Aritmetička progresija formule kako pronaći d. Samostalan rad u paru

Aritmetička i geometrijska progresija

Teorijske informacije

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresiji)	Geometrijska progresija b n je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- nazivnik progresije)
Formula ponavljanja	Za svaki prirodni n a n + 1 = a n + d	Za svaki prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-ti član	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristično svojstvo
Zbroj prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Vježba 1

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Po stanju:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .

Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 2

Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. metoda (upotrebom formule n-člana)

Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Jer b 1 = -3,

2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)

Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odgovor: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik .

Stoga:

.

Zamijenimo podatke u formulu:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.

Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:

.

Koji je unutra u ovom slučaju praktičniji za korištenje?

Po uvjetu je poznata formula za n-ti član izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete odmah pronaći a 1, I a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Pronađite član progresije označen s x.

Pri rješavanju ćemo koristiti formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od zadanih članova progresije i podijeliti ga s prethodnim. U našem primjeru, možemo uzeti i podijeliti sa. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n u formulu upisujemo 3 jer je potrebno pronaći treći član zadane geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:

.

Odgovor: .

Zadatak 7

Iz aritmetičke progresije, zadan formulom n-ti pojam, odaberite onaj za koji je uvjet zadovoljen a 27 > 9:

Budući da zadani uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveća vrijednost n za koje vrijedi nejednakost a n > -6.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrimo što je niz brojeva, budući da je to aritmetička progresija poseban slučaj niz brojeva.

Brojevni niz je set brojeva, od kojih svaki element ima svoje serijski broj . Elementi tog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- “n-ti” element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga niz možemo promatrati kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tablice. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, netko se odlučio baviti upravljanjem osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tijekom tjedna. Upisivanjem vremena u tablicu dobit će niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi redak tablice označava broj dana u tjednu, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedjeljak netko proveo 125 minuta na VKontakteu, to jest u četvrtak - 248 minuta, a to jest u petak samo 15.

2 . Niz se može specificirati pomoću formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se izravno u obliku formule.

Na primjer, ako , tada

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa zadanim brojem, zamijenimo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar činimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

Ako npr. , To

Još jednom napominjem da redom, za razliku od proizvoljnog numerička funkcija, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može odrediti pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza broj n o vrijednostima prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvi član ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajući, od latinska riječ ponavljanje- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva.

Aritmetička progresija je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pribrojenom istom broju.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Ako je naslov="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećavajući se.

Na primjer, 2; 5; 8; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je smanjujući se.

Na primjer, 2; -1; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarni.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, a u isto vrijeme

Zbrajanjem ove dvije jednakosti dobivamo:

.

Podijelimo obje strane jednakosti s 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štoviše, budući da

, a u isto vrijeme

, To

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije, počevši s title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da članovi aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće relacije:

i konačno

Dobili smo formula n-tog člana.

VAŽNO! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbroj n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji zbrojevi članova koji su jednako udaljeni od krajnjih međusobno su jednaki:

Razmotrimo aritmetičku progresiju s n članova. Neka zbroj n članova ove progresije bude jednak .

Posložimo uvjete progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim silaznim redoslijedom:

Dodajmo u paru:

Zbroj u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobivamo:

Tako, zbroj n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dan formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Utvrdili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Prema tome, po definiciji, ovaj niz je aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 član progresije.

b) Utvrdite je li broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo da ;

Zapišimo formulu za n-ti član naše progresije.

Općenito

U našem slučaju , Zato

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova se tema često čini složenom i nerazumljivom. Slovni indeksi n-ti pojam progresije, progresijske razlike - sve je to nekako zbunjujuće, da... Shvatimo što znači aritmetička progresija i sve će odmah biti bolje.)

Pojam aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je vrlo jednostavan i jasan koncept. Imate li kakvih nedoumica? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisat ću nedovršeni niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovu seriju? Koji će brojevi doći nakon petice? Svi... uh..., ukratko, svi će shvatiti da će na red doći brojevi 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo zadatak. Dajem vam nedovršeni niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Moći ćete uhvatiti uzorak, proširiti seriju i imenovati sedmi broj reda?

Ako ste shvatili da je ovaj broj 20, čestitamo! Ne samo da ste osjećali ključne točke aritmetičke progresije, ali i uspješno ih iskoristio u poslovanju! Ako niste shvatili, čitajte dalje.

Sada prevedimo ključne točke iz osjeta u matematiku.)

Prva ključna točka.

Aritmetička progresija bavi se nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, crtati grafove i sve to... Ali ovdje produžujemo niz, nalazimo broj niza...

U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Series" i radi posebno s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)

Druga ključna točka.

U aritmetičkoj progresiji svaki broj je različit od prethodnog u istom iznosu.

U prvom primjeru ta je razlika jedan. Koji god broj uzmete, jedan je veći od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri veći od prethodnog. Zapravo, to je trenutak koji nam daje priliku da shvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna točka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali je jako, jako bitan. Evo ga: svaki broj progresije stoji na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti itd. Ako ih nasumično pomiješate, uzorak će nestati. Nestat će i aritmetička progresija. Ono što je ostalo je samo niz brojeva.

To je cijela poanta.

Naravno, u nova tema javljaju se novi termini i oznake. Morate ih poznavati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morat ćete odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Nadahnjujuće?) Slova, neki indeksi... A zadatak, usput, ne može biti jednostavniji. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo svladati ovu materiju i vratiti se zadatku.

Termini i oznake.

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem se svaki broj razlikuje od prethodnog u istom iznosu.

Ova količina se zove . Pogledajmo detaljnije ovaj koncept.

Razlika aritmetičke progresije.

Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.

Jedan važna točka. Molimo obratite pozornost na riječ "više". Matematički, to znači da je svaki broj progresije dodavanjem razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.

Za izračunavanje, recimo drugi brojevi serije, trebate prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je nužna dodati Do Četvrta, dobro, itd.

Razlika aritmetičke progresije Može biti pozitivan, tada će se svaki broj u nizu pokazati stvarnim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući se. Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje se dobiva svaki broj dodavanjem pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan, tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) smanjujući se.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ovdje se također dobiva svaki broj dodavanjem prethodnom, ali već negativan broj, -5.

Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njegovu prirodu - povećava li se ili smanjuje. To uvelike pomaže pri donošenju odluke, uočavanju grešaka i ispravljanju prije nego što bude prekasno.

Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.

Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti od bilo kojeg broja u nizu prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Definirajmo npr. d za povećanje aritmetičke progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzimamo bilo koji broj u nizu koji želimo, na primjer 11. Od njega oduzimamo prethodni broj, oni. 8:

Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.

Možeš uzeti bilo koji broj progresije, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Makar negdje na početku reda, makar u sredini, makar bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Jednostavno zato što je prvi broj nijedan prethodni.)

Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodamo 3 - dobijemo šesti, to će biti 17. Šestom broju dodamo tri, dobijemo sedmi broj - dvadeset.

Idemo definirati d za silaznu aritmetičku progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potrebno s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Odaberite bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji broj.

Ostali pojmovi i oznake.

Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima svoj broj. Brojke su strogo redom, bez trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, dobro, razumijete...) Molimo vas da jasno shvatite - sami brojevi može biti apsolutno bilo što, cijelo, razlomak, negativno, što god, ali numeriranje brojeva- strogo u redu!

Kako napisati progresiju u opći pogled? Nema problema! Svaki broj u nizu napisan je kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije obično se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom dolje desno. Pojmove pišemo odvojene zarezom (ili točkom i zarezom), ovako:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- ovo je prvi broj, a 3- treće itd. Ništa otmjeno. Ovaj niz se može ukratko napisati ovako: (a n).

Progresije se događaju konačno i beskonačno.

Ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali - konačni broj.

Beskonačno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)

Zapiši konačna progresija možete proći kroz niz poput ovog, sve pojmove i točku na kraju:

1, 2, 3, 4, 5.

Ili ovako, ako ima puno članova:

1, 2, ... 14, 15.

U kratka bilješka morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n = 20

Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju retka, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, čisto radi razumijevanja značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka o aritmetičkoj progresiji.

Pogledajmo detaljno gore navedeni zadatak:

1. Ispišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. Dana je beskonačna aritmetička progresija. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Razlika u progresiji je poznata: d = -2,5. Moramo pronaći prvi, treći, četvrti, peti i šesti član ove progresije.

Radi jasnoće, zapisat ću niz prema uvjetima problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + d

Zamjena u izraz a 2 = 5 I d = -2,5. Ne zaboravite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Treći član se pokazao manjim od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, što znači da će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Računamo četvrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, izračunati su termini od trećeg do šestog. Rezultat je sljedeća serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Ostaje pronaći prvi član a 1 prema poznatoj drugoj. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodavati a 2, A oduzeti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je to. Odgovor na zadatak:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Usput bih želio napomenuti da smo ovaj zadatak riješili ponavljajući put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prema prethodnom (susjednom) broju. U nastavku ćemo pogledati druge načine rada s progresijom.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Zapamtiti:

Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član ove progresije.

Sjećaš li se? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje vam rješavanje većine problema školski tečaj na ovu temu. Svi se zadaci vrte okolo tri glavna parametri: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Svi.

Naravno, sva prethodna algebra nije otkazana.) Nejednakosti, jednadžbe i druge stvari pridružene su progresiji. Ali prema samoj progresiji- sve se vrti oko tri parametra.

Kao primjer, pogledajmo neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Treba zapamtiti kako se broje članovi aritmetičke progresije, prebrojati ih i zapisati. Preporučljivo je ne propustiti riječi u uvjetima zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne brojiš dok ne pomodriš skroz.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaje da zapišemo odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Još jedan zadatak:

3. Odrediti hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n), ako a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Tko zna? Kako nešto odrediti?

Kako-kako... Zapišite progresiju u obliku niza pa vidite hoće li tu biti sedmica ili ne! Mi računamo:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je tek sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušao u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član dane progresije.

Odgovor: ne.

Evo problema koji se temelji na stvarna opcija GIA:

4. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15; X; 9; 6; ...

Evo niza napisanog bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Pogledajmo i vidimo što je moguće znati iz ove serije? Koja su tri glavna parametra?

Članski brojevi? Ovdje nema niti jednog broja.

Ali tri su broja i – pozor! - riječ "dosljedan" u stanju. To znači da su brojevi strogo u redu, bez praznina. Ima li dvoje u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzmi od šest prethodni broj, tj. devet:

Ostaju samo sitnice. Koji će broj biti prethodni za X? Petnaest. To znači da se X može lako pronaći jednostavno zbrajanje. Dodajte razliku aritmetičke progresije na 15:

To je sve. Odgovor: x=12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ovi se problemi ne temelje na formulama. Čisto da bismo razumjeli značenje aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva i slova, pogledamo i shvatimo.

5. Pronađite prvu pozitivan izraz aritmetička progresija ako je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog člana.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Pronađite 3.

8. Ispisano je nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Pronađite član progresije označen slovom x.

9. Vlak je krenuo sa stanice, ravnomjerno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovorite u km/sat.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je li sve uspjelo? nevjerojatno! Možete svladati aritmetičku progresiju za više visoka razina, u sljedećim lekcijama.

Nije li sve uspjelo? Nema problema. U Posebnom odjeljku 555, svi su ti problemi raščlanjeni dio po dio.) I, naravno, jednostavan praktična tehnika, koji odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, na prvi pogled!

Inače, u slagalici vlaka postoje dva problema o koja se ljudi često spotiču. Jedan je isključivo u smislu napredovanja, a drugi je opći za bilo kakve probleme iz matematike, pa tako i fizike. Ovo je prijevod dimenzija iz jedne u drugu. Pokazuje kako te probleme treba rješavati.

U ovoj smo lekciji pogledali elementarno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d do brojeva, napiši niz, sve će se riješiti.

Rješenje s prstima dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove reda, kao u primjerima u ovom vodiču. Ako je niz duži, izračuni postaju kompliciraniji. Na primjer, ako u problemu 9 u pitanju zamijenite "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će se znatno pogoršati.)

A postoje i zadaci koji su jednostavni u biti, ali apsurdni u smislu izračuna, na primjer:

Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je 1 =3 i d=1/6.

Pa što, hoćemo li zbrajati 1/6 mnogo, mnogo puta?! Možeš se ubiti!?

Možete.) Ako ne znate jednostavna formula, koji vam omogućuje rješavanje takvih zadataka u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I ovaj problem je tamo riješen. U minuti.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje količine jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodavanje je dosadno.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.

S n - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svatkočlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Točno se zbrajaju svičlanova u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana, ili zbroja petog do dvadesetog člana, izravna primjena formule razočarat će.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.

a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primijeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj zadnjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.

Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Varljivo pitanje: koji će član zadnji ako je dano beskrajan aritmetička progresija?)

Za pouzdan odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku traženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje je svejedno je li zadana progresija: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo te tajne.)

Primjeri zadataka o zbroju aritmetičke progresije.

Kao prvo, korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbroj aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.

Pisci zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili iznos pomoću formule? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj zadnjeg člana? n? Da, tu, pod uvjetom! Kaže: nađi zbroj prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj posljednjeg člana poklapa se s brojem članova.

Ostaje utvrditi a 1 I a 10. To se lako izračuna pomoću formule za n-ti član, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Prisustvujte prethodnoj lekciji, bez ove nema načina.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Sve što ostaje je zamijeniti ih i prebrojati:

To je to. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:

2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2,3. Nađite zbroj njegovih prvih 15 članova.

Odmah napišemo formulu zbroja:

Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Navedimo slične i dobijmo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti član ovdje nije potreban a n. U nekim problemima ova formula je od velike pomoći, da... Možete se sjetiti ove formule. Je li moguće u pravi trenutak lako ga je prikazati, kao ovdje. Uostalom, uvijek morate zapamtiti formulu za zbroj i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Nađi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkasti brojevi, višekratnici tri.

Wow! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće... Kako živjeti!?

Morat ćete misliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Znamo što su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) A zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Za njim će i troznamenkaste...

Višekratnici tri... Hm... Ovo su brojevi djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uvjetima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako izrazu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će vam doći!)

Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojke uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete zapisivati ​​progresiju, cijeli niz brojeva, prstom brojati članove.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Primijenimo li formulu na naš problem, otkrit ćemo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz izjave problema izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamijenimo brojeve u formulu i izračunamo:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularne zagonetke:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Pronađite zbroj članova od dvadesetog do trideset i četvrtog.

Gledamo formulu za iznos i... uzrujavamo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, napisati cijelu progresiju u nizu i dodati članove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju u dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, zbrojimo ga sa zbrojem članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbroj S 20-34 Limenka jednostavno oduzimanje

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uzimaju se u obzir oba iznosa s desne strane iz prvečlan, tj. sasvim primjenjivo na njih standardna formula iznose. Započnimo?

Ekstrahiramo parametre progresije iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun zbroja prvih 19 i prva 34 člana trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih pomoću formule za n-ti član, kao u problemu 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmi zbroj 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Jedan važna nota! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacivanje nepotrebnog iz cjelovitog rezultata. Ova vrsta “finte ušima” često vas spašava u gadnim problemima.)

U ovoj lekciji smo se bavili zadacima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktičan savjet:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema koji uključuje zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti iu kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.

Super?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađite zbroj njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo formula ponavljanja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi se problemi često nalaze u Državnoj akademiji znanosti.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučila sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?

Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Ako za svaki prirodni broj n odgovarati pravi broj a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti pojam sekvence , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

slijed pozitivnih neparni brojevi može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako postoji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja jednako razmaknutih članova te aritmetičke progresije.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako značenja tri navedenih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz tih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 · 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku jednako razmaknutih članova te progresije.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dano geometrijska progresija, zatim količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄