Vastastikused arvud. Mis on vastandarvud? Vastandarvude näited

Teema

Tunni tüüp

• uue materjali uurimine ja esmane assimilatsioon

Tunni eesmärgid

Õppige tundma positiivsete ja negatiivsete, vastandarvude määratlusi

Leia vastandarvud harjutuste lahendamisel, võrrandite lahendamisel

Arendav – arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogiline mõtlemine, matemaatiline kõne.

Haridus - läbi õppetunni, arendada tähelepanelikku suhtumist üksteisesse, sisendada oskust kuulata kaaslasi, vastastikust abi, iseseisvust.

Tunni eesmärgid

Siit saate teada, mis on vastandarvud

Õppige seda mõistet probleemide lahendamisel kasutama

Kontrollige õpilaste võimet probleeme lahendada.

Tunniplaan

1. Sissejuhatus.

2. Teoreetiline osa

3. Praktiline osa.

4. Kodutöö.

5. Huvitavaid fakte

Sissejuhatus

Vaata pilte ja kirjelda ühe sõnaga, mis vahe neil on.

Piltidel on vastandid.

on kaks arvu, mis on võrdsed absoluutväärtus, kuid millel on näiteks erinevad märgid. 5 ja -5.

Teoreetiline osa

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on negatiivsed arvud. Vaata video:

Punktid koordinaatidega 5 ja -5 on punktist O võrdsel kaugusel ja asuvad piki erinevad küljed temalt. Punktist O nendesse punktidesse jõudmiseks tuleb läbida samad vahemaad, kuid vastassuundades. Kutsutakse numbreid 5 ja -5 vastupidised numbrid: 5 on -5 vastand ja -5 on 5 vastand.

Nimetatakse kahte numbrit, mis erinevad üksteisest ainult märkide poolest vastupidised numbrid.

Näiteks 35 ja -35 on vastandarvud, kuna arv 35 \u003d +35, mis tähendab, et numbrid 35 ja -35 erinevad ainult märkide poolest. Vastandarvud on samuti 0,8 ja -0,8, ¾ ja -¾.

Vastandarvude omadused

1). Iga numbri jaoks on ainult üks vastandarv.

2). Arv 0 on iseenda vastand.

3). A vastandit nimetatakse -a. Kui a = -7,8, siis -a = 7,8; kui a = 8,3, siis -a = -8,3; kui a = 0, siis -a = 0.

4). Kirje "-(-15)" tähendab -15 vastandit. Kuna -15 vastand on 15, siis -(-15) = 15. Üldiselt -(-a) = a.

Nimetatakse naturaalarvud, nende vastandarvud ja null täisarvud.

vastupidine number n" on arvu n suhtes arv, mis n-le liitmisel annab nulli.

n + n" = 0

Selle võrdsuse saab ümber kirjutada järgmiselt:

n + n" - n = 0 - n või n" = − n

Seega vastupidised numbrid neil on samad moodulid, kuid vastupidised märgid.

Vastavalt sellele tähistatakse arvule n vastandarvu − n. Kui arv on positiivne, on selle vastandarv negatiivne ja vastupidi.

1. Too näiteid vastandarvude kohta.

2. Joonista need koordinaatjoonele.

3. Mis on -3,6 vastand; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktiline osa

Näide

1) Märkige koordinaatjoonele punktid A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Leidke ja märkige nende punktide hulgast need, mis on punkti O (0) suhtes sümmeetrilised. Mida saab öelda sümmeetriliste punktide koordinaatide kohta?

Punktid, mis on sümmeetrilised punkti O(0) suhtes: A(2) ja B(-2), E(-5.2) ja F(5.2)

Sümmeetrilised punkti koordinaadid on numbrid, mis erinevad ainult märgi poolest. Selliseid numbreid nimetatakse vastupidine.

Märkige koordinaatjoonele punktid A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) Mida saab nende arvude kohta öelda?

Numbritest 15; 2,5; - 2,5; - 18; 0; 45; - 45 valida: a) naturaalarvud; b) täisarvud; c) negatiivsed arvud; d) positiivsed arvud; e) vastandarvud.

1) Kirjutage numbrile a vastandarv.

2) Märkige numbrile a vastav number, kui:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a = 3.4.

1) Pidage meeles, mida kirje tähendab: - (- a).

2) Õige võrdsuse saamiseks asenda * sellise arvuga: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.

Kodutöö

1). Täida tabel:

2). Leidke: a) -m,

kui m = -8,

kui m = -16

kui -k = 27

kui -k = -35

kui c = 41

kui c = -3,6

3). Mitu vastandarvu paari asub arvude -7,2 ja 3,6 vahel. Märkige koordinaatjoonel.

4). Uurige välja silmapaistva prantsuse teadlase nimi:

Kas sa tead, kuhu sisse Igapäevane elu kas me kohtame positiivseid ja negatiivseid numbreid?

Kasutatud allikate loetelu

1. Matemaatikaentsüklopeedia (5 köites). -M.: Nõukogude entsüklopeedia, 2002. - T. 1.
2." Uusim juhend koolilaps" "MAJA XXI sajand" 2008
3. Tunni kokkuvõte teemal " Vastandlikud numbrid" Autor: Petrova V.P., matemaatikaõpetaja (5.–9. klass), Kiiev
4. N.Ya. Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matemaatika 6. klassile, Õpik keskkoolile

Huvitav kontseptsioon pärit koolikursusõppimine on vastandarvud, mida võib käsitleda nii matemaatiliselt kui geomeetriliselt. Selle teema mõistmine lihtsustab matemaatika õppimist, võimaldab teil mõne ülesandega kiiresti toime tulla - seetõttu kaalume, milliseid numbreid nimetatakse vastanditeks ja millised reeglid nende jaoks töötavad.

Mis on termini olemus?

Vastandarvude tähenduse mõistmiseks pöördume korraks geomeetria poole. Joonistame koordinaatjoone ja märgime sellele nullpunkti ning seejärel paneme joonele veel kaks tähist – näiteks "2" paremale ja "-2" vasakule poolele nullist. Muidugi on mõlemast punktist lähtepunkti kaugus täpselt sama - ja seda on mõõtmiste abil lihtne kontrollida. "2" ja "-2" on nullist samal kaugusel, kuid eri suundades - vastavalt, nad on üksteisele täiesti vastandlikud.

See on asja mõte. Arvud võivad olla meelevaldselt suured või väikesed, täis- või murdosalised. Kuid igal neist on teatud arv, mis on selle täielik vastand. Definitsiooni saab anda järgmiselt - kui koordinaatide real kahest punktist, mis on seatud nulli mõlemale poole, saate lähtepunkti edasi lükata võrdne vahemaa- need punktid või õigemini neile vastavad numbrid on vastupidised.

Milliseid reegleid saab definitsioonist järeldada?

Tasub meeles pidada mõnda tingimusteta väidet vaadeldava teema kohta:

• Kahe arvu vastandite põhimõte töötab mõlemal viisil. Näiteks number 3 on vastand numbrile -3 - ja seetõttu on number -3 vastand ainult numbrile 3, mitte ühelegi teisele.
• Numbril ei saa olla kahte vastandit – alati on ainult üks.
• Numbrid võivad olla üksteise vastas. erinevad märgid. Kui arv on positiivne, on selle vastandarv miinusmärgiga - näiteks 5 ja -5. Sama töötab ka sees tagakülg- miinusmärgiga arvu puhul on alati vastupidine plussmärgiga arv - näiteks -6 ja 6.
• Kahel vastandarvul on sama absoluutväärtus, või moodul. Teisisõnu, kui numbrile 4

§ 1 Positiivse arvu mõiste

Selles õppetükis saate teada, milliseid numbreid nimetatakse vastanditeks, kuidas leida vastandarvu ning millised on täis- ja ratsionaalarvud.

Alustame sellest praktiline töö. Märkige koordinaatjoonele punktid A(2) ja B(-2). Need on sümmeetrilised ja nende punktide sümmeetriakese on lähtepunkt O(0), kuna kaugus OA=OB.

Näeme, et alguspunkti suhtes sümmeetriliste punktide koordinaadid on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. Selliseid numbreid nimetatakse vastanditeks.

Vastandarvudel on veel üks määratlus. Mis on numbrite 2 ja -2 moodulid? Võrdne 2. Seetõttu on vastandarvud arvud, millel on samad moodulid, kuid erinevad märgi poolest.

Vastasnumbri märkimiseks antud number, kasuta miinusmärki, mis kirjutatakse antud numbri ette. See tähendab, et a vastand on kirjutatud kui −a. Näiteks arv 0,24 on vastupidine arvule −0,24, arv -25 on vastupidine arvule −(−25), kuid koordinaatjoonel olev arv -25 on vastupidine arvule 25, mis tähendab -(-25) = 25. Sellest järeldub, et -( -a) = a ja a = -(-a).

§ 2 Vastandarvude omadused

Toome välja mõned vastandarvude omadused.

Positiivsele arvule vastandlik arv on negatiivne ja negatiivsele arvule vastanduv arv on positiivne. See on arusaadav, kuna vastandarvudele vastavad koordinaatjoone punktid asuvad lähtepunkti vastaskülgedel.

Kui arv a on vastand arvule b, siis b on vastupidine a-le – see tuleneb koordinaatjoone punktide sümmeetriaomadusest.

Vaatame koordinaatjoont. Mitu punkti saab märkida koordinaatjoonele, mis on lähtepunkti suhtes antud punktiga sümmeetrilised? Ainult üks. See tähendab, et iga numbri jaoks on ainult üks vastandarv.

Ainult üks arv on iseenda vastand - see on arv 0, kuna 0 \u003d -0 (seetõttu pole kombeks kirjutada -0).

Numbrid koos ühine omadus moodustavad komplekti (või rühma), igal hulgal on oma nimi.

Tuletame meelde, et arve, mida me loendamisel kasutame, nimetatakse naturaalarvudeks, need moodustavad naturaalarvude komplekti.

Igal naturaalarvul on vastandarv. Naturaalarve, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse täisarvudeks.

Võib olla positiivne või negatiivne murdarvud. Nimetatakse kõik täisarvud ja murrud ratsionaalsed arvud. Nad ütlevad ka, et koos moodustavad nad ratsionaalarvude komplekti.

Toome välja veel kaks numbrirühma. Võtame koordinaatide sirge. Kui eemaldame selle osa sirgest, millel asuvad negatiivsed arvud, kiir koos positiivsed numbrid ja alguspunkt on 0. Ülejäänud arve nimetatakse mittenegatiivseteks, st arvudeks, mis on 0-st suuremad või sellega võrdsed. Seetõttu on mittepositiivsed arvud kõik negatiivsed arvud ja arv 0, st arvud, mis on väiksem kui 0 või sellega võrdne.

Täna õppisime, mis on vastand-, täis-, ratsionaal-, mittenegatiivsed, mittepositiivsed arvud, õppisime, kuidas leida antud arvule vastandarvu.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Matemaatika.6 klass: tunniplaanidõpikule I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-koostaja L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matemaatika. 6. klass: õpilase õpik õppeasutused. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovitš.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutuste õpilastele. /N.Jah. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matemaatika käsiraamat - http://lyudmilanik.com.ua
5. Käsiraamat õpilastele aastal Keskkool http://shkolo.ru

Vastandarvude määratlus

Vastandarvude määratlus:

Kaht arvu nimetatakse vastandlikuks, kui need erinevad ainult märkide poolest.

Vastandarvude näited

Vastandarvude näited.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Siit on arusaadav, kuidas antud numbrile vastandarvu leida: muuda lihtsalt numbri märki.

3 vastand on arv miinus kolm.

Näide. Numbrid on andmetele vastupidised.

Antud: numbrid 1; 5; 8; 9.

Leidke antud arvud.

Selle ülesande lahendamiseks muutke lihtsalt antud numbrite märke:

Teeme vastandarvude tabeli:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Nullile vastandlik arv

Nulli vastand on null ise.

Nii et 0 vastand on 0.

Vastandtäisarvud

Vastandtäisarvud erinevad ainult märkide poolest.

Vastandtäisarvude näited.

10 -10
20 -20
125 -125

Vastandarvude paar

Kui inimesed räägivad vastandarvudest, peavad nad alati silmas vastandarvude paari.

Arv on teise arvu vastand. Ja igal numbril on ainult üks vastandarv.

Naturaalarvudele vastupidised arvud

Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud.

Koostame esimese viie naturaalarvu vastandarvude tabeli:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Vastandarvude summa

Vastandarvude summa on null. Lõppude lõpuks erinevad vastandarvud ainult märgi poolest.

Vaatleme sellist näidet. On vaja järjestikku arvutada: .

Saate liidetavaid numbreid ümber korraldada ja ülejäänud arvud lahutada: .

Kuid see pole alati mugav. Näiteks saame arvutada asjade jääki mõnes laos ja me peame teadma vahetulemust.

Saate teha toiminguid järjest: .

Me teame seda, mis tähendab, et tulemuseks on arvust lahutamine. See tähendab, et on vaja lahutada, kuid mitte veel millestki. Kui on millestki lahutada, lahutage:

Kuid me saame "petta" ja määrata . Seega tutvustame uut objekti - negatiivsed arvud.

Oleme sellise toimingu juba teinud – näiteks looduses ei eksisteerinud ka numbrit "", kuid võtsime sellise objekti kasutusele, et hõlbustada toimingute salvestamist.

Kujutage ette, et meile anti korraldus palle välja anda ja vastu võtta spordilaos. Peame pidama arvestust. Võite kirjutada sõnadega:

Välja antud , vastu võetud , välja antud , vastu võetud , ... (vt joonis 1.)

Riis. 1. Raamatupidamine

Nõus, kui peate mitu korda päevas välja andma ja vastu võtma, pole salvestamine eriti mugav.

Saate lehe jagada kaheks veergu, millest üks on vastu võetud, teine ​​- välja antud. (Vt joonist 2.)

Riis. 2. Lihtsustatud märge

Kirje sai lühemaks. Kuid siin on probleem: kuidas aru saada, kui palju palli mingil konkreetsel ajahetkel võeti (või ära anti)?

Salvestamiseks saab kasutada järgmist kaalutlust: kui anname laost välja palle, siis nende arv laos väheneb ja vastuvõtmisel suureneb.

Aga kuidas kirjutada "andis palli välja"? Saate sisestada sellise objekti: .

See objekt võimaldab meil matemaatiliselt salvestada pallide liikumist nende toimumise järjekorras:

Vaatleme veel ühte näidet.

Teie telefoni rublade arvel. Te läksite võrku ja see maksis rublasid. Selgus, et võlg on rubla. Operaator võiks üles kirjutada nii: "klient võlgneb rublasid." Panite rublasid. Operaator arvas võla maha. Selgus rublade arvel.

Kuid kontol on mugav registreerida nii tehinguid kui ka raha, kasutades märke "" ja "". (Vt joonist 3.)

Riis. 3. Mugav salvestamine

Sisestame negatiivse arvu, millest lahutamise tulemus üles kirjutada vähem rohkem:.

Negatiivse arvu liitmine on sama, mis lahutamine: .

Negatiivsete arvude eristamiseks positiivsetest, mida me varem käsitlesime, leppisime kokku, et paneme selle ette miinusmärgi: .

Kas saaksite ilma nendeta hakkama? Jah, sa saad. Igas konkreetses olukorras kasutaksime sõnu "tagasi", "võlgu" jne. Kuid need, need sõnad, oleksid teistsugused.

Ja nii on meil universaalne mugav tööriist. Üks kõigi selliste juhtumite jaoks.

Võime tuua analoogia autoga. See koosneb suur hulk osad, millest paljusid pole eraldi vaja, kuid koos võimaldavad need sõita. Samamoodi on negatiivsed arvud tööriist, mis koos teiste matemaatiliste vahenditega lihtsustab paljude ülesannete lahendamist ja salvestamist.

Niisiis, oleme kasutusele võtnud uue objekti – negatiivsed arvud. Milleks neid elus kasutatakse?

Kõigepealt tuletagem meelde positiivsete arvude rolle:

Kogus: nt puit, liitrid piima. (Vt joonist 4.)

Riis. 4. Kogus

Järjestamine: Näiteks majad on nummerdatud positiivsete numbritega. (Vt joonis 5.)

Riis. 5. Tellimine

Nimi: nt mängija number. (Vt joonist 6.)

Riis. 6. Number kui nimetus

Vaatame nüüd funktsioone negatiivsed arvud:

Puuduva koguse tähistamine. Arv ei ole negatiivne. Kuid negatiivset arvu kasutatakse näitamaks, et summat lahutatakse. Näiteks võime pudelist välja valada ja kirjutada selle kui . (Vt joonist 7.)

Riis. 7. Puuduva koguse tähistamine

Tellimine. Mõnikord valitakse nummerdamisel null ja peate nummerdama objektid mõlemal pool nulli. Näiteks põrandad, mis asuvad -th all, keldris. (Vt joonist 8.) Või temperatuur, mis on alla valitud nulli. (Vt joonist 9.)

Riis. 8. Korrus allpool, keldris

Riis. 9. Negatiivsed numbrid termomeetri skaalal

Kuid ikkagi on negatiivsete arvude peamine eesmärk matemaatiliste arvutuste lihtsustamise tööriist.

Kuid selleks, et negatiivsetest numbritest saaks nii mugav tööriist, peate:

Negatiivne temperatuur on temperatuur, mis on alla nulli, alla nulli. Aga mis on null temperatuur? Temperatuuri mõõtmiseks, salvestamiseks peate valima mõõtühiku ja võrdluspunkti. Mõlemad on kokkulepe. Kasutame Celsiuse skaalat, mis on nimetatud selle välja pakkunud teadlase järgi. (Vt joonist 10.)

Riis. 10. Anders Celsius

Siin valitakse võrdluspunktiks vee külmumispunkt. Kõik allpool on märgitud negatiivne väärtus. (Vt joonist 11.)

Riis. üksteist.

Kuid on selge, et kui me võtame teise võrdluspunkti, teise nulli, siis võib negatiivne temperatuur Celsiuse järgi selles teises skaalas olla positiivne. Ja nii see juhtub. Füüsikas kasutatakse laialdaselt Kelvini skaalat. See on sarnane Celsiuse skaalaga, ainult madalaima võimaliku temperatuuri väärtuseks valitakse null (madalamat pole). Seda väärtust nimetatakse absoluutne null". Celsiuse järgi on see ligikaudu. (Vt joonist 12.)

Riis. 12. Kaks kaalu

See tähendab, et Kelvini skaalal pole üldse negatiivseid väärtusi.

Jah, meie suvi .

Ja härmas .

See tähendab, et negatiivne temperatuur on kokkulepe, inimeste kokkulepe seda nii nimetada.

Alustame nullist. Null võtab eriline positsioon numbrite seas.

Nagu me juba arutanud oleme, võime oma mugavuse huvides määrata seitsme lahutamise negatiivseks arvuks. Kuna see tähendab lahutamist, jätame selle märgiks märgi "". Helistame uuele numbrile.

See tähendab, et "" on arv, mis annab kokku nulli: . Ja suvalises järjekorras. See on negatiivse (või vastupidise) arvu määratlus.

Iga varem uuritud arvu jaoks tutvustame uut negatiivset arvu, mille ees on miinusmärk. See tähendab, et iga eelmise numbri puhul ilmus selle negatiivne kaksik. Selliseid kaksikuid nimetatakse vastandnumbriteks. (Vt joonist 13.)

Riis. 13. Vastandarvud

Niisiis, määratlus: kahte arvu nimetatakse vastandarvudeks, mille summa on võrdne nulliga.

Väliselt erinevad need ainult märgi "" poolest.

Kui muutujale eelneb näiteks märk "", siis mida see tähendab? See ei tähenda seda antud väärtus negatiivne. Miinusmärk tähendab, et see väärtus on vastupidine arvule: . Milline neist arvudest on positiivne, milline negatiivne, me ei tea.

Kui siis .

Kui (negatiivne arv), siis (positiivne arv).

Mis on nulli vastand? Seda me juba teame.

Kui mis tahes arvule, sealhulgas nullile, lisatakse null, siis algne arv ei muutu. See tähendab, et kahe nulli summa on võrdne nulliga: . Kuid arvud, mille summa on null, on vastupidised. Seega on null iseenda vastand.

Niisiis, oleme andnud negatiivsete arvude määratluse, selgitanud välja, miks neid vaja on.

Nüüd pühendame natuke aega tehnoloogiale. Praegu peame õppima, kuidas leida mis tahes arvu vastand:

Tunni viimases osas räägime uutest komplektide nimedest ja tähistustest, mis tekivad pärast negatiivsete arvude kasutuselevõttu.