Ratsionaalfunktsioon on murdosa vormist, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid või polünoomide korrutised.

Näide 1. 2. samm.

.

Korrutame määramata koefitsiendid polünoomidega, mis ei ole selles üksikmurrus, kuid on teistes saadud murdudes:

Avame sulud ja võrdsustame algse integrandi lugeja saadud avaldisega:

Võrdsuse mõlemal poolel otsime termineid, millel on samad x astmed, ja koostame nendest võrrandisüsteemi:

.

Tühistame kõik x-id ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:

.

Seega on integrandi lõplik laiendus lihtmurdude summaks:

.

Näide 2. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

.

Nüüd hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:

Nüüd peate looma ja lahendama võrrandisüsteemi. Selleks võrdsustame muutuja koefitsiendid vastava astmega funktsiooni algse avaldise lugejas ja sarnased koefitsiendid eelmises etapis saadud avaldises:

Lahendame saadud süsteemi:

Niisiis, siit

.

Näide 3. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:

Nagu eelmistes näidetes, koostame võrrandisüsteemi:

Vähendame x-e ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

.

Näide 4. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

.

Teame juba varasematest näidetest, kuidas võrdsustada algmurru lugejat lugejas oleva avaldisega, mis on saadud pärast murdarvu lammutamist lihtmurdude summaks ja selle summa viimist ühisnimetajasse. Seetõttu esitame lihtsalt kontrolli eesmärgil saadud võrrandisüsteemi:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

Näide 5. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

.

Me taandame selle summa iseseisvalt ühiseks nimetajaks, võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

.

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

.

Näide 6. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

Teeme selle summaga samad toimingud nagu eelmistes näidetes. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

.

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

.

Näide 7. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

.

Pärast teatud toiminguid saadud summaga tuleks saada järgmine võrrandisüsteem:

Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:

Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:

.

Näide 8. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:

.

Teeme võrrandisüsteemi saamiseks mõned muudatused toimingutes, mis on juba automaatseks viidud. On kunstlik tehnika, mis mõnel juhul aitab vältida tarbetuid arvutusi. Viies murdude summa ühise nimetajani, saame ja võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga, saame.

Meetod on rakendatav suvalise arvu muutujate loogilise algebra funktsioonide minimeerimiseks.

Vaatleme kolme muutuja juhtumit. DNF-i Boole'i ​​funktsiooni saab esitada igasuguste konjunktiiviterminite kujul, mida saab DNF-is kaasata:

kus kО(0,1) on koefitsiendid. Meetod seisneb koefitsientide valimises nii, et saadav DNF oleks minimaalne.

Kui nüüd seada kõikvõimalikud muutujate väärtused 000 kuni 111, saame koefitsientide määramiseks 2 n (2 3 = 8) võrrandit k:

Arvestades hulki, mille puhul funktsioon võtab nullväärtuse, määrake koefitsiendid, mis on võrdsed 0-ga, ja kriipsutage need välja võrranditest, mille parem pool sisaldab 1. Ülejäänud koefitsientidest igas võrrandis võrdsustatakse üks koefitsient ühega, mis määrab madalaima järgu konjunktsioon. Ülejäänud koefitsiendid on võrdsed 0-ga. Niisiis, ühikkoefitsiendid k määrata sobiv miinimumvorm.

Näide. Minimeerige antud funktsioon

kui väärtused on teada: ; ; ; ; ; ; ; .

Lahendus.

Pärast nullkoefitsientide läbikriipsutamist saame:

=1;

=1;

=1.

Võrdlustame ühega madalaima järgu konjunktsioonile vastav koefitsient ja pöörame viimased neli võrrandit 1-ks ja esimeses võrrandis on soovitatav võrdsustada koefitsient 1-ga. Ülejäänud koefitsiendid on seatud väärtusele 0.

Vastus: minimeeritud funktsiooni tüüp.

Tuleb märkida, et määramatute koefitsientide meetod on efektiivne, kui muutujate arv on väike ja ei ületa 5-6.

Mitmemõõtmeline kuup

Vaatleme funktsiooni graafilist esitust mitmemõõtmelise kuubi kujul. Iga tipp n-mõõtmelise kuubi saab panna vastavusse üksuse koostisosaga.

Märgistatud tippude alamhulk on vastendus n-st pärit Boole'i ​​funktsiooni mõõtmeline kuup n muutujad SDNF-is.

Funktsiooni kuvamiseks alates n DNF-is esitatud muutujate puhul on vaja luua vastavus selle miniterminite ja elementide vahel n- mõõtmetega kuup.

(n-1) järgu minitermi võib lugeda kahe minitermini kokkuliimimise tulemuseks n-th järk, s.o.

Peal n-dimensionaalne kuubik see vastab kahe tipu asendamisele, mis erinevad ainult koordinaatide väärtuste poolest x i, ühendades need tipud servaga (öeldakse, et serv katab sellele langevad tipud).

Seega miniterminid ( n Järk -1) vastab n-mõõtmelise kuubi servadele.

Samamoodi miniterminite vastavus ( n-2) järjekorras näod n-mõõtmeline kuup, millest igaüks katab nelja tippu (ja nelja serva).

Elemendid n-mõõtmeline kuup, mida iseloomustab S mõõtmisi nimetatakse S-kuubikud

Nii et tipud on 0-kuubikud, servad on 1-kuubikud, tahud on 2-kuubikud jne.

Kokkuvõtteks võime öelda, et miniterm ( n-S) funktsiooni DNF-i auaste n kuvatavad muutujad S- iga kuubik S-kuubik hõlmab kõiki madalama mõõtmega kuupe, mis on ühendatud ainult selle tippudega.

Näide. Joonisel fig. arvestades kaardistamist

Siin vastavad miniterminid ja 1-kuubikud ( S=3-2=1) ja minitermin x 3 kuvatakse 2 kuubikuna ( S=3-1=2).

Seega on mis tahes DNF kaardistatud n-mõõtmeline kuup tervikuna S-kuubikud, mis katavad kõik moodustavatele ühikutele vastavad tipud (0-kuubik).

Koostisosad. Muutujate jaoks x 1,x 2,…x n väljendus nimetatakse ühiku koostisosaks ja - nulli koostisosa (tähendab kas või).

See ühe (null) koostisosa muutub üheks (nulliks) ainult ühe vastava muutujaväärtuste komplektiga, mis saadakse, kui kõik muutujad võetakse võrdseks ühega (null) ja nende eitused on võrdsed nulliga (üks).

Näiteks: koostisosa üks vastab hulgale (1011) ja koostisosa null - komplekt (1001).

Kuna SD(K)NF on ühe (null) koostisosade disjunktsioon (konjunktsioon), võib väita, et see kujutab Boole'i ​​funktsiooni f(x 1, x 2,…,x n) muutub üheks (nulliks) ainult muutujaväärtuste komplektide puhul x 1, x 2,…,x n, mis vastab nendele kaaslastele. Teistes komplektides muutub see funktsioon väärtuseks 0 (üks).

Tõsi on ka vastupidine väide, millel see põhineb viis mis tahes valemi esitamiseks valemi kujul Tabelis määratud tõeväärtusfunktsioon.

Selleks on vaja kirjutada ühe (null) koostisosade disjunktsioonid (konjunktsioonid), mis vastavad muutujate väärtuste kogumitele, mille puhul funktsioon võtab väärtuse, mis on võrdne ühega (null).

Näiteks tabeliga antud funktsioon

vastama

Saadud avaldised saab loogika algebra omaduste põhjal teisendada teisele kujule.

Tõsi on ka vastupidine väide: kui mõni kogu S-kuubikud katab kõigi funktsiooni ühikuväärtustele vastavate tippude hulga, siis nendele vastava disjunktsiooni S-cubes of miniterms on selle funktsiooni väljendus DNF-is.

Nad ütlevad, et selline kollektsioon S-kuubikud (või neile vastavad miniterminid) moodustavad funktsiooni katte. Minimaalse vormi iha all mõistetakse intuitiivselt sellise katte, arvu otsimist S-millest oleks vähem kuubikuid ja nende mõõtmed S- rohkem. Minimaalsele vormile vastavat katvust nimetatakse miinimumkatteks.

Näiteks funktsiooni jaoks juures= kattekiht vastab mitteminimaalsele kujule.

Tervitused kõigile, kallid sõbrad!

No palju õnne! Oleme ratsionaalsete murdude integreerimisel ohutult jõudnud põhimaterjalini - määramatute koefitsientide meetod. Suur ja võimas.) Mis on tema majesteet ja jõud? Ja see seisneb selle mitmekülgsuses. On mõistlik seda kontrollida, eks? Hoiatan, et sellel teemal on mitu õppetundi. Kuna teema on väga pikk ja materjal on äärmiselt oluline.)

Ütlen kohe, et tänases tunnis (ja ka järgmistes) ei tegele me niivõrd integratsiooniga, vaid... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine! Jah Jah! Seega, kellel on probleeme süsteemidega, korrake maatrikseid, determinante ja Crameri meetodit. Ja nendel seltsimeestel, kes on maatriksitega hädas, soovitan halvimal juhul värskendada oma mälu vähemalt süsteemide lahendamise “kooli” meetoditest - asendusmeetodist ja termini haaval liitmise/lahutamise meetodist.

Tutvumise alustamiseks kerime filmi veidi tagasi. Pöördume põgusalt tagasi eelmiste tundide juurde ja analüüsime kõiki neid murde, mida me varem lõime. Otse, ilma ühegi määramatute koefitsientide meetodita! Siin nad on, need fraktsioonid. Sorteerisin nad kolme rühma.

1. rühm

Nimetajas - lineaarne funktsioon kas iseseisvalt või mingil määral. Ühesõnaga, nimetaja on toode identsed vormi sulgudes (ha).

Näiteks:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5) (2x+5) (2x+5)

Ja nii edasi. Muide, ära lase sulgudel end segadusse ajada (4x+5) või (2x+5) 3 koefitsiendiga k sees. Need on endiselt vormi sulud (ha). Sest see on kõige rohkem k sellistest sulgudest saab alati õue viia.

Nagu nii:

See on kõik.) Ja pole vahet, mis täpselt lugejas on – lihtsalt dx või mingi polünoom. Oleme alati laiendanud lugejat sulu astmetes (x-a), muutis suure murdosa väikeste summaks, asetas (vajadusel) diferentsiaali alla sulg ja integreeris.

2. rühm

Mis on neil murdudel ühist?

Ja ühine on see, et kõigis nimetajates on ruuttrinoomkirves 2 + bx+ c. Aga mitte ainult, nimelt ühes eksemplaris. Ja siin pole vahet, kas tema diskrimineerija on positiivne või negatiivne.

Selliseid murde integreeriti alati kahel viisil – kas laiendades lugejat nimetaja astmeteks või eraldades nimetajas täiusliku ruudu ja seejärel asendades muutuja. Kõik sõltub konkreetsest integrandist.

3. rühm

Need olid integreerimiseks kõige halvemad fraktsioonid. Nimetaja sisaldab lagunematut ruuttrinoomi ja seda isegi kraadini n. Aga jällegi, ühes eksemplaris. Sest peale trinoomi pole nimetajas muid tegureid. Sellised murded integreeriti üle . Kas otse või taandatuna sellele pärast nimetaja täiusliku ruudu eraldamist ja muutuja hilisemat asendamist.

Kuid kahjuks ei piirdu kogu ratsionaalsete murdude rikkalik valik ainult nende kolme rühmaga.

Aga mis siis, kui nimetaja on erinev sulgudes? Näiteks midagi sellist:

(x-1) (x+1) (x+2)

Või samal ajal sulg (ha) ja ruuttrinoom, midagi taolist (x–10) (x 2–2 x + 17)? Ja muudel sarnastel juhtudel? Just sellistel puhkudel tulebki appi määramatute koefitsientide meetod!

Ütlen kohe: praegu teeme ainult koostööd õige murdosades. Need, kelle lugeja aste on nimetaja kraadist rangelt väiksem. Vale murdude käsitlemist kirjeldatakse üksikasjalikult jaotises Murrud. On vaja valida kogu osa (polünoom). Jagades lugeja nimetajaga nurgaga või lahutades lugejat - nagu soovite. Ja isegi näidet analüüsitakse. Ja te integreerite polünoomi kuidagi. Pole juba väike.) Kuid lahendame ka valede murdude näiteid!

Ja nüüd hakkame tutvuma. Erinevalt enamikust kõrgema matemaatika õpikutest ei alusta me oma tutvust kuiva ja raske teooriaga algebra põhiteoreemi, Bezouti teoreemi kohta, mis käsitleb ratsionaalse murru lagunemist kõige lihtsamate (nendest murdudest hiljem) ja muud tüütust, kuid alustame lihtsa näitega.

Näiteks peame leidma järgmise määramata integraali:

Kõigepealt vaadake integrandi. Nimetaja on kolme sulu korrutis:

(x-1) (x+3) (x+5)

Ja kõik sulgud erinev. Seetõttu meie vana tehnoloogia, kus lugejat laiendatakse nimetaja astmete kaupa, seekord enam ei tööta: millist sulgu tuleks lugejas esile tõsta? (x-1)? (x+3)? Pole selge... Terve ruudu valimine nimetajas ei ole samuti hea mõte: seal on polünoom kolmandaks kraadi (kui korrutate kõik sulud). Mida teha?

Meie murdosa vaadates tekib täiesti loomulik soov... Otseselt vastupandamatu! Meie suurest fraktsioonist, mis ebamugav integreerida, kuidagi kolm väikest teha. Vähemalt nii:

Miks peaksite seda konkreetset liiki otsima? Ja kõik sellepärast, et sellisel kujul on meie esialgne murdosa juba olemas mugav integratsiooni eest! Võtame kokku iga väikese murdosa nimetaja ja - edasi.)

Kas sellist lagunemist on üldse võimalik saada? Head uudised! Vastav teoreem matemaatikas väidab – jah, sa saad! Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

Kuid on üks probleem: koefitsiendid A, IN Ja KOOS Meie Hüvasti me ei tea. Ja nüüd on meie peamine ülesanne täpselt neid tuvastada. Uurige, millega meie tähed on võrdsed A, IN Ja KOOS. Sellest ka nimi – meetod ebakindel koefitsiendid Alustame oma vapustavat reisi!

Niisiis, meil on võrdsus, mis paneb meid tantsima:

Toome kõik kolm paremal olevat murru ühise nimetaja juurde ja lisame:

Nüüd võime nimetajad julgelt kõrvale jätta (kuna need on samad) ja lihtsalt lugejad võrdsustada. Kõik on nagu tavaliselt

Järgmine samm avage kõik sulud(koefitsiendid A, IN Ja KOOS Hüvasti parem jätta see välja):

Ja nüüd (tähtis!) reastame kogu oma struktuuri paremale kraadide staaži järgi: kõigepealt kogume kõik terminid x 2-ga hunnikusse, siis lihtsalt x-ga ja lõpuks kogume vabad terminid. Tegelikult esitame lihtsalt sarnased ja rühmitame terminid x astmete järgi.

Nagu nii:

Saame nüüd tulemusest aru. Vasakul on meie algne polünoom. Teine aste. Meie integrandi lugeja. Paremal ka mingi teise astme polünoom. Nina tundmatud koefitsiendid. See võrdsus peab kehtima siis, kui kõik kehtivad x väärtused. Murrud vasakul ja paremal olid samad (vastavalt meie seisundile)! See tähendab, et nad lugeja ja (st meie polünoomid) on samuti samad. Seega koefitsiendid x samadel astmetel need polünoomid peavad olema olge võrdsed!

Alustame kõrgeimast kraadist. Väljakult. Vaatame, millised koefitsiendid meil on X 2 vasakule ja paremale. Paremal on koefitsientide summa A+B+C, ja vasakul on kaks. Nii sünnib meie esimene võrrand.

Kirjutame üles:

A+B+C = 2

Sööma. Esimene võrrand on valmis.)

Järgmisena järgime kahanevat trajektoori – vaatleme termineid, mille X on esimese astmeni. Paremal pool X on meil 8A+4B+2C. Hästi. Ja mis meil on vasakpoolse X-ga? Hm... Vasakul pole X-iga terminit üldse! Neid on ainult 2x 2-3. Mida teha? Väga lihtne! See tähendab, et koefitsient x vasakul on võrdne nulliga! Võime oma vasaku poole kirjutada nii:

Ja mida? Meil on kõik õigused.) Seega näeb teine ​​võrrand välja selline:

8 A+4 B+2 C = 0

Noh, see on praktiliselt kõik. Jääb üle võrdsustada tasuta tingimused:

15A-5B-3C = -3

Ühesõnaga, samade x astmete koefitsientide võrdsustamine toimub vastavalt järgmisele skeemile:

Kõik kolm meie võrdsust peavad olema täidetud samaaegselt. Seetõttu koostame oma kirjutatud võrranditest süsteemi:

Süsteem pole usinale õpilasele just kõige raskem – kolm võrrandit ja kolm tundmatut. Otsustage nagu soovite. Crameri meetodit saab kasutada determinantidega maatriksite kaudu, Gaussi meetodit, kasvõi tavalist kooliasendust.

Alustuseks lahendan selle süsteemi nii, nagu kultuuritudengid tavaliselt selliseid süsteeme lahendavad. Nimelt Crameri meetod.

Lahendust alustame süsteemimaatriksi koostamisega. Lubage mul teile meelde tuletada, et see maatriks on lihtsalt plaat, millest koosneb tundmatute koefitsiendid.

Siin ta on:

Kõigepealt arvutame süsteemi maatriksi determinant. Või lühidalt süsteemi määraja. Tavaliselt tähistatakse seda kreeka tähega ∆ ("delta"):

Suurepärane, süsteemi determinant ei ole null (-48≠0) . Lineaarvõrrandisüsteemide teooriast tähendab see asjaolu, et meie süsteem on järjekindel ja on ainulaadne lahendus.

Järgmine samm on arvutamine tundmatute määrajad ∆A, ∆B, ∆C. Tuletan meelde, et kõik need kolm determinanti saadakse süsteemi põhideterminandist, asendades vastavate tundmatute koefitsientidega veerud vabade liikmete veeruga.

Seega moodustame determinandid ja arvutame:

Ma ei selgita siin üksikasjalikult kolmandat järku determinantide arvutamise tehnikat. Ja ära küsi. See on täielik kõrvalekalle teemast.) Need, kes on teemas, saavad aru, millest me räägime. Ja võib-olla olete juba täpselt arvanud, kuidas ma need kolm determinanti arvutasin.)

See on kõik, kõik on valmis.)

Nii lahendavad tavaliselt kultuursed õpilased süsteeme. Aga... Kõik õpilased ei ole sõbrad ja kvalifitseeruvad. Kahjuks. Mõne jaoks jäävad need kõrgema matemaatika lihtsad mõisted igaveseks hiina kirjaoskuse ja salapärase koletiseks udus...

Noh, eriti selliste ebakultuursete õpilaste jaoks pakun välja tuttavama lahenduse - Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod. Tegelikult on see täiustatud "kooli" asendusmeetod. Ainult samme tuleb rohkem.) Kuid olemus on sama. Esimene asi, mida ma teen, on muutuja kõrvaldamine KOOS. Selleks ma väljendan KOOS esimesest võrrandist ja asendage see teise ja kolmandaga:

Lihtsustame, toome sarnased ja saame uue süsteemi, juba koos kaks teadmata:

Nüüd on selles uues süsteemis võimalik ka üht muutujat väljendada teise terminites. Kuid kõige tähelepanelikumad õpilased märkavad ilmselt, et koefitsiendid on muutuja ees B – vastupidine. Kaks ja miinus kaks. Seetõttu on muutuja kõrvaldamiseks väga mugav mõlemad võrrandid kokku liita IN ja jäta ainult kiri A.

Lisame vasaku ja parema osa, lühendame vaimselt 2B Ja -2B ja lahendage võrrand ainult suhtelisena A:

Sööma. Esimene koefitsient leiti: A = -1/24.

Määrake teine ​​koefitsient IN. Näiteks ülemisest võrrandist:

Siit saame:

Suurepärane. Leiti ka teine ​​koefitsient: B = -15/8 . Üks kiri on veel alles KOOS. Selle määramiseks kasutame ülemist võrrandit, mille kaudu me seda väljendame A Ja IN:

Niisiis:

OK, nüüd on kõik läbi. Leiti tundmatud koefitsiendid! Pole vahet, kas Crameri või asendamise kaudu. Peamine, Õige leitud.)

Seetõttu näeb meie suure murdosa lagunemine väikeste summaks välja järgmine:

Ja ärge laske end segadusse ajada saadud murdosakoefitsientidest: selles protseduuris (määratlemata koefitsientide meetod) on see kõige levinum nähtus. :)

Nüüd on väga soovitatav kontrollida, kas leidsime oma koefitsiendid õigesti A, B Ja KOOS. Seetõttu võtame nüüd mustandi ja mäletame kaheksandat klassi – liidame tagasi kõik kolm oma väikest murdu.

Kui saame algse suure murdosa, siis on kõik korras. Ei – see tähendab, et löö mind ja otsi viga.

Ühine nimetaja on ilmselgelt 24(x-1)(x+3)(x+5).

Mine:

Jah!!! Saime algse murdosa. Mida oli vaja kontrollida. Kõik on hästi. Nii et palun ärge lööge mind.)

Nüüd pöördume tagasi oma algse integraali juurde. Ta ei ole selle aja jooksul kergemaks muutunud, jah. Kuid nüüd, mil meie murd on väikeste summadeks lagunenud, on selle integreerimine muutunud tõeliseks naudinguks!

Vaata ise! Sisestame oma laienduse algsesse integraali.

Saame:

Kasutame lineaarsuse omadusi ja jagame oma suure integraali väikeste summaks, asetades kõik konstandid integraalimärkidest väljapoole.

Saame:

Ja saadud kolme väikest integraali on juba lihtne võtta .

Jätkame integreerimist:

See on kõik.) Ja selles õppetükis ärge minult küsige, kust tulid vastuse logaritmid! Kes mäletab, on kursis ja saab kõigest aru. Ja neile, kes ei mäleta, järgime linke. Ma ei pane neid lihtsalt sinna.

Lõplik vastus:

Siin on selline ilus kolmainsus: kolm logaritmi - argpüks, staažikas ja tüütu. :) Ja proovi, arva kohe selline kaval vastus! Ainult määramatute koefitsientide meetod aitab, jah.) Tegelikult me ​​uurime seda sel eesmärgil. Mida, kuidas ja kus.

Treeningharjutusena soovitan teil seda meetodit harjutada ja integreerida järgmine murdosa:

Harjutage, leidke integraal, ärge pidage seda raskeks! Vastus peaks olema umbes selline:

Määramatute koefitsientide meetod on võimas asi. See päästab ka kõige lootusetum olukorras, kui murru niikuinii teisendate. Ja siin võib mõnel tähelepanelikul ja huvitatud lugejal tekkida mitmeid küsimusi:

- Mida teha, kui nimetaja polünoom pole üldse faktoriseeritud?

- KUIDAS peaks otsima mis tahes suure ratsionaalse murdude lagunemist väikeste summaks? Mingil kujul? Miks just see ja mitte see?

- Mida teha, kui nimetaja laienemisel on mitu tegurit? Või sulud astmetes nagu (x-1) 2? Millises vormis peaksime lagunemist otsima?

- Mida teha, kui nimetaja sisaldab lisaks vormi lihtsulgudele (x-a) samaaegselt ka lagunematut ruuttrinoomi? Oletame, et x 2 +4x+5? Millises vormis peaksime lagunemist otsima?

Noh, kätte on jõudnud aeg põhjalikult aru saada, kust jalad kasvavad. Järgmistes õppetundides.)

Võrdsus (I) on identiteet. Taandades selle täisarvuks, saame 2 polünoomi võrdsuse. Kuid selline võrdsus on alati täidetud ainult nende polünoomide perioodilise võrdsuse tingimusel.

Võrdsustades võrrandi vasakul ja paremal küljel olevad koefitsiendid x samade astmete jaoks, saame tundmatute koefitsientide jaoks lineaarvõrrandisüsteemi, mis tuleb lahendada.

Kuna laiendus (I) eksisteerib alati iga õige ratsionaalse murdosa korral, on tulemuseks olev süsteem alati järjepidev.

Seda koefitsientide leidmise meetodit nimetatakse ebakindlate koefitsientide meetodiks (koefitsientide võrdlemise meetod).

Toome näite ratsionaalse funktsiooni lagunemisest elementaarmurdudeks.

Näide 6.6.27. Jaotage murrud elementaarmurdudeks.

asendada viimane võrrand teisega

Seega
.

x=2 ;

x=3 .

Peaks; .

Osaväärtuse meetod nõuab vähem tööjõudu ja väärib seetõttu ratsionaalsete murdude integreerimisel erilist tähelepanu.

Kui nimetaja juured on ainult reaalsed, siis on soovitatav kasutada seda meetodit tundmatute koefitsientide määramiseks.

Muudel juhtudel saab tundmatute koefitsientide määramiseks kombineerida mõlemat meetodit.

Kommenteeri. Osaväärtuste meetodit kasutatakse ka muudel juhtudel, kuid siin tuleb identiteeti eristada.

Seega, õigete ratsionaalsete murdude integreerimiseks piisab, kui suudate:

1) lõimida elementaarmurde;

2) lagundab ratsionaalsed murded elementaarmurrudeks.

3. Ratsionaalsete murdude integreerimine

Skeem ratsionaalsete murdude integreerimiseks:

Ratsionaalsete murdude integreerimiseks ;

Kui P(x) ja Q(x) on reaalkoefitsientidega polünoomid, tehakse kolm sammu järjestikku.

Esimene samm. Kui murd on vale, see tähendab, et lugeja P(x) aste on suurem või võrdne nimetaja Q(x) astmega, eraldage ratsionaalse murru kogu osa, jagades lugeja nimetajaga vastavalt polünoomi polünoomiga jagamise reeglile. Pärast seda saab ratsionaalse murru kirjutada summana:

1) valitud täisarvuline osa – polünoom M(x);

2) õige jääkmurd :

Teine samm.

Õige jäägi murd lagunevad järgmisteks osadeks.

Selleks leidke võrrandi Q(x)=0 juured ja jagage nimetaja Q(x) reaalkoefitsientidega esimese ja teise astme teguriteks:

Nimetaja selles laiendamises vastavad 1. astme tegurid reaaljuurtele ja 2. astme tegurid paralleelsetele konjugaatjuurtele.

Nimetaja Q(x) x suurema astme koefitsienti võib pidada võrdseks 1-ga, kuna seda saab alati saavutada, jagades P(x) ja Q(x) sellega.

Pärast seda jagatakse õige jääkfraktsioon kõige lihtsamateks (elementaar)fraktsioonideks.

Kolmas samm. Leia valitud täisarvu ja kõigi elementaarmurdude integraalid (kasutades ülalpool käsitletud meetodeid), mis seejärel liidetakse.

Näide6.6.28.

Integraalimärgi all on vale ratsionaalne murd, kuna lugeja aste on võrdne nimetaja astmega, seega valime täisarvulise osa.

Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine.
Ebakindla koefitsiendi meetod

Jätkame tööd murdude integreerimisega. Oleme õppetunnis juba vaadanud mõnda tüüpi murdude integraale ja seda õppetundi võib teatud mõttes pidada jätkuks. Materjali edukaks mõistmiseks on vaja elementaarseid integreerimisoskusi, nii et kui olete just integraalide õppimist alustanud, st olete algaja, peate alustama artiklist Määramatu integraal. Näited lahendustest.

Kummalisel kombel hakkame nüüd tegelema mitte niivõrd integraalide leidmisega, vaid... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisega. Sellega seoses kiiresti Soovitan tunnis osaleda, nimelt pead olema hästi kursis asendusmeetoditega (“kool” meetod ja süsteemivõrrandite terminipõhise liitmise (lahutamise) meetod).

Mis on murdosaline ratsionaalne funktsioon? Lihtsamalt öeldes on murdratsionaalfunktsioon murd, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome või polünoomide korrutisi. Pealegi on fraktsioonid keerukamad kui artiklis käsitletud Mõnede murdude integreerimine.

Õige murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

Kohe näide ja tüüpiline algoritm murd-ratsionaalfunktsiooni integraali lahendamiseks.

Näide 1

Samm 1. Esimene asi, mida me ALATI teeme murdosalise ratsionaalse funktsiooni integraali lahendamisel, on selgitada järgmine küsimus: kas murd on õige? See samm sooritatakse suuliselt ja nüüd selgitan, kuidas:

Kõigepealt vaatame lugejat ja saame teada vanem kraad polünoom:

Lugeja juhtjõud on kaks.

Nüüd vaatame nimetajat ja saame teada vanem kraad nimetaja. Ilmselge viis on avada sulud ja tuua sarnased terminid, kuid saate seda teha ka lihtsamalt iga leida sulgudes kõrgeim kraad

ja mõtteliselt korrutada: - seega on nimetaja kõrgeim aste võrdne kolmega. On üsna ilmne, et kui me sulud reaalselt avame, ei saa me kraadi võrra suuremat kui kolm.

Järeldus: Lugeja peakraad RANGELT on väiksem kui nimetaja suurim võimsus, mis tähendab, et murd on õige.

Kui selles näites sisaldaks lugeja polünoomi 3, 4, 5 jne. kraadi, siis oleks murdosa vale.

Nüüd käsitleme ainult õigeid murdosalisi ratsionaalseid funktsioone. Juhtumit, mil lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, arutatakse tunni lõpus.

2. samm. Faktoriseerime nimetaja. Vaatame oma nimetajat:

Üldiselt on see juba tegurite tulemus, kuid sellegipoolest küsime endalt: kas on võimalik midagi muud laiendada? Piinamise objektiks on kahtlemata ruudukujuline kolmik. Ruutvõrrandi lahendamine:

Diskriminant on suurem kui null, mis tähendab, et trinoomi saab tõesti faktoriseerida:

Üldreegel: KÕIKE, mis on nimetajas, VÕIB faktoreerida – faktoreerida

Alustame lahenduse sõnastamist:

3. samm. Kasutades määramatute koefitsientide meetodit, laiendame integrandi liht(elementaar)murdude summaks. Nüüd saab asi selgemaks.

Vaatame meie integrandi funktsiooni:

Ja teate, millegipärast tekib intuitiivne mõte, et oleks tore muuta meie suur murd mitmeks väikeseks. Näiteks nii:

Tekib küsimus, kas seda on üldse võimalik teha? Hingame kergendatult, matemaatilise analüüsi vastav teoreem ütleb – ON VÕIMALIK. Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

On ainult üks saak, tõenäosus on selline Hüvasti Me ei tea, sellest ka nimi – määramatute koefitsientide meetod.

Nagu arvasite, on järgnevad kehaliigutused sellised, ärge naerge! eesmärk on lihtsalt neid TUNNISTADA – et teada saada, millega nad on võrdsed.

Olge ettevaatlik, ma selgitan üksikasjalikult ainult üks kord!

Niisiis, alustame tantsimist:

Vasakul pool taandame avaldise ühiseks nimetajaks:

Nüüd saame nimetajatest ohutult lahti saada (kuna need on samad):

Vasakul küljel avame sulud, kuid ärge puudutage praegu tundmatuid koefitsiente:

Samal ajal kordame polünoomide korrutamise koolireeglit. Kui olin õpetaja, õppisin seda reeglit sirge näoga hääldama: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.

Selge selgituse seisukohalt on parem panna koefitsiendid sulgudesse (kuigi ma isiklikult ei tee seda kunagi aja säästmiseks):

Koostame lineaarvõrrandisüsteemi.
Kõigepealt otsime kõrgemaid kraade:

Ja me kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi esimesse võrrandisse:

Jäta hästi meelde järgmine punkt. Mis juhtuks, kui paremal pool s-d üldse poleks? Ütleme, kas see näitaks lihtsalt ilma ruuduta? Sel juhul oleks süsteemi võrrandis vaja paremale panna null: . Miks null? Aga sellepärast, et paremal pool saab alati määrata selle sama ruudu nulliga: Kui paremal pool pole muutujaid ja/või vaba liiget, siis paneme süsteemi vastavate võrrandite paremale küljele nullid.

Kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi teise võrrandisse:

Ja lõpuks, mineraalvesi, valime vabaliikmed.

Ee...ma tegin nalja. Nali naljaks – matemaatika on tõsine teadus. Meie instituudirühmas ei naernud keegi, kui abiprofessor ütles, et ta ajab terminid mööda arvurida laiali ja valib neist suurimad. Olgem tõsised. Kuigi... kes selle tunni lõpuni elab, naeratab ikka vaikselt.

Süsteem on valmis:

Lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist väljendame ja asendame selle süsteemi 2. ja 3. võrrandiga. Tegelikult oli võimalik väljendada (või mõnda muud tähte) teisest võrrandist, kuid sel juhul on kasulik seda väljendada 1. võrrandist, kuna väikseim koefitsient.

(2) Esitame sarnased terminid 2. ja 3. võrrandis.

(3) Liidame 2. ja 3. võrrandi liikme kaupa, saades võrdsuse , millest järeldub, et

(4) Asendame teise (või kolmanda) võrrandiga, kust me selle leiame

(5) Asendage ja esimesse võrrandisse, saades .

Kui teil on raskusi süsteemi lahendamise meetoditega, harjutage neid tunnis. Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?

Pärast süsteemi lahendamist on alati kasulik kontrollida - asendada leitud väärtused iga süsteemi võrrandit, mille tulemusena peaks kõik "koonduma".

Peaaegu kohal. Leiti koefitsiendid ja:

Valmis töö peaks välja nägema umbes selline:

Nagu näha, oli ülesande peamiseks raskuseks lineaarvõrrandisüsteemi koostamine (õigesti!) ja (õigesti!) lahendamine. Ja viimases etapis pole kõik nii keeruline: kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi ja integreerime. Pange tähele, et kõigi kolme integraali all on meil "tasuta" kompleksfunktsioon; ma rääkisin tunnis selle integreerimise funktsioonidest Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Kontrollige: eristage vastust:

Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on leitud õigesti.
Kontrollimise käigus pidime avaldise taandada ühisele nimetajale ja see pole juhuslik. Määramatute koefitsientide meetod ja avaldise taandamine ühiseks nimetajaks on vastastikku pöördtoimingud.

Näide 2

Leidke määramatu integraal.

Tuleme tagasi esimese näite murdosa juurde: . Lihtne on märgata, et nimetajas on kõik tegurid ERINEVAD. Tekib küsimus, mida teha, kui on antud näiteks järgmine murd: ? Siin on nimetajas kraadid ehk matemaatiliselt mitmekordsed. Lisaks on ruuttrinoom, mida ei saa faktoriseerida (lihtne on kontrollida, et võrrandi diskriminant on negatiivne, seega ei saa trinoomi faktoriseerida). Mida teha? Laiendus elementaarmurdude summaks näeb välja umbes selline mille tipus on tundmatud koefitsiendid või midagi muud?

Näide 3

Tutvustage funktsiooni

Samm 1. Kontrollime, kas meil on õige murd
Peamine lugeja: 2
Nimetaja kõrgeim aste: 8
, mis tähendab, et murd on õige.

2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Ilmselgelt mitte, kõik on juba paika pandud. Ruuttrinoomi ei saa ülaltoodud põhjustel tooteks laiendada. Kapuuts. Vähem tööd.

3. samm. Kujutagem ette murdratsionaalfunktsiooni elementaarmurdude summana.
Sel juhul on laiendusel järgmine vorm:

Vaatame oma nimetajat:
Murd-ratsionaalfunktsiooni jagamisel elementaarmurdude summaks saab eristada kolme põhipunkti:

1) Kui nimetaja sisaldab "üksik" tegurit esimesele astmele (meie puhul), siis paneme ülaossa määramatu koefitsiendi (meie puhul). Näited nr 1, 2 koosnesid ainult sellistest “üksikutest” teguritest.

2) Kui nimetajal on mitmekordne kordaja, siis peate selle lagundama järgmiselt:
- see tähendab, et läbige järjestikku kõik "X" astmed esimesest n-nda astmeni. Meie näites on kaks mitut tegurit: ja , vaadake uuesti minu antud laiendust ja veenduge, et neid laiendatakse täpselt selle reegli järgi.

3) Kui nimetaja sisaldab teise astme lagunematut polünoomi (meie puhul), siis tuleb lugejas lagundamisel kirjutada määramata koefitsientidega lineaarfunktsioon (meie puhul määramata koefitsientidega ja ).

Tegelikult on veel üks neljas juhtum, kuid ma vaikin sellest, kuna praktikas on see äärmiselt haruldane.

Näide 4

Tutvustage funktsiooni tundmatute koefitsientidega elementaarmurdude summana.

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Järgige algoritmi rangelt!

Kui mõistate põhimõtteid, mille järgi peate murdosa-ratsionaalfunktsiooni summaks laiendama, saate läbi närida peaaegu iga vaadeldava tüübi integraali.

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Samm 1. Ilmselt on murd õige:

2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Saab. Siin on kuubikute summa . Korrutage nimetaja lühendatud korrutamisvalemi abil

3. samm. Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi elementaarmurdude summaks:

Pange tähele, et polünoomi ei saa faktoriseerida (kontrollige, et diskriminant oleks negatiivne), nii et ülaossa paneme tundmatute koefitsientidega lineaarse funktsiooni, mitte ainult ühe tähe.

Toome murdosa ühise nimetaja juurde:

Koostame ja lahendame süsteemi:

(1) Avaldame esimesest võrrandist ja asendame selle süsteemi teise võrrandiga (see on kõige ratsionaalsem viis).

(2) Esitame sarnased terminid teises võrrandis.

(3) Liidame liikme kaupa süsteemi teise ja kolmanda võrrandi.

Kõik edasised arvutused tehakse põhimõtteliselt suuliselt, kuna süsteem on lihtne.

(1) Murdude summa kirjutame üles vastavalt leitud koefitsientidele.

(2) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi. Mis juhtus teises integraalis? Selle meetodiga saate tutvuda õppetunni viimases lõigus. Mõnede murdude integreerimine.

(3) Taaskord kasutame lineaarsuse omadusi. Kolmandas integraalis hakkame eraldama tervet ruutu (tunni eelviimane lõik Mõnede murdude integreerimine).

(4) Võtame teise integraali, kolmandas valime täisruudu.

(5) Võtke kolmas integraal. Valmis.