Γραφικές εξισώσεις. Γραφική λύση μικτών εξισώσεων

Αν θέλετε να μάθετε πώς να κολυμπάτε, τότε μπείτε με τόλμη στο νερό και αν θέλετε να μάθετε πώς να λύνετε προβλήματα, λύστε τα.

Δ. Πόγια

Η εξίσωσηείναι μια ισότητα που περιέχει ένα ή περισσότερα άγνωστα, υπό την προϋπόθεση ότι η εργασία είναι να βρεθούν εκείνες οι τιμές των αγνώστων για τις οποίες ισχύει.

λύσει την εξίσωση- αυτό σημαίνει εύρεση όλων των τιμών των αγνώστων για τις οποίες μετατρέπεται στη σωστή αριθμητική ισότητα ή διαπίστωση ότι δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές.

Έγκυρο εύροςεξισώσεις (Ο.Δ.Ζ.)είναι το σύνολο όλων εκείνων των τιμών της μεταβλητής (μεταβλητές) για τις οποίες ορίζονται όλες οι εκφράσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

Πολλές εξισώσεις που παρουσιάζονται στην εξέταση λύνονται με τυπικές μεθόδους. Κανείς όμως δεν απαγορεύει τη χρήση κάτι ασυνήθιστο, ακόμα και στις πιο απλές περιπτώσεις.

Έτσι, για παράδειγμα, εξετάστε την εξίσωση 3 – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

Ας το λύσουμε γραφικά, και στη συνέχεια βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των ριζών του αυξημένο κατά έξι φορές.

Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε τις λειτουργίες y=3 – x2και y = 6 / (2 - x)και σχεδιάστε τα γραφήματα τους.

Η συνάρτηση y \u003d 3 - x 2 είναι τετραγωνική.

Ας ξαναγράψουμε αυτή τη λειτουργίαμε τη μορφή y \u003d -x 2 + 3. Η γραφική παράσταση της είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα κάτω (επειδή ένα \u003d -1< 0).

Η κορυφή της παραβολής θα μετατοπιστεί κατά μήκος του άξονα y κατά 3 μονάδες προς τα πάνω. Άρα η συντεταγμένη κορυφής είναι (0; 3).

Για να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης, εξισώνουμε αυτή τη συνάρτηση με μηδέν και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει:

Έτσι, σε σημεία με συντεταγμένες (√3; 0) και (-√3; 0) η παραβολή τέμνει τον άξονα x (Εικ. 1).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 6 / (2 - x) είναι υπερβολή.

Αυτή η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

1) y = 6 / x - αντίστροφη αναλογικότητα. Το γράφημα της συνάρτησης είναι μια υπερβολή. Μπορεί να κατασκευαστεί με σημεία, για αυτό θα συντάξουμε έναν πίνακα τιμών για τα x και y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) - η γραφική παράσταση της συνάρτησης που λαμβάνεται στην παράγραφο 1 εμφανίζεται συμμετρικά ως προς τον άξονα y (Εικ. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) - μετατοπίζουμε το γράφημα που προκύπτει στην παράγραφο 2 κατά μήκος του άξονα x κατά δύο μονάδες προς τα δεξιά (Εικ. 4).

Τώρα ας σχεδιάσουμε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = 3 – x 2 και y = 6 / (2 - x) στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 5).

Το σχήμα δείχνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε τρία σημεία.

Είναι σημαντικό να καταλάβετε ότι η γραφική μέθοδος επίλυσης δεν σας επιτρέπει να βρείτε την ακριβή τιμή της ρίζας. Άρα οι αριθμοί -1; 0; 3 (οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων) είναι μέχρι στιγμής μόνο οι υποτιθέμενες ρίζες της εξίσωσης.

Με έλεγχο θα πειστούμε ότι οι αριθμοί -1. 0; 3 - πραγματικά οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης:

Root -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Ο αριθμητικός τους μέσος όρος:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Ας το αυξήσουμε έξι φορές: 6 2/3 = 4.

Αυτή η εξίσωση, φυσικά, μπορεί να λυθεί με έναν πιο οικείο τρόπο. – αλγεβρικό.

Βρείτε λοιπόν το εξαπλάσιο του μέσου όρου αριθμητικές ρίζεςεξισώσεις 3 – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

Ας ξεκινήσουμε τη λύση της εξίσωσης με την αναζήτηση του Ο.Δ.Ζ. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν πρέπει να είναι μηδέν, επομένως:

Για να λύσουμε την εξίσωση, χρησιμοποιούμε τη βασική ιδιότητα της αναλογίας, έτσι θα απαλλαγούμε από το κλάσμα.

(3 – x 2) (2 - x) = 6.

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας δώσουμε τους ίδιους όρους:

6-3x – 2x2 + x3 = 6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

x(x2 – 2x - 3) = 0.

Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν μόνο όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν, οπότε έχουμε:

x = 0 ή x2 – 2x - 3 = 0.

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση.

x2 – 2x - 3 = 0. Είναι τετράγωνο, οπότε ας χρησιμοποιήσουμε τη διάκριση.

D=4 – 4 (-3) = 16;

x 1 \u003d (2 + 4) / 2 \u003d 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Και οι τρεις ληφθείσες ρίζες ικανοποιούν την Ο.Δ.Ζ.

Επομένως, βρίσκουμε τον αριθμητικό μέσο όρο τους και τον αυξάνουμε έξι φορές:

6 (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Στην πραγματικότητα, η γραφική μέθοδος επίλυσης εξισώσεων χρησιμοποιείται σπάνια. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι γραφική αναπαράστασησυναρτήσεις σας επιτρέπει να λύσετε εξισώσεις μόνο κατά προσέγγιση. Βασικά, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται σε εκείνες τις εργασίες όπου είναι σημαντικό να αναζητήσετε όχι τις ρίζες της ίδιας της εξίσωσης - τις αριθμητικές τους τιμές, αλλά μόνο τον αριθμό τους.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Παρουσίαση και μάθημα με θέμα: "Γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Powers and Roots Συναρτήσεις και γραφήματα

Γραφήματα Τετραγωνικών Συναρτήσεων

Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε πώς να δημιουργήσουμε ένα γράφημα οποιουδήποτε τετραγωνική λειτουργία. Με τη βοήθεια τέτοιων συναρτήσεων, μπορούμε να λύσουμε τις λεγόμενες τετραγωνικές εξισώσεις, οι οποίες σε γενική εικόναγράφονται ως εξής: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ - οποιοιδήποτε αριθμοί, αλλά $a≠0$.
Παιδιά, συγκρίνετε την εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω και αυτή: $y=ax^2+bx+c$.
Είναι σχεδόν πανομοιότυπα. Η διαφορά είναι ότι αντί για $y$ έχουμε γράψει $0$, δηλ. $y=0$. Πώς λοιπόν να λύσετε τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις; Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι να σχεδιάσετε την παραβολή $ax^2+bx+c$ και να βρείτε τα σημεία τομής αυτού του γραφήματος με την ευθεία $y=0$. Υπάρχουν και άλλες λύσεις. Ας τα εξετάσουμε σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Τρόποι επίλυσης τετραγωνικών συναρτήσεων

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $x^2+2x-8=0$.

Λύση.
Μέθοδος 1. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης $y=x^2+2x-8$ και ας βρούμε τα σημεία τομής με την ευθεία $y=0$. Ο συντελεστής στον υψηλότερο βαθμό είναι θετικός, πράγμα που σημαίνει ότι οι κλάδοι της παραβολής κοιτούν προς τα πάνω. Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(v)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Θα πάρουμε το σημείο με τις συντεταγμένες $(-1;-9)$ ως αρχή νέο σύστημασυντεταγμένες και σχεδιάστε την παραβολή $y=x^2$ σε αυτήν.

Βλέπουμε δύο σημεία τομής. Σημειώνονται με μαύρες κουκκίδες στο γράφημα. Λύνουμε την εξίσωση για το x, οπότε πρέπει να επιλέξουμε τα τετμημένα αυτών των σημείων. Είναι ίσα με $-4$ και $2$.
Έτσι, η λύση της τετραγωνικής εξίσωσης $x^2+2x-8=0$ είναι δύο ρίζες:$ x_1=-4$ και $x_2=2$.

Μέθοδος 2. Ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή: $x^2=8-2x$.
Έτσι, μπορούμε να λύσουμε αυτή την εξίσωση με τον συνηθισμένο γραφικό τρόπο, βρίσκοντας τις τετμημένες των σημείων τομής των δύο γραφημάτων $y=x^2$ και $y=8-2x$.
Πήραμε δύο σημεία τομής, τα τετμημένα των οποίων συμπίπτουν με τις λύσεις που ελήφθησαν στην πρώτη μέθοδο, δηλαδή: $x_1=-4$ και $x_2=2$.

Μέθοδος 3.
Ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση σε αυτήν τη μορφή: $x^2-8=-2x$.
Ας φτιάξουμε δύο γραφήματα $y=x^2-8$ και $y=-2x$ και ας βρούμε τα σημεία τομής τους.
Το γράφημα $y=x^2-8$ είναι μια παραβολή μετατοπισμένη προς τα κάτω κατά 8 μονάδες.
Πήραμε δύο σημεία τομής και τα τετμημένα αυτών των σημείων είναι τα ίδια όπως στις δύο προηγούμενες μεθόδους, δηλαδή: $x_1=-4$ και $x_2=2$.

Μέθοδος 4.
Ας επιλέξουμε το πλήρες τετράγωνο στην αρχική εξίσωση: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Ας κατασκευάσουμε δύο γραφήματα συναρτήσεων $y=(x+1)^2$ και $y=9$. Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης είναι μια παραβολή μετατοπισμένη κατά μία μονάδα προς τα αριστερά. Η γραφική παράσταση της δεύτερης συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα x και διέρχεται από την τεταγμένη ίση με $9$.
Για άλλη μια φορά, λήφθηκαν δύο σημεία τομής των γραφημάτων και τα τετμημένα αυτών των σημείων συμπίπτουν με αυτά που ελήφθησαν στις προηγούμενες μεθόδους $x_1=-4$ και $x_2=2$.

Μέθοδος 5.
Διαιρέστε την αρχική εξίσωση με το x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση γραφικά, χτίζουμε δύο γραφήματα $y=x+2$ και $y=\frac(8)(x)$.
Και πάλι, έχουμε δύο σημεία τομής και τα τετμημένα αυτών των σημείων συμπίπτουν με αυτά που ελήφθησαν πάνω από τα $x_1=-4$ και τα $x_2=2$.

Αλγόριθμος για γραφική λύση τετραγωνικών συναρτήσεων

Παιδιά, εξετάσαμε πέντε τρόπους γραφικής επίλυσης τετραγωνικές εξισώσεις. Σε καθεμία από αυτές τις μεθόδους, οι ρίζες των εξισώσεων ήταν ίδιες, πράγμα που σημαίνει ότι η λύση ήταν σωστή.

Βασικοί τρόποι γραφικής επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - οποιοιδήποτε αριθμοί, αλλά $a≠0$:
1. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=ax^2+bx+c$, βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης, που θα είναι η λύση της εξίσωσης.
2. Κατασκευάστε δύο γραφήματα $y=ax^2$ και $y=-bx-c$, βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής αυτών των γραφημάτων.
3. Κατασκευάστε δύο γραφήματα $y=ax^2+c$ και $y=-bx$, βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής αυτών των γραφημάτων. Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης θα είναι παραβολή, μετατοπισμένη είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω, ανάλογα με το πρόσημο του c. Το δεύτερο γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή.
4. Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο, δηλαδή φέρτε την αρχική εξίσωση στη μορφή: $a(x+l)^2+m=0$.
Κατασκευάστε δύο γραφήματα της συνάρτησης $y=a(x+l)^2$ και $y=-m$, βρείτε τα σημεία τομής τους. Το γράφημα της πρώτης συνάρτησης θα είναι μια παραβολή μετατοπισμένη είτε προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά, ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού $l$. Η γραφική παράσταση της δεύτερης συνάρτησης θα είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα x και τέμνουσα τον άξονα y σε σημείο ίσο με $-m$.
5. Διαιρέστε την αρχική εξίσωση με x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Μετατροπή στη μορφή: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Δημιουργήστε ξανά δύο γραφήματα και βρείτε τα σημεία τομής τους. Το πρώτο γράφημα είναι υπερβολή, το δεύτερο γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή. Δυστυχώς, γραφική μέθοδοςΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων δεν είναι πάντα σε ένα καλό δρόμολύσεις. Τα σημεία τομής διαφόρων γραφημάτων δεν είναι πάντα ακέραιοι ή μπορεί να έχουν πολύ μεγάλα νούμεραπου δεν χτίζονται σε κανονικό φύλλο χαρτιού.

Θα δείξουμε όλες αυτές τις μεθόδους πιο ξεκάθαρα με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.
Λύστε την εξίσωση: $x^2+3x-12=0$,

Λύση.
Ας σχεδιάσουμε την παραβολή και ας βρούμε τις συντεταγμένες των κορυφών: $x_(b)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1,5$.
$y_(v)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
Κατά την κατασκευή μιας τέτοιας παραβολής, αμέσως προκύπτουν προβλήματα, για παράδειγμα, για τη σωστή επισήμανση της κορυφής της παραβολής. Για να επισημάνετε με ακρίβεια την τεταγμένη της κορυφής, πρέπει να επιλέξετε ένα κελί ίσο με 0,25 μονάδες κλίμακας. Με αυτήν την κλίμακα, πρέπει να κατεβείτε 35 μονάδες, κάτι που είναι άβολο. Τέλος πάντων, ας φτιάξουμε το πρόγραμμά μας.
Το δεύτερο πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησής μας τέμνει τον άξονα x σε ένα σημείο με συντεταγμένες που δεν μπορούν να προσδιοριστούν με ακρίβεια. Ίσως μια κατά προσέγγιση λύση, αλλά τα μαθηματικά είναι μια ακριβής επιστήμη.
Έτσι, η γραφική μέθοδος δεν είναι η πιο βολική. Επομένως, για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, περισσότερο από καθολική μέθοδοςπου θα μελετήσουμε στα επόμενα μαθήματα.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1. Λύστε την εξίσωση γραφικά (και με τους πέντε τρόπους): $x^2+4x-12=0$.
2. Λύστε την εξίσωση με οποιοδήποτε γραφικό τρόπο: $-x^2+6x+16=0$.

Γραφική λύσηεξισώσεις

Heyday, 2009

Εισαγωγή

Η ανάγκη επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών οικόπεδακαι με χωματουργικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις για περίπου το 2000 π.Χ. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που αναφέρεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, συμπίπτει ουσιαστικά με τα σύγχρονα, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα.

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες.

Αλλά γενικός κανόναςΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των συντελεστών b και c, διατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Το 1591 Φρανσουά Βιέτ εισήγαγε τύπους για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

ΣΤΟ αρχαία Βαβυλώναθα μπορούσε να λύσει ορισμένα είδη δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Διόφαντος Αλεξανδρείας και Ευκλείδης, Αλ-Χουαρίζμικαι Ομάρ Καγιάμέλυσε εξισώσεις με γεωμετρικούς και γραφικούς τρόπους.

Στην 7η τάξη μελετήσαμε συναρτήσεις y \u003d C, y=kx, y =kx+ Μ, y =Χ 2,y = -Χ 2, στην 8η τάξη - y = √Χ, y =|Χ|, y=τσεκούρι2 + bx+ ντο, y =κ/ Χ. Στο εγχειρίδιο άλγεβρας της 9ης δημοτικού, είδα συναρτήσεις που δεν μου ήταν ακόμη γνωστές: y=Χ 3, y=Χ 4,y=Χ 2n, y=Χ- 2n, y= 3√Χ, (Χ– ένα) 2 + (y -σι) 2 = r 2 και άλλοι. Υπάρχουν κανόνες για την κατασκευή γραφημάτων αυτών των συναρτήσεων. Αναρωτιόμουν αν υπάρχουν άλλες λειτουργίες που υπακούουν σε αυτούς τους κανόνες.

Η δουλειά μου είναι να μελετώ γραφήματα συναρτήσεων και να λύνω εξισώσεις γραφικά.

1. Ποιες είναι οι λειτουργίες

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων επίπεδο συντεταγμένων, των οποίων οι τετμημένες είναι ίσες με τις τιμές των ορισμάτων και οι τεταγμένες ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.

Γραμμική συνάρτησηδίνεται από την εξίσωση y=kx+ σι, όπου κκαι σι- κάποιοι αριθμοί. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

Λειτουργία αντίστροφη αναλογικότητα y=κ/ Χ, όπου k ¹ 0. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται υπερβολή.

Λειτουργία (Χ– ένα) 2 + (y -σι) 2 = r2 , όπου ένα, σικαι r- κάποιοι αριθμοί. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι ένας κύκλος ακτίνας r με κέντρο στο σημείο Α ( ένα, σι).

τετραγωνική λειτουργία y= τσεκούρι2 + bx+ ντοόπου ένα,σι, Με- μερικοί αριθμοί και ένα¹ 0. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή.

Η εξίσωση στο2 (ένα– Χ) = Χ2 (ένα+ Χ) . Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης θα είναι μια καμπύλη που ονομάζεται στροφοειδής.

/>Εξίσωση (Χ2 + y2 ) 2 = ένα(Χ2 – y2 ) . Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης ονομάζεται Lemniscate Bernoulli.

Η εξίσωση. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης ονομάζεται αστροειδής.

Καμπύλη (Χ2 y2 – 2 a x)2 =4 α2 (Χ2 +y2 ) . Αυτή η καμπύλη ονομάζεται καρδιοειδές.

Λειτουργίες: y=Χ 3 - κυβική παραβολή, y=Χ 4, y = 1/Χ 2.

2. Η έννοια της εξίσωσης, η γραφική της λύση

Η εξίσωσηείναι μια έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή.

λύσει την εξίσωση- αυτό σημαίνει να βρεις όλες τις ρίζες του ή να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν.

Ρίζα της εξίσωσηςείναι ένας αριθμός που, όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση, παράγει τη σωστή αριθμητική ισότητα.

Επίλυση εξισώσεων γραφικάσας επιτρέπει να βρείτε την ακριβή ή κατά προσέγγιση τιμή των ριζών, σας επιτρέπει να βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

Κατά τη σχεδίαση γραφημάτων και την επίλυση εξισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες μιας συνάρτησης, επομένως η μέθοδος ονομάζεται συχνά συναρτησιακή-γραφική.

Για να λύσουμε την εξίσωση, τη «χωρίζουμε» σε δύο μέρη, εισάγουμε δύο συναρτήσεις, κατασκευάζουμε τα γραφήματα τους, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραφημάτων. Τα τετμημένα αυτών των σημείων είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

3. Αλγόριθμος κατασκευής γραφήματος συνάρτησης

Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=φά(Χ) , μπορείτε να σχεδιάσετε συναρτήσεις y=φά(Χ+ Μ) ,y=φά(Χ)+ μεγάλοκαι y=φά(Χ+ Μ)+ μεγάλο. Όλα αυτά τα γραφήματα λαμβάνονται από το γράφημα της συνάρτησης y=φά(Χ) χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό παράλληλης μετάφρασης: on │ Μ│ κλιμακώστε τις μονάδες προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα x και επάνω │ μεγάλο│ κλιμάκωση μονάδων προς τα πάνω ή προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y.

4. Γραφική λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τετραγωνικής συνάρτησης, θα εξετάσουμε μια γραφική λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή.

Τι γνώριζαν οι αρχαίοι Έλληνες για την παραβολή;

Ο σύγχρονος μαθηματικός συμβολισμός ξεκίνησε τον 16ο αιώνα.

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί μέθοδος συντεταγμένων, δεν υπήρχε η έννοια της συνάρτησης. Ωστόσο, οι ιδιότητες της παραβολής μελετήθηκαν από αυτούς διεξοδικά. Η εφευρετικότητα των αρχαίων μαθηματικών είναι απλά εκπληκτική, γιατί μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν μόνο σχέδια και λεκτικές περιγραφέςεξαρτήσεις.

Οι περισσότεροι εξερεύνησαν πλήρως την παραβολή, την υπερβολή και την έλλειψη Απολλώνιος Πέργας, που έζησε τον 3ο αιώνα π.Χ. Έδωσε επίσης ονόματα σε αυτές τις καμπύλες και υπέδειξε ποιες συνθήκες ικανοποιούν τα σημεία που βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη καμπύλη (εξάλλου, δεν υπήρχαν τύποι!).

Υπάρχει ένας αλγόριθμος για την κατασκευή μιας παραβολής:

Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής Α (x0; y0): Χ=- σι/2 ένα;

y0=aho2+in0+s;

Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (ευθεία x=x0);

PAGE_BREAK--

Σύνταξη πίνακα τιμών για σημεία ελέγχου κτιρίου.

Κατασκευάζουμε τα ληφθέντα σημεία και κατασκευάζουμε σημεία συμμετρικά με αυτά ως προς τον άξονα συμμετρίας.

1. Ας φτιάξουμε μια παραβολή σύμφωνα με τον αλγόριθμο y= Χ2 – 2 Χ– 3 . Τετέμματα σημείων τομής με τον άξονα Χκαι είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ2 – 2 Χ– 3 = 0.

Υπάρχουν πέντε τρόποι για να λυθεί γραφικά αυτή η εξίσωση.

2. Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε δύο συναρτήσεις: y= Χ2 και y= 2 Χ+ 3

3. Ας χωρίσουμε την εξίσωση σε δύο συναρτήσεις: y= Χ2 –3 και y=2 Χ. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με την ευθεία.

4. Μετασχηματίστε την εξίσωση Χ2 – 2 Χ– 3 = 0 με την επισήμανση πλήρες τετράγωνοστις λειτουργίες: y= (Χ–1) 2 και y=4. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με την ευθεία.

5. Διαιρούμε όρο προς όρο και τα δύο μέρη της εξίσωσης Χ2 – 2 Χ– 3 = 0 στο Χ, παίρνουμε Χ– 2 – 3/ Χ= 0 Ας χωρίσουμε αυτή την εξίσωση σε δύο συναρτήσεις: y= Χ– 2, y= 3/ Χ. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας και της υπερβολής.

5. Γραφική λύση εξισώσεων βαθμώνn

Παράδειγμα 1λύσει την εξίσωση Χ5 = 3 – 2 Χ.

y= Χ5 , y= 3 – 2 Χ.

Απάντηση: x = 1.

Παράδειγμα 2λύσει την εξίσωση 3 √ Χ= 10 – Χ.

Ριζωμένος δεδομένη εξίσωσηείναι η τετμημένη του σημείου τομής των γραφημάτων δύο συναρτήσεων: y= 3 √ Χ, y= 10 – Χ.

Απάντηση: x=8.

συμπέρασμα

Λαμβάνοντας υπόψη τα γραφήματα συνάρτησης: y=τσεκούρι2 + bx+ ντο, y =κ/ Χ, y = √Χ, y =|Χ|, y=Χ 3, y=Χ 4,y= 3√Χ, Παρατήρησα ότι όλα αυτά τα γραφήματα είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με τον κανόνα της παράλληλης μετάφρασης σε σχέση με τους άξονες Χκαι y.

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η γραφική μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί και σε εξισώσεις βαθμού n.

Γραφικές μέθοδοιοι λύσεις των εξισώσεων είναι όμορφες και κατανοητές, αλλά δεν δίνουν 100% εγγύηση για τη λύση οποιασδήποτε εξίσωσης. Τα τετμημένα των σημείων τομής των γραφημάτων μπορούν να είναι κατά προσέγγιση.

Στην 9η τάξη και στις ανώτερες τάξεις, θα εξακολουθήσω να εξοικειωθώ με άλλες λειτουργίες. Με ενδιαφέρει να μάθω αν αυτές οι συναρτήσεις υπακούουν στους κανόνες της παράλληλης μετάφρασης κατά τη σχεδίαση των γραφημάτων τους.

Στο του χρόνουΘα ήθελα επίσης να εξετάσω τα ζητήματα της γραφικής επίλυσης συστημάτων εξισώσεων και ανισώσεων.

Βιβλιογραφία

1. Άλγεβρα. 7η τάξη. Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Α.Γ. Μόρντκοβιτς. Μόσχα: Mnemosyne, 2007.

2. Άλγεβρα. 8η τάξη. Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο για εκπαιδευτικά ιδρύματα / Α.Γ. Μόρντκοβιτς. Μόσχα: Mnemosyne, 2007.

3. Άλγεβρα. Βαθμός 9 Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο για εκπαιδευτικά ιδρύματα / Α.Γ. Μόρντκοβιτς. Μόσχα: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. VII-VIII τάξεις. – Μ.: Διαφωτισμός, 1982.

5. Περιοδικό Μαθηματικά №5 2009; Νο. 8 2007; Νο. 23 2008.

6. Γραφική λύση εξισώσεων Ιστοσελίδες Διαδικτύου: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

>>Μαθηματικά: Γραφική λύση εξισώσεων

Γραφική λύση εξισώσεων

Ας συνοψίσουμε τις γνώσεις μας για διαγράμματαλειτουργίες. Μάθαμε πώς να σχεδιάζουμε τις παρακάτω συναρτήσεις:

y \u003d b (ευθεία γραμμή, παράλληλη προς τον άξονα x).

y = kx (ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή).

y - kx + m (ευθεία γραμμή);

y \u003d x 2 (παραβολή).

Η γνώση αυτών των γραφημάτων θα μας επιτρέψει, εάν είναι απαραίτητο, να αντικαταστήσουμε το αναλυτικό μοντέλογεωμετρικό (γραφικό), για παράδειγμα, αντί για το μοντέλο y \u003d x 2 (που είναι μια ισότητα με δύο μεταβλητές x και y), θεωρήστε μια παραβολή στο επίπεδο συντεταγμένων. Ειδικότερα, μερικές φορές είναι χρήσιμο για την επίλυση εξισώσεων. Ας συζητήσουμε πώς γίνεται αυτό με μερικά παραδείγματα.

A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα

Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης για το σπίτι ρητορικές ερωτήσειςαπό μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, παραβολές κόμικς, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περιπετειώδη cheat sheets σχολικά βιβλία βασικά και πρόσθετο γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τεμαχίου στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματα ημερολογιακό σχέδιογια έναν χρόνο Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Έστω μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση: A*x2+B*x+C=0, όπου Α, Β και Γ είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, και το Α δεν είναι ίσο με μηδέν. Αυτή είναι η γενική περίπτωση μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Υπάρχει επίσης μια μειωμένη μορφή όπου Α=1. Για να λύσετε γραφικά οποιαδήποτε εξίσωση, πρέπει να μετακινήσετε τον όρο με τον υψηλότερο βαθμό σε άλλο μέρος και να εξισώσετε και τα δύο μέρη σε κάποια μεταβλητή.

Μετά από αυτό, το A*x2 θα παραμείνει στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και το B*x-C στη δεξιά πλευρά (μπορούμε να υποθέσουμε ότι B - ένας αρνητικός αριθμός, δεν αλλάζει την ουσία). Παίρνουμε την εξίσωση A*x2=B*x-C=y. Για λόγους σαφήνειας, σε αυτήν την περίπτωση, και τα δύο μέρη εξισώνονται με τη μεταβλητή y.

Αποτελέσματα σχεδίασης και επεξεργασίας

Τώρα μπορούμε να γράψουμε δύο εξισώσεις: y=A*x2 και y=B*x-C. Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσετε καθεμία από αυτές τις συναρτήσεις. Η γραφική παράσταση y=A*x2 είναι μια παραβολή με κορυφή στην αρχή, της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού Α. Αν είναι αρνητικό, οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω, αν είναι θετικός - προς τα πάνω .

Το γράφημα y=B*x-C είναι μια κανονική ευθεία γραμμή. Αν C=0, η ευθεία διέρχεται από την αρχή. ΣΤΟ γενική περίπτωσηαποκόπτει από τον άξονα τεταγμένων ένα τμήμα ίσο με C. Η γωνία κλίσης αυτής της ευθείας σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης καθορίζεται από τον συντελεστή Β. ίσο με την εφαπτομένηκλίση αυτής της γωνίας.

Αφού κατασκευαστούν τα γραφήματα, θα φανεί ότι τέμνονται σε δύο σημεία. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων κατά μήκος της τετμημένης καθορίζουν τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Για το δικό τους ακριβής ορισμόςπρέπει να δημιουργήσετε ξεκάθαρα γραφήματα και να επιλέξετε τη σωστή κλίμακα.

Άλλη μια γραφική λύση

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να λύσετε γραφικά μια τετραγωνική εξίσωση. Δεν είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το B*x+C στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Μπορείτε να σχεδιάσετε αμέσως τη συνάρτηση y=A*x2+B*x+C. Αυτό το γράφημα είναι μια παραβολή με κορυφή στο αυθαίρετο σημείο. Αυτή η μέθοδος είναι πιο περίπλοκη από την προηγούμενη, αλλά μπορείτε να δημιουργήσετε μόνο ένα γράφημα έτσι.

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε την κορυφή της παραβολής με συντεταγμένες x0 και y0. Η τετμημένη του υπολογίζεται με τον τύπο x0=-B/2*a. Για να προσδιορίσετε την τεταγμένη, πρέπει να αντικαταστήσετε την λαμβανόμενη τιμή της τετμημένης στην αρχική συνάρτηση. Μαθηματικά, αυτή η πρόταση γράφεται ως εξής: y0=y(x0).

Τότε πρέπει να βρείτε δύο σημεία συμμετρικά με τον άξονα της παραβολής. Σε αυτά, η αρχική λειτουργία πρέπει να εξαφανιστεί. Μετά από αυτό, μπορείτε να φτιάξετε μια παραβολή. Τα σημεία τομής του με τον άξονα Χ θα δώσουν δύο ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης.