σύνολα, με διαφορετικές τιμές των μέσων, όταν συγκρίνετε διαφορετικά σύνολα). Ο υπολογισμός των δεικτών μέτρησης της σχετικής διασποράς πραγματοποιείται ως ο λόγος του απόλυτου δείκτη διασποράς προς τον αριθμητικό μέσο όρο, πολλαπλασιαζόμενος επί 100%.

1. Συντελεστής ταλάντωσηςαντανακλά τη σχετική διακύμανση των ακραίων τιμών του χαρακτηριστικού γύρω από τον μέσο όρο

.

2. Η σχετική γραμμική διακοπή λειτουργίας χαρακτηρίζει το μερίδιο της μέσης τιμής του πρόσημου των απόλυτων αποκλίσεων από τη μέση τιμή

.

3. Συντελεστής διακύμανσης:

είναι το πιο κοινό μέτρο διακύμανσης που χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της τυπικότητας των μέσων όρων.

Στις στατιστικές, πληθυσμοί με συντελεστή διακύμανσης μεγαλύτερο από 30–35% θεωρούνται ετερογενείς.

Αυτή η μέθοδος εκτίμησης της διακύμανσης έχει επίσης ένα σημαντικό μειονέκτημα. Πράγματι, έστω, για παράδειγμα, ο αρχικός πληθυσμός των εργαζομένων με μέση προϋπηρεσία 15 χρόνια, με τυπική απόκλιση s = 10 χρόνια, «γερασμένος» κατά άλλα 15 χρόνια. Τώρα = 30 χρόνια, και η τυπική απόκλιση είναι ακόμα 10. Ο προηγουμένως ετερογενής πληθυσμός (10/15 × 100 = 66,7%), επομένως αποδεικνύεται αρκετά ομοιογενής με την πάροδο του χρόνου (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Θεωρητική έρευνα για τη στατιστική: Σάββ. Επιστημονικός Πρακτικά - Μ.: Στατιστική, 1974. σελ. 19–57.

Προηγούμενος

Προκειμένου να αναλυθούν και να ληφθούν στατιστικά συμπεράσματα σχετικά με το αποτέλεσμα της περίληψης και της ομαδοποίησης, υπολογίζονται γενικοί δείκτες - μέσες και σχετικές τιμές.

Το πρόβλημα των μέσων όρων - να χαρακτηρίζει όλες τις μονάδες του στατιστικού πληθυσμού με μία τιμή του χαρακτηριστικού.

Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν τους ποιοτικούς δείκτες της επιχειρηματικής δραστηριότητας: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

μέση αξία- αυτό είναι ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό των μονάδων του πληθυσμού σύμφωνα με κάποιο διαφορετικό χαρακτηριστικό.

Οι μέσες τιμές καθιστούν δυνατή τη σύγκριση των επιπέδων του ίδιου χαρακτηριστικού σε διαφορετικούς πληθυσμούς και την εύρεση των αιτιών για αυτές τις αποκλίσεις.

Στην ανάλυση των υπό μελέτη φαινομένων, ο ρόλος των μέσων τιμών είναι τεράστιος. Ο Άγγλος οικονομολόγος W. Petty (1623-1687) έκανε εκτενή χρήση των μέσων όρων. Ο V. Petty ήθελε να χρησιμοποιήσει τις μέσες τιμές ως μέτρο του κόστους των δαπανών για τη μέση ημερήσια διαβίωση ενός εργάτη. Η σταθερότητα της μέσης τιμής είναι μια αντανάκλαση των προτύπων των υπό μελέτη διαδικασιών. Πίστευε ότι οι πληροφορίες μπορούν να μετασχηματιστούν ακόμη και αν δεν υπάρχουν αρκετά αρχικά δεδομένα.

Ο Άγγλος επιστήμονας G. King (1648-1712) χρησιμοποίησε μέσες και σχετικές τιμές κατά την ανάλυση δεδομένων για τον πληθυσμό της Αγγλίας.

Οι θεωρητικές εξελίξεις του Βέλγου στατιστικολόγου A. Quetelet (1796-1874) βασίζονται στην ασυνέπεια της φύσης των κοινωνικών φαινομένων - εξαιρετικά σταθερά στη μάζα, αλλά καθαρά ατομικά.

Σύμφωνα με τον A. Quetelet, οι μόνιμες αιτίες δρουν με τον ίδιο τρόπο σε κάθε φαινόμενο υπό μελέτη και κάνουν αυτά τα φαινόμενα παρόμοια μεταξύ τους, δημιουργούν μοτίβα κοινά σε όλα.

Συνέπεια των διδασκαλιών του A. Quetelet ήταν η κατανομή των μέσων τιμών ως η κύρια μέθοδος στατιστικής ανάλυσης. Είπε ότι οι στατιστικοί μέσοι όροι δεν είναι κατηγορία αντικειμενικής πραγματικότητας.

Ο A. Quetelet εξέφρασε τις απόψεις του για τον μέσο όρο στη θεωρία του για τον μέσο άνθρωπο. Ένας μέσος άνθρωπος είναι ένα άτομο που έχει όλες τις ιδιότητες σε ένα μέσο μέγεθος (μέση θνησιμότητα ή ποσοστό γεννήσεων, μέσο ύψος και βάρος, μέση ταχύτητα τρεξίματος, μέση τάση για γάμο και αυτοκτονία, για καλές πράξεις κ.λπ.). Για τον A. Quetelet, ο μέσος άνθρωπος είναι το ιδανικό ενός ανθρώπου. Η ασυνέπεια της θεωρίας του A. Quetelet για τον μέσο άνθρωπο αποδείχθηκε στη ρωσική στατιστική βιβλιογραφία στα τέλη του 19ου-20ου αιώνα.

Ο γνωστός Ρώσος στατιστικολόγος Yu. E. Yanson (1835-1893) έγραψε ότι ο A. Quetelet υποθέτει την ύπαρξη στη φύση του τύπου του μέσου ανθρώπου ως κάτι δεδομένο, από το οποίο η ζωή έχει απορρίψει τους μέσους ανθρώπους μιας δεδομένης κοινωνίας και μια δεδομένη στιγμή, και αυτό τον οδηγεί σε μια εντελώς μηχανική άποψη των νόμων της κίνησης της κοινωνικής ζωής: η κίνηση είναι μια σταδιακή αύξηση των μέσων ιδιοτήτων ενός ατόμου, μια σταδιακή αποκατάσταση ενός τύπου. κατά συνέπεια, μια τέτοια ισοπέδωση όλων των εκφάνσεων της ζωής του κοινωνικού σώματος, πέρα ​​από την οποία παύει κάθε κίνηση προς τα εμπρός.

Η ουσία αυτής της θεωρίας έχει βρει την περαιτέρω ανάπτυξή της στα έργα ορισμένων θεωρητικών της στατιστικής ως η θεωρία των αληθινών αξιών. Ο A. Quetelet είχε οπαδούς - τον Γερμανό οικονομολόγο και στατιστικολόγο W. Lexis (1837-1914), ο οποίος μετέφερε τη θεωρία των αληθινών αξιών στα οικονομικά φαινόμενα της κοινωνικής ζωής. Η θεωρία του είναι γνωστή ως η θεωρία της σταθερότητας. Μια άλλη εκδοχή της ιδεαλιστικής θεωρίας των μέσων όρων βασίζεται στη φιλοσοφία

Ιδρυτής του είναι ο Άγγλος στατιστικολόγος A. Bowley (1869–1957), ένας από τους πιο εξέχοντες θεωρητικούς της σύγχρονης εποχής στον τομέα της θεωρίας των μέσων όρων. Η έννοια του για τους μέσους όρους σκιαγραφείται στο βιβλίο «Στοιχεία Στατιστικής».

Ο A. Bowley εξετάζει τους μέσους όρους μόνο από την ποσοτική πλευρά, διαχωρίζοντας έτσι την ποσότητα από την ποιότητα. Καθορίζοντας την έννοια των μέσων τιμών (ή τη «λειτουργία τους»), ο A. Bowley προβάλλει τη μαχιστική αρχή της σκέψης. Ο A. Bowley έγραψε ότι η συνάρτηση των μέσων όρων πρέπει να εκφράζει μια σύνθετη ομάδα

με μερικούς πρώτους αριθμούς. Τα στατιστικά δεδομένα πρέπει να απλοποιηθούν, να ομαδοποιηθούν και να υπολογιστούν κατά μέσο όρο.Αυτές τις απόψεις συμμερίστηκαν οι R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) και άλλοι.

Στη δεκαετία του '30. 20ος αιώνας και τα επόμενα έτη, η μέση τιμή θεωρείται ως κοινωνικά σημαντικό χαρακτηριστικό, το περιεχόμενο πληροφοριών του οποίου εξαρτάται από την ομοιογένεια των δεδομένων.

Οι πιο εξέχοντες εκπρόσωποι της ιταλικής σχολής R. Benini (1862-1956) και C. Gini (1884-1965), θεωρώντας τη στατιστική ως κλάδο της λογικής, διεύρυναν το πεδίο της στατιστικής επαγωγής, αλλά συνέδεσαν τις γνωστικές αρχές της λογικής. και στατιστικές με τη φύση των μελετηθέντων φαινομένων, ακολουθώντας τις παραδόσεις της κοινωνιολογικής ερμηνείας των στατιστικών.

Στα έργα του Κ. Μαρξ και του Β. Ι. Λένιν, ένας ιδιαίτερος ρόλος αποδίδεται στις μέσες τιμές.

Ο Κ. Μαρξ υποστήριξε ότι οι μεμονωμένες αποκλίσεις από το γενικό επίπεδο ακυρώνονται στη μέση τιμή και το μέσο επίπεδο γίνεται γενικευτικό χαρακτηριστικό του φαινομένου μάζας.Η μέση τιμή γίνεται τέτοιο χαρακτηριστικό του φαινομένου μάζας μόνο εάν ληφθεί σημαντικός αριθμός μονάδων και αυτές οι μονάδες είναι ποιοτικά ομοιογενείς. Ο Μαρξ έγραψε ότι η μέση τιμή που βρέθηκε ήταν ο μέσος όρος «...πολλών διαφορετικών ατομικών αξιών του ίδιου είδους».

Η μέση τιμή αποκτά ιδιαίτερη σημασία σε μια οικονομία της αγοράς. Βοηθά στον προσδιορισμό της αναγκαίας και γενικής, της τάσης των νόμων της οικονομικής ανάπτυξης άμεσα μέσω του ατομικού και τυχαίου.

Μέσες τιμέςείναι γενικευτικοί δείκτες στους οποίους εκφράζεται η δράση των γενικών συνθηκών, η κανονικότητα του υπό μελέτη φαινομένου.

Οι στατιστικοί μέσοι όροι υπολογίζονται με βάση τα μαζικά δεδομένα μιας στατιστικά σωστά οργανωμένης μαζικής παρατήρησης. Εάν ο στατιστικός μέσος όρος υπολογιστεί από μαζικά δεδομένα για έναν ποιοτικά ομοιογενή πληθυσμό (μαζικά φαινόμενα), τότε θα είναι αντικειμενικός.

Η μέση τιμή είναι αφηρημένη, αφού χαρακτηρίζει την τιμή μιας αφηρημένης μονάδας.

Ο μέσος όρος αφαιρείται από την ποικιλομορφία του χαρακτηριστικού σε μεμονωμένα αντικείμενα. Η αφαίρεση είναι ένα στάδιο επιστημονικής έρευνας. Η διαλεκτική ενότητα του ατόμου και του γενικού πραγματοποιείται στη μέση τιμή.

Οι μέσες τιμές θα πρέπει να εφαρμόζονται με βάση τη διαλεκτική κατανόηση των κατηγοριών του ατόμου και του γενικού, του ατόμου και της μάζας.

Το μεσαίο αντικατοπτρίζει κάτι κοινό που προστίθεται σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο.

Για τον εντοπισμό προτύπων σε μαζικές κοινωνικές διαδικασίες, η μέση τιμή έχει μεγάλη σημασία.

Η απόκλιση του ατόμου από το γενικό είναι εκδήλωση της αναπτυξιακής διαδικασίας.

Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει το χαρακτηριστικό, τυπικό, πραγματικό επίπεδο των μελετηθέντων φαινομένων. Ο σκοπός των μέσων όρων είναι να χαρακτηρίσουν αυτά τα επίπεδα και τις αλλαγές τους σε χρόνο και χώρο.

Ο μέσος δείκτης είναι μια συνηθισμένη τιμή, επειδή σχηματίζεται σε κανονικές, φυσικές, γενικές συνθήκες για την ύπαρξη ενός συγκεκριμένου μαζικού φαινομένου, που θεωρείται ως σύνολο.

Μια αντικειμενική ιδιότητα μιας στατιστικής διαδικασίας ή φαινομένου αντανακλά τη μέση τιμή.

Οι επιμέρους τιμές του μελετώμενου στατιστικού χαρακτηριστικού είναι διαφορετικές για κάθε μονάδα του πληθυσμού. Η μέση τιμή των επιμέρους αξιών ενός είδους είναι προϊόν ανάγκης, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της σωρευτικής δράσης όλων των μονάδων του πληθυσμού, που εκδηλώνεται σε μια μάζα επαναλαμβανόμενων ατυχημάτων.

Ορισμένα μεμονωμένα φαινόμενα έχουν σημάδια που υπάρχουν σε όλα τα φαινόμενα, αλλά σε διαφορετικές ποσότητες - αυτό είναι το ύψος ή η ηλικία ενός ατόμου. Άλλα σημάδια ενός μεμονωμένου φαινομένου είναι ποιοτικά διαφορετικά σε διαφορετικά φαινόμενα, δηλαδή υπάρχουν σε άλλα και δεν παρατηρούνται σε άλλα (ένας άντρας δεν θα γίνει γυναίκα). Η μέση τιμή υπολογίζεται για ζώδια που είναι ποιοτικά ομοιογενή και διαφέρουν μόνο ποσοτικά, τα οποία είναι εγγενή σε όλα τα φαινόμενα σε ένα δεδομένο σύνολο.

Η μέση τιμή είναι μια αντανάκλαση των τιμών του υπό μελέτη γνωρίσματος και μετράται στην ίδια διάσταση με αυτό το χαρακτηριστικό.

Η θεωρία του διαλεκτικού υλισμού διδάσκει ότι τα πάντα στον κόσμο αλλάζουν και εξελίσσονται. Και επίσης τα σημάδια που χαρακτηρίζονται από μέσες τιμές αλλάζουν και, κατά συνέπεια, οι ίδιοι οι μέσοι όροι.

Η ζωή είναι μια συνεχής διαδικασία δημιουργίας κάτι καινούργιου. Ο φορέας μιας νέας ποιότητας είναι μεμονωμένα αντικείμενα, τότε ο αριθμός αυτών των αντικειμένων αυξάνεται και το νέο γίνεται μάζα, τυπικό.

Η μέση τιμή χαρακτηρίζει τον πληθυσμό που μελετήθηκε μόνο σε μία βάση. Για μια πλήρη και ολοκληρωμένη παρουσίαση του υπό μελέτη πληθυσμού για μια σειρά από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα σύστημα μέσων τιμών που να μπορεί να περιγράφει το φαινόμενο από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

2. Είδη μέσου όρου

Κατά τη στατιστική επεξεργασία του υλικού, προκύπτουν διάφορα προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται διάφορες μέσες τιμές στη στατιστική πρακτική. Η μαθηματική στατιστική χρησιμοποιεί διάφορους μέσους όρους, όπως: αριθμητικός μέσος όρος; γεωμετρικό μέσο; μέση αρμονική? ρίζα μέσο τετράγωνο.

Για να εφαρμοστεί ένας από τους παραπάνω τύπους μέσου όρου, είναι απαραίτητο να αναλυθεί ο υπό μελέτη πληθυσμός, να προσδιοριστεί το υλικό περιεχόμενο του υπό μελέτη φαινομένου, όλα αυτά γίνονται με βάση τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την αρχή της σημασίας των αποτελεσμάτων κατά τη ζύγιση ή τη σύνοψη.

Στη μελέτη των μέσων όρων χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι δείκτες και σημειογραφία.

Το κριτήριο με το οποίο βρίσκεται ο μέσος όρος ονομάζεται μέσο όρο χαρακτηριστικό και συμβολίζεται με x; ονομάζεται η τιμή του μέσου όρου του χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα του στατιστικού πληθυσμού την ατομική του σημασίαή επιλογές,και συμβολίζεται ως Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 ,… Χ Π ; Η συχνότητα είναι η επαναληψιμότητα των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού, που υποδηλώνεται με το γράμμα φά.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ένας από τους πιο συνηθισμένους τύπους μέσου αριθμητικός μέσος όρος, το οποίο υπολογίζεται όταν ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του υπό μελέτη στατιστικού πληθυσμού.

Για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου, το άθροισμα όλων των επιπέδων χαρακτηριστικών διαιρείται με τον αριθμό τους.

Εάν ορισμένες επιλογές εμφανίζονται πολλές φορές, τότε το άθροισμα των επιπέδων χαρακτηριστικών μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας κάθε επίπεδο με τον αντίστοιχο αριθμό μονάδων πληθυσμού, ακολουθούμενο από το άθροισμα των προϊόντων που προκύπτουν, ο αριθμητικός μέσος όρος που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται σταθμισμένη αριθμητική σημαίνω.

Ο τύπος για τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο έχει ως εξής:

όπου x i είναι επιλογές,

f i - συχνότητες ή βάρη.

Θα πρέπει να χρησιμοποιείται ένας σταθμισμένος μέσος όρος σε όλες τις περιπτώσεις όπου οι παραλλαγές έχουν διαφορετική αφθονία.

Ο αριθμητικός μέσος όρος, όπως ήταν, κατανέμει εξίσου μεταξύ των επιμέρους αντικειμένων τη συνολική τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία στην πραγματικότητα ποικίλλει για καθένα από αυτά.

Ο υπολογισμός των μέσων τιμών πραγματοποιείται σύμφωνα με δεδομένα που ομαδοποιούνται με τη μορφή σειρών κατανομής διαστήματος, όταν οι παραλλαγές χαρακτηριστικών από τις οποίες υπολογίζεται ο μέσος όρος παρουσιάζονται με τη μορφή διαστημάτων (από - έως).

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου:

1) ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων τιμών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων: Αν x i = y i + z i , τότε

Αυτή η ιδιότητα δείχνει σε ποιες περιπτώσεις είναι δυνατό να συνοψιστούν οι μέσες τιμές.

2) το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή είναι ίσο με μηδέν, καθώς το άθροισμα των αποκλίσεων προς μια κατεύθυνση αντισταθμίζεται από το άθροισμα των αποκλίσεων προς την άλλη κατεύθυνση:

Αυτός ο κανόνας δείχνει ότι ο μέσος όρος είναι το αποτέλεσμα.

3) εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς αυξηθούν ή μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό;, τότε ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό;:

4) εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς αυξηθούν ή μειωθούν κατά Α φορές, τότε ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί επίσης κατά Α φορές:

5) η πέμπτη ιδιότητα του μέσου όρου μας δείχνει ότι δεν εξαρτάται από το μέγεθος των βαρών, αλλά από την αναλογία μεταξύ τους. Ως βάρη, μπορούν να ληφθούν όχι μόνο σχετικές, αλλά και απόλυτες τιμές.

Αν όλες οι συχνότητες της σειράς διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό d, τότε ο μέσος όρος δεν θα αλλάξει.

Μέση αρμονική.Για να προσδιοριστεί ο αριθμητικός μέσος όρος, είναι απαραίτητο να έχουμε έναν αριθμό επιλογών και συχνοτήτων, δηλ., τιμές Χκαι φά.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού Χκαι έργα Χ/,και συχνότητες φάείναι άγνωστα, τότε, για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο, συμβολίζουμε το γινόμενο = Χ/;όπου:

Ο μέσος όρος σε αυτή τη μορφή ονομάζεται αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος και συμβολίζεται x βλάβη. vzvv.

Κατά συνέπεια, ο αρμονικός μέσος όρος είναι πανομοιότυπος με τον αριθμητικό μέσο όρο. Ισχύει όταν τα πραγματικά βάρη δεν είναι γνωστά. φάκαι το προϊόν είναι γνωστό fx = z

Όταν τα έργα fxίδιο ή ίσο με ένα (m = 1), χρησιμοποιείται ο αρμονικός απλός μέσος όρος, που υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου Χ- ξεχωριστές επιλογές

n- αριθμός.

Γεωμετρικό μέσο

Εάν υπάρχουν n αυξητικοί παράγοντες, τότε ο τύπος για τον μέσο συντελεστή είναι:

Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος τύπος.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ίσος με τη ρίζα του βαθμού nαπό το γινόμενο των συντελεστών ανάπτυξης που χαρακτηρίζουν την αναλογία της αξίας κάθε επόμενης περιόδου προς την τιμή της προηγούμενης.

Εάν οι τιμές που εκφράζονται ως τετράγωνες συναρτήσεις υπόκεινται σε μέσο όρο, χρησιμοποιείται το μέσο τετράγωνο της ρίζας. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το μέσο τετράγωνο της ρίζας, μπορείτε να προσδιορίσετε τις διαμέτρους σωλήνων, τροχών κ.λπ.

Το μέσο τετράγωνο του απλού καθορίζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου από τη διαίρεση του αθροίσματος των τετραγώνων των μεμονωμένων τιμών χαρακτηριστικών με τον αριθμό τους.

Το σταθμισμένο μέσο τετράγωνο της ρίζας είναι:

3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι. Λειτουργία και διάμεσος

Για τον χαρακτηρισμό της δομής του στατιστικού πληθυσμού χρησιμοποιούνται δείκτες που καλούνται διαρθρωτικούς μέσους όρους.Αυτά περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Μόδα (Μ σχετικά με ) - η πιο κοινή επιλογή. Μόδακαλείται η τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία αντιστοιχεί στο μέγιστο σημείο της καμπύλης θεωρητικής κατανομής.

Η λειτουργία αντιπροσωπεύει την πιο συχνά εμφανιζόμενη ή τυπική τιμή.

Η μόδα χρησιμοποιείται στην εμπορική πρακτική για τη μελέτη της καταναλωτικής ζήτησης και την καταγραφή των τιμών.

Σε μια διακριτή σειρά, η λειτουργία είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Στη σειρά μεταβολών διαστήματος, η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος, που έχει την υψηλότερη συχνότητα (ιδιαιτερότητα), θεωρείται ο τρόπος λειτουργίας.

Μέσα στο διάστημα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του χαρακτηριστικού, που είναι ο τρόπος.

όπου Χ σχετικά μεείναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.

ηείναι η τιμή του τροπικού διαστήματος.

f mείναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.

f t-1 - συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.

f mΤο +1 είναι η συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.

Η λειτουργία εξαρτάται από το μέγεθος των ομάδων, από την ακριβή θέση των ορίων των ομάδων.

Μόδα- ο αριθμός που εμφανίζεται στην πραγματικότητα πιο συχνά (είναι μια ορισμένη τιμή), στην πράξη έχει την ευρύτερη χρήση (ο πιο κοινός τύπος αγοραστή).

Διάμεσος (Μ μι- αυτή είναι η τιμή που διαιρεί τον αριθμό των διατεταγμένων σειρών παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη: το ένα μέρος έχει τιμές του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού που είναι μικρότερες από τη μέση παραλλαγή και το άλλο είναι μεγάλο.

Διάμεσοςείναι ένα στοιχείο που είναι μεγαλύτερο ή ίσο με και ταυτόχρονα μικρότερο ή ίσο με τα μισά από τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς διανομής.

Η ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή.

Η χρήση του μέσου όρου σάς επιτρέπει να λαμβάνετε πιο ακριβή αποτελέσματα από τη χρήση άλλων μορφών μέσου όρου.

Η σειρά εύρεσης της διάμεσης τιμής στη σειρά παραλλαγής διαστήματος έχει ως εξής: τακτοποιούμε τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού ανά κατάταξη. Προσδιορίστε τις συσσωρευμένες συχνότητες για αυτήν τη σειρά κατάταξης. Σύμφωνα με τις συσσωρευμένες συχνότητες, βρίσκουμε το διάμεσο διάστημα:

όπου x εμέναείναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.

Εγώ Μουείναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.

f/2είναι το μισό άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς.

μικρό Μου-1 είναι το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων που προηγούνται του διάμεσου διαστήματος.

φά Μουείναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.

Η διάμεσος διαιρεί τον αριθμό των σειρών στο μισό, επομένως, είναι όπου η αθροιστική συχνότητα είναι η μισή ή μεγαλύτερη από το ήμισυ του συνολικού αριθμού συχνοτήτων και η προηγούμενη (αθροιστική) συχνότητα είναι μικρότερη από το ήμισυ του αριθμού του πληθυσμού.