Što znači označiti stupanj polinoma. Značenje riječi polinom

Prema definiciji, polinom je algebarski izraz koji predstavlja zbroj monoma.

Na primjer: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 su polinomi, a izraz z/(x - x*y^2 + 4) nije polinom jer nije zbroj monoma. Polinom se ponekad naziva i polinom, a monomi koji su dio polinoma članovi su polinoma ili monoma.

Složeni koncept polinoma

Ako se polinom sastoji od dva člana, onda se naziva binom, ako se sastoji od tri - trinom. Nazivi četveročlani, peteročlani i drugi se ne koriste, au takvim slučajevima jednostavno kažu polinom. Takvi nazivi, ovisno o broju pojmova, stavljaju sve na svoje mjesto.

I pojam monoma postaje intuitivan. S gledišta matematike, monom je poseban slučaj polinoma. Monom je polinom koji ima samo jedan član.

Kao i monom, polinom ima svoj standardni oblik. Standardni oblik polinoma je takav zapis polinoma u kojem su svi monomi koji u njega ulaze kao članovi napisani u standardnom obliku i zadani slični članovi.

Standardni oblik polinoma

Postupak za dovođenje polinoma u standardni oblik je da se svaki monom dovede u standardni oblik, a zatim se svi takvi monomi zbroje. Zbrajanje sličnih članova polinoma naziva se redukcija sličnih članova.
Na primjer, dajmo slične članove u polinomu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termini 4*a*b^2*c^3 i 6*a*b^2*c^3 ovdje su slični. Zbroj ovih članova bit će monom 10*a*b^2*c^3. Stoga se izvorni polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b može prepisati kao 10*a*b^2*c^3 - a* b . Ovaj unos će biti standardni oblik polinoma.

Iz činjenice da se svaki monom može svesti na standardni oblik, također slijedi da se svaki polinom može svesti na standardni oblik.

Kada se polinom svede na standardni oblik, možemo govoriti o takvom konceptu kao što je stupanj polinoma. Stupanj polinoma je najveći stupanj monoma uključen u dati polinom.
Tako je, na primjer, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 polinom petog stupnja, budući da je najveći stupanj monoma uključen u polinom (5*x^3*y^ 2) je peti.

Pojam polinoma

Definicija polinoma: Polinom je zbroj monoma. Primjer polinoma:

ovdje vidimo zbroj dvaju monoma, a to je polinom, tj. zbroj monoma.

Članovi koji čine polinom nazivaju se članovima polinoma.

Je li razlika monoma polinom? Da, jest, jer se razlika lako svodi na zbroj, npr.: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monomi se također smatraju polinomima. Ali u monomu nema sume, zašto se onda smatra polinomom? I možete mu dodati nulu i dobiti njegov zbroj s nultim monomom. Dakle, monom je poseban slučaj polinoma, sastoji se od jednog člana.

Broj nula je nulti polinom.

Standardni oblik polinoma

Što je polinom standardnog oblika? Polinom je zbroj monoma, a ako su svi ti monomi koji čine polinom napisani u standardnom obliku, osim toga, među njima ne bi trebalo biti sličnih, tada je polinom napisan u standardnom obliku.

Primjer polinoma u standardnom obliku:

ovdje se polinom sastoji od 2 monoma, od kojih svaki ima standardni oblik, među monomima nema sličnih.

Sada primjer polinoma koji nema standardni oblik:

ovdje su dva monoma: 2a i 4a su slični. Trebamo ih zbrojiti, tada će polinom dobiti standardni oblik:

Još jedan primjer:

Je li ovaj polinom sveden na standardni oblik? Ne, njegov drugi član nije napisan u standardnom obliku. Zapisujući ga u standardnom obliku, dobivamo polinom standardnog oblika:

Stupanj polinoma

Što je stupanj polinoma?

Definicija stupnja polinoma:

Stupanj polinoma je najveći stupanj koji imaju monomi koji čine dani polinom standardnog oblika.

Primjer. Koliki je stupanj polinoma 5h? Stupanj polinoma 5h jednak je jedinici jer taj polinom sadrži samo jedan monom i njegov stupanj je jednak jedinici.

Još jedan primjer. Koliki je stupanj polinoma 5a 2 h 3 s 4 +1? Stupanj polinoma 5a 2 h 3 s 4 + 1 je devet, jer ovaj polinom uključuje dva monoma, prvi monom 5a 2 h 3 s 4 ima najveći stupanj, a njegov stupanj je 9.

Još jedan primjer. Koliki je stupanj polinoma 5? Stupanj polinoma 5 je nula. Dakle, stupanj polinoma koji se sastoji samo od broja, tj. bez slova, jednako je nuli.

Zadnji primjer. Koliki je stupanj nultog polinoma, tj. nula? Stupanj nultog polinoma nije definiran.

Nakon proučavanja monoma, prelazimo na polinome. Ovaj članak će vam reći o svim potrebnim informacijama za izvođenje radnji na njima. Definirat ćemo polinom s pripadajućim definicijama polinomskog člana, odnosno slobodnog i sličnog, razmatrati polinom standardnog oblika, uvesti stupanj i naučiti ga pronaći, raditi s njegovim koeficijentima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinom i njegovi članovi - definicije i primjeri

Definicija polinoma bila je potrebna u 7 razreda nakon proučavanja monoma. Pogledajmo njegovu punu definiciju.

Definicija 1

polinom razmatra se zbroj monoma, a sam monom je poseban slučaj polinoma.

Iz definicije proizlazi da primjeri polinoma mogu biti različiti: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z i tako dalje. Iz definicije imamo to 1+x, a 2 + b 2 a izraz x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x su polinomi.

Pogledajmo još neke definicije.

Definicija 2

Članovi polinoma njegovi sastavni monomi nazivaju se.

Razmotrimo ovaj primjer, gdje imamo polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , koji se sastoji od 4 člana: 3 x 4 , − 2 x y , 3 i − y 3. Takav se monom može smatrati polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Definicija 3

Polinomi koji u svom sastavu imaju 2, 3 trinoma imaju odgovarajući naziv - binomni i tročlan.

Iz ovoga slijedi da izraz forme x+y– je binom, a izraz 2 x 3 q − q x x + 7 b je trinom.

Prema školskom planu i programu radili su s linearnim binomom oblika a x + b, gdje su a i b neki brojevi, a x varijabla. Razmotrimo primjere linearnih binoma oblika: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 s primjerima kvadratnih trinoma x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Za transformaciju i rješenje potrebno je pronaći i donijeti slične termine. Na primjer, polinom oblika 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ima slične članove 1 i - 3, 5 x i 2 x. Podijeljeni su u posebnu skupinu koja se naziva sličnim članovima polinoma.

Definicija 4

Slični članovi polinoma su kao članovi u polinomu.

U gornjem primjeru imamo da su 1 i - 3 , 5 x i 2 x slični članovi polinoma ili slični članovi. Kako biste pojednostavili izraz, pronađite i smanjite slične članove.

Polinom standardnog oblika

Svi monomi i polinomi imaju svoja posebna imena.

Definicija 5

Polinom standardnog oblika Naziva se polinom u kojem svaki njegov član ima monom standardnog oblika i ne sadrži slične članove.

Iz definicije je vidljivo da je moguće reducirati polinome standardnog oblika, npr. 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a zapis je u standardnom obliku. Izrazi 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z i 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z nisu polinomi standardnog oblika, budući da prvi od njih ima slične članove u obliku 3 x 2 i − x2, a drugi sadrži monom oblika x · y 3 · x · z 2 , koji se razlikuje od standardnog polinoma.

Ako okolnosti to zahtijevaju, ponekad se polinom reducira na standardni oblik. Koncept slobodnog člana polinoma također se smatra polinomom standardnog oblika.

Definicija 6

Slobodan član polinoma je polinom standardnog oblika bez slovnog dijela.

Drugim riječima, kada zapis polinoma u standardnom obliku ima broj, naziva se slobodnim članom. Tada je broj 5 slobodni član polinoma x 2 · z + 5 , a polinom 7 · a + 4 · a · b + b 3 nema slobodnog člana.

Stupanj polinoma - kako ga pronaći?

Definicija stupnja polinoma temelji se na definiciji polinoma standardnog oblika i na stupnjevima monoma koji su njegove komponente.

Definicija 7

Stupanj polinoma standardnog oblika imenovati najveću od potencija uključenih u njegov zapis.

Pogledajmo primjer. Stupanj polinoma 5 x 3 − 4 jednak je 3, jer monomi koji ulaze u njegov sastav imaju stupnjeve 3 i 0, a najveći od njih je 3. Definicija stupnja iz polinoma 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x jednako je najvećem od brojeva, to jest, 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 i 1 , dakle 5 .

Potrebno je saznati kako se dolazi do same diplome.

Definicija 8

Stupanj polinoma proizvoljnog broja je stupanj odgovarajućeg polinoma u standardnom obliku.

Kada polinom nije napisan u standardnom obliku, ali trebate pronaći njegov stupanj, trebate ga svesti na standardni oblik, a zatim pronaći traženi stupanj.

Primjer 1

Odredite stupanj polinoma 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Odluka

Prvo predstavljamo polinom u standardnom obliku. Dobivamo izraz poput:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Kod dobivanja polinoma standardnog oblika nalazimo da se jasno razlikuju dva od njih - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Da bismo pronašli stupnjeve, izračunamo i dobijemo da je 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4 . Vidi se da je najveći od njih jednak 6. Iz definicije slijedi da je točno 6 stupanj polinoma − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, dakle izvorna vrijednost.

Odgovor: 6 .

Koeficijenti članova polinoma

Definicija 9

Kada su svi članovi polinoma monomi standardnog oblika, tada u tom slučaju imaju ime koeficijenti članova polinoma. Drugim riječima, mogu se nazvati koeficijenti polinoma.

Razmatrajući primjer, vidi se da polinom oblika 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 u svom sastavu ima 4 polinoma: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x i 7 sa svojim odgovarajućim polinomima. koeficijenti 2 , − 0 , 5 , 3 i 7 . Stoga se 2 , − 0 , 5 , 3 i 7 smatraju koeficijentima članova zadanog polinoma oblika 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Prilikom preračunavanja važno je obratiti pozornost na koeficijente ispred varijabli.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ili, strogo, konačni formalni zbroj oblika

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), gdje

Konkretno, polinom u jednoj varijabli je konačni formalni zbroj oblika

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\točke +c_(m)x^(m)), gdje

Uz pomoć polinoma izvode se pojmovi "algebarska jednadžba" i "algebarska funkcija".

Studija i primjena[ | ]

Proučavanje polinomskih jednadžbi i njihovih rješenja bilo je gotovo glavni predmet "klasične algebre".

Niz transformacija u matematici povezan je s proučavanjem polinoma: uvod u razmatranje nule, negativnih, a zatim kompleksnih brojeva, kao i pojava teorije grupa kao grane matematike i izdvajanje klasa posebnih funkcija u analizi.

Tehnička jednostavnost izračunavanja koja uključuju polinome u usporedbi sa složenijim klasama funkcija, kao i činjenica da je skup polinoma gust u prostoru kontinuiranih funkcija na kompaktnim podskupovima euklidskog prostora (vidi Weierstrassov aproksimacijski teorem), pridonijeli su razvoj metoda proširenja nizova i polinomske interpolacije u računici.

Polinomi također igraju ključnu ulogu u algebarskoj geometriji, čiji su objekti skupovi, definirani kao rješenja sustava polinoma.

Posebna svojstva koeficijenata transformacije u množenju polinoma koriste se u algebarskoj geometriji, algebri, teoriji čvorova i drugim granama matematike za kodiranje ili izražavanje polinomima svojstava različitih objekata.

Povezane definicije[ | ]

• Vrsta polinoma c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) nazvao monom ili monom višeindeksni I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\točke ,\,i_(n))).
• Monom koji odgovara multiindeksu I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\točke ,\,0)) nazvao slobodan član.
• Puna diploma(ne-nula) monom c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) zove cijeli broj | ja | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\točke +i_(n)).
• Mnogi multi-indeksi ja, za koje su koeficijenti c I (\displaystyle c_(I)) različit od nule, naziva se polinomski nosač, a njegova konveksna ljuska je Newtonov poliedar.
• Stupanj polinoma je maksimum potencija njegovih monoma. Stupanj identične nule dalje je definiran vrijednošću − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• Polinom koji je zbroj dvaju monoma naziva se binomni ili binomni,
• Polinom koji je zbroj triju monoma naziva se trodijelni.
• Koeficijenti polinoma obično se uzimaju iz određenog komutativnog prstena R (\displaystyle R)(najčešće polja, kao što su polja realnih ili kompleksnih brojeva). U ovom slučaju, s obzirom na operacije zbrajanja i množenja, polinomi tvore prsten (štoviše, asocijativno-komutativnu algebru nad prstenom R (\displaystyle R) bez djelitelja nule) koji je označen R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
• Za polinom p (x) (\displaystyle p(x)) jedna varijabla, rješenje jednadžbe p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) naziva se njegov korijen.

Polinomske funkcije[ | ]

Neka A (\displaystyle A) postoji algebra nad prstenom R (\displaystyle R). Proizvoljni polinom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) definira polinomsku funkciju

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\do A).

Najčešće razmatrani slučaj A = R (\displaystyle A=R).

Ako R (\displaystyle R) je polje realnih ili kompleksnih brojeva (kao i svako drugo polje s beskonačnim brojem elemenata), funkcija f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\do R) potpuno određuje polinom p. Međutim, to općenito nije točno, na primjer: polinomi p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) i p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) iz Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x]) definirati identično jednake funkcije Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\do \mathbb (Z) _(2)).

Polinomna funkcija jedne realne varijable naziva se cijela racionalna funkcija.

Vrste polinoma[ | ]

Svojstva [ | ]

Djeljivost [ | ]

Uloga nesvodljivih polinoma u prstenu polinoma slična je ulozi prostih brojeva u prstenu cijelih brojeva. Na primjer, istinit je teorem: ako je umnožak polinoma pq (\displaystyle pq) djeljiv je nesvodljivim polinomom, dakle str ili q podjeljeno sa λ (\displaystyle \lambda ). Svaki polinom stupnja većeg od nule rastavlja se u zadanom polju na umnožak nesvodljivih faktora na jedinstven način (do faktora nultog stupnja).

Na primjer, polinom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), koji je nesvodiv u polju racionalnih brojeva, rastavlja se na tri faktora u polju realnih brojeva i na četiri faktora u polju kompleksnih brojeva.

Općenito, svaki polinom u jednoj varijabli x (\displaystyle x) rastavlja se u polju realnih brojeva na faktore prvog i drugog stupnja, u polju kompleksnih brojeva - na faktore prvog stupnja (glavni teorem algebre).

Za dvije ili više varijabli to se više ne može tvrditi. Preko bilo kojeg polja za bilo kojeg n > 2 (\displaystyle n>2) postoje polinomi iz n (\displaystyle n) varijable koje se ne mogu svesti u bilo kojem proširenju ovog polja. Takvi se polinomi nazivaju apsolutno nesvodljivim.