Επίπεδη εξίσωση. Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο; Αμοιβαία διάταξη αεροπλάνων

Στο πολύ γενική περίπτωσητο κάθετο προς την επιφάνεια αντιπροσωπεύει την τοπική του καμπυλότητα, και ως εκ τούτου την κατεύθυνση της κατοπτρικής ανάκλασης (Εικόνα 3.5). Σε σχέση με τις γνώσεις μας, μπορούμε να πούμε ότι το κανονικό είναι το διάνυσμα που καθορίζει τον προσανατολισμό του προσώπου (Εικ. 3.6).

Ρύζι. 3.5 Εικ. 3.6

Πολλοί αλγόριθμοι αφαίρεσης κρυφών γραμμών και επιφανειών χρησιμοποιούν μόνο άκρες και κορυφές, επομένως για να τις συνδυάσετε με το μοντέλο φωτισμού, πρέπει να γνωρίζετε την κατά προσέγγιση τιμή του κανονικού στις άκρες και τις κορυφές. Ας δοθούν οι εξισώσεις των επιπέδων των πολυγωνικών όψεων, τότε η κανονική στην κοινή τους κορυφή είναι ίση με τη μέση τιμή των κανονικών σε όλα τα πολύγωνα που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή. Για παράδειγμα, στο σχ. 3,7 κατεύθυνση της κατά προσέγγιση κανονικής σε ένα σημείο V 1 τρώω:

n v1 = (α 0 + α 1 + α 4 )i + (β 0 +β 1 +β 4 )j + (γ 0 +γ 1 +γ 4 )κ, (3.15)

που ένα 0 , ένα 1 , ένα 4 ,σι 0 ,σι 1 ,σι 4 , γ 0 , γ 1 , γ 4 - συντελεστές των εξισώσεων των επιπέδων τριών πολυγώνων Π 0 , Π 1 , Π 4 , περιβάλλων V 1 . Σημειώστε ότι εάν θέλετε να βρείτε μόνο την κατεύθυνση του κανονικού, τότε δεν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των προσώπων.

Εάν δεν δίνονται οι εξισώσεις των επιπέδων, τότε το κανονικό προς την κορυφή μπορεί να προσδιοριστεί με τον μέσο όρο των διανυσματικών γινομένων όλων των ακμών που τέμνονται στην κορυφή. Για άλλη μια φορά, λαμβάνοντας υπόψη την κορυφή V 1 στο Σχ. 3.7, βρείτε την κατεύθυνση της κατά προσέγγιση κανονικής:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Ρύζι. 3.7 - Προσέγγιση της κανονικής σε πολυγωνική επιφάνεια

Σημειώστε ότι απαιτούνται μόνο εξωτερικά κανονικά. Επιπλέον, εάν το διάνυσμα που προκύπτει δεν είναι κανονικοποιημένο, τότε η τιμή του εξαρτάται από τον αριθμό και την περιοχή συγκεκριμένων πολυγώνων, καθώς και από τον αριθμό και το μήκος συγκεκριμένων ακμών. Η επίδραση των πολυγώνων με μεγαλύτερη έκτασηκαι μακρύτερα πλευρά.

Όταν η κανονική επιφάνεια χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της έντασης και εκτελείται μετασχηματισμός προοπτικής στην εικόνα ενός αντικειμένου ή σκηνής, τότε η κανονική θα πρέπει να υπολογιστεί πριν από τη διαίρεση της προοπτικής. Διαφορετικά, η κατεύθυνση του κανονικού θα παραμορφωθεί και αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τον εσφαλμένο προσδιορισμό της έντασης που καθορίζεται από το μοντέλο φωτισμού.

Εάν είναι γνωστή η αναλυτική περιγραφή του επιπέδου (επιφάνειας), τότε το κανονικό υπολογίζεται απευθείας. Γνωρίζοντας την εξίσωση του επιπέδου κάθε όψης του πολυέδρου, μπορείτε να βρείτε την κατεύθυνση της προς τα έξω κανονικής.

Αν η εξίσωση του επιπέδου είναι:

τότε το κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο γράφεται ως εξής:

, (3.18)

που
- μοναδιαία διανύσματα αξόνων x,y,zαντίστοιχα.

αξία ρευπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει στο επίπεδο, για παράδειγμα, για ένα σημείο (
)

Παράδειγμα. Θεωρήστε ένα επίπεδο πολύγωνο 4 πλευρών που περιγράφεται από 4 κορυφές V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) και V4(1,1,1) (βλ. 3.7).

Η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

x + y + z - 1 = 0.

Ας πάρουμε το κανονικό σε αυτό το επίπεδο χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο ενός ζεύγους διανυσμάτων που είναι γειτονικές ακμές σε μία από τις κορυφές, για παράδειγμα, V1:

Πολλοί αλγόριθμοι αφαίρεσης κρυφών γραμμών και επιφανειών χρησιμοποιούν μόνο άκρες ή κορυφές, επομένως για να τις συνδυάσετε με το μοντέλο φωτισμού, πρέπει να γνωρίζετε την κατά προσέγγιση τιμή του κανονικού στις άκρες και τις κορυφές.

Ας δοθούν οι εξισώσεις των επιπέδων των όψεων του πολυέδρου, τότε η κανονική στην κοινή τους κορυφή είναι ίση με τη μέση τιμή των κανονικών σε όλες τις όψεις που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή.

Δηλαδή, για αυτό που βλέπετε στον τίτλο. Στην ουσία πρόκειται για ένα "χωρικό ανάλογο" προβλήματα εύρεσης εφαπτομένηςκαι κανονικάστο γράφημα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, και επομένως δεν θα πρέπει να προκύψουν δυσκολίες.

Ας ξεκινήσουμε με βασικές ερωτήσεις: ΤΙ ΕΙΝΑΙ το εφαπτομενικό επίπεδο και ΤΙ ΕΙΝΑΙ το κανονικό; Πολλοί γνωρίζουν αυτές τις έννοιες στο επίπεδο της διαίσθησης. Το πιο απλό μοντέλο που έρχεται στο μυαλό είναι μια μπάλα στην οποία βρίσκεται ένα λεπτό επίπεδο χαρτόνι. Το χαρτόνι βρίσκεται όσο το δυνατόν πιο κοντά στη σφαίρα και την αγγίζει σε ένα μόνο σημείο. Επιπλέον, στο σημείο επαφής, στερεώνεται με μια βελόνα που κολλάει ευθεία προς τα πάνω.

Θεωρητικά, υπάρχει ένας μάλλον πνευματώδης ορισμός του εφαπτομένου επιπέδου. Φανταστείτε ένα αυθαίρετο επιφάνειακαι το σημείο που του ανήκει. Είναι προφανές ότι πολλά περνούν από το σημείο. χωρικές γραμμέςπου ανήκουν σε αυτή την επιφάνεια. Ποιος έχει τι ενώσεις; =) …Εγώ προσωπικά παρουσίασα το χταπόδι. Ας υποθέσουμε ότι κάθε τέτοια γραμμή έχει χωρική εφαπτομένηστο σημείο.

Ορισμός 1: εφαπτομενικό επίπεδοστην επιφάνεια σε ένα σημείο είναι επίπεδο, που περιέχει τις εφαπτομένες σε όλες τις καμπύλες που ανήκουν στη δεδομένη επιφάνεια και διέρχονται από το σημείο .

Ορισμός 2: κανονικόςστην επιφάνεια σε ένα σημείο είναι ευθείαπου διέρχεται από το δεδομένο σημείο κάθετο στο εφαπτομενικό επίπεδο.

Απλό και κομψό. Παρεμπιπτόντως, για να μην πεθάνετε από την πλήξη από την απλότητα του υλικού, λίγο αργότερα θα μοιραστώ μαζί σας ένα κομψό μυστικό που σας επιτρέπει να ξεχάσετε να στριμώξετε διάφορους ορισμούς ΜΙΑ ΓΙΑ ΠΑΝΤΑ.

Θα εξοικειωθούμε απευθείας με τους τύπους εργασίας και τον αλγόριθμο επίλυσης συγκεκριμένο παράδειγμα. Στη συντριπτική πλειονότητα των προβλημάτων, απαιτείται να συντεθεί τόσο η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου όσο και η εξίσωση του κανονικού:

Παράδειγμα 1

Απόφαση:αν η επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση (δηλαδή σιωπηρά), τότε η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου σε μια δεδομένη επιφάνεια σε ένα σημείο μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τύπο:

Δίνω ιδιαίτερη προσοχή στα ασυνήθιστα επιμέρους παράγωγα - τους δεν πρέπει να συγχέεταιμε μερικές παράγωγοι μιας σιωπηρά καθορισμένης συνάρτησης (αν και η επιφάνεια είναι σιωπηρά καθορισμένη). Κατά την εύρεση αυτών των παραγώγων, θα πρέπει κανείς να καθοδηγείται από κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών, δηλαδή, κατά τη διαφοροποίηση σε σχέση με οποιαδήποτε μεταβλητή, τα άλλα δύο γράμματα θεωρούνται σταθερές:

Χωρίς να φύγουμε από την ταμειακή μηχανή, βρίσκουμε το μερικό παράγωγο στο σημείο:

Ομοίως:

Αυτή ήταν η πιο δυσάρεστη στιγμή της απόφασης, στην οποία διαρκώς φαντάζεται ένα λάθος, αν δεν επιτρέπεται. Ωστόσο, υπάρχει αποτελεσματική υποδοχήτεστ, για το οποίο μίλησα στο μάθημα Κατευθυντική παράγωγος και κλίση.

Όλα τα «συστατικά» έχουν βρεθεί και τώρα μένει να γίνει προσεκτική αντικατάσταση με περαιτέρω απλοποιήσεις:

– γενική εξίσωσηεπιθυμητό επίπεδο εφαπτομένης.

Συνιστώ ανεπιφύλακτα να ελέγξετε αυτό το στάδιο της απόφασης. Πρώτα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι οι συντεταγμένες του σημείου επαφής ικανοποιούν πραγματικά την εξίσωση που βρέθηκε:

- αληθινή ισότητα.

Τώρα «αφαιρούμε» τους συντελεστές γενική εξίσωσηεπίπεδο και ελέγξτε τα για σύμπτωση ή αναλογικότητα με τις αντίστοιχες τιμές. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηαναλογικά. Όπως θυμάστε από μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας, - αυτό κανονικό διάνυσμαεφαπτομενικό επίπεδο, και αυτός - οδηγός διάνυσμακανονική ευθεία. Ας συνθέσουμε κανονικές εξισώσειςκανονικές κατά διάνυσμα σημείου και κατεύθυνσης:

Κατ 'αρχήν, οι παρονομαστές μπορούν να μειωθούν κατά ένα "δύο", αλλά δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη για αυτό.

Απάντηση:

Δεν απαγορεύεται να ορίσουμε τις εξισώσεις με κάποια γράμματα, ωστόσο, πάλι - γιατί; Εδώ και έτσι είναι πολύ σαφές τι είναι τι.

Τα επόμενα δύο παραδείγματα για ανεξάρτητη λύση. Ένα μικρό "μαθηματικό γλωσσικό στρίψιμο":

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και της κάθετης στην επιφάνεια στο σημείο .

Και μια εργασία ενδιαφέρουσα από τεχνική άποψη:

Παράδειγμα 3

Να συνθέσετε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κάθετου στην επιφάνεια σε ένα σημείο

Στο σημείο.

Υπάρχει κάθε πιθανότητα όχι μόνο να μπερδευτείτε, αλλά και να αντιμετωπίσετε δυσκολίες όταν γράφετε. κανονικές εξισώσεις της γραμμής. Και οι κανονικές εξισώσεις, όπως μάλλον καταλάβατε, συνήθως γράφονται με αυτή τη μορφή. Αν και, λόγω λήθης ή άγνοιας ορισμένων αποχρώσεων, μια παραμετρική μορφή είναι κάτι παραπάνω από αποδεκτή.

Παραδείγματα λύσεων φινιρίσματος στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχει εφαπτομενικό επίπεδο σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας; Γενικά, φυσικά όχι. Κλασικό παράδειγμα- αυτό κωνική επιφάνεια και σημείο - οι εφαπτομένες σε αυτό το σημείο σχηματίζονται άμεσα κωνική επιφάνεια, και, φυσικά, μην ξαπλώνετε στο ίδιο επίπεδο. Είναι εύκολο να επαληθεύσετε τη διχόνοια και αναλυτικά: .

Μια άλλη πηγή προβλημάτων είναι το γεγονός ανύπαρκτοκάποια μερική παράγωγο σε ένα σημείο. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει ενιαίο επίπεδο εφαπτομένης σε ένα δεδομένο σημείο.

Αλλά ήταν μάλλον δημοφιλής επιστήμη παρά πρακτικά σημαντικές πληροφορίες, και επιστρέφουμε στα επείγοντα ζητήματα:

Πώς να γράψετε τις εξισώσεις του εφαπτομενικού επιπέδου και του κανονικού σε ένα σημείο,
αν η επιφάνεια δίνεται από ρητή συνάρτηση?

Ας το ξαναγράψουμε σιωπηρά:

Και με τις ίδιες αρχές βρίσκουμε μερικές παράγωγες:

Έτσι, ο τύπος του εφαπτομένου επιπέδου μετατρέπεται στην ακόλουθη εξίσωση:

Και αντίστοιχα, κανονικές εξισώσειςκανονικά:

Όπως είναι εύκολο να μαντέψει κανείς - Είναι αληθινό" μερικές παράγωγοι συνάρτησης δύο μεταβλητώνστο σημείο , που ονομάζαμε με το γράμμα "Ζ" και το βρήκαμε 100500 φορές.

Σημειώστε ότι σε αυτό το άρθρο αρκεί να θυμηθούμε τον πρώτο τύπο, από τον οποίο, εάν είναι απαραίτητο, είναι εύκολο να εξαχθούν όλα τα άλλα. (φυσικά, έχοντας επίπεδο βάσηςεκπαίδευση). Αυτή είναι η προσέγγιση που πρέπει να ακολουθείται κατά τη μελέτη θετικές επιστήμες, δηλ. από μια ελάχιστη πληροφόρηση, θα πρέπει κανείς να προσπαθήσει να «βγάλει» το μέγιστο των συμπερασμάτων και των συνεπειών. "Soobrazhalovka" και η ήδη υπάρχουσα γνώση για να βοηθήσει! Αυτή η αρχή είναι επίσης χρήσιμη γιατί είναι πολύ πιθανό να σας σώσει σε μια κρίσιμη κατάσταση όταν γνωρίζετε πολύ λίγα.

Ας επεξεργαστούμε τους "τροποποιημένους" τύπους με μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

Να συνθέσετε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κάθετου στην επιφάνεια στο σημείο.

Μια μικρή επικάλυψη εδώ αποδείχθηκε με σύμβολα - τώρα το γράμμα υποδηλώνει ένα σημείο του αεροπλάνου, αλλά τι μπορείτε να κάνετε - ένα τόσο δημοφιλές γράμμα ....

Απόφαση: θα συνθέσουμε την εξίσωση του επιθυμητού εφαπτομενικού επιπέδου σύμφωνα με τον τύπο:

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο :

Υπολογίζω επιμέρους παράγωγα 1ης τάξηςσε αυτό το σημείο:

Ετσι:

προσεκτικά, μην βιαστείτε:

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της κανονικής στο σημείο:

Απάντηση:

Και ένα τελευταίο παράδειγμα για μια λύση do-it-yourself:

Παράδειγμα 5

Να συνθέσετε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κάθετου στην επιφάνεια στο σημείο.

Το τελευταίο είναι γιατί, στην πραγματικότητα, εξήγησα όλα τα τεχνικά σημεία και δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να προσθέσω. Ακόμη και οι ίδιες οι συναρτήσεις που προσφέρονται σε αυτήν την εργασία είναι θαμπές και μονότονες - στην πράξη είναι σχεδόν εγγυημένο ότι θα συναντήσετε ένα "πολυώνυμο", και από αυτή την άποψη, το Παράδειγμα Νο. 2 με τον εκθέτη μοιάζει με "μαύρο πρόβατο". Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ πιο πιθανό να συναντήσει την επιφάνεια, δίνεται από την εξίσωσηκαι αυτός είναι ένας ακόμη λόγος για τον οποίο η συνάρτηση συμπεριλήφθηκε στο άρθρο "δεύτερος αριθμός".

Και τέλος, το μυστικό που υποσχέθηκε: πώς λοιπόν να αποφύγετε τη συσσώρευση ορισμών; (φυσικά, δεν εννοώ την κατάσταση όταν ένας μαθητής στριμώχνει πυρετωδώς κάτι πριν από τις εξετάσεις)

Ο ορισμός οποιασδήποτε έννοιας/φαινομένου/αντικειμένου, πρώτα από όλα, δίνει μια απάντηση επόμενη ερώτηση: ΤΙ ΕΙΝΑΙ? (ποιος/τέτοιος/τέτοιος/τέτοιος). Ενσυνείδηταανταποκρίνεται σε αυτη η ερωτηση, θα πρέπει να προσπαθήσετε να σκεφτείτε σημαντικόςσημάδια, σίγουραπροσδιορίζοντας αυτή ή εκείνη την έννοια/φαινόμενο/αντικείμενο. Ναι, στην αρχή αποδεικνύεται ότι είναι κάπως γλωσσοδέτη, ανακριβές και περιττό (ο δάσκαλος θα διορθώσει =)), αλλά με την πάροδο του χρόνου αναπτύσσεται ένας αρκετά αξιόλογος επιστημονικός λόγος.

Εξασκηθείτε στα πιο αφηρημένα αντικείμενα, για παράδειγμα, απαντήστε στην ερώτηση: ποιος είναι ο Cheburashka; Δεν είναι τόσο απλό ;-) Αυτό είναι " χαρακτήρας παραμυθιούμε μεγάλα αυτιά, μάτια και καστανά μαλλιά»; Μακριά και πολύ μακριά από τον ορισμό - ποτέ δεν ξέρεις ότι υπάρχουν χαρακτήρες με τέτοια χαρακτηριστικά…. Αλλά αυτό είναι πολύ πιο κοντά στον ορισμό: "Ο Cheburashka είναι ένας χαρακτήρας που εφευρέθηκε από τον συγγραφέα Έντουαρντ Ουσπένσκι το 1966, ο οποίος ... (παραθέτοντας τα κύρια σήματα κατατεθέντα)» . Δώστε προσοχή στο πόσο καλά ξεκίνησε

Μπορεί να ρυθμιστεί διαφορετικοί τρόποι(ένα σημείο και ένα διάνυσμα, δύο σημεία και ένα διάνυσμα, τρία σημεία κ.λπ.). Με αυτό κατά νου μπορεί να έχει η εξίσωση του επιπέδου διαφορετικά είδη. Επίσης, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, τα επίπεδα μπορεί να είναι παράλληλα, κάθετα, τεμνόμενα κ.λπ. Θα μιλήσουμε για αυτό σε αυτό το άρθρο. Θα μάθουμε πώς να γράφουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου και όχι μόνο.

Κανονική μορφή της εξίσωσης

Ας πούμε ότι υπάρχει ένα διάστημα R 3 που έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων XYZ. Θέτουμε το διάνυσμα α, το οποίο θα απελευθερωθεί από το αρχικό σημείο Ο. Μέσα από το άκρο του διανύσματος α σχεδιάζουμε το επίπεδο P, που θα είναι κάθετο σε αυτό.

Να συμβολίσετε με P ένα αυθαίρετο σημείο Q=(x, y, z). Θα υπογράψουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Q με το γράμμα p. Το μήκος του διανύσματος α είναι p=IαI και Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Αυτό μονάδα διάνυσμα, που κατευθύνεται στο πλάι, όπως το διάνυσμα α. α, β και γ είναι οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ του διανύσματος Ʋ και των θετικών κατευθύνσεων των διαστημικών αξόνων x, y, z, αντίστοιχα. Η προβολή κάποιου σημείου QϵП στο διάνυσμα Ʋ ​​είναι σταθερή τιμή, που ισούται με p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Αυτή η εξίσωση έχει νόημα όταν p=0. Το μόνο πράγμα είναι ότι το επίπεδο P σε αυτή την περίπτωση θα τέμνει το σημείο O (α=0), που είναι η αρχή, και το μοναδιαίο διάνυσμα Ʋ ​​που απελευθερώνεται από το σημείο O θα είναι κάθετο στο P, ανεξάρτητα από την κατεύθυνσή του, που σημαίνει ότι το διάνυσμα Ʋ ​​προσδιορίζεται από το πρόσημο-ακριβές. Η προηγούμενη εξίσωση είναι η εξίσωση του επιπέδου P μας, εκφρασμένη σε διανυσματική μορφή. Αλλά στις συντεταγμένες θα μοιάζει με αυτό:

Το P εδώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0. Βρήκαμε την εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα στην κανονική του μορφή.

Γενική Εξίσωση

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη, η οποία καθορίζει το ίδιο επίπεδο. Θα μοιάζει με αυτό:

Εδώ τα Α, Β, Γ είναι αριθμοί που διαφέρουν ταυτόχρονα από το μηδέν. Αυτή η εξίσωση αναφέρεται ως εξίσωση γενικού επιπέδου.

Επίπεδες εξισώσεις. Ειδικές περιπτώσεις

Εξίσωση σε γενική εικόναμπορεί να τροποποιηθεί υπό πρόσθετες προϋποθέσεις. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής Α είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι το δεδομένο επίπεδο είναι παράλληλο στον δεδομένο άξονα Ox. Σε αυτήν την περίπτωση, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει: Ву+Cz+D=0.

Ομοίως, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει υπό τις ακόλουθες συνθήκες:

• Πρώτον, εάν B = 0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Ax + Cz + D = 0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον άξονα Oy.
• Δεύτερον, αν С=0, τότε η εξίσωση μετατρέπεται σε Ах+Ву+D=0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον δεδομένο άξονα Oz.
• Τρίτον, εάν D=0, η εξίσωση θα μοιάζει με Ax+By+Cz=0, που θα σημαίνει ότι το επίπεδο τέμνει το O (την αρχή).
• Τέταρτον, αν A=B=0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Cz+D=0, που θα αποδειχθεί παράλληλη με το Oxy.
• Πέμπτον, αν B=C=0, τότε η εξίσωση γίνεται Ax+D=0, που σημαίνει ότι το επίπεδο προς το Oyz είναι παράλληλο.
• Έκτον, αν A=C=0, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή Ву+D=0, δηλαδή θα αναφέρει παραλληλισμό στο Oxz.

Τύπος εξίσωσης σε τμήματα

Στην περίπτωση που οι αριθμοί A, B, C, D είναι μη μηδενικοί, η μορφή της εξίσωσης (0) μπορεί να είναι η εξής:

x/a + y/b + z/c = 1,

στο οποίο ένα \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό το επίπεδο θα τέμνει τον άξονα Ox σε ένα σημείο με συντεταγμένες (a,0,0), Oy - (0,b,0) και Oz - (0,0,c) .

Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση x/a + y/b + z/c = 1, είναι εύκολο να αναπαρασταθεί οπτικά η τοποθέτηση του επιπέδου σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Κανονικές διανυσματικές συντεταγμένες

Το κανονικό διάνυσμα n προς το επίπεδο P έχει συντεταγμένες που είναι οι συντελεστές της γενικής εξίσωσης του δεδομένου επιπέδου, δηλαδή n (A, B, C).

Για να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κανονικού n, αρκεί να γνωρίζουμε τη γενική εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου.

Όταν χρησιμοποιείται η εξίσωση σε τμήματα, που έχει τη μορφή x/a + y/b + z/c = 1, καθώς και όταν χρησιμοποιείται η γενική εξίσωση, μπορούμε να γράψουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε κανονικού διανύσματος ενός δεδομένου επιπέδου: (1 /a + 1/b + 1/ με).

Πρέπει να σημειωθεί ότι το κανονικό διάνυσμα βοηθά στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Οι πιο συνηθισμένες είναι εργασίες που συνίστανται στην απόδειξη της καθετότητας ή παραλληλισμού των επιπέδων, προβλήματα στην εύρεση γωνιών μεταξύ επιπέδων ή γωνιών μεταξύ επιπέδων και ευθειών.

Άποψη της εξίσωσης του επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες του σημείου και του κανονικού διανύσματος

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα n κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο ονομάζεται κανονικό (κανονικό) για ένα δεδομένο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι στον χώρο συντεταγμένων (ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) δίνονται Oxyz:

• σημείο Mₒ με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ);
• μηδενικό διάνυσμα n=A*i+B*j+C*k.

Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που θα διέρχεται από το σημείο Mₒ κάθετο στην κανονική n.

Στο διάστημα επιλέγουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο και το συμβολίζουμε με M (x y, z). Έστω το διάνυσμα ακτίνας οποιουδήποτε σημείου M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k και το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Το σημείο M θα ανήκει στο δεδομένο επίπεδο εάν το διάνυσμα MₒM είναι κάθετο στο διάνυσμα n. Γράφουμε τη συνθήκη ορθογωνικότητας χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

[MₒM, n] = 0.

Δεδομένου ότι MₒM \u003d r-rₒ, η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου θα μοιάζει με αυτό:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να πάρει άλλη μορφή. Για αυτό, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος και το αριστερή πλευράεξισώσεις. = - . Εάν συμβολίζεται ως c, τότε θα ληφθεί η ακόλουθη εξίσωση: - c \u003d 0 ή \u003d c, η οποία εκφράζει τη σταθερότητα των προβολών στο κανονικό διάνυσμα των διανυσμάτων ακτίνας των δεδομένων σημείων που ανήκουν στο επίπεδο.

Τώρα μπορείτε να πάρετε προβολή συντεταγμένωνκαταχωρήσεις της διανυσματικής εξίσωσης του επιπέδου μας = 0. Αφού r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, και n = A*i+B*j +C* k, έχουμε:

Αποδεικνύεται ότι έχουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στην κανονική n:

A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.

Άποψη της εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες δύο σημείων και ενός διανύσματος συγγραμμικού με το επίπεδο

Ορίζουμε δύο αυθαίρετα σημεία M′ (x′,y′,z′) και M″ (x″,y″,z″), καθώς και το διάνυσμα a (a′,a″,a‴).

Τώρα μπορούμε να συνθέσουμε μια εξίσωση για ένα δεδομένο επίπεδο, το οποίο θα διέρχεται από τα διαθέσιμα σημεία M′ και M ″, καθώς και από οποιοδήποτε σημείο M με συντεταγμένες (x, y, z) παράλληλα. δεδομένο διάνυσμαένα.

Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) και M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) πρέπει να είναι συνεπίπεδα με το διάνυσμα a=(a′,a″,a‴), που σημαίνει ότι (M′M, M″M, a)=0.

Έτσι, η εξίσωσή μας ενός επιπέδου στο διάστημα θα μοιάζει με αυτό:

Τύπος εξίσωσης επιπέδου που τέμνει τρία σημεία

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία σημεία: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα δεδομένα τρία σημεία. Η θεωρία της γεωμετρίας ισχυρίζεται ότι αυτού του είδους το επίπεδο υπάρχει πραγματικά, μόνο που είναι το μοναδικό και αμίμητο. Εφόσον αυτό το επίπεδο τέμνει το σημείο (x′, y′, z′), η μορφή της εξίσωσής του θα είναι η εξής:

Εδώ τα Α, Β, Γ διαφέρουν από το μηδέν ταυτόχρονα. Επίσης, το δεδομένο επίπεδο τέμνει δύο ακόμη σημεία: (x″,y″,z″) και (x‴,y‴,z‴). Ως προς αυτό, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Τώρα μπορούμε να συνθέσουμε ομοιογενές σύστημαμε άγνωστο u, v, w:

Στο δικό μας περίπτωση x,yή z στέκεται αυθαίρετο σημείο, που ικανοποιεί την εξίσωση (1). Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1) και το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3), το σύστημα των εξισώσεων που υποδεικνύεται στο παραπάνω σχήμα ικανοποιεί το διάνυσμα N (A, B, C), το οποίο είναι μη τετριμμένο. Γι' αυτό η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Η εξίσωση (1), που λάβαμε, είναι η εξίσωση του επιπέδου. Περνάει ακριβώς από 3 σημεία, και αυτό είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επεκτείνουμε την ορίζοντή μας στα στοιχεία της πρώτης σειράς. Από τις υπάρχουσες ιδιότητες της ορίζουσας προκύπτει ότι το επίπεδό μας τέμνει ταυτόχρονα τρία αρχικά δεδομένα σημεία (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Δηλαδή, έχουμε λύσει την εργασία που μας έχει τεθεί.

Διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων

Η διεδρική γωνία είναι χωρική γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το μέρος του χώρου που περιορίζεται από αυτά τα ημιεπίπεδα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα με τις ακόλουθες εξισώσεις:

Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα N=(A,B,C) και N1=(A1,B1,C1) είναι κάθετα σύμφωνα με δεδομένα αεροπλάνα. Από αυτή την άποψη, η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων N και N1 είναι ίση με τη γωνία (διεδρική), η οποία βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων. Scalar προϊόνμοιάζει με:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ακριβώς επειδή

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B1)²+(C1)²)).

Αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι 0≤φ≤π.

Στην πραγματικότητα, δύο επίπεδα που τέμνονται σχηματίζουν δύο (διεδρικές) γωνίες: φ 1 και φ 2 . Το άθροισμά τους είναι ίσο με π (φ 1 + φ 2 = π). Όσον αφορά τα συνημίτονά τους, οι απόλυτες τιμές τους είναι ίσες, αλλά διαφέρουν σε πρόσημα, δηλαδή cos φ 1 =-cos φ 2. Αν στην εξίσωση (0) αντικαταστήσουμε τα Α, Β και Γ με τους αριθμούς -Α, -Β και -Γ αντίστοιχα, τότε η εξίσωση που θα λάβουμε θα καθορίσει το ίδιο επίπεδο, τη μοναδική γωνία φ σε εξίσωση cosφ= NN 1 /|N||N 1 | θα αντικατασταθεί από το π-φ.

Εξίσωση κάθετου επιπέδου

Τα επίπεδα ονομάζονται κάθετα αν η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες. Χρησιμοποιώντας το υλικό που περιγράφηκε παραπάνω, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου σε ένα άλλο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα: Ax+By+Cz+D=0 και A¹x+B1y+C1z+D=0. Μπορούμε να δηλώσουμε ότι θα είναι κάθετοι αν cosφ=0. Αυτό σημαίνει ότι NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Εξίσωση παράλληλου επιπέδου

Παράλληλα είναι δύο επίπεδα που δεν περιέχουν κοινά σημεία.

Η προϋπόθεση (οι εξισώσεις τους είναι ίδιες με την προηγούμενη παράγραφο) είναι ότι τα διανύσματα N και N1, που είναι κάθετα σε αυτά, είναι συγγραμμικά. Και αυτό σημαίνει ότι το παρακάτω συνθήκεςαναλογικότητα:

A/A1=B/B1=C/C1.

Εάν επεκταθούν οι όροι αναλογικότητας - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

αυτό δείχνει ότι αυτά τα αεροπλάνα συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις Ax+By+Cz+D=0 και A1x+B1y+C1z+D1=0 περιγράφουν ένα επίπεδο.

Απόσταση σε αεροπλάνο από σημείο

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο P, το οποίο δίνεται από την εξίσωση (0). Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση σε αυτό από το σημείο με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Για να γίνει αυτό, πρέπει να φέρετε την εξίσωση του επιπέδου P σε κανονική μορφή:

(ρ,v)=p (p≥0).

Σε αυτή την περίπτωση, ρ(x,y,z) είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου μας Q που βρίσκεται στο P, p είναι το μήκος της κάθετου στο P που απελευθερώθηκε από το σημείο μηδέν, v είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που βρίσκεται στο η α σκηνοθεσία.

Η διαφορά ρ-ρº του διανύσματος ακτίνας κάποιου σημείου Q=(x,y,z) που ανήκει στο P, καθώς και του διανύσματος ακτίνας ενός δεδομένου σημείου Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) είναι ένα τέτοιο διάνυσμα, απόλυτη τιμήτου οποίου η προβολή στο v είναι ίση με την απόσταση d, η οποία πρέπει να βρεθεί από το Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) έως το P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, αλλά

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Έτσι αποδεικνύεται

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Έτσι θα βρούμε απόλυτη τιμήη έκφραση που προκύπτει, δηλαδή η απαιτούμενη d.

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των παραμέτρων, έχουμε το προφανές:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Αν δεδομένο σημείοΤο Q 0 βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου P, καθώς και η αρχή, τότε μεταξύ του διανύσματος ρ-ρ 0 και v είναι επομένως:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Στην περίπτωση που το σημείο Q 0, μαζί με την αρχή, βρίσκεται στην ίδια πλευρά του P, τότε η γωνία που δημιουργείται είναι οξεία, δηλαδή:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι στην πρώτη περίπτωση (ρ 0 ,v)> р, στη δεύτερη (ρ 0 ,v)<р.

Εφαπτομενικό επίπεδο και η εξίσωσή του

Το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής Mº είναι το επίπεδο που περιέχει όλες τις πιθανές εφαπτόμενες στις καμπύλες που χαράσσονται μέσω αυτού του σημείου της επιφάνειας.

Με αυτή τη μορφή της εξίσωσης επιφάνειας F (x, y, z) \u003d 0, η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στο σημείο εφαπτομένης Mº (xº, yº, zº) θα μοιάζει με αυτό:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Εάν καθορίσετε την επιφάνεια σε ρητή μορφή z=f (x, y), τότε το εφαπτομενικό επίπεδο θα περιγραφεί από την εξίσωση:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Τομή δύο επιπέδων

Στο σύστημα συντεταγμένων (ορθογώνιο) βρίσκεται το Oxyz, δίνονται δύο επίπεδα П′ και П″, τα οποία τέμνονται και δεν συμπίπτουν. Δεδομένου ότι οποιοδήποτε επίπεδο βρίσκεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από τη γενική εξίσωση, θα υποθέσουμε ότι τα P′ και P″ δίνονται από τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x +B″y+ С″z+D″=0. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το κανονικό n′ (A′, B′, C′) του επιπέδου P′ και το κανονικό n″ (A″, B″, C″) του επιπέδου P″. Δεδομένου ότι τα επίπεδά μας δεν είναι παράλληλα και δεν συμπίπτουν, αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των μαθηματικών, μπορούμε να γράψουμε αυτή τη συνθήκη ως εξής: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Έστω η ευθεία που βρίσκεται στη τομή των P′ και P″ συμβολίζεται με το γράμμα a, στην περίπτωση αυτή a = P′ ∩ P″.

Η α είναι μια ευθεία που αποτελείται από το σύνολο όλων των σημείων των (κοινών) επιπέδων П′ και П″. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στην ευθεία a πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούν τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x+B″y+C″z+D″= 0. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι μια συγκεκριμένη λύση του ακόλουθου συστήματος εξισώσεων:

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι η (γενική) λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων θα καθορίσει τις συντεταγμένες καθενός από τα σημεία της ευθείας γραμμής, τα οποία θα λειτουργήσουν ως το σημείο τομής των Π′ και Π″ και θα καθορίσουν την ευθεία γραμμή α στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz (ορθογώνια) στο διάστημα.

Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, μια κανονική είναι μια κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και κατευθυντικά διανύσματα), και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμη πιο εύκολη από ό,τι με τα διανύσματα κατεύθυνσης:

Εάν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «τραβηχτούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος απλώς «αφαιρούνται».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Ας βεβαιωθούμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να γράψουμε μια εξίσωση ευθείας, γνωρίζοντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ευθύτερης γραμμής καθορίζεται επίσης μοναδικά - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας προκύπτει, ας ελέγξουμε:

1) "Αφαιρέστε" τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: - ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα λαμβάνεται από τη συνθήκη (ή το διάνυσμα πρέπει να είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση είναι σωστή, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Απάντηση:

Στην κλήρωση η κατάσταση έχει ως εξής:

Για τους σκοπούς της εκπαίδευσης, μια παρόμοια εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος θα αφιερωθεί σε λιγότερο συνηθισμένους, αλλά και σημαντικούς τύπους εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτή τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Πρόκειται, μεταφορικά μιλώντας, για μια «τεχνική» εξίσωση. Η συνήθης εργασία είναι να αναπαραστήσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής ως εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα. Γιατί είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας με άξονες συντεταγμένων, κάτι που είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Επαναφέρουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο με τον άξονα είναι το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Οι ενέργειες που μόλις εξήγησα λεπτομερώς εκτελούνται προφορικά.

Δίνεται ευθεία γραμμή. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα και να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας φέρουμε την εξίσωση στη μορφή . Αρχικά, μετακινούμε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά:

Για να πάρουμε μια μονάδα στα δεξιά, διαιρούμε κάθε όρο της εξίσωσης με -11:

Κάνουμε κλάσματα τριώροφα:

Τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων εμφανίστηκαν:

Απάντηση:

Απομένει να στερεώσετε έναν χάρακα και να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτή η ευθεία γραμμή καθορίζεται μοναδικά από τα κόκκινα και πράσινα τμήματα, εξ ου και το όνομα - "η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα".

Φυσικά, τα σημεία δεν είναι τόσο δύσκολο να βρεθούν από την εξίσωση, αλλά το πρόβλημα εξακολουθεί να είναι χρήσιμο. Ο εξεταζόμενος αλγόριθμος θα χρειαστεί να βρει τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες συντεταγμένων, να φέρει την εξίσωση γραμμής δεύτερης τάξης στην κανονική μορφή και σε ορισμένα άλλα προβλήματα. Επομένως, μερικές ευθείες γραμμές για μια ανεξάρτητη λύση:

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα και να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος. Μην ξεχνάτε ότι αν θέλετε, μπορείτε να σχεδιάσετε τα πάντα.

Πώς να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για μια ευθεία γραμμή;

Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής είναι πιο σχετικές με τις ευθείες στο χώρο, αλλά χωρίς αυτές η περίληψή μας θα μείνει ορφανή.

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας δίνονται από το σύστημα:

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας κατά σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης

Η λύση τελείωσε πριν ξεκινήσει:

Η παράμετρος "te" μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο" και κάθε τιμή παραμέτρου αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου. Για παράδειγμα, αν , τότε παίρνουμε ένα σημείο .

Αντίστροφο πρόβλημα: πώς να ελέγξετε εάν ένα σημείο συνθήκης ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή;

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου στις παραμετρικές εξισώσεις που προέκυψαν:

Και από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ότι, δηλαδή, το σύστημα είναι συνεπές και έχει μια μοναδική λύση.

Ας εξετάσουμε πιο ουσιαστικές εργασίες:

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας

Λύση: Κατά συνθήκη, η ευθεία δίνεται σε γενική μορφή. Για να συνθέσετε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, πρέπει να γνωρίζετε το κατευθυντικό της διάνυσμα και κάποιο σημείο που ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Ας βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Τώρα πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή (κάποιος θα το κάνει), για το σκοπό αυτό είναι βολικό να ξαναγράψετε τη γενική εξίσωση με τη μορφή μιας εξίσωσης με κλίση:

Προκαλεί, φυσικά, την ουσία

Συνθέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

Και τέλος, μια μικρή δημιουργική εργασία για μια ανεξάρτητη λύση.

Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας αν είναι γνωστά το σημείο που της ανήκει και το κανονικό διάνυσμα

Η εργασία μπορεί να γίνει με περισσότερους από έναν τρόπους. Μία από τις εκδοχές της λύσης και η απάντηση στο τέλος.

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση: Βρείτε την κλίση:

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και μια κλίση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4: Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 6: Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Απάντηση: (άξονας y)

Παράδειγμα 8: Απόφαση: Ας κάνουμε την εξίσωση μιας ευθείας σε δύο σημεία:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με -4:

Και διαιρέστε με το 5:

Απάντηση:

Παράδειγμα 10: Απόφαση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Μειώνουμε κατά -2:

Άμεση διάνυσμα κατεύθυνσης:
Απάντηση:

Παράδειγμα 12:
ένα) Απόφαση: Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

Ετσι:

Απάντηση:

σι) Απόφαση: Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

Ετσι:

Απάντηση:

Παράδειγμα 15: Απόφαση: Αρχικά, γράφουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα :

Πολλαπλασιασμός επί 12:

Πολλαπλασιάζουμε με 2 ακόμη, ώστε αφού ανοίξουμε τη δεύτερη αγκύλη, να απαλλαγούμε από το κλάσμα:

Άμεση διάνυσμα κατεύθυνσης:
Συνθέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας κατά το σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης :
Απάντηση:

Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο.
Αμοιβαία διάταξη γραμμών. Γωνία μεταξύ των γραμμών

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε αυτές τις άπειρες-άπειρες γραμμές.

Πώς να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία;
Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;
Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές που δίνονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Θυμηθείτε το μαθηματικό πρόσημο της διασταύρωσης, θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν εάν και μόνο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός "λάμδα" που ισχύουν οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά .

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του "λάμδα" ώστε να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει ότι το σύστημα είναι ασυνεπές (δεν υπάρχουν λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Η λύση βασίζεται στη μελέτη των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" μπορεί να βρεθεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, είναι επίσης δυνατό μέσω των ίδιων των συντελεστών των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός την ικανοποιεί γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Να χαρακτηρίσετε την άγνωστη ευθεία με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά.

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος.

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Τόσο πολύ για τη γεωμετρική σημασία ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα - αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Ο γραφικός τρόπος είναι να σχεδιάσετε απλώς τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, έχουμε εξετάσει μια γραφική μέθοδο για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων.

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Η απόσταση στη γεωμετρία παραδοσιακά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα "p", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "m" έως την ευθεία "d".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να συνδέσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Πώς να κατασκευάσετε ένα σημείο συμμετρικό ως προς μια ευθεία;

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο "πράσινος" γείτονάς του ή η αντίθετα προσανατολισμένη γωνία "βατόμουρου" θεωρείται ως τέτοια.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να επιτευχθεί ένα αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου:

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Υπάρχει και τρίτη λύση. Η ιδέα είναι να υπολογιστεί η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:

Εδώ δεν μιλάμε για μια προσανατολισμένη γωνία, αλλά "απλώς για μια γωνία", δηλαδή, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα θετικό. Το πρόβλημά είναι ότι μπορείτε να πάρετε μια αμβλεία γωνία (όχι αυτή που χρειάζεστε). Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να κάνετε κράτηση ότι η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι μικρότερη γωνία και να αφαιρέσετε το συνημίτονο τόξου που προκύπτει από τα ακτίνια "pi" (180 μοίρες).

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Προσπαθήστε να το λύσετε με δύο τρόπους.

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3: Λύση: Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Θα συνθέσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας χρησιμοποιώντας το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης

Σημείωση: εδώ η πρώτη εξίσωση του συστήματος πολλαπλασιάζεται επί 5, μετά η 2η αφαιρείται όρο προς όρο από την 1η εξίσωση.
Απάντηση:

Για να μελετήσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να έχουμε καλή κατανόηση της άλγεβρας των διανυσμάτων. Είναι σημαντικό να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης και το κανονικό διάνυσμα της ευθείας. Αυτό το άρθρο θα εξετάσει το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής με παραδείγματα και σχέδια, βρίσκοντας τις συντεταγμένες του εάν είναι γνωστές οι εξισώσεις των ευθειών. Θα εξεταστεί μια λεπτομερής λύση.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Για να διευκολύνετε την πέψη του υλικού, πρέπει να κατανοήσετε τις έννοιες της γραμμής, του επιπέδου και των ορισμών που σχετίζονται με διανύσματα. Αρχικά, ας εξοικειωθούμε με την έννοια του ευθύγραμμου διανύσματος.

Ορισμός 1

Κανονική γραμμή διάνυσμακάθε διάνυσμα που δεν είναι μηδενικό που βρίσκεται σε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στη δεδομένη ονομάζεται.

Είναι σαφές ότι υπάρχει ένα άπειρο σύνολο κανονικών διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια δεδομένη γραμμή. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Παίρνουμε ότι η ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε η καθετότητά της εκτείνεται στη δεύτερη παράλληλη ευθεία. Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι τα σύνολα των κανονικών διανυσμάτων αυτών των παράλληλων ευθειών συμπίπτουν. Όταν οι ευθείες a και a 1 είναι παράλληλες και το n → θεωρείται κανονικό διάνυσμα της ευθείας a , θεωρείται επίσης κανονικό διάνυσμα για την ευθεία a 1 . Όταν η ευθεία a έχει άμεσο διάνυσμα, τότε το διάνυσμα t · n → είναι μη μηδενικό για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου t, και είναι επίσης κανονικό για την ευθεία a.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των κανονικών και διανυσμάτων κατεύθυνσης, μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι το κανονικό διάνυσμα είναι κάθετο στην κατεύθυνση. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Αν δίνεται το επίπεδο O x y, τότε το σύνολο των διανυσμάτων για το O x είναι το διάνυσμα συντεταγμένων j → . Θεωρείται μη μηδενικό και ανήκει στον άξονα συντεταγμένων O y, κάθετο στο O x. Ολόκληρο το σύνολο των κανονικών διανυσμάτων ως προς το O x μπορεί να γραφτεί ως t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Το ορθογώνιο σύστημα O x y z έχει ένα κανονικό διάνυσμα i → που σχετίζεται με την ευθεία O z. Το διάνυσμα j → θεωρείται επίσης κανονικό. Αυτό δείχνει ότι κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε οποιοδήποτε επίπεδο και είναι κάθετο στο O z θεωρείται κανονικό για το O z.

Συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας - εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος της ευθείας από τις γνωστές εξισώσεις της ευθείας

Όταν εξετάζουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y, βρίσκουμε ότι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο αντιστοιχεί σε αυτό και ο προσδιορισμός των κανονικών διανυσμάτων γίνεται με συντεταγμένες. Εάν η εξίσωση μιας ευθείας είναι γνωστή, αλλά είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, τότε είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντελεστές από την εξίσωση A x + B y + C = 0, οι οποίοι αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας.

Παράδειγμα 1

Δίνεται ευθεία της μορφής 2 x + 7 y - 4 = 0 _, βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος.

Απόφαση

Με προϋπόθεση, έχουμε ότι η ευθεία γραμμή δόθηκε από τη γενική εξίσωση, που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να γράψουμε τους συντελεστές, οι οποίοι είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Επομένως, οι συντεταγμένες του διανύσματος έχουν την τιμή 2 , 7 .

Απάντηση: 2 , 7 .

Υπάρχουν φορές που το Α ή το Β από μια εξίσωση είναι μηδέν. Ας εξετάσουμε τη λύση μιας τέτοιας εργασίας με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Καθορίστε το κανονικό διάνυσμα για τη δεδομένη ευθεία y - 3 = 0 .

Απόφαση

Με συνθήκη, μας δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, που σημαίνει ότι τη γράφουμε με αυτόν τον τρόπο 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Τώρα μπορούμε να δούμε καθαρά τους συντελεστές, που είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Έτσι, παίρνουμε ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι 0 , 1 .

Απάντηση: 0, 1.

Εάν μια εξίσωση δίνεται σε τμήματα της μορφής x a + y b \u003d 1 ή μια εξίσωση με κλίση y \u003d k x + b, τότε είναι απαραίτητο να μειωθεί σε μια γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, όπου μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αν δίνεται η εξίσωση της ευθείας x 1 3 - y = 1.

Απόφαση

Πρώτα πρέπει να μετακινηθείτε από την εξίσωση στα διαστήματα x 1 3 - y = 1 σε μια γενική εξίσωση. Τότε παίρνουμε ότι x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Αυτό δείχνει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος έχουν την τιμή 3 , - 1 .

Απάντηση: 3 , - 1 .

Εάν η ευθεία ορίζεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο x - x 1 a x = y - y 1 a y ή από την παραμετρική x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , τότε η λήψη των συντεταγμένων γίνεται πιο περίπλοκο. Σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις, φαίνεται ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης θα είναι a → = (a x , a y) . Η δυνατότητα εύρεσης των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος n → είναι δυνατή λόγω της συνθήκης ότι τα διανύσματα n → και a → είναι κάθετα.

Είναι δυνατό να ληφθούν οι συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος με την αναγωγή των κανονικών ή παραμετρικών εξισώσεων μιας ευθείας σε μια γενική. Τότε παίρνουμε:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Για τη λύση, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε βολικό τρόπο.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Απόφαση

Από την ευθεία x - 2 7 = y + 3 - 2 είναι σαφές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης θα έχει συντεταγμένες a → = (7 , - 2) . Το κανονικό διάνυσμα n → = (n x , n y) της δεδομένης ευθείας είναι κάθετο σε a → = (7 , - 2) .

Ας μάθουμε με τι ισούται το βαθμωτό γινόμενο. Για να βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a → = (7 , - 2) και n → = (n x , n y) γράφουμε a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Η τιμή του n x είναι αυθαίρετη, θα πρέπει να βρείτε το n y . Αν n x = 1, τότε παίρνουμε ότι 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Επομένως, το κανονικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες 1 , 7 2 .

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης καταλήγει στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να φτάσουμε στη γενική μορφή της εξίσωσης από την κανονική. Για αυτό, μεταμορφωνόμαστε

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Το αποτέλεσμα των κανονικών διανυσματικών συντεταγμένων είναι 2, 7.

Απάντηση: 2, 7ή 1 , 7 2 .

Παράδειγμα 5

Καθορίστε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Απόφαση

Πρώτα πρέπει να εκτελέσετε έναν μετασχηματισμό για να μεταβείτε στη γενική μορφή μιας ευθείας γραμμής. Ας το κάνουμε:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Αυτό δείχνει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι -3, 0.

Απάντηση: - 3 , 0 .

Εξετάστε τρόπους εύρεσης των συντεταγμένων ενός κανονικού διανύσματος στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής στο διάστημα, που δίνεται από ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z.

Όταν μια ευθεία δίνεται από τις εξισώσεις των τεμνόμενων επιπέδων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , τότε το κανονικό διάνυσμα του το επίπεδο αναφέρεται σε A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, τότε παίρνουμε τα διανύσματα με τη μορφή n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) και n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Όταν η γραμμή ορίζεται χρησιμοποιώντας την κανονική εξίσωση του χώρου, που έχει τη μορφή x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ή παραμετρική, που έχει τη μορφή x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , επομένως τα x , a y και a z θεωρούνται οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας. Οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα μπορεί να είναι κανονικό για μια δεδομένη ευθεία και να είναι κάθετο στο διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) . Συνεπάγεται ότι η εύρεση των συντεταγμένων της κανονικής με παραμετρικές και κανονικές εξισώσεις γίνεται με τη χρήση των συντεταγμένων του διανύσματος, το οποίο είναι κάθετο στο δεδομένο διάνυσμα a → = (a x, a y, a z) .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter