6η τάξη

ΜΑΘΗΜΑ 12Κεφάλαιο 1 . Σχέσεις, αναλογίες, ποσοστά (26 ώρες)

Θέμα . Άμεση και αντίστροφη αναλογία. C/r Νο. 3.

Στόχος. Π ελέγξτε τις γνώσεις των μαθητών με θέμα Αναλογίες. Ορίστε ευθέως ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη. Μάθετε να επιλύετε προβλήματα σε αυτό το θέμα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

Επιλογή 1. Επιλογή 1.

Επίλυση αναλογίας: Επίλυση αναλογίας:

1)
, 1)
,

,
,

. Απάντηση:
.
. Απάντηση:
.

2) , 2)
,

,
,

. Απάντηση: .
. Απάντηση:
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Απάντηση:
.
. Απάντηση:
.

Επεξήγηση νέου υλικού.

Άμεση και αντίστροφη αναλογία.

πλακέτα πολυμέσων.Ηλεκτρονική εφαρμογή. Κατάλογος. Κινουμένων σχεδίων. Κατανάλωση ηλεκτρικού ρεύματος στο διαμέρισμα. (1 λεπτό 31 δευτ.)

(Διαφάνεια 2). Αφήστε το στυλό να κοστίσει 3 p. (αυτή είναι η τιμή). Τότε είναι εύκολο να υπολογίσετε το κόστος δύο, τριών κ.λπ. χειρίζεται σύμφωνα με τον τύπο: .

Αριθμός λαβών, τεμ.

Κόστος, r.

Σημειώστε ότι με την αύξηση του αριθμού των στυλό πολλές φορές, το κόστος τους αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Λέγεται ότι το κόστος μιας αγοράς είναι ευθέως ανάλογο με τον αριθμό των στυλό που αγοράζονται.

(Διαφάνεια 3). Ορισμός. Οι δύο ποσότητες ονομάζονταιευθέως ανάλογο , αν όταν το ένα από αυτά αυξηθεί πολλές φορές, το άλλο αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Εάν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε οι αναλογίες των αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσοτήτων είναι ίσες.

(Διαφάνεια 4). Παραδείγματα ευθέως αναλογικών μεγεθών:

1. Η περίμετρος ενός τετραγώνου και το μήκος μιας πλευράς ενός τετραγώνου είναι ευθέως ανάλογα.
.

2. Αν η ταχύτητα κίνησης είναι σταθερή, τότε η απόσταση που διανύθηκε και ο χρόνος κίνησης είναι ευθέως ανάλογες.
.

3. Εάν η παραγωγικότητα της εργασίας είναι σταθερή, τότε η ποσότητα της εργασίας που εκτελείται και ο χρόνος είναι ευθέως ανάλογα.
.

4. Τα έσοδα του ταμείου του κινηματογράφου είναι ευθέως ανάλογα με τον αριθμό των εισιτηρίων που πωλούνται στην ίδια τιμή. Και τα λοιπά.

(Διαφάνεια 5). Εργασία 1 . Για 5 σημειωματάρια σε ένα κλουβί πληρώνονται 40 ρούβλια. Πόσο θα πληρώσουν για 12 ίδια τετράδια;

Ποσότητα Κόστος

5 σημειωματάρια - 40 ρούβλια. Άμεση αναλογικότητα

12 τετράδια - x r.

Λύση.

Επειδή ποσότητες ευθέως ανάλογο ισοδυναμεί

,

,

.

96 σελ. πληρώστε για 12 σημειωματάρια. Απάντηση: 96 σελ.

(Διαφάνεια 6). Θέλουν να αγοράσουν για 120 ρούβλια. πολλά από τα ίδια βιβλία. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να υπολογίσετε τον αριθμό των βιβλίων για 10 ρούβλια, 20 ρούβλια, 30 ρούβλια. 40 r. και τα λοιπά. σύμφωνα με τον τύπο:
.

Τιμή, r.

Αριθμός βιβλίων, τεμ.

Σημειώστε ότι με αύξηση της τιμής ενός βιβλίου πολλές φορές, ο αριθμός τους μειώνεται κατά το ίδιο ποσό. .

Λένε ότι ο αριθμός των βιβλίων που αγοράστηκαν αντιστρόφωςτην τιμή τους.

(Διαφάνεια 7). Ορισμός. Οι δύο ποσότητες ονομάζονταιΑντιστρόφως ανάλογη , αν όταν ένα από αυτά αυξηθεί πολλές φορές, το άλλο μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.

Εάν οι ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες, τότε η αναλογία των τιμών της μιας ποσότητας είναι ίση με την αντίστροφη αναλογία των τιμών της άλλης ποσότητας.

(Διαφάνεια 8). Παραδείγματα αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών:

1. Αν η διανυθείσα απόσταση είναι σταθερή, τότε η ταχύτητα κίνησης και ο χρόνος κίνησης είναι αντιστρόφως ανάλογες.
.

2. Εάν η παραγωγικότητα της εργασίας είναι σταθερή, τότε η ποσότητα της εργασίας που εκτελείται και ο χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα.
.

(Διαφάνεια 9). Εργασία 2 . 6 εργάτες ολοκληρώνουν τη δουλειά σε 5 ώρες. Πόσο καιρό θα χρειαστούν 3 εργαζόμενοι για να ολοκληρώσουν αυτήν τη δουλειά;

Ποσότητα χρόνου

6 εργάτες - 5 ώρες Αντιστρόφως αναλογικότητα

3 εργάτες - x h

Λύση.

Επειδή ποσότητες Αντιστρόφως ανάλογη, τότε οι αναλογίες δύο αυθαίρετων τιμών της ίδιας ποσότητας είναι ίσο με το αντίστροφοη αναλογία των αντίστοιχων τιμών μιας άλλης ποσότητας.

,

,

.

Σε 10 ώρες, 3 εργαζόμενοι θα αντεπεξέλθουν σε αυτή τη δουλειά. Απάντηση: 10 ώρες

Αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων.

Συνθέτω σύντομη σημείωσηκαι προσδιορίστε το είδος της αναλογικότητας. (Οι τιμές με το ίδιο όνομα αναγράφονται η μία κάτω από την άλλη)

Ορίστε μια αναλογία.

• Αν δύο ποσότητες ευθέως ανάλογο, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών της πρώτης ποσότητας είναι ίση με την αναλογία των δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας.

  Αν δύο ποσότητες Αντιστρόφως ανάλογη, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών της μίας ποσότητας είναι ίση με την αντίστροφη αναλογία των αντίστοιχων τιμών της άλλης ποσότητας.

Βρείτε τον άγνωστο όρο της αναλογίας.

Αναλύστε το αποτέλεσμα και γράψτε την απάντηση.

Λύση ασκήσεων.

Uch.s.21 No. 75 (a). 100 g διαλύματος περιέχει 4 g αλάτι. Πόσο αλάτι περιέχει 300 g αυτού του διαλύματος;

Διάλυμα αλατιού

100 g - 4 g Άμεση αναλογικότητα

300 g - x g

Λύση.

Επειδή ποσότητες ευθέως ανάλογο, τότε οι αναλογίες δύο αυθαίρετων τιμών της πρώτης ποσότητας ισοδυναμείη αναλογία δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας.

,

,

.

12 g αλατιού περιέχονται σε 300 g αυτού του διαλύματος. Απάντηση: 12 γρ.

Uch.s.22 No. 88. Κάποια δουλειά θα γίνει από 6 άτομα σε 18 ημέρες. Σε πόσες μέρες θα κάνουν 9 άτομα την ίδια δουλειά, δουλεύοντας τόσο επιτυχημένα με το πρώτο;

Ποσότητα χρόνου

6 άτομα - 18 ημέρες. Αντιστρόφως αναλογικότητα κιλά μεταλλεύματος πλούσιου σε σίδηρο. Πόσο μετάλλευμα αντικαθιστούν 4 τόνοι παλιοσίδερων;

Εργασία για το σπίτι.§ 1.5 (μάθετε τη θεωρία). Νο. 73, 75(b), 77(α), 84 (β).

Για να λύσουμε το σύστημα γραμμικές εξισώσειςμε δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης, προχωράμε ως εξής:

1) εκφράζουμε μια μεταβλητή μέσω μιας άλλης σε μια από τις εξισώσεις του συστήματος (x μέσω y ή y έως x).

2) αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση του συστήματος και λαμβάνουμε μια γραμμική εξίσωση με μια μεταβλητή.

3) λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή και βρίσκουμε την τιμή αυτής της μεταβλητής.

4) η τιμή που βρέθηκε της μεταβλητής αντικαθίσταται στην έκφραση (1) για μια άλλη μεταβλητή και βρίσκουμε την τιμή αυτής της μεταβλητής.

Παραδείγματα. Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης.

Εξπρές Χμέσω y από την 1η εξίσωση. Λαμβάνουμε: x \u003d 7 + y. Αντικαθιστούμε την έκφραση (7 + y) αντί για Χστη 2η εξίσωση του συστήματος.

Πήραμε την εξίσωση: 3 · (7+y)+2y=16. Αυτή είναι μια εξίσωση μιας μεταβλητής στο. Το λύνουμε. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες: 21+3y+2y=16. Συλλογή όρων με μεταβλητή στοστην αριστερή πλευρά και οι ελεύθεροι όροι στη δεξιά. Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από ένα μέρος της ισότητας σε άλλο, αλλάζουμε το πρόσημο του όρου στο αντίθετο.

Παίρνουμε: 3y + 2y \u003d 16-21. Παρουσιάζουμε σαν όρουςσε κάθε μέρος της εξίσωσης. 5ε=-5. Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με τον συντελεστή της μεταβλητής. y=-5:5; y=-1. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στοστην έκφραση x=7+y και βρείτε Χ. Παίρνουμε: x=7-1; x=6. Ένα ζεύγος μεταβλητών τιμών x=6 και y=-1 είναι η λύση σε αυτό το σύστημα.

Γράψτε: (6; -1). Απάντηση: (6; -1). Είναι βολικό να γραφτούν αυτά τα ορίσματα όπως φαίνεται παρακάτω, δηλ. συστήματα εξισώσεων - στα αριστερά το ένα κάτω από το άλλο. Στα δεξιά - υπολογισμοί, απαραίτητες εξηγήσεις, επαλήθευση της λύσης κ.λπ.

Με αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα, μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης και τη μέθοδο πρόσθεσης.

Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά και οδηγεί λεπτομερής λύσημε επεξηγήσεις των βημάτων λύσης με δύο τρόπους: τη μέθοδο υποκατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.

Αυτό το πρόγραμμαΜπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία γενικής εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για εργασίες ελέγχουκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από τις εξετάσεις, οι γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε το συντομότερο δυνατό; εργασία για το σπίτιμαθηματικά ή άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.

Έτσι, μπορείτε να πραγματοποιήσετε τη δική σας δική σας εκπαίδευσηή/και την εκπαίδευσή τους μικρότερα αδέρφιαή αδελφές, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των εργασιών που επιλύονται.

Κανόνες εισαγωγής εξισώσεων

Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) κ.λπ.

Κατά την εισαγωγή εξισώσεων μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αγκύλες. Στην περίπτωση αυτή, οι εξισώσεις αρχικά απλοποιούνται. Οι εξισώσεις μετά τις απλοποιήσεις πρέπει να είναι γραμμικές, δηλ. της μορφής ax+by+c=0 με την ακρίβεια της σειράς των στοιχείων.
Για παράδειγμα: 6x+1 = 5(x+y)+2

Στις εξισώσεις, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όχι μόνο ακέραιους αριθμούς, αλλά και κλασματικοί αριθμοίως δεκαδικά και κοινά κλάσματα.

Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Ακέραιο και κλασματικό μέρος δεκαδικά κλάσματαμπορεί να διαχωριστεί είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα: 2,1n + 3,5m = 55

Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.
Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.
Όταν μπαίνεις αριθμητικό κλάσμαΟ αριθμητής χωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
ολόκληρο μέροςχωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &

Παραδείγματα.
-1&2/3ε + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων

Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτής της εργασίας δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Έχετε απενεργοποιήσει τη JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Η JavaScript πρέπει να είναι ενεργοποιημένη για να εμφανιστεί η λύση.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από μερικά δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περίμενε Παρακαλώ δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε σχετικά στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Μέθοδος αντικατάστασης

Η ακολουθία των ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο αντικατάστασης:
1) να εκφράσετε μια μεταβλητή από κάποια εξίσωση του συστήματος σε σχέση με μια άλλη.
2) αντικαταστήστε την έκφραση που προκύπτει σε μια άλλη εξίσωση του συστήματος αντί αυτής της μεταβλητής.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ας εκφράσουμε από την πρώτη εξίσωση y έως x: y = 7-3x. Αντικαθιστώντας την έκφραση 7-3x αντί για y στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε το σύστημα:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \δεξιά. $$

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το πρώτο και το δεύτερο σύστημα έχουν τις ίδιες λύσεις. Στο δεύτερο σύστημα, η δεύτερη εξίσωση περιέχει μόνο μία μεταβλητή. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Δεξί βέλος -5x+14-6x=3 \Δεξί βέλος -11x=-11 \Δεξί βέλος x=1 $$

Αντικαθιστώντας τον αριθμό 1 αντί του x στην εξίσωση y=7-3x, βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Δεξί βέλος y=4 $$

Ζεύγος (1;4) - λύση του συστήματος

Τα συστήματα εξισώσεων σε δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμος. Ισοδύναμα θεωρούνται και συστήματα που δεν έχουν λύσεις.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με πρόσθεση

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων - τη μέθοδο πρόσθεσης. Όταν λύνουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο, καθώς και όταν λύνουμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης, περνάμε από ένα δεδομένο σύστημα σε ένα άλλο ισοδύναμο με αυτό σύστημα, στο οποίο μία από τις εξισώσεις περιέχει μόνο μία μεταβλητή.

Η ακολουθία ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο πρόσθεσης:
1) πολλαπλασιάστε τις εξισώσεις του συστήματος όρο προς όρο, επιλέγοντας τους παράγοντες έτσι ώστε οι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές να γίνουν αντίθετοι αριθμοί;
2) Προσθέστε όρο προς όρο το αριστερό και το δεξί μέρος των εξισώσεων του συστήματος.
3) λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
4) βρείτε την αντίστοιχη τιμή της δεύτερης μεταβλητής.

Παράδειγμα. Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Στις εξισώσεις αυτού του συστήματος, οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί. Προσθέτοντας όρο προς όρο το αριστερό και το δεξί μέρος των εξισώσεων, προκύπτει μια εξίσωση με μία μεταβλητή 3x=33. Ας αντικαταστήσουμε μια από τις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα την πρώτη, με την εξίσωση 3x=33. Ας πάρουμε το σύστημα
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Από την εξίσωση 3x=33 βρίσκουμε ότι x=11. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή x στην εξίσωση \(x-3y=38 \) παίρνουμε μια εξίσωση με τη μεταβλητή y: \(11-3y=38 \). Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
\(-3y=27 \Δεξί βέλος y=-9 \)

Έτσι, βρήκαμε τη λύση στο σύστημα των εξισώσεων προσθέτοντας: \(x=11; y=-9 \) ή \((11; -9) \)

Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι στις εξισώσεις του συστήματος οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί, αναγάγαμε τη λύση του στη λύση ισοδύναμο σύστημα(αθροίζοντας και τα δύο μέρη καθεμιάς από τις εξισώσεις του αρχικού θέματος sim), στο οποίο μία από τις εξισώσεις περιέχει μόνο μία μεταβλητή.

Βιβλία (εγχειρίδια) Περιλήψεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης και δοκιμών OGE σε απευθείας σύνδεση Παιχνίδια, παζλ Κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων Ορθογραφία Λεξικό της ρωσικής γλώσσας Λεξικό νεανικής αργκό Κατάλογος ρωσικών σχολείων Κατάλογος σχολείων δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στη Ρωσία Κατάλογος ρωσικών πανεπιστημίων Κατάλογος εργασιών

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα είναι δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις για τις οποίες πρέπει να τις βρείτε όλες γενικές λύσεις. Θα εξετάσουμε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γενική μορφήΈνα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Εδώ οι x και y είναι άγνωστες μεταβλητές, οι a1, a2, b1, b2, c1, c2 είναι μερικές πραγματικούς αριθμούς. Μια λύση σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι ένα ζεύγος αριθμών (x, y) έτσι ώστε αν αυτοί οι αριθμοί αντικατασταθούν στις εξισώσεις του συστήματος, τότε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα. Εξετάστε έναν από τους τρόπους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή τη μέθοδο αντικατάστασης.

Αλγόριθμος επίλυσης με μέθοδο αντικατάστασης

Αλγόριθμος επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με μέθοδο αντικατάστασης:

1. Επιλέξτε μια εξίσωση (είναι καλύτερα να επιλέξετε αυτή όπου οι αριθμοί είναι μικρότεροι) και εκφράστε μια μεταβλητή από αυτήν μέσω μιας άλλης, για παράδειγμα, x έως y. (μπορείτε επίσης y μέσω x).

2. Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει αντί για την αντίστοιχη μεταβλητή σε άλλη εξίσωση. Έτσι, παίρνουμε μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο.

3. Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει και παίρνουμε τη λύση.

4. Αντικαθιστούμε το ληφθέν διάλυμα στην έκφραση που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο, λαμβάνουμε το δεύτερο άγνωστο από το διάλυμα.

5. Επαληθεύστε το διάλυμα που προκύπτει.

Παράδειγμα

Για να γίνει πιο σαφές, ας λύσουμε ένα μικρό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Λύση:

1. Από την πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος, εκφράζουμε τη μεταβλητή x. Έχουμε x= (12 -2*y);

2. Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με την έκφραση που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Ελέγχουμε τη λύση που λήφθηκε, για αυτό αντικαθιστούμε τους αριθμούς που βρέθηκαν στο αρχικό σύστημα.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Πήραμε τις σωστές ισότητες, επομένως, βρήκαμε σωστά τη λύση.

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο της υποκατάστασης

Θυμηθείτε τι είναι ένα σύστημα εξισώσεων.

Ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι δύο εξισώσεις γραμμένες η μία κάτω από την άλλη, που ενώνονται με μια σγουρή αγκύλη. Η επίλυση ενός συστήματος σημαίνει την εύρεση ενός ζεύγους αριθμών που θα είναι μια λύση τόσο για την πρώτη όσο και για τη δεύτερη εξίσωση ταυτόχρονα.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξοικειωθούμε με έναν τέτοιο τρόπο επίλυσης συστημάτων όπως η μέθοδος αντικατάστασης.

Ας δούμε το σύστημα των εξισώσεων:

Μπορείτε να λύσετε αυτό το σύστημα γραφικά. Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να δημιουργήσουμε γραφήματα για καθεμία από τις εξισώσεις σε ένα σύστημα συντεταγμένων, μετατρέποντάς τες στη μορφή:

Στη συνέχεια βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφημάτων, που θα είναι η λύση του συστήματος. Αλλά γραφικό τρόπομακριά από πάντα βολικό, γιατί διαφέρει σε χαμηλή ακρίβεια, ακόμη και σε απρόσιτο καθόλου. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο σύστημά μας. Τώρα μοιάζει με:

Φαίνεται ότι οι αριστερές πλευρές των εξισώσεων είναι ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι και οι δεξιές πλευρές πρέπει να είναι ίσες. Τότε παίρνουμε την εξίσωση:

Αυτή είναι μια γνωστή εξίσωση μιας μεταβλητής που ξέρουμε πώς να λύσουμε. Ας μεταφέρουμε τους άγνωστους όρους στην αριστερή πλευρά και τους γνωστούς - στα δεξιά, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια +, - κατά τη μεταφορά. Παίρνουμε:

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή του x που βρέθηκε σε οποιαδήποτε εξίσωση του συστήματος και βρίσκουμε την τιμή του y. Στο σύστημά μας, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη εξίσωση y \u003d 3 - x, μετά την αντικατάσταση παίρνουμε y \u003d 2. Τώρα ας αναλύσουμε τη δουλειά που έγινε. Αρχικά, στην πρώτη εξίσωση, εκφράσαμε τη μεταβλητή y ως προς τη μεταβλητή x. Στη συνέχεια, η προκύπτουσα έκφραση - 2x + 4 αντικαταστάθηκε στη δεύτερη εξίσωση αντί της μεταβλητής y. Στη συνέχεια λύσαμε την εξίσωση που προέκυψε με μία μεταβλητή x και βρήκαμε την τιμή της. Και εν κατακλείδι, χρησιμοποιήσαμε την τιμή που βρέθηκε του x για να βρούμε μια άλλη μεταβλητή y. Εδώ τίθεται το ερώτημα: ήταν απαραίτητο να εκφράσουμε τη μεταβλητή y και από τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα; Φυσικά και όχι. Θα μπορούσαμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή ως προς μια άλλη μόνο σε μια εξίσωση του συστήματος και να τη χρησιμοποιήσουμε αντί για την αντίστοιχη μεταβλητή στη δεύτερη. Επιπλέον, οποιαδήποτε μεταβλητή από οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να εκφραστεί. Εδώ η επιλογή εξαρτάται αποκλειστικά από την ευκολία του λογαριασμού. Οι μαθηματικοί ονόμασαν αυτή τη διαδικασία αλγόριθμο για την επίλυση συστημάτων δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης.

1. Να εκφράσετε τη μία από τις μεταβλητές ως προς την άλλη σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος.

2. Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει αντί της αντίστοιχης μεταβλητής σε άλλη εξίσωση του συστήματος.

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.

4. Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε της μεταβλητής στην έκφραση που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο και βρείτε την τιμή μιας άλλης μεταβλητής.

5. Γράψτε την απάντηση ως ζεύγος αριθμών που βρέθηκαν στο τρίτο και τέταρτο βήμα.

Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Εδώ είναι πιο βολικό να εκφράσουμε τη μεταβλητή y από την πρώτη εξίσωση. Λαμβάνουμε y \u003d 8 - 2x. Η προκύπτουσα έκφραση πρέπει να αντικατασταθεί με το y στη δεύτερη εξίσωση. Παίρνουμε:

Γράφουμε χωριστά αυτήν την εξίσωση και τη λύνουμε. Ας ανοίξουμε πρώτα τις παρενθέσεις. Παίρνουμε την εξίσωση 3x - 16 + 4x \u003d 5. Ας συλλέξουμε τους άγνωστους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τους γνωστούς στη δεξιά πλευρά και δώσουμε παρόμοιους όρους. Παίρνουμε την εξίσωση 7x \u003d 21, άρα x \u003d 3.

Τώρα, χρησιμοποιώντας την τιμή που βρέθηκε του x, μπορείτε να βρείτε:

Απάντηση: ένα ζευγάρι αριθμών (3; 2).

Έτσι, σε αυτό το μάθημα, μάθαμε να λύνουμε συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα με αναλυτικό, ακριβή τρόπο, χωρίς να καταφεύγουμε σε αμφίβολες γραφικές μεθόδους.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Mordkovich A.G., Άλγεβρα τάξη 7 σε 2 μέρη, Μέρος 1, Εγχειρίδιο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Α.Γ. Μόρντκοβιτς. - 10η έκδ., αναθεωρημένη - Μόσχα, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Άλγεβρα τάξη 7 σε 2 μέρη, Μέρος 2, Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [A.G. Mordkovich και άλλοι]; επιμέλεια A.G. Mordkovich - 10η έκδοση, αναθεωρημένη - Μόσχα, Mnemosyne, 2007.
3. ΑΥΤΗΝ. Tulchinskaya, Άλγεβρα 7η τάξη. Έρευνα Blitz: ένας οδηγός για φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, 4η έκδοση, αναθεωρημένη και συμπληρωμένη, Μόσχα, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Άλγεβρα Βαθμός 7. Θεματικός εργασίες επαλήθευσηςσε νέα μορφήγια φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich, Μόσχα, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Άλγεβρα 7η τάξη. Ανεξάρτητη εργασίαγια φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich - 6η έκδοση, στερεότυπα, Μόσχα, "Mnemosyne", 2010.