Τι είναι μια συνάρτηση; Αυτή είναι η εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη. Σε μια μαθηματική συνάρτηση, υπάρχουν πιο συχνά δύο άγνωστοι: ανεξάρτητοι και εξαρτημένοι, ή x και y, αντίστοιχα.

Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι το x μπορεί να λάβει απολύτως οποιαδήποτε τιμή και το y θα προσαρμοστεί σε αυτήν, αλλάζοντας σύμφωνα με τους συντελεστές της συνάρτησης.

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου μια συνάρτηση έχει πολλές μεταβλητές. Το εξαρτημένο είναι πάντα 1, αλλά μπορεί να υπάρχουν αρκετοί παράγοντες που το επηρεάζουν. Δεν είναι πάντα δυνατή η εμφάνιση μιας τέτοιας συνάρτησης σε ένα γράφημα. Στην καλύτερη περίπτωση, μπορείτε να εμφανίσετε γραφικά την εξάρτηση του y από 2 μεταβλητές.

Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος να αναπαραστήσουμε την εξάρτηση y(x);

Ναι, πολύ απλό. Φανταστείτε ένα κακομαθημένο παιδί και μια πλούσια, στοργική μητέρα. Έρχονται μαζί στο μαγαζί και αρχίζουν να ζητιανεύουν για καραμέλα. Ποιος ξέρει πόσες καραμέλες θα ζητήσει το αγόρι σήμερα;

Κανείς, αλλά ανάλογα με τον αριθμό των καραμελών θα αυξηθεί και το ποσό που θα πληρώσει η μαμά στο ταμείο. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξαρτημένη μεταβλητή είναι το ποσό στην επιταγή και η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο αριθμός των γλυκών που θέλει το αγόρι σήμερα.

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ότι μια τιμή της συνάρτησης y αντιστοιχεί πάντα σε 1 τιμή του ορίσματος x. Αλλά, όπως και με τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αυτές οι τιμές μπορεί να συμπίπτουν.

Εξίσωση ευθείας γραμμής

Γιατί χρειαζόμαστε την εξίσωση ευθείας αν μιλάμε για την εξίσωση των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου;

Ναι, γιατί κάθε πλευρά του τριγώνου είναι ένα τμήμα. Ένα τμήμα είναι ένα περιορισμένο τμήμα μιας ευθείας γραμμής. Δηλαδή, μπορούμε να καθορίσουμε εξισώσεις ευθειών. Και στα σημεία τομής τους, περιορίστε τις γραμμές, κόβοντας έτσι τις ευθείες γραμμές και μετατρέποντάς τις σε τμήματα.

Η εξίσωση της γραμμής μοιάζει με αυτό:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Εξίσωση πλευρών τριγώνου

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η εξίσωση για τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με κορυφές στα σημεία A(3,7). Β(5,3); C(12;9)

Όλες οι συντεταγμένες είναι θετικές, πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο θα βρίσκεται σε 1 τεταρτημόριο συντεταγμένων.

Ας συντάξουμε εξισώσεις για κάθε μία από τις ευθείες του τριγώνου μία προς μία.

• Η πρώτη γραμμή θα είναι ΑΒ. Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων στην εξίσωση της ευθείας στη θέση των x και y. Έτσι παίρνουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων. Αφού το λύσετε, μπορείτε να βρείτε την τιμή των συντελεστών για τη συνάρτηση:

Α(3,7) ; B(5,3):

Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το b και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή του a και ας βρούμε το b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή.

• Ας δημιουργήσουμε τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις με τον ίδιο τρόπο.

Β(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

• Α(3,7) ; C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

• Ας γράψουμε την εξίσωση για τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Τι μάθαμε;

Μάθαμε τι είναι συνάρτηση, μιλήσαμε για τη συνάρτηση μιας ευθείας γραμμής και μάθαμε να εξάγουμε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του.

Δοκιμή για το θέμα

Βαθμολογία άρθρου

Μέση βαθμολογία: 4.8. Συνολικές βαθμολογίες που ελήφθησαν: 45.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ.
Βρείτε: 1) το μήκος της πλευράς ΑΒ. 2) εξισώσεις των πλευρών AB και AC και οι γωνιακοί συντελεστές τους. 3) Εσωτερική γωνία Α σε ακτίνια με ακρίβεια 0,01. 4) εξίσωση για το ύψος του CD και το μήκος του. 5) η εξίσωση ενός κύκλου για τον οποίο το ύψος CD είναι η διάμετρος. 6) ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων που ορίζουν το τρίγωνο ABC.

Μήκος πλευρών τριγώνου:
|ΑΒ| = 15
|AC| = 11,18
|π.Χ.| = 14,14
Απόσταση d από το σημείο Μ: d = 10
Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Μήκος των πλευρών του τριγώνου
Η απόσταση d μεταξύ των σημείων M 1 (x 1 , y 1) και M 2 (x 2 , y 2) καθορίζεται από τον τύπο:

8) Εξίσωση ευθείας
Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα σημεία A 1 (x 1 , y 1) και A 2 (x 2 , y 2) αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις:

Εξίσωση της ευθείας ΑΒ
ή
ή y = -3 / 4 x -7 / 4 ή 4y + 3x +7 = 0
Εξίσωση γραμμής AC
Κανονική εξίσωση της γραμμής: ή
ή y = 1 / 2 x + 9 / 2 ή 2y -x - 9 = 0
Εξίσωση ευθείας BC
Κανονική εξίσωση της γραμμής: ή
ή y = -7x + 42 ή y + 7x - 42 = 0
3) Γωνία μεταξύ ευθειών
Εξίσωση ευθείας AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Γραμμική εξίσωση AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Η γωνία φ μεταξύ δύο ευθειών, που δίνεται με εξισώσεις με γωνιακούς συντελεστές y = k 1 x + b 1 και y 2 = k 2 x + b 2, υπολογίζεται με τον τύπο:

Οι κλίσεις αυτών των γραμμών είναι -3/4 και 1/2. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο και ας πάρουμε το modulo στη δεξιά πλευρά του:

tg φ = 2
φ = αρκτάν(2) = 63,44 0 ή 1,107 rad.
9) Εξίσωση ύψους μέσω της κορυφής Γ
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο N 0 (x 0 ;y 0) και είναι κάθετη στην ευθεία Ax + By + C = 0 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης (A;B) και, επομένως, αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις:



Αυτή η εξίσωση μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο. Για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε την κλίση k 1 της ευθείας ΑΒ.
Εξίσωση ΑΒ: y = -3 / 4 x -7 / 4, δηλ. k 1 = -3 / 4
Ας βρούμε τον γωνιακό συντελεστή k της καθέτου από την συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών: k 1 *k = -1.
Αντικαθιστώντας την κλίση αυτής της γραμμής αντί για k 1, παίρνουμε:
-3 / 4 k = -1, από όπου k = 4 / 3
Εφόσον η κάθετη διέρχεται από το σημείο C(5,7) και έχει k = 4 / 3, θα αναζητήσουμε την εξίσωσή της με τη μορφή: y-y 0 = k(x-x 0).
Αντικαθιστώντας x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 παίρνουμε:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
ή
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ή 3y -4x - 1 = 0
Ας βρούμε το σημείο τομής με την ευθεία ΑΒ:
Έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση.
Παίρνουμε: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Μήκος του υψομέτρου του τριγώνου από την κορυφή Γ
Η απόσταση d από το σημείο M 1 (x 1 ;y 1) μέχρι την ευθεία Ax + By + C = 0 είναι ίση με την απόλυτη τιμή της ποσότητας:

Βρείτε την απόσταση μεταξύ του σημείου C(5;7) και της ευθείας AB (4y + 3x +7 = 0)


Το μήκος του ύψους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν άλλο τύπο, όπως η απόσταση μεταξύ του σημείου C(5;7) και του σημείου D(-1;-1).
Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων εκφράζεται σε συντεταγμένες με τον τύπο:

5) η εξίσωση ενός κύκλου για τον οποίο το ύψος CD είναι η διάμετρος.
Η εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο στο σημείο E(a;b) έχει τη μορφή:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Εφόσον το CD είναι η διάμετρος του επιθυμητού κύκλου, το κέντρο του Ε είναι το μέσο του τμήματος CD. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος στο μισό, παίρνουμε:


Επομένως, E(2;3) και R = CD / 2 = 5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, λαμβάνουμε την εξίσωση του επιθυμητού κύκλου: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων που ορίζουν το τρίγωνο ABC.
Εξίσωση της ευθείας ΑΒ: y = -3 / 4 x -7 / 4
Εξίσωση της γραμμής AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Εξίσωση ευθείας BC: y = -7x + 42

Πώς να μάθετε να λύνετε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας;
Τυπικό πρόβλημα με ένα τρίγωνο σε ένα επίπεδο

Αυτό το μάθημα δημιουργείται για την προσέγγιση στον ισημερινό μεταξύ της γεωμετρίας του επιπέδου και της γεωμετρίας του χώρου. Προς το παρόν, υπάρχει ανάγκη συστηματοποίησης των συσσωρευμένων πληροφοριών και απάντησης σε μια πολύ σημαντική ερώτηση: πώς να μάθουμε να λύνουμε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας;Η δυσκολία είναι ότι μπορείτε να βρείτε έναν άπειρο αριθμό προβλημάτων στη γεωμετρία και κανένα σχολικό βιβλίο δεν θα περιέχει όλο το πλήθος και την ποικιλία των παραδειγμάτων. Δεν είναι παράγωγο συνάρτησηςμε πέντε κανόνες διαφοροποίησης, έναν πίνακα και πολλές τεχνικές….

Υπάρχει λύση! Δεν θα μιλήσω δυνατά για το γεγονός ότι έχω αναπτύξει κάποιο είδος μεγαλειώδους τεχνικής, ωστόσο, κατά τη γνώμη μου, υπάρχει μια αποτελεσματική προσέγγιση στο υπό εξέταση πρόβλημα, η οποία επιτρέπει ακόμη και σε ένα πλήρες ομοίωμα να επιτύχει καλά και εξαιρετικά αποτελέσματα. Τουλάχιστον, ο γενικός αλγόριθμος για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων διαμορφώθηκε πολύ καθαρά στο μυαλό μου.

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙΣ ΚΑΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΣ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ
για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας;

Δεν υπάρχει διαφυγή από αυτό - για να μην πατήσετε τυχαία τα κουμπιά με τη μύτη σας, πρέπει να μάθετε τα βασικά της αναλυτικής γεωμετρίας. Επομένως, εάν μόλις ξεκινήσατε να μελετάτε τη γεωμετρία ή την έχετε ξεχάσει τελείως, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελα. Εκτός από τα διανύσματα και τις ενέργειες με αυτά, πρέπει να γνωρίζετε τις βασικές έννοιες της γεωμετρίας του επιπέδου, ειδικότερα εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδοΚαι . Η γεωμετρία του χώρου παρουσιάζεται σε άρθρα Επίπεδη εξίσωση, Εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα σε ευθεία και επίπεδο και κάποια άλλα μαθήματα. Οι καμπύλες γραμμές και οι χωρικές επιφάνειες δεύτερης τάξης απέχουν κάπως μεταξύ τους και δεν υπάρχουν τόσα πολλά συγκεκριμένα προβλήματα με αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο μαθητής έχει ήδη βασικές γνώσεις και δεξιότητες στην επίλυση των απλούστερων προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Αλλά συμβαίνει κάπως έτσι: διαβάζεις τη δήλωση του προβλήματος και... θέλεις να το κλείσεις εντελώς, να το πετάξεις στη μακρινή γωνία και να το ξεχάσεις, σαν ένα κακό όνειρο. Επιπλέον, αυτό ουσιαστικά δεν εξαρτάται από το επίπεδο των προσόντων σας· κατά καιρούς ο ίδιος συναντώ εργασίες για τις οποίες η λύση δεν είναι προφανής. Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Δεν χρειάζεται να φοβάστε μια εργασία που δεν καταλαβαίνετε!

Πρώτα, θα πρέπει να εγκατασταθεί - Είναι αυτό ένα «επίπεδο» ή χωρικό πρόβλημα;Για παράδειγμα, εάν η συνθήκη περιλαμβάνει διανύσματα με δύο συντεταγμένες, τότε, φυσικά, αυτή είναι η γεωμετρία ενός επιπέδου. Και αν ο δάσκαλος φόρτωσε τον ευγνώμονα ακροατή με μια πυραμίδα, τότε υπάρχει ξεκάθαρα η γεωμετρία του χώρου. Τα αποτελέσματα του πρώτου βήματος είναι ήδη αρκετά καλά, γιατί καταφέραμε να κόψουμε έναν τεράστιο όγκο πληροφοριών που δεν ήταν απαραίτητες για αυτήν την εργασία!

Δεύτερος. Η κατάσταση θα σας απασχολήσει συνήθως με κάποιο γεωμετρικό σχήμα. Πράγματι, περπατήστε στους διαδρόμους του πανεπιστημίου της πατρίδας σας και θα δείτε πολλά ανήσυχα πρόσωπα.

Στα «επίπεδα» προβλήματα, για να μην αναφέρουμε τα προφανή σημεία και γραμμές, το πιο δημοφιλές σχήμα είναι ένα τρίγωνο. Θα το αναλύσουμε με μεγάλη λεπτομέρεια. Ακολουθεί το παραλληλόγραμμο και πολύ λιγότερο συνηθισμένα είναι το ορθογώνιο, το τετράγωνο, ο ρόμβος, ο κύκλος και άλλα σχήματα.

Σε χωρικά προβλήματα, οι ίδιες επίπεδες φιγούρες + τα ίδια τα αεροπλάνα και οι κοινές τριγωνικές πυραμίδες με παραλληλεπίπεδα μπορούν να πετάξουν.

Ερώτηση δύο - Γνωρίζετε τα πάντα για αυτή τη φιγούρα;Ας υποθέσουμε ότι η συνθήκη μιλάει για ένα ισοσκελές τρίγωνο και θυμάστε πολύ αόριστα τι είδους τρίγωνο είναι αυτό. Ανοίγουμε ένα σχολικό εγχειρίδιο και διαβάζουμε για ισοσκελές τρίγωνο. Τι να κάνουμε... ο γιατρός είπε ρόμβος, αυτό σημαίνει ρόμβος. Η αναλυτική γεωμετρία είναι αναλυτική γεωμετρία, αλλά το πρόβλημα θα λυθεί από τις γεωμετρικές ιδιότητες των ίδιων των σχημάτων, γνωστό σε εμάς από το σχολικό πρόγραμμα. Εάν δεν ξέρετε ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, μπορεί να υποφέρετε για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Τρίτος. Προσπαθήστε ΠΑΝΤΑ να ακολουθείτε το σχέδιο(σε σχέδιο/τελική αντιγραφή/διανοητικά), ακόμα κι αν αυτό δεν απαιτείται από τη συνθήκη. Σε «επίπεδα» προβλήματα, ο ίδιος ο Ευκλείδης διέταξε να πάρει έναν χάρακα και ένα μολύβι - και όχι μόνο για να κατανοήσει την κατάσταση, αλλά και για τον αυτοέλεγχο. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιο βολική κλίμακα είναι 1 μονάδα = 1 cm (2 κελιά σημειωματάριου). Ας μην μιλάμε για απρόσεκτους μαθητές και μαθηματικούς που στριφογυρίζουν στους τάφους τους - είναι σχεδόν αδύνατο να κάνουμε λάθος σε τέτοια προβλήματα. Για χωρικές εργασίες, εκτελούμε ένα σχηματικό σχέδιο, το οποίο θα βοηθήσει επίσης στην ανάλυση της κατάστασης.

Ένα σχέδιο ή σχηματικό σχέδιο συχνά σας επιτρέπει να δείτε αμέσως τον τρόπο επίλυσης ενός προβλήματος. Φυσικά, για αυτό πρέπει να γνωρίζετε τα θεμέλια της γεωμετρίας και να κατανοήσετε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων (δείτε την προηγούμενη παράγραφο).

Τέταρτος. Ανάπτυξη αλγορίθμου λύσης. Πολλά προβλήματα γεωμετρίας είναι πολλαπλών βημάτων, επομένως η λύση και ο σχεδιασμός της είναι πολύ βολικό να αναλυθούν σε σημεία. Συχνά ο αλγόριθμος έρχεται αμέσως στο μυαλό αφού διαβάσετε τη συνθήκη ή ολοκληρώσετε το σχέδιο. Σε περίπτωση δυσκολιών ξεκινάμε με την ΕΡΩΤΗΣΗ της εργασίας. Για παράδειγμα, σύμφωνα με την προϋπόθεση "πρέπει να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή...". Εδώ η πιο λογική ερώτηση είναι: «Τι αρκεί να γνωρίζουμε για να κατασκευάσουμε αυτήν την ευθεία γραμμή;» Ας υποθέσουμε, «ξέρουμε το σημείο, πρέπει να γνωρίζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης». Θέτουμε την εξής ερώτηση: «Πώς να βρείτε αυτό το διάνυσμα κατεύθυνσης; Οπου?" και τα λοιπά.

Μερικές φορές υπάρχει ένα "σφάλμα" - το πρόβλημα δεν λύνεται και αυτό είναι. Οι λόγοι της διακοπής μπορεί να είναι οι εξής:

– Σοβαρό κενό στις βασικές γνώσεις. Με άλλα λόγια, δεν ξέρεις ή/και δεν βλέπεις κάτι πολύ απλό.

– Άγνοια των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων.

– Το έργο ήταν δύσκολο. Ναι, συμβαίνει. Δεν έχει νόημα να αχνίζουμε για ώρες και να μαζεύουμε δάκρυα σε ένα μαντήλι. Ζητήστε συμβουλές από τον δάσκαλό σας, τους συμμαθητές σας ή κάντε μια ερώτηση στο φόρουμ. Επιπλέον, είναι καλύτερο να κάνετε τη δήλωσή του συγκεκριμένη - για εκείνο το μέρος της λύσης που δεν καταλαβαίνετε. Μια κραυγή με τη μορφή "Πώς να λύσετε το πρόβλημα;" δεν φαίνεται πολύ καλό... και, κυρίως, για τη δική σας φήμη.

Στάδιο πέμπτο. Αποφασίζουμε-ελέγχουμε, αποφασίζουμε-ελέγξουμε, αποφασίζουμε-ελέγξουμε-δίνουμε απάντηση. Είναι ωφέλιμο να ελέγχετε κάθε σημείο της εργασίας αμέσως μετά την ολοκλήρωσή του. Αυτό θα σας βοηθήσει να εντοπίσετε αμέσως το σφάλμα. Φυσικά, κανείς δεν απαγορεύει τη γρήγορη επίλυση ολόκληρου του προβλήματος, αλλά υπάρχει ο κίνδυνος να ξαναγραφούν τα πάντα (συχνά πολλές σελίδες).

Αυτά είναι, ίσως, όλα τα κύρια ζητήματα που πρέπει να τηρούνται κατά την επίλυση προβλημάτων.

Το πρακτικό μέρος του μαθήματος παρουσιάζεται σε επίπεδο γεωμετρία. Θα υπάρχουν μόνο δύο παραδείγματα, αλλά δεν θα φαίνονται αρκετά =)

Ας περάσουμε από το νήμα του αλγορίθμου που μόλις εξέτασα στη μικρή επιστημονική μου εργασία:

Παράδειγμα 1

Δίνονται τρεις κορυφές παραλληλογράμμου. Βρείτε την κορυφή.

Ας αρχίσουμε να καταλαβαίνουμε:

Βήμα πρώτο: Είναι προφανές ότι μιλάμε για «επίπεδο» πρόβλημα.

Βήμα δυο: Το πρόβλημα ασχολείται με ένα παραλληλόγραμμο. Θυμούνται όλοι αυτό το παραλληλόγραμμο σχήμα; Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε, πολλοί άνθρωποι λαμβάνουν την εκπαίδευσή τους σε ηλικία 30-40-50 ετών και άνω, επομένως ακόμη και απλά γεγονότα μπορούν να διαγραφούν από τη μνήμη. Ο ορισμός του παραλληλογράμμου βρίσκεται στο Παράδειγμα Νο. 3 του μαθήματος Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων.

Βήμα τρίτο: Ας κάνουμε ένα σχέδιο στο οποίο σημειώνουμε τρεις γνωστές κορυφές. Είναι αστείο ότι δεν είναι δύσκολο να κατασκευάσετε αμέσως το επιθυμητό σημείο:

Η κατασκευή του είναι, φυσικά, καλή, αλλά η λύση πρέπει να διατυπωθεί αναλυτικά.

Βήμα τέταρτο: Ανάπτυξη αλγορίθμου λύσης. Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι ότι ένα σημείο μπορεί να βρεθεί ως τομή γραμμών. Δεν γνωρίζουμε τις εξισώσεις τους, επομένως θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε αυτό το ζήτημα:

1) Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Με σημεία Ας βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτών των πλευρών. Αυτό είναι το απλούστερο πρόβλημα που συζητήθηκε στην τάξη. Διανύσματα για ανδρείκελα.

Σημείωση: είναι πιο σωστό να πούμε "η εξίσωση μιας γραμμής που περιέχει μια πλευρά", αλλά εδώ και περαιτέρω για συντομία θα χρησιμοποιήσω τις φράσεις "εξίσωση μιας πλευράς", "διάνυσμα κατεύθυνσης μιας πλευράς" κ.λπ.

3) Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Χρησιμοποιώντας τα σημεία, βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτών των πλευρών.

4) Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Στις παραγράφους 1-2 και 3-4, στην πραγματικότητα λύσαμε το ίδιο πρόβλημα δύο φορές· παρεμπιπτόντως, συζητήθηκε στο παράδειγμα Νο. 3 του μαθήματος Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Ήταν δυνατό να ακολουθήσετε μια μακρύτερη διαδρομή - πρώτα βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών και μόνο στη συνέχεια "βγάλτε" τα διανύσματα κατεύθυνσης από αυτές.

5) Τώρα οι εξισώσεις των ευθειών είναι γνωστές. Το μόνο που μένει είναι να συνθέσουμε και να λύσουμε το αντίστοιχο σύστημα γραμμικών εξισώσεων (βλ. παραδείγματα Νο 4, 5 του ίδιου μαθήματος Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο).

Το σημείο βρέθηκε.

Το πρόβλημα είναι αρκετά απλό και η λύση του είναι προφανής, αλλά υπάρχει και πιο σύντομος δρόμος!

Δεύτερη λύση:

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής τους. Σημείωσα το σημείο, αλλά για να μην μπερδεύω το σχέδιο, δεν σχεδίασα τις ίδιες τις διαγώνιες.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την πλευρά σημείο προς σημείο:

Για να ελέγξετε, θα πρέπει νοερά ή σε σχέδιο να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες κάθε σημείου στην εξίσωση που προκύπτει. Τώρα ας βρούμε την κλίση. Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε τη γενική εξίσωση με τη μορφή εξίσωσης με συντελεστή κλίσης:

Έτσι, η κλίση είναι:

Ομοίως, βρίσκουμε τις εξισώσεις των πλευρών. Δεν βλέπω πολύ νόημα να περιγράψω το ίδιο πράγμα, οπότε θα δώσω αμέσως το τελικό αποτέλεσμα:

2) Βρείτε το μήκος της πλευράς. Αυτό είναι το απλούστερο πρόβλημα που καλύπτεται στην τάξη. Διανύσματα για ανδρείκελα. Για πόντους χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο είναι εύκολο να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει πολύ γρήγορα με κανονικό χάρακα.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο .

Ας βρούμε τα διανύσματα:

Ετσι:

Παρεμπιπτόντως, στην πορεία βρήκαμε τα μήκη των πλευρών.

Σαν άποτέλεσμα:

Λοιπόν, φαίνεται να είναι αλήθεια· για να είναι πειστικό, μπορείτε να συνδέσετε ένα μοιρογνωμόνιο στη γωνία.

Προσοχή! Μην συγχέετε τη γωνία ενός τριγώνου με τη γωνία μεταξύ ευθειών. Η γωνία ενός τριγώνου μπορεί να είναι αμβλεία, αλλά η γωνία μεταξύ ευθειών δεν μπορεί (δείτε την τελευταία παράγραφο του άρθρου Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο). Ωστόσο, για να βρείτε τη γωνία ενός τριγώνου, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τους τύπους από το παραπάνω μάθημα, αλλά η τραχύτητα είναι ότι αυτοί οι τύποι δίνουν πάντα μια οξεία γωνία. Με τη βοήθειά τους, έλυσα αυτό το πρόβλημα σε προσχέδιο και πήρα το αποτέλεσμα. Και στο τελευταίο αντίγραφο θα έπρεπε να γράψω πρόσθετες δικαιολογίες, ότι .

4) Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από σημείο παράλληλο προς την ευθεία.

Τυπική εργασία, που συζητήθηκε λεπτομερώς στο παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Από τη γενική εξίσωση της ευθείας Ας βγάλουμε το διάνυσμα οδηγού. Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Πώς να βρείτε το ύψος ενός τριγώνου;

5) Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για το ύψος και ας βρούμε το μήκος του.

Δεν υπάρχει διαφυγή από αυστηρούς ορισμούς, επομένως θα πρέπει να κλέψετε από ένα σχολικό εγχειρίδιο:

Ύψος τριγώνου ονομάζεται η κάθετη που σύρεται από την κορυφή του τριγώνου στην ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά.

Δηλαδή, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για μια κάθετο που σύρεται από την κορυφή προς την πλευρά. Αυτή η εργασία συζητείται στα παραδείγματα Νο. 6, 7 του μαθήματος Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο. Από την εξ. αφαιρέστε το κανονικό διάνυσμα. Ας συνθέσουμε την εξίσωση ύψους χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα σημείου και κατεύθυνσης:

Σημειώστε ότι δεν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου.

Μερικές φορές η εξίσωση ύψους βρίσκεται από τον λόγο των γωνιακών συντελεστών των κάθετων ευθειών: . Σε αυτή την περίπτωση λοιπόν: . Ας συνθέσουμε την εξίσωση ύψους χρησιμοποιώντας ένα σημείο και έναν γωνιακό συντελεστή (δείτε την αρχή του μαθήματος Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο):

Το μήκος του ύψους μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους.

Υπάρχει ένας κυκλικός κόμβος:

α) βρείτε – το σημείο τομής ύψους και πλευράς.
β) βρείτε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας δύο γνωστά σημεία.

Αλλά στην τάξη Τα πιο απλά προβλήματα με μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδοεξετάστηκε ένας βολικός τύπος για την απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Το σημείο είναι γνωστό: , η εξίσωση της ευθείας είναι επίσης γνωστή: , Ετσι:

6) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. Στο διάστημα, το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων, αλλά εδώ μας δίνεται ένα τρίγωνο σε ένα επίπεδο. Χρησιμοποιούμε τον σχολικό τύπο:
– Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης και του ύψους του.

Σε αυτήν την περίπτωση:

Πώς να βρείτε τη διάμεσο ενός τριγώνου;

7) Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για τη διάμεσο.

Μέσος τριγώνου ονομάζεται τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

α) Βρείτε το σημείο - τη μέση της πλευράς. Χρησιμοποιούμε τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος. Οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματος είναι γνωστές: , τότε οι συντεταγμένες του μέσου:

Ετσι:

Ας συνθέσουμε τη διάμεση εξίσωση σημείο προς σημείο :

Για να ελέγξετε την εξίσωση, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες των σημείων σε αυτήν.

8) Να βρείτε το σημείο τομής του ύψους και της μέσης. Νομίζω ότι όλοι έχουν ήδη μάθει πώς να εκτελούν αυτό το στοιχείο του καλλιτεχνικού πατινάζ χωρίς να πέσουν: