§ 1 Πτυχίο γ φυσικός δείκτης

Ας θυμηθούμε μια τόσο γνωστή πράξη όπως η προσθήκη αρκετών πανομοιότυπων όρων. Για παράδειγμα, 5 + 5 + 5. Ο μαθηματικός θα αντικαταστήσει αυτόν τον συμβολισμό με έναν μικρότερο:

5 ∙ 3. Ή 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 θα γραφτεί ως 7 ∙ 6

Αλλά η γραφή a + a + a + …+ a (όπου n όροι a) δεν θα λειτουργήσει καθόλου, αλλά θα γράψει a ∙ n. Με τον ίδιο τρόπο, ένας μαθηματικός δεν θα γράψει εκτενώς το γινόμενο πολλών πανομοιότυποι πολλαπλασιαστές. Το γινόμενο 2 ∙ 2 ∙ 2 θα γραφτεί ως 23 (2 στην τρίτη δύναμη). Και το γινόμενο 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 είναι σαν το 46 (4 στην έκτη δύναμη). Αλλά εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να αντικαταστήσετε μια σύντομη καταχώρηση με μια μεγαλύτερη. Για παράδειγμα, το 74 (7 στην τέταρτη δύναμη) γράφεται ως 7∙7∙7∙7. Τώρα ας δώσουμε έναν ορισμό.

Κάτω από την καταχώρηση an (όπου n είναι φυσικός αριθμός) κατανοούν το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους ισούται με a.

Η ίδια η καταχώρηση an ονομάζεται ισχύς του αριθμού a, ο αριθμός a είναι η βάση της ισχύος και ο αριθμός n είναι ο εκθέτης.

Το λήμμα an μπορεί να διαβαστεί ως "a στην nth δύναμη" ή ως "a στην nth δύναμη". Οι καταχωρήσεις a2 (a στη δεύτερη δύναμη) μπορούν να διαβαστούν ως "a τετράγωνο" και η καταχώρηση a3 (a στην τρίτη δύναμη) μπορεί να διαβαστεί ως "a σε κύβο". Αλλος ειδική περίπτωση- πρόκειται για πτυχίο με δείκτη 1. Εδώ πρέπει να σημειωθούν τα ακόλουθα:

Η ισχύς ενός αριθμού α με εκθέτη 1 ονομάζεται ο ίδιος ο αριθμός. Εκείνοι. α1 = α.

Οποιαδήποτε ισχύς του 1 είναι ίση με 1.

Τώρα ας δούμε μερικές δυνάμεις με βάση το 10.

Έχετε παρατηρήσει ότι οι δυνάμεις του δέκα είναι ένα ακολουθούμενα από όσο το δυνατόν περισσότερα μηδενικά, ποιος είναι ο εκθέτης; Γενικά, 10n = 100..0 (όπου υπάρχουν n μηδενικά στην καταχώρηση).

§ 2 Παραδείγματα για το θέμα του μαθήματος

Παράδειγμα 1. Γράψτε το γινόμενο (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) ως δύναμη.

Εφόσον υπάρχουν 4 πανομοιότυποι παράγοντες εδώ, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με -2, έχουμε την καταχώρηση (-2)4.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το 1,52.

Ο εκθέτης 2 λέει ότι πρέπει να βρούμε το γινόμενο δύο πανομοιότυπων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με 1,5. Εκείνοι. υπολογίστε το γινόμενο 1,5∙1,5 = 2,25.

Παράδειγμα 3. Υπολογίστε το γινόμενο 102 ∙ (-1)3.

Πρώτα υπολογίζουμε 102 = 100. Στη συνέχεια υπολογίζουμε (-1)3 = -1. Τέλος, ας πολλαπλασιάσουμε το 100 και το -1. Παίρνουμε -100.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 1, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα/Α.Γ. Μόρντκοβιτς. – 10η έκδ., αναθεωρημένη – Μόσχα, «Mnemosyne», 2007
2. Mordkovich A.G., Άλγεβρα 7η τάξη σε 2 μέρη, Μέρος 2, Βιβλίο προβλημάτων για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης/[A.G. Mordkovich και άλλοι]; επιμέλεια A.G. Mordkovich - 10η έκδοση, αναθεωρημένη - Μόσχα, "Mnemosyne", 2007
3. ΑΥΤΗΝ. Tulchinskaya, Άλγεβρα 7η τάξη. Έρευνα Blitz: εγχειρίδιο για φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, 4η έκδοση, αναθεωρημένη και διευρυμένη, Μόσχα, «Mnemosyne», 2008
4. Alexandrova L.A., Άλγεβρα 7η τάξη. Θεματικός δοκιμαστική εργασία V νέα μορφήγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich, Μόσχα, «Mnemosyne», 2011
5. Alexandrova L.A. Άλγεβρα 7η τάξη. Ανεξάρτητη εργασίαγια φοιτητές γενικής εκπαίδευσης, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich - 6η έκδοση, στερεότυπα, Μόσχα, «Mnemosyne», 2010

Σε αυτό το άρθρο θα καταλάβουμε τι είναι δύναμη ενός αριθμού. Εδώ θα δώσουμε ορισμούς της δύναμης ενός αριθμού, ενώ θα εξετάσουμε αναλυτικά όλους τους πιθανούς εκθέτες, ξεκινώντας από τον φυσικό εκθέτη και τελειώνοντας με τον παράλογο. Στο υλικό θα βρείτε πολλά παραδείγματα πτυχίων, καλύπτοντας όλες τις λεπτότητες που προκύπτουν.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ισχύς με φυσικό εκθέτη, τετράγωνο αριθμού, κύβος αριθμού

Ας ξεκινήσουμε με . Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ότι ο ορισμός της ισχύος ενός αριθμού a με φυσικό εκθέτη n δίνεται για το a, τον οποίο θα ονομάσουμε βάση πτυχίου, και n, που θα ονομάσουμε εκθέτης. Σημειώνουμε επίσης ότι ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη καθορίζεται μέσω ενός γινόμενου, επομένως για να κατανοήσετε το παρακάτω υλικό πρέπει να κατανοήσετε τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Ορισμός.

Ισχύς αριθμού με φυσικό εκθέτη nείναι μια έκφραση της μορφής a n, η τιμή της οποίας είναι ίση με το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a, δηλαδή, .
Συγκεκριμένα, η ισχύς ενός αριθμού α με εκθέτη 1 είναι ο ίδιος ο αριθμός a, δηλαδή a 1 =a.

Αξίζει να αναφέρουμε αμέσως τους κανόνες για την ανάγνωση πτυχίων. Καθολική μέθοδοςδιαβάζοντας το λήμμα a n είναι: «a στη δύναμη του n». Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι ακόλουθες επιλογές είναι επίσης αποδεκτές: "a στην nth δύναμη" και "nth power of a". Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη δύναμη 8 12, αυτή είναι "οκτώ στη δύναμη του δώδεκα", ή "οκτώ στη δωδέκατη δύναμη" ή "δωδέκατη δύναμη του οκτώ".

Η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού, καθώς και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού, έχουν τα δικά τους ονόματα. Η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού ονομάζεται τετράγωνο του αριθμού, για παράδειγμα, το 7 2 διαβάζεται ως "επτά τετράγωνο" ή "το τετράγωνο του αριθμού επτά". Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού ονομάζεται κυβικοί αριθμοί, για παράδειγμα, το 5 3 μπορεί να διαβαστεί ως "πέντε κύβους" ή μπορείτε να πείτε "κύβος του αριθμού 5".

Ήρθε η ώρα να φέρεις παραδείγματα μοιρών με φυσικούς εκθέτες. Ας ξεκινήσουμε με τον βαθμό 5 7, εδώ το 5 είναι η βάση του βαθμού και το 7 είναι ο εκθέτης. Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 4,32 είναι η βάση και ο φυσικός αριθμός 9 είναι ο εκθέτης (4,32) 9 .

Σημειώστε ότι σε τελευταίο παράδειγμαΗ βάση του βαθμού 4.32 είναι γραμμένη σε αγκύλες: για να αποφύγουμε αποκλίσεις, θα βάλουμε σε αγκύλες όλες τις βάσεις του βαθμού που διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς. Ως παράδειγμα, δίνουμε τους ακόλουθους βαθμούς με φυσικούς εκθέτες , οι βάσεις τους δεν είναι φυσικοί αριθμοί, άρα γράφονται σε παρένθεση. Λοιπόν, για πλήρη σαφήνεια, σε αυτό το σημείο θα δείξουμε τη διαφορά που περιέχεται στις εγγραφές της μορφής (−2) 3 και −2 3. Η παράσταση (−2) 3 είναι δύναμη του −2 με φυσικό εκθέτη 3, και η παράσταση −2 3 (μπορεί να γραφτεί ως −(2 3) ) αντιστοιχεί στον αριθμό, την τιμή της δύναμης 2 3 .

Σημειώστε ότι υπάρχει συμβολισμός για τη δύναμη ενός αριθμού a με εκθέτη n της μορφής a^n. Επιπλέον, εάν το n είναι ένας φυσικός αριθμός πολλών τιμών, τότε ο εκθέτης λαμβάνεται σε αγκύλες. Για παράδειγμα, το 4^9 είναι ένας άλλος συμβολισμός για την ισχύ του 4 9 . Και εδώ είναι μερικά ακόμη παραδείγματα γραφής βαθμών χρησιμοποιώντας το σύμβολο "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Σε αυτό που ακολουθεί, θα χρησιμοποιήσουμε πρωτίστως συμβολισμό βαθμών της μορφής a n .

Ένα από τα προβλήματα που αντιστρέφονται σε σχέση με την αύξηση σε μια ισχύ με φυσικό εκθέτη είναι το πρόβλημα της εύρεσης της βάσης της ισχύος από γνωστή αξίαβαθμός και γνωστός δείκτης. Αυτή η εργασία οδηγεί σε .

Είναι γνωστό ότι το σύνολο των ρητών αριθμών αποτελείται από ακέραιους και κλάσματα, και το καθένα κλασματικός αριθμόςμπορεί να αναπαρασταθεί ως θετικό ή αρνητικό κοινό κλάσμα. Ορίσαμε τον βαθμό με ακέραιο εκθέτη στην προηγούμενη παράγραφο, επομένως, για να συμπληρώσουμε τον ορισμό του βαθμού με ορθολογικός δείκτης, πρέπει να δώσουμε νόημα στη δύναμη του αριθμού α με κλασματικός δείκτης m/n , όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Ας το κάνουμε αυτό.

Ας θεωρήσουμε έναν βαθμό με κλασματικό εκθέτη της μορφής . Για να παραμείνει έγκυρη η ιδιότητα power-to-power, πρέπει να ισχύει η ισότητα . Αν λάβουμε υπόψη την προκύπτουσα ισότητα και τον τρόπο με τον οποίο προσδιορίσαμε το , τότε είναι λογικό να το αποδεχθούμε με την προϋπόθεση ότι για δεδομένα m, n και a η έκφραση έχει νόημα.

Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι για όλες τις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη είναι έγκυρες (αυτό έγινε στην ενότητα ιδιότητες ενός βαθμού με λογικό εκθέτη).

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να κάνουμε τα εξής σύναψη: αν δοθεί m, n και a η έκφραση έχει νόημα, τότε η δύναμη του a με κλασματικό εκθέτη m/n λέγεται ν η ρίζα του a στη δύναμη του m.

Αυτή η δήλωση μας φέρνει κοντά στον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη. Το μόνο που μένει είναι να περιγράψουμε σε τι m, n και a έχει νόημα η έκφραση. Ανάλογα με τους περιορισμούς που τίθενται στα m, n και a, υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις.

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιβληθεί ένας περιορισμός στο a λαμβάνοντας a≥0 για θετικό m και a>0 για αρνητικό m (καθώς για m≤0 ο βαθμός 0 του m δεν ορίζεται). Τότε παίρνουμε τον ακόλουθο ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη.

Ορισμός.

Ισχύς θετικού αριθμού α με κλασματικό εκθέτη m/n, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός, λέγεται ν η ρίζα του αριθμού a στη δύναμη του m, δηλαδή, .

Η κλασματική ισχύς του μηδενός προσδιορίζεται επίσης με τη μόνη προειδοποίηση ότι ο δείκτης πρέπει να είναι θετικός.

Ορισμός.

Ισχύς μηδέν με κλασματικό θετικό εκθέτη m/n, όπου m είναι θετικός ακέραιος και n φυσικός αριθμός, ορίζεται ως .
Όταν δεν προσδιορίζεται ο βαθμός, δηλαδή ο βαθμός του αριθμού μηδέν με ένα κλάσμα αρνητικός δείκτηςδεν έχει νόημα.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι με αυτόν τον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, υπάρχει μια προειδοποίηση: για μερικά αρνητικά a και μερικά m και n, η έκφραση έχει νόημα, και απορρίψαμε αυτές τις περιπτώσεις εισάγοντας τη συνθήκη a≥0. Για παράδειγμα, οι συμμετοχές έχουν νόημα ή , και ο ορισμός που δόθηκε παραπάνω μας αναγκάζει να πούμε ότι δυνάμεις με κλασματικό εκθέτη της μορφής δεν έχει νόημα, αφού η βάση δεν πρέπει να είναι αρνητική.

Μια άλλη προσέγγιση για τον προσδιορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη m/n είναι να εξετάζουμε χωριστά τους άρτιους και τους περιττούς εκθέτες της ρίζας. Αυτή η προσέγγιση απαιτεί μια πρόσθετη συνθήκη: η ισχύς του αριθμού a, ο εκθέτης του οποίου είναι , θεωρείται ότι είναι η δύναμη του αριθμού a, ο εκθέτης του οποίου είναι το αντίστοιχο μη αναγώγιμο κλάσμα (θα εξηγήσουμε τη σημασία αυτής της συνθήκης παρακάτω ). Δηλαδή, αν το m/n είναι μη αναγώγιμο κλάσμα, τότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό k ο βαθμός αντικαθίσταται πρώτα από .

Για άρτιο n και θετικό m, η έκφραση έχει νόημα για κάθε μη αρνητικό a (μια άρτια ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν έχει νόημα για τον αρνητικό m, ο αριθμός a πρέπει να είναι ακόμα διαφορετικός από το μηδέν (διαφορετικά θα υπάρχει διαίρεση). με μηδέν). Και για περιττό n και θετικό m, ο αριθμός a μπορεί να είναι οποιοσδήποτε (η ρίζα ενός περιττού βαθμού ορίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό), και για το αρνητικό m, ο αριθμός a πρέπει να είναι μη μηδενικός (έτσι ώστε να μην υπάρχει διαίρεση με τον μηδέν).

Ο παραπάνω συλλογισμός μας οδηγεί σε αυτόν τον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη.

Ορισμός.

Έστω m/n μη αναγώγιμο κλάσμα, m ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Για οποιοδήποτε αναγώγιμο κλάσμα, ο βαθμός αντικαθίσταται από . Η ισχύς ενός αριθμού με μη αναγώγιμο κλασματικό εκθέτη m/n είναι για



Ας εξηγήσουμε γιατί ένας βαθμός με ανάγιμο κλασματικό εκθέτη αντικαθίσταται πρώτα από έναν βαθμό με μη αναγώσιμο εκθέτη. Αν απλώς ορίζαμε τον βαθμό ως , και δεν κάναμε επιφύλαξη σχετικά με τη μη αναγωγιμότητα του κλάσματος m/n, τότε θα βρισκόμασταν αντιμέτωποι με καταστάσεις παρόμοιες με τις ακόλουθες: αφού 6/10 = 3/5, τότε η ισότητα πρέπει να ισχύει , Αλλά , Α .

επίπεδο εισόδου

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. The Comprehensive Guide (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού θα τα χρειαστείτε; Γιατί πρέπει να αφιερώσετε χρόνο για να τα μελετήσετε;

Για να μάθετε τα πάντα σχετικά με τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά στην επιτυχία περνώντας το OGEή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και εισαγωγή στο πανεπιστήμιο των ονείρων σας.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν βλέπετε gobbledygook αντί για τύπους, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΣΟΔΟΥ

Η ανύψωση σε δύναμη είναι το ίδιο μαθηματική πράξηόπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση.

Τώρα θα τα εξηγήσω όλα ανθρώπινη γλώσσαπολύ απλά παραδείγματα. Να είστε προσεκτικοί. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Όλοι έχουν δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα είναι εκεί; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με κόλα μπορεί να γραφτεί διαφορετικά: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες άνθρωποι. Αρχικά παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε πίνακας πολλαπλασιασμού. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Ποια άλλα έξυπνα κόλπα μέτρησης έχουν βρει οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Δεξιά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι... Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο κεφάλι τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, αυτό θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται δεύτερος βαθμός; πλατείααριθμοί και το τρίτο - κύβος? Τι σημαίνει αυτό; Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με το τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη του αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα με διαστάσεις ένα μέτρο επί ένα μέτρο. Η πισίνα βρίσκεται στη ντάκα σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Όμως... η πισίνα δεν έχει πάτο! Πρέπει να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την κάτω περιοχή της πισίνας.

Μπορείτε απλά να υπολογίσετε δείχνοντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν έχετε πλακάκια ένα μέτρο προς ένα μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα που έχεις δει τέτοια πλακάκια; Το πλακίδιο πιθανότατα θα είναι εκατοστό εκατοστό Και μετά θα βασανιστείτε «μετρώντας με το δάχτυλό σας». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάστε με και λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του; Τι σημαίνει αυτό; Εφόσον πολλαπλασιάζουμε τον ίδιο αριθμό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της «έκθεσης». (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση τους σε ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και υπάρχουν επίσης λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα στη δεύτερη δύναμη θα είναι (). Ή μπορούμε να πούμε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς: μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να υπολογίσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Θα πάρετε κύτταρα. () Λοιπόν;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: έναν πυθμένα μέτρησης ενός μέτρου και ένα βάθος ενός μέτρου και προσπαθήστε να μετρήσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο προς ένα μέτρο θα χωρέσουν στην πισίνα σας.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα...είκοσι δύο, είκοσι τρία...Πόσα πήρες; Δεν χάθηκε; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Αυτό είναι όλο! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το απλοποίησαν και αυτό. Μειώσαμε τα πάντα σε μια ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να επωφεληθείτε από το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με το δάχτυλό σας, το κάνουν σε μία ενέργεια: τρεις κύβοι είναι ίσοι. Γράφεται ως εξής: .

Το μόνο που μένει είναι θυμηθείτε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από παραιτητές και πονηρούς για να λύσουν τα δικά τους προβλήματα ζωής, και για να μην σας δημιουργήσω προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, βγάζετε άλλο ένα εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε εκατομμύριο που έχετε διπλασιάζεται στην αρχή κάθε έτους. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν κάθεστε τώρα και «μετράτε με το δάχτυλό σας», τότε είστε πολύ εργατικός άνθρωπος και... ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Τον πρώτο χρόνο λοιπόν -δύο πολλαπλασιασμένοι επί δύο... τον δεύτερο χρόνο- τι έγινε, επί δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο... Σταμάτα! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του φορές. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε έναν διαγωνισμό και αυτός που μπορεί να μετρήσει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια... Αξίζει να θυμάστε τις δυνάμεις των αριθμών, δεν νομίζετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, κερδίζετε άλλα δύο. Υπέροχο δεν είναι; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα στην τέταρτη δύναμη ισούται με ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια ματιά περαιτέρω στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. νομίζεις τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - είναι ο αριθμός που βρίσκεται «στην κορυφή» της δύναμης του αριθμού. Όχι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται παρακάτω, στη βάση.

Εδώ είναι ένα σχέδιο για καλό μέτρο.

Καλά μέσα γενική άποψη, για να γενικεύσουμε και να θυμηθούμε καλύτερα... Ένας βαθμός με βάση « » και εκθέτη « » διαβάζεται ως «στο βαθμό» και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στην καταμέτρηση κατά την απαρίθμηση αντικειμένων: ένα, δύο, τρία... Όταν μετράμε αντικείμενα, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε επίσης: «ένα τρίτο», ή «μηδέν σημείο πέντε». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Τι νούμερα πιστεύετε ότι είναι αυτά;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ακέραιους αριθμούς.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και τον αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Τι σημαίνουν οι αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να υποδείξουν τα χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε στον χειριστή ρούβλια.

Όλα τα κλάσματα είναι ορθολογικούς αριθμούς. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ορθολογικούς αριθμούς... Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν περισσότερα παράλογους αριθμούς. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Με λίγα λόγια, ατελείωτο δεκαδικός. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια ενός βαθμού του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του:
3. Το να κάνεις κύβους έναν αριθμό σημαίνει να τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Η αύξηση ενός αριθμού σε μια φυσική δύναμη σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίων

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σου δείξω τώρα.

Ας δούμε: τι είναι Και ?

Εξ ορισμού:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε πολλαπλασιαστές στους συντελεστές και το αποτέλεσμα είναι πολλαπλασιαστές.

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Διάλυμα:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Διάλυμα:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι!
Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για το προϊόν των δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

2. αυτό είναι η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά δεν μπορείτε ποτέ να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε εξουσίες του φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοδήποτε αριθμό. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ; ? Το πρώτο είναι ξεκάθαρο: όσο κι αν είναι θετικούς αριθμούςΔεν πολλαπλασιαζόμασταν ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, λειτουργεί.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Τα κατάφερες;

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ολόκληροονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή που λαμβάνονται με το σύμβολο " ") και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος αριθμός, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, ας αναρωτηθούμε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας εξετάσουμε κάποιο βαθμό με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε το ίδιο πράγμα που ήταν - . Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Μέσα.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μία πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιονδήποτε βαθμό - ανεξάρτητα από το πόσο πολλαπλασιάζετε το μηδέν με τον εαυτό του, θα εξακολουθείτε να έχετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στη μηδενική ισχύ, πρέπει να είναι ίσος. Λοιπόν, πόσα από αυτά είναι αλήθεια; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα δεν μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας προχωρήσουμε. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν και αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός, ας κάνουμε όπως στο τελευταία φορά: πολλαπλασιάστε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο αριθμό σε αρνητική ισχύ:

Από εδώ είναι εύκολο να εκφράσετε αυτό που ψάχνετε:

Τώρα ας επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε έναν κανόνα:

Ένας αριθμός σε αρνητική ισχύ είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού προς θετικό βαθμό. Αλλά ταυτόχρονα Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν, τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν ισούται με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις:

Ανάλυση προβλημάτων για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους πρέπει να είσαι προετοιμασμένος για οτιδήποτε! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τις λύσεις τους αν δεν μπορούσατε να τα λύσετε και θα μάθετε να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε το εύρος των αριθμών "κατάλληλων" ως εκθέτης.

Τώρα ας αναλογιστούμε ορθολογικούς αριθμούς.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: οτιδήποτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι και.

Για να καταλάβεις τι είναι "κλασματικός βαθμός", θεωρήστε το κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα ας θυμηθούμε τον κανόνα για "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, ισούται με.

Δηλαδή, η ρίζα της ης δύναμης είναι η αντίστροφη πράξη της αύξησης σε μια δύναμη: .

Αποδεικνύεται ότι. Προφανώς αυτό ειδική περίπτωσημπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέτουμε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται σε ακόμη και πτυχίο- ο αριθμός είναι θετικός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαγάγετε άρτιες ρίζες από αρνητικούς αριθμούς!

Αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική δύναμημε άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, αλλά πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Αν όμως γράψουμε διαφορετικά τον δείκτη, θα ξαναμπούμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγουμε τέτοια παράδοξα, εξετάζουμε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Αν λοιπόν:

• — φυσικός αριθμός·
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Οι ορθολογικοί εκθέτες είναι πολύ χρήσιμοι για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα έρχεται το πιο δύσκολο κομμάτι. Τώρα θα το καταλάβουμε βαθμός με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Άλλωστε, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...αριθμός στη μηδενική ισχύ- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας συγκεκριμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή έναν αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος βαθμός- είναι σαν να είχε συμβεί κάποια «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, στην επιστήμη χρησιμοποιείται συχνά ένας βαθμός με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον συνηθισμένο κανόνα για την ανύψωση μιας δύναμης σε μια δύναμη:

Τώρα κοιτάξτε τον δείκτη. Δεν σου θυμίζει τίποτα; Ας θυμηθούμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτή την περίπτωση,

Αποδεικνύεται ότι:

Απάντηση: .

2. Μειώνουμε τα κλάσματα σε εκθέτες σε ίδια εμφάνιση: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κανονικά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Καθορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι μια έκφραση της μορφής: , όπου:

• — Βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό δείκτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιος αριθμόςαριθμός:

Κατασκευή στον μηδενικό βαθμό:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος αριθμόςαριθμός:

(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Για άλλη μια φορά σχετικά με τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν, τότε.

Παραδείγματα:

Ισχύς με λογικό εκθέτη

• — φυσικός αριθμός·
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίων

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

Εξ ορισμού:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης παίρνουμε το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Διάλυμα : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Διάλυμα : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι. Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

Κάτι ακόμα σημαντική σημείωση: αυτός είναι ο κανόνας - μόνο για προϊόν δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας ανασυγκροτήσουμε αυτό το έργο ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά: !

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο έχουμε συζητήσει μόνο πώς θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμούς. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε εξουσίες του φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοδήποτε αριθμό .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ; ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε - .

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό το πρόσημο θα αλλάζει. Μπορούμε να διατυπώσουμε το εξής απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Τα κατάφερες; Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, που σημαίνει ότι η βάση είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε μεταξύ τους, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν το χωρίσεις τελευταίος κανόνας, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις εκφράσεις:

Λύσεις :

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Αλλά τώρα αποδεικνύεται ως εξής:

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: Όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορείτε να το αντικαταστήσετε με αλλάζοντας μόνο ένα μειονέκτημα που δεν μας αρέσει!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκταθούμε στην έννοια του πτυχίου και ας την απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα υπάρχουν συνολικά; φορές με πολλαπλασιαστές - τι σας θυμίζει αυτό; Αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν ορισμό μιας λειτουργίας πολλαπλασιασμός: Υπήρχαν μόνο πολλαπλασιαστές εκεί. Δηλαδή, αυτό, εξ ορισμού, είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από τις πληροφορίες για τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς αριθμούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα βέβαιο «κενός αριθμός», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό εκθέτη - είναι σαν να είχε συμβεί κάποια "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Είναι μάλλον ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, στην επιστήμη χρησιμοποιείται συχνά ένας βαθμός με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε παράλογος δείκτηςβαθμούς; Προσπαθούμε να απαλλαγούμε από αυτό! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Ας θυμηθούμε τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Ανάγουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

Ισχύς με λογικό εκθέτη

βαθμό, ο εκθέτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίων

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΤΗΝ ΛΟΓΗ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Γράψτε παρακάτω στα σχόλια αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας χρησιμοποιώντας ιδιότητες πτυχίου.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Αφού προσδιοριστεί η ισχύς ενός αριθμού, είναι λογικό να μιλάμε ιδιότητες βαθμού. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε βασικές ιδιότητεςδυνάμεις ενός αριθμού και θα θίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες. Εδώ θα παρέχουμε αποδείξεις για όλες τις ιδιότητες των βαθμών και θα δείξουμε επίσης πώς χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ιδιότητες μοιρών με φυσικούς εκθέτες

Εξ ορισμού μιας ισχύος με φυσικό εκθέτη, η ισχύς a n είναι το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Με βάση αυτόν τον ορισμό και επίσης χρησιμοποιώντας ιδιότητες πολλαπλασιασμού πραγματικούς αριθμούς , μπορούμε να αποκτήσουμε και να δικαιολογήσουμε τα ακόλουθα ιδιότητες βαθμού με φυσικό εκθέτη:

1. η κύρια ιδιότητα του βαθμού a m ·a n =a m+n, η γενίκευσή του.
2. ιδιότητα πηλίκων δυνάμεων με για τους ίδιους λόγους a m:a n =a m−n ;
3. Ιδιότητα ισχύος προϊόντος (a·b) n =a n ·b n , η επέκτασή της;
4. ιδιότητα πηλίκου σε φυσικός βαθμός(a:b) n =a n:b n ;
5. ανύψωση ενός βαθμού σε δύναμη (a m) n =a m·n, η γενίκευσή του ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. σύγκριση βαθμού με μηδέν:
   • αν a>0, τότε a n>0 για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n.
   • αν a=0, τότε a n =0;
   • αν α<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 αν α<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. αν τα α και β είναι θετικοί αριθμοί και ο α
8. αν m και n είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε m>n , τότε στο 0 0 η ανισότητα a m >a n είναι αληθής.

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι όλες οι γραπτές ισότητες είναι απαράλλακτοςυπό τις καθορισμένες συνθήκες, τόσο το δεξί όσο και το αριστερό μέρος μπορούν να αντικατασταθούν. Για παράδειγμα, η κύρια ιδιότητα του κλάσματος a m ·a n =a m+n με απλοποιώντας εκφράσειςχρησιμοποιείται συχνά με τη μορφή a m+n =a m ·a n .

Τώρα ας δούμε κάθε ένα από αυτά λεπτομερώς.

Ας ξεκινήσουμε με την ιδιότητα του γινομένου δύο δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, που λέγεται η κύρια ιδιότητα του πτυχίου: για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η ισότητα a m ·a n =a m+n είναι αληθής.

Ας αποδείξουμε την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Με τον ορισμό μιας δύναμης με φυσικό εκθέτη, το γινόμενο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις της μορφής a m ·a n μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο. Λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού, η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως , και αυτό το γινόμενο είναι δύναμη του αριθμού a με φυσικό εκθέτη m+n, δηλαδή m+n. Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του πτυχίου. Ας πάρουμε μοίρες με τις ίδιες βάσεις 2 και φυσικές δυνάμεις 2 και 3, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα των μοιρών μπορούμε να γράψουμε την ισότητα 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Ας ελέγξουμε την εγκυρότητά του υπολογίζοντας τις τιμές των παραστάσεων 2 2 · 2 3 και 2 5 . Πραγματοποιώντας εκθετική ικανότητα, έχουμε 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32και 2 5 =2·2·2·2·2=32, αφού προκύπτουν ίσες τιμές, τότε η ισότητα 2 2 ·2 3 =2 5 είναι σωστή και επιβεβαιώνει την κύρια ιδιότητα του βαθμού.

Η βασική ιδιότητα ενός βαθμού, με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες. Άρα για οποιονδήποτε αριθμό k φυσικών αριθμών n 1, n 2, …, n k ισχύει η ακόλουθη ισότητα: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Για παράδειγμα, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Μπορούμε να προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα των δυνάμεων με έναν φυσικό εκθέτη – ιδιότητα πηλίκων δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό a και αυθαίρετους φυσικούς αριθμούς m και n που ικανοποιούν τη συνθήκη m>n, η ισότητα a m:a n =a m−n είναι αληθής.

Πριν παρουσιάσουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας, ας συζητήσουμε την έννοια των πρόσθετων συνθηκών στη διατύπωση. Η συνθήκη a≠0 είναι απαραίτητη για να αποφευχθεί η διαίρεση με το μηδέν, αφού 0 n =0, και όταν γνωρίσαμε τη διαίρεση, συμφωνήσαμε ότι δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Εισάγεται η συνθήκη m>n για να μην υπερβούμε τους φυσικούς εκθέτες. Πράγματι, για m>n ο εκθέτης a m−n είναι φυσικός αριθμός, διαφορετικά θα είναι είτε μηδέν (που συμβαίνει για m−n ) είτε αρνητικός αριθμός (που συμβαίνει για m

Απόδειξη. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Από την προκύπτουσα ισότητα a m−n ·a n =a m και προκύπτει ότι το m−n είναι πηλίκο των δυνάμεων a m και a n . Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα των πηλίκων δυνάμεων με πανομοιότυπες βάσεις.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε δύο μοίρες με τις ίδιες βάσεις π και τους φυσικούς εκθέτες 5 και 2, η ισότητα π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 αντιστοιχεί στη θεωρούμενη ιδιότητα του βαθμού.

Τώρα ας αναλογιστούμε ιδιότητα ισχύος προϊόντος: η φυσική ισχύς n του γινομένου οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών a και b είναι ίση με το γινόμενο των δυνάμεων a n και b n , δηλαδή (a·b) n =a n ·b n .

Πράγματι, με τον ορισμό ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη έχουμε . Με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, το τελευταίο γινόμενο μπορεί να ξαναγραφτεί ως , που ισούται με a n · b n .

Εδώ είναι ένα παράδειγμα: .

Αυτή η ιδιότητα εκτείνεται στη δύναμη του γινομένου τριών ή περισσότερων παραγόντων. Δηλαδή, η ιδιότητα του φυσικού βαθμού n του γινομένου των k παραγόντων γράφεται ως (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Για λόγους σαφήνειας, θα δείξουμε αυτήν την ιδιότητα με ένα παράδειγμα. Για το γινόμενο τριών παραγόντων στη δύναμη του 7 έχουμε .

Η ακόλουθη ιδιοκτησία είναι ιδιότητα πηλίκου σε είδος: το πηλίκο των πραγματικών αριθμών a και b, b≠0 στη φυσική δύναμη n ισούται με το πηλίκο των δυνάμεων a n και b n, δηλαδή (a:b) n =a n:b n.

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα. Ετσι (α:β) n b n =((α:β) β) n =a n, και από την ισότητα (a:b) n ·b n =a n προκύπτει ότι (a:b) n είναι το πηλίκο του a n διαιρούμενο με το b n .

Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους αριθμούς ως παράδειγμα: .

Τώρα ας το φωνάξουμε ιδιότητα της ανύψωσης μιας εξουσίας σε μια εξουσία: για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a και οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n, η δύναμη του a m στη δύναμη του n είναι ίση με τη δύναμη του αριθμού a με εκθέτη m·n, δηλαδή (a m) n =a m·n.

Για παράδειγμα, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Η απόδειξη της ιδιότητας power-to-degree είναι η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων: .

Το εξεταζόμενο ακίνητο μπορεί να επεκταθεί από βαθμό σε βαθμό σε βαθμό κ.λπ. Για παράδειγμα, για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς p, q, r και s, η ισότητα . Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ακολουθεί ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Μένει να σταθούμε στις ιδιότητες της σύγκρισης βαθμών με έναν φυσικό εκθέτη.

Ας ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας την ιδιότητα της σύγκρισης του μηδενός και της ισχύος με έναν φυσικό εκθέτη.

Αρχικά, ας αποδείξουμε ότι a n >0 για οποιοδήποτε a>0.

Το γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι ένας θετικός αριθμός, όπως προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού. Αυτό το γεγονός και οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού υποδηλώνουν ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού θετικών αριθμών θα είναι επίσης ένας θετικός αριθμός. Και η ισχύς ενός αριθμού a με φυσικό εκθέτη n, εξ ορισμού, είναι το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτά τα επιχειρήματα μας επιτρέπουν να δηλώσουμε ότι για κάθε θετική βάση a, ο βαθμός a n είναι θετικός αριθμός. Λόγω της αποδεδειγμένης ιδιότητας 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 και .

Είναι προφανές ότι για κάθε θετικό ακέραιο n με a=0 ο βαθμός του a n είναι μηδέν. Πράγματι, 0 n =0·0·…·0=0 . Για παράδειγμα, 0 3 =0 και 0 762 =0.

Ας προχωρήσουμε στο αρνητικούς λόγουςβαθμούς.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση όταν ο εκθέτης είναι άρτιος αριθμός, ας τον συμβολίσουμε ως 2·m, όπου m είναι φυσικός αριθμός. Τότε . Για καθένα από τα γινόμενα της μορφής a·a ισούται με το γινόμενο των συντελεστών των αριθμών a και a, που σημαίνει ότι είναι θετικός αριθμός. Επομένως, το προϊόν θα είναι επίσης θετικό και βαθμός α 2·μ. Ας δώσουμε παραδείγματα: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 και .

Τέλος, όταν η βάση a είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης είναι περιττός αριθμός 2 m−1, τότε . Όλα τα γινόμενα a·a είναι θετικοί αριθμοί, το γινόμενο αυτών των θετικών αριθμών είναι επίσης θετικό και ο πολλαπλασιασμός του με το υπόλοιπο αρνητικός αριθμός a καταλήγει σε αρνητικό αριθμό. Λόγω αυτής της ιδιότητας (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Ας περάσουμε στην ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με τους ίδιους φυσικούς εκθέτες, η οποία έχει την εξής διατύπωση: δύο δυνάμεων με τους ίδιους φυσικούς εκθέτες, το n είναι μικρότερο από εκείνο του οποίου η βάση είναι μικρότερη και μεγαλύτερη είναι αυτή του οποίου η βάση είναι μεγαλύτερη . Ας το αποδείξουμε.

Ανισότητα a n ιδιότητες των ανισοτήτωναληθεύει επίσης μια αποδείξιμη ανισότητα της μορφής a n .

Μένει να αποδειχθεί η τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες. Ας το διατυπώσουμε. Από δύο δυνάμεις με φυσικούς εκθέτες και πανομοιότυπες θετικές βάσεις μικρότερες από μία, αυτή της οποίας ο εκθέτης είναι μικρότερος είναι μεγαλύτερη. και δύο δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες και ίδιες βάσεις μεγαλύτερους του ενός, αυτός του οποίου ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος είναι μεγαλύτερος. Ας προχωρήσουμε στην απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ας αποδείξουμε ότι για m>n και 0 0 λόγω της αρχικής συνθήκης m>n, που σημαίνει ότι στο 0

Μένει να αποδειχθεί το δεύτερο μέρος του ακινήτου. Ας αποδείξουμε ότι για m>n και a>1 a m >a n ισχύει. Η διαφορά a m −a n μετά την αφαίρεση του n από αγκύλες παίρνει τη μορφή a n ·(a m−n −1) . Αυτό το γινόμενο είναι θετικό, αφού για a>1 ο βαθμός a n είναι θετικός αριθμός, και η διαφορά a m−n −1 είναι θετικός αριθμός, αφού m−n>0 λόγω της αρχικής συνθήκης, και για a>1 ο βαθμός ένα m−n είναι μεγαλύτερο από ένα . Κατά συνέπεια, a m −a n >0 και a m >a n , που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. Αυτή η ιδιότητα απεικονίζεται από την ανισότητα 3 7 >3 2.

Ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες

Δεδομένου ότι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί, όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με θετικούς ακέραιους εκθέτες συμπίπτουν ακριβώς με τις ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες που αναφέρονται και αποδεικνύονται στην προηγούμενη παράγραφο.

Ορίσαμε έναν βαθμό με ακέραιο αρνητικό εκθέτη, καθώς και έναν βαθμό με μηδενικό εκθέτη, με τέτοιο τρόπο ώστε όλες οι ιδιότητες των μοιρών με φυσικούς εκθέτες, που εκφράζονται με ισότητες, να παραμένουν έγκυρες. Επομένως, όλες αυτές οι ιδιότητες ισχύουν τόσο για μηδενικούς εκθέτες όσο και για αρνητικούς εκθέτες, ενώ, φυσικά, οι βάσεις των δυνάμεων είναι διαφορετικές από το μηδέν.

Άρα, για οποιουσδήποτε πραγματικούς και μη μηδενικούς αριθμούς a και b, καθώς και για κάθε ακέραιο m και n, ισχύουν τα ακόλουθα: ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. αν το n είναι θετικός ακέραιος, ο a και ο b είναι θετικοί αριθμοί και ο a b−n ;
7. αν m και n είναι ακέραιοι, και m>n , τότε στο 0 1 ισχύει η ανισότητα a m >a n.

Όταν a=0, οι δυνάμεις a m και a n έχουν νόημα μόνο όταν και οι δύο m και n είναι θετικοί ακέραιοι, δηλαδή φυσικοί αριθμοί. Έτσι, οι ιδιότητες που μόλις γράφτηκαν ισχύουν και για τις περιπτώσεις που a=0 και οι αριθμοί m και n είναι θετικοί ακέραιοι.

Η απόδειξη καθεμιάς από αυτές τις ιδιότητες δεν είναι δύσκολη για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς των μοιρών με φυσικούς και ακέραιους εκθέτες, καθώς και τις ιδιότητες των πράξεων με πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ιδιότητα power-to-power ισχύει τόσο για θετικούς ακέραιους όσο και για μη θετικούς ακέραιους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να δείξετε ότι εάν το p είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός και το q είναι μηδέν ή ένας φυσικός αριθμός, τότε οι ισότητες (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) και (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ας το κάνουμε αυτό.

Για τα θετικά p και q, η ισότητα (a p) q =a p·q αποδείχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Αν p=0, τότε έχουμε (a 0) q =1 q =1 και a 0·q =a 0 =1, από όπου (a 0) q =a 0·q. Ομοίως, αν q=0, τότε (a p) 0 =1 και a p·0 =a 0 =1, από όπου (a p) 0 =a p·0. Αν και τα δύο p=0 και q=0, τότε (a 0) 0 =1 0 =1 και a 0·0 =a 0 =1, από όπου (a 0) 0 =a 0,0.

Τώρα αποδεικνύουμε ότι (a −p) q =a (−p)·q . Εξ ορισμού δύναμης με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, λοιπόν . Με την ιδιότητα των πηλίκων προς δυνάμεις έχουμε . Αφού 1 p =1·1·…·1=1 και , τότε . Η τελευταία έκφραση, εξ ορισμού, είναι μια δύναμη της μορφής a −(p·q), η οποία, λόγω των κανόνων του πολλαπλασιασμού, μπορεί να γραφτεί ως (−p)·q.

Επίσης .

ΚΑΙ .

Χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή, μπορείτε να αποδείξετε όλες τις άλλες ιδιότητες ενός βαθμού με έναν ακέραιο εκθέτη, γραμμένο με τη μορφή ισοτήτων.

Στην προτελευταία από τις καταγεγραμμένες ιδιότητες, αξίζει να σταθούμε στην απόδειξη της ανισότητας a −n >b −n, η οποία ισχύει για κάθε αρνητικό ακέραιο −n και κάθε θετικό a και b για τις οποίες η συνθήκη a ικανοποιείται. . Εφόσον από την προϋπόθεση α 0 . Το γινόμενο a n · b n είναι επίσης θετικό ως γινόμενο των θετικών αριθμών a n και b n . Τότε το κλάσμα που προκύπτει είναι θετικό ως το πηλίκο των θετικών αριθμών b n −a n και a n ·b n . Επομένως, από που a −n >b −n , που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Η τελευταία ιδιότητα δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως μια παρόμοια ιδιότητα δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες.

Ιδιότητες δυνάμεων με λογικούς εκθέτες

Ορίσαμε έναν βαθμό με κλασματικό εκθέτη επεκτείνοντας τις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη σε αυτόν. Με άλλα λόγια, οι δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τις δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες. Δηλαδή:

Η απόδειξη των ιδιοτήτων των μοιρών με κλασματικούς εκθέτες βασίζεται στον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη και στις ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη. Ας προσφέρουμε στοιχεία.

Εξ ορισμού δύναμης με κλασματικό εκθέτη και , τότε . Οι ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας μας επιτρέπουν να γράψουμε τις παρακάτω ισότητες. Περαιτέρω, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη, λαμβάνουμε , από τον οποίο, με τον ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, έχουμε , και ο δείκτης του βαθμού που αποκτήθηκε μπορεί να μετατραπεί ως εξής: . Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.

Η δεύτερη ιδιότητα των δυνάμεων με κλασματικούς εκθέτες αποδεικνύεται με απολύτως παρόμοιο τρόπο:

Οι υπόλοιπες ισότητες αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας παρόμοιες αρχές:

Ας προχωρήσουμε στην απόδειξη της επόμενης ιδιοκτησίας. Ας αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό α και β, α β σελ . Ας γράψουμε τον ρητό αριθμό p ως m/n, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Προϋποθέσεις σελ<0 и p>0 σε αυτή την περίπτωση οι συνθήκες m<0 и m>0 αναλόγως. Για m>0 και α

Ομοίως, για m<0 имеем a m >b m , από όπου, δηλαδή, και a p >b p .

Μένει να αποδείξουμε το τελευταίο από τα αναγραφόμενα ακίνητα. Ας αποδείξουμε ότι για τους ρητούς αριθμούς p και q, p>q στο 0 0 – ανισότητα a p >a q . Μπορούμε πάντα να ανάγουμε τους ρητούς αριθμούς p και q σε έναν κοινό παρονομαστή, ακόμα κι αν πάρουμε συνηθισμένα κλάσματα και , όπου m 1 και m 2 είναι ακέραιοι και n είναι φυσικός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη p>q θα αντιστοιχεί στη συνθήκη m 1 >m 2, η οποία προκύπτει από. Στη συνέχεια, με την ιδιότητα της σύγκρισης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις και φυσικούς εκθέτες στο 0 1 – ανισότητα a m 1 >a m 2 . Αυτές οι ανισότητες στις ιδιότητες των ριζών μπορούν να ξαναγραφτούν ανάλογα ως Και . Και ο ορισμός ενός βαθμού με λογικό εκθέτη μας επιτρέπει να προχωρήσουμε στις ανισότητες και, ανάλογα. Από εδώ βγάζουμε το τελικό συμπέρασμα: για p>q και 0 0 – ανισότητα a p >a q .

Ιδιότητες εξουσιών με παράλογους εκθέτες

Από τον τρόπο που ορίζεται ένας βαθμός με παράλογο εκθέτη, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι έχει όλες τις ιδιότητες των μοιρών με λογικούς εκθέτες. Άρα για κάθε a>0, b>0 και άρρητους αριθμούς p και q ισχύουν τα ακόλουθα ιδιότητες δυνάμεων με παράλογους εκθέτες:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. για τυχόν θετικούς αριθμούς a και b, a 0 η ανισότητα a p b p ;
7. για άρρητους αριθμούς p και q, p>q στο 0 0 – ανισότητα a p >a q .

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι δυνάμεις με οποιουσδήποτε πραγματικούς εκθέτες p και q για a>0 έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Αναφορές.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Το εγχειρίδιο μαθηματικών για την 5η τάξη. εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την 7η τάξη. εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την 8η τάξη. εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την 9η τάξη. εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).

Σε αυτό το μάθημα θα αρχίσουμε να μελετάμε πτυχία με φυσικούς εκθέτες. Αρχικά, θα συζητήσουμε γιατί οι μαθηματικοί χρειάστηκε να εισαγάγουν την έννοια του βαθμού, να δώσουν έναν ορισμό του βαθμού με έναν φυσικό εκθέτη και να εξετάσουν μια σειρά από παραδείγματα πτυχίου. Στη συνέχεια, θα δώσουμε τον ορισμό του βαθμού με μοναδιαίο εκθέτη και στο τέλος θα λύσουμε αρκετά παραδείγματα υπολογισμού του βαθμού.

Θέμα:Πτυχίο με φυσικό δείκτη και τις ιδιότητές του

Μάθημα:Τι είναι ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη;

Από πού προήλθε το πτυχίο;

Εκφραση α+α+αστα μαθηματικά μπορεί να αντικατασταθεί από α+α+α=3α.

Εκφραση α+α+α+α+αμπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή α+α+α+α+α=5α.

Αν δηλαδή στην έκφραση nπανομοιότυποι όροι, καθένας από τους οποίους ΕΝΑ, τότε μπορεί να γραφτεί εν συντομία na.

Και ο πολλαπλασιασμός μπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής: α 3, διαβάζει: ΕΝΑ ΕΝΑ.

- ΕΝΑστην πέμπτη δύναμη ή την πέμπτη δύναμη ενός αριθμού ΕΝΑ.

Κι αν στην έκφραση nπανομοιότυποι παράγοντες, καθένας από τους οποίους ΕΝΑ, τότε θα γράψουμε:

= a n - n-η δύναμη του α.

Ορισμός.Βαθμός a nτο έργο λέγεται nίδιους παράγοντες, , Πού n- φυσικός αριθμός n={2,3,…..} ; ΕΝΑ- οποιοδήποτε αριθμό.

Ορολογία:a n

α είναι η βάση του πτυχίου,

n- εκθέτης,

a n- πτυχίο ή ένα innου βαθμού, ήnη δύναμη του αριθμού α.

Παράδειγμα 1:Γράψτε το γινόμενο ως δύναμη, ονομάστε τη βάση και τον εκθέτη και υπολογίστε αν είναι δυνατόν.

1. - αυτό είναι εξ ορισμού 4 κυβικό ή τρίτη δύναμη ενός αριθμού 4 , 4 - τη βάση του πτυχίου, 3 - εκθέτης. Αποτέλεσμα:

Απάντηση: 64

2. - εξ ορισμού, αυτό είναι xστην τέταρτη δύναμη, x- τη βάση του πτυχίου, 4 - εκθέτης. Είναι αδύνατο να υπολογιστεί περαιτέρω, γιατί xπρέπει να εκχωρήσετε μια συγκεκριμένη τιμή.

Απάντηση:

Αυτό στην πέμπτη δύναμη, είναι η βάση του βαθμού, 5 - εκθέτης, δείχνει πόσες φορές η βάση πολλαπλασιάζεται από μόνη της. Σχόλιο:το γινόμενο δεν αλλάζει λόγω των μεταβλητών θέσεων των παραγόντων, ας γράψουμε αυτήν την έκφραση διαφορετικά:

Άρα η έκφραση είναι .

Απάντηση:.

4. - Αυτό σε έναν κύβο 3 είναι εκθέτης - τη βάση του πτυχίου.

Απάντηση:

5.

Δεύτερη δύναμη του αριθμού 13 , - δεύτερη δύναμη του αριθμού 5 .

Απάντηση: 4225

Τρίτη δύναμη ενός αριθμού 2 , - δεύτερη δύναμη του αριθμού 3 .

1. Γράψτε το γινόμενο ως δύναμη, ονομάστε τη βάση και τον εκθέτη, υπολογίστε αν είναι δυνατόν.

2. Υπολογίστε (-2) n, Αν

ΕΝΑ) n=2 σι) n=3 V) n=4

3. Υπολογίστε : α 5, Πού

ΕΝΑ) a=1

σι) α=-2

4. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι ίση με α/2, Πού