Τα τετράγωνα έχουν ίσα εμβαδά; Ιδιότητες εμβαδών πολυγώνων Τα ίσα πολύγωνα έχουν ίσα εμβαδά

VIII τάξη: Θέμα 3. Περιοχές σχημάτων. Πυθαγόρειο θεώρημα.

1. Η έννοια της περιοχής. Φιγούρες ίσου μεγέθους.

Εάν το μήκος είναι αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας γραμμής, τότε το εμβαδόν είναι ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός κλειστού σχήματος. Παρά το γεγονός ότι γνωρίζουμε καλά την έννοια της περιοχής από την καθημερινή ζωή, δεν είναι εύκολο να δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό αυτής της έννοιας. Αποδεικνύεται ότι η περιοχή ενός κλειστού σχήματος μπορεί να ονομαστεί οποιαδήποτε μη αρνητική ποσότητα που έχει τα ακόλουθα ιδιότητες μέτρησης των περιοχών των σχημάτων:

Οι ίσοι αριθμοί έχουν ίσα εμβαδά. Εάν ένα δεδομένο κλειστό σχήμα χωρίζεται σε πολλά κλειστά σχήματα, τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των περιοχών των σχημάτων του (το σχήμα στο σχήμα 1 χωρίζεται σε nφιγούρες? σε αυτήν την περίπτωση, η περιοχή του σχήματος, όπου Σι- τετράγωνο Εγώ-ο σχήμα).

Κατ 'αρχήν, θα ήταν δυνατό να καταλήξουμε σε ένα σύνολο ποσοτήτων που έχουν τις διαμορφωμένες ιδιότητες και επομένως χαρακτηρίζουν την περιοχή του σχήματος. Αλλά η πιο οικεία και βολική τιμή είναι αυτή που χαρακτηρίζει την περιοχή ενός τετραγώνου ως το τετράγωνο της πλευράς του. Ας ονομάσουμε αυτή τη «συμφωνία» την τρίτη ιδιότητα της μέτρησης των περιοχών των σχημάτων:

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο της πλευράς του (Εικόνα 2).

Με αυτόν τον ορισμό, το εμβαδόν των σχημάτων μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες ( εκ 2, χλμ 2, χα=100Μ 2).

Φιγούρες που έχουν ίσα εμβαδά λέγονται ίσο σε μέγεθος .

Σχόλιο: Τα ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά, δηλαδή τα ίσα σχήματα είναι ίσα σε μέγεθος. Αλλά τα ίσα σχήματα δεν είναι πάντα ίσα (για παράδειγμα, το σχήμα 3 δείχνει ένα τετράγωνο και ένα ισοσκελές τρίγωνο που αποτελούνται από ίσα ορθογώνια τρίγωνα (παρεμπιπτόντως, π. φιγούρες που ονομάζεται εξίσου συγκροτημένοι ) είναι σαφές ότι το τετράγωνο και το τρίγωνο είναι ίσα σε μέγεθος, αλλά όχι ίσα, αφού δεν επικαλύπτονται).

Στη συνέχεια, θα εξαγάγουμε τύπους για τον υπολογισμό των εμβαδών όλων των κύριων τύπων πολυγώνων (συμπεριλαμβανομένου του γνωστού τύπου για την εύρεση του εμβαδού ενός ορθογωνίου), με βάση τις διατυπωμένες ιδιότητες της μέτρησης των περιοχών των σχημάτων.

2. Εμβαδόν ορθογωνίου. Εμβαδόν παραλληλογράμμου.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου: Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των δύο παρακείμενων πλευρών του (Εικόνα 4).

Δεδομένος:

Α Β Γ Δ- ορθογώνιο?

ΕΝΑ Δ=ένα, ΑΒ=σι.

Αποδεικνύω: SABCD=ένα× σι.

Απόδειξη:

1. Επεκτείνετε το πλάι ΑΒγια ένα τμήμα B.P.=ένα, και το πλάι ΕΝΑ Δ- για ένα τμήμα D.V.=σι. Ας φτιάξουμε ένα παραλληλόγραμμο APRV(Εικόνα 4). Από το Ð ΕΝΑ=90°, APRV- ορθογώνιο. Εν AP=ένα+σι=AV, Þ APRV– ένα τετράγωνο με πλευρά ( ένα+σι).

2. Ας υποδηλώσουμε ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.Ç RV=Τ, CDÇ PR=Q. Επειτα BCQP– ένα τετράγωνο με μια πλευρά ένα, CDVT– ένα τετράγωνο με μια πλευρά σι, CQRT- ορθογώνιο με πλευρές έναΚαι σι.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου: Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους και της βάσης του (Εικόνα 5).

Σχόλιο: Η βάση ενός παραλληλογράμμου συνήθως ονομάζεται η πλευρά προς την οποία τραβιέται το ύψος. Είναι σαφές ότι οποιαδήποτε πλευρά ενός παραλληλογράμμου μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση.

Δεδομένος:

Α Β Γ Δ– p/g;

B.H.^ΕΝΑ Δ, HÎ ΕΝΑ Δ.

Αποδεικνύω: SABCD=ΕΝΑ Δ× B.H..

Απόδειξη:

1. Ας το πάμε στη βάση ΕΝΑ Δύψος CF(Εικόνα 5).

2. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ïê HF, B.H.ïê CF, Þ BCFH- p/g εξ ορισμού. ΡΕ H=90°, Þ BCFH- ορθογώνιο.

3. BCFH– p/g, Þ σύμφωνα με την ιδιότητα p/g B.H.=CF, Þ D BAH=Δ CDFκατά μήκος της υποτείνουσας και του ποδιού ( ΑΒ=CDσύμφωνα με τον St. p/g, B.H.=CF).

4. SABCD=SABCF+μικρόρε CDF=SABCF+μικρόρε BAH=SBCFH=B.H.× ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.=B.H.× ΕΝΑ Δ. #

3. Εμβαδόν τριγώνου.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου: Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο του ύψους και της βάσης του (Εικόνα 6).

Σχόλιο: Στην περίπτωση αυτή, η βάση του τριγώνου είναι η πλευρά προς την οποία τραβιέται το υψόμετρο. Οποιαδήποτε από τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση του.

Δεδομένος:

BD^ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ., ρεÎ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..

Αποδεικνύω: .

Απόδειξη:

1. Ας συμπληρώσουμε το Δ αλφάβητοσε p/y ABKCπερνώντας από την κορυφή σιευθεία B.K.ïê ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ., και μέσα από την κορυφή ντο- ευθεία CKïê ΑΒ(Εικόνα 6).

2. ρε αλφάβητο=Δ KCBσε τρεις πλευρές ( ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.- γενική, ΑΒ=KCΚαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.=K.B.σύμφωνα με τον St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Συμπέρασμα 2: Αν θεωρήσουμε το p/u D αλφάβητομε ύψος A.H., έλκεται από την υποτείνουσα ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., Οτι . Ετσι, σε p/u Το ύψος D-ke που τραβιέται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το λόγο του γινομένου των ποδιών του προς την υποτείνουσα . Αυτή η σχέση χρησιμοποιείται αρκετά συχνά κατά την επίλυση προβλημάτων.

4. Συμπεράσματα από τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου: ο λόγος των εμβαδών τριγώνων με ίσα ύψη ή βάσεις. ίσα τρίγωνα σε σχήματα. ιδιότητα των εμβαδών των τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιες ενός κυρτού τετράπλευρου.

Από τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου, ακολουθούν στοιχειωδώς δύο συνέπειες:

1. Λόγος εμβαδών τριγώνων με ίσα ύψη ίση με την αναλογία των βάσεων τους (στο Σχήμα 8 ).

2. Λόγος εμβαδών τριγώνων με ίσες βάσεις ίση με την αναλογία των υψών τους (στο Σχήμα 9 ).

Σχόλιο: Κατά την επίλυση προβλημάτων, πολύ συχνά συναντώνται τρίγωνα με κοινό ύψος. Σε αυτήν την περίπτωση, κατά κανόνα, οι βάσεις τους βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή και η κορυφή απέναντι από τις βάσεις είναι κοινή (για παράδειγμα, στο σχήμα 10 μικρό 1:μικρό 2:μικρό 3=ένα:σι:ντο). Θα πρέπει να μάθετε να βλέπετε το συνολικό ύψος τέτοιων τριγώνων.

Επίσης, ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου αποδίδει χρήσιμα στοιχεία που σας επιτρέπουν να βρείτε ίσα τρίγωνα σε σχήματα:

1. Η διάμεσος ενός αυθαίρετου τριγώνου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα (Στο Σχήμα 11 στο Δ A.B.M.και Δ ACMύψος A.H.– γενικά και οι λόγοι Β.Μ.Και ΕΚ.ίσο εξ ορισμού διάμεσος? προκύπτει ότι ο Δ A.B.M.και Δ ACMίσο σε μέγεθος).

2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου το χωρίζουν σε τέσσερα ίσα τρίγωνα (στην Εικόνα 12 Ο Α.Ο.– διάμεσος του τριγώνου ABDαπό την ιδιότητα των διαγωνίων p/g, Þ λόγω των προηγούμενων ιδιοτήτων των τριγώνων ABOΚαι ΦΑΣΑΡΙΑίσο σε μέγεθος? επειδή Β.Ο.– διάμεσος του τριγώνου αλφάβητο, τρίγωνα ABOΚαι BCOίσο σε μέγεθος? επειδή CO– διάμεσος του τριγώνου BCD, τρίγωνα BCOΚαι DCOίσο σε μέγεθος? Ετσι, μικρόρε ΦΑΣΑΡΙΑ=μικρόρε ABO=μικρόρε BCO=μικρόρε DCO).

3. Οι διαγώνιοι ενός τραπεζοειδούς το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα. δύο από αυτά, δίπλα στις πλευρικές πλευρές, είναι ίσα σε μέγεθος (Εικόνα 13).

Δεδομένος:

Α Β Γ Δ– τραπεζοειδές;

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ïê ΕΝΑ Δ; ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Ç BD=Ο.

Αποδεικνύω: μικρόρε ABO=μικρόρε DCO.

Απόδειξη:

1. Ας σχεδιάσουμε τα ύψη B.F.Και CH(Εικόνα 13). Στη συνέχεια ο Δ ABDκαι Δ ACDβάση ΕΝΑ Δ– γενικά και ύψη B.F.Και CHίσος; Þ μικρόρε ABD=μικρόρε ACD.

2. μικρόρε ABO=μικρόρε ABD ‑ μικρόρε AOD=μικρόρε ACD ‑ μικρόρε AOD=μικρόρε DCO. #

Εάν σχεδιάσετε τις διαγώνιους ενός κυρτού τετράπλευρου (Εικόνα 14), σχηματίζονται τέσσερα τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων σχετίζονται με έναν πολύ εύκολο στην απομνημόνευση λόγο. Η εξαγωγή αυτής της σχέσης βασίζεται αποκλειστικά στον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. ωστόσο, απαντάται αρκετά σπάνια στη βιβλιογραφία. Όντας χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων, η σχέση που θα διατυπωθεί και θα αποδειχθεί παρακάτω αξίζει ιδιαίτερης προσοχής:

Ιδιότητα των εμβαδών των τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιες ενός κυρτού τετράπλευρου: Αν οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετράπλευρου Α Β Γ Δτέμνονται σε ένα σημείο Ο, τότε (Εικόνα 14).

Α Β Γ Δ– κυρτό τετράγωνο.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Απόδειξη:

1. B.F.– συνολικό ύψος Δ AOBκαι Δ BOC; Þ μικρόρε AOB:μικρόρε BOC=Ο Α.Ο.:CO.

2. D.H.– συνολικό ύψος Δ AODκαι Δ ΓΑΔΟΣ.; Þ μικρόρε AOD:μικρόρε ΓΑΔΟΣ.=Ο Α.Ο.:CO.

5. Λόγος εμβαδών τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες.

Θεώρημα για τον λόγο των εμβαδών τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες: Τα εμβαδά των τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες σχετίζονται με τα γινόμενα των πλευρών που περικλείουν αυτές τις γωνίες (Εικόνα 15).

Δεδομένος:

ρε αλφάβητο, Δ ΕΝΑ 1σι 1ντο 1;

Ð BAC=Ð σι 1ΕΝΑ 1ντο 1.

Αποδεικνύω:

.

Απόδειξη:

1. Ακουμπήστε το πάνω στην ακτίνα ΑΒευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 2=ΕΝΑ 1σι 1, και στη δοκό ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.- ευθύγραμμο τμήμα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2=ΕΝΑ 1ντο 1 (Εικόνα 15). Στη συνέχεια ο Δ ΑΒ 2ντο 2=Δ ΕΝΑ 1σι 1ντο 1 σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους ( ΑΒ 2=ΕΝΑ 1σι 1 και ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2=ΕΝΑ 1ντο 1 από κατασκευή, και Р σι 2ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2=ρ σι 1ΕΝΑ 1ντο 1 κατά συνθήκη). Που σημαίνει, .

2. Συνδέστε τις τελείες ντοΚαι σι 2.

3. CH– συνολικό ύψος Δ ΑΒ 2ντοκαι Δ αλφάβητο, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Ιδιότητα της διχοτόμου τριγώνου.

Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα για τον λόγο των εμβαδών τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες και για τον λόγο των εμβαδών τριγώνων με ίσα ύψη, απλώς αποδεικνύουμε ένα γεγονός που είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην επίλυση προβλημάτων και δεν σχετίζεται άμεσα με τα εμβαδά των σχημάτων :

Ιδιότητα διχοτόμου τριγώνου:Η διχοτόμος ενός τριγώνου διαιρεί την πλευρά προς την οποία σύρεται σε τμήματα ανάλογα με τις γειτονικές τους πλευρές.

Δεδομένος:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Απόδειξη:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Από τα σημεία 1 και 2 παίρνουμε: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Σχόλιο:Εφόσον τα ακραία μέλη ή τα μεσαία μέλη μπορούν να αντικατασταθούν στη σωστή αναλογία, είναι πιο βολικό να θυμάστε την ιδιότητα της διχοτόμου ενός τριγώνου με την ακόλουθη μορφή (Εικόνα 16): .

7. Εμβαδόν τραπεζοειδούς.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τραπεζοειδούς: Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους του και το μισό του αθροίσματος των βάσεων του.

Δεδομένος:

Α Β Γ Δ– τραπεζοειδές;

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ïê ΕΝΑ Δ;

B.H.- ύψος.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Απόδειξη:

1. Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο BDκαι ύψος DF(Εικόνα 17). BHDF– ορθογώνιο, Þ B.H. = DF.

Συνέπεια: Ο λόγος των εμβαδών των τραπεζοειδών με ίσα ύψη είναι ίσος με τον λόγο των μεσαίων γραμμών τους (ή τον λόγο των αθροισμάτων των βάσεων).

8. Εμβαδόν τετράπλευρου με αμοιβαία κάθετες διαγώνιους.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τετράπλευρου με αμοιβαία κάθετες διαγώνιους: Το εμβαδόν ενός τετράπλευρου με αμοιβαία κάθετες διαγωνίους είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των διαγωνίων του.

Α Β Γ Δ– τετράγωνο;

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Απόδειξη:

1. Ας υποδηλώσουμε ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Ç BD=Ο. Επειδή η ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.^BD, Ο Α.Ο.– ύψος Δ ABD, ΕΝΑ CO– ύψος Δ CBD(Σχήματα 18α και 18β για τις περιπτώσεις κυρτών και μη κυρτών τετραπλευρών, αντίστοιχα).

2.
(τα πρόσημα «+» ή «-» αντιστοιχούν στις περιπτώσεις κυρτών και μη κυρτών τετραπλευρών, αντίστοιχα). #

Το Πυθαγόρειο θεώρημα παίζει εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στην επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων. σας επιτρέπει να βρείτε την άγνωστη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου από τις δύο γνωστές πλευρές του. Υπάρχουν πολλές γνωστές αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας παρουσιάσουμε τα πιο απλά από αυτά, με βάση τύπους για τον υπολογισμό των εμβαδών ενός τετραγώνου και ενός τριγώνου:

Πυθαγόρειο θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Δεδομένος:

ρε αλφάβητο– p/u;

Ð ΕΝΑ=90°.

Αποδεικνύω:

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2=ΑΒ 2+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2.

Απόδειξη:

1. Ας υποδηλώσουμε ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.=ένα, ΑΒ=σι. Ας το βάλουμε στην ακτίνα ΑΒευθύγραμμο τμήμα B.P.=ένα, και στο δοκάρι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.- ευθύγραμμο τμήμα βιογραφικό=σι(Εικόνα 19). Ας αναλύσουμε το σημείο Παπευθείας PRïê AV, και μέσα από το σημείο V- ευθεία VRïê AP. Επειτα APRV- p/g εξ ορισμού. Επιπλέον, δεδομένου ότι η Р ΕΝΑ=90°, APRV- ορθογώνιο. Και επειδή AV=ένα+σι=AP, APRV– ένα τετράγωνο με μια πλευρά ένα+σι, Και SAPRV=(ένα+σι) 2. Στη συνέχεια θα χωρίσουμε την πλευρά PRτελεία Qσε τμήματα PQ=σιΚαι QR=ένα, και το πλάι RV- τελεία Τσε τμήματα RT=σιΚαι τηλεόραση=ένα.

2. Δ αλφάβητο=Δ PQB=Δ RTQ=Δ VCTσε δύο πλευρές, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.=QB=T.Q.=C.T., και https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Επειδή ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- ρόμβος Την ίδια στιγμή QBC=180°-(ρ αλφάβητο+Ð PBQ)=180°-(Р αλφάβητο+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- τετράγωνο, και SCBQT=ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2.

4. . Ετσι, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2=ΑΒ 2+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2. #

Το αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι σημάδι ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή, σας επιτρέπει να ελέγξετε εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο χρησιμοποιώντας τρεις γνωστές πλευρές.

Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα: Αν το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η μεγαλύτερη πλευρά του είναι η υποτείνουσα.

Δεδομένος:

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2=ΑΒ 2+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2.

Αποδεικνύω:ρε αλφάβητο– p/u;

Ð ΕΝΑ=90°.

Απόδειξη:

1. Κατασκευάστε μια ορθή γωνία ΕΝΑ 1 και βάλτε τα κομμάτια στις πλευρές του ΕΝΑ 1σι 1=ΑΒΚαι ΕΝΑ 1ντο 1=ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.(Εικόνα 20). Στο προκύπτον p/u D ΕΝΑ 1σι 1ντο 1 από το Πυθαγόρειο θεώρημα σι 1ντο 12=ΕΝΑ 1σι 12+ΕΝΑ 1ντο 12=ΑΒ 2+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2; αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση ΑΒ 2+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. 2=ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2; Þ σι 1ντο 12=ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. 2, Þ σι 1ντο 1=ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ..

2. Δ αλφάβητο=Δ ΕΝΑ 1σι 1ντο 1 σε τρεις πλευρές ( ΕΝΑ 1σι 1=ΑΒΚαι ΕΝΑ 1ντο 1=ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.από κατασκευή, σι 1ντο 1=ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.από το στοιχείο 1), Þ Ð ΕΝΑ=Ð ΕΝΑ 1=90°, Þ D αλφάβητο- p/u. #

Τα ορθογώνια τρίγωνα των οποίων τα μήκη πλευρών εκφράζονται σε φυσικούς αριθμούς ονομάζονται Πυθαγόρεια τρίγωνα , και οι τριπλέτες των αντίστοιχων φυσικών αριθμών είναι Πυθαγόρεια τρίδυμα . Οι πυθαγόρειες τριπλέτες είναι χρήσιμο να θυμόμαστε (ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς είναι ίσος με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο). Εδώ είναι μερικές πυθαγόρειες τριάδες:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 χρησιμοποιήθηκε στην Αίγυπτο για την κατασκευή ορθών γωνιών, και επομένως τέτοιες τρίγωνο που ονομάζεται Αιγύπτιος .

10. Η φόρμουλα του Heron.

Ο τύπος του Heron σάς επιτρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου από τις τρεις γνωστές πλευρές του και είναι απαραίτητος για την επίλυση πολλών προβλημάτων.

Ο τύπος του Heron: Εμβαδόν τριγώνου με πλευρές ένα, σιΚαι ντουπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , όπου είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Δεδομένος:

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.=ένα; ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.=σι; ΑΒ=ντο.). Επειτα .

4. Αντικαταστήστε την προκύπτουσα έκφραση για το ύψος στον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού του τριγώνου: . #

Πηγή εργασίας: Απόφαση 2746.-13. OGE 2017 Μαθηματικά, I.V. Γιασχένκο. 36 επιλογές.

Εργασία 11.Η πλευρά ενός ρόμβου είναι 12 και η απόσταση από το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου σε αυτό είναι 1. Βρείτε την περιοχή αυτού του ρόμβου.

Λύση.

Το εμβαδόν ενός ρόμβου μπορεί να υπολογιστεί με τον ίδιο τρόπο όπως το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, δηλαδή ως το γινόμενο του ύψους h του ρόμβου με το μήκος της πλευράς a προς την οποία έχει τραβηχτεί:

Στο σχήμα, η κόκκινη γραμμή μαζί με τη μαύρη γραμμή δείχνει το ύψος h του ρόμβου, το οποίο είναι ίσο (αφού τα μήκη της μαύρης και της κόκκινης γραμμής είναι ίσα). Το μήκος της πλευράς είναι a=12 και ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος. Παίρνουμε το εμβαδόν του ρόμβου:

Απάντηση: 24.

Εργασία 12.Ένας ρόμβος απεικονίζεται σε καρό χαρτί με τετράγωνο μέγεθος 1x1. Βρείτε το μήκος της μεγαλύτερης διαγωνίου του.

Λύση.

Στο σχήμα, οι μπλε γραμμές δείχνουν τις διαγώνιες του ρόμβου. Φαίνεται ότι η μεγάλη διαγώνιος είναι 12 κελιά.

Απάντηση: 12.

Εργασία 13.Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

1) Υπάρχει ένα ορθογώνιο του οποίου οι διαγώνιες είναι κάθετες μεταξύ τους.

2) Όλα τα τετράγωνα έχουν ίσα εμβαδά.

3) Μία από τις γωνίες ενός τριγώνου δεν υπερβαίνει πάντα τις 60 μοίρες.

Σε απάντηση, σημειώστε τους αριθμούς των επιλεγμένων δηλώσεων χωρίς κενά, κόμματα ή άλλους πρόσθετους χαρακτήρες.

Λύση.

1) Σωστό. Αυτό είναι ένα ορθογώνιο που μετατρέπεται σε τετράγωνο.

«Γέφυρα Γαϊδάρου» Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος θεωρούνταν πολύ δύσκολη στους κύκλους των μαθητών του Μεσαίωνα και μερικές φορές ονομαζόταν Pons Asinorum «γέφυρα γαϊδάρου» ή elefuga - «φυγή των άθλιων», αφού κάποιοι «άθλιοι» μαθητές που δεν είχε σοβαρή μαθηματική εκπαίδευση έφυγε από τη γεωμετρία. Οι αδύναμοι μαθητές που απομνημόνευαν τα θεωρήματα από την καρδιά τους, χωρίς να καταλαβαίνουν, και γι' αυτό ονομάζονταν «γαϊδούρια», δεν μπόρεσαν να ξεπεράσουν το Πυθαγόρειο θεώρημα, που τους χρησίμευε ως ανυπέρβλητη γέφυρα.

Δίνονται: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 cm AC=10 cm Βρείτε: SABC Λύστε προφορικά CA B Δίνονται: ABC, C=90°, AB=18 cm, BC=9 cm Βρείτε: B , A Απάντηση: A=30º, B=60º Απάντηση: 30 cm²

C² = a 2 + b 2 a b c C A B c = a 2 + b cbа Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα a και b είναι τα σκέλη, c είναι η υποτείνουσα. Γεμίστε τον πίνακα. b =c²-a² a =c²-b² b 2 =c²-a² a 2 =c²-b²

Λύση 3. Το ACD είναι ορθογώνιο, D=45° DAC=45°ACD - ισοσκελές CD = AC = 4 SADC = 8. Άρα το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος S ABCB = SABC + SADC = Δίνεται: AB=2 3, BC=2, B= 90 ACD=90 BAC=3 0, D=45 Εύρεση: S ABCB. Πρόβλημα 30º D C B A Εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος S ABCB = SABC + SADC 2. Το ABC είναι ορθογώνιο, SABC = 2 3. BAC=30° AC = 2BC = 4.

497 Μία από τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου είναι το ύψος του. Βρείτε αυτήν τη διαγώνιο εάν η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι 50 cm και η διαφορά μεταξύ των γειτονικών πλευρών είναι 1 cm. AD ​​​​CB Δίνεται: ABCD - παραλληλόγραμμο, BD AD, P ABCD = 50 cm, AB-AD = 1 cm. BD. Λύση. Έστω AD=x cm, μετά AB=(x+1) cm. Επειδή P ABCD =2·(AB+AD), μετά 50=2·(x+1+x) 25=2x+1 x=12, που σημαίνει AD=12 cm, AB=13 cm. 1. AD=12 cm , AB=13 εκ. 2. Βρείτε BD χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: AB²=ВD²+AD² BD=5 (cm) 12 cm 13 cm

π.Χ. κατά 6 εκ. Βρείτε: π.Χ., CD, μ.Χ. " title="Problem Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 120 cm² και το ύψος του είναι 8 cm. Βρείτε όλες τις πλευρές του τραπεζοειδούς αν η μία από τις βάσεις του είναι 6 cm μεγαλύτερη από την άλλη. D BC A N Δίνεται : ABCD - τραπεζοειδές, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC επί 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD." class="link_thumb"> 16 !}Πρόβλημα Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 120 cm² και το ύψος του είναι 8 εκ. Βρείτε όλες τις πλευρές του τραπεζοειδούς αν η μία από τις βάσεις του είναι 6 cm μεγαλύτερη από την άλλη. D BC A N Δίνονται: ABCD - τραπεζοειδές, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC κατά 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD. Λύση. Έστω BC=x cm, τότε AD=(x+6) cm Επειδή S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, που σημαίνει BC 12 cm, AD=18 cm AB=8 cm, BC= 12 cm, AD=18 cm Πρόσθετη κατασκευή: CH AD, τότε το ABCN είναι ορθογώνιο. CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, μετά HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Βρείτε το CD χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: CD2=CH2+HD2 CD=8²+6²CD=10 (cm ) Απάντηση: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm. π.Χ. κατά 6 εκ. Βρείτε: π.Χ., CD, μ.Χ. "> BC κατά 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD. Λύση. Έστω BC=x cm, μετά AD=(x+6) cm Επειδή S ABCD = ·8·(x+6+x)= 120, 4 (2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, που σημαίνει BC 12 cm, AD=18 cm 1. 2. AB=8 cm, BC=12 cm, AD=18 cm Πρόσθετος σχηματισμός: CH AD, τότε το ABCN είναι ορθογώνιο CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, μετά HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Βρείτε το CD χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: CD²=CH²+HD² CD=8² +6²CD=10 (cm) Απάντηση: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm."> π.Χ. επί 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD. " title="Problem Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 120 cm² και το ύψος του είναι 8 cm. Βρείτε όλες τις πλευρές του τραπεζοειδούς αν η μία από τις βάσεις του είναι 6 cm μεγαλύτερη από την άλλη. D BC A N Δίνεται : ABCD - τραπεζοειδές, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC επί 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD."> title="Πρόβλημα Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς είναι 120 cm² και το ύψος του είναι 8 εκ. Βρείτε όλες τις πλευρές του τραπεζοειδούς αν η μία από τις βάσεις του είναι 6 cm μεγαλύτερη από την άλλη. D BC A N Δίνονται: ABCD - τραπεζοειδές, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC κατά 6 εκ. Βρείτε: BC, CD, AD."> !} AB C M N Δίνονται: ABC, BC=7,5 cm, AC=3,2 cm, AM BC, BN AC, AM=2,4 cm Βρείτε: BN Λύση: SABC =½AM·CB=½·2,4 ·7,5=9 cm² S ABC =½BN· AC BN=2·S ABC:AC=2·9:3,2=5,625 εκ. Απάντηση: 5,625 εκ. Οι δύο πλευρές του τριγώνου είναι 7,5 εκ. και 4 εκ. Το ύψος που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι ίσο με 2,4 εκ. Βρείτε το ύψος έλκεται προς τη μικρότερη από αυτές τις πλευρές. 470

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 168 cm². Βρείτε τα πόδια του αν η αναλογία των μηκών τους είναι 7:12. A C B Δίνονται: ABC, C = 90º, AC: BC = 7:12, S ABC = 168 cm² Βρείτε: AC, BC. Λύση: SABC =½AC·BC 168=½7x·12x 168=42x² x=2 AC=14 cm, BC=24 cm Απάντηση: 14 εκ. και 24 εκ. 472

Ιδιότητες Περιοχών 10. Τα ίσα πολύγωνα έχουν ίσα εμβαδά. D B A C N ABC = NFD F

Ιδιότητες εμβαδών 20. Αν ένα πολύγωνο αποτελείται από πολλά πολύγωνα, τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των πολυγώνων. Γ Β Δ Α ΣΤ

Ιδιότητες εμβαδών 30. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο της πλευράς του. 3 cm S=9 cm 2 Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των εμβαδών να βρείτε τα εμβαδά των σχημάτων

Μονάδες μέτρησης εμβαδού 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2

Μονάδες μέτρησης επιφάνειας 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Εμβαδόν ορθογωνίου b S Ας αποδείξουμε ότι S = ab a ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΜΕ ΠΛΕΥΡΑ a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (α+β) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Το δάπεδο του δωματίου, που έχει σχήμα ορθογωνίου με πλευρές 5, 5 m και 6 m, πρέπει να καλύπτεται με ορθογώνιο παρκέ. Το μήκος κάθε σανίδας παρκέ είναι 30 εκ. και το πλάτος 5 εκ. Πόσες τέτοιες σανίδες χρειάζονται για να καλύψει το πάτωμα; 6 m 5,5 m 5 cm 30 cm

Τα εμβαδά των τετραγώνων που είναι χτισμένα στις πλευρές του ορθογωνίου είναι 64 cm 2 και 121 cm 2. Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. 121 cm 2 S-? 64 cm 2

Οι πλευρές καθενός από τα ορθογώνια ABCD και ARMK είναι ίσες με 6 cm και 10 cm. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που αποτελείται από όλα τα σημεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από αυτά τα ορθογώνια. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

Το ABCD είναι ένα ορθογώνιο, το AC είναι μια διαγώνιος. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC. A a D АBC = ADC b SABC = B C

Το ABCD είναι ένα ορθογώνιο. Εύρεση: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Εύρεση: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Τα σημεία K, M, T και E βρίσκονται 5 αντίστοιχα στις πλευρές AD, AB, BC και DC του τετραγώνου E ABCD έτσι ώστε KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Το εμβαδόν του πενταγώνου ABCD είναι 48 cm 2. Βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τετραγώνου ABCD. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (cm 2) SАВСD 2) AB = 8 (cm), PAВСD = 8 * 4 = 32 (cm) D

Το ABCD και το MDKP είναι ίσα τετράγωνα. AB = 8 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ASKM. B C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

Το ABCD και το DСМK είναι τετράγωνα. AB = 6 εκ. Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου OSPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD – ορθογώνιο; M, K, P, T είναι τα μέσα των πλευρών του, AB = 6 cm, AD = 12 cm. Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου MKRT. H K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD – ορθογώνιο; M, K, P, T είναι τα μέσα των πλευρών του, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Βρείτε το εμβαδόν του εξαγώνου AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A