Να υπολογίσετε το μέτρο του γεωμετρικού αθροίσματος των διανυσμάτων. Διανύσματα

Πολλά φυσικές ποσότητεςκαθορίζονται πλήρως με τον καθορισμό κάποιου αριθμού. Αυτά είναι, για παράδειγμα, ο όγκος, η μάζα, η πυκνότητα, η θερμοκρασία σώματος κ.λπ. Τέτοιες ποσότητες ονομάζονται κλιμακωτές. Για το λόγο αυτό, οι αριθμοί ονομάζονται μερικές φορές βαθμωτοί. Υπάρχουν όμως και τέτοιες ποσότητες που καθορίζονται ορίζοντας όχι μόνο έναν αριθμό, αλλά και μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Για παράδειγμα, όταν ένα σώμα κινείται, θα πρέπει να υποδεικνύεται όχι μόνο η ταχύτητα με την οποία κινείται το σώμα, αλλά και η κατεύθυνση της κίνησης. Με τον ίδιο τρόπο, κατά τη μελέτη της δράσης οποιασδήποτε δύναμης, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται όχι μόνο η αξία αυτής της δύναμης, αλλά και η κατεύθυνση της δράσης της. Τέτοιες ποσότητες λέγονται διάνυσμα.Για την περιγραφή τους, εισήχθη η έννοια του διανύσματος, η οποία αποδείχθηκε χρήσιμη για τα μαθηματικά.

Ορισμός φορέα

Οποιοδήποτε διατεταγμένο ζεύγος σημείων Α έως Β στο διάστημα ορίζει κατευθυνόμενο τμήμα, δηλ. τμήμα μαζί με την κατεύθυνση που δίνεται σε αυτό. Αν το σημείο Α είναι το πρώτο, τότε ονομάζεται αρχή του κατευθυνόμενου τμήματος και το σημείο Β ονομάζεται τέλος του. Η κατεύθυνση του τμήματος είναι η κατεύθυνση από την αρχή μέχρι το τέλος.

Ορισμός
Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα.

Θα υποδηλώσουμε το διάνυσμα με το σύμβολο \(\overrightarrow(AB) \), όπου το πρώτο γράμμα σημαίνει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο - το τέλος του.

Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι ίδια ονομάζεται μηδένκαι συμβολίζεται με \(\vec(0) \) ή απλώς 0.

Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται του μακρύςκαι συμβολίζεται με \(|\overrightarrow(AB)| \) ή \(|\vec(a)| \).

Καλούνται τα διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \). συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορούν να κατευθυνθούν το ίδιο ή αντίθετα.

Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε τη σημαντική έννοια της ισότητας δύο διανυσμάτων.

Ορισμός
Τα διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \) ονομάζονται ίσα (\(\vec(a) = \vec(b) \)) εάν είναι συγγραμμικά, έχουν την ίδια κατεύθυνση, και τα μήκη τους είναι ίσα .

Στο σχ. 1, τα άνισα διανύσματα εμφανίζονται στα αριστερά και τα ίσα διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \) εμφανίζονται στα δεξιά. Από τον ορισμό της διανυσματικής ισότητας προκύπτει ότι αν δεδομένο διάνυσμαμετακινηθεί παράλληλα με τον εαυτό του, παίρνετε ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο. Από αυτή την άποψη, τα διανύσματα στην αναλυτική γεωμετρία ονομάζονται Ελεύθερος.

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα

Ας δοθεί ο άξονας \(u\) και κάποιο διάνυσμα \(\overrightarrow(AB)\) στο διάστημα. Ας σχεδιάσουμε τα σημεία Α και Β στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα \ (u \). Ας συμβολίσουμε με Α «και Β» τα σημεία τομής αυτών των επιπέδων με τον άξονα (βλ. Εικόνα 2).

Η προβολή του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) στον άξονα \(u\) είναι η τιμή A"B" του κατευθυνόμενου τμήματος A"B" στον άξονα \(u\). Θυμηθείτε ότι
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , εάν η κατεύθυνση \(\overrightarrow(A"B") \) είναι ίδια με την κατεύθυνση του άξονα \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) εάν η κατεύθυνση του \(\overrightarrow(A"B) \) είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα \(u \),
Η προβολή του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) στον άξονα \(u \) συμβολίζεται ως εξής: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Θεώρημα
Η προβολή του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) στον άξονα \(u \) είναι ίση με το μήκος του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) επί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του διανύσματος \( \overrightarrow(AB) \) και ο άξονας \( u \) , δηλ.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) όπου \(\varphi \) είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) και του άξονα \(u \).

Σχόλιο
Ας δοθεί \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) και κάποιος άξονας \(u \). Εφαρμόζοντας τον τύπο του θεωρήματος σε καθένα από αυτά τα διανύσματα, λαμβάνουμε

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) δηλ. ίσα διανύσματα έχουν ίσες προβολές στον ίδιο άξονα.

Διανυσματικές προβολές σε άξονες συντεταγμένων

Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz και ένα αυθαίρετο διάνυσμα \(\overrightarrow(AB) \) στο διάστημα. Έστω, περαιτέρω, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Οι προβολές X, Y, Z του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) στους άξονες συντεταγμένων το ονομάζουν συντεταγμένες.Ταυτόχρονα γράφουν
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Θεώρημα
Όποια και αν είναι τα δύο σημεία A(x 1 ; y 1 ; z 1) και B(x 2 ; y 2 ​​; z 2), οι συντεταγμένες του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) ορίζονται από τους ακόλουθους τύπους :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

Σχόλιο
Εάν το διάνυσμα \(\overrightarrow(AB) \) φύγει από την αρχή, π.χ. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, τότε οι συντεταγμένες X, Y, Z του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) \) είναι ίσες με τις συντεταγμένες του άκρου του:
X=x, Y=y, Z=z.

Διάνυσμα συνημίτονα κατεύθυνσης

Έστω ένα αυθαίρετο διάνυσμα \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); Υποθέτουμε ότι το \(\vec(a) \) φεύγει από την αρχή και δεν βρίσκεται σε κανένα επίπεδο συντεταγμένων. Ας σχεδιάσουμε στο σημείο Α επίπεδα κάθετα στους άξονες. Μαζί με αεροπλάνα συντεταγμένωνσχηματίζουν ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, η διαγώνιος του οποίου είναι το τμήμα ΟΑ (βλ. σχήμα).

Είναι γνωστό από τη στοιχειώδη γεωμετρία ότι το τετράγωνο του μήκους της διαγωνίου κυβοειδές ισούται με το άθροισματα τετράγωνα των μηκών των τριών διαστάσεων του. Ως εκ τούτου,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Αλλά \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); έτσι παίρνουμε
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ή
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Αυτός ο τύπος εκφράζει το μήκος αυθαίρετο διάνυσμαμέσω των συντεταγμένων του.

Να συμβολίσετε με \(\άλφα, \; \beta, \; \γάμα \) τις γωνίες μεταξύ του διανύσματος \(\vec(a) \) και των αξόνων συντεταγμένων. Από τους τύπους για την προβολή του διανύσματος στον άξονα και το μήκος του διανύσματος, παίρνουμε
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) καλούνται συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος \(\vec(a) \).

Τετραγωνίζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά καθεμιάς από τις προηγούμενες ισότητες και αθροίζοντας τα αποτελέσματα, έχουμε
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
εκείνοι. το άθροισμα των τετραγωνικών συνημιτόνων διεύθυνσης οποιουδήποτε διανύσματος είναι ίσο με ένα.

Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα και οι κύριες ιδιότητές τους

Οι γραμμικές πράξεις στα διανύσματα είναι οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης διανυσμάτων και πολλαπλασιασμού διανυσμάτων με αριθμούς.

Πρόσθεση δύο διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \). Το άθροισμα \(\vec(a) + \vec(b) \) είναι ένα διάνυσμα που πηγαίνει από την αρχή του διανύσματος \(\vec(a) \) στο τέλος του διανύσματος \(\vec(b) \) με την προϋπόθεση ότι το διάνυσμα \(\vec(b) \) είναι προσαρτημένο στο τέλος του διανύσματος \(\vec(a) \) (βλ. σχήμα).

Σχόλιο
Η δράση της αφαίρεσης των διανυσμάτων είναι αντίθετη της δράσης της πρόσθεσης, δηλ. η διαφορά \(\vec(b) - \vec(a) \) των διανυσμάτων \(\vec(b) \) και \(\vec(a) \) είναι το διάνυσμα που, μαζί με το διάνυσμα \( Το \vec(a) ) \) δίνει το διάνυσμα \(\vec(b) \) (βλ. σχήμα).

Σχόλιο
Έχοντας καθορίσει το άθροισμα δύο διανυσμάτων, μπορεί κανείς να βρει το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού δεδομένων διανυσμάτων. Έστω, για παράδειγμα, δοσμένα τρία διανύσματα \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Προσθέτοντας τα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \), παίρνουμε το διάνυσμα \(\vec(a) + \vec(b) \). Τώρα προσθέτοντας το διάνυσμα \(\vec(c) \) σε αυτό, παίρνουμε το διάνυσμα \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Το γινόμενο ενός διανύσματος με έναν αριθμό

Έστω ένα διάνυσμα \(\vec(a) \neq \vec(0) \) και ένας αριθμός \(\λάμδα \neq 0 \). Το γινόμενο \(\λάμδα \vec(a) \) είναι ένα διάνυσμα που είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα \(\vec(a) \), έχει μήκος ίσο με \(|\λάμδα| |\vec(a)| \), και μια κατεύθυνση ίδια με το διάνυσμα \(\vec(a) \) αν \(\λάμδα > 0 \), και την αντίθετη αν \(\λάμδα γεωμετρική αίσθησηοι πράξεις πολλαπλασιασμού του διανύσματος \(\vec(a) \neq \vec(0) \) με τον αριθμό \(\λάμδα \neq 0 \) μπορούν να εκφραστούν ως εξής: εάν \(|\λάμδα| >1 \ ), τότε κατά τον πολλαπλασιασμό του διανύσματος \(\vec(a) \) με τον αριθμό \(\λάμδα \) το διάνυσμα \(\vec(a) \) "τεντώνεται" κατά \(\λάμδα \) φορές, και αν \(|\λάμδα| 1 \ ).

Εάν \(\λάμδα =0 \) ή \(\vec(a) = \vec(0) \), τότε το γινόμενο \(\λάμδα \vec(a) \) θεωρείται ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

Σχόλιο
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι εάν τα διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \) είναι συγγραμμικά και \(\vec(a) \neq \vec(0) \), τότε υπάρχει (και μόνο ένας) αριθμός \(\λάμδα \) τέτοιος ώστε \(\vec(b) = \λάμδα \vec(a) \)

Βασικές ιδιότητες γραμμικών πράξεων

1. Μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Συνειρμική ιδιότητα πρόσθεσης
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Συνειρμική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
\(\λάμδα (\mu \vec(a)) = (\λάμδα \mu) \vec(a) \)

4. Διανεμητική ιδιότητα ως προς το άθροισμα των αριθμών
\((\λάμδα +\mu) \vec(a) = \λάμδα \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Κατανεμητική ιδιότητα ως προς το άθροισμα των διανυσμάτων
\(\λάμδα (\vec(a)+\vec(b)) = \λάμδα \vec(a) + \λάμδα \vec(b) \)

Σχόλιο
Αυτές οι ιδιότητες λειτουργίες γραμμήςείναι θεμελιώδους σημασίας, καθώς καθιστούν δυνατή την εκτέλεση συνηθισμένων αλγεβρικών πράξεων σε διανύσματα. Για παράδειγμα, λόγω των ιδιοτήτων 4 και 5, είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί ο πολλαπλασιασμός ενός κλιμακωτού πολυωνύμου με ένα διανυσματικό πολυώνυμο "όρος προς όρο".

Διανυσματικά θεωρήματα προβολής

Θεώρημα
Η προβολή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων σε έναν άξονα είναι ίση με το άθροισμα των προβολών τους σε αυτόν τον άξονα, δηλ.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση οποιουδήποτε αριθμού όρων.

Θεώρημα
Όταν πολλαπλασιάζουμε το διάνυσμα \(\vec(a) \) με τον αριθμό \(\λάμδα \), η προβολή του στον άξονα πολλαπλασιάζεται επίσης με αυτόν τον αριθμό, δηλ. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Συνέπεια
Αν \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) και \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), τότε
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Συνέπεια
Εάν \(\vec(a) = (x;y;z) \), τότε \(\λάμδα \vec(a) = (\λάμδα x; \; \λάμδα y; \; \λάμδα z) \) για οποιοσδήποτε αριθμός \(\λάμδα \)

Από εδώ είναι εύκολο να συναχθεί συνθήκη συγγραμμικότητας δύο διανυσμάτων σε συντεταγμένες.
Πράγματι, η ισότητα \(\vec(b) = \λάμδα \vec(a) \) είναι ισοδύναμη με τις ισότητες \(x_2 = \λάμδα x_1, \; y_2 = \λάμδα y_1, \; z_2 = \λάμδα z_1 \ ) ή
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) δηλ. τα διανύσματα \(\vec(a) \) και \(\vec(b) \) είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν οι συντεταγμένες τους είναι ανάλογες.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση

Έστω τα διανύσματα \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) - μοναδιαία διανύσματαάξονες συντεταγμένων, δηλ. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), και καθένα από αυτά κατευθύνεται εξίσου με τον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων (βλ. σχήμα). Ένα τριπλό διανυσμάτων \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ονομάζεται βάση.
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα
Οποιοδήποτε διάνυσμα \(\vec(a) \) μπορεί να επεκταθεί μοναδικά στη βάση \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), δηλ. παρουσιάζεται στη φόρμα
\(\vec(a) = \λάμδα \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
όπου \(\λάμδα, \;\; \mu, \;\; \nu \) είναι κάποιοι αριθμοί.

Άθροισμα διανυσμάτων. Το μήκος του διανύσματος. Αγαπητοί φίλοι και φίλες, υπάρχει μια ομάδα εργασιών με διανύσματα στους τύπους πίσω εξέτασης. Αρκετά ευρύ φάσμα εργασιών (σημαντικό να γνωρίζετε θεωρητική βάση). Τα περισσότερα επιλύονται προφορικά. Οι ερωτήσεις σχετίζονται με την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος, το άθροισμα (διαφορά) των διανυσμάτων, το βαθμωτό γινόμενο. Υπάρχουν επίσης πολλές εργασίες, για τη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν ενέργειες με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Η θεωρία πίσω από τα διανύσματα είναι απλή και πρέπει να είναι καλά κατανοητή. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε τις εργασίες που σχετίζονται με την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος, καθώς και το άθροισμα (διαφορά) των διανυσμάτων. Μερικά θεωρητικά σημεία:

Έννοια του φορέα

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα.

Όλα τα διανύσματα που έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε μήκος είναι ίσα.

*Και τα τέσσερα παραπάνω διανύσματα είναι ίσα!

Δηλαδή, αν χρησιμοποιήσουμε παράλληλη μετάφραση για να μετακινήσουμε το διάνυσμα που μας δίνεται, θα παίρνουμε πάντα ένα διάνυσμα ίσο με το αρχικό. Έτσι, μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός ίσων διανυσμάτων.

Διάνυσμα σημειογραφία

Το διάνυσμα μπορεί να συμβολιστεί με λατινικά κεφαλαία γράμματα, Για παράδειγμα:

Με αυτή τη μορφή σημειογραφίας γράφεται πρώτα το γράμμα που δηλώνει την αρχή του διανύσματος και μετά το γράμμα που δηλώνει το τέλος του διανύσματος.

Ένα άλλο διάνυσμα συμβολίζεται με ένα γράμμα Λατινικό αλφάβητο(κεφαλαία):

Ένας προσδιορισμός χωρίς βέλη είναι επίσης δυνατός:

Το άθροισμα των δύο διανυσμάτων AB και BC θα είναι το διάνυσμα AC.

Είναι γραμμένο ως AB + BC \u003d AC.

Αυτός ο κανόνας ονομάζεται - κανόνας τριγώνου.

Δηλαδή, αν έχουμε δύο διανύσματα - ας τα ονομάσουμε υπό όρους (1) και (2) και το τέλος του διανύσματος (1) συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος (2), τότε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων θα είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος (1) , και το τέλος συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος (2).

Συμπέρασμα: αν έχουμε δύο διανύσματα στο επίπεδο, μπορούμε πάντα να βρούμε το άθροισμά τους. Χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση, μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από αυτά τα διανύσματα και να συνδέσετε την αρχή του με το τέλος ενός άλλου. Για παράδειγμα:

Ας μετακινήσουμε το διάνυσμα σι, ή με άλλο τρόπο - θα κατασκευάσουμε ίσο με αυτό:

Πώς βρίσκεται το άθροισμα πολλών διανυσμάτων; Με την ίδια αρχή:

* * *

κανόνας παραλληλογράμμου

Αυτός ο κανόνας είναι συνέπεια των παραπάνω.

Για διανύσματα με κοινή αρχήΤο άθροισμά τους αντιπροσωπεύεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα.

Ας φτιάξουμε ένα διάνυσμα ίσο με διάνυσμα σιώστε η αρχή του να συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος ένα, και μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα διάνυσμα που θα είναι το άθροισμά τους:

Λίγο περισσότερο σημαντικές πληροφορίεςαπαιτούνται για την επίλυση προβλημάτων.

Ένα διάνυσμα ίσο σε μήκος με το αρχικό, αλλά αντίθετα κατευθυνόμενο, συμβολίζεται επίσης αλλά έχει το αντίθετο πρόσημο:

Αυτές οι πληροφορίες είναι εξαιρετικά χρήσιμες για την επίλυση προβλημάτων στα οποία υπάρχει ζήτημα εύρεσης της διαφοράς των διανυσμάτων. Όπως μπορείτε να δείτε, η διαφορά των διανυσμάτων είναι το ίδιο άθροισμα σε τροποποιημένη μορφή.

Έστω δύο διανύσματα, βρείτε τη διαφορά τους:

Κατασκευάσαμε ένα διάνυσμα αντίθετο από το διάνυσμα b και βρήκαμε τη διαφορά.

Διανυσματικές συντεταγμένες

Για να βρείτε τις διανυσματικές συντεταγμένες, πρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες έναρξης από τις συντεταγμένες τέλους:

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι ένα ζεύγος αριθμών.

Αν

Και οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μοιάζουν με:

Τότε c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Αν

Τότε c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Διανυσματικό μέτρο

Η ενότητα ενός διανύσματος είναι το μήκος του, που καθορίζεται από τον τύπο:

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του μήκους ενός διανύσματος εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του:

Εξετάστε τα καθήκοντα:

Οι δύο πλευρές του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 6 και 8. Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο Ο. Να βρείτε το μήκος της διαφοράς μεταξύ των διανυσμάτων ΑΟ και ΒΟ.

Ας βρούμε ένα διάνυσμα που θα είναι το αποτέλεσμα του AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Δηλαδή, η διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων AO και Το VO θα είναι διάνυσμα ΑΒ. Και το μήκος του είναι οκτώ.

Ρόμβοι διαγώνιοι Α Β Γ Δείναι 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος ΑΒ +ΑΔ.

Ας βρούμε ένα διάνυσμα που θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων AD και AB BC ίσο με το διάνυσμαΕΝΑ Δ. Άρα AB+AD=AB+BC=AC

AC είναι το μήκος της διαγωνίου του ρόμβου ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ, είναι ίσο με 16.

Οι διαγώνιοι του ρόμβου ABCD τέμνονται σε ένα σημείο Οκαι είναι ίσα με 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος AO + BO.

Ας βρούμε ένα διάνυσμα που θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων AO και BO BO ίσο με το διάνυσμα OD,

μ.Χ. είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου. Το πρόβλημα είναι να βρείτε την υποτείνουσα μέσα ορθογώνιο τρίγωνο AOD. Ας υπολογίσουμε τα πόδια:

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Οι διαγώνιοι του ρόμβου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ο και είναι ίσες με 12 και 16. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος ΑΟ –ΒΟ.

Ας βρούμε ένα διάνυσμα που θα είναι το αποτέλεσμα του AO - VO:

ΑΒ είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου. Το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση της υποτείνουσας ΑΒ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ. υπολογίστε τα πόδια:

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Κόμματα ορθογώνιο τρίγωνοΤα ABC είναι 3.

Βρείτε το μήκος του διανύσματος AB -AC.

Ας βρούμε το αποτέλεσμα της διαφοράς των διανυσμάτων:

Το CB είναι ίσο με τρία, γιατί η συνθήκη λέει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και οι πλευρές του είναι ίσες με 3.

27663. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος a (6; 8).

27664. Να βρείτε το τετράγωνο του μήκους του διανύσματος ΑΒ.

Στα μαθηματικά και τη φυσική, οι μαθητές και οι μαθητές συχνά συναντούν εργασίες για διανυσματικές ποσότητες και για την εκτέλεση διαφόρων πράξεων σε αυτές. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των διανυσματικών μεγεθών και των γνωστών σε εμάς βαθμωτών μεγεθών, το μόνο χαρακτηριστικό των οποίων είναι μια αριθμητική τιμή; Γιατί έχουν κατεύθυνση.

Η χρήση διανυσματικών μεγεθών εξηγείται πιο ξεκάθαρα στη φυσική. κατά το πολύ απλά παραδείγματαείναι δυνάμεις (δύναμη τριβής, ελαστική δύναμη, βάρος), ταχύτητα και επιτάχυνση, αφού εκτός από αριθμητικές τιμές έχουν και κατεύθυνση δράσης. Για σύγκριση, ας πάρουμε κλιμακωτό παράδειγμα: αυτή μπορεί να είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων ή η μάζα του σώματος. Γιατί είναι απαραίτητο να εκτελούνται πράξεις σε διανυσματικά μεγέθη όπως πρόσθεση ή αφαίρεση; Αυτό είναι απαραίτητο για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε το αποτέλεσμα της δράσης ενός διανυσματικού συστήματος που αποτελείται από 2 ή περισσότερα στοιχεία.

Ορισμοί των διανυσματικών μαθηματικών

Ας παρουσιάσουμε τους κύριους ορισμούς που χρησιμοποιούνται κατά την εκτέλεση γραμμικών πράξεων.

1. Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα (που έχει ένα σημείο έναρξης και ένα σημείο λήξης).
2. Το μήκος (μέτρο) είναι το μήκος του κατευθυνόμενου τμήματος.
3. Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι δύο διανύσματα που είτε είναι παράλληλα στην ίδια ευθεία είτε βρίσκονται ταυτόχρονα σε αυτήν.
4. Τα αντίθετα κατευθυνόμενα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά και, ταυτόχρονα, κατευθυνόμενα μέσα διαφορετικές πλευρές. Αν η κατεύθυνσή τους συμπίπτει, τότε είναι συνκατευθυντικά.
5. Τα διανύσματα είναι ίσα όταν είναι συμκατευθυντικά και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.
6. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων έναΚαι σιείναι ένα τέτοιο διάνυσμα ντο, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου και το τέλος - με το τέλος του δεύτερου, υπό την προϋπόθεση ότι σιξεκινά στο ίδιο σημείο που τελειώνει ένα.
7. Διανυσματική διαφορά έναΚαι σικαλέστε το ποσό έναΚαι ( - σι ), Οπου ( - σι ) - απέναντι από το διάνυσμα σι. Επίσης, ο ορισμός της διαφοράς δύο διανυσμάτων μπορεί να δοθεί ως εξής: από τη διαφορά ντοζευγάρι διανύσματα έναΚαι σικαλέστε αυτό ντο, το οποίο, όταν προστεθεί στο υπόβαθρο σισχηματίζει μια ανηγμένη ένα.

Αναλυτική Μέθοδος

Η αναλυτική μέθοδος περιλαμβάνει τη λήψη των συντεταγμένων της διαφοράς σύμφωνα με τον τύπο χωρίς κατασκευή. Είναι δυνατός ο υπολογισμός για επίπεδο (2D), όγκο (3D) ή n-διάστατος χώρος.

Για δισδιάστατο χώρο και διανυσματικές ποσότητες ένα {a1;a₂) Και σι {b1;β2} υπολογισμοί θα είναι επόμενη προβολή: ντο {c1; c2} = {a1 – b1; α₂ – β2}.

Στην περίπτωση προσθήκης τρίτης συντεταγμένης, ο υπολογισμός θα γίνει με παρόμοιο τρόπο και για ένα {a1;a₂; α3) Και σι {b1;b2; β₃) οι συντεταγμένες της διαφοράς θα ληφθούν επίσης με αφαίρεση κατά ζεύγη: ντο {c1; c2; c₃} = {a1 – b1; a2 – b2; a3–b3}.

Υπολογισμός της διαφοράς γραφικά

Για να κατασκευάσουμε τη διαφορά γραφικά, χρησιμοποιήστε τον κανόνα του τριγώνου. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να εκτελέσετε την ακόλουθη σειρά ενεργειών:

1. Με δεδομένες συντεταγμένεςκατασκευάστε τα διανύσματα για τα οποία πρέπει να βρείτε τη διαφορά.
2. Συνδυάστε τα άκρα τους (δηλαδή, κατασκευάστε δύο κατευθυνόμενα τμήματα ίσα με τα δεδομένα, τα οποία θα τελειώνουν στο ίδιο σημείο).
3. Συνδέστε τις αρχές και των δύο κατευθυνόμενων τμημάτων και υποδείξτε την κατεύθυνση. το προκύπτον θα ξεκινά από το ίδιο σημείο όπου ξεκίνησε το διάνυσμα που είναι minuend και θα τελειώσει στο σημείο έναρξης του διανύσματος που αφαιρείται.

Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα..

Υπάρχει επίσης μια μέθοδος για την κατασκευή μιας διαφοράς, ελαφρώς διαφορετική από την προηγούμενη. Η ουσία του έγκειται στην εφαρμογή του θεωρήματος για τη διαφορά των διανυσμάτων, το οποίο διατυπώνεται ως εξής: για να βρεθεί η διαφορά ενός ζεύγους κατευθυνόμενων τμημάτων, αρκεί να βρεθεί το άθροισμα του πρώτου από αυτά με το τμήμα απέναντι. στο δεύτερο. Ο αλγόριθμος κατασκευής θα μοιάζει με αυτό:

1. Κατασκευάστε αρχικά κατευθυνόμενα τμήματα.
2. Αυτό που είναι υπόκρουση πρέπει να ανακλάται, δηλ. να κατασκευάζεται ένα αντίθετα κατευθυνόμενο και ίσο τμήμα. στη συνέχεια συνδυάστε την αρχή του με τη μειωμένη.
3. Κατασκευάστε το άθροισμα: συνδέστε την αρχή του πρώτου τμήματος με το τέλος του δεύτερου.

Το αποτέλεσμα αυτής της απόφασης φαίνεται στο σχήμα:

Επίλυση προβλήματος

Για να εμπεδώσουμε την ικανότητα, θα αναλύσουμε αρκετές εργασίες στις οποίες απαιτείται να υπολογιστεί η διαφορά αναλυτικά ή γραφικά.

Εργασία 1. Υπάρχουν 4 σημεία στο επίπεδο: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του διανύσματος q = AB - CD και υπολογίστε επίσης το μήκος του.

Λύση. Πρώτα πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες ΑΒΚαι CD. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε τις συντεταγμένες των αρχικών σημείων από τις συντεταγμένες των τελικών σημείων. Για ΑΒη αρχή είναι ΕΝΑ(1; -3) και το τέλος - σι(0; 4). Υπολογίστε τις συντεταγμένες του κατευθυνόμενου τμήματος:

ΑΒ {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Παρόμοιος υπολογισμός γίνεται για CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Τώρα, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, μπορείτε να βρείτε τη διαφορά των διανυσμάτων. Τύπος αναλυτικής λύσης επίπεδες εργασίεςέχει συζητηθεί προηγουμένως: ντο = ένα- σιοι συντεταγμένες μοιάζουν με ( c1; c2} = {a1 – b1; α₂ – β2). Για μια συγκεκριμένη περίπτωση, μπορείτε να γράψετε:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Για να βρείτε το μήκος q, χρησιμοποιούμε τον τύπο | q| = √(q1² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Εργασία 2. Το σχήμα δείχνει τα διανύσματα m, n και p.

Είναι απαραίτητο να κατασκευάσουμε διαφορές για αυτούς: σελ- n; Μ- n; Μ-n- Π. Μάθετε ποιο έχει το μικρότερο συντελεστή.

Λύση. Η εργασία απαιτεί τρεις κατασκευές. Ας δούμε κάθε μέρος της εργασίας με περισσότερες λεπτομέρειες.

Μέρος 1.Για να απεικονίσει Π-n,Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του τριγώνου. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση, συνδέουμε τα τμήματα έτσι ώστε το τελικό σημείο τους να συμπίπτει. Τώρα ας συνδέσουμε τα σημεία εκκίνησης και ας ορίσουμε την κατεύθυνση. Στην περίπτωσή μας, το διάνυσμα διαφοράς ξεκινά από την ίδια θέση με το αφαιρούμενο. n.

Μέρος 2ο.Ας απεικονίσουμε m-n. Τώρα για τη λύση χρησιμοποιούμε το θεώρημα για τη διαφορά των διανυσμάτων. Για να το κάνετε αυτό, κατασκευάστε ένα αντίθετο διάνυσμα n,και μετά βρείτε το άθροισμά του με Μ.Το αποτέλεσμα θα μοιάζει με αυτό:

Μέρος 3Για να βρείτε τη διαφορά m-n-p,χωρίστε την έκφραση σε δύο βήματα. Επειδή μέσα διανυσματική άλγεβραυπάρχουν νόμοι παρόμοιοι με τους νόμους της αριθμητικής, τότε είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές:

• m-(n+p): σε αυτήν την περίπτωση, το άθροισμα χτίζεται πρώτα n+p, το οποίο στη συνέχεια αφαιρείται από Μ;
• (μ-η)-ρ: εδώ πρώτα πρέπει να βρεις m-n, και στη συνέχεια αφαιρέστε από αυτή τη διαφορά Π;
• (m-p)-n: καθορίζεται η πρώτη ενέργεια m-p, μετά το οποίο από το αποτέλεσμα πρέπει να αφαιρέσετε n.

Δεδομένου ότι στο προηγούμενο μέρος του προβλήματος έχουμε ήδη βρει τη διαφορά m-n, μπορούμε μόνο να αφαιρέσουμε από αυτό Π. Ας κατασκευάσουμε τη διαφορά δύο δεδομένων διανυσμάτων χρησιμοποιώντας το θεώρημα διαφοράς. Η απάντηση φαίνεται στην παρακάτω εικόνα (το κόκκινο χρώμα δείχνει ενδιάμεσο αποτέλεσμα, και πράσινο - τελικό).

Απομένει να καθοριστεί ποιο από τα τμήματα έχει το μικρότερο συντελεστή. Θυμηθείτε ότι οι έννοιες του μήκους και του συντελεστή στα διανυσματικά μαθηματικά είναι πανομοιότυπες. Υπολογίστε οπτικά τα μήκη Π- n, m-nΚαι Μ-n-Π. Προφανώς, η απάντηση στο τελευταίο μέρος του προβλήματος είναι η συντομότερη και έχει το μικρότερο συντελεστή, δηλαδή Μ-n-Π.

Τα μαθηματικά ή φυσικά μεγέθη μπορούν να αναπαρασταθούν ως σκαλοπάτια(αριθμητική τιμή) και διανυσματικά μεγέθη (μέγεθος και κατεύθυνση στο χώρο).

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα, για το οποίο υποδεικνύεται ποιο από τα οριακά του σημεία είναι η αρχή και ποιο το τέλος. Έτσι, υπάρχουν δύο στοιχεία στο διάνυσμα - αυτό είναι το μήκος και η κατεύθυνσή του.

Η εικόνα του διανύσματος στο σχέδιο.

Όταν εργάζεστε με διανύσματα, συχνά εισάγεται ένα συγκεκριμένο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο οι συντεταγμένες του διανύσματος καθορίζονται με την αποσύνθεσή του σε διανύσματα βάσης:

Για ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο χώρο συντεταγμένων (x,y,z) και αφήνει την αρχή

Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται μήκος του και για να δηλώσει το μήκος ενός διανύσματος (του απόλυτη τιμή) χρησιμοποιήστε το σύμβολο modulo.

Τα διανύσματα που βρίσκονται είτε στην ίδια ευθεία είτε σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμικά. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα. Αναμεταξύ συγγραμμικά διανύσματαδιάκριση μεταξύ ισοκατευθυνόμενων (συν-κατευθυνόμενων) και αντίθετα κατευθυνόμενων διανυσμάτων. Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδα εάν βρίσκονται είτε στο ίδιο επίπεδο είτε σε ευθείες παράλληλες προς το ίδιο επίπεδο.

1.Διανυσματικό μήκος (διανυσματικός συντελεστής)

Το μήκος ενός διανύσματος το ορίζει κλιμακωτή τιμήκαι εξαρτάται από τις συντεταγμένες του, αλλά δεν εξαρτάται από την κατεύθυνσή του. Το μήκος ενός διανύσματος (ή ο συντελεστής ενός διανύσματος) υπολογίζεται μέσω αριθμητικής Τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων (συστατικών) του διανύσματος (χρησιμοποιείται ο κανόνας για τον υπολογισμό της υποτείνουσας σε ορθογώνιο τρίγωνο, όπου το ίδιο το διάνυσμα γίνεται υποτείνουσα).

Μέσω των συντεταγμένων, η ενότητα του διανύσματος υπολογίζεται ως εξής:

Για ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο χώρο συντεταγμένων (x,y) και βγαίνει από την αρχή

Για ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο χώρο συντεταγμένων (x,y,z) και βγαίνει από την αρχή, ο τύπος θα είναι παρόμοιος με τον τύπο για τη διαγώνιο ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, αφού το διάνυσμα στο χώρο παίρνει την ίδια θέση σε σχέση με τη συντεταγμένη τσεκούρια.

2. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων που απεικονίζονται από ένα σημείο είναι η μικρότερη γωνία κατά την οποία ένα από τα διανύσματα πρέπει να περιστραφεί γύρω από την αρχή του στη θέση του δεύτερου διανύσματος. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας μια έκφραση για τον προσδιορισμό του βαθμωτού γινόμενου των διανυσμάτων

Έτσι, το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίσο με την αναλογία του βαθμωτού γινομένου προς το γινόμενο των μηκών ή των μονάδων των διανυσμάτων. Αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν τα μήκη των διανυσμάτων και τους κλιμακωτό προϊόν, ή τα διανύσματα δίνονται με συντεταγμένες στο ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες σε επίπεδο ή σε χώρο με τη μορφή: και .

Αν τα διανύσματα Α και Β δίνονται σε τρισδιάστατο χώρο και οι συντεταγμένες καθενός από αυτά δίνονται με τη μορφή: και , τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων καθορίζεται από την ακόλουθη παράσταση:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί επίσης να προσδιοριστεί εφαρμόζοντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο: το τετράγωνο οποιασδήποτε πλευράς του τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών μείον διπλό προϊόναυτές τις πλευρές από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

όπου ΑΒ, ΟΑ, ΟΒ είναι η αντίστοιχη πλευρά του τριγώνου.

Θεώρημα συνημιτονίου για τρίγωνο

Εφαρμόζεται στον διανυσματικό λογισμό δεδομένης φόρμουλαςθα ξαναγραφεί ως εξής:

Έτσι, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και καθορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:

όπου και είναι η ενότητα (μήκος) του διανύσματος, και είναι η ενότητα (μήκος) του διανύσματος, η οποία καθορίζεται από τη διαφορά δύο διανυσμάτων. Οι άγνωστοι που εισέρχονται στην εξίσωση καθορίζονται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και .

3. Προσθήκη διανύσματος

Η πρόσθεση δύο διανυσμάτων και (το άθροισμα δύο διανυσμάτων) είναι η πράξη υπολογισμού του διανύσματος , του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με το ζεύγος άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των διανυσμάτων και . Αν τα διανύσματα δίνονται σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων άθροισμα διανυσμάτων

ΣΕ γραφική μορφή, Με θέση δύο ελεύθερων διανυσμάτωνμπορεί να εκτελεστεί τόσο σύμφωνα με τον κανόνα ενός τριγώνου όσο και σύμφωνα με τον κανόνα ενός παραλληλογράμμου.

Πρόσθεση δύο διανυσμάτων

Η προσθήκη δύο συρόμενων διανυσμάτων ορίζεται μόνο στην περίπτωση που οι ευθείες στις οποίες βρίσκονται τέμνονται. Η προσθήκη δύο σταθερών διανυσμάτων ορίζεται μόνο εάν έχουν κοινή αρχή.

κανόνας τριγώνου.

Για να προσθέσετε δύο διανύσματα και σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, και τα δύο αυτά διανύσματα μεταφέρονται παράλληλα μεταξύ τους, έτσι ώστε η αρχή του ενός να συμπίπτει με το τέλος του άλλου. Τότε το διάνυσμα αθροίσματος δίνεται από την τρίτη πλευρά του σχηματιζόμενου τριγώνου και η αρχή του συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος με το τέλος του δεύτερου διανύσματος.

πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων όταν η αρχή του ενός συμπίπτει με το τέλος του άλλου.

κανόνας παραλληλογράμμου.

Για να προσθέσετε δύο διανύσματα και σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, και τα δύο αυτά διανύσματα μεταφέρονται παράλληλα με τον εαυτό τους έτσι ώστε οι αρχές τους να συμπίπτουν. Τότε το διάνυσμα αθροίσματος δίνεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο πάνω τους, προερχόμενο από την κοινή τους προέλευση.

Η ενότητα (μήκος) του διανύσματος αθροίσματος καθορίζεται από το θεώρημα συνημιτόνου:

πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που εξέρχονται από το ίδιο σημείο.

Σημείωση:

Όπως μπορείτε να δείτε, ανάλογα με τη γωνία που επιλέγεται, το πρόσημο μπροστά από το συνημίτονο της γωνίας αλλάζει στον τύπο για τον προσδιορισμό της ενότητας (μήκους) του διανύσματος αθροίσματος.

4. Διαφορά διανυσμάτων

Η διαφορά διανυσμάτων και (αφαίρεση διανυσμάτων) είναι η πράξη υπολογισμού ενός διανύσματος , του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με τη διαφορά ζεύγη των αντίστοιχων στοιχείων των διανυσμάτων και . Αν τα διανύσματα δίνονται σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων διανυσματική διαφοράκαι μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Σε γραφική μορφή, η διαφορά των διανυσμάτων και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος απέναντι από το διάνυσμα, δηλ.

Διαφορά δύο ελεύθερων διανυσμάτων

Η διαφορά δύο ελεύθερων διανυσμάτων σε γραφική μορφή μπορεί να προσδιοριστεί τόσο από τον κανόνα του τριγώνου όσο και από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Το μέτρο (μήκος) του διανύσματος διαφοράς καθορίζεται από το θεώρημα συνημιτόνου. Ανάλογα με τη γωνία που χρησιμοποιείται στον τύπο, το πρόσημο μπροστά από το συνημίτονο αλλάζει (συζητήθηκε νωρίτερα).

5. Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ονομάζεται πραγματικός αριθμός, ίσο με το γινόμενομήκη πολλαπλασιαζόμενων διανυσμάτων με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων και συμβολίζεται με έναν από τους ακόλουθους συμβολισμούς ή και ορίζεται από τον τύπο:

όπου είναι τα μήκη των διανυσμάτων και, αντίστοιχα, και είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Σημείο γινόμενο δύο διανυσμάτων

Το βαθμωτό γινόμενο μπορεί επίσης να υπολογιστεί μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων και .

Έτσι, για διανύσματα και σε επίπεδο σε ορθογώνιο Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες, ο τύπος για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινομένου είναι ο ακόλουθος:

Για τρισδιάστατο χώροο τύπος για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων και έχει την ακόλουθη μορφή:

Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.

1. Η ιδιότητα ανταλλαξιμότητας του κλιμακωτού γινομένου

2. Η ιδιότητα κατανομής του κλιμακωτού προϊόντος

3. Συνειρμική ιδιότητα του κλιμακωτού προϊόντος (συνειρμότητα)

όπου είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση:

Εάν το γινόμενο κουκίδων είναι θετικό, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι οξεία (λιγότερο από 90 μοίρες).

Εάν το γινόμενο με τελείες είναι αρνητικό, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες).

Εάν το γινόμενο με τελείες είναι 0, τότε τα διανύσματα είναι ορθογώνια (τα οποία βρίσκονται κάθετα μεταξύ τους).

Αν το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων, τότε αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά μεταξύ τους (παράλληλα).

6. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων

Ένα διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα για το οποίο πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

1. το διάνυσμα είναι ορθογώνιο (κάθετο) στο επίπεδο των διανυσμάτων και ;