Τις προάλλες έπρεπε να γράψω ένα πρόγραμμα που υπολογίζει την προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου μιας συνάρτησης που δίνεται σε έναν πίνακα χρησιμοποιώντας τη βάση του νόμου ισχύος - χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα. Επιτρέψτε μου να κάνω μια κράτηση αμέσως ότι δεν έλαβα υπόψη την τριγωνομετρική βάση και δεν θα την αναφέρω σε αυτό το άρθρο. Στο τέλος του άρθρου μπορείτε να βρείτε τον πηγαίο κώδικα του προγράμματος C#.

Θεωρία

Αφήστε τις τιμές της κατά προσέγγιση συνάρτησης f(x)καθορίζεται σε Ν+1κόμβους f(x 0), ..., f(x N). Θα επιλέξουμε τη συνάρτηση προσέγγισης από μια συγκεκριμένη παραμετρική οικογένεια F(x, c), Οπου c = (c 0 , ..., c n) T- διάνυσμα παραμέτρων, N>n.

Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του προβλήματος προσέγγισης ρίζας μέσου τετραγώνου και του προβλήματος παρεμβολής είναι ότι ο αριθμός των κόμβων υπερβαίνει τον αριθμό των παραμέτρων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΣχεδόν πάντα δεν υπάρχει διάνυσμα παραμέτρων για το οποίο οι τιμές της συνάρτησης προσέγγισης θα συμπίπτουν με τις τιμές της προσεγγιστικής συνάρτησης σε όλους τους κόμβους.

Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα της προσέγγισης τίθεται ως το πρόβλημα της εύρεσης ενός τέτοιου διανύσματος παραμέτρων c = (c 0 , ..., c n) T, στην οποία οι τιμές της προσεγγιστικής συνάρτησης θα αποκλίνουν όσο το δυνατόν λιγότερο από τις τιμές της κατά προσέγγιση συνάρτησης F(x, c)στο σύνολο όλων των κόμβων.

Γραφικά το πρόβλημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής

Ας γράψουμε το κριτήριο για την προσέγγιση του μέσου τετραγώνου για τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min

Η ριζοσπαστική έκφραση είναι τετραγωνική λειτουργίασε σχέση με τους συντελεστές του προσεγγιστικού πολυωνύμου. Είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμος ως προς c 0 , ..., c n. Προφανώς, το ελάχιστο του είναι στο σημείο όπου όλες οι μερικές παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν. Εξισώνοντας μερικές παραγώγους με το μηδέν, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικές εξισώσειςσε σχέση με τους άγνωστους (ψαγμένους) συντελεστές του πολυωνύμου καλύτερης προσέγγισης.

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορα παραμετρικές συναρτήσεις, αλλά συχνά στην πρακτική της μηχανικής πολυώνυμα σε κάποια γραμμικά ανεξάρτητη βάση χρησιμοποιούνται ως συνάρτηση προσέγγισης ( φ κ(x), k=0,...,n}:
F(x, c)= Σ k=0 n [ c k φ κ(Χ)] .

Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντελεστών θα έχει πλήρως ορισμένου τύπου:

…

Για να έχει αυτό το σύστημα μια μοναδική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζουσα του πίνακα Α (ορίζουσα κατά Gram) να είναι διαφορετική από το μηδέν. Για να έχει ένα σύστημα μια μοναδική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό να λειτουργεί το σύστημα της βάσης φ κ(x), k=0,...,nήταν γραμμικά ανεξάρτητο από το σύνολο των κόμβων προσέγγισης.

Αυτό το άρθρο εξετάζει τη ρίζα μέσης τετραγωνικής προσέγγισης από πολυώνυμα σε βάση ισχύος ( φ κ(x) = x k, k=0,...,n}.

Παράδειγμα

Τώρα ας προχωρήσουμε σε ένα παράδειγμα. Απαιτούμενη απόσυρση συνοπτικός τύποςγια τη δεδομένη εξάρτηση πίνακα f(x),χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Χ	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Ας πάρουμε ως συνάρτηση κατά προσέγγιση
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, δηλαδή, n=2, N=4

Σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντελεστών:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i=0 N [φ k (x i)φ j (x i) ], b j = Σ i=0 N

Οι συντελεστές υπολογίζονται με τους τύπους:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303,76
b 0 = Σ i=0 N y i = 11,25, b 1 = Σ i=0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i=0 N x i 2 y i = 90,21

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων και λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές των συντελεστών:
c0 = 4,822, c1 = -3,882, c2 = 0,999

Ετσι
y = 4,8 - 3,9x + x 2

Γράφημα της συνάρτησης που προκύπτει

Υλοποίηση σε C#

Τώρα ας προχωρήσουμε στο πώς να γράψουμε κώδικα που θα δημιουργούσε μια τέτοια μήτρα. Και εδώ, αποδεικνύεται, όλα είναι πολύ απλά:
private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int based) ( double[,] matrix = new double; for (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
Στην είσοδο, η συνάρτηση λαμβάνει έναν πίνακα τιμών συνάρτησης - έναν πίνακα, η πρώτη στήλη του οποίου περιέχει τις τιμές x, η δεύτερη, αντίστοιχα, y, καθώς και την τιμή της βάσης ισχύος.

Αρχικά, η μνήμη εκχωρείται για έναν πίνακα στον οποίο θα γραφούν οι συντελεστές για την επίλυση του συστήματος γραμμικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, στην πραγματικότητα, συνθέτουμε έναν πίνακα - οι τιμές των συντελεστών aij γράφονται σε sumA και bi στο sumB, όλα σύμφωνα με τον τύπο που υποδεικνύεται παραπάνω στο θεωρητικό μέρος.

Για να λύσω το μεταγλωττισμένο σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, το πρόγραμμά μου χρησιμοποιεί τη μέθοδο Gauss. Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο με το έργο

Συχνά οι τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης y, y2 , ..., y“ καθορίζονται από το πείραμα με ορισμένα σφάλματα, επομένως δεν είναι λογικό να χρησιμοποιείται ακριβής προσέγγιση στους κόμβους παρεμβολής. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πιο φυσικό να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση όχι κατά σημεία, αλλά κατά μέση τιμή,δηλ. σε έναν από τους κανόνες L p .

Διάστημα 1 p - πολλές λειτουργίες d(x),ορίζεται στο τμήμα [α, β]και ενσωματωμένη με p-η ισχύς, εάν καθοριστεί ο κανόνας

Η σύγκλιση σε μια τέτοια νόρμα ονομάζεται σύγκλιση σε μέση τιμήΟ χώρος 1,2 ονομάζεται Hilbert και η σύγκλιση σε αυτόν είναι ρίζα μέσο τετράγωνο.

Έστω μια συνάρτηση Dx) και ένα σύνολο συναρτήσεων φ(x) από κάποιο γραμμικό κανονικό χώρο. Στο πλαίσιο του προβλήματος της παρεμβολής, της προσέγγισης και της προσέγγισης, μπορούν να διατυπωθούν τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

Πρώτη εργασίαείναι μια προσέγγιση με δεδομένη ακρίβεια, δηλ. σύμφωνα με ένα δεδομένο μιβρείτε το φ(x) έτσι ώστε η ανίσωση |[Dx) - φ(x)|| ΣΟΛ..

Δεύτερη εργασία- αυτό είναι αναζήτηση καλύτερη προσέγγισηδηλ. αναζήτηση μιας συνάρτησης φ*(x) που ικανοποιεί τη σχέση:

Ας ορίσουμε χωρίς απόδειξη επαρκής κατάστασηύπαρξη της καλύτερης προσέγγισης. Για να γίνει αυτό, στο γραμμικό χώρο των συναρτήσεων επιλέγουμε ένα σύνολο παραμετροποιημένο από την παράσταση

όπου το σύνολο των συναρτήσεων φ[(x), ..., φ„(x) θα θεωρηθεί γραμμικά ανεξάρτητο.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι σε οποιονδήποτε κανονικό χώρο για γραμμική προσέγγιση(2.16) υπάρχει η καλύτερη προσέγγιση, αν και δεν είναι μοναδική σε κανένα γραμμικό χώρο.

Ας εξετάσουμε τον χώρο Hilbert LzCp) των πραγματικών συναρτήσεων που είναι τετράγωνες ολοκληρωμένες με βάρος p(x) > 0 στο [, όπου το κλιμακωτό γινόμενο ( ζ, η) αποφασισμένος από

τύπος:

Αντικαθιστώντας τον γραμμικό συνδυασμό (2.16) στην συνθήκη για την καλύτερη προσέγγιση, βρίσκουμε

Εξίσωση παραγώγων ως προς τους συντελεστές (D, κ= 1, ..., P, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Η ορίζουσα του συστήματος των εξισώσεων (2.17) ονομάζεται ορίζουσα Gram. Η ορίζουσα Gram είναι μη μηδενική, αφού υποτίθεται ότι το σύστημα των συναρτήσεων φ[(x), ..., φ„(x) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Έτσι, η καλύτερη προσέγγιση υπάρχει και είναι μοναδική. Για να το αποκτήσετε, είναι απαραίτητο να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων (2.17). Αν το σύστημα των συναρτήσεων φ1(x), ..., φ„(x) είναι ορθογώνιο, δηλ. (φ/,φ,) = 5y, όπου 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., Π,τότε το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί με τη μορφή:

Οι συντελεστές που βρέθηκαν σύμφωνα με το (2.18) Q, ..., ουονομάζονται συντελεστές της γενικευμένης σειράς Fourier.

Αν το σύνολο των συναρτήσεων φ t (X),..., φ„(x),... σχηματίζει ένα πλήρες σύστημα, τότε δυνάμει της ισότητας του Parseval ως Ρ -» συν ο κανόνας του σφάλματος μειώνεται χωρίς όριο. Αυτό σημαίνει ότι η καλύτερη προσέγγιση συγκλίνει ρίζα-μέσο-τετράγωνο στο Dx) με οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.

Σημειώστε ότι η αναζήτηση συντελεστών της βέλτιστης προσέγγισης με την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων (2.17) είναι πρακτικά αδύνατο να εφαρμοστεί, καθώς καθώς αυξάνεται η τάξη του πίνακα Gram, η ορίζοντή του τείνει γρήγορα στο μηδέν και ο πίνακας γίνεται κακή. Η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με έναν τέτοιο πίνακα θα οδηγήσει σε σημαντική απώλεια ακρίβειας. Ας το ελέγξουμε.

Έστω οι μοίρες που επιλέγονται ως σύστημα συναρτήσεων φ„ i =1, ..., П, δηλ. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., Π,τότε, υποθέτοντας ότι το τμήμα είναι το τμήμα προσέγγισης, βρίσκουμε τον πίνακα Gram

Ο πίνακας Gram της μορφής (2.19) ονομάζεται επίσης πίνακας Hilbert. Αυτό κλασικό παράδειγμαη λεγόμενη μήτρα με κακή ρύθμιση.

Χρησιμοποιώντας το MATLAB, υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Hilbert στη μορφή (2.19) για κάποιες πρώτες τιμές Π.Η λίστα 2.5 δείχνει τον κωδικό για το αντίστοιχο πρόγραμμα.

Λίστα 23

Υπολογισμός της ορίζουσας των πινάκων Hilbert %εκκαθάριση της περιοχής εργασίαςτα καθαρίζω όλα;

%ας διαλέξουμε μέγιστη αξία% τάξης του πίνακα Hilbert ptah =6;

Δημιουργήστε έναν βρόχο για να δημιουργήσετε πίνακες %Hilbert και να υπολογίσετε τους ορίζοντες τους

για n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); τέλος

%εκτυπώστε τις τιμές των οριζόντων των πινάκων %Hilbert

f o g t σύντομο τέλος

Μετά την εκτέλεση του κώδικα στη Λίστα 2.5, το παράθυρο εντολών του MATLAB θα πρέπει να εμφανίζει τις τιμές των προσδιοριστικών παραγόντων των πινάκων Hilbert για τους πρώτους έξι πίνακες. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις αντίστοιχες αριθμητικές τιμές των τάξεων των πινάκων (n) και των ορίζοντών τους (d). Ο πίνακας δείχνει ξεκάθαρα πόσο γρήγορα η ορίζουσα του πίνακα Hilbert τείνει στο μηδέν καθώς η σειρά αυξάνεται και, ξεκινώντας από τις εντολές 5 και 6, γίνεται απαράδεκτα μικρή.

Πίνακας τιμών της ορίζουσας των πινάκων Hilbert

Η αριθμητική ορθογωνοποίηση του συστήματος των συναρτήσεων φ, i = 1, ..., Π οδηγεί επίσης σε αισθητή απώλεια ακρίβειας, επομένως, να ληφθεί υπόψη μεγάλος αριθμόςμε όρους επέκτασης (2.16), είναι απαραίτητο είτε να πραγματοποιηθεί η ορθογωνοποίηση αναλυτικά, δηλαδή ακριβώς, είτε να χρησιμοποιηθεί ένα έτοιμο σύστημα ορθογώνιων συναρτήσεων.

Εάν κατά την παρεμβολή συνήθως χρησιμοποιούν μοίρες ως σύστημα συναρτήσεων βάσης, τότε κατά την προσέγγιση κατά μέσο όρο, πολυώνυμα ορθογώνια με δεδομένο βάρος επιλέγονται ως συναρτήσεις βάσης. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα από αυτά είναι τα πολυώνυμα Jacobi, ειδική περίπτωση των οποίων είναι τα πολυώνυμα Legendre και Chebyshev. Χρησιμοποιούνται επίσης πολυώνυμα Lagsr και Hermite. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτά τα πολυώνυμα μπορείτε να βρείτε, για παράδειγμα, στο παράρτημα Ορθογώνια πολυώνυμαβιβλία

3. Μέση τετραγωνική προσέγγιση της συνάρτησης

3.1 Δήλωση προβλήματος

Αναπτύξτε ένα διάγραμμα αλγορίθμου και γράψτε ένα πρόγραμμα σε Turbo Pascal 7.0 για να εκτελέσετε μια προσέγγιση ριζικού μέσου τετραγώνου μιας συνάρτησης που καθορίζεται σε κόμβους.

3.2 Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος

Έστω ότι υπάρχει ένα σύνολο συναρτήσεων που ανήκουν στον γραμμικό χώρο των συναρτήσεων. Με τον όρο εγγύτητα κατά μέσο όρο των συναρτήσεων παρεμβολής και παρεμβολής εννοούμε το αποτέλεσμα της εκτίμησης του ολοκληρώματος

, (3.1)

πού είναι η συνάρτηση βάρους.

Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται ρίζα μέσου τετραγώνου.

3.3 Ανασκόπηση υπαρχουσών αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος

Το πρόβλημα προσέγγισης του μέσου τετραγώνου της ρίζας εμφανίζεται σε πολλές περιοχές εφαρμοσμένη έρευνα, για παράδειγμα, όταν στατιστική επεξεργασίαπειραματικά δεδομένα χρησιμοποιώντας ανάλυση παλινδρόμησης, κατά την εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου, σε εργασίες φιλτραρίσματος κ.λπ.

Όταν το επίπεδο αβεβαιότητας στον προσδιορισμό της προσεγγιστικής συνάρτησης f(x i), i=1..m, είναι αρκετά μεγάλο, το οποίο είναι τυπικό για την επεξεργασία πειραματικών δεδομένων, δεν έχει νόημα να απαιτείται να πληρούνται οι συνθήκες παρεμβολής. Επιπλέον, ο αριθμός των σημείων για τον καθορισμό της συνάρτησης f(x i) είναι συχνά πολύ μεγάλος. Όλα αυτά καθιστούν τη χρήση της παρεμβολής απίθανη λόγω της κακής συνθήκης του προβλήματος υψηλών διαστάσεων και των προβλημάτων σύγκλισης της διαδικασίας παρεμβολής

Μία από τις απλούστερες και, επομένως, ευρέως χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις προσέγγισης είναι το αλγεβρικό πολυώνυμο

Η μέθοδος προσέγγισης ριζικού μέσου τετραγώνου παρέχει την κατασκευή του πολυωνύμου Pn(x), με βάση την ελαχιστοποίηση της τιμής

Η εξεταζόμενη μέθοδος προσέγγισης ελαχιστοποιεί την απόκλιση ρίζας μέσου τετραγώνου του προσεγγιστικού πολυωνύμου από την προσεγγιστική συνάρτηση, αλλά δεν εγγυάται σημαντικά τοπικά σφάλματα. Για να αποφευχθεί αυτή η πιθανότητα, χρησιμοποιούνται πολυώνυμα της καλύτερης ομοιόμορφης προσέγγισης.

στο χώρο παραμέτρων a 0 , a 1 ,...,a n. Υπάρχει διαφορετικές προσεγγίσειςγια την επίλυση του προβλήματος της ελαχιστοποίησης της συνάρτησης D(a). Το πιο απλό από αυτά οδηγεί στην ανάγκη επίλυσης κανονικό σύστημαγραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις

Ωστόσο, ήδη για n > 5 ο πίνακας ενός τέτοιου συστήματος αποδεικνύεται ότι είναι τόσο κακώς ρυθμισμένος που οι τιμές του a j που λαμβάνονται από το (3.4) αποδεικνύονται ελάχιστα χρήσιμες για τον υπολογισμό του P n (x). Επομένως, εάν είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν πολυώνυμα της καλύτερης μέσης τετραγωνικής προσέγγισης, περισσότερα υψηλούς βαθμούςχρησιμοποιούνται άλλοι αλγόριθμοι, για παράδειγμα, η μέθοδος αποσύνθεσης μοναδικής τιμής.

3.4 Αριθμητική μέθοδοςεπίλυση προβλήματος

Δύο προβλήματα μπορούν να εξεταστούν:

1 - επιλέξτε τη συνάρτηση έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η ανισότητα

2 - βρείτε την καλύτερη προσέγγιση, δηλ. τέτοια συνάρτηση που να ισχύει η σχέση

. (3.6)

Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε ένα σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων συναρτήσεων:

. (3.7)

Στη συνέχεια, για να συντομεύσουμε τη σημειογραφία, θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό προϊόν με κουκκίδεςστο χώρο λειτουργίας:

.

Αντικαθιστώντας το (3.7) στην κατάσταση (3.6), λαμβάνουμε

Διαφοροποιώντας αυτή την έκφραση σε σχέση με και εξισώνοντας τις παραγώγους με το μηδέν, λαμβάνουμε

. (3.8)

Η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Gram των συναρτήσεων. Λόγω τους γραμμική ανεξαρτησίααυτή η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν. Κατά συνέπεια, από το σύστημα (3.8) μπορεί κανείς να βρει τους συντελεστές που ορίζουν τη συνάρτηση σύμφωνα με το (3.6) και να ελαχιστοποιήσει το ολοκλήρωμα του σφάλματος . Επομένως, η καλύτερη προσέγγιση του μέσου τετραγώνου της ρίζας υπάρχει και είναι μοναδική.

Όταν χρησιμοποιείται ένα ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων, το σύστημα (3.8) απλοποιείται:

,

εκείνοι. είναι συντελεστές Fourier και η καλύτερη προσέγγιση είναι μια σειρά Fourier που τελειώνει σε κάποιο όρο.

Έχει αποδειχθεί ότι σε κάθε γραμμικά κανονικοποιημένο χώρο, με γραμμική προσέγγιση της μορφής (3.4), υπάρχει η καλύτερη προσέγγιση, αν και μπορεί να μην είναι η μόνη.

Σε περιπτώσεις που οι συναρτήσεις δεν είναι ορθογώνιες, η ορίζουσα Gram μειώνεται, πλησιάζοντας το μηδέν. Στη συνέχεια, το σύστημα γίνεται κακώς κλιματιζόμενο και η λύση του δίνει μεγάλο σφάλμα. Σε αυτήν την περίπτωση, συνήθως δεν λαμβάνουν περισσότερες από πέντε ή έξι θητείες συνολικά (3,7).

Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται συχνότερα είναι τα πολυώνυμα Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite, ορθογώνια με δεδομένο βάρος.

Ας σκεφτούμε ειδική περίπτωση, όταν είναι απαραίτητο να βρεθεί η καλύτερη προσέγγιση μιας συνάρτησης που δίνεται σε έναν πίνακα. Για πραγματικές συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων, το βαθμωτό γινόμενο ορίζεται από τον τύπο

, (3.9)

όπου είναι ο αριθμός των καθορισμένων κόμβων.

Η συνθήκη για την καλύτερη προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου γράφεται ως εξής:

. (3.10)

πιστεύοντας , όπου , και αντικαθιστώντας αυτό το πολυώνυμο με το (3.10), φτάνουμε στο σύστημα (3.8), στο οποίο τα κλιμακωτά γινόμενα υπολογίζονται σύμφωνα με το (3.9). Η περιγραφόμενη διαδικασία προσέγγισης ονομάζεται μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Η πιο κοινή έκδοση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων αντιστοιχεί στην περίπτωση τύπος ισχύοςλειτουργίες, δηλ. , και .

Το σύστημα των εξισώσεων (3.8) παίρνει τότε τη μορφή

, , (3.11)

Σχηματίστε περισσότερα υψηλό επίπεδοαφαιρέσεις και γενικεύσεις από αυτό στο οποίο προσανατολιζόταν η παραδοσιακή διδασκαλία». Ως εκ τούτου, παραδοσιακές μορφέςη μάθηση αποτυγχάνει να βελτιώσει τη μαθηματική σκέψη κατώτεροι μαθητέςσε υψηλότερο επίπεδο. Πώς λύνει αυτό το πρόβλημα η μη παραδοσιακή εκπαίδευση; Ποιες ιδιότητες της μαθηματικής σκέψης αναπτύσσει η λύση; μη τυπικές εργασίες? Vo-...

δίκτυο που βασίζεται σε διάφορες τοπολογίες. Λογισμικόσυστήματα εφαρμογών που έχουν σχεδιαστεί για επαγγελματική δραστηριότηταδιαχειριστής, περιλαμβάνει: · λογισμικό συστήματος. · βασικά πακέτα λογισμικού εφαρμογών. · εργαλεία υποστήριξης δικτύου για υπολογιστές σε τοπικά και παγκόσμια δίκτυα. · Συστήματα προγραμματισμού εφαρμογών. · λογισμικό δοκιμής. ...

Για να εξομαλυνθεί διακριτές λειτουργίες Altman, και έτσι εισήγαγε την ιδέα της συνέχειας στη θεωρία, χρησιμοποιήθηκε η ολοκληρωτική προσέγγιση ρίζας μέσου τετραγώνου από ένα πολυώνυμο διαφορετικών βαθμών.

Είναι γνωστό ότι μια ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής σε ισαπέχοντες κόμβους δεν συγκλίνει απαραίτητα σε μια συνάρτηση, ακόμα κι αν η συνάρτηση είναι απείρως διαφορίσιμη. Για την κατά προσέγγιση συνάρτηση, χρησιμοποιώντας μια κατάλληλη διάταξη κόμβων, είναι δυνατό να μειωθεί ο βαθμός του πολυωνύμου. . Η δομή των συναρτήσεων Altman είναι τέτοια που είναι πιο βολικό να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση της συνάρτησης όχι με παρεμβολή, αλλά με την κατασκευή της καλύτερης μέσης τετραγωνικής προσέγγισης σε έναν κανονικοποιημένο γραμμικό χώρο. Ας εξετάσουμε τις βασικές έννοιες και πληροφορίες κατά την κατασκευή της καλύτερης προσέγγισης. Τα προβλήματα προσέγγισης και βελτιστοποίησης τίθενται σε γραμμικούς κανονικούς χώρους.

Μετρικοί και γραμμικοί κανονισμένοι χώροι

Στο μέγιστο ευρείες έννοιεςτα μαθηματικά αναφέρονται σε «σύνολο» και «χαρτογράφηση». Οι έννοιες «σύνολο», «σύνολο», «συλλογή», ​​«οικογένεια», «σύστημα», «τάξη» στη μη αυστηρή θεωρία συνόλων θεωρούνται συνώνυμες.

Ο όρος "χειριστής" είναι πανομοιότυπος με τον όρο "χαρτογράφηση". Οι όροι «λειτουργία», «λειτουργία», «λειτουργικό», «μέτρο» αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της έννοιας «χαρτογράφηση».

Οι όροι «δομή», «χώρος» στην αξιωματική κατασκευή μαθηματικές θεωρίεςέχει επίσης αποκτήσει πλέον θεμελιώδη σημασία. Οι μαθηματικές δομές περιλαμβάνουν θεωρητικές δομές συνόλων (τακτοποιημένα και μερικώς διατεταγμένα σύνολα). αφηρημένες αλγεβρικές δομές (ημιομάδες, ομάδες, δακτύλιοι, δακτύλιοι διαίρεσης, πεδία, άλγεβρες, πλέγματα). διαφορικές δομές(εξωτερικός διαφορικές μορφές, διαστήματα με ίνες) , , , , , , .

Μια δομή νοείται ως ένα πεπερασμένο σύνολο που αποτελείται από σύνολα ενός φορέα (κύριο σύνολο), ένα αριθμητικό πεδίο (βοηθητικό σύνολο) και μια αντιστοίχιση που ορίζεται στα στοιχεία του φορέα και τους αριθμούς του πεδίου. Εάν ένα σύνολο ληφθεί ως φορέας μιγαδικοί αριθμοί, τότε παίζει το ρόλο τόσο του κύριου όσο και του βοηθητικού συνόλου. Ο όρος «δομή» είναι πανομοιότυπος με την έννοια του «χώρου».

Για να ορίσετε ένα διάστημα, πρέπει πρώτα να ορίσετε ένα σύνολο φορέα με τα στοιχεία του (σημεία), που να υποδηλώνονται με λατινικά και ελληνικά γράμματα

Ο φορέας μπορεί να είναι ένα σύνολο πραγματικών (ή μιγαδικών) στοιχείων: αριθμοί; φορείς, ; Πίνακες, ; Ακολουθίες, ; Λειτουργίες;

Τα ακόλουθα σύνολα μπορούν επίσης να λειτουργήσουν ως στοιχεία του φορέα: πραγματικός άξονας, επίπεδο, τρισδιάστατος (και πολυδιάστατος) χώρος, μετάθεση, κίνηση. αφηρημένα σύνολα.

Ορισμός. Ένας μετρικός χώρος είναι μια δομή που σχηματίζει ένα τριπλό, όπου η αντιστοίχιση είναι ένα μη αρνητικό πραγματική λειτουργίαδύο ορίσματα για οποιαδήποτε x και y από το M και ικανοποιούν τρία αξιώματα.

• 1- μη αρνητικότητα. , στο.
• 2- - συμμετρία;
• 3- - αξίωμα ανακλαστικότητας.

πού είναι οι αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων.

Στον μετρικό χώρο, καθορίζεται μια μετρική και διαμορφώνεται η έννοια της εγγύτητας δύο στοιχείων από το σύνολο του φορέα.

Ορισμός. Ένας πραγματικός γραμμικός (διανυσματικός) χώρος είναι μια δομή όπου η αντιστοίχιση είναι η αθροιστική λειτουργία της προσθήκης στοιχείων που ανήκουν και η αντιστοίχιση είναι η λειτουργία πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με ένα στοιχείο από.

Η πράξη σημαίνει ότι για οποιαδήποτε δύο στοιχεία ένα τρίτο στοιχείο ορίζεται μοναδικά, ονομάζεται άθροισμά τους και συμβολίζεται με, και ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα.

Ανταλλαγή ιδιότητας.

Συνεταιριστική ιδιοκτησία.

Υπάρχει ένα ειδικό στοιχείο, που συμβολίζεται με τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε ισχύει.

για οποιονδήποτε υπάρχει, έτσι ώστε.

Το στοιχείο ονομάζεται αντίθετο και συμβολίζεται μέσω.

Η πράξη σημαίνει ότι για οποιοδήποτε στοιχείο και οποιονδήποτε αριθμό ορίζεται ένα στοιχείο, συμβολίζεται με και ικανοποιούνται τα αξιώματα:

Ένα στοιχείο (σημείο) ενός γραμμικού χώρου ονομάζεται επίσης διάνυσμα. Τα αξιώματα 1 - 4 ορίζουν μια ομάδα (πρόσθετο), που ονομάζεται ενότητα, η οποία είναι μια δομή.

Εάν μια πράξη σε μια δομή δεν υπακούει σε κανένα αξίωμα, τότε μια τέτοια δομή ονομάζεται ομαδοειδής. Αυτή η δομή είναι εξαιρετικά φτωχή. δεν περιέχει κανένα αξίωμα συσχετισμού, τότε η δομή ονομάζεται μονοειδές (ημιομάδα).

Στη δομή, χρησιμοποιώντας την αντιστοίχιση και τα αξιώματα 1-8, προσδιορίζεται η ιδιότητα της γραμμικότητας.

Έτσι, ένας γραμμικός χώρος είναι μια ομαδική μονάδα, στη δομή της οποίας προστίθεται μια ακόμη πράξη - πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία του φορέα με έναν αριθμό με 4 αξιώματα. Αν, αντί για την πράξη, καθορίσουμε, μαζί με μια άλλη ομαδική πράξη πολλαπλασιαστικών στοιχείων με 4 αξιώματα και υποθέσουμε το αξίωμα της κατανομής, τότε προκύπτει μια δομή που ονομάζεται πεδίο.

Ορισμός. Ένας γραμμικός κανονικοποιημένος χώρος είναι μια δομή στην οποία η αντιστοίχιση ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

• 1. και αν και μόνο αν.
• 2. , .
• 3. , .

Και ούτω καθεξής σε συνολικά 11 αξιώματα.

Για παράδειγμα, εάν η δομή πεδίου πραγματικούς αριθμούς, Οπου - πραγματικούς αριθμούς, προσθέστε μια λειτουργική μονάδα που έχει και τις τρεις ιδιότητες νόρμα, τότε το πεδίο των πραγματικών αριθμών γίνεται κανονικό διάστημα

Υπάρχουν δύο συνήθεις τρόποι εισαγωγής του κανόνα: είτε προσδιορίζοντας ρητά τη μορφή διαστήματος του ομοιογενώς κυρτού συναρτητικού , είτε προσδιορίζοντας το βαθμωτό γινόμενο , .

Αφήστε, τότε μπορεί να καθοριστεί ο τύπος της λειτουργίας αμέτρητοςτρόποι αλλάζοντας την τιμή:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Ο δεύτερος κοινός τρόπος προσέγγισης της εργασίας είναι η εισαγωγή μιας άλλης αντιστοίχισης στη δομή του χώρου (μια συνάρτηση δύο ορισμάτων, που συνήθως συμβολίζονται με και ονομάζονται κλιμακωτό γινόμενο).

Ορισμός. Ο Ευκλείδειος χώρος είναι μια δομή στην οποία το βαθμωτό γινόμενο περιέχει έναν κανόνα και ικανοποιεί τα αξιώματα:

• 4. , και αν και μόνο αν

Στον Ευκλείδειο χώρο, ο κανόνας δημιουργείται από τον τύπο

Από τις ιδιότητες 1 - 4 του κλιμακωτού γινομένου προκύπτει ότι όλα τα αξιώματα του κανόνα ικανοποιούνται. Εάν το βαθμωτό γινόμενο είναι στη μορφή, τότε ο κανόνας θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ο κανόνας ενός χώρου δεν μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο, .

Σε χώρους με βαθμωτό γινόμενο, εμφανίζονται ποιότητες που απουσιάζουν σε γραμμικούς κανονικούς χώρους (ορθογωνικότητα στοιχείων, ισότητα παραλληλογράμμου, πυθαγόρειο θεώρημα, ταυτότητα Απολλώνιου, ανισότητα Πτολεμαίου. Η εισαγωγή ενός βαθμωτού γινόμενου παρέχει τρόπους για περισσότερα αποτελεσματική λύσηπροβλήματα προσέγγισης.

Ορισμός. Μια άπειρη ακολουθία στοιχείων σε έναν γραμμικό κανονικό χώρο ονομάζεται νόρμα-σύγκλιση (απλώς συγκλίνουσα ή με όριο σε) εάν υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε υπάρχει ένας αριθμός ανάλογα με το

Ορισμός. Μια ακολουθία στοιχείων μέσα ονομάζεται θεμελιώδης εάν για οποιοδήποτε υπάρχει ένας αριθμός ανάλογα με το τι ικανοποιούνται (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, σελ. 48)

Ορισμός. Ένας χώρος Banach είναι μια δομή στην οποία οποιαδήποτε θεμελιώδης ακολουθία συγκλίνει σε σχέση με τον κανόνα.

Ορισμός. Ένας χώρος Hilbert είναι μια δομή στην οποία οποιαδήποτε θεμελιώδης ακολουθία συγκλίνει σε σχέση με τον κανόνα που δημιουργείται από το βαθμωτό γινόμενο.

Τετραγωνική προσέγγιση

Εάν το διάγραμμα διασποράς μοιάζει με παραβολή, τότε αναζητούμε τον εμπειρικό τύπο στη μορφή τετραγωνικό τριώνυμο. Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη που πλησιάζει είναι παρόμοια με μια παραβολή, συμμετρική ως προς τον άξονα y. Τότε η παραβολή θα πάρει πιο απλή μορφή

(4.4)

Ας πάρουμε ένα ημι-τετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων. Αυτό είναι ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η κλίμακα στον άξονα της τετμημένης είναι τετραγωνική, δηλ. οι τιμές των διαιρέσεων σχεδιάζονται σύμφωνα με την έκφραση, εδώ Μ -κλίμακα σε ορισμένες μονάδες μήκους, για παράδειγμα, σε cm.

Μια γραμμική κλίμακα σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων σύμφωνα με την έκφραση

Ας σχεδιάσουμε τα πειραματικά σημεία σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων. Εάν τα σημεία αυτού του γραφήματος βρίσκονται περίπου σε ευθεία γραμμή, τότε αυτό επιβεβαιώνει την υπόθεση μας ότι η εξάρτηση yαπό Χεκφράζεται καλά με μια συνάρτηση της μορφής (4.4). Για να βρείτε τους συντελεστές έναΚαι σιΤώρα μπορείτε να εφαρμόσετε μία από τις μεθόδους που συζητήθηκαν παραπάνω: τη μέθοδο τεντωμένου νήματος, τη μέθοδο επιλεγμένων σημείων ή τη μέθοδο μέσου όρου.

Μέθοδος σφιχτού νήματοςισχύει με τον ίδιο τρόπο όπως για μια γραμμική συνάρτηση.

Μέθοδος επιλεγμένων σημείωνμπορούμε να το εφαρμόσουμε έτσι. Σε ένα ευθύγραμμο γράφημα, πάρτε δύο σημεία (μακριά το ένα από το άλλο). Δηλώνουμε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων και ( x, y). Τότε μπορούμε να γράψουμε

Από το δεδομένο σύστημα δύο εξισώσεων βρίσκουμε έναΚαι σικαι αντικαταστήστε τα με τον τύπο (4.4) και λάβετε την τελική μορφή του εμπειρικού τύπου.

Δεν χρειάζεται να το φτιάξεις ευθύγραμμο γράφημακαι πάρτε τους αριθμούς, ( x,y) απευθείας από το τραπέζι. Ωστόσο, ο τύπος που λαμβάνεται με μια τέτοια επιλογή σημείων θα είναι λιγότερο ακριβής.

Η διαδικασία μετατροπής ενός καμπυλωμένου γραφήματος σε ένα ευθύ γράφημα ονομάζεται ισοπέδωση.

Μέση μέθοδος. Εφαρμόζεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση του γραμμική εξάρτηση. Χωρίζουμε τα πειραματικά σημεία σε δύο ομάδες με τον ίδιο (ή σχεδόν ίδιο) αριθμό πόντων σε κάθε ομάδα. Ξαναγράφουμε την ισότητα (4.4) ως εξής

(4.5)

Βρίσκουμε το άθροισμα των υπολειμμάτων για τους βαθμούς της πρώτης ομάδας και τους εξισώνουμε με μηδέν. Το ίδιο κάνουμε και για τους βαθμούς του δεύτερου γκρουπ. Παίρνουμε δύο εξισώσεις με αγνώστους έναΚαι σι. Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων, βρίσκουμε έναΚαι σι.

Σημειώστε ότι όταν χρησιμοποιείτε αυτή τη μέθοδο δεν είναι απαραίτητο να κατασκευάσετε μια κατά προσέγγιση ευθεία γραμμή. Διάγραμμα διασποράςσε ένα ημιτετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων χρειάζεται μόνο για να επαληθευτεί ότι μια συνάρτηση της μορφής (4.4) είναι κατάλληλη για τον εμπειρικό τύπο.

Παράδειγμα. Κατά τη μελέτη της επίδρασης της θερμοκρασίας στη λειτουργία του χρονομέτρου, προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Σε αυτή την περίπτωση, δεν μας ενδιαφέρει η ίδια η θερμοκρασία, αλλά η απόκλισή της από το . Ως εκ τούτου, παίρνουμε ως επιχείρημα , όπου t– θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου στη συνήθη κλίμακα.

Έχοντας σχεδιάσει τα αντίστοιχα σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, παρατηρούμε ότι μια παραβολή με άξονα παράλληλο προς τον άξονα τεταγμένων μπορεί να ληφθεί ως προσεγγιστική καμπύλη (Εικ. 4). Ας πάρουμε ένα ημι-τετραγωνικό σύστημα συντεταγμένων και ας σχεδιάσουμε τα πειραματικά σημεία πάνω του. Βλέπουμε ότι αυτά τα σημεία ταιριάζουν αρκετά στην ευθεία. Ο εμπειρικός τύπος λοιπόν

μπορεί να αναζητηθεί στη φόρμα (4.4).

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές έναΚαι σιχρησιμοποιώντας τη μέθοδο του μέσου όρου. Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε τα πειραματικά σημεία σε δύο ομάδες: στην πρώτη ομάδα - τα πρώτα τρία σημεία, στη δεύτερη - τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία. Χρησιμοποιώντας την ισότητα (4.5), βρίσκουμε το άθροισμα των υπολειμμάτων για κάθε ομάδα και εξισώνουμε κάθε άθροισμα με μηδέν.