Λύστε τη λάσπη για να βρείτε ένα κανονικό θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Επίλυση ομοιογενών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Συστήματα γραμμικές εξισώσεις, όπου όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν, λέγονται ομοιογενής :

Οποιοδήποτε ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού πάντα είχε μηδέν (ασήμαντος ) λύση. Τίθεται το ερώτημα υπό ποιες συνθήκες ένα ομοιογενές σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση.

Θεώρημα 5.2.Ένα ομοιογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα μικρότερο από τον αριθμότους άγνωστους της.

Συνέπεια. Ένα τετράγωνο ομοιογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν.

Παράδειγμα 5.6.Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου l για την οποία το σύστημα έχει μη τετριμμένες λύσεις και βρείτε αυτές τις λύσεις:

Λύση. Αυτό το σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση όταν η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι ίση με μηδέν:

Έτσι, το σύστημα είναι μη τετριμμένο όταν l=3 ή l=2. Για l=3, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 1. Τότε, αφήνοντας μόνο μία εξίσωση και υποθέτοντας ότι y=ένακαι z=σι, παίρνουμε x=b-a, δηλ.

Για l=2, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 2. Στη συνέχεια, επιλέγοντας ως βασικό δευτερεύον:

έχουμε ένα απλοποιημένο σύστημα

Από εδώ το βρίσκουμε x=z/4, y=z/2. Υποθέτοντας z=4ένα, παίρνουμε

Το σύνολο όλων των λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος έχει ένα πολύ σημαντικό γραμμική ιδιότητα : αν Χ στήλες 1 και Χ 2 - λύσεις του ομογενούς συστήματος AX = 0, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τουςένα Χ 1+β Χ 2 θα είναι και η λύση αυτού του συστήματος. Πράγματι, επειδή ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1 = 0 και ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = 0 , έπειτα ΕΝΑ(ένα Χ 1+β Χ 2) = α ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1+β ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Λόγω αυτής της ιδιότητας, εάν ένα γραμμικό σύστημα έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε θα υπάρχουν άπειρες από αυτές τις λύσεις.

Γραμμικά ανεξάρτητες στήλες μι 1 , μι 2 , Ε κ, που είναι διαλύματα ενός ομογενούς συστήματος, λέγεται θεμελιώδες σύστημα αποφάσεων ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων εάν η γενική λύση αυτού του συστήματος μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των στηλών:

Αν ένα ομοιογενές σύστημα έχει nμεταβλητές και η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι ίση με r, έπειτα κ = n-r.

Παράδειγμα 5.7.Βρείτε ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων επόμενο σύστημαγραμμικές εξισώσεις:

Λύση. Βρείτε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος:

Έτσι, το σύνολο των λύσεων αυτού του συστήματος εξισώσεων σχηματίζει έναν γραμμικό υποχώρο διαστάσεων n - r= 5 - 2 = 3. Επιλέγουμε ως βασικό δευτερεύον

.

Στη συνέχεια, αφήνοντας μόνο τις βασικές εξισώσεις (οι υπόλοιπες θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των εξισώσεων) και οι βασικές μεταβλητές (μεταφέρουμε τις υπόλοιπες, τις λεγόμενες ελεύθερες μεταβλητές προς τα δεξιά), έχουμε ένα απλοποιημένο σύστημα εξισώσεων:

Υποθέτοντας Χ 3 = ένα, Χ 4 = σι, Χ 5 = ντο, βρίσκουμε

, .

Υποθέτοντας ένα= 1, b=c= 0, λαμβάνουμε την πρώτη βασική λύση. υποθέτοντας σι= 1, α = γ= 0, λαμβάνουμε τη δεύτερη βασική λύση. υποθέτοντας ντο= 1, α = β= 0, λαμβάνουμε την τρίτη βασική λύση. Ως αποτέλεσμα, το κανονικό θεμελιώδες σύστημα λύσεων παίρνει τη μορφή

Χρησιμοποιώντας θεμελιώδες σύστημαη γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος μπορεί να γραφτεί ως

Χ = aE 1 + είναι 2 + cE 3 . ένα

Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες λύσεων του ανομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων AX=Bκαι τη σχέση τους με το αντίστοιχο ομοιογενές σύστημα εξισώσεων AX = 0.

Γενική λύση ανομοιογενούς συστήματοςισούται με το άθροισμα κοινή λύσητου αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος ΑΧ = 0 και αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση του ανομοιογενούς συστήματος. Πράγματι, ας ΥΤο 0 είναι μια αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος, δηλ. AY 0 = σι, και Υείναι η γενική λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος, δηλ. AY=B. Αφαιρώντας τη μία ισότητα από την άλλη, παίρνουμε
ΕΝΑ(Υ-Υ 0) = 0, δηλ. Υ-ΥΤο 0 είναι η γενική λύση του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος ΤΣΕΚΟΥΡΙ=0. Συνεπώς, Υ-Υ 0 = Χ, ή Υ=Υ 0 + Χ. Q.E.D.

Έστω ένα ανομοιογενές σύστημα να έχει τη μορφή AX = B 1 + σι 2 . Τότε η γενική λύση ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να γραφτεί ως X = X 1 + Χ 2 , όπου AX 1 = σι 1 και AX 2 = σι 2. Αυτή η ιδιότητα εκφράζει την καθολική ιδιότητα οποιουδήποτε γραμμικού συστήματος γενικά (αλγεβρικό, διαφορικό, λειτουργικό κ.λπ.). Στη φυσική, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης, στην ηλεκτρική και ραδιομηχανική - αρχή της επικάλυψης. Για παράδειγμα, στη θεωρία της γραμμικής ηλεκτρικά κυκλώματατο ρεύμα σε οποιοδήποτε κύκλωμα μπορεί να ληφθεί ως αλγεβρικό άθροισμαρεύματα που προκαλούνται από κάθε πηγή ενέργειας ξεχωριστά.

Παράδειγμα 1 . Βρείτε μια γενική λύση και κάποιο θεμελιώδες σύστημα λύσεων για το σύστημα

Λύσηβρείτε με μια αριθμομηχανή. Ο αλγόριθμος επίλυσης είναι ο ίδιος με αυτόν των γραμμικών συστημάτων ομοιογενείς εξισώσεις.
Λειτουργώντας μόνο με σειρές, βρίσκουμε την κατάταξη του πίνακα, το βασικό δευτερεύον. δηλώνουμε εξαρτημένους και ελεύθερους αγνώστους και βρίσκουμε τη γενική λύση.

Η πρώτη και η δεύτερη γραμμή είναι αναλογικές, μία από αυτές θα διαγραφεί:

.
Εξαρτημένες μεταβλητές - x 2, x 3, x 5, δωρεάν - x 1, x 4. Από την πρώτη εξίσωση 10x 5 = 0 βρίσκουμε x 5 = 0, τότε
; .
Η γενική λύση μοιάζει με:

Βρίσκουμε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων, το οποίο αποτελείται από (n-r) λύσεις. Στην περίπτωσή μας, n=5, r=3, επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από δύο λύσεις και αυτές οι λύσεις πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Για να είναι γραμμικά ανεξάρτητες οι σειρές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία των σειρών να είναι ίση με τον αριθμό των σειρών, δηλαδή 2. Αρκεί να δώσουμε τους ελεύθερους αγνώστους x 1 και x 4 τιμές από τις σειρές της ορίζουσας δεύτερης τάξης, που είναι διαφορετική από το μηδέν, και υπολογίστε x 2 , x 3 , x 5 . Η απλούστερη μη μηδενική ορίζουσα είναι .
Η πρώτη λύση λοιπόν είναι: , το δεύτερο - .
Αυτές οι δύο αποφάσεις αποτελούν το θεμελιώδες σύστημα αποφάσεων. Σημειώστε ότι το θεμελιώδες σύστημα δεν είναι μοναδικό (οι ορίζοντες εκτός από το μηδέν μπορούν να συντεθούν όσες θέλετε).

Παράδειγμα 2 . Να βρείτε τη γενική λύση και το θεμελιώδες σύστημα λύσεων του συστήματος
Λύση.



,
προκύπτει ότι η κατάταξη του πίνακα είναι 3 και ισούται με τον αριθμόάγνωστος. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει δωρεάν άγνωστα, και επομένως έχει μια μοναδική λύση - μια ασήμαντη λύση.

Άσκηση . Εξερευνήστε και λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Παράδειγμα 4

Άσκηση . Βρείτε γενικές και ειδικές λύσεις για κάθε σύστημα.
Λύση.Γράφουμε τον κύριο πίνακα του συστήματος:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Φέρνουμε τη μήτρα στο τριγωνικός. Θα εργαστούμε μόνο με σειρές, καθώς ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής ενός πίνακα με έναν μη μηδενικό αριθμό και η πρόσθεσή του σε μια άλλη σειρά για το σύστημα σημαίνει πολλαπλασιασμό της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και προσθήκη σε μια άλλη εξίσωση, η οποία δεν αλλάζει τη λύση του συστήματος.
Πολλαπλασιάστε τη 2η σειρά με (-5). Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Πολλαπλασιάστε τη 2η σειρά με (6). Πολλαπλασιάστε την 3η σειρά με (-1). Ας προσθέσουμε την 3η γραμμή στη 2η:
Βρείτε την κατάταξη του πίνακα.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ο διακεκριμένος ανήλικος έχει υψηλότερη τάξη(των πιθανών ανηλίκων) και διαφέρει από το μηδέν (αυτό είναι ίσο με το γινόμενοστοιχεία στην αντίστροφη διαγώνιο), άρα κύμα (Α) = 2.
Αυτό το μικρό είναι βασικό. Περιλαμβάνει συντελεστές για άγνωστο x 1, x 2, που σημαίνει ότι τα άγνωστα x 1, x 2 είναι εξαρτημένα (βασικά) και τα x 3, x 4, x 5 είναι ελεύθερα.
Μεταμορφώνουμε τη μήτρα, αφήνοντας μόνο τη βασική ελάσσονα στα αριστερά.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Το σύστημα με τους συντελεστές αυτού του πίνακα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα και έχει τη μορφή:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Με τη μέθοδο της εξάλειψης των αγνώστων, βρίσκουμε μη τετριμμένη λύση:
Λάβαμε σχέσεις που εκφράζουν εξαρτημένες μεταβλητές x 1 , x 2 έως ελεύθερες x 3 , x 4 , x 5 , δηλαδή βρήκαμε κοινή απόφαση:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Βρίσκουμε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων, το οποίο αποτελείται από (n-r) λύσεις.
Στην περίπτωσή μας, n=5, r=2, επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από 3 λύσεις, και αυτές οι λύσεις πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
Για να είναι οι σειρές γραμμικά ανεξάρτητες, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία των σειρών να είναι ίση με τον αριθμό των σειρών, δηλαδή 3.
Αρκεί να δώσουμε στους ελεύθερους αγνώστους x 3 , x 4 , x 5 τιμές από τις σειρές της ορίζουσας 3ης τάξης, διαφορετικές από το μηδέν και να υπολογίσουμε x 1 , x 2 .
Η απλούστερη μη μηδενική ορίζουσα είναι ο πίνακας ταυτότητας.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Μια εργασία . Βρείτε ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Μπορείτε να παραγγείλετε αναλυτική λύσητο καθήκον σου!!!

Για να καταλάβουμε τι είναι θεμελιώδες σύστημα αποφάσεωνμπορείτε να παρακολουθήσετε το εκπαιδευτικό βίντεο για το ίδιο παράδειγμα κάνοντας κλικ στο . Τώρα ας προχωρήσουμε στην περιγραφή όλων των απαραίτητων εργασιών. Αυτό θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία αυτού του ζητήματος με περισσότερες λεπτομέρειες.

Πώς να βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων μιας γραμμικής εξίσωσης;

Πάρτε για παράδειγμα το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Ας βρούμε μια λύση σε αυτό γραμμικό σύστημαεξισώσεις. Για αρχή, εμείς γράψτε τον πίνακα συντελεστών του συστήματος.

Ας μετατρέψουμε αυτόν τον πίνακα σε τριγωνικό.Ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή χωρίς αλλαγές. Και όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το $a_(11)$ πρέπει να μηδενιστούν. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(21)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο από τη δεύτερη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στη δεύτερη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(31)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο από την τρίτη σειρά και να γράψετε τη διαφορά στην τρίτη σειρά. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(41)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τέταρτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τέταρτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(31)$, αφαιρέστε το πρώτο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την πέμπτη γραμμή και γράψτε τη διαφορά στην πέμπτη γραμμή.

Ξαναγράφουμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή χωρίς αλλαγές. Και όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το $a_(22)$ πρέπει να μηδενιστούν. Για να γίνει ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(32)$, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τρίτη σειρά και να γράψετε τη διαφορά στην τρίτη σειρά. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(42)$, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τέταρτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τέταρτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(52)$, αφαιρέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 3 από την πέμπτη γραμμή και γράψτε τη διαφορά στην πέμπτη γραμμή.

Το βλέπουμε αυτό οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι ίδιες, οπότε αν αφαιρέσετε το τρίτο από το τέταρτο και το πέμπτο, τότε θα γίνουν μηδέν.

Για αυτόν τον πίνακα σημειωσε νέο σύστημαεξισώσεις.

Βλέπουμε ότι έχουμε μόνο τρεις γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις και πέντε άγνωστους, άρα το θεμελιώδες σύστημα λύσεων θα αποτελείται από δύο διανύσματα. Εμείς λοιπόν μετακινήστε τα δύο τελευταία άγνωστα προς τα δεξιά.

Τώρα, αρχίζουμε να εκφράζουμε εκείνα τα άγνωστα που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά μέσω αυτών που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά. Ξεκινάμε με την τελευταία εξίσωση, πρώτα εκφράζουμε $x_3$, μετά αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση και εκφράζουμε $x_2$, και μετά στην πρώτη εξίσωση και εδώ εκφράζουμε $x_1$. Έτσι, εκφράσαμε όλα τα άγνωστα που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά μέσω των αγνώστων που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά.

Μετά από αυτό, αντί για $x_4$ και $x_5$, μπορείτε να αντικαταστήσετε οποιουσδήποτε αριθμούς και να βρείτε τα $x_1$, $x_2$ και $x_3$. Κάθε ένας από αυτούς τους πέντε αριθμούς θα είναι οι ρίζες του αρχικού μας συστήματος εξισώσεων. Για να βρείτε τα διανύσματα που περιλαμβάνονται σε FSRπρέπει να αντικαταστήσουμε το 1 αντί του $x_4$ και να αντικαταστήσουμε το 0 αντί για το $x_5$, να βρούμε τα $x_1$, $x_2$ και $x_3$ και, στη συνέχεια, αντίστροφα $x_4=0$ και $x_5=1$.

Αφήνω ΜΤο 0 είναι το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος (4) των γραμμικών εξισώσεων.

Ορισμός 6.12.Διανύσματα Με 1 ,Με 2 , …, με σελ, που είναι λύσεις ενός ομογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων, λέγονται θεμελιώδες σύνολο λύσεων(συντομογραφία FNR) αν

1) διανύσματα Με 1 ,Με 2 , …, με σελγραμμικά ανεξάρτητο (δηλαδή, κανένα από αυτά δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους των άλλων).

2) οποιαδήποτε άλλη λύση ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων μπορεί να εκφραστεί με όρους λύσεων Με 1 ,Με 2 , …, με σελ.

Σημειώστε ότι εάν Με 1 ,Με 2 , …, με σελείναι κάποια f.n.r., τότε από την έκφραση κ 1× Με 1 + κ 2× Με 2 + … + kp× με σελμπορεί να περιγράψει ολόκληρο το σύνολο Μ 0 λύσεις στο σύστημα (4), έτσι λέγεται γενική άποψη της λύσης του συστήματος (4).

Θεώρημα 6.6.Οποιοδήποτε αόριστο ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων.

Ο τρόπος εύρεσης του θεμελιώδους συνόλου λύσεων είναι ο εξής:

Να βρείτε τη γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Χτίζω ( n – r) συγκεκριμένων λύσεων αυτού του συστήματος, ενώ πρέπει να σχηματίζονται οι τιμές των ελεύθερων αγνώστων μήτρα ταυτότητας;

ξεγράφω γενική μορφήλύση που περιλαμβάνεται σε Μ 0 .

Παράδειγμα 6.5.Βρείτε το θεμελιώδες σύνολο λύσεων του παρακάτω συστήματος:

Λύση. Ας βρούμε τη γενική λύση αυτού του συστήματος.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Αυτό το σύστημα έχει πέντε άγνωστα ( n= 5), εκ των οποίων υπάρχουν δύο κύριοι άγνωστοι ( r= 2), τρία ελεύθερα άγνωστα ( n – r), δηλαδή, το θεμελιώδες σύνολο λύσεων περιέχει τρία διανύσματα λύσεων. Ας τα φτιάξουμε. Εχουμε Χ 1 και Χ 3 - κύρια άγνωστα, Χ 2 , Χ 4 , Χ 5 - δωρεάν άγνωστα

Αξίες δωρεάν αγνώστων Χ 2 , Χ 4 , Χ 5 σχηματίζουν τον πίνακα ταυτότητας μιτρίτης τάξης. Κατάλαβα τα διανύσματα Με 1 ,Με 2 , Με 3 έντυπο f.n.r. αυτό το σύστημα. Τότε το σύνολο των λύσεων αυτού του ομοιογενούς συστήματος θα είναι Μ 0 = {κ 1× Με 1 + κ 2× Με 2 + κ 3× Με 3 , κ 1 , κ 2 , κ 3 О R).

Ας μάθουμε τώρα τις συνθήκες για την ύπαρξη μη μηδενικών λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων, με άλλα λόγια, τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός θεμελιώδους συνόλου λύσεων.

Ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μη μηδενικές λύσεις, δηλαδή είναι αόριστο αν

1) η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.

2) σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων.

3) εάν σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι ίση με μηδέν (δηλ. | ΕΝΑ| = 0).

Παράδειγμα 6.6. Σε ποια τιμή της παραμέτρου έναομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μη μηδενικές λύσεις;

Λύση. Ας συνθέσουμε τον κύριο πίνακα αυτού του συστήματος και ας βρούμε την ορίζουσα του: = = 1×(–1) 1+1 × = – ένα– 4. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν όταν ένα = –4.

Απάντηση: –4.

7. Αριθμητική n-διαστατικός διανυσματικός χώρος

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Στις προηγούμενες ενότητες, συναντήσαμε ήδη την έννοια ενός συνόλου πραγματικών αριθμών διατεταγμένων με μια συγκεκριμένη σειρά. Αυτός είναι ένας πίνακας γραμμών (ή πίνακας στήλης) και μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με nάγνωστος. Αυτές οι πληροφορίες μπορούν να συνοψιστούν.

Ορισμός 7.1. n-διάνυσμα αριθμητικής διαστάσεωνονομάζεται διατεταγμένο σύνολο nπραγματικούς αριθμούς.

Που σημαίνει ένα= (α 1 , α 2 , …, α n), όπου ένας ΕγώО R, Εγώ = 1, 2, …, nείναι η γενική άποψη του διανύσματος. Αριθμός nπου ονομάζεται διάστασηδιάνυσμα και οι αριθμοί α Εγώκάλεσε τον συντεταγμένες.

Για παράδειγμα: ένα= (1, –8, 7, 4, ) είναι ένα πενταδιάστατο διάνυσμα.

Ολα έτοιμα n-τα διανύσματα συνήθως συμβολίζονται ως R n.

Ορισμός 7.2.Δύο διανύσματα ένα= (α 1 , α 2 , …, α n) και σι= (β 1 , β 2 , …, β n) ίδιας διάστασης ίσοςαν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες, δηλ. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= β n.

Ορισμός 7.3.άθροισμαδύο n-διαστασιακά διανύσματα ένα= (α 1 , α 2 , …, α n) και σι= (β 1 , β 2 , …, β n) ονομάζεται διάνυσμα ένα + σι= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+β n).

Ορισμός 7.4. δουλειάπραγματικός αριθμός κανά διάνυσμα ένα= (α 1 , α 2 , …, α n) ονομάζεται διάνυσμα κ× ένα = (κ×a 1, κ×a 2,…, κ×α n)

Ορισμός 7.5.Διάνυσμα σχετικά με= (0, 0, …, 0) καλείται μηδέν(ή μηδενικό διάνυσμα).

Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι οι ενέργειες (πράξεις) της προσθήκης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με πραγματικός αριθμόςκατέχω τις ακόλουθες ιδιότητες: " ένα, σι, ντο Î R n, " κ, μεγάλοΉ:

1) ένα + σι = σι + ένα;

2) ένα + (σι+ ντο) = (ένα + σι) + ντο;

3) ένα + σχετικά με = ένα;

4) ένα+ (–ένα) = σχετικά με;

5) 1× ένα = ένα, 1 О R;

6) κ×( μεγάλο× ένα) = μεγάλο×( κ× ένα) = (μεγάλο× κ)× ένα;

7) (κ + μεγάλο)× ένα = κ× ένα + μεγάλο× ένα;

8) κ×( ένα + σι) = κ× ένα + κ× σι.

Ορισμός 7.6.Πολλά R nμε τις πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με έναν πραγματικό αριθμό που δίνεται σε αυτό καλείται αριθμητικός ν-διάστατος διανυσματικός χώρος.

Συστήματα γραμμικών ομογενών εξισώσεων- έχει τη μορφή ∑a k i x i = 0. όπου m > n ή m Ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι πάντα συνεπές, αφού rangA = rangB . Σίγουρα έχει μια λύση που αποτελείται από μηδενικά, η οποία ονομάζεται ασήμαντος.

Ανάθεση υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για να βρίσκει μια μη τετριμμένη και θεμελιώδη λύση για το SLAE. Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word (δείτε παράδειγμα λύσης).

Εντολή. Επιλέξτε τη διάσταση του πίνακα:

αριθμός μεταβλητών: 2 3 4 5 6 7 8 και αριθμός γραμμών 2 3 4 5 6

Ιδιότητες συστημάτων γραμμικών ομογενών εξισώσεων

Για να έχει το σύστημα μη τετριμμένες λύσεις, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα του να είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.

Θεώρημα. Το σύστημα στην περίπτωση m=n έχει μια μη τετριμμένη λύση αν και μόνο αν η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Θεώρημα. Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός λύσεων σε ένα σύστημα είναι επίσης μια λύση σε αυτό το σύστημα.
Ορισμός. Το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών ομογενών εξισώσεων ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα αποφάσεωναν αυτή η συλλογή αποτελείται από γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις και οποιαδήποτε λύση του συστήματος είναι γραμμικός συνδυασμός αυτών των λύσεων.

Θεώρημα. Εάν η κατάταξη r του πίνακα συστήματος είναι μικρότερη από τον αριθμό n των αγνώστων, τότε υπάρχει ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων που αποτελείται από (n-r) λύσεις.

Αλγόριθμος επίλυσης συστημάτων γραμμικών ομογενών εξισώσεων

1. Βρείτε την κατάταξη του πίνακα.
2. Επιλέγουμε το βασικό δευτερεύον. Επιλέγουμε εξαρτημένα (βασικά) και ελεύθερα άγνωστα.
3. Διαγράφουμε εκείνες τις εξισώσεις του συστήματος, οι συντελεστές των οποίων δεν συμπεριλήφθηκαν στη σύνθεση βασικό μικρό, αφού είναι συνέπειες των άλλων (από το βασικό δευτερεύον θεώρημα).
4. Μεταφέρουμε τους όρους των εξισώσεων που περιέχουν ελεύθερους αγνώστους σε σωστη πλευρα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων r με r αγνώστους, ισοδύναμο με το δεδομένο, η ορίζουσα του οποίου είναι διαφορετική από το μηδέν.
5. Επιλύουμε το σύστημα που προκύπτει εξαλείφοντας τα άγνωστα. Βρίσκουμε σχέσεις που εκφράζουν εξαρτημένες μεταβλητές ως ελεύθερες.
6. Εάν η κατάταξη του πίνακα δεν είναι ίση με τον αριθμό των μεταβλητών, τότε βρίσκουμε θεμελιώδης απόφασησυστήματα.
7. Στην περίπτωση rang = n, έχουμε μια ασήμαντη λύση.

Παράδειγμα. Να βρείτε τη βάση του συστήματος των διανυσμάτων (a 1 , a 2 ,...,a m), να ταξινομήσετε και να εκφράσετε τα διανύσματα ως προς τη βάση. Αν a 1 =(0,0,1,-1) και 2 =(1,1,2,0) και 3 =(1,1,1,1) και 4 =(3,2,1 ,4) και 5 =(2,1,0,3).
Γράφουμε τον κύριο πίνακα του συστήματος:

Πολλαπλασιάστε την 3η σειρά με (-3). Ας προσθέσουμε την 4η γραμμή στην 3η:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Πολλαπλασιάστε την 4η σειρά με (-2). Πολλαπλασιάστε την 5η σειρά με (3). Ας προσθέσουμε την 5η γραμμή στην 4η:
Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:
Βρείτε την κατάταξη του πίνακα.
Το σύστημα με τους συντελεστές αυτού του πίνακα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα και έχει τη μορφή:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Με τη μέθοδο της εξάλειψης των αγνώστων, βρίσκουμε μια μη τετριμμένη λύση:
Πήραμε σχέσεις που εκφράζουν εξαρτημένες μεταβλητές x 1, x 2, x 3 έως το ελεύθερο x 4, δηλαδή βρήκαμε μια γενική λύση:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4