Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου: μέσω διαμέτρου και ακτίνας. Ορολογία, βασικοί τύποι και χαρακτηριστικά του σχήματος

§ 117. Περιφέρεια και εμβαδόν κύκλου.

1. Περιφέρεια.Κύκλος είναι μια κλειστή επίπεδη καμπύλη γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από ένα σημείο (Ο), που ονομάζεται κέντρο του κύκλου (Εικ. 27).

Ο κύκλος σχεδιάζεται με πυξίδα. Για να γίνει αυτό, το αιχμηρό πόδι της πυξίδας τοποθετείται στο κέντρο και το άλλο (με ένα μολύβι) περιστρέφεται γύρω από το πρώτο μέχρι το τέλος του μολυβιού να τραβήξει έναν πλήρη κύκλο. Η απόσταση από το κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο του κύκλου ονομάζεται της ακτίνα κύκλου.Από τον ορισμό προκύπτει ότι όλες οι ακτίνες ενός κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία ενός κύκλου και διέρχεται από το κέντρο του ονομάζεται διάμετρος. Όλες οι διάμετροι ενός κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους. η διάμετρος είναι ίση με δύο ακτίνες.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου; Σε ορισμένες σχεδόν περιπτώσεις, η περιφέρεια μπορεί να βρεθεί με άμεση μέτρηση. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση της περιφέρειας σχετικά μικρών αντικειμένων (κουβάς, γυαλί κ.λπ.). Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια μεζούρα, πλεξούδα ή κορδόνι.

Στα μαθηματικά χρησιμοποιείται η τεχνική του έμμεσου προσδιορισμού της περιφέρειας. Συνίσταται στον υπολογισμό χρησιμοποιώντας έναν έτοιμο τύπο, τον οποίο θα εξαγάγουμε τώρα.

Αν πάρουμε πολλά μεγάλα και μικρά στρογγυλά αντικείμενα (νόμισμα, γυαλί, κουβάς, βαρέλι κ.λπ.) και μετρήσουμε την περιφέρεια και τη διάμετρο καθενός από αυτά, θα πάρουμε δύο αριθμούς για κάθε αντικείμενο (ένας που μετρά την περιφέρεια και ένας άλλος είναι ο μήκος της διαμέτρου). Φυσικά, για μικρά αντικείμενα αυτοί οι αριθμοί θα είναι μικροί και για μεγάλα - μεγάλοι.

Ωστόσο, αν σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις πάρουμε την αναλογία των δύο αριθμών που προέκυψαν (περιφέρεια και διάμετρος), τότε με προσεκτική μέτρηση θα βρούμε σχεδόν τον ίδιο αριθμό. Ας υποδηλώσουμε την περιφέρεια του κύκλου με το γράμμα ΜΕ, μήκος γράμματος διαμέτρου ρε, τότε η αναλογία τους θα μοιάζει CD. Οι πραγματικές μετρήσεις συνοδεύονται πάντα από αναπόφευκτες ανακρίβειες. Αλλά, έχοντας ολοκληρώσει το υποδεικνυόμενο πείραμα και κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, παίρνουμε την αναλογία CDπερίπου οι ακόλουθοι αριθμοί: 3.13; 3.14; 3.15. Αυτοί οι αριθμοί διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους.

Στα μαθηματικά, μέσα από θεωρητικές σκέψεις, έχει διαπιστωθεί ότι η επιθυμητή αναλογία CDδεν αλλάζει ποτέ και ισούται με ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα, η κατά προσέγγιση τιμή του οποίου, ακριβής στα δέκα χιλιοστά, είναι ίση με 3,1416 . Αυτό σημαίνει ότι κάθε κύκλος έχει τον ίδιο αριθμό φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρό του. Αυτός ο αριθμός συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (πι). Τότε ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο θα γραφεί ως εξής: CD = π . Θα περιορίσουμε αυτόν τον αριθμό μόνο στα εκατοστά, δηλαδή θα πάρουμε π = 3,14.

Ας γράψουμε έναν τύπο για τον προσδιορισμό της περιφέρειας.

Επειδή CD= π , Οτι

ντο = πD

δηλαδή η περιφέρεια είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού π ανά διάμετρο.

Εργασία 1.Βρείτε την περιφέρεια ( ΜΕ) ενός στρογγυλού δωματίου εάν η διάμετρός του είναι ρε= 5,5 μ.

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, πρέπει να αυξήσουμε τη διάμετρο κατά 3,14 φορές για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Εργασία 2.Βρείτε την ακτίνα ενός τροχού του οποίου η περιφέρεια είναι 125,6 cm.

Αυτή η εργασία είναι η αντίστροφη από την προηγούμενη. Ας βρούμε τη διάμετρο του τροχού:

125,6: 3,14 = 40 (cm).

Ας βρούμε τώρα την ακτίνα του τροχού:

40: 2 = 20 (cm).

2. Περιοχή κύκλου.Για να προσδιοριστεί το εμβαδόν ενός κύκλου, θα μπορούσε κανείς να σχεδιάσει έναν κύκλο συγκεκριμένης ακτίνας σε χαρτί, να τον καλύψει με διαφανές καρό χαρτί και μετά να μετρήσει τα κελιά μέσα στον κύκλο (Εικ. 28).

Αλλά αυτή η μέθοδος είναι άβολη για πολλούς λόγους. Πρώτον, κοντά στο περίγραμμα του κύκλου, λαμβάνεται ένας αριθμός ημιτελών κυψελών, το μέγεθος των οποίων είναι δύσκολο να κριθεί. Δεύτερον, δεν μπορείτε να καλύψετε ένα μεγάλο αντικείμενο (ένα στρογγυλό παρτέρι, μια πισίνα, ένα σιντριβάνι κ.λπ.) με ένα φύλλο χαρτιού. Τρίτον, έχοντας μετρήσει τα κελιά, δεν λαμβάνουμε ακόμα κανένα κανόνα που να μας επιτρέπει να λύσουμε ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα. Εξαιτίας αυτού, θα ενεργήσουμε διαφορετικά. Ας συγκρίνουμε τον κύκλο με κάποια γνωστή σε εμάς φιγούρα και ας το κάνουμε ως εξής: κόψτε έναν κύκλο από χαρτί, κόψτε τον στη μέση πρώτα κατά μήκος της διαμέτρου, μετά κόψτε κάθε μισό στη μέση, κάθε τέταρτο στη μέση κ.λπ., μέχρι να κόψουμε ο κύκλος, για παράδειγμα, σε 32 μέρη σε σχήμα δοντιών (Εικ. 29).

Στη συνέχεια τα διπλώνουμε όπως φαίνεται στο Σχήμα 30, δηλαδή πρώτα τακτοποιούμε 16 δόντια σε μορφή πριονιού και μετά βάζουμε 15 δόντια στις τρύπες που προκύπτουν και, τέλος, κόβουμε το τελευταίο δόντι που απομένει στη μέση κατά μήκος της ακτίνας και συνδέστε το ένα μέρος στα αριστερά, το άλλο - στα δεξιά. Τότε θα πάρετε μια φιγούρα που μοιάζει με ορθογώνιο.

Το μήκος αυτού του σχήματος (βάσης) είναι περίπου ίσο με το μήκος του ημικυκλίου και το ύψος είναι περίπου ίσο με την ακτίνα. Στη συνέχεια, η περιοχή ενός τέτοιου σχήματος μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που εκφράζουν το μήκος του ημικυκλίου και το μήκος της ακτίνας. Αν υποδηλώσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με το γράμμα μικρό, η περιφέρεια ενός γράμματος ΜΕ, γράμμα ακτίνας r, τότε μπορούμε να γράψουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός κύκλου:

που έχει ως εξής: Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το μήκος του ημικυκλίου πολλαπλασιαζόμενο με την ακτίνα.

Εργο.Βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι 4 εκ. Βρείτε πρώτα το μήκος του κύκλου, μετά το μήκος του ημικυκλίου και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το με την ακτίνα.

1) Περιφέρεια ΜΕ = π ρε= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Μήκος ημικύκλου ντο / 2 = 25,12: 2 = 12,56 (cm).

3) Εμβαδόν του κύκλου S = ντο / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (τετρ. εκ.).

§ 118. Επιφάνεια και όγκος κυλίνδρου.

Εργασία 1.Βρείτε τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου του οποίου η διάμετρος βάσης είναι 20,6 cm και το ύψος 30,5 cm.

Τα παρακάτω έχουν σχήμα κυλίνδρου (Εικ. 31): ένας κουβάς, ένα ποτήρι (όχι πολυεπίπεδο), μια κατσαρόλα και πολλά άλλα αντικείμενα.

Η πλήρης επιφάνεια ενός κυλίνδρου (όπως η πλήρης επιφάνεια ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου) αποτελείται από μια πλευρική επιφάνεια και τις περιοχές δύο βάσεων (Εικ. 32).

Για να φανταστείτε ξεκάθαρα τι μιλάμε, πρέπει να φτιάξετε προσεκτικά ένα μοντέλο κυλίνδρου από χαρτί. Εάν αφαιρέσουμε δύο βάσεις από αυτό το μοντέλο, δηλαδή δύο κύκλους, και κόψουμε την πλαϊνή επιφάνεια κατά μήκος και την ξεδιπλώσουμε, τότε θα είναι απολύτως σαφές πώς να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου. Η πλευρική επιφάνεια θα ξεδιπλωθεί σε ένα ορθογώνιο, η βάση του οποίου είναι ίση με το μήκος του κύκλου. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα θα μοιάζει με αυτό:

1) Περιφέρεια: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Πλάγια επιφάνεια: 64.684 30.5 = 1972.862 (cm2).

3) Εμβαδόν μιας βάσης: 32.342 10.3 = 333.1226 (τ.εκ.).

4) Πλήρης επιφάνεια κυλίνδρου:

1972.862 + 333.1226 + 333.1226 = 2639.1072 (τετρ. cm) ≈ 2639 (τετρ. cm).

Εργασία 2.Βρείτε τον όγκο μιας σιδερένιας κάννης σε σχήμα κυλίνδρου με διαστάσεις: διάμετρος βάσης 60 cm και ύψος 110 cm.

Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός κυλίνδρου, πρέπει να θυμάστε πώς υπολογίσαμε τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου (είναι χρήσιμο να διαβάσετε την § 61).

Η μονάδα μέτρησης όγκου μας θα είναι κυβικό εκατοστό. Πρώτα πρέπει να μάθετε πόσα κυβικά εκατοστά μπορούν να τοποθετηθούν στην περιοχή βάσης και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμό που βρέθηκε με το ύψος.

Για να μάθετε πόσα κυβικά εκατοστά μπορούν να τοποθετηθούν στην περιοχή βάσης, πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή βάσης του κυλίνδρου. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένας κύκλος, πρέπει να βρείτε την περιοχή του κύκλου. Στη συνέχεια, για να προσδιορίσετε τον όγκο, πολλαπλασιάστε τον με το ύψος. Η λύση στο πρόβλημα έχει τη μορφή:

1) Περιφέρεια: 60 3,14 = 188,4 (cm).

2) Εμβαδόν του κύκλου: 94,2 30 = 2826 (τετρ. cm).

3) Όγκος κυλίνδρου: 2826.110 = 310.860 (κ.εκ. εκ.).

Απάντηση. Όγκος κάννης 310,86 κυβικά μέτρα. dm.

Αν συμβολίσουμε τον όγκο ενός κυλίνδρου με το γράμμα V, περιοχή βάσης μικρό, ύψος κυλίνδρου H, τότε μπορείτε να γράψετε έναν τύπο για τον προσδιορισμό του όγκου ενός κυλίνδρου:

V = S H

που έχει ως εξής: Ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι ίσος με το εμβαδόν της βάσης πολλαπλασιαζόμενο επί το ύψος.

§ 119. Πίνακες υπολογισμού περιφέρειας κύκλου κατά διάμετρο.

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων παραγωγής, είναι συχνά απαραίτητος ο υπολογισμός της περιφέρειας. Ας φανταστούμε έναν εργάτη που παράγει στρογγυλά μέρη σύμφωνα με τις διαμέτρους που του καθορίζονται. Κάθε φορά που γνωρίζει τη διάμετρο, πρέπει να υπολογίζει την περιφέρεια. Για να κερδίσει χρόνο και να ασφαλιστεί από λάθη, στρέφεται σε έτοιμους πίνακες που αναγράφουν τις διαμέτρους και τα αντίστοιχα μήκη περιφέρειας.

Θα παρουσιάσουμε ένα μικρό μέρος τέτοιων πινάκων και θα σας πούμε πώς να τους χρησιμοποιήσετε.

Ας γίνει γνωστό ότι η διάμετρος του κύκλου είναι 5 μ. Κοιτάμε στον πίνακα στην κάθετη στήλη κάτω από το γράμμα ρεαριθμός 5. Αυτό είναι το μήκος της διαμέτρου. Δίπλα σε αυτόν τον αριθμό (στα δεξιά, στη στήλη που ονομάζεται "Περιφέρεια") θα δούμε τον αριθμό 15.708 (m). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι αν ρε= 10 cm, τότε η περιφέρεια είναι 31.416 cm.

Χρησιμοποιώντας τους ίδιους πίνακες, μπορείτε επίσης να εκτελέσετε αντίστροφους υπολογισμούς. Εάν η περιφέρεια ενός κύκλου είναι γνωστή, τότε η αντίστοιχη διάμετρος μπορεί να βρεθεί στον πίνακα. Έστω η περιφέρεια περίπου 34,56 εκ. Ας βρούμε στον πίνακα τον πλησιέστερο σε αυτό αριθμό. Αυτό θα είναι 34.558 (διαφορά 0.002). Η διάμετρος που αντιστοιχεί σε αυτή την περιφέρεια είναι περίπου 11 cm.

Οι πίνακες που αναφέρονται εδώ είναι διαθέσιμοι σε διάφορα βιβλία αναφοράς. Συγκεκριμένα, βρίσκονται στο βιβλίο «Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες» του V. M. Bradis. και στο βιβλίο αριθμητικών προβλημάτων των S. A. Ponomarev και N. I. Sirneva.

Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, της οποίας όλα τα σημεία βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο. Αυτό το σχήμα είναι επίπεδο. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα, το ερώτημα του οποίου είναι πώς να βρείτε την περιφέρεια, είναι αρκετά απλή. Θα εξετάσουμε όλες τις διαθέσιμες μεθόδους στο σημερινό άρθρο.

Περιγραφές σχημάτων

Εκτός από έναν αρκετά απλό περιγραφικό ορισμό, υπάρχουν τρία ακόμη μαθηματικά χαρακτηριστικά ενός κύκλου, τα οποία από μόνα τους περιέχουν την απάντηση στο ερώτημα πώς να βρείτε την περιφέρεια:

• Αποτελείται από τα σημεία Α και Β και όλα τα άλλα από τα οποία το ΑΒ φαίνεται σε ορθή γωνία. Η διάμετρος αυτού του σχήματος είναι ίση με το μήκος του υπό εξέταση τμήματος.
• Περιλαμβάνει μόνο εκείνα τα σημεία Χ έτσι ώστε η αναλογία ΑΧ/ΒΧ να είναι σταθερή και όχι ίση με ένα. Αν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε δεν είναι κύκλος.
• Αποτελείται από σημεία, για καθένα από τα οποία ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων προς τα άλλα δύο είναι μια δεδομένη τιμή, η οποία είναι πάντα περισσότερο από το μισό μήκος του τμήματος μεταξύ τους.

Ορολογία

Δεν είχαν όλοι στο σχολείο καλό δάσκαλο μαθηματικών. Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα πώς να βρείτε την περιφέρεια περιπλέκεται περαιτέρω από το γεγονός ότι δεν γνωρίζουν όλοι τις βασικές γεωμετρικές έννοιες. Η ακτίνα είναι ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο ενός σχήματος με ένα σημείο της καμπύλης. Ειδική περίπτωση στην τριγωνομετρία είναι ο μοναδιαίος κύκλος. Μια χορδή είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε μια καμπύλη. Για παράδειγμα, το ήδη συζητημένο AB εμπίπτει σε αυτόν τον ορισμό. Η διάμετρος είναι η χορδή που διέρχεται από το κέντρο. Ο αριθμός π είναι ίσος με το μήκος ενός μοναδιαίου ημικυκλίου.

Βασικοί τύποι

Οι ορισμοί ακολουθούν απευθείας γεωμετρικούς τύπους που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τα κύρια χαρακτηριστικά ενός κύκλου:

1. Το μήκος είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π και της διαμέτρου. Ο τύπος συνήθως γράφεται ως εξής: C = π*D.
2. Η ακτίνα είναι ίση με το ήμισυ της διαμέτρου. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί με τον υπολογισμό του πηλίκου της διαίρεσης της περιφέρειας με το διπλάσιο του αριθμού π. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: R = C/(2* π) = D/2.
3. Η διάμετρος είναι ίση με το πηλίκο της περιφέρειας διαιρούμενο με το π ή δύο φορές την ακτίνα. Ο τύπος είναι αρκετά απλός και μοιάζει με αυτό: D = C/π = 2*R.
4. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του π και το τετράγωνο της ακτίνας. Ομοίως, η διάμετρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτόν τον τύπο. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν θα είναι ίσο με το πηλίκο του γινομένου του π και το τετράγωνο της διαμέτρου διαιρούμενο με το τέσσερα. Ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως εξής: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου κατά διάμετρο

Για απλότητα της εξήγησης, ας υποδηλώσουμε με γράμματα τα χαρακτηριστικά του αριθμού που είναι απαραίτητα για τον υπολογισμό. Έστω C το επιθυμητό μήκος, D η διάμετρός του και π περίπου ίση με 3,14. Εάν έχουμε μόνο μία γνωστή ποσότητα, τότε το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί λυμένο. Γιατί είναι απαραίτητο αυτό στη ζωή; Ας υποθέσουμε ότι αποφασίσαμε να περιβάλουμε μια στρογγυλή πισίνα με φράχτη. Πώς να υπολογίσετε τον απαιτούμενο αριθμό στηλών; Και εδώ έρχεται στη διάσωση η ικανότητα υπολογισμού της περιφέρειας. Ο τύπος έχει ως εξής: C = π D. Στο παράδειγμά μας, η διάμετρος προσδιορίζεται με βάση την ακτίνα της πισίνας και την απαιτούμενη απόσταση από τον φράχτη. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η τεχνητή λίμνη του σπιτιού μας έχει πλάτος 20 μέτρα και πρόκειται να τοποθετήσουμε τους στύλους σε απόσταση δέκα μέτρων από αυτήν. Η διάμετρος του κύκλου που προκύπτει είναι 20 + 10 * 2 = 40 μ. Το μήκος είναι 3,14 * 40 = 125,6 μέτρα. Θα χρειαστούμε 25 στύλους αν το κενό μεταξύ τους είναι περίπου 5 μέτρα.

Μήκος διαμέσου της ακτίνας

Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε αντιστοιχίζοντας γράμματα στα χαρακτηριστικά του κύκλου. Στην πραγματικότητα, είναι καθολικές, επομένως οι μαθηματικοί από διαφορετικές χώρες δεν χρειάζεται απαραίτητα να γνωρίζουν ο ένας τη γλώσσα του άλλου. Ας υποθέσουμε ότι C είναι η περιφέρεια του κύκλου, r είναι η ακτίνα του και το π είναι περίπου ίσο με 3,14. Ο τύπος σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με αυτό: C = 2*π*r. Προφανώς, αυτή είναι μια απολύτως σωστή εξίσωση. Όπως έχουμε ήδη καταλάβει, η διάμετρος ενός κύκλου είναι ίση με το διπλάσιο της ακτίνας του, οπότε αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτόν. Στη ζωή, αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης συχνά να είναι χρήσιμη. Για παράδειγμα, ψήνουμε ένα κέικ σε ειδική συρόμενη φόρμα. Για να μην λερωθεί, χρειαζόμαστε ένα διακοσμητικό περιτύλιγμα. Αλλά πώς να κόψετε έναν κύκλο του απαιτούμενου μεγέθους. Εδώ έρχονται να σώσουν τα μαθηματικά. Όσοι ξέρουν πώς να μάθουν την περιφέρεια ενός κύκλου θα πουν αμέσως ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό π με το διπλάσιο της ακτίνας του σχήματος. Εάν η ακτίνα του είναι 25 εκατοστά, τότε το μήκος θα είναι 157 εκατοστά.

Δείγματα προβλημάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει αρκετές πρακτικές περιπτώσεις της γνώσης που αποκτήσαμε για το πώς να ανακαλύψουμε την περιφέρεια ενός κύκλου. Συχνά όμως δεν μας απασχολούν αυτά, αλλά για τα πραγματικά μαθηματικά προβλήματα που περιέχονται στο σχολικό βιβλίο. Άλλωστε ο δάσκαλος τους δίνει πόντους! Ας δούμε λοιπόν ένα πιο σύνθετο πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι η περιφέρεια του κύκλου είναι 26 εκ. Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός τέτοιου σχήματος;

Παράδειγμα λύσης

Αρχικά, ας γράψουμε τι μας δίνεται: C = 26 cm, π = 3,14. Θυμηθείτε επίσης τον τύπο: C = 2* π*R. Από αυτό μπορείτε να εξαγάγετε την ακτίνα του κύκλου. Έτσι, R= C/2/π. Τώρα ας προχωρήσουμε στον πραγματικό υπολογισμό. Αρχικά, διαιρέστε το μήκος με δύο. Παίρνουμε 13. Τώρα πρέπει να διαιρέσουμε με την τιμή του αριθμού π: 13/3,14 = 4,14 εκ. Είναι σημαντικό να μην ξεχάσουμε να γράψουμε σωστά την απάντηση, δηλαδή με μονάδες μέτρησης, διαφορετικά ολόκληρη η πρακτική σημασία του τέτοια προβλήματα χάνονται. Επιπλέον, για μια τέτοια απροσεξία μπορείτε να λάβετε έναν βαθμό χαμηλότερο. Και όσο ενοχλητικό κι αν είναι, θα πρέπει να ανεχτείς αυτή την κατάσταση.

Το θηρίο δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο είναι ζωγραφισμένο

Έχουμε λοιπόν αντιμετωπίσει ένα τόσο δύσκολο έργο με την πρώτη ματιά. Όπως αποδεικνύεται, πρέπει απλώς να κατανοήσετε την έννοια των όρων και να θυμάστε μερικούς απλούς τύπους. Τα μαθηματικά δεν είναι τόσο τρομακτικά, απλά πρέπει να καταβάλετε λίγη προσπάθεια. Η γεωμετρία λοιπόν σας περιμένει!

1. Πιο δύσκολο να βρεθεί περιφέρεια μέσω διαμέτρου, οπότε ας δούμε πρώτα αυτήν την επιλογή.

Παράδειγμα: Βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου με διάμετρο 6 cm. Χρησιμοποιούμε τον παραπάνω τύπο περιφέρειας κύκλου, αλλά πρώτα πρέπει να βρούμε την ακτίνα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τη διάμετρο των 6 cm με 2 και παίρνουμε την ακτίνα του κύκλου 3 cm.

Μετά από αυτό, όλα είναι εξαιρετικά απλά: Πολλαπλασιάστε τον αριθμό Pi με 2 και με την προκύπτουσα ακτίνα 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Τώρα ας δούμε ξανά την απλή επιλογή βρείτε την περιφέρεια του κύκλου, η ακτίνα είναι 5 cm

Λύση: Πολλαπλασιάστε την ακτίνα των 5 cm επί 2 και πολλαπλασιάστε με 3,14. Μην ανησυχείτε, γιατί η αναδιάταξη των πολλαπλασιαστών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα και τύπος περιφέρειαςμπορεί να χρησιμοποιηθεί με οποιαδήποτε σειρά.

5cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - αυτή είναι η περιφέρεια που βρέθηκε για ακτίνα 5 cm!

Online αριθμομηχανή περιφέρειας

Η αριθμομηχανή περιφέρειας μας θα εκτελέσει όλους αυτούς τους απλούς υπολογισμούς αμέσως και θα γράψει τη λύση σε μια γραμμή και με σχόλια. Θα υπολογίσουμε την περιφέρεια για μια ακτίνα 3, 5, 6, 8 ή 1 cm ή η διάμετρος είναι 4, 10, 15, 20 dm· η αριθμομηχανή μας δεν ενδιαφέρεται για ποια τιμή ακτίνας θα βρει την περιφέρεια.

Όλοι οι υπολογισμοί θα είναι ακριβείς, ελεγμένοι από ειδικούς μαθηματικούς. Τα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση σχολικών προβλημάτων στη γεωμετρία ή στα μαθηματικά, καθώς και σε υπολογισμούς εργασίας στην κατασκευή ή στην επισκευή και διακόσμηση χώρων, όταν απαιτούνται ακριβείς υπολογισμοί χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο.

Έτσι, η περιφέρεια ( ντο) μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας τη σταθερά π ανά διάμετρο ( ρε), ή πολλαπλασιάζοντας π διπλάσια της ακτίνας, αφού η διάμετρος είναι ίση με δύο ακτίνες. Ως εκ τούτου, τύπος περιφέρειαςθα μοιάζει με αυτό:

ντο = πD = 2πR

Οπου ντο- περιφέρεια, π - σταθερό, ρε- διάμετρος κύκλου, R- ακτίνα του κύκλου.

Δεδομένου ότι ένας κύκλος είναι το όριο ενός κύκλου, η περιφέρεια ενός κύκλου μπορεί επίσης να ονομαστεί μήκος κύκλου ή περίμετρος κύκλου.

Προβλήματα περιφέρειας

Εργασία 1.Βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου αν η διάμετρός του είναι 5 cm.

Αφού η περιφέρεια είναι ίση με π πολλαπλασιαζόμενο με τη διάμετρο, τότε το μήκος ενός κύκλου με διάμετρο 5 cm θα είναι ίσο με:

ντο≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Εργασία 2.Να βρείτε το μήκος ενός κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι 3,5 m.

Αρχικά, βρείτε τη διάμετρο του κύκλου πολλαπλασιάζοντας το μήκος της ακτίνας επί 2:

ρε= 3,5 2 = 7 (m)

Τώρα ας βρούμε την περιφέρεια πολλαπλασιάζοντας π ανά διάμετρο:

ντο≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Εργασία 3.Να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου μήκους 7,85 m.

Για να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου με βάση το μήκος του, πρέπει να διαιρέσετε την περιφέρεια με το 2 π

Περιοχή κύκλου

Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π ανά τετραγωνική ακτίνα. Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός κύκλου:

μικρό = πr 2

Οπου μικρόείναι το εμβαδόν του κύκλου και r- ακτίνα του κύκλου.

Δεδομένου ότι η διάμετρος ενός κύκλου είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα, η ακτίνα είναι ίση με τη διάμετρο διαιρούμενη με το 2:

Προβλήματα που αφορούν την περιοχή ενός κύκλου

Εργασία 1.Βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου αν η ακτίνα του είναι 2 cm.

Αφού το εμβαδόν ενός κύκλου είναι π πολλαπλασιαζόμενο με την ακτίνα στο τετράγωνο, τότε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα 2 cm θα είναι ίσο με:

μικρό≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Εργασία 2.Βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου αν η διάμετρός του είναι 7 cm.

Αρχικά, βρείτε την ακτίνα του κύκλου διαιρώντας τη διάμετρό του με το 2:

7:2=3,5(cm)

Τώρα ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του κύκλου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

μικρό = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο. Αντί να βρείτε πρώτα την ακτίνα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κύκλου χρησιμοποιώντας τη διάμετρο:

μικρό = π	ρε 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	= 38.465 (cm 2)
	4		4		4		4

Εργασία 3.Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αν το εμβαδόν του είναι 12,56 m2.

Για να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου από την περιοχή του, πρέπει να διαιρέσετε την περιοχή του κύκλου π , και μετά πάρτε την τετραγωνική ρίζα του αποτελέσματος:

r = √μικρό : π

επομένως η ακτίνα θα είναι ίση με:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Αριθμός π

Η περιφέρεια των αντικειμένων που μας περιβάλλουν μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας μια μεζούρα ή σχοινί (νήμα), το μήκος του οποίου μπορεί στη συνέχεια να μετρηθεί ξεχωριστά. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η μέτρηση της περιφέρειας είναι δύσκολη ή πρακτικά αδύνατη, για παράδειγμα, η εσωτερική περιφέρεια ενός μπουκαλιού ή απλά η περιφέρεια ενός κύκλου που σχεδιάζεται σε χαρτί. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορείτε να υπολογίσετε την περιφέρεια ενός κύκλου εάν γνωρίζετε το μήκος της διαμέτρου ή της ακτίνας του.

Για να καταλάβουμε πώς μπορεί να γίνει αυτό, ας πάρουμε πολλά στρογγυλά αντικείμενα των οποίων η περιφέρεια και η διάμετρος μπορούν να μετρηθούν. Ας υπολογίσουμε την αναλογία μήκους προς διάμετρο και ως αποτέλεσμα παίρνουμε την ακόλουθη σειρά αριθμών:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μια σταθερή τιμή για κάθε μεμονωμένο κύκλο και για όλους τους κύκλους στο σύνολό τους. Αυτή η σχέση υποδηλώνεται με το γράμμα π .

Χρησιμοποιώντας αυτή τη γνώση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακτίνα ή τη διάμετρο ενός κύκλου για να βρείτε το μήκος του. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα 3 cm, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ακτίνα επί 2 (έτσι παίρνουμε τη διάμετρο) και να πολλαπλασιάσετε τη διάμετρο που προκύπτει με π . Ως αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας τον αριθμό π Μάθαμε ότι το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα 3 cm είναι 18,84 cm.

Ένας κύκλος είναι μια καμπύλη γραμμή που περικλείει έναν κύκλο. Στη γεωμετρία, τα σχήματα είναι επίπεδα, επομένως ο ορισμός αναφέρεται σε μια δισδιάστατη εικόνα. Υποτίθεται ότι όλα τα σημεία αυτής της καμπύλης βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο του κύκλου.

Ο κύκλος έχει πολλά χαρακτηριστικά με βάση τα οποία γίνονται υπολογισμοί που σχετίζονται με αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Αυτά περιλαμβάνουν: διάμετρο, ακτίνα, εμβαδόν και περιφέρεια. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι αλληλένδετα, δηλαδή, για τον υπολογισμό τους, αρκούν πληροφορίες για τουλάχιστον ένα από τα συστατικά. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα ενός γεωμετρικού σχήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε την περιφέρεια, τη διάμετρο και το εμβαδόν.

• Η ακτίνα ενός κύκλου είναι το τμήμα μέσα στον κύκλο που συνδέεται με το κέντρο του.
• Διάμετρος είναι ένα τμήμα μέσα σε έναν κύκλο που συνδέει τα σημεία του και διέρχεται από το κέντρο. Ουσιαστικά, η διάμετρος είναι δύο ακτίνες. Αυτός ακριβώς είναι ο τύπος για τον υπολογισμό του: D=2r.
• Υπάρχει ένα ακόμη στοιχείο ενός κύκλου - μια χορδή. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο, αλλά δεν διέρχεται πάντα από το κέντρο. Άρα η χορδή που την περνά λέγεται και διάμετρος.

Πώς να μάθετε την περιφέρεια; Ας μάθουμε τώρα.

Περιφέρεια: τύπος

Το λατινικό γράμμα p επιλέχθηκε για να δηλώσει αυτό το χαρακτηριστικό. Ο Αρχιμήδης απέδειξε επίσης ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ο ίδιος αριθμός για όλους τους κύκλους: αυτός είναι ο αριθμός π, ο οποίος είναι περίπου ίσος με 3,14159. Ο τύπος για τον υπολογισμό του π είναι: π = p/d. Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή του p είναι ίση με πd, δηλαδή η περιφέρεια: p= πd. Εφόσον η d (διάμετρος) ισούται με δύο ακτίνες, ο ίδιος τύπος για την περιφέρεια μπορεί να γραφεί ως p=2πr. Ας εξετάσουμε την εφαρμογή του τύπου χρησιμοποιώντας απλά προβλήματα ως παράδειγμα:

Πρόβλημα 1

Στη βάση της Καμπάνας του Τσάρου η διάμετρος είναι 6,6 μέτρα. Ποια είναι η περιφέρεια της βάσης του κουδουνιού;

1. Άρα, ο τύπος για τον υπολογισμό του κύκλου είναι p= πd
2. Αντικαταστήστε την υπάρχουσα τιμή στον τύπο: p=3,14*6,6= 20,724

Απάντηση: Η περιφέρεια της βάσης της καμπάνας είναι 20,7 μέτρα.

Πρόβλημα 2

Ο τεχνητός δορυφόρος της Γης περιστρέφεται σε απόσταση 320 km από τον πλανήτη. Η ακτίνα της Γης είναι 6370 km. Ποιο είναι το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου;

1. 1. Υπολογίστε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου της Γης: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Υπολογίστε το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου χρησιμοποιώντας τον τύπο: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Απάντηση: το μήκος της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου της Γης είναι 42013,2 km.

Μέθοδοι μέτρησης της περιφέρειας

Ο υπολογισμός της περιφέρειας ενός κύκλου δεν χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη. Ο λόγος για αυτό είναι η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού π. Στην καθημερινή ζωή, για να βρείτε το μήκος ενός κύκλου, χρησιμοποιείται μια ειδική συσκευή - ένα καμπυλόμετρο. Ένα αυθαίρετο σημείο εκκίνησης σημειώνεται στον κύκλο και η συσκευή οδηγείται από αυτόν αυστηρά κατά μήκος της γραμμής μέχρι να φτάσουν ξανά σε αυτό το σημείο.

Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου; Απλά πρέπει να κρατάτε απλούς τύπους υπολογισμού στο μυαλό σας.