Joonvõrrandi mõiste. Sirge defineerimine, kasutades sirgete paralleelsuse võrranditingimust

määrab tasapinnal kõvera. Terminite rühma nimetatakse ruutvormiks, - lineaarne vorm. Kui ruutvorm sisaldab ainult muutujate ruute, siis seda vormi nimetatakse kanooniliseks ja ortonormaalse aluse vektoreid, milles ruutvormil on kanooniline vorm, nimetatakse ruutvormi peatelgedeks.
Maatriks nimetatakse ruutvormi maatriksiks. Siin a 1 2 = a 2 1. Maatriksi B taandamiseks diagonaalkujule on vaja võtta aluseks selle maatriksi omavektorid, siis , kus λ 1 ja λ 2 on maatriksi B omaväärtused.
Maatriksi B omavektorite alusel saab ruutvorm kanoonilise kuju: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
See toiming vastab koordinaattelgede pööramisele. Seejärel nihutatakse koordinaatide alguspunkti, vabanedes seeläbi lineaarsest kujust.
Teist järku kõvera kanooniline vorm: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a ja:
a) kui λ1 >0; λ 2 >0 on ellips, eriti kui λ 1 =λ 2 on see ring;
b) kui λ 1 > 0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) meil on hüperbool;
c) kui λ 1 =0 või λ 2 =0, siis on kõver parabool ja pärast koordinaattelgede pööramist on kujul λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (siin λ 2 =0). Täiendades täisruutu, saame: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Näide. Kõvera võrrand 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 on antud koordinaatsüsteemis (0,i,j), kus i =(1,0) ja j =(0,1) .
1. Määrake kõvera tüüp.
2. Viige võrrand kanoonilisele kujule ja konstrueerige algses koordinaatsüsteemis kõver.
3. Leia vastavad koordinaatide teisendused.

Lahendus. Toome ruutkuju B=3x 2 +10xy+3y 2 põhitelgedele ehk kanoonilisele vormile. Selle ruutvormi maatriks on . Leiame selle maatriksi omaväärtused ja omavektorid:

Iseloomulik võrrand:
; λ1 =-2, λ2 =8. Ruutvormi tüüp: .
Algne võrrand määratleb hüperbooli.
Pange tähele, et ruutvormi vorm on mitmetähenduslik. Võib kirjutada 8x 1 2 -2y 1 2, kuid kõvera tüüp jääb samaks – hüperbool.
Leiame ruutvormi peateljed ehk maatriksi B omavektorid. .
Omavektor, mis vastab arvule λ=-2, kui x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Ühiku omavektoriks võtame vektori , kus on vektori pikkus x 1 .
Teisele omaväärtusele λ=8 vastava teise omavektori koordinaadid leitakse süsteemist
.
1, j 1).
Vastavalt punkti 4.3.3 valemitele (5). Liigume edasi uuele alusele:
või

; . (*)

Sisestame avaldised x ja y algsesse võrrandisse ning pärast teisendusi saame: .
Täielike ruutude valimine: .
Teostame koordinaattelgede paralleeltõlke uude algpunkti: , .
Kui sisestame need seosed (*) ja lahendame need võrrandid x 2 ja y 2 jaoks, saame: , . Koordinaatsüsteemis (0*, i 1, j 1) on see võrrand järgmine: .
Kõvera koostamiseks konstrueerime vanas koordinaatsüsteemis uue: telg x 2 =0 määratakse vanas koordinaatsüsteemis võrrandiga x-y-3=0 ja telg y 2 =0 võrrandiga x+ y-1 = 0. Uue koordinaatsüsteemi alguspunkt 0 * (2,-1) on nende sirgete lõikepunkt.
Tajumise lihtsustamiseks jagame graafiku koostamise protsessi kaheks etapiks:
1. Üleminek koordinaatsüsteemile, mille teljed on x 2 =0, y 2 =0, mis on vanas koordinaatsüsteemis määratud vastavalt võrranditega x-y-3=0 ja x+y-1=0.

2. Funktsiooni graafiku koostamine saadud koordinaatsüsteemis.

Graafiku lõplik versioon näeb välja selline (vt. Lahendus: Laadige lahendus alla

Harjutus. Tehke kindlaks, et iga järgmine võrrand määratleb ellipsi, ja leidke selle keskpunkti C koordinaadid, pooltelje, ekstsentrilisuse ja suundvõrrandid. Joonistage joonisele ellips, mis tähistab sümmeetriatelgesid, fookusi ja suundi.
Lahendus.

Vaatleme vormi seost F(x, y)=0, ühendavad muutujad x Ja juures. Me nimetame võrdsust (1) võrrand kahe muutujaga x, y, kui see võrdus ei kehti kõigi arvupaaride puhul X Ja juures. Näited võrranditest: 2x + 3a = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Kui (1) on tõene kõigi arvude x ja y paaride puhul, siis seda nimetatakse identiteet. Näited identiteetidest: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Nimetame võrrandit (1) punktide hulga võrrand (x; y), kui see võrrand on täidetud koordinaatidega X Ja juures mis tahes hulga punkti ja neid ei rahulda ühegi sellesse hulka mittekuuluva punkti koordinaadid.

Analüütilise geomeetria oluline mõiste on sirge võrrandi mõiste. Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja kindel sirge α.

Definitsioon. Võrrandit (1) nimetatakse joonvõrrandiks α (loodud koordinaatsüsteemis), kui see võrrand on koordinaatidega täidetud X Ja juures mis tahes punkti, mis asub joonel α , ja ei vasta ühegi punkti koordinaatidele, mis sellel sirgel ei asu.

Kui (1) on sirge võrrand α, siis ütleme, et võrrand (1) määrab (hulga) rida α.

Liin α saab määrata mitte ainult vormi võrrandiga (1), vaid ka vormi võrrandiga

F (P, φ) = 0 mis sisaldab polaarkoordinaate.

• sirge võrrand nurkkoefitsiendiga;

Olgu antud mingi sirge, mitte teljega risti Oh. Helistame kaldenurk antud sirge teljega Oh nurk α , mille poole tuleb telg pöörata Oh nii et positiivne suund langeb kokku ühe sirge suunaga. Sirge kaldenurga puutuja telje suhtes Oh helistas kalle seda rida ja tähistatakse tähega TO.

	K = tg α
		(1)

Tuletagem selle sirge võrrand, kui me seda teame TO ja segmendi väärtus OB, mille see teljel ära lõikab OU.

(2)

y=kx+b

Tähistagem poolt M"lennukipunkt (x; y). Kui joonistame otse BN Ja N.M., paralleelselt telgedega, siis r BNM – ristkülikukujuline. T. MC C BM <=>, kui väärtused N.M. Ja BN vastama tingimusele: . Aga NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> võttes arvesse (1), saame, et punkt M(x;y)C sellel real<=>, kui selle koordinaadid vastavad võrrandile: =>

Võrrandit (2) nimetatakse nurkkoefitsiendiga sirge võrrand. Kui K = 0, siis on sirgjoon paralleelne teljega Oh ja selle võrrand on y = b.

• kahte punkti läbiva sirge võrrand;

(4)

Olgu antud kaks punkti M 1 (x 1; y 1) Ja M2 (x 2; y 2). Võttes (3) punktis M(x;y) taga M 2 (x 2; y 2), saame y2-y1 =k(x2-x1). Määratlemine k viimasest võrrandist ja asendades selle võrrandiga (3), saame soovitud sirge võrrandi: . See on võrrand, kui y 1 ≠ y 2, võib kirjutada järgmiselt:

Kui y 1 = y 2, siis on soovitud rea võrrandil kuju y = y 1. Sel juhul on sirgjoon teljega paralleelne Oh. Kui x 1 = x 2, siis punkte läbiv sirgjoon M 1 Ja M 2, teljega paralleelne OU, on selle võrrandil vorm x = x 1.

• etteantud kaldega punkti läbiva sirge võrrand;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Teoreem. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Ohoo mis tahes sirge on antud esimese astme võrrandiga:

ja vastupidi, võrrand (5) suvaliste koefitsientide jaoks A, B, C (A Ja B ≠ 0üheaegselt) määratleb ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis teatud sirge Oeh.

Tõestus.

Esiteks tõestame esimest väidet. Kui joon ei ole risti Oh, siis määratakse see esimese astme võrrandiga: y = kx + b, st. kuju (5) võrrand, kus

A = k, B = -1 Ja C = b. Kui joon on risti Oh, siis on kõigil selle punktidel sama abstsiss, mis on võrdne väärtusega α teljel sirgjoonega lõigatud segment Oh.

Selle sirge võrrandil on vorm x = α, need. on ka esimese astme võrrand kujul (5), kus A = 1, B = 0, C = - α. See kinnitab esimest väidet.

Tõestame vastupidist väidet. Olgu võrrand (5) antud ja vähemalt üks koefitsientidest A Ja B ≠ 0.

Kui B ≠ 0, siis (5) saab kirjutada kujul . Korter , saame võrrandi y = kx + b, st. kujuga (2) võrrand, mis määratleb sirge.

Kui B = 0, See A ≠ 0 ja (5) on kujul . Tähistades α, saame

x = α, st. sirge võrrand risti Oh.

Nimetatakse sirgeid, mis on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis esimese astme võrrandiga esimese järjekorra read.

Vormi võrrand Ax + Wu + C = 0 on puudulik, s.t. Mõned koefitsiendid on võrdsed nulliga.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 ja määrab alguspunkti läbiva sirge.

2) B = 0 (A ≠ 0); võrrand Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ja määratleb paralleelse sirge Oh.

Võrrandit (6) nimetatakse sirgjoone võrrandiks “lõikudes”. Numbrid A Ja b on nende lõikude väärtused, mille sirgjoon koordinaattelgedel ära lõikab. See võrrandi vorm on mugav sirgjoone geomeetriliseks konstrueerimiseks.

• sirge normaalvõrrand;

Аx + Вy + С = 0 on teatud sirge üldvõrrand ja (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

selle normaalne võrrand.

Kuna võrrandid (5) ja (7) määratlevad sama sirge, siis ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Ja

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) nende võrrandite koefitsiendid on võrdelised. See tähendab, et korrutades kõik võrrandi (5) liikmed teatud teguriga M, saame võrrandi MA x + MV y + MS = 0, langeb kokku võrrandiga (7), st.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Koefitsiendi M leidmiseks paneme nendest võrdustest kaks esimest nelinurka ja lisame:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

§ 9. Sirgevõrrandi mõiste.

Sirge määratlemine võrrandi abil

Vormi F võrdsus (x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahes muutujas x, y, kui see ei kehti kõigi arvupaaride puhul x, y. Nad ütlevad kahte numbrit x = x 0 , y=y 0, täitma mõnda vormivõrrandit F(x, y)=0, kui neid arve muutujate asemel asendades X Ja juures võrrandis kaob selle vasak pool.

Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega, mitte aga iga punkti koordinaatidega, mis sellel sirgel ei asu.

Alljärgnevas on avaldise “antud sirge võrrand” asemel F(x, y) = 0" ütleme sageli lühidalt: antud rida F (x, y) = 0.

Kui on antud kahe sirge võrrandid F(x, y) = 0 Ja Ф(x, y) = Q, siis süsteemi ühislahendus

Annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4juures+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4juures -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10±40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Punktid on antud polaarkoordinaatide süsteemis

Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides  = 2 cos  võrrandiga määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele:)

164. Võrrandiga  = määratud sirgel
, Leia punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) ,b) - ,c) 0, d) . Milline sirge on selle võrrandiga määratletud?

(Ehitage see joonisele.)

165. Võrrandiga  = määratud sirgel
, leidke punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1, b) 2, c)
. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

166. Tee kindlaks, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueeri need joonisele):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) patt  =

Vaatleme valemiga (võrrandiga) antud funktsiooni

See funktsioon ja seega ka võrrand (11) vastab täpselt määratletud sirgele tasapinnal, mis on selle funktsiooni graafik (vt joonis 20). Funktsiooni graafiku definitsioonist järeldub, et see sirge koosneb nendest ja ainult nendest tasandi punktidest, mille koordinaadid vastavad võrrandile (11).

Las see nüüd

Sirg, mis on selle funktsiooni graafik, koosneb nendest ja ainult nendest tasandi punktidest, mille koordinaadid vastavad võrrandile (12). See tähendab, et kui punkt asub määratud sirgel, siis selle koordinaadid vastavad võrrandile (12). Kui punkt ei asu sellel sirgel, siis ei vasta selle koordinaadid võrrandile (12).

Võrrand (12) on lahendatud y suhtes. Vaatleme võrrandit, mis sisaldab x ja y ja mida ei ole y jaoks lahendatud, näiteks võrrandit

Näitame, et see võrrand tasapinnas vastab ka sirgele, nimelt ringjoonele, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius on 2. Kirjutame võrrandi ümber kujul

Selle vasak pool on punkti kauguse ruut lähtepunktist (vt § 2, lõige 2, valem 3). Võrdusest (14) järeldub, et selle vahemaa ruut võrdub 4-ga.

See tähendab, et iga punkt, mille koordinaadid vastavad võrrandile (14) ja seega ka võrrandile (13), asub lähtepunktist 2 kaugusel.

Selliste punktide geomeetriline asukoht on ring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius 2. See ring on võrrandile (13) vastav sirge. Selle mis tahes punkti koordinaadid vastavad ilmselt võrrandile (13). Kui punkt ei asu meie leitud ringil, siis on selle kauguse ruut lähtepunktist kas suurem või väiksem kui 4, mis tähendab, et sellise punkti koordinaadid ei rahulda võrrandit (13).

Olgu nüüd üldjuhul antud võrrand

mille vasakul küljel on avaldis, mis sisaldab x ja y.

Definitsioon. Võrrandiga (15) määratletud sirge on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

See tähendab, et kui sirge L on määratud võrrandiga, siis mis tahes punkti L koordinaadid vastavad sellele võrrandile, kuid väljaspool L asuvat tasandi punkti mis tahes punkti koordinaadid ei rahulda võrrandit (15).

Võrrandit (15) nimetatakse joonvõrrandiks

Kommenteeri. Ei tohiks arvata, et mis tahes võrrand määrab ühegi sirge. Näiteks ei määratle võrrand ühtegi rida. Tegelikult on ja y mis tahes tegelike väärtuste korral selle võrrandi vasak pool positiivne ja parem külg võrdne nulliga ning seetõttu ei saa seda võrrandit täita tasapinna ühegi punkti koordinaatidega.

Sirget saab tasapinnal määratleda mitte ainult Descartes'i koordinaate sisaldava võrrandiga, vaid ka polaarkoordinaatide võrrandiga. Polaarkoordinaatide võrrandiga määratletud sirge on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille polaarkoordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Näide 1. Ehitage Archimedese spiraal kohas .

Lahendus. Teeme tabeli polaarnurga mõne väärtuse ja polaarraadiuse vastavate väärtuste kohta.

Konstrueerime polaarkoordinaatide süsteemi punkti, mis ilmselgelt langeb poolusega kokku; seejärel joonestades telje polaartelje suhtes nurga all, konstrueerime sellele teljele positiivse koordinaadiga punkti, mille järel konstrueerime sarnaselt polaarnurga ja polaarraadiuse positiivsete väärtustega punktid (nende punktide teljed on ei ole näidatud joonisel 30).

Punkte ühendades saame kõvera ühe haru, mis on näidatud joonisel fig. 30 paksu joonega. Kui muutute nullist sellele harule, koosneb kõver lõpmatust arvust pööretest.

Võrrandit kujul F(x, y) = 0 nimetatakse võrrandiks kahe muutujaga x, y, kui see ei ole tõene kõikide arvude x, y paaride puhul. Nad ütlevad, et kaks arvu x = x 0, y = y 0 vastavad mõnele võrrandile kujul F(x, y) = 0, kui nende arvude asendamisel võrrandisse muutujate x ja y asemel muutub selle vasak pool nulliks. .

Antud sirge võrrand (määratud koordinaatsüsteemis) on kahe muutujaga võrrand, mis on rahuldatud iga sellel sirgel asuva punkti koordinaatidega ja mitte kõigi sellel mitte asuvate punktide koordinaatidega.

Järgnevalt ütleme avaldise "arvestades sirge F(x, y) = 0 võrrandit" asemel sageli lühidalt: antud sirgele F(x, y) = 0.

Kui on antud kahe sirge võrrandid: F(x, y) = 0 ja Ф(x, y) = 0, siis on süsteemi liitlahend

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

annab kõik nende ristumispunktid. Täpsemalt, iga arvupaar, mis on selle süsteemi ühislahendus, määrab ühe lõikepunktidest,

157. Antud punktid *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Määrake, millised antud punktidest asuvad võrrandiga x + y = 0 määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)

158. Leia võrrandiga x 2 + y 2 = 25 määratletud sirgelt punktid, mille abstsissid on võrdsed järgmiste arvudega: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; Leia samalt sirgelt punktid, mille ordinaadid on võrdsed järgmiste arvudega: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Joonista see joonisele.)

159. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega (konstrueerige need joonisel): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y-5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + võrra + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3a 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Antud read: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Määrake, millised neist läbivad alguspunkti.

161. Antud read: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Leidke nende lõikepunktid: a) Ox-teljega; b) Oy teljega.

162. Leia kahe sirge lõikepunktid:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y = 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4 a + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8 a + 10 a + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Polaarkoordinaatide süsteemis on punktid M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) ja M 5 (1; 2/3π). Määrake, millised neist punktidest asuvad polaarkoordinaatides võrrandiga p = 2cosΘ määratletud sirgel ja millised ei asu sellel. Millise sirge määrab see võrrand? (Joonista see joonisele.)

164. Võrrandiga p = 3/cosΘ defineeritud sirgelt leidke punktid, mille polaarnurgad on võrdsed järgmiste arvudega: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

165. Leia võrrandiga p = 1/sinΘ määratletud sirgelt punktid, mille polaarraadiused on võrdsed järgmiste arvudega: a) 1 6) 2, c) √2. Milline sirge on selle võrrandiga määratletud? (Ehitage see joonisele.)

166. Tee kindlaks, millised sirged on polaarkoordinaatides määratud järgmiste võrranditega (konstrueeri need joonisel): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Ehitage joonisele järgmised Archimedese spiraalid: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Koostage joonisel järgmised hüperboolsed spiraalid: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Ehitage joonisel järgmised logaritmilised spiraalid: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Määrake nende lõikude pikkused, millesse Archimedese spiraal p = 3Θ on lõigatud poolusest väljuva ja polaartelje suhtes nurga Θ = π/6 all oleva kiirga. Tee joonistus.

171. Archimedese spiraalil p = 5/πΘ võetakse punkt C, mille polaarraadius on 47. Määrake, mitu osa see spiraal lõikab punkti C polaarraadiuse. Koostage joonis.

172. Leidke hüperboolsel spiraalil P = 6/Θ punkt P, mille polaarraadius on 12. Koostage joonis.

173. Leidke logaritmilisel spiraalil p = 3 Θ punkt P, mille polaarraadius on 81. Koostage joonis.