Arvu vektori definitsioon. Vektori ja arvu korrutis

Maatriks suurustega m x n.

Maatriks suurus m x n on mn reaalarvu või muu struktuuri elemendi (polünoomid, funktsioonid jne) kogum, mis on kirjutatud ristkülikukujulise tabeli kujul, mis koosneb m reast ja n veerust ning on võetud ümmarguse või ristkülikukujulise või topeltkujulisena sirged sulgud. Sel juhul nimetatakse numbreid endid maatrikselementideks ja iga element on seotud kahe numbriga - rea numbri ja veeru numbriga Maatriksit, mille suurus on n x n nimetatakse ruut n-ndat järku maatriks, s.o. ridade arv võrdub veergude arvuga. Kolmnurkne - ruutmaatriks, milles kõik põhidiagonaalist allpool või kõrgemal asuvad elemendid on võrdsed nulliga. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal , kui kõik selle diagonaalivälised elemendid on võrdsed nulliga. Skalaar maatriks - diagonaalmaatriks, mille peamised diagonaalelemendid on võrdsed. Skalaarmaatriksi erijuhtum on identiteedimaatriks. Diagonaal kutsutakse maatriksit, mille kõik diagonaalelemendid on võrdsed 1-ga vallaline maatriks ja seda tähistatakse sümboliga I või E. Nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid on nullid null maatriks ja seda tähistatakse sümboliga O.

Maatriksi A korrutamine arvuga λ (sümbol: λ A) seisneb maatriksi koostamises B, mille elemendid saadakse maatriksi iga elemendi korrutamisel A selle arvu, st maatriksi iga elemendi järgi B võrdub

Maatriksite arvuga korrutamise omadused

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Maatriksi lisamine A + B on maatriksi leidmise operatsioon C, mille kõik elemendid on võrdsed kõigi vastavate maatriksi elementide paarilise summaga A Ja B, see tähendab maatriksi iga elementi C võrdub

Maatriksi liitmise omadused

5.kommutatiivsus) a+b=b+a

6.assotsiatiivsus.

7.liitmine nullmaatriksiga;

8.vastandmaatriksi olemasolu (sama asi, aga iga numbri ees on igal pool miinused)

Maatrikskorrutis - on maatriksarvutusoperatsioon C, mille elemendid on võrdsed esimese teguri vastava rea ​​ja teise veeru elementide korrutiste summaga.

Veergude arv maatriksis A peab vastama maatriksi ridade arvule B. Kui maatriks A on mõõtmetega, B- , seejärel nende toote mõõde AB = C Seal on .

Maatrikskorrutamise omadused

1.assotsiatiivsus (vt eespool)

2. toode ei ole kommutatiivne;

3.korrutis on identsusmaatriksiga korrutamise korral kommutatiivne;

4.jaotusseaduse õiglus; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Esimest ja n-ndat järku ruutmaatriksi determinant

Maatriksi determinant on ruutmaatriksi elementide polünoom (st maatriksi, milles ridade ja veergude arv on võrdne

Määramine laiendamise kaudu esimeses reas

Esimest järku maatriksi jaoks determinant on selle maatriksi ainus element:

Determinantide maatriksi jaoks on määratletud kui

Maatriksi puhul määratakse determinant rekursiivselt:

, kus on elemendi lisamoll a 1j. Seda valemit nimetatakse liini laiendamine.

Eelkõige on maatriksi determinandi arvutamise valem järgmine:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Determinantide omadused

Kui lisada suvalisele reale (veeru) lineaarne kombinatsioon muudest ridadest (veergud), siis determinant ei muutu.

§ Kui maatriksi kaks rida (veergu) langevad kokku, siis on selle determinant võrdne nulliga.

§ Kui maatriksi kaks (või mitu) rida (veergu) on lineaarselt sõltuvad, siis on selle determinant võrdne nulliga.

§ Kui korraldate maatriksi kaks rida (veeru) ümber, korrutatakse selle determinant arvuga (-1).

§ Determinandi mis tahes jada elementide ühisteguri võib determinandi märgist välja võtta.

§ Kui maatriksi vähemalt üks rida (veerg) on ​​null, siis on determinant võrdne nulliga.

§ Mis tahes rea kõigi elementide korrutiste summa nende algebraliste täiendite järgi on võrdne determinandiga.

§ Mis tahes jada kõigi elementide korrutised paralleelse jada vastavate elementide algebraliste täienditega on võrdne nulliga.

§ Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant on võrdne nende determinantide korrutisega (vt ka Binet-Cauchy valemit).

§ Kasutades indeksmärki, saab 3x3 maatriksi determinandi defineerida, kasutades Levi-Civita sümbolit seosest:

Pöördmaatriks.

Pöördmaatriks - selline maatriks A-1, kui korrutada algmaatriksiga A tulemuseks on identiteedimaatriks E:

Tingimuslik olemasolu:

Ruutmaatriks on pööratav siis ja ainult siis, kui see pole ainsus, see tähendab, et selle determinant ei ole võrdne nulliga. Mitteruutmaatriksite ja ainsuse maatriksite jaoks pöördmaatriksiid pole.

Valem leidmiseks

Kui maatriks on pööratav, saate pöördmaatriksi leidmiseks kasutada ühte järgmistest meetoditest:

a) Algebraliste liitmiste maatriksi kasutamine

C T- algebraliste liitmiste transponeeritud maatriks;

Saadud maatriks A−1 ja on pöördväärtus. Algoritmi keerukus sõltub determinandi O det arvutamise algoritmi keerukusest ja on võrdne O(n²)·O det.

Teisisõnu, pöördmaatriks võrdub ühega, mis on jagatud algse maatriksi determinandiga ja korrutatud algebraliste liitmiste transponeeritud maatriksiga (moll korrutatakse (-1) selle hõivatud ruumi astmega) algse maatriksi elemendid.

4. Lineaarvõrrandi süsteem. Süsteemne lahendus. Süsteemi ühilduvus ja kokkusobimatus. maatriksmeetod n lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks n muutujaga. Krammeri teoreem.

Süsteem m lineaarvõrrandid n teadmata(või, lineaarne süsteem) on lineaaralgebras vormi võrrandisüsteem

(1)

Siin x 1 , x 2 , …, x n- tundmatud, mis vajavad kindlaksmääramist. a 11 , a 12 , …, a mn- süsteemi koefitsiendid - ja b 1 , b 2 , … b m- vabaliikmed - eeldatakse olevat teada. Koefitsientide indeksid ( a ij) süsteemid tähistavad võrrandinumbreid ( i) ja tundmatu ( j), mille juures see koefitsient on vastavalt.

Süsteem (1) kutsutakse homogeenne, kui kõik selle vabad liikmed on võrdsed nulliga ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), muidu - heterogeenne.

Süsteem (1) kutsutakse ruut, kui number m arvuga võrdsed võrrandid n teadmata.

Lahendus süsteemid (1) - komplekt n numbrid c 1 , c 2 , …, c n, nii et iga asendamine c i selle asemel x i süsteemiks (1) muudab kõik oma võrrandid identiteetideks.

Süsteem (1) kutsutakse liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus ja mitteliigeste, kui tal pole ühest lahendust.

Tüüpi (1) liitsüsteemil võib olla üks või mitu lahendust.

Lahendused c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) ja c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) nimetatakse vormi (1) liitsüsteeme mitmesugused, kui vähemalt ühte võrdsust rikutakse:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Maatriksi vorm

Lineaarvõrrandisüsteemi saab esitada maatriksi kujul järgmiselt:

Ax = B.

Kui parempoolsele maatriksile A lisatakse vabade terminite veerg, nimetatakse saadud maatriksit laiendatuks.

Otsesed meetodid

Crameri meetod (Crameri reegel)- meetod lineaarsete algebraliste võrrandite ruutsüsteemide lahendamiseks põhimaatriksi nullist erineva determinandiga (ja selliste võrrandite jaoks on ainulaadne lahendus). Nimetatud meetodi leiutanud Gabriel Crameri (1704–1752) järgi.

Meetodi kirjeldus

Süsteemi jaoks n lineaarvõrrandid n tundmatu (suvalise välja kohal)

nullist erineva süsteemimaatriksi determinandiga Δ kirjutatakse lahend kujul

(süsteemimaatriksi i-s veerg asendatakse vabade terminite veeruga).
Teisel kujul on Crameri reegel sõnastatud järgmiselt: mis tahes koefitsientide c 1, c 2, ..., c n korral kehtib järgmine võrdsus:

Sellisel kujul kehtib Crameri valem ilma eelduseta, et Δ on nullist erinev; pole isegi vajalik, et süsteemi koefitsiendid oleksid integraalrõnga elemendid (süsteemi determinant võib olla isegi nulli jagaja koefitsientrõngas). Samuti võime eeldada, et kas komplektid b 1 ,b 2 ,...,b n Ja x 1 ,x 2 ,...,x n või komplekti c 1 ,c 2 ,...,c n koosnevad mitte süsteemi koefitsiendirõnga elementidest, vaid mõnest selle rõnga kohal olevast moodulist.

5.K-nda järgu alaealine. Maatriksi auaste. Maatriksite elementaarteisendused. Kroneckeri-Capelli teoreem lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvustingimuste kohta. Muutujate elimineerimise (Gaussi) meetod lineaarvõrrandisüsteemi jaoks.

Alaealine maatriksid A on järjekorra ruutmaatriksi determinant k(mida nimetatakse ka selle molli järjekorraks), mille elemendid esinevad maatriksis A numbritega ridade ja numbritega veergude ristumiskohas.

Koht maatriksridade (veeru) süsteem A Koos m read ja n veerud on nullist erineva ridade (veerude) maksimaalne arv.

Mitut rida (veeru) loetakse lineaarselt sõltumatuks, kui ühtki neist ei saa teistega lineaarselt väljendada. Reasüsteemi auaste on alati võrdne veerusüsteemi auastmega ja seda arvu nimetatakse maatriksi auastmeks.

Kronecker – Capelli teoreem (järjepidevuse kriteerium lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi jaoks) -

lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjepidev siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi aste on võrdne selle laiendatud maatriksi astmega (vabade terminitega) ja süsteemil on ainulaadne lahendus, kui auaste on võrdne arvuga tundmatute ja lõpmatu arv lahendusi, kui auaste on väiksem kui tundmatute arv.

Gaussi meetod - klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (SLAE) lahendamiseks. See on meetod muutujate järjestikuseks elimineerimiseks, kui elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks astmelise (või kolmnurkse) süsteemiga, millest kõik muud muutujad leitakse järjestikku, alustades viimasest (poolt arv) muutujad.

6. Suunatud segment ja vektor. Vektoralgebra põhimõisted. Vektorite summa ning vektori ja arvu korrutis. Tingimus vektorite koordineerimiseks. Vektorite lineaartehte omadused.

Tehted vektoritega

Lisand

Geomeetriliste vektorite lisamise toiminguid saab defineerida erineval viisil, olenevalt olukorrast ja vaadeldavate vektorite tüübist:

Kaks vektorit u, v ja nende summa vektor

Kolmnurga reegel. Kahe vektori liitmiseks ja kolmnurga reegli järgi kantakse mõlemad need vektorid üksteisega paralleelselt üle nii, et ühe algus langeb kokku teise lõpuga. Siis on summavektor antud saadud kolmnurga kolmanda küljega ja selle algus langeb kokku esimese vektori algusega ja lõpp teise vektori lõpuga.

Paralleelogrammi reegel. Kahe vektori liitmiseks ja rööpkülikureegli kohaselt kantakse mõlemad need vektorid üksteisega paralleelselt nii, et nende alguspunkt langeb kokku. Seejärel antakse summavektor neile konstrueeritud rööpküliku diagonaaliga, alustades nende ühisest algpunktist.

Ja summavektori moodul (pikkus). määratakse koosinusteoreemiga, kus on nurk vektorite vahel, kui ühe algus langeb kokku teise lõpuga. Praegu kasutatakse ka valemit – ühest punktist väljuvate vektorite vaheline nurk.

Vektorkunstiteos

Vektorkunstiteos vektor vektori kaupa on vektor, mis vastab järgmistele nõuetele:

Vektori C omadused

§ vektori pikkus võrdub vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga φ siinuse korrutisega

§ vektor on ortogonaalne iga vektori ja

§ vektori C suund määratakse Buravchiki reegliga

Vektorprodukti omadused:

1. Faktorite ümberkorraldamisel muudab vektorkorrutis märki (antikommutatiivsus), s.o.

2. Vektorkorrutisel on kombineerimisomadus skalaarteguri suhtes, st

3. Vektorkorrutisel on jaotusomadus:

Alus ja koordinaatsüsteem tasapinnal ja ruumis. Vektori lagunemine baasi järgi. Ortonormaalne alus ja ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal ja ruumis. Vektori ja punkti koordinaadid tasapinnal ja ruumis. Vektori projektsioonid koordinaattelgedele.

Alus (vanakreeka βασις, alus) - vektorite kogum vektorruumis, nii et mis tahes vektorit selles ruumis saab üheselt esitada selle hulga vektorite lineaarse kombinatsioonina - baasvektorid.

Sageli on mugav valida iga baasvektori pikkus (norm) ühikuks, sellist baasi nimetatakse nn. normaliseeritud.

Konkreetse (mis tahes) ruumivektori esitamine baasvektorite lineaarse kombinatsioonina (baasvektorite summa arvkordajate kaupa), näiteks

või kasutades summamärki Σ:

helistas selle vektori laiendamine üle selle aluse.

Vektori ja punkti koordinaadid tasapinnal ja ruumis.

Punkti A x-telje koordinaat on arv, mis on absoluutväärtuses võrdne lõigu OAx pikkusega: positiivne, kui punkt A asub positiivsel x-teljel, ja negatiivne, kui see asub negatiivsel poolteljel.

Ühikvektor ehk ühikvektor on vektor, mille pikkus on võrdne ühega ja mis on suunatud piki mis tahes koordinaattelge.

Siis vektorprojektsioon AB teljel l on vektori selle telje lõpu ja alguse projektsiooni koordinaatide vahe x1 – x2.

8.Vektori pikkus- ja suunakoosinused, suunakoosinuste seos. Orth vektor. Koordinaadid on vektorite summa, vektori ja arvu korrutis.

Vektori pikkus määratakse valemiga

Vektori suuna määravad tema poolt moodustatud nurgad α, β, γ koordinaattelgedega Ox, Oy, Oz. Nende nurkade koosinused (nn suuna koosinuste vektor ) arvutatakse järgmiste valemite abil:

Ühiku vektor või ort (normaliseeritud vektorruumi ühikvektor) on vektor, mille norm (pikkus) on võrdne ühega.

Ühikvektor, mis on antud vektoriga kollineaarne (normaliseeritud vektor), määratakse valemiga

Ühikvektorid valitakse sageli baasvektoriteks, kuna see lihtsustab arvutusi. Selliseid aluseid nimetatakse normaliseeritud. Kui need vektorid on samuti ortogonaalsed, nimetatakse sellist baasi ortonormaalseks baasiks.

Koordinaadid kollineaarne

Koordinaadid võrdne

Koordinaadid summa vektor kaks vektorit rahuldavad seoseid:

Koordinaadid kollineaarne vektorid rahuldavad seost:

Koordinaadid võrdne vektorid rahuldavad seoseid:

Summavektor kaks vektorit:

Mitme vektori summa:

Vektori ja arvu korrutis:

Vektorite ristkorrutis. Ristprodukti geomeetrilised rakendused. Vektorite kollineaarsuse tingimus. Segatoote algebralised omadused. Vektorkorrutise väljendamine tegurite koordinaatide kaudu.

Vektori ristkorrutis ja vektorit b nimetatakse vektoriks c, mis:

1. Perpendikulaarne vektoritega a ja b, st c^a ja c^b;

2. Selle pikkus on arvuliselt võrdne vektoritele a ja b külgedeks konstrueeritud rööpküliku pindalaga (vt joonis 17), st.

3.Vektorid a, b ja c moodustavad paremakäelise kolmiku.

Geomeetrilised rakendused:

Vektorite kollineaarsuse tuvastamine

Rööpküliku ja kolmnurga pindala leidmine

Vastavalt vektorite vektorkorrutisele A ja b |a xb | =|a| * |b |laulma, st S paari = |a x b |. Ja seetõttu DS =1/2|a x b |.

Punkti suhtes mõjuva jõumomendi määramine

Füüsikast on teada, et jõumoment F punkti suhtes KOHTA nimetatakse vektoriks M, mis läbib punkti KOHTA Ja:

1) risti punkte läbiva tasapinnaga O, A, B;

2) arvuliselt võrdne jõu korrutisega käe kohta

3) moodustab parempoolse kolmiku vektoritega OA ja A B.

Seetõttu M = OA x F.

Lineaarse pöörlemiskiiruse leidmine

Ümber fikseeritud telje nurkkiirusega w pöörleva jäiga keha punkti M kiirus v määratakse Euleri valemiga v =w xr, kus r =OM, kus O on telje mingi fikseeritud punkt (vt joonis 1). 21).

Vektorite kollineaarsuse tingimus - nullist erineva vektori ja vektori kollineaarsuse vajalik ja piisav tingimus on võrdsust rahuldava arvu olemasolu.

Segatoote algebralised omadused

Vektorite segakorrutis ei muutu, kui tegurid on ümber paigutatud ringikujuliselt, ja muutub kahe teguri vahetamisel märgi vastupidiseks, säilitades samal ajal oma mooduli.

Segakorrutise sees oleva vektori korrutusmärgi " " saab paigutada selle mis tahes tegurite vahele.

Segaprodukt on distributiivne mis tahes selle teguri suhtes: (näiteks) kui , siis

Ristkorrutise väljendamine koordinaatidena

õige koordinaatsüsteem

vasakpoolne koordinaatsüsteem

12.Vektorite segakorrutis. Segakorrutise geomeetriline tähendus, vektorite koplanaarsuse tingimus. Segatoote algebralised omadused. Segaprodukti väljendamine tegurite koordinaatide kaudu.

Segatud Vektorite järjestatud kolmiku (a,b,c) korrutis on esimese vektori skalaarkorrutis ning teise ja kolmanda vektorkorrutis.

Vektorkorrutise algebralised omadused

Kommutatiivsus

Assotsiatiivsus skalaariga korrutamise suhtes

Jaotus liitmise teel

Jacobi identiteet. Töötab R3-ga ja katkestab R7-ga

Alusvektorite vektorkorrutised leitakse definitsiooni järgi

Järeldus

kus on nii sirge suunavektori kui ka joonele kuuluva punkti koordinaadid.

Tasapinna sirge normaalvektor. Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga. Sirge üldvõrrand. Nurgakoefitsiendiga sirge võrrandid. Kahe sirge suhteline asend tasapinnal

Tavaline sirge vektor on mis tahes nullist erinev vektor, mis on selle sirgega risti.

- võrrand sirgest, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga

Ax + Wu + C = 0- sirge üldvõrrand.

Sirgevõrrand kujul y=kx+b

helistas kaldega sirge võrrand, ja koefitsienti k nimetatakse selle sirge kaldeks.

Teoreem. Sirge võrrandis kaldega y=kx+b

nurgakoefitsient k on võrdne sirge abstsisstelje kaldenurga puutujaga:

Vastastikune korraldus:

– Oxy koordinaattasandi kahe sirge üldvõrrandid. Siis

1) kui , siis jooned langevad kokku;

2) kui , siis sirge ja paralleelne;

3) kui , siis sirged lõikuvad.

Tõestus . Tingimus on samaväärne antud joonte normaalvektorite kollineaarsusega:

Seega, kui , siis sirgjooned ristuvad.

Kui , siis , , ja sirge võrrand on järgmisel kujul:

Või , st. sirge vaste. Pange tähele, et proportsionaalsuskoefitsient on , vastasel juhul oleksid kõik üldvõrrandi koefitsiendid võrdsed nulliga, mis on võimatu.

Kui sirged ei lange kokku ja ei ristu, siis jääb juhtum, s.t. sirge paralleelselt.

Sirge võrrand segmentides

Kui sirge üldvõrrandis Ах + Ву + С = 0 С≠0, siis –С-ga jagades saame: või , kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient A on sirge ja Ox-telje lõikepunkti koordinaat ja b– sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Sirge normaalvõrrand

Kui võrrandi Ax + By + C = 0 mõlemad pooled jagatakse kutsutud arvuga normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ ? KOOS< 0.

p on alguspunktist sirgele langetatud risti pikkus ja φ on nurk, mille see risti moodustab Ox-telje positiivse suunaga.

C Tuleb märkida, et iga sirget ei saa esitada võrrandiga lõikudes, näiteks sirged, mis on paralleelsed telgedega või läbivad alguspunkti.

17. Ellips. Ellipsi kanooniline võrrand. Ellipsi geomeetrilised omadused ja ehitus. Eritingimused.

Ellips - punktide asukoht M Eukleidiline tasapind, mille puhul on kahe antud punkti kauguste summa F 1 ja F 2 (nimetatakse fookusteks) on konstantne ja suurem kui fookuste vaheline kaugus, see tähendab | F 1 M | + | F 2 M | = 2a ja | F 1 F 2 | < 2a.

Kanooniline võrrand

Iga ellipsi jaoks võite leida Descartes'i koordinaatsüsteemi, nii et ellipsi kirjeldatakse võrrandiga (ellipsi kanooniline võrrand):

See kirjeldab algpunktis tsentreeritud ellipsi, mille teljed langevad kokku koordinaattelgedega.

Ehitus: 1)Kasutades kompassi

2) Kaks nippi ja venitatud niit

3) Ellipsograaf (Ellipsograaf koosneb kahest liugurist, mis võivad liikuda mööda kahte risti asetsevat soont või juhikut. Liugurid on kinnitatud hingede abil varda külge, asetsevad piki varda üksteisest kindlal kaugusel. Liugurid liiguvad edasi ja tahapoole – igaüks mööda oma soont – ja varda ots kirjeldab ellipsi tasapinnal. Ellipsi poolteljed a ja b tähistavad kaugusi varda otsast liuguritel olevate hingedeni. Tavaliselt vahemaid a ja b saab muuta ning seeläbi muuta kirjeldatud ellipsi kuju ja mõõtmeid)

Ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi pikenemist. Mida lähemal on ekstsentrilisus nullile, seda rohkem sarnaneb ellips ringiga ja vastupidi, mida lähemal on ekstsentrilisus ühtsusele, seda piklikum see on.

Fokaalparameeter

Kanooniline võrrand

18.Hüperbool. Hüperboolide kanoonilised võrrandid. Hüperbooli geomeetrilised omadused ja ehitus. Eritingimused

Hüperbool(vanakreeka ὑπερβολή, vanakreeka keelest βαλειν - "viska", ὑπερ - "üle") - punktide asukoht M Eukleidiline tasapind, mille puhul kauguste erinevuse absoluutväärtus M kuni kaks valitud punkti F 1 ja F 2 (nimetatakse fookusteks) pidevalt. Täpsemalt,

Lisaks | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Suhtarvud

Ülalpool määratletud hüperboolide karakteristikute puhul järgivad nad järgmisi seoseid

2. Hüperbooli suunad on tähistatud kahekordse paksusega joontega ja on näidatud D 1 ja D 2. Ekstsentrilisus ε võrdub punktide kauguste suhtega P hüperboolil fookusesse ja vastavasse suunda (näidatud roheliselt). Hüperbooli tipud on tähistatud kui ± a. Hüperbooli parameetrid tähendavad järgmist:

a- kaugus keskusest C igale tipule
b- igast tipust asümptootidesse langenud risti pikkus
c- kaugus keskusest C mis tahes fookusesse, F 1 ja F 2 ,
θ on nurk, mille moodustavad iga asümptoot ja tippude vahele tõmmatud telg.

Omadused

§ Mis tahes punktis, mis asub hüperboolil, on selle punkti ja fookuse kauguste ja samast punktist suunduva kauguse suhe konstantne väärtus.

§ Hüperboolil on peegelsümmeetria tegeliku ja kujuteldava telje suhtes, samuti pöörlemissümmeetria, kui seda pööratakse 180° nurga all ümber hüperbooli keskpunkti.

§ Igal hüperboolil on konjugeeritud hüperbool, mille puhul reaalne ja kujuteldav telg vahetavad kohti, kuid asümptoodid jäävad samaks. See vastab asendamisele a Ja büksteise peal hüperbooli kirjeldavas valemis. Konjugeeritud hüperbool ei ole esialgse hüperbooli 90° nurga all pööramise tulemus; mõlemad hüperboolid erinevad kuju poolest.

19. Parabool. Parabooli kanooniline võrrand. Parabooli geomeetrilised omadused ja ehitus. Eritingimused.

Parabool - antud sirgest (nimetatakse parabooli sihiks) ja antud punktist (nimetatakse parabooli fookuseks) võrdsel kaugusel asuvate punktide geomeetriline asukoht.

Parabooli kanooniline võrrand ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis:

(või kui vahetad teljed).

Omadused

§ 1 Parabool on teist järku kõver.

§ 2Sellel on sümmeetriatelg, mida nimetatakse parabooli telg. Telg läbib fookust ja on sihikuga risti.

§ 3 Optiline omadus. Selle fookusesse kogutakse parabooli teljega paralleelne kiirtekiir, mis peegeldub paraboolis. Ja vastupidi, fookuses asuva allika valgus peegeldub parabooli abil oma teljega paralleelseks kiirtekiireks.

§ 4Parabooli puhul on fookus punktis (0,25; 0).

Parabooli puhul on fookus punktis (0; f).

§ 5 Kui parabooli fookus peegeldub puutuja suhtes, siis asub selle kujutis otsejoonel.

§ 6 Parabool on joone antipood.

§ Kõik paraboolid on sarnased. Fookuse ja suunaja vaheline kaugus määrab skaala.

§ 7 Kui parabool pöörleb ümber sümmeetriatelje, saadakse elliptiline parabool.

Parabooli suund

Fookusraadius

20.Normaaltasandi vektor. Antud punkti läbiva tasapinna võrrand on antud vektoriga risti. Üldtasandi võrrand, üldtasandi võrrandi erijuht. Tasapinna vektorvõrrand. Kahe tasapinna suhteline asukoht.

Lennuk- üks geomeetria põhimõisteid. Geomeetria süstemaatilisel esitlusel võetakse tavaliselt üheks algmõisteks tasandi mõiste, mille geomeetria aksioomid määravad vaid kaudselt.

Tasapinna võrrand punkti ja normaalvektori järgi
Vektorkujul

Koordinaatides

Tasapindadevaheline nurk

Üldtasandi võrrandi erijuhud.

Füüsika, mehaanika ja tehnikateaduste erinevaid valdkondi uurides kohtab suurusi, mis määratakse täielikult nende arvväärtusi täpsustades. Selliseid koguseid nimetatakse skalaar või lühidalt skalaarid.

Skalaarsuurused on pikkus, pindala, ruumala, mass, kehatemperatuur jne Lisaks skalaarsetele suurustele on erinevates ülesannetes suurused, mille puhul on lisaks nende arvväärtusele vaja teada ka nende suunda. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Vektorsuuruste füüsikalisteks näideteks võivad olla ruumis liikuva materiaalse punkti nihkumine, selle punkti kiirus ja kiirendus, samuti sellele mõjuv jõud.

Vektori suurused esitatakse vektorite abil.

Vektori määratlus. Vektor on teatud pikkusega sirge suunatud segment.

Vektorit iseloomustavad kaks punkti. Üks punkt on vektori alguspunkt, teine ​​punkt on vektori lõpp-punkt. Kui tähistame vektori algust punktiga A , ja vektori lõpp on punkt IN , siis tähistatakse vektorit ennast . Vektorit võib tähistada ka ühe väikese ladina tähega, mille kohal on riba (näiteks ).

Graafiliselt tähistatakse vektorit segmendiga, mille lõpus on nool.

Vektori algust nimetatakse selle rakenduspunkt. Kui punkt A on vektori algus , siis ütleme, et vektorit rakendatakse punktis A.

Vektorit iseloomustavad kaks suurust: pikkus ja suund.

Vektori pikkus – kaugus alguspunkti A ja lõpp-punkti B vahel. Vektori pikkuse teine ​​nimetus on vektori moodul ja seda tähistab sümbol . Vektori moodul on tähistatud Vektor , mille pikkus on 1, nimetatakse ühikvektoriks. See tähendab ühikuvektori tingimust

Nullpikkusega vektorit nimetatakse nullvektoriks (tähistatakse ). Ilmselgelt on nullvektoril sama algus- ja lõpp-punkt. Nullvektoril pole kindlat suunda.

Kollineaarsete vektorite definitsioon. Vektoreid, mis asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel, nimetatakse kollineaarseks .

Pange tähele, et kollineaarsed vektorid võivad olla erineva pikkusega ja erineva suunaga.

Võrdsete vektorite määramine. Kaht vektorit peetakse võrdseks, kui nad on kollineaarsed, sama pikkuse ja sama suunaga.

Sel juhul kirjutavad nad:

Kommenteeri. Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et vektorit saab paralleelselt üle kanda, asetades selle alguspunkti mis tahes ruumipunkti (eelkõige tasapinnale).

Kõik nullvektorid loetakse võrdseteks.

Vastandvektorite määramine. Kahte vektorit nimetatakse vastandlikuks, kui need on kollineaarsed, on ühepikkused, kuid vastupidise suunaga.

Sel juhul kirjutavad nad:

Teisisõnu tähistatakse vektorile vastupidist vektorit kui .

Loodusseaduste õigeks kuvamiseks füüsikas on vaja vastavaid matemaatilisi tööriistu.

Geomeetrias ja füüsikas on suurusi, mida iseloomustavad nii arvväärtus kui suund.

Soovitav on kujutada neid suunatud segmentidena või vektorid.

Kokkupuutel

Sellistel suurustel on algus (kuvatakse punktiga) ja lõpp, mida tähistab nool. Lõigu pikkust nimetatakse (pikkuseks).

• kiirus;
• kiirendus;
• pulss;
• jõud;
• hetk;
• tugevus;
• kolimine;
• väljatugevus jne.

Tasapinna koordinaadid

Määratleme tasapinnal lõigu, mis on suunatud punktist A (x1,y1) punkti B (x2,y2). Selle koordinaadid a (a1, a2) on arvud a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Moodul arvutatakse Pythagorase teoreemi abil:

Nullvektori algus langeb kokku lõpuga. Koordinaadid ja pikkus on 0.

Vektori summa

Olemas mitu reeglit summa arvutamiseks

• kolmnurga reegel;
• hulknurga reegel;
• rööpküliku reegel.

Vektorite liitmise reeglit saab selgitada dünaamikast ja mehaanikast tulenevate ülesannete abil. Vaatleme vektorite liitmist kolmnurga reegli järgi punktkehale mõjuvate jõudude ja keha järjestikuste liikumiste näitel ruumis.

Oletame, et keha liigub kõigepealt punktist A punkti B ja seejärel punktist B punkti C. Lõplik nihe on segment, mis on suunatud alguspunktist A lõpp-punkti C.

Kahe liikumise tulemus ehk nende summa s = s1+ s2. Seda meetodit nimetatakse kolmnurga reegel.

Nooled seatakse üksteise järel ahelasse, teostades vajadusel paralleelset ülekandmist. Kogusegment sulgeb jada. Selle algus langeb kokku esimese algusega, lõpp viimase lõpuga. Välismaistes õpikutes nimetatakse seda meetodit "saba pähe".

Tulemuse c = a + b koordinaadid on võrdsed terminite c (a1+ b1, a2+ b2) vastavate koordinaatide summaga.

Kolmnurga reegliga määratakse ka paralleelsete (kollineaarsete) vektorite summa.

Kui kaks algset lõiku on üksteisega risti, siis on nende liitmise tulemuseks neile konstrueeritud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Summa pikkus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.

Näited:

• Horisontaalselt visatud keha kiirus on risti vabalangemise kiirendus.
• Ühtlase pöörleva liikumise korral on keha lineaarkiirus tsentripetaalse kiirendusega risti.

Kolme või enama vektori liitmine toota vastavalt hulknurga reegel, "saba pähe"

Oletame, et jõud F1 ja F2 rakenduvad punktkehale.

Kogemused näitavad, et nende jõudude koosmõju on võrdne ühe jõu toimega, mis on suunatud piki neile konstrueeritud rööpküliku diagonaali. See resultantjõud on võrdne nende summaga F = F1 + F 2. Ülaltoodud liitmismeetodit nimetatakse rööpküliku reegel.

Pikkus arvutatakse sel juhul valemiga

Kus θ on külgede vaheline nurk.

Kolmnurga ja rööpküliku reeglid on omavahel asendatavad. Füüsikas kasutatakse rööpkülikureeglit sagedamini, kuna jõudude, kiiruste ja kiirenduste suunalisi suurusi rakendatakse tavaliselt ühe punkti kehale. Kolmemõõtmelises koordinaatsüsteemis kehtib rööptahuka reegel.

Algebra elemendid

1. Liitmine on kahendtehte: korraga saab lisada ainult paari.
2. Kommutatiivsus: terminite ümberpaigutamise summa ei muutu a + b = b + a. See selgub rööpkülikureeglist: diagonaal on alati sama.
3. Assotsiatiivsus: suvalise arvu vektorite summa ei sõltu nende liitmise järjekorrast (a + b) + c = a + (b + c).
4. Nullvektoriga summeerimine ei muuda ei suunda ega pikkust: a +0= a .
5. Iga vektori jaoks on olemas vastupidine. Nende summa on võrdne nulliga a +(-a)=0 ja pikkused on samad.

Korrutamine skalaariga

Skalaariga korrutamise tulemus on vektor.

Korrutise koordinaadid saadakse originaali vastavate koordinaatide korrutamisel skalaariga.

Skalaar on pluss- või miinusmärgiga arvväärtus, mis on suurem või väiksem kui üks.

Näited skalaarsuuruste kohta füüsikas:

• kaal;
• aeg;
• tasu;
• pikkus;
• ruut;
• maht;
• tihedus;
• temperatuur;
• energiat.

Näide:

Töö on jõu ja nihke A = Fs skalaarkorrutis.