Kad čujemo riječ "geometrija", iz dubine našeg sjećanja izranjaju cilindri, trokuti, hipotenuze, simetrale kutova, "pronađi površinu figure", ploče i kreda za lomljenje. Problem je u tome što je sve što nam padne na pamet jezik za opisivanje krajnje uskog skupa pojava u okolnom svijetu. Kuće ponekad mogu biti slične paralelepipedu, ali drveće nisu cilindri, planine nisu stošci, a oblik oblaka nije jasan za usporedbu.

Ako bolje pogledamo, ova školska geometrija (nazvat ćemo je Euklidska) ne opisuje toliko toga u svijetu oko nas. I najvećim dijelom opisuje oblike koje je stvorio čovjek (cijenite kružnu logiku - nije iznenađujuće da se kuća izgrađena pomoću euklidske geometrije može uspješno opisati ovom geometrijom). No, što je s ostatkom svijeta, kako se može opisati oblik stabla ili obris otoka, oblik grude zemlje ili razgranata struktura bronha?

Znanstvenici su to pitanje postavljali već dugo, ali kako nisu našli uvjerljiv odgovor, te su forme zapisali kao “poremećene”, “monstruozne” i “neistražive”. Globalna prekretnica dogodila se tek 1960-ih i 1970-ih godina kada je francuski matematičar Benoit Mandelbrot osmislio i razvio svoju teoriju fraktala. Bila je to nova, fraktalna geometrija, koja je za predmet proučavanja uzela sve neravno, izlomljeno i hrapavo što nas okružuje (dakle, gotovo sve). I Mandelbrot je pronašao svoj nevjerojatan red u složenim oblicima prirode.

Na fotografiji su crvenom bojom označeni oblici opisani fraktalnom geometrijom.
Plavo, opisano euklidskom geometrijom.
Ista podjela vrijedi za par koji je napravio čovjek/koji nije napravio čovjek.

Benoit Mandelbrot (1924. – 2010.)

francuski matematičar. Utemeljitelj fraktalne geometrije. Tijekom rata odlazi iz Francuske u Ameriku i tamo ostaje. Dugo je bio izopćenik i nepriznat u širokim znanstvenim krugovima, no krajem 1970-ih stekao je priznanje i slavu kao jedan od najoriginalnijih matematičara. Godine 1977. objavio je knjigu “Fraktali: Forma, prilika i dimenzija”, a 1982. objavljeno je reizdanje - kultna knjiga “Fraktalna geometrija prirode”. Za IBM je radio 35 godina.

Richard Bentley, britanski znanstvenik iz 17. stoljeća, prvi je put progovorio o tome da ne treba upisivati ​​u nered ono što ne možemo opisati euklidskom geometrijom:

“Sva je ljepota relativna... Ne bismo trebali misliti da su obale oceana iskrivljene i deformirane, jer ne izgledaju kao glatki zid; i ne smijemo misliti da su planine nepravilnog oblika jer nisu pravilne piramide ili stošci; i ne bismo trebali misliti da su zvijezde nespretno postavljene na nebu, budući da su na različitim udaljenostima od nas. To nisu prirodne netočnosti - pojavljuju se samo po našem hiru."

Primjeri fraktalne konstrukcije postrojenja

Mandelbrot kuje izraz "fraktal"

Benoit Mandelbrot, naš glavni lik, izumio je i prvi put upotrijebio pojam "fraktal" (od latinskog fractus - slomljen) nedavno - 1975. Nomen est numen, Mandelbrot podsjeća na latinski izraz: "imenovati znači razumjeti." Od ovog trenutka možemo odbrojavati modernu fraktalnu geometriju.
Približna definicija fraktala je sljedeća: to je samoslična figura (dio je sličan cjelini), čija je fraktalna dimenzija veća od topološke.
Što je fraktalna dimenzija i kako se razlikuje od topološke (ovo je pravilna, euklidska dimenzija, gdje je 0 točka, 1 pravac, 2 ravnina, 3 volumetrijska figura), shvatit ćemo kasnije . Sada nam je jedino važno da je bilo koji dio fraktala sličan cijelom fraktalu kao cjelini. Tako jedna grana na stablu sliči strukturi cijelog stabla, a dio lista paprati nalikuje cijelom listu.
Slični objekti više su se puta pojavljivali u povijesti matematike, ali Mandelbrot je bio taj koji je ujedinio različite događaje u jedan koherentan sustav - teoriju nejednakosti i hrapavosti. Opisala je neki red u oblicima koji su se prije smatrali nesređenima. U obliku oblaka, u strukturi stabla ili obrisu obale, Mandelbrot pronalazi mjerljive parametre - zakone reda u kaosu.

Povijesna digresija: ljubav
na cijele brojeve

Razlog zašto se fraktalna geometrija pojavila tako kasno je, naravno, između ostalog i nedostatak normalne računalne snage sve do 70-ih godina dvadesetog stoljeća. To također može biti zbog povijesnog i gotovo religioznog naslijeđa euklidske geometrije. Ključnim figurama u geometriji od vremena Platona, koji ih je smatrao građevinskim materijalom ovog svijeta, smatralo se pet figura: tetraedar (četiri lica, sl. 1), kocka (šest), oktaedar (osam), dodekaedar (12, sl. 2) i ikosaedar (20). Ostali oblici bili su izvan ravni proučavanja geometrije. U najbolji mogući scenarij smatrali su ih sjenama – netočnim utjelovljenjima idealnih božanskih likova. U najgorem slučaju, jednostavno su odbačeni kao patološki.
Graditelji gotičkih katedrala također su odraze nebeske harmonije tražili u jednostavnim omjerima cijelih brojeva, smatrajući da je “glazba sfera” izuzetno skladna, jer koristi jednostavne proporcije. S takvim pogledom, iracionalne proporcije stabla, na primjer, nisu posjedovale božanski sklad - samo njegove refleksije.
To su posljedice antropocentričnog razmišljanja. Jednostavni glazbeni akordi, ugodni našem uhu, imaju jednostavne proporcije -> to znači da su nebesa izgrađena na tim proporcijama, jer je to odraz najvišeg sklada -> to znači da se sve ostalo mora mjeriti na temelju tih proporcija.
Nažalost, ovi omjeri samo odražavaju strukturu ljudskog uha i psihe. Šum lišća nije kvart, a pjesma slavuja nije izgrađena prema našim specifičnim notama. Mandelbrotovo otkriće bilo je potrebno da pokaže da u razbijenim oblicima prirode postoji mnogo složeniji i zanimljiviji poredak.
Najbliži primjer toga je točno u vašim prsima. Srčani ritam ima jasno fraktalnu strukturu. Imamo odraz ne božanske jednostavnosti i harmonije koju smo sami izmislili, već iskonskog kaosa ovog svemira.

Mandelbrotovo otkriće: beskrajni otoci

Jedno od najranijih otkrića znanstvenika - beskonačna dužina obale bilo kojeg otoka. Točno. Ali kako to može biti, pitamo se? Kakva je ovo glupost? Smirimo se i pogledajmo naše mjerne instrumente, kaže nam naš junak:
Ispada da ako je naše ravnalo dugo 100 m, oko otoka će stati 19 komada, a duljina njegove obale bit će 1900 m. Ako je naše ravnalo dugo 10 m, moći će mjeriti manje depresije i uvale - Na obalu će stati 242 komada, a duljina obale bit će 2420 m. Ako uzmemo ravnalo od 1 mm, možemo izmjeriti svaki kamenčić - duljina obale s ovom izmjerom bit će 5423 m - tri puta prvi vrijednost.

Konvencionalna duga mjerna ravnala
na 100m, 10m i 1mm.

Koja je točna dužina, pitamo? "Ne, duljina obale je beskrajna", ceri se Benoit. Što je naše ravnalo manje, duljina će biti veća. S ravnalom koje teži nuli, duljina linije bit će beskonačna za bilo koji otok, čak i za Cejlon, čak i za maleni otok Sipadan.
Mandelbrot se pitao kako usporediti dva otoka kada je očito da su različiti. I uveo je novu veličinu - fraktalnu dimenziju (u stvari, to je Hausdorffova dimenzija koju je on ponovno promislio).
Fraktalna dimenzija je mjera detalja, lomljenja i neravnina fraktalnog objekta. Dimenzija fraktalnog objekta uvijek je veća od topološke (obične) dimenzije i može biti (najčešće jest) frakcijska.

Druga važna promjena (za mene najvažnija) događa se u našim idejama o tome što su jednostavne stvari, a što složene stvari.

Primjer Peanove krivulje.
Ovdje je redoslijed prolaska kroz kvadrate razina 1-6.

O jednostavnom i složenom u prirodi.
Zašto je paprat jednostavnija od kugle?

U našem svakodnevnom razumijevanju, najjednostavnije stvari izgledaju kao da su one koje je najjednostavnije opisao Euklidska geometrija. Stol je jednostavan. Betonska kocka je još jednostavnija. Čini se da je čelična kugla najutjelovljenija jednostavnost (čak postoji i šala o tome da se “jedna slomila, druga izgubila” u masovna svijest metalna kuglica je nedjeljiv predmet).
Ali onda se zapitajmo zašto je većinu jednostavnih stvari napravio čovjek? Zašto stabla, ribe, gljive ili ljudska pluća nisu pravilne kugle ili kocke?Na kraju krajeva, priroda, idealni optimizator, morala je pronaći najjednostavniji mogući oblik.
Zapravo, oblici žive prirode doista su vrlo jednostavni, samo ih treba pogledati iz sasvim drugog kuta - okrenuti se za 180°.
Kako bismo se potpuno zbunili i zaboravili na naše uobičajene ideje o jednostavnom i složenom, pogledajmo najpoznatiju fraktalnu formu - Mandelbrotov skup. Daje se malom formulom:

Čak i kapi kiše -
ne idealne sfere. Oni čak
ne "u obliku kapljice" - već poput knedli.
Opet smo prevareni
s pinjolima, koji
zapravo sjemenke bora.

Ali ovdje je caka: ako ovu operaciju izvedemo beskonačan broj puta, završit ćemo s beskonačno složenim skupom. Odnosno, dobit ćemo objekt čiji se dijelovi mogu približavati sve bliže i više, imat će sve više i više novih oblika. Svaka točka ovog objekta sadrži cijeli svijet bizarnih oblika, a svaka točka tih svjetova sadrži istu beskonačnost.
Kako se nositi s ovim? Formula ne može biti jednostavnija (zadovoljava našu euklidsku ideju jednostavnosti), a sam objekt je beskrajno složen. Mandelbrot predlaže da se ovo promatra sa strane algoritma, a ne sa strane konačnog objekta (uostalom, on kao takav ne postoji u fraktalu, on je beskonačno konstruiran) - kako bi se opisala ne složenost objekta, već složenost procesa izgradnje.

I onda to ispadne bizarno prirodni oblici krajnje jednostavno. Uzmimo opet paprat - ona raste iz spore u čiju svaku ćeliju treba napisati kakvog oblika treba biti gotova biljka.
Zamislite koliko će duga biti formula za opisivanje konačnog oblika paprati sa svim njezinim prevojima i granama - sa strane oblika, paprat je vrlo složena.
Ali da biste ga izgradili, nije potrebno znati što bi se trebalo dogoditi - dovoljno je znati jednostavan algoritam grananja.
I samo zapišite ovo jednostavno pravilo, s dva markera - sad ga uključite, sad ga isključite.


Nije čak ni stvar u složenosti opisa. Oblik konačne biljke, u principu, nije moguće opisati - podložan je varijacijama, nikad ne znamo točno kako će naša paprat rasti, algoritamski pristup je jedini mogući.
Sa strane opisa algoritma konstrukcije, pokazalo se da je moguće proučavati, opisivati ​​i modelirati (!) oblike planina, bronha, krvožilnog sustava i riječnih zavoja. Forme kojima je prije bilo nemoguće niti pristupiti, zahvaljujući Mandelbrotu, pokazale su se potpuno razumljive.

Kao primjer razumijevanja jednostavnosti/složenosti sa stajališta algoritama Mandelbrot navodi fraktalnu Kochovu krivulju.
Iako izgleda komplicirano, algoritam za njegovu konstrukciju, kako piše Mandelbrot, zapravo je jednostavniji od algoritma za konstrukciju kruga. Sa strane algoritama (sa strane s koje priroda oko nas gleda na tu materiju) ova krivulja je jednostavnijeg oblika.

Kochova krivulja

Analogija sa kulinarski recept. Zamislite da je u kuharici navedeno što sve treba biti u juhi: 234 komada krumpira (i veličine svakog), 134 komada luka (i veličine), 23 komada mesa. Ovako bismo morali opisati konačni oblik paprati. Umjesto toga, opisujemo algoritam - reži, sjeckati, mrviti. I dalje dobivamo juhu, doduše s varijacijama - u jednoj tavi ima 234 komada krumpira, u drugoj 219 komada krumpira. Izračunavanjem algoritma grananja paprati možete dobiti malo drugačije, ali još uvijek paprati.
Knjiga “Rađanje složenosti” vrsnog ruskog biologa Aleksandra Markova, koju toplo preporučam za čitanje, posvećena je tome kako uz pomoć povratnih lanaca i gradijenata koncentracije nastaju zakonitosti razvoja života.

Zaključak

Dosta smo se zadubili u temu fraktalne geometrije – temeljne geometrije žive prirode. Smatrat ću svoj rad uspješno završenim ako se, kad pogledate stablo ispred kuće, sjetite da su stablo i kuća opisani različitim geometrijama. Stablo - odozdo prema gore, geometrija fraktala i algoritmi, opis kako se to radi. Kuća je od vrha do dna, prvo ju je u konačnom obliku nacrtao arhitekt. Ova geometrija opisuje što učiniti, a ne kako.
Što više gledam u to, sve više želim pričati i učiti o fraktalnoj geometriji, o kojoj još uvijek zapravo ništa ne znam, a sada, nadam se, ni vi zapravo ništa ne znate. Uostalom, to je jezik kojim govori živi svijet, zahvaljujući kojem su mi pluća napunjena kisikom, a krvne žile nose krv u ruke.
I što više o tome učim, to mi se ovaj svijet čini kompleksnijim i višestrukim.
U jednoj knjizi o leptirima autor je svoju fascinaciju njima usporedio s dodavanjem nove dimenzije svom životu. Mogu potvrditi da je to istina. Paralelno sa životom gradske ulice po kojoj ljudi tutnjaju, imate dodatnu dimenziju u kojoj onaj tek izlegli glog leti preko krovova automobila do onog stabla oskoruša - da položi jaja na njegovu biljku. Na isti su način dizajneri tipova uronjeni u dimenziju urbanog tipa, a profesionalni električar vjerojatno će vidjeti zasebnu dimenziju u mreži žica koje isprepliću zgradu.
Također, fraktalna geometrija, koju je otkrio Benoit Mandelbrot, dodaje još jednu dimenziju našem svijetu - tipizirane, opisane, složene izlomljene forme koje su prije bile neimenovane i stopljene s okolnom stvarnošću. Sada, imenovani i opisani, odvojili su se od ukupna masa, kako bismo ih mogli vidjeti u punom sjaju. Čuda su tamo gdje pažljivo gledate.
Hvala Mandelbrotu koji nam je otvorio novi, lijepi i pokretljivi svijet fraktala u kojem činimo tek prve korake. Doista, nomen est numen, imenovati znači znati.

P.S

Mora se priznati da euklidska geometrija ne dominira svugdje u svijetu. Ron Eglash, istražujući afričku arhitekturu i običaje, tamo je otkrio veliki iznos prethodno skriveni fraktali. Najprije na očitim mjestima – u uzorcima. Zatim u onim malo manje očitim - u frizurama. A onda u onim posve neočitim - čak iu izgradnji sela otkrio je samosličnost.
Dakle, struktura sela nekih afričkih plemena je krug u kojem se nalaze mali krugovi - kuće, unutar kojih još postoje mali krugovi - kuće duhova.
Mogu pretpostaviti da su to posljedice blizine stanovnika ovih plemena prirodi - usvojili su njezine zakone. Dakle, za stanovnika ovog sela, grana sa drveta, mislim, činit će se više jednostavan objekt nego čelična kugla. "Grana - evo je, otišao sam i slomio je, ali gdje da uzmem loptu i kako da je napravim?" - mogao bi pomisliti.

Neke vrste

fraktalni

organizacije

naselja

Povezani materijali

Benoit Mandelbrot "Fraktalna geometrija prirode"
Prvo što bih odmah preporučio za čitanje je klasična knjiga utemeljitelja fraktalne geometrije, objavljena 1982. godine. I dalje ostaje središnje uvodno djelo u temu.
Težina: ⅘
Potrebna matematička predznanja: iznad prosjeka.

Gleick D. Kaos “Stvaranje nove znanosti”
Još jedna klasična knjiga na tu temu, koja govori kako se nova znanost, teorija kaosa, polako pojavila u 70-ima. Glavni likovi su mladi znanstvenici Lorenz, Feigenbaum, Mandelbrot, zaokupljeni i fascinirani novim svijetom kaosa koji se otvara pred njima. Ovo je knjiga nakon čije sam čitanja shvatio što je efekt leptira koji je otkrio Lorenz i, shodno tome, zašto vremenske prognoze toliko lažu (prognostičari nisu krivi, oni se trude, jaka ovisnost o početni uvjeti). Sjajna knjiga.
Težina: ⅗

FILMOVI
NOVA “Fraktali. Traga za novim dimenzijama"
Nije loše dokumentarac- razgledavanje svijeta fraktala, od Mandelbrotove frizure do antene u vašem mobitelu.
Težina: ⅕
Potrebna matematička predznanja: nije potrebna.

BBC "Tajni kod života"
Trodijelni BBC-jev dokumentarac o matematičkim zakonima našeg svijeta. Zašto su saće heksagonalne (učinkovito popunjavanje prostora) i periodične cvrčci se pojavljuju svakih 17 godina (važno je da je ovo prost broj). Malo o normalna distribucija i o obliku virusa. Ne briljantno, ali gledljivo.
Težina: ⅕

PREDAVANJA
TED govor Benoita Mandelbrota
Veliki majstor fraktala, slično Yodi, godinu dana prije smrti priča kako mu je otkrivena fraktalna geometrija. Postoje ruski titlovi.
Težina: ⅕
Potrebna matematička predznanja: nije potrebna.
Predavanje Rona Eglasha o fraktalima u Africi
Eglash objašnjava kako je otkrio fraktalne strukture u strukturi afričkih sela, plemenskim uzorcima i nacrtima plemićkih palača. Postoje ruski titlovi.
Težina: ⅕
Potrebna matematička predznanja: nije potrebna.

U poglavljima 6 i 7 uveli smo Kochovu i Peano krivulju koristeći geomorfologiju kao pomoć, ali najznačajnije primjene teorije fraktala su u nešto drugačijim područjima. Polako se približavajući glavnim trendovima u znanosti, razmotrit ćemo u ovom poglavlju (iu sljedeća dva) dva pitanja izuzetne starine, važnosti i složenosti.

Raspored zvijezda, galaksija, jata galaksija i sličnih stvari već dugo fascinira i amatere i stručnjake, no grupiranje je još uvijek na periferiji astronomije, pa i astrofizike općenito. glavni razlog je da nitko nije uspio objasniti zašto se distribucija materije pokorava nepravilnim hijerarhijskim zakonima - barem u određeni raspon mjerilo. U mnogim radovima posvećenim ovoj temi spominje se fenomen grupiranja, no u ozbiljnim teorijskim studijama on se obično žurno gura pod tepih, tvrdeći da su galaksije raspoređene prilično uniformno – na ljestvici koja prelazi neki veliki, ali nedefinirani prag. .

Gledajući situaciju iz manje fundamentalne perspektive, možemo reći da nevoljkost suočavanja s nepravilnim proizlazi iz nedostatka alata za to. matematički opis. Od statističara se traži da bira između dvije pretpostavke, od kojih se samo jedna može smatrati temeljito ispitanom (asimptotička homogenost). Je li uopće čudno što su rezultati, blago rečeno, neuvjerljivi?

Pitanja su, međutim, takva da ih je teško odbaciti. Mislim da je apsolutno neophodno - paralelno sa stalnim pokušajima da se objasni grupiranje - pronaći način da se ono opiše i modelira stvarnost čisto geometrijskim sredstvima. Pristupajući ovoj temi iz fraktalne perspektive kroz nekoliko poglavlja ovog eseja, nadamo se da ćemo kroz eksplicitne modele pokazati da dokazi upućuju na stupanj grupiranja koji daleko nadilazi granice koje su mu postavili postojeći modeli.

Ovo poglavlje treba smatrati uvodnim: ovdje ćemo se upoznati s jednom vrlo utjecajnom teorijom o nastanku zvijezda i galaksija koju je predložio Hoyle, s osnovnim formalnim modelom njihove raspodjele, koji dugujemo Fournieru d'Albuu (ovaj model je također poznat kao Charlierov model), i što je najvažnije, važno, dobit ćemo neke empirijske podatke. Pokazat ćemo da se i teorija i podaci mogu tumačiti u smislu koncepta fraktalne prašine nepromjenjive veličine. Inzistiram da Raspodjela galaksija i zvijezda uključuje određenu zonu samosličnosti, unutar koje fraktalna dimenzija zadovoljava nejednakost. Osim toga, teorijski razlozi zašto se može očekivati ​​, i, kao posljedica toga, raspravlja se zašto je promatrana vrijednost .

Obavijest. U 22. poglavlju koristit ćemo se fraktalnim alatima kako bismo poboljšali svoje razumijevanje značenja kozmološkog principa, razmotrit ćemo kako se ono može i treba modificirati i naučiti zašto takva modifikacija nužno zahtijeva slučajnost. Odgodit ćemo raspravu o klasterima unutar poboljšanog modela do poglavlja 22, 23 i 32 do 35.

MOŽE LI SE GOVORITI O GLOBALNOMgustoćaVAŽNO?

Započnimo tako da pobliže pogledamo koncept globalne gustoće materije. Kao i u slučaju obala, i ovdje sve na prvi pogled izgleda vrlo jednostavno, no u stvarnosti se vrlo brzo – i vrlo zanimljivo – zabuni. Da bi se odredila i izmjerila gustoća, polazi se od mase koncentrirane unutar sfere polumjera sa središtem koje se podudara sa središtem Zemlje. Ovo procjenjuje približnu gustoću, definiranu kao

.

Nakon toga vrijednost teži beskonačnosti, a globalna gustoća se definira kao granica do koje u tom slučaju približna gustoća konvergira.

Međutim, konvergira li globalna gustoća nužno u pozitivnu i konačna granica? Ako je tako, onda brzina takve konvergencije ostavlja mnogo za poželjeti, i to je blago rečeno. Štoviše, procjene maksimalne gustoće, kada se razmatraju u vremenskoj perspektivi, ponašaju se prilično čudno. Kako se teleskopska dubina svemira povećavala, približna gustoća se smanjivala na iznenađujuće sustavan način. Prema de Vaucouleursu, uvijek je bilo smanjenja. Promatrani indeks je manji od 3 – u najboljoj aproksimaciji.

De Vaucouleurs je iznio tezu da ponašanje približne vrijednosti gustoće odražava stvarnost, što znači da . Ova formula podsjeća na klasičan rezultat za loptu polumjera ugrađenu u euklidski prostor dimenzija - volumen takve lopte. U 6. poglavlju naišli smo na istu formulu za Kochovu krivulju, s jedinom razlikom što tamo pokazatelj nije bila euklidska dimenzija, već frakcijska fraktalna dimenzija. A u 8. poglavlju dobili smo formulu za Cantorovo piće na vremenskoj osi (ovdje).

Svi ti presedani prisiljavaju (i to vrlo uporno) na pretpostavku da de Vaucouleursov eksponent nije ništa više od fraktalne dimenzije.

JESU LI ZVIJEZDE U PODRUČJU INVARIJANTNOSTI MJERILA?

Očito, raspon invarijantnosti mjerila u kojem je nejednakost zadovoljena ne bi trebao uključivati ​​objekte s eksplicitno definiranim granicama - poput planeta. Ali jesu li zvijezde uključene u to? Prema podacima dobivenim od strane Webbicka i predstavljenim u, masa Mliječne staze unutar radus sfere može se prilično prikazati u obliku , gdje je vrijednost ekstrapolirana iz galaksija. Mi ćemo, međutim, nastaviti našu raspravu isključivo u galaktičkim terminima.

IMA LI RASPON INVARIJANTNOSTI LJESTILA GORNJI PRAG?

Pitanje koliko se daleko prema vrlo velikim skalama proteže raspon unutar kojeg se proteže vrlo je kontroverzno i ​​nedavno je ponovno dobilo pozornost. Mnogi autori izričito navode ili impliciraju da ovaj raspon dopušta postojanje vanjske granice koja odgovara veličini klastera galaksija. Drugi autori izražavaju svoje neslaganje s ovim mišljenjem. De Vaucouleurs tvrdi da je “skupljanje galaksija, a možda i svih drugih oblika materije, dominantna značajka strukture Svemira na svim vidljivim skalama, bez naznaka bilo kakve aproksimacije homogenosti; prosječna gustoća materije postojano pada kako se veći volumeni prostora uzimaju u obzir, i nemamo eksperimentalno potvrđenog razloga vjerovati da se ta tendencija ne proteže na puno veće udaljenosti i niže gustoće.”

Rasprava između ove dvije škole svakako je vrlo zanimljiva i važna - za kozmologiju, ali ne i za naš esej. Čak i ako raspon u kojem , ima granice s obje strane, samo njegovo postojanje dovoljno je značajno da opravda najpažljivije proučavanje.

U svakom slučaju, čini se da Svemir (baš kao ono klupko konca o kojem smo govorili u 6. poglavlju) ima niz različitih učinkovitih dimenzija. Ako počnemo s mjerilima reda radijusa Zemlje, tada će prva dimenzija koju ćemo susresti biti 3 (ovo je dimenzija čvrste tvari s jasnom granicom). Nadalje, dimenzija pada na 0 (budući da se materija smatra skupom izoliranih točaka). Slijedi vrlo zanimljiv odjeljak, karakteriziran određenom netrivijalnom dimenzijom koja zadovoljava nejednakost. Ako se klasteriranje nepromjenjivo na skali nastavi do beskonačnosti, tada niz efektivnih dimenzija završava na ovoj posljednjoj vrijednosti. Ako postoji konačni vanjski prag, tada se listi dodaje četvrti interval dimenzija, unutar kojeg točke gube svoju individualnost, a na rukama imamo homogeni plin, tj. dimenzija se ponovno vraća na 3.

Najnaivnija ideja je da su galaksije raspoređene u svemiru približno ravnomjerno. U ovom slučaju slijed dimenzija D reducira se na tri vrijednosti: 3, 0 i ponovno 3.

< Opća teorija relativnost kaže da u nedostatku materije lokalna geometrija prostora teži postati ravna i euklidska, dok je prisutnost materije čini lokalno riemannovskom. Ovdje možemo govoriti o globalno ravnom Svemiru, čija je dimenzija 3 s lokalnim vrijednostima. Ova vrsta poremećaja opisana je u prilično nejasnom djelu, čiji autor daje (str. 312) primjer konstruiranja Kochove krivulje (vidi Poglavlje 6), ne pozivajući se na samog Kocha.

FOURNIEROV SVEMIR

Sve što trebamo učiniti je konstruirati fraktal koji zadovoljava pravilo i vidjeti kako se slaže s općeprihvaćenim pogledima na Svemir. Prvi detaljan model ove vrste predložio je E. E. Fournier d'Albom (vidi Poglavlje 40). Iako je Fournierova knjiga uglavnom fikcija prerušena u znanstveno istraživanje, ona sadrži nekoliko iznimno zanimljivih razmatranja o kojima ćemo uskoro raspravljati. Prvo, čini se da mi, trebali bismo opisati strukturu koju je predložio Fournier.

Počinjemo konstrukciju s pravilnim oktaedrom, čija je projekcija prikazana u središtu sl. 141. Projekcija prikazuje četiri kuta kvadrata čija je dijagonala 12 "jedinica" i središte tog kvadrata. Međutim, oktaedar ima još dvije točke iznad i ispod naše ravnine na okomici povučenoj kroz središte kvadrata, na istoj udaljenosti od 6 "jedinica" od ovog središta.

Zatim je svaka točka zamijenjena loptom radijusa 1, koju ćemo smatrati "zvjezdanim agregatom nulti red" Najmanja kuglica koja sadrži svih 7 originalnih kuglica nazvat će se "zvjezdani agregat prvog reda". Agregat drugog reda dobiva se povećanjem agregata prvog reda za faktor i zamjenom svake od novih kuglica polumjera 7 kopijom agregata prvog reda. Slično tome, agregat trećeg reda dobiva se povećanjem agregata drugog reda za faktor i zamjenom svake od kuglica kopijom agregata drugog reda. I tako dalje.

Ukratko, pri prijelazu između susjednih redova združivanja, i broj točaka i radijus kuglica povećavaju se za faktor. Posljedično, za bilo koju vrijednost koja je radijus bilo kojeg agregata, funkcija koja određuje broj točaka sadržanih u lopti radijusa ima oblik . Za posredna funkcija poprima manje vrijednosti (dostiže ), međutim, prema općem trendu, .

Također je moguće interpolirati agregate nultog reda u uzastopnim koracima u agregate reda -1, -2, itd. U prvoj fazi zamjenjujemo svaki agregat nultog reda kopijom agregata prvog reda, smanjenom za omjer 1/7, i tako dalje. Ovom konstrukcijom relacija ostaje istinita za sve manje vrijednosti. Nakon beskonačne ekstra- i interpolacije, dobivamo sebi sličan skup dimenzija .

Osim toga, dimenzija objekta u 3-prostoru ne obvezuje ga nužno da bude ravna linija ili bilo koja druga krivulja koja se može ispraviti. On čak i ne mora biti suvisli. Svaka dimenzija je kompatibilna s bilo kojom manjom ili jednakom topološkom dimenzijom. Konkretno, topološka dimenzija Fournierovog svemira, beskonačnog u oba smjera, jednaka je 0, budući da je potpuno nepovezana "prašina".

DISTRIBUCIJA MASE: FRAKTALNA HOMOGENENOST

Korak od geometrije do raspodjele mase čini mi se najjasnijim mogućim. Ako je svaki zvjezdani agregat nultog reda opterećen jediničnom masom, tada je masa unutar lopte radijusa identična vrijednosti , i stoga . Štoviše, da bi se iz agregata nultog reda dobili agregati reda -1, potrebno je razbiti kuglicu koju smo smatrali homogenom i otkriti da se sastoji od sedam manjih kuglica. U ovoj fazi, pravilo vrijedi i za polumjere manje od jedinice.

Uzimajući u obzir dobivenu raspodjelu mase po cijelom 3-prostoru, vidimo da je ona izrazito nehomogena, iako joj na Fournierovom fraktalu nema ravne u homogenosti. (Prisjetite se slike 120.) Konkretno, svaka dva geometrijski identična dijela Fournierovog svemira sadrže iste mase. Predlažem da ovu distribuciju mase nazovemo fraktalno homogenom.

< Предыдущее определение сформулировано в терминах масштабно-инвариантных фракталов, но концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире. Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна хаусдорфова мера в размерности . Фрактальная гомогенность требует, чтобы масса, содержащаяся в множестве, была пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества.

FOURNIEROV SVEMIR JE KAO CANTOROVA PRAŠINA. PROŠIRENJE D0

Nadam se da čitatelja nije zbunila neoprezna uporaba fraktalne terminologije u početni odsjeci ovo poglavlje. Očito je da je Fournier, a da toga nije ni bio svjestan, slijedio put paralelan onom svog suvremenika Cantora. Glavna razlika je u tome što je Fournierova konstrukcija ugrađena u prostor, a ne u interval na liniji. Da bi se sličnost dodatno pojačala, dovoljno je kuglaste Fournierove agregate zamijeniti blokovima (ispunjenim kockama). Svaki agregat nultog reda postaje blok čija je duljina stranice 1 i uključuje 7 manjih agregata sa stranicom 1/7: središte jednog od njih poklapa se sa središtem izvorne kocke, a ostalih šest dodiruje središnju podkocku -kvadrati na plohama originalne kocke.

U nastavku ćemo pogledati kako je Fournier izvukao značenje iz temeljnog fizičkog fenomena i kako je Hoyle došao do istog rezultata. S geometrijskog gledišta, slučaj je poseban, iako se kroz cijelu konstrukciju držimo oblika i vrijednosti oktaedra. Budući da se kuglice ne preklapaju jedna s drugom, vrijednost može imati bilo koju vrijednost u rasponu od 3 do beskonačno, što rezultira zakonom gdje u cijelom intervalu od 0 do .

CHARLIEROV MODEL I DRUGI FRAKTALNI SVEMIR

Navedene konstrukcije nisu zaobišle ​​niti jedan nedostatak karakterističn za prve fraktalne modele. Ono što je najupečatljivije je da je Fournierov model, poput modela Kochove krivulje u 6. poglavlju i Cantorovog modela prašine u 8. poglavlju, groteskno točan. Kako bi ispravio situaciju, Charlier je predložio da se omogući prelazak s jedne hijerarhijske razine na drugu, uzimajući vrijednosti i .

Charlierov ugled u znanstvenim krugovima bio je toliki da se, usprkos svim njegovim velikodušnim pohvalama o Fournieru, izraženim na svim vodećim jezicima znanosti toga vremena, čak i izvorni model ubrzo počeo pripisivati ​​slavnom tumaču, a ne nepoznati autor. O novom se modelu u to vrijeme naveliko raspravljalo, osobito u . Štoviše, privukla je pozornost vrlo utjecajnog Emilea Borela, čiji su komentari vrlo pronicljivi, iako pomalo suhoparni. No, od tada, osim nekoliko bjesomučnih pokušaja da se iznese na vidjelo, Charlierov model je u zaboravu (ne baš uvjerljivi razlozi za takav zaborav navedeni su u, str. 20-22 i 408-409). Međutim, ona tvrdoglavo odbija umrijeti. Glavna ideja da danas je već mnogo puta otkriven od strane različitih istraživača neovisno jedni o drugima, posebno preporučam pogledati. (Također vidi odjeljak PAULA LEVYA u 40. poglavlju.) Ono što smatram najvažnijim jest da je fraktalna osnova Fournierovog svemira implicitna u raspravi o turbulencijama i galaksijama u radu (vidi Poglavlje 10) i u modelu galaktičkog geneza, koju je predložio Hoyle (razmotrit ćemo je u nastavku).

Glavna fraktalna komponenta također je prisutna u mojim modelima (vidi poglavlja 32 do 35).

U tom svjetlu, postavlja se pitanje: ne bi li uzorak distribucije galaksije mogao biti fraktal s jednim ili dva praga? Mislim da ne. Ako se slažemo da distribucija mora biti nepromjenjiva u mjerilu (razlozi za to navedeni su u poglavlju 11), i da skup na kojem je koncentrirana materija nije standardni skup u mjerilu, nemamo izbora nego prihvatiti fraktalnost ovog skupa .

S obzirom na važnost nepromjenjivosti razmjera, nije teško razumjeti zašto je Charlierova generalizacija Fournierovog modela bez razmjera od samog početka bila osuđena na propast.< Оно, кстати, позволяет величине variraju ovisno o tome unutar dvije granice i . Evo još jedne teme za raspravu: efektivna dimenzija ne mora imati samo jednu vrijednost, ta vrijednost može lebdjeti između gornje i donje granice. Ovoj temi ćemo se vratiti u 15. poglavlju.

ZAŠTO JE FOURNIER OČEKIVAOD= 1?

Raspravimo sada vrlo impresivnu argumentaciju koja je dovela Fourniera do zaključka da bi indikator trebao biti jednak 1 (vidi, str. 103). Ovaj argument sam po sebi je ozbiljan argument u prilog tome da se ime njegovog autora ne zaboravi.

Razmotrimo galaktički agregat proizvoljnog reda s masom i radijusom. Odbacujući besplodne sumnje i primjenjujući formulu za objekte sa sfernom simetrijom na ovaj slučaj, pretpostavimo da je gravitacijski potencijal na površini sfere jednak ( - gravitacijska konstanta). Zvijezda koja pada na naš svemir sudara se s njegovom površinom velikom brzinom .

Prema Fournieru, vrlo važan zaključak može se izvući iz činjenice da se nijedna vidljiva zvijezda ne kreće brzinom većom od 1/300 brzine svjetlosti. Masa sadržana unutar svjetske lopte povećava se izravno proporcionalno njezinom polumjeru, a ne volumenu, ili, drugim riječima, gustoća materije unutar svjetske lopte obrnuto je proporcionalna njezinoj površini... Objasnimo posljednje tvrdnja - potencijal na površini kugle je uvijek isti, jer je izravno proporcionalan masi materije unutar kugle i obrnuto proporcionalan udaljenosti od središta. Kao posljedica toga, brzine zvijezda bliske brzini svjetlosti nisu uobičajene ni u jednom dijelu Svemira.

REZANJE NA HOYLE; TRAPERICE KRITERIJ

Hijerarhijska distribucija također se pojavljuje u Hoyleovoj teoriji (vidi), prema kojoj galaksije i zvijezde nastaju kroz kaskadni proces, a taj proces počinje s homogenim plinom.

Razmotrimo plinski oblak mase, zagrijane na temperaturu i raspoređene jednolike gustoće unutar lopte radijusa. Kao što je Gine pokazao, kada nastaje “kritična” situacija. (Ovdje je Boltzmannova konstanta, a je numerički koeficijent.) Budući da je u kritičnom stanju, primarni oblak plina je nestabilan i mora se neizbježno smanjiti.

Hoyle pretpostavlja da (a) magnituda doseže kritičnu vrijednost negdje na samom početku, (b) kompresija prestaje kada se volumen plinskog oblaka smanji na 1/25 izvornog volumena, i (c) svaki oblak u ovoj fazi raspada se u pet manjih oblaka istih veličina, masa i radijusa. To jest, proces se vraća na isto mjesto gdje je i započeo: njegov rezultat je nestabilno stanje, nakon čega slijedi drugi stupanj kompresije i odvajanja, zatim treći, itd. Urušavanje prestaje tek kada oblaci postanu toliko neprozirni da zadržavaju nastali Kada je plin komprimiran, unutra je toplina.

Kao iu raznim drugim područjima u kojima se javljaju slični kaskadni procesi, predlažem da se na ovaj slučaj primijeni opća terminologija, odnosno pet oblaka ćemo nazvati skutom, a sam kaskadni proces - sirenjem. Kao što sam spomenuo prilikom uvođenja prošlog pojma, jednostavno nisam mogao odoljeti aluzijama na galaksije.

Radi lakšeg grafičkog prikaza svog modela, Fournier uvodi , dok Hoyle tvrdi da je vrijednost fizički opravdana. Detaljnost Fournierove geometrijske ilustracije nadilazi sve razumne ili nužne granice. Hoyleove izjave o prostornoj strukturi skute, naprotiv, prilično su nejasne. Za detaljnu implementaciju Hoyleovog modela morat ćemo pričekati do 23. poglavlja, gdje se bavimo nasumičnim presavijanjem. Bilo kako bilo, spomenuta odstupanja nisu od suštinske važnosti: glavna je činjenica da, tj. indikator mora postati sastavni dio naše konstrukcije ako želimo da sirenje završi u istom stanju iz kojeg je i počelo , - i naime, nestabilnost Jeansa.

Osim toga, ako se trajanje prve faze uzme kao 1, tada će, prema podacima plinodinamike, trajanje te faze biti . Posljedično, ukupno trajanje cijelog procesa, koji se sastoji od beskonačnog broja faza, ne prelazi 1,2500.

EKVIVALENTNOST FOURNIEROVA I HOYLEOVA PRISTUPA ZAKLJUČIVANJUD= 1

Na granici nestabilnog oblaka plina koji zadovoljava Jeansov kriterij, brzina i temperatura su povezane relacijom jer su jednake i (Fournier) i (Gene). Prisjetimo se sada toga u statistička termodinamika Temperatura plina izravno je proporcionalna srednjoj kvadratnoj brzini njegovih molekula. To znači da iz kombinacije Fournierovih i Jeansovih kriterija možemo pretpostaviti da je na granici oblaka brzina pada makroskopskog objekta izravno proporcionalna Prosječna brzina njegove molekule. Pažljiva analiza uloge temperature u Jeansovom kriteriju zasigurno će pokazati da su ova dva kriterija ekvivalentna.< Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в .

ZAŠTOD= 1,23, A NED= 1?

Neusklađenost između empirijski značaj a teorijske implikacije Fourniera i Hoylea otvaraju važno pitanje. P. J. E. Peebles ispitao ju je 1974. iz perspektive teorije relativnosti. U njegovom radu iscrpno su obrađeni fizički i statistički (ali ne i geometrijski) aspekti spomenute problematike.

FRAKTALNA DIMENZIJA NEBA

Nebo je projekcija Svemira. Da bi se dobila ova projekcija, svaka se točka Svemira prvo opiše sfernim koordinatama , i , a zatim se koordinata zamijeni s 1. Ako je Svemir fraktal s dimenzijom , a ishodište referentnog sustava pripada upravo tom Svemiru ( vidi poglavlje 22), tada je struktura projekcije, u pravilu, definirana sljedećom alternativom: implicira da projekcija pokriva neko nenulto područje neba, dok znači da sama projekcija ima fraktalnu dimenziju .< Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1».

NAPOMENA O UČINKU GOREĆEG NEBA (NEISPRAVNO ZVAN OLBERSOV PARADOKS)

Pravilo iz prethodnog odjeljka ima mnogo veze s motivacijom koja je navela razne istraživače (uključujući Fourniera) da otkriju vlastite verzije fraktalnog svemira. Shvatili su da takvi svemiri geometrijski “poništavaju” efekt gorućeg neba, što se također često (ali netočno) naziva Olbersovim paradoksom. Ako pretpostavimo da raspodjela nebeska tijela jednoliko (tj. na svim skalama), tada bi nebo iznad nas trebalo biti gotovo jednoliko osvijetljeno i noću i danju, a svjetlina ovog osvjetljenja trebala bi biti usporediva sa sunčevom.

Ovaj paradoks više ne zanima fizičare, budući da je poništen teorijom relativnosti, teorijom svemira koji se širi i drugim razmatranjima. Međutim, njegova smrt imala je zanimljivu nuspojavu: brojni komentatori počeli su citirati svoja omiljena objašnjenja za efekt blistavog neba - neki u nadi da će opravdati svoj prijezir prema grupiranju, dok su drugi, naprotiv, potpuno poricali njegovu stvarnost. Vrlo čudno gledište, moram reći. Čak i ako pretpostavimo da grupiranje galaksija nema nikakve veze s odsutnošću efekta gorućeg neba, ono ipak postoji - i zahtijeva odgovarajuće proučavanje. Štoviše, kao što ćemo vidjeti u 32. poglavlju, koncept svemira koji se širi kompatibilan je ne samo sa standardnom homogenošću, već i s fraktalnom homogenošću.

Učinak plamtećeg neba objašnjava se vrlo jednostavno. Budući da je količina svjetlosti koju emitira zvijezda izravno proporcionalna njenoj površini, količina svjetlosti koja dopire do promatrača koji se nalazi na udaljenosti od zvijezde mora biti , ali vidljiva površina zvijezde također mora biti . Dakle, omjer količine svjetlosti i prividnog sfernog kuta ne ovisi o . Osim toga, ako je raspodjela zvijezda u svemiru ujednačena, tada ćete gotovo u svakom smjeru u kojem pogledate prije ili kasnije naići na neku zvijezdu. Posljedično, nebo je ravnomjerno osvijetljeno svjetlošću zvijezda i djeluje blistavo. (Mjesečev disk u ovom slučaju tvori isključivo tamno područje - barem u odsutnosti atmosferske difuzije.)

Ako pretpostavimo da je Svemir fraktalan i da mu je dimenzija , tada se paradoks rješava sam od sebe. U ovom slučaju, projekcija Svemira na nebeski svod je fraktalni skup iste dimenzije, tj. skup nulte površine. Čak i ako zvijezde imaju radijus različit od nule, većina smjerova ide u beskraj, a da na svom putu ne sretne ni jednu zvijezdu. Ako pogledamo u tim smjerovima, vidjet ćemo samo crninu noćnog neba. Ako interval u kojem , slijedi interval u kojem , tada pozadina neba neće biti striktno crna, već izrazito slabo osvijetljena.

Kepler je skrenuo pozornost na učinak gorućeg neba ubrzo nakon što je Galileo, u svojoj "Zvjezdanoj poruci", pozitivno govorio o ideji neograničenog svemira. U svom “Razgovoru sa zvjezdanim glasnikom” (1610.), Kepler je iznio sljedeći prigovor: “Uopće ne oklijevate izjaviti da je više od 10 000 zvijezda vidljivo... Ako je to tako, i ako [zvijezde ] su iste prirode kao naše Sunce, zašto onda sva ta sunca zajedno ne premašuju naše Sunce u svjetlini?... Možda su zasjenjena eterom? Ni u najmanjoj mjeri... Apsolutno je očito da naš svijet ni na koji način ne može pripadati neurednom roju bezbrojnih drugih svjetova” (vidi, str. 34-35).

Zaključak je bio prilično kontroverzan, ali argumentacija nije zaboravljena - dokaz za to je opaska Edmunda Halleya (koju je iznio 1720.): “Čuo sam za još jedan prigovor, koji kaže da kad bi broj fiksnih zvijezda bio veći od konačan, tada bi cijeli luk njihove vidljive sfere bio potpuno osvijetljen.” O tom su prigovoru kasnije raspravljali de Chezo i I. G. Lambert, ali je njegovo autorstvo pripisano Gaussovom velikom prijatelju, njemačkom astronomu Olbersu. Izraz "Olbersov paradoks", koji se od tada koristi za opisivanje ove kontradikcije, skandalozan je, ali simptomatičan. Rezultati promatranja koji spadaju u kategoriju “ne podliježu klasifikaciji” (vidi str. 51) često se pripisuju prvom predstavniku Službene većine, koji će ih okititi potpuno klasificiranim omotom, makar i privremenim. Rasprava o temi u povijesnoj perspektivi može se pronaći u.

NAPOMENA O NEWTONSKOJ GRAVITACIJI

Velečasni Bentley nastavio je gnjaviti Newtona s jednim opažanjem usko povezanim s efektom gorućeg neba: ako je raspodjela zvijezda jednolika, onda je sila kojom one djeluju jedna na drugu beskonačna. Možemo dodati da je njihov gravitacijski potencijal također beskonačan. I da će svaka distribucija u kojoj , općenito dati beskonačni potencijal u svim slučajevima osim . Moderna teorija potencijala (Frostmanova teorija) potvrđuje činjenicu da postoji neka posebna veza između Newtonove gravitacije i vrijednosti. Pokazatelj koji su dobili Fournier i Hoyle također treba pripisati manifestacijama ove veze.< Положение Фурнье о том, что «гравитационный потенциал на поверхности сферы всегда одинаков», является центральным в moderna teorija potencijal. " Kvadrat omjera brzina koji je postulirao Fournier nalazi se točno u sredini spomenutog intervala.

AGLUTINIRANI FRAKTALNI SVEMIR?

Mnogi istraživači vjeruju da se nastanak zvijezda i drugih nebeskih tijela može objasniti uzlaznom kaskadom (tj. postupnom aglutinacijom visoko raspršenih čestica prašine u sve veće komade), ne želeći čuti ništa o silaznoj kaskadi a 1a Hoyle (tj. , postupno usitnjavanje vrlo velikih i raspršenih masa na sve manje dijelove).

Slična se alternativa pojavljuje u vezi s kaskadama postuliranim u teoriji turbulencije (vidi Poglavlje 10). Richardsonova kaskada nastavlja prema dolje do sve manjih vrtloga, ali uzlazne kaskade također mogu sudjelovati u procesu (vidi Poglavlje 40, odjeljak LEWIS FRY RICHARDSON). Stoga se nadamo da će odnos između silaznih i uzlaznih kaskada uskoro biti ispravno objašnjen.

FRAKTALNI NIZOVI TELESKOPA

Teško da može postojati prikladniji završni detalj ove rasprave od primjedbe o instrumentima kojima se promatraju galaksije. Kako bi poboljšao kvalitetu promatranja, Dyson predlaže zamjenu velikih pojedinačnih teleskopa s nizom malih teleskopa. Promjer svakog od malih teleskopa trebao bi biti oko 0,1 m (veličina najmanjeg optički značajnog atmosferskog poremećaja), njihovi centri trebali bi činiti fraktalni hijerarhijski uzorak, a vezu između teleskopa osiguravat će Curryjev interferometar. Gruba analiza dovodi do zaključka da 2/3 treba uzeti kao odgovarajuću vrijednost za dimenziju. Evo Dysonovog vlastitog zaključka: “Tri kilometra niz od 1024 teleskopa od deset centimetara međusobno povezanih s 1023 interferometra nije najpraktičniji prijedlog danas. [Iznio sam to] kao teoretsku ideju da pokažem što bi se, u načelu, ovdje moglo učiniti.”

OSVRT NA SLUČAJNE FRAKTALNE MODELE GOTOVA GALAKSIJA

Ako vjerujemo da možemo učinkovito opisati distribuciju galaksija korištenjem nasumično otkrivenih fraktalnih uzoraka koji nisu ni složeni ni univerzalni, ne bismo trebali biti iznenađeni što nam namjerno fraktalni slučajni uzorci mogu dati mnogo učinkovitije opise. Za početak, možemo puno bolje razumjeti Hoyleovo presavijanje razmatrajući ga u njegovom odgovarajućem okruženju, to jest među nasumičnim fraktalima (vidi Poglavlje 23). Od još većeg su značaja, po mom mišljenju, nasumični modeli koje sam razvio, a o kojima ćemo raspravljati u poglavljima od 32 do 35. Jedan od argumenata u korist razmatranja višestrukih modela je da poboljšanje kvalitete opisa dolazi po cijenu povećanja složenost. Drugi argument je da je svaki model izgrađen na posebnoj fraktalnoj prašini, od kojih svaki zaslužuje posebno razmatranje. Razmotrimo ukratko te modele logičkim redoslijedom.

Otprilike 1965. krenuo sam dati odnos s odgovarajućim modelom u kojem bi "središte svemira" bilo odsutno kao koncept. Prvo sam postigao ovaj cilj pomoću modela slučajnog hoda opisanog u 32. poglavlju. Zatim sam, kao alternativu, razvio model trem, čija je suština bila da je izrezan određeni skup međusobno neovisnih i nasumično postavljenih tremova slučajnog radijusa prostora, a gornja granica polumjera može doseći gornji prag, koji može biti konačan ili beskonačan.

Budući da su oba modela odabrana isključivo zbog formalne jednostavnosti, bio sam ugodno iznenađen njihovom prediktivnom vrijednošću. Pokazalo se da se moje teorijske korelacijske funkcije dobro slažu s funkcijama prilagođenim krivuljima koje je dao Peebles (vidi, str. 243-249).< Точнее, два моих приближения совпали на двухточечной корреляции, случайные блуждания дали хорошую трех- и плохую четырехточечную корреляции, а сферические тремы оказались на высоте во всех известных корреляциях.

Nažalost, primjeri generirani ovim modelima izgledaju potpuno nerealno. Koristeći koncept koji sam razvio posebno za ovu svrhu, o kojem ću raspravljati u 35. poglavlju, moji rani modeli pokazuju neprihvatljiva lakunarna svojstva. U slučaju modela trem ovaj se nedostatak može ispraviti uvođenjem složenijih oblika trema. Za model slučajnog hoda koristio sam manje lakunarni "podređeni".

Stoga je proučavanje klastera galaksija značajno potaknulo razvoj fraktalne geometrije. Trenutno se raspon primjena fraktalne geometrije u proučavanju klastera galaksija značajno proširio, daleko nadilazeći opseg općeg čišćenja i otklanjanja pogrešaka koje smo poduzeli u ovom poglavlju.

BRUŽITE DIJAMANTE KAO ZVIJEZDE

Rasprostranjenost nalazišta dijamanata u Zemljina kora vrlo sličan rasporedu zvijezda i galaksija na nebeski svod. Zamislite veliku kartu svijeta na kojoj je svaki rudnik dijamanata, svako bogato nalazište - koje se sada razvija ili je već napušteno - označeno pribadačom. Pogledamo li kartu s dovoljno velike udaljenosti, vidjet ćemo da je raspodjela čunjeva izrazito neravnomjerna. Postoji nekoliko izoliranih pribadača razbacanih tu i tamo, ali većina je koncentrirana u nekoliko blagoslovljenih (ili prokletih) područja. Površina zemlje unutar ovih područja, pak, nije nimalo ravnomjerno popločana dijamantima. Promotrimo li svaki od njih pobliže, opet vidimo da većina područja ostaje prazna, dok nekoliko raštrkanih potpodručja pokazuje značajno povećanu koncentraciju dijamanata. Ovaj se proces može nastaviti tijekom nekoliko redova veličine.

Jeste li u iskušenju primijeniti koncept sirenja u ovom kontekstu? Sa svoje strane, reći ću da takav model postoji, predložio ga je de Wis, a mi ćemo ga razmotriti u 39. poglavlju u odjeljku NELAKUNUARNI FRAKTALI.

Fournierova knjiga nudi sljedeće objašnjenje za ovu ilustraciju: “Multiverzum, izgrađen na principu križa ili oktaedra, nije plan našeg svijeta, već pomaže pokazati mogućnost postojanja beskonačnog broja sličnih uzastopnih svemira. bez izazivanja efekta "gorućeg neba". Količina materije u svakoj svjetskoj sferi izravno je proporcionalna njezinom polumjeru. Ovaj uvjet je neophodan za poštivanje zakona gravitacije i zračenja. U nekim smjerovima nebo izgleda potpuno crno – unatoč činjenici da je broj svemira beskonačan. “Svjetski broj” u ovom slučaju je , a ne , kao u stvarnom svijetu.” umjesto . Konstrukcija se nastavlja korak dalje nego što je moguće na Sl. 141.

Koncepti fraktala i fraktalne geometrije, koji su se pojavili u kasnim 70-ima, čvrsto su se ustalili među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Riječ fraktal izvedena je iz latinskog fractus i znači sastavljen od fragmenata. Predložio ju je Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture kojima se on bavio. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. Njegovi su radovi koristili znanstvene rezultate drugih znanstvenika koji su u razdoblju 1875.-1925. radili na istom području (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ali tek je u naše vrijeme bilo moguće kombinirati njihov rad u jedinstveni sustav.
Uloga fraktala u računalnoj grafici danas je prilično velika. Oni dolaze u pomoć, na primjer, kada je potrebno, koristeći nekoliko koeficijenata, definirati linije i površine vrlo složenih oblika. Sa stajališta računalne grafike, fraktalna geometrija je nezamjenjiva pri generiranju umjetnih oblaka, planina i morskih površina. Zapravo pronađeno jednostavan način prikazi složenih neeuklidskih objekata čije su slike vrlo slične prirodnim.
Jedan od osnovna svojstva fraktali su samosličnost. U najjednostavnijem slučaju mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Mandelbrotova definicija fraktala je: "Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su na neki način slični cjelini."

postoji veliki broj matematički objekti koji se nazivaju fraktali (trokut Sierpinskog, Kochova pahulja, Peanova krivulja, Mandelbrotov skup i Lorentzovi atraktori). Fraktale mnogi opisuju s velikom točnošću fizičke pojave i formacije stvarnog svijeta: planine, oblaci, turbulentne (vrtložne) struje, korijenje, grane i lišće drveća, krvne žile, što je daleko od toga da odgovara jednostavnim geometrijskim figurama. Benoit Mandelbrot prvi je progovorio o fraktalnoj prirodi našeg svijeta u svojoj temeljni rad"Fraktalna geometrija prirode".
Pojam fraktal uveo je Benoit Mandelbrot 1977. godine u svom temeljnom djelu Fraktali, oblik, kaos i dimenzija. Prema Mandelbrotu, riječ fraktal dolazi od latinskih riječi fractus - razlomak i frangere - razbiti, što odražava bit fraktala kao "izlomljenog", nepravilnog skupa.

Klasifikacija fraktala.

Kako bismo predstavili čitavu raznolikost fraktala, zgodno je pribjeći njihovim općeprihvaćena klasifikacija. Postoje tri klase fraktala.

1. Geometrijski fraktali.

Fraktali ove klase su najvizualniji. U dvodimenzionalnom slučaju dobivaju se pomoću izlomljene linije (ili plohe u trodimenzionalnom slučaju), koja se naziva generator. U jednom koraku algoritma svaki od segmenata koji čine poliliniju zamjenjuje se generatorskom polilinijom u odgovarajućem mjerilu. Kao rezultat beskrajnog ponavljanja ovog postupka dobiva se geometrijski fraktal.

Razmotrimo primjer jednog od ovih fraktalnih objekata - trijadnu Kochovu krivulju.

Konstrukcija trijadne Kochove krivulje.

Uzmimo ravni isječak duljine 1. Nazovimo ga sjeme. Podijelimo sjeme na tri jednaka dijela duljine 1/3, odbacimo srednji dio i zamijenimo ga isprekidanom linijom od dvije karike duljine 1/3.

Dobit ćemo izlomljenu liniju koja se sastoji od 4 karike ukupne duljine 4/3 - tzv. prva generacija.

Kako bi se prešlo na sljedeću generaciju Kochove krivulje, potrebno je odbaciti i zamijeniti srednji dio svake karike. Sukladno tome, duljina druge generacije bit će 16/9, treća - 64/27. nastavimo li ovaj proces ad infinitum, rezultat je trijadna Kochova krivulja.

Razmotrimo sada svojstva trijadičke Kochove krivulje i saznajmo zašto su fraktali nazvani "čudovištima".

Prvo, ova krivulja nema duljinu - kao što smo vidjeli, s brojem generacija njezina duljina teži beskonačnosti.

Drugo, nemoguće je konstruirati tangentu na ovu krivulju - svaka njena točka je točka infleksije u kojoj izvodnica ne postoji - ova krivulja nije glatka.

Duljina i glatkoća temeljna su svojstva krivulja, koja proučavaju i Euklidska geometrija i geometrija Lobačevskog i Riemanna. Prema trijadi Kochovoj krivulji tradicionalne metode geometrijska analiza pokazala se neprimjenjivom, pa je Kochova krivulja ispala čudovište - “čudovište” među glatkim stanovnicima tradicionalnih geometrija.

Izgradnja Harter-Haithaway "zmaja".

Da biste dobili još jedan fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka oblikovni element budu dva jednaka segmenta povezana pod pravim kutom. U nultoj generaciji, jedinični segment zamijenimo ovim generirajućim elementom tako da je kut na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka sredine veze. Pri izradi sljedećih generacija slijedi pravilo: prva karika s lijeve strane zamjenjuje se elementom za oblikovanje tako da se sredina karike pomakne ulijevo od smjera kretanja, a kod zamjene sljedećih karika smjerovi pomicanje sredina segmenata mora se izmjenjivati. Na slici je prikazano prvih nekoliko generacija i 11. generacija krivulje izgrađena prema gore opisanom principu. Krivulja s n koja teži beskonačnosti naziva se Harter-Haithwayev zmaj.
U računalnoj je grafici uporaba geometrijskih fraktala nužna pri dobivanju slika drveća i grmlja. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali koriste se za stvaranje trodimenzionalnih tekstura (uzorci na površini predmeta).

2.Algebarski fraktali

Ovo je najveća skupina fraktala. Dobivaju se nelinearnim procesima u n-dimenzionalni prostori. Najviše se proučavaju dvodimenzionalni procesi. Kada se nelinearni iterativni proces tumači kao diskretni dinamički sustav, može se koristiti terminologija teorije ovih sustava: fazni portret, stacionarni proces, atraktor itd.
Poznato je da nelinearni dinamički sustavi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sustav nalazi nakon određenog broja ponavljanja ovisi o njegovom početnom stanju. Stoga svako stabilno stanje (ili, kako se kaže, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sustav nužno pasti u konačna stanja koja se razmatraju. Tako je fazni prostor sustava podijeljen na područja privlačenja atraktora. Ako je fazni prostor dvodimenzionalni prostor, tada se bojanjem područja privlačnosti različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovog sustava (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja možete dobiti složene fraktalne uzorke s bizarnim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Mandelbrotov set.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Algoritam za njegovu konstrukciju prilično je jednostavan i temelji se na jednostavnom iterativnom izrazu: Z = Z[i] * Z[i] + C, Gdje Zi I C- složene varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu točku iz pravokutnog ili kvadratnog područja - podskupa kompleksne ravnine. Iterativni proces se nastavlja sve dok Z[i] neće izaći izvan kruga polumjera 2 čije središte leži u točki (0,0), (to znači da atraktor dinamički sustav je u beskonačnosti), ili nakon dovoljno velikog broja ponavljanja (na primjer 200-500) Z[i]će konvergirati u neku točku na krugu. Ovisno o broju ponavljanja tijekom kojih Z[i] ostane unutar kruga, možete postaviti boju točke C(Ako Z[i] ostaje unutar kruga dosta dugo velika količina iteracije, proces iteracije se zaustavlja i ova rasterska točka je obojena u crno).

3. Stohastički fraktali

Još jedna dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobivaju ako se neki od njegovih parametara nasumično mijenjaju u iterativnom procesu. U ovom slučaju, dobiveni objekti vrlo su slični prirodnim - asimetrična stabla, neravne obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali koriste se u modeliranju terena i morskih površina.
Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, dijeljenje fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

O upotrebi fraktala

Prije svega, fraktali su područje nevjerojatne matematičke umjetnosti, kada se uz pomoć najjednostavnijih formula i algoritama dobivaju slike izuzetne ljepote i složenosti! Lišće, drveće i cvijeće često su vidljivi u konturama konstruiranih slika.

Neke od najmoćnijih primjena fraktala nalaze se u računalnoj grafici. Prvo, to je fraktalna kompresija slika, a drugo, konstrukcija krajolika, drveća, biljaka i stvaranje fraktalnih tekstura. Moderna fizika a mehanika tek počinje proučavati ponašanje fraktalnih objekata. I, naravno, fraktali se izravno koriste u samoj matematici.
Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina zapakirane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakirane slike mogu se skalirati bez uzrokovanja pikselizacije. Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam fraktalnog pakiranja s gubitkom omogućuje vam postavljanje razine kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike koji su slični nekim malim dijelovima. I samo koji je komad sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom sažimanja obično se koristi kvadratna mreža (komadi su kvadrati), što dovodi do blagog kuta pri vraćanju slike; šesterokutna mreža nema taj nedostatak.
Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinira fraktalnu i "valnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućuje vam stvaranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka iznosi 15-20% volumena nekomprimiranih slika.
Sklonost fraktala da nalikuju planinama, cvijeću i drveću iskorištavaju neki grafički urednici, na primjer, fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu. Fraktalna stabla, planine i cijeli krajolici definirani su jednostavnim formulama, lako ih je programirati i ne raspadaju se u zasebne trokute i kocke kada im se približi.
Ne može se zanemariti korištenje fraktala u samoj matematici. U teoriji skupova, Cantorov skup dokazuje postojanje savršenih nigdje gustih skupova; u teoriji mjere, samoafina funkcija "Cantorove ljestve" dobar je primjer distribucijske funkcije singularne mjere.
U mehanici i fizici fraktali se koriste zbog jedinstveno svojstvo ponoviti obrise mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućuju da povećate prikaz drveća, planinskih površina i pukotina s većom jasnoćom. visoka točnost nego aproksimacije skupovima segmenata ili poligona (s istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju “hrapavost”, a to svojstvo je očuvano bez obzira koliko je veliko povećanje modela. Prisutnost jedinstvene mjere na fraktalima omogućuje primjenu integracije, teorije potencijala i njihovu upotrebu umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednadžbama.
Fraktalnim pristupom kaos prestaje biti plavetnilo nereda i postaje fine strukture. Fraktalna znanost je još uvijek vrlo mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala ni izdaleka nije iscrpljena i tek će nam podariti mnoga remek-djela - ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose pravi užitak umu.

O konstruiranju fraktala

Metoda sukcesivne aproksimacije

Gledajući ovu sliku, nije teško razumjeti kako možete izgraditi sebi sličan fraktal (u ovom slučaju piramidu Sierpinskog). Trebamo uzeti pravilnu piramidu (tetraedar), zatim izrezati njenu sredinu (oktaedar), što rezultira četiri male piramide. Sa svakim od njih izvodimo istu operaciju itd. Ovo je pomalo naivno, ali jasno objašnjenje.

Razmotrimo strože suštinu metode. Neka postoji neki IFS sustav, t.j. sustav mapiranja kompresije S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (na primjer, za našu piramidu preslikavanja imaju oblik S i (x)=1/2*x+o i , gdje su o i vrhovi tetraedra, i=1,..,4). Zatim izaberemo neki kompaktni skup A 1 u R n (u našem slučaju izaberemo tetraedar). I definiramo indukcijom niz skupova A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Poznato je da skupovi A k s porastom k sve bolje aproksimiraju željeni atraktor sustava S.

Imajte na umu da je svaka od ovih iteracija atraktor rekurentni sustav iteriranih funkcija(engleski izraz Digraf IFS, RIFS I također Grafom usmjeren IFS) i stoga ih je lako izgraditi pomoću našeg programa.

Točka po točka ili probabilistička metoda

Ovo je najlakši način za implementaciju na računalu. Radi jednostavnosti, razmatramo slučaj ravnog samoafinog skupa. Pa neka (S

) - neki sustav afinih kontrakcija. Prikaz S

predstaviti kao: S

Fiksna veličina matrice 2x2 i o

Dvodimenzionalni vektorski stupac.

• Uzmimo fiksnu točku prvog preslikavanja S 1 kao početnu točku:
  x:= o1;
  Ovdje koristimo činjenicu da sve fiksne točke kompresije S 1 ,..,S m pripadaju fraktalu. Možete odabrati proizvoljnu točku kao početnu točku i niz točaka koje ona generira bit će nacrtan u fraktal, ali tada će se na ekranu pojaviti nekoliko dodatnih točaka.
• Označimo trenutnu točku x=(x 1 ,x 2) na ekranu:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Odaberimo nasumično broj j od 1 do m i preračunajmo koordinate točke x:
  j:=Slučajni(m)+1;
  x:=S j (x);
• Idemo na korak 2 ili, ako smo napravili dovoljno velik broj ponavljanja, zaustavljamo se.

Bilješka. Ako su omjeri kompresije preslikavanja S i različiti, tada će fraktal biti neravnomjerno ispunjen točkama. Ako su preslikavanja S i slična, to se može izbjeći laganim kompliciranjem algoritma. Da bi se to postiglo, u 3. koraku algoritma, broj j od 1 do m mora biti izabran s vjerojatnostima p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, gdje r i označavaju koeficijente kompresije preslikavanja Si, i broj s (koji se naziva dimenzija sličnosti) nalazi se iz jednadžbe r 1 s +...+r m s =1. Rješenje ove jednadžbe može se pronaći, primjerice, Newtonovom metodom.

O fraktalima i njihovim algoritmima

Fraktal dolazi od latinskog pridjeva "fractus", au prijevodu znači koji se sastoji od fragmenata, a odgovarajući latinski glagol "frangere" znači lomiti, odnosno stvarati nepravilne fragmente. Koncepti fraktala i fraktalne geometrije, koji su se pojavili u kasnim 70-ima, čvrsto su se ustalili među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Izraz je skovao Benoit Mandelbrot 1975. kako bi se odnosio na nepravilne, ali sebi slične strukture kojima se bavio. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. godine. U svojim radovima koristio je znanstvene rezultate drugih znanstvenika koji su u razdoblju 1875.-1925. djelovali na istom području (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Prilagodbe

Dopustite mi da napravim neke prilagodbe algoritama predloženih u knjizi H.-O. Peitgen i P.H. Richter “Ljepota fraktala” M. 1993. čisto kako bi se iskorijenile greške pri upisu i olakšalo razumijevanje procesa budući da mi je nakon proučavanja mnogo toga ostalo misterij. Nažalost, ovi "razumljivi" i "jednostavni" algoritmi vode ljuljački način života.

Konstrukcija fraktala temelji se na određenoj nelinearnoj funkciji složenog procesa s Povratne informacije z => z 2 +c pošto su z i c kompleksni brojevi, onda je z = x + iy, c = p + iq potrebno ga proširiti na x i y da bi se prešlo na realniji običan čovjek avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ravnina koja se sastoji od svih parova (x,y) može se smatrati kao za fiksne vrijednosti p i q, i kod dinamičkih. U prvom slučaju, prolaskom kroz sve točke (x, y) ravnine prema zakonu i njihovim bojanjem ovisno o broju ponavljanja funkcije potrebnom za izlazak iz iterativnog procesa ili nebojanjem (crna boja) kada prekorači dopušteni maksimum ponavljanja, dobit ćemo prikaz Julijinog skupa. Ako, naprotiv, odredimo početni par vrijednosti (x,y) i pratimo njegovu kolorističku sudbinu s dinamički promjenjivim vrijednostima parametara p i q, tada dobivamo slike koje se nazivaju Mandelbrotovi skupovi.

O pitanju algoritama za bojanje fraktala.

Obično je tijelo skupa predstavljeno kao crno polje, iako je očito da se crna boja može zamijeniti bilo kojom drugom, ali to također nije dovoljno zanimljiv rezultat. Dobivanje slike skupa obojene u sve boje zadatak je koji se ne može riješiti pomoću cikličkih operacija jer broj ponavljanja skupova koji tvore tijelo jednak je najvećem mogućem i uvijek je isti. Moguće je obojiti skup u različite boje koristeći rezultat provjere izlaznog uvjeta iz petlje (z_magnitude) ili nešto slično, ali s drugim matematičkim operacijama, kao broj boje.

Primjena "fraktalnog mikroskopa"

demonstrirati granične pojave.

Atraktori su centri koji vode borbu za prevlast na planu. Između atraktora pojavljuje se granica koja predstavlja cvjetni uzorak. Povećanjem ljestvice razmatranja unutar granica skupa, mogu se dobiti netrivijalni obrasci koji odražavaju stanje determinističkog kaosa - uobičajena pojava u prirodnom svijetu.

Objekti koje proučavaju geografi tvore sustav s vrlo složeno organiziranim granicama, pa stoga njihova identifikacija postaje nimalo jednostavan praktični zadatak. Prirodni kompleksi imaju jezgre tipičnosti koje djeluju kao atraktori koji gube svoj utjecaj na teritorij kako se on udaljava.

Pomoću fraktalnog mikroskopa za Mandelbrotov i Julijin skup može se stvoriti predodžba o graničnim procesima i pojavama koji su jednako složeni bez obzira na mjerilo razmatranja i tako pripremiti percepciju stručnjaka za susret s dinamičnim i naizgled kaotičnim prirodnim objektom. u prostoru i vremenu, za razumijevanje prirode fraktalne geometrije. Raznobojnost boja i fraktalna glazba zasigurno će ostaviti dubok trag u svijesti učenika.

Tisuće publikacija i golemi internetski resursi posvećeni su fraktalima, ali za mnoge stručnjake koji su daleko od računalnih znanosti, ovaj se pojam čini potpuno novim. Fraktali, kao objekti interesa stručnjaka iz različitih područja znanja, trebali bi dobiti odgovarajuće mjesto u kolegijima informatike.

Primjeri

SIEPINSKI GRID

Ovo je jedan od fraktala s kojima je Mandelbrot eksperimentirao razvijajući koncepte fraktalnih dimenzija i ponavljanja. Trokuti formirani spajanjem središta većeg trokuta izrezuju se iz glavnog trokuta, tvoreći trokut s više rupa. U ovom slučaju, inicijator je veliki trokut, a predložak je operacija izrezivanja trokuta sličnih većem. Također možete dobiti trodimenzionalnu verziju trokuta korištenjem običnog tetraedra i izrezivanja malih tetraedra. Dimenzija takvog fraktala je ln3/ln2 = 1,584962501. Dobiti Sierpinski tepih, uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite srednji. Isto ćemo učiniti i s ostalim, manjim kvadratima. Na kraju se formira ravna fraktalna mreža koja nema površinu, ali ima beskonačne veze. U svom prostornom obliku, spužva Sierpinski transformira se u sustav oblika od kraja do kraja, u kojem se svaki element od kraja do kraja neprestano zamjenjuje svojom vrstom. Ova je struktura vrlo slična dijelu koštanog tkiva. Jednog će dana takve strukture koje se ponavljaju postati element građevnih struktura. Njihova statika i dinamika, smatra Mandelbrot, zaslužuju pomno proučavanje.

KOCHOVA KRIVULJA

Kochova krivulja jedan je od najtipičnijih determinističkih fraktala. Izumio ju je u devetnaestom stoljeću njemački matematičar po imenu Helge von Koch, koji je, proučavajući radove Georga Kontora i Karla Weierstrassea, naišao na opise nekih čudnih krivulja neobičnog ponašanja. Inicijator je ravna linija. Generator je jednakostranični trokut čije su stranice jednake trećini duljine većeg segmenta. Ti se trokuti uvijek iznova dodaju u sredinu svakog segmenta. U svojim istraživanjima, Mandelbrot je opsežno eksperimentirao s Kochovim krivuljama i proizveo figure kao što su Kochovi otoci, Kochovi križevi, Kochove snježne pahuljice, pa čak i trodimenzionalne prikaze Kochove krivulje korištenjem tetraedra i dodavanjem manjih tetraedra na svako njegovo lice. Kochova krivulja ima dimenziju ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT FRAKTAL

Ovo NIJE Mandelbrotov skup, koji često viđate. Mandelbrotov skup se temelji na nelinearne jednadžbe i složeni je fraktal. Ovo je također varijanta Kochove krivulje, iako joj ovaj objekt nije sličan. Inicijator i generator također se razlikuju od onih koji se koriste za stvaranje fraktala na principu Kochove krivulje, ali ideja ostaje ista. Umjesto spajanja jednakostraničnog trokuta s segmentom krivulje, kvadrati se spajaju s kvadratom. Zbog činjenice da ovaj fraktal zauzima točno polovicu dodijeljenog prostora u svakoj iteraciji, on ima jednostavnu fraktalnu dimenziju 3/2 = 1,5.

SMELIJE PETOKUN

Fraktal izgleda kao hrpa peterokuta stisnutih zajedno. Zapravo se formira korištenjem peterokuta kao inicijatora i jednakokračni trokuti, omjer veće strane prema manjoj strani u kojem je točno jednak takozvanom zlatnom rezu (1,618033989 ili 1/(2cos72)) kao generator. Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog peterokuta, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih na jedan veliki. Varijanta ovog fraktala može se dobiti korištenjem šesterokuta kao inicijatora. Ovaj fraktal se zove Davidova zvijezda i prilično je sličan heksagonalnoj verziji Kochove pahuljice. Fraktalna dimenzija Darerovog peterokuta je ln6/ln(1+g), gdje je g omjer duljine veće stranice trokuta i duljine manje. U ovom slučaju, g je Zlatna proporcija, pa je fraktalna dimenzija približno 1,86171596. Fraktalna dimenzija Davidove zvijezde ln6/ln3 ili 1.630929754.

Složeni fraktali

Zapravo, ako povećate malo područje bilo kojeg složenog fraktala, a zatim učinite isto s malim područjem tog područja, dva će se povećanja značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije slike bit će vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

Slika 1. Aproksimacija Mandelbrotovog skupa

Usporedite, na primjer, slike Mandelbrotovog skupa prikazane ovdje, od kojih je jedna dobivena povećanjem određenog područja druge. Kao što vidite, oni apsolutno nisu identični, iako na oba vidimo crni krug, iz kojeg se plameni pipci protežu u različitim smjerovima. Ovi se elementi ponavljaju unedogled u Mandelbrotovom skupu u opadajućim omjerima.

Deterministički fraktali su linearni, dok složeni fraktali nisu. Budući da su nelinearni, ovi fraktali su generirani onim što je Mandelbrot nazvao nelinearnim algebarske jednadžbe. Dobar primjer je proces Zn+1=ZnÍ + C, što je jednadžba korištena za konstrukciju Mandelbrot-ovog i Julijinog skupa drugog stupnja. Rješenje za ove matematičke jednadžbe uključuje kompleksne i imaginarne brojeve. Kada se jednadžba grafički interpretira u kompleksnoj ravnini, rezultat je čudan lik u kojem ravne linije postaju krivulje i pojavljuju se učinci samosličnosti, iako ne bez deformacija, na različitim razinama mjerila. Pritom je cijela slika u cjelini nepredvidiva i vrlo kaotična.

Kao što možete vidjeti gledajući slike, složeni fraktali su zaista vrlo složeni i ne mogu se stvoriti bez pomoći računala. Za dobivanje živopisnih rezultata, ovo računalo mora imati snažan matematički koprocesor i monitor sa visoka rezolucija. Za razliku od determinističkih fraktala, složeni fraktali se ne izračunavaju u 5-10 iteracija. Gotovo svaka točka na zaslonu računala je poput zasebnog fraktala. Prilikom matematičke obrade svaka točka se tretira kao zaseban crtež. Svaka točka odgovara određenoj vrijednosti. Jednadžba je ugrađena za svaku točku i izvodi se npr. 1000 ponavljanja. Za dobivanje relativno neiskrivljene slike u vremenskom razdoblju prihvatljivom za kućna računala, moguće je izvršiti 250 ponavljanja za jednu točku.

Većina fraktala koje danas vidimo lijepo su obojeni. Možda fraktalne slike dobivaju tako veliki estetski značaj upravo zbog svojih shema boja. Nakon što se jednadžba izračuna, računalo analizira rezultate. Ako rezultati ostanu stabilni ili variraju oko određene vrijednosti, točka obično postaje crna. Ako vrijednost na jednom ili drugom koraku teži beskonačnosti, točka se boji u drugu boju, možda plavu ili crvenu. Tijekom ovog procesa, računalo dodjeljuje boje svim brzinama kretanja.

Obično su točkice koje se brzo kreću obojene crvenom bojom, dok su one sporije obojene žutom bojom i tako dalje. Tamne mrlje vjerojatno su najstabilnije.

Složeni fraktali razlikuju se od determinističkih fraktala u smislu da su beskonačno složeni, ali se ipak mogu generirati vrlo jednostavnom formulom. Deterministički fraktali ne zahtijevaju formule ili jednadžbe. Samo uzmite malo papira za crtanje i možete bez ikakvih poteškoća izgraditi sito Sierpinskog do 3 ili 4 ponavljanja. Pokušajte ovo s puno Julije! Lakše je otići izmjeriti duljinu engleske obale!

MANDELBROT SET

Slika 2. Mandelbrotov skup

Mandelbrotov i Julijin skup vjerojatno su dva najčešća među složenim fraktalima. Mogu se naći u mnogim znanstvenih časopisa, naslovnice knjiga, razglednice i čuvari zaslona računala. Mandelbrotov skup, koji je konstruirao Benoit Mandelbrot, vjerojatno je prva asocijacija koja se ljudima pojavi kad čuju riječ fraktal. Ovaj fraktal, koji nalikuje stroju za kartanje s gorućim stablom i kružnim područjima pričvršćenim na njega, generira se jednostavnom formulom Zn+1=Zna+C, gdje su Z i C kompleksni brojevi, a a pozitivan broj.

Mandelbrotov skup, koji se najčešće može vidjeti, je Mandelbrotov skup 2. stupnja, odnosno a = 2. Činjenica da Mandelbrotov skup nije samo Zn+1=ZnÍ+C, već fraktal, čiji indikator u formuli može biti bilo koji pozitivan broj, dovela je mnoge u zabludu. Na ovoj stranici vidite primjer Mandelbrotovog skupa za različita značenja indikator a.
Slika 3. Pojava mjehurića na a=3,5

Proces Z=Z*tg(Z+C) je također popularan. Uključivanjem funkcije tangente rezultat je Mandelbrotov skup okružen područjem nalik jabuci. Pri korištenju kosinusne funkcije dobivaju se efekti mjehurića zraka. Ukratko, postoji beskonačan broj načina za konfiguriranje Mandelbrot skupa za proizvodnju različitih lijepih slika.

PUNO JULIJA

Iznenađujuće, Julijini skupovi formirani su prema istoj formuli kao i Mandelbrotov skup. Julijin skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kojem je skup i dobio ime. Prvo pitanje koje se postavlja nakon vizualnog upoznavanja s Mandelbrotovim i Julijinim skupovima je "ako su oba fraktala generirana prema istoj formuli, zašto su toliko različiti?" Prvo pogledajte slike seta Julia. Čudno, ali postoje različiti tipovi Julia postavlja. Kada crtate fraktal koristeći različite početne točke (za početak procesa ponavljanja), razne slike. Ovo se odnosi samo na set Julia.

Slika 4. Julijin set

Iako se ne vidi na slici, Mandelbrotov fraktal je zapravo mnogo Julijinih fraktala povezanih zajedno. Svaka točka (ili koordinata) Mandelbrotovog skupa odgovara Julijinom fraktalu. Julia skupovi se mogu generirati korištenjem ovih točaka kao početnih vrijednosti u jednadžbi Z=ZI+C. Ali to ne znači da ako odaberete točku na Mandelbrotovom fraktalu i povećate je, možete dobiti Julijin fraktal. Ove dvije točke su identične, ali samo u matematičkom smislu. Ako uzmete ovu točku i izračunate je pomoću ove formule, možete dobiti Julijin fraktal koji odgovara određenoj točki Mandelbrotovog fraktala.

Leptiri, naravno, ne znaju ništa o zmijama. Ali ptice koje love leptire znaju za njih. Veća je vjerojatnost da će ptice koje ne prepoznaju dobro zmije...

Ako je okto latinski za "osam", zašto onda oktava sadrži sedam nota?

Oktava je interval između dva najbliža zvuka istog imena: do i do, re i re, itd. S gledišta fizike, “odnos” ovih...

Zašto se važne ljude naziva kolovozom?

Godine 27. pr. e. Rimski car Oktavijan dobio je titulu Augustus, što na latinskom znači "sveti" (usput, u čast istoj ličnosti...

Što pišu u prostor?

Poznati vic kaže: “NASA je potrošila nekoliko milijuna dolara da razvije posebnu olovku koja može pisati u svemiru....

Zašto je osnova života ugljik?

Poznato je oko 10 milijuna organskih (odnosno na bazi ugljika) molekula i samo oko 100 tisuća anorganskih molekula. U Dodatku...

Zašto su kvarcne lampe plave?

Za razliku od običnog stakla, kvarcno staklo propušta ultraljubičasto svjetlo. U kvarcnim žaruljama izvor ultraljubičastog svjetla je plinsko pražnjenje u živinim parama. On...

Zašto ponekad pada kiša, a ponekad rosi?

S velikom temperaturnom razlikom, unutar oblaka nastaju snažna uzlazna strujanja. Zahvaljujući njima, kapi mogu dugo ostati u zraku i...

Otkrio sam ovaj fraktal kada sam promatrao interferenciju valova na površini rijeke. Val se kreće prema obali, reflektira se i superponira na sebe. Ima li reda u obrascima koje stvaraju valovi? Pokušajmo ga pronaći. Ne razmatrajmo cijeli val, već samo vektor njegovog gibanja. Učinimo "obale" glatkima kako bismo pojednostavili eksperiment.

Pokus se može izvesti na običnom papiru iz školske bilježnice.

Ili pomoću JavaScript implementacije algoritma.

Uzmimo pravokutnik sa stranicama q i p. Pošaljimo zraku (vektor) od kuta do kuta. Zraka se kreće na jednu stranu pravokutnika, reflektira se i nastavlja se kretati na sljedeću stranu. To se nastavlja sve dok zraka ne udari u jedan od preostalih uglova. Ako su veličina stranice q i p relativno prosti brojevi, tada se dobiva uzorak (kao što ćemo kasnije vidjeti - fraktal).

Na slici jasno vidimo kako ovaj algoritam radi.

Gif animacija:

Najčudesnija stvar je da s različitim stranama pravokutnika dobivamo različite uzorke.

Zašto ove uzorke nazivam fraktalima? Kao što znate, "fraktal" je geometrijski lik, koji ima svojstva samosličnosti. Dio slike ponavlja cijelu sliku. Ako značajno povećate dimenzije stranica Q i P, jasno je da ti uzorci imaju svojstva samosličnosti.

Pokušajmo ga povećati. Povećat ćemo ga na lukav način. Uzmimo za primjer uzorak 17x29. Sljedeći uzorci će biti: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Jedna strana: F(n);
Druga strana: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Kao Fibonacci brojevi, samo s različitim prvim i drugim članom niza: F(0)=17, F(1)=29.

Ako je veća strana jednaka, rezultat je sljedeći uzorak:

Ako je kraća stranica parna:

Ako su obje strane neparne, dobivamo simetričan uzorak:

Ovisno o tome kako snop počinje:

ili

Pokušat ću objasniti što se događa u tim pravokutnicima.

Odvojimo kvadrat od pravokutnika i vidimo što se događa na granici.

Zraka izlazi na istoj točki iz koje je i ušla.

Istovremeno, broj kvadrata kroz koje zraka prolazi uvijek je paran broj.

Stoga, ako od pravokutnika odsječete kvadrat, ostat će nepromijenjeni dio fraktala.

Odvajate li kvadrate od fraktala što više puta, možete doći do "početka" fraktala.

Izgleda li kao Fibonaccijeva spirala?

Fraktali se također mogu dobiti iz Fibonaccijevih brojeva.

U matematici, Fibonačijevi brojevi (Fibonačijev niz, Fibonačijev niz) su brojevi:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Prema definiciji, prve dvije znamenke u Fibonaccijevom nizu su 0 i 1, a svaki sljedeći broj jednak je zbroju prethodna dva.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Ići:

Kao što vidimo, što se omjer širine i visine približava zlatnom rezu, to su detalji fraktala veći.

U ovom slučaju, fraktal ponavlja dio fraktala, uvećan za .

Umjesto Fibonaccijevih brojeva, možete koristiti iracionalne veličine stranica:

Dobivamo isti fraktal.

Isti fraktali mogu se dobiti u kvadratu ako snop ispalite pod drugim kutom:

Što možete reći u zaključku?
Kaos je također red. Sa svojim zakonima. Ovaj poredak nije proučavan, ali je sasvim podložan proučavanju. A cijela je želja znanosti otkriti te obrasce. I na kraju spojite dijelove slagalice da biste vidjeli veliku sliku.
Pogledajmo površinu rijeke. Baciš li na njega kamen, doći će valovi. Krugovi koji su prilično podložni proučavanju. Brzina, period, valna duljina - sve se to može izračunati. Ali dok val ne dođe do obale, ne odražava se i počinje se preklapati. Dobivamo kaos (smetnje), koji je već teško proučavati.
Što ako krenemo iz suprotnog smjera? Pojednostavite ponašanje vala što je više moguće. Pojednostavite, pronađite obrazac i zatim ga pokušajte opisati puna slikašto se događa.
Što se može pojednostaviti? Očito, neka reflektirajuća površina bude ravna, bez zavoja. Dalje, umjesto samog vala, koristite samo vektor gibanja vala. U načelu, to je dovoljno za izradu jednostavnog algoritma i simulaciju procesa na računalu. A čak je i sasvim dovoljno napraviti "model" ponašanja valova na običnom kariranom papiru.
Što imamo kao rezultat? Kao rezultat toga, vidimo da u valnim procesima (istim valovima na površini rijeke) nemamo kaos, već prekrivanje fraktala (samosličnih struktura) jednih na druge.

Razmotrimo drugu vrstu valova. Kao što je poznato, elektromagnetski val se sastoji od tri vektora - valnog vektora i vektora jakosti električnog i magnetskog polja. Kao što vidimo, ako "uhvatimo" takav val u zatvorenom području, gdje se ti vektori sijeku, dobivamo sasvim jasne zatvorene strukture. Može biti, elementarne čestice– jesu li to isti fraktali?

Svi fraktali u pravokutnicima od 1 do 80 (6723x6723 px):

Zatvorena područja u fraktalima (6723x6723 px):

Samo prekrasan fraktal (4078x2518 px):