Proučavanje gibanja tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizontalu. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu. Proračun dometa leta

upute

Neka je tijelo bačeno pod kutom α u odnosu na horizont početnom brzinom v0. Neka su početne koordinate tijela nula: x(0)=0, y(0)=0. U projekcijama na koordinatne osi početna brzina će se rastaviti na dvije komponente: v0(x) i v0(y). Općenito ista brzina. Duž osi Ox brzina se uobičajeno smatra konstantnom, dok se duž osi Oy mijenja pod utjecajem . Ubrzanje gravitacije g može se uzeti za približno 10 m/s².

Kut α pod kojim je tijelo bačeno nije zadan slučajno. Kroz njega možete opisati početnu brzinu u koordinatnim osima. Dakle, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Sada možemo dobiti funkciju koordinatnih komponenti brzine: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

Koordinate x i y tijela ovise o vremenu t. Dakle, možemo stvoriti dvije jednadžbe ovisnosti: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Kako je x0=0, a(x)=0, onda je x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Također je poznato da je y0=0, a(y)=-g (znak “ ” se pojavljuje jer su smjer akceleracije sile teže g i pozitivni smjer osi Oy suprotni). Prema tome y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Vrijeme leta može se izraziti iz formule za brzinu, znajući da se u najvećoj točki tijelo na trenutak zaustavlja (v = 0), a trajanje "uspona" i "spuštanja" je jednako. Dakle, zamjenom v(y)=0 u jednadžbu v(y)=v0·sin(α)-g·t ispada: 0=v0·sin(α)-g·t(p), gdje je t (p) – vršno vrijeme, “t vrh”. Stoga je t(p)=v0·sin(α)/g. Ukupno vrijeme leta tada će biti izraženo kao t=2·v0·sin(α)/g.

Ista se formula može dobiti na drugi način, matematički, iz jednadžbe za koordinatu y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Ova se jednadžba može prepisati u malo modificiranom obliku: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Vidi se da se radi o kvadratnoj ovisnosti, gdje je y funkcija, t argument. Vrh parabole koja opisuje putanju je točka t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Minusi i dvojke se poništavaju, pa je t(p)=v0·sin(α)/g. Ako maksimalnu visinu označimo s H i zapamtimo da je vršna točka vrh parabole po kojoj se tijelo kreće, tada je H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. To jest, da biste dobili visinu, morate zamijeniti "t vrh" u jednadžbu za y koordinatu.

Dakle, vrijeme leta je zapisano kao t=2·v0·sin(α)/g. Da biste ga promijenili, morate u skladu s tim promijeniti početnu brzinu i kut nagiba. Što je veća brzina, to tijelo duže leti. S kutom je nešto složenije, jer vrijeme ne ovisi o samom kutu, već o njegovom sinusu. Najveća moguća vrijednost sinusa - jedinica - postiže se pri kutu nagiba od 90°. To znači da tijelo najdulje leti kad je izbačeno okomito prema gore.

Domet leta je konačna x koordinata. Ako već pronađeno vrijeme leta zamijenimo u jednadžbu x=v0·cos(α)·t, tada je lako pronaći da je L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Ovdje možemo primijeniti trigonometrijsku formulu dvostrukog kuta 2sin(α)cos(α)=sin(2α), zatim L=v0²sin(2α)/g. Sinus dvije alfe jednak je jedan kada je 2α=n/2, α=n/4. Dakle, domet leta je najveći ako je tijelo bačeno pod kutom od 45°.

Ako se tijelo baci pod kutom prema horizontu, tada na njega u letu djeluju sila teže i sila otpora zraka. Ako se zanemari sila otpora, onda je jedina preostala sila gravitacija. Dakle, prema 2. Newtonovom zakonu, tijelo se giba akceleracijom jednakom akceleraciji sile teže; projekcije ubrzanja na koordinatne osi ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematičke karakteristike tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizontalu

Svako složeno kretanje materijalne točke može se prikazati kao superpozicija neovisnih kretanja duž koordinatnih osi, au smjeru različitih osi vrsta kretanja može se razlikovati. U našem slučaju, gibanje letećeg tijela može se prikazati kao superpozicija dvaju neovisnih gibanja: jednolikog gibanja po horizontalnoj osi (X-os) i jednoliko ubrzanog gibanja po okomitoj osi (Y-osi) (slika 1). .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je kut bacanja.

S našim odabirom ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. Tada dobivamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme gibanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavimo koordinatu y jednaku nuli, jer u trenutku doskoka visina tijela je nula. Odavde dobivamo vrijeme leta:

Druga vremenska vrijednost pri kojoj je visina nula je nula, što odgovara trenutku bacanja, tj. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta dobivamo iz prve formule (1). Domet leta je vrijednost x koordinate na kraju leta, tj. u vremenu jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobivamo:

Iz ove formule je vidljivo da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stupnjeva.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, trebate zamijeniti vremensku vrijednost jednaku polovici vremena leta (2) u ovu formulu, jer Maksimalna visina leta je na sredini putanje. Provodeći izračune, dobivamo

Iz jednadžbi (1) može se dobiti jednadžba putanje tijela, tj. jednadžba koja povezuje x i y koordinate tijela tijekom gibanja. Da biste to učinili, morate izraziti vrijeme iz prve jednadžbe (1):

i zamijenite ga u drugu jednadžbu. Tada dobivamo:

Ova jednadžba je jednadžba putanje gibanja. Može se vidjeti da je ovo jednadžba parabole s njezinim granama prema dolje, kao što je naznačeno znakom "-" ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su kut bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje jednostavno konstante, tj. stalni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod kutom $(\mathbf \alpha )$ u odnosu na horizont. Vrijeme leta $t = 2 s$. Na koju visinu Hmax će se tijelo podići?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon gibanja tijela ima oblik:

$$\lijevo\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Vektor početne brzine čini kut $(\mathbf \alpha )$ s osi OX. Stoga,

\ \ \

Kamen je bačen s vrha planine pod kutom = 30$()^\circ$ u odnosu na horizont početnom brzinom $v_0 = 6 m/s$. Kut nagnute ravnine = 30$()^\circ$. Na kojoj će udaljenosti od točke bacanja pasti kamen?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo ishodište koordinata u točku bacanja, OX - duž nagnute ravnine prema dolje, OY - okomito na nagnutu ravninu prema gore. Kinematičke karakteristike kretanja:

Zakon gibanja:

$$\lijevo\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(niz) \right.$$ \

Zamjenom dobivene vrijednosti $t_V$ nalazimo $S$:

Ovo je kreativni zadatak za majstorsku klasu informatike za školarce na FEFU.
Svrha zadatka je otkriti kako će se promijeniti putanja tijela ako se uzme u obzir otpor zraka. Također je potrebno odgovoriti na pitanje hoće li daljina leta još uvijek doseći najveću vrijednost pri kutu izbacivanja od 45°, ako se uzme u obzir otpor zraka.

Odjeljak "Analitičko istraživanje" opisuje teoriju. Ovaj dio se može preskočiti, ali bi vam uglavnom trebalo biti jasno jer... O većinu toga ste naučili u školi.
Odjeljak "Numerička studija" sadrži opis algoritma koji se mora implementirati na računalu. Algoritam je jednostavan i koncizan, tako da bi ga svatko trebao znati.

Analitička istraživanja

Uvedimo pravokutni koordinatni sustav kao što je prikazano na slici. U početnom trenutku vremena tijelo mase m nalazi se u ishodištu. Vektor ubrzanja slobodnog pada usmjeren je okomito prema dolje i ima koordinate (0, - g).
- vektor početne brzine. Proširimo ovaj vektor u njegovu bazu: . Ovdje je , gdje je veličina vektora brzine, kut bacanja.

Zapišimo drugi Newtonov zakon: .
Ubrzanje u svakom trenutku vremena je (trenutačna) brzina promjene brzine, odnosno derivacija brzine u odnosu na vrijeme: .

Stoga se Newtonov 2. zakon može prepisati na sljedeći način:
, gdje je rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo.
Budući da na tijelo djeluju sila teže i sila otpora zraka, dakle
.

Razmotrit ćemo tri slučaja:
1) Sila otpora zraka je 0: .
2) Sila otpora zraka suprotno je usmjerena s vektorom brzine, a njezina veličina proporcionalna je brzini: .
3) Sila otpora zraka suprotno je usmjerena od vektora brzine, a njezina veličina proporcionalna je kvadratu brzine: .

Razmotrimo prvo 1. slučaj.
U ovom slučaju , ili .


Iz toga slijedi da (jednoliko ubrzano gibanje).
jer ( r- radijus vektor), zatim .
Odavde .
Ova formula nije ništa drugo nego poznata formula za zakon gibanja tijela tijekom jednoliko ubrzanog gibanja.
Od tad .
S obzirom na to da oboje , dobivamo skalarne jednakosti iz posljednje vektorske jednakosti:

Analizirajmo dobivene formule.
Nađimo vrijeme za let tijela. Izjednačavanje g na nulu, dobivamo

Domet leta jednaka vrijednosti koordinate x u određenom trenutku t 0:

Iz ove formule slijedi da se maksimalni dolet leta postiže pri .
Hajdemo sada pronaći body traktor equation. Da bismo to učinili, izražavamo t kroz x

I zamijenimo dobiveni izraz za t u jednakost za g.

Rezultirajuća funkcija g(x) je kvadratna funkcija, njen graf je parabola, čije su grane usmjerene prema dolje.
Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu (bez uzimanja u obzir otpora zraka) opisano je u ovom videu.

Sada razmotrite drugi slučaj: .

Drugi zakon ima oblik ,
odavde .
Zapišimo ovu jednakost u skalarnom obliku:

Dobili smo dvije linearne diferencijalne jednadžbe.
Prva jednadžba ima rješenje

To se može provjeriti zamjenom ove funkcije u jednadžbu za v x i na početno stanje .
Ovdje je e = 2,718281828459... Eulerov broj.
Druga jednadžba ima rješenje

Jer , , tada u prisutnosti otpora zraka kretanje tijela nastoji biti ravnomjerno, za razliku od slučaja 1, kada se brzina neograničeno povećava.
Sljedeći video govori da se padobranac prvo kreće ubrzanim tempom, a zatim se počinje ravnomjerno kretati (čak i prije nego što se padobran otvori).

Pronađimo izraze za x I g.
Jer x(0) = 0, g(0) = 0, tada

Ostaje nam da razmotrimo slučaj 3, kada .
Drugi Newtonov zakon ima oblik
, ili .
U skalarnom obliku ova jednadžba izgleda ovako:

Ovaj sustav nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Ovaj sustav nije moguće eksplicitno riješiti, pa je potrebno koristiti numeričku simulaciju.

Numerička studija

U prethodnom odjeljku vidjeli smo da se u prva dva slučaja zakon gibanja tijela može dobiti u eksplicitnom obliku. Međutim, u trećem slučaju potrebno je problem riješiti numerički. Numeričkim metodama ćemo dobiti samo približno rješenje, ali ćemo biti sasvim zadovoljni malom točnošću. (Broj π ili kvadratni korijen iz 2, inače, ne može se zapisati apsolutno precizno, pa se pri računanju uzima konačan broj znamenki, a to je sasvim dovoljno.)

Razmotrit ćemo drugi slučaj, kada je sila otpora zraka određena formulom . Imajte na umu da kada k= 0 dobivamo prvi slučaj.

Brzina tijela pokorava se sljedećim jednadžbama:

Komponente ubrzanja ispisane su s lijeve strane ovih jednadžbi .
Podsjetimo se da je ubrzanje (trenutačna) stopa promjene brzine, odnosno derivacija brzine u odnosu na vrijeme.
Desne strane jednadžbi sadrže komponente brzine. Dakle, ove jednadžbe pokazuju kako je stopa promjene brzine povezana s brzinom.

Pokušajmo pronaći rješenja ovih jednadžbi pomoću numeričkih metoda. Da bismo to učinili, uvodimo na vremenskoj osi mreža: odaberimo broj i razmotrimo trenutke vremena oblika: .

Naš zadatak je približno izračunati vrijednosti u čvorovima mreže.

Zamijenimo ubrzanje u jednadžbama ( trenutna brzina promjene brzine) po Prosječna brzina promjene brzine, uzimajući u obzir kretanje tijela u određenom vremenskom razdoblju:

Sada zamijenimo dobivene aproksimacije u naše jednadžbe.

Dobivene formule omogućuju nam izračunavanje vrijednosti funkcija na sljedećem čvoru mreže, ako su poznate vrijednosti ovih funkcija na prethodnom čvoru mreže.

Koristeći opisanu metodu, možemo dobiti tablicu približnih vrijednosti komponenti brzine.

Kako pronaći zakon gibanja tijela, tj. tablica približnih vrijednosti koordinata x(t), g(t)? Također!
Imamo

Vrijednost vx[j] jednaka je vrijednosti funkcije, a ista je i za ostale nizove.
Sada preostaje samo napisati petlju unutar koje ćemo izračunati vx pomoću već izračunate vrijednosti vx[j], a isto je i s ostalim nizovima. Ciklus će biti j od 1 do N.
Ne zaboravite inicijalizirati početne vrijednosti vx, vy, x, y prema formulama, x 0 = 0, g 0 = 0.

U Pascalu i C-u postoje funkcije sin(x) i cos(x) za izračunavanje sinusa i kosinusa. Imajte na umu da ove funkcije uzimaju argument u radijanima.

Trebate konstruirati graf kretanja tijela tijekom k= 0 i k> 0 i usporedite dobivene grafove. Grafikoni se mogu izraditi u Excelu.
Imajte na umu da su formule za izračun toliko jednostavne da za izračune možete koristiti samo Excel, a ne čak ni programski jezik.
Međutim, u budućnosti ćete morati riješiti problem u CATS-u, u kojem trebate izračunati vrijeme i domet leta tijela, gdje ne možete bez programskog jezika.

Imajte na umu da možete test svoj program i provjerite svoje grafikone uspoređujući rezultate izračuna kada k= 0 s točnim formulama danim u odjeljku "Analitička studija".

Eksperimentirajte sa svojim programom. Uvjerite se da ako nema otpora zraka ( k= 0) najveći dolet leta pri fiksnoj početnoj brzini postiže se pod kutom od 45°.
Što je s otporom zraka? Pod kojim kutom se postiže najveći domet leta?

Na slici su prikazane putanje tijela na v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 i 1 dobiveni numeričkom simulacijom na Δ t = 0,01.

Možete se upoznati s prekrasnim radom učenika 10. razreda iz Troicka, predstavljenim na konferenciji "Start in Science" 2011. Rad je posvećen modeliranju kretanja teniske loptice bačene pod kutom prema horizontu (uzimajući u obzir zrak otpornost). Koriste se i numeričko modeliranje i eksperiment u punoj mjeri.

Dakle, ovaj kreativni zadatak omogućuje vam upoznavanje s metodama matematičkog i numeričkog modeliranja, koje se aktivno koriste u praksi, ali se malo proučavaju u školi. Na primjer, te su metode korištene u provedbi nuklearnih i svemirskih projekata u SSSR-u sredinom 20. stoljeća.