Kako riješiti kvadrat. Kvadratne jednadžbe - primjeri s rješenjima, značajkama i formulama

Seoska srednja škola Kopyevskaya

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesorica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje područja kopna i zemljanih radova vojne prirode, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednadžbe uspjeli su riješiti oko 2000 godina pr. e. Babilonci.

Primjenjujući suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima postoje, osim nepotpunih, i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Unatoč visokom stupnju razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe.

Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih sastavljanjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta problema proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, tada njihov umnožak ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će više od polovice njihovog zbroj, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10-ice. Razlika među njima 2x .

Otuda jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Odluka x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj zadatak riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznanice, tada ćemo doći do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe nalaze se već u astronomskom traktatu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), skicirao je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptina vladavina u biti se podudara s našom.

U staroj su Indiji javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: "Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme." Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Ovdje je jedan od problema slavnog indijskog matematičara XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

„Žesto jato majmuna i dvanaest u trsovima...

Nakon što je jeo moć, zabavio se. Počeli su skakati, viseći ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je bilo majmuna,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi lijevu stranu ove jednadžbe dovršio do kvadrata, on zbraja obje strane 32 2 , dobivajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su pribrojnici, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabra i al-muqabele. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u specifičnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim geometrijske dokaze, koristeći posebne numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje ide otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobit ćete 5, pomnožite 5 samim sobom, od produkta oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmete 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo opsežno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako zemalja islama, tako i antičke Grčke, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige o abakusu" prešli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , S formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima su u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako B + D pomnoženo s A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, moramo to zapamtiti I, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio ono nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznate. U jeziku moderne algebre, gornja Vietina formulacija znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama napisanim simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolizam Viete još je daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Kvadratne jednadžbe naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako funkciju nacrtamo grafom
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):

,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Odluka

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Odluka

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Odluka

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim

.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Hajdemo raditi s kvadratne jednadžbe. Ovo su vrlo popularne jednadžbe! U svom najopćenitijem obliku, kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Ovdje a =1; b = 3; c = -4

Ovdje a =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

Kako riješiti kvadratne jednadžbe? Ako imate kvadratnu jednadžbu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Zapamtite čarobnu riječ diskriminirajući . Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Fraza "odlučiti kroz diskriminant" je umirujuća i umirujuća. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Korištenje je jednostavno i bez problema. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena je isti diskriminirajući. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i razmotrite. Zamjena s tvojim znakovima! Na primjer, za prvu jednadžbu a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući pri korištenju ove formule? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali to igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...
Najčešće pogreške su brkanje s predznacima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se tu treba zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c=-1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa, ne budi lijen. Trebat će vam 30 sekundi za pisanje dodatnog retka. I broj pogrešaka naglo će pasti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali to se samo čini. Probaj. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebno sve tako pažljivo slikati. Samo će ispasti kako treba. Pogotovo ako primijenite praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa riješit ćemo lako i bez grešaka!

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant koji smo zapamtili. Ili naučio, što je također dobro. Možete li točno identificirati a, b i c. Znaš li kako pozorno zamijenite ih u korijensku formulu i pozorno računati rezultat. Jeste li razumjeli da je ključna riječ ovdje - pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

to nepotpune kvadratne jednadžbe . Također se mogu riješiti pomoću diskriminante. Samo trebate ispravno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično je i s drugim primjerom. Ovdje nemamo samo nulu S, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se puno lakše riješiti. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što se može učiniti na lijevoj strani? X možete izvaditi iz zagrade! Izvadimo ga.

I što iz ovoga? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oboje odgovara. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije nego putem diskriminante.

Druga se jednadžba također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. Dobivamo:

Ostalo je izvući root iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x = +3 i x = -3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem X iz zagrada, ili jednostavnim prijenosom broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X-a, što je nekako neshvatljivo, au drugom slučaju nemate što izvaditi iz zagrada ...

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... Za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvo primanje. Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno sastavite primjer. Prvo x na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebali biste dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Pazite, ne 2, nego -2! slobodan član s tvojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku. Ako je uspjelo, trebate saviti korijenje. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b S suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Bit će manje grešaka.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima razlomke, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u prethodnom odjeljku. Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Usput, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Molim! Evo ga.

Kako se ne bi zbunili u minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako ispred x u kvadratu stoji negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Ostaje posljednji pogled frakcijske jednadžbe. Ili se nazivaju i mnogo čvršćim - frakcijske racionalne jednadžbe. Ovo je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, nego razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Da vas podsjetim, ako samo u nazivnicima brojevima, to su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga jednadžba, najčešće, prelazi u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, poput 5=5 ili netočan izraz, poput 7=2. Ali to se rijetko događa. U nastavku ću to spomenuti.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Jako jednostavno. Primjena svih istih identičnih transformacija.

Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s istim izrazom. Tako da se svi nazivnici smanje! Sve će odmah postati lakše. Objašnjavam na primjeru. Recimo da trebamo riješiti jednadžbu:

Kako su ih učili u osnovnoj školi? Sve prenosimo u jednom smjeru, svodimo na zajednički nazivnik itd. Zaboravite kako ružno sanjate! To je ono što trebate učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomke. Ili radite s nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo oba dijela s izrazom koji će nam dati priliku svesti sve nazivnike (tj. u biti zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

Na lijevoj strani, da biste smanjili nazivnik, trebate pomnožiti s x+2. A s desne strane potrebno je množenje s 2. Dakle, jednadžba se mora pomnožiti s 2(x+2). Množimo:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću detaljno napisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu. (x + 2)! Dakle, u cijelosti pišem:

S lijeve strane je skroz reduciran (x+2), a u desnoj 2. Po potrebi! Nakon redukcije dobivamo linearni jednadžba:

Svatko može riješiti ovu jednadžbu! x = 2.

Riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1 se može napisati:

I opet se rješavamo onoga što nam se baš ne sviđa - od razlomaka.

Vidimo da je za smanjenje nazivnika s x potrebno razlomak pomnožiti s (x - 2). A jedinice nam nisu smetnja. Pa, ajmo množiti. svi lijeva strana i svi desna strana:

Opet zagrade (x - 2) ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom, kao da je jedan broj! To se uvijek mora učiniti, inače se ništa neće smanjiti.

S osjećajem dubokog zadovoljstva režemo (x - 2) i dobijemo jednadžbu bez razlomaka, u ravnalu!

A sada otvaramo zagrade:

Dajemo slične, prenosimo sve na lijevu stranu i dobivamo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus naprijed nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem s -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je ovu jednadžbu najbolje podijeliti s -2! Jednim potezom minus će nestati, a koeficijenti će postati ljepši! Dijelimo s -2. S lijeve strane - pojam po pojam, a s desne - samo podijelite nulu s -2, nulu i dobijete:

Rješavamo preko diskriminate i provjeravamo prema Vieta teoremu. Dobivamo x=1 i x=3. Dva korijena.

Kao što vidite, u prvom slučaju jednadžba je nakon transformacije postala linearna, a ovdje je kvadratna. Događa se da se nakon uklanjanja razlomaka svi x-ovi smanjuju. Ostalo je nešto, kao 5=5. To znači da x može biti bilo što. Što god bilo, svejedno će se smanjiti. I shvatite čistu istinu, 5=5. No, nakon što se riješimo razlomaka, može se pokazati da je potpuno neistinito, npr. 2=7. A ovo znači to nema rješenja! S bilo kojim x, ispada da je lažan.

Shvatio glavni način rješavanja frakcijske jednadžbe? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izričaj tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili se miješati. U ovom slučaju, to su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složenih primjera s logaritmima, sinusima i ostalim užasima. Mi stalno riješit ćemo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da ... čiji je razvoj priprema za ispit iz matematike. Ovdje učimo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na ispitu! Ali prvo, da vidimo padate li u to ili ne?

Uzmimo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, oba dijela množimo s (x - 2), dobivamo:

Zapamtite, sa zagradama (x - 2) radimo kao s jednim, integralnim izrazom!

Ovdje više nisam napisao onaj u nazivnicima, nedostojanstveno... I nisam povlačio zagrade u nazivnicima, osim x - 2 nema ništa, ne možete crtati. Skraćujemo:

Otvaramo zagrade, pomičemo sve ulijevo, dajemo slične:

Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x = 2 i x = 3. Izvrsno.

Pretpostavimo da u zadatku stoji da treba zapisati korijen ili njihov zbroj ako ima više od jednog korijena. Što ćemo napisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasjedu. I zadatak vam se neće računati. Uzalud su se trudili... Točan odgovor je 3.

Što je bilo?! A ti probaj provjeriti. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u izvornik primjer. A ako na x = 3 sve zajedno raste divno, dobijemo 9 = 9, zatim sa x = 2 podijeli s nulom! Ono što se apsolutno ne može učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani strani ili dodatni korijen. Samo ga odbacujemo. Postoji samo jedan konačni korijen. x = 3.

Kako to?! Čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti s izrazom! Ovo je ista transformacija!

Da, identično. Pod malim uvjetom - izraz kojim množimo (dijelimo) - različit od nule. I x - 2 na x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

I što ja sad mogu?! Ne množite izrazom? Provjeravate li svaki put? Opet nejasno!

Mirno! Bez panike!

U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam što si mislio. Ispravno! to ODZ . Područje važećih vrijednosti.

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Razmotrimo sve detaljno: suštinu i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo srodne pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, gdje x– varijabla, a , b i c su neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je zapravo kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, a c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi skraćeni oblik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 seniorski koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Razmatranje konkretnog primjera omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na smanjenu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Odluka

Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da a = 0 u biti pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada su koeficijenti b i c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b i c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo takvi nazivi.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 i c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpune.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 za c = 0 .

Razmotrimo redom rješenja svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je već gore spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b i c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, koju dobijemo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x=0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Rješenje je sažeto kako slijedi:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prenošenjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
podijelite obje strane jednadžbe s a, dobivamo kao rezultat x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključka o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a i c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, if a = 1 i c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 i c=6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednak nuli jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo zapis korijena pronađenih gore kao x 1 i − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, koji se razlikuje od korijena x 1 i − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu umjesto x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u pravednu numeričku jednakost.

Za x 1 i − x 1 napiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava numeričkih jednakosti oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva numeričkih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje se od x 1 i − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .

Sažimamo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:

neće imati korijene na - c a< 0 ;
imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Odluka

Slobodni član prenesemo na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane dobivene jednadžbe podijelimo s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.

Odluka

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani je pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.

Odgovor: x=6 ili x = -6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 i a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 i x = − b a.

Učvrstimo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Odluka

Izvadimo x izvan zagrada i dobijemo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminanta, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da je x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
odaberite puni kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tako smo došli do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješavanju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, točan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednadžbe i definira se slovo D kao njezina oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - po njegovoj vrijednosti i znaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminacijski zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Rezimirajmo zaključke:

Definicija 9

na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i svedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, da se odrede oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom izvlačenja kvadratnog korijena negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva, pretraga se obično ne odnosi na kompleksne, već na stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračunavanje vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminante;
kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a .

Razmotrite primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Predstavljamo rješenja primjera za različite vrijednosti diskriminante.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

Odluka

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a , b i c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x \u003d - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo izuzimanjem faktora iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Odluka

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Odluka

Brojčani koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminacija je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema realne korijene.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije s kompleksnim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

U školskom kurikulumu standardno ne postoji zahtjev za traženje složenih korijena, stoga, ako je diskriminant definiran kao negativan tijekom odluke, odmah se bilježi odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom pri x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ponašamo se prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 , odnosno D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

nađi D 1 = n 2 − a c ;
na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
za D 1 = 0 jedini korijen jednadžbe odredite formulom x = - n a ;
za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Odluka

Drugi koeficijent dane jednadžbe može se prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobiven dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu relativno prosti brojevi. Tada se obično oba dijela jednadžbe dijele s najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju frakcijski koeficijenti. U ovom slučaju pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada će biti napisana u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na kraju napominjemo da se gotovo uvijek oslobađamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakom članu jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe preko njezinih numeričkih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo mogućnost postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vieta teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, po obliku kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a produkt korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Poznato je da je to posebna verzija jednakosti ax 2 + in + c \u003d o, gdje su a, b i c stvarni koeficijenti za nepoznati x, a gdje je a ≠ o, a b i c će biti nule - istovremeno ili zasebno. Na primjer, c = o, v ≠ o ili obrnuto. Skoro smo se sjetili definicije kvadratne jednadžbe.

Trinom drugog stupnja jednak je nuli. Njegov prvi koeficijent a ≠ o, b i c mogu poprimiti bilo koje vrijednosti. Vrijednost varijable x tada će biti kada će je pri zamjeni pretvoriti u ispravnu brojčanu jednakost. Zadržimo se na stvarnim korijenima, iako rješenja jednadžbe mogu biti i potpuna.Uobičajeno je nazvati jednadžbu u kojoj niti jedan koeficijent nije jednak o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Riješimo primjer. 2x2 -9x-5 = oh, nalazimo
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D je pozitivan pa postoje korijeni, x 1 = (9+√121): 4 = 5, a drugi x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Provjerom ćete se uvjeriti da su ispravni.

Ovdje je korak po korak rješenje kvadratne jednadžbe

Preko diskriminante možete riješiti bilo koju jednadžbu na čijoj se lijevoj strani nalazi poznati kvadratni trinom s ≠ o. U našem primjeru. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Razmotrite što su nepotpune jednadžbe drugog stupnja

sjekira 2 + in = o. Slobodni član, koeficijent c pri x 0, ovdje je nula, u ≠ o.
Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu ove vrste? Izvadimo x iz zagrada. Zapamtite kada je umnožak dvaju faktora nula.
x(ax+b) = o, to može biti kada je x = o ili kada je ax+b = o.
Rješavajući 2. imamo x = -v/a.
Kao rezultat toga, imamo korijene x 1 \u003d 0, prema izračunima x 2 \u003d -b / a.
Sada je koeficijent x o, ali c nije jednak (≠) o.
x 2 + c \u003d o. Prebacujemo c na desnu stranu jednakosti, dobivamo x 2 \u003d -c. Ova jednadžba ima prave korijene samo kada je -c pozitivan broj (c ‹ o),
x 1 je tada jednako √(-c), respektivno, x 2 je -√(-c). Inače, jednadžba uopće nema korijena.
Posljednja opcija: b \u003d c \u003d o, odnosno sjekira 2 \u003d o. Naravno, tako jednostavna jednadžba ima jedan korijen, x = o.

Posebni slučajevi

Razmotrili smo kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, a sada ćemo uzeti bilo koju vrstu.

U punoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent od x je paran broj.
Neka je k = o,5b. Imamo formule za izračunavanje diskriminante i korijena.
D / 4 \u003d k 2 - ac, korijeni se izračunavaju na sljedeći način x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a za D › o.
x = -k/a pri D = o.
Nema korijena za D ‹ o.
Postoje reducirane kvadratne jednadžbe, kada je koeficijent x na kvadrat 1, obično se pišu x 2 + px + q \u003d o. Sve gore navedene formule vrijede za njih, ali su izračuni nešto jednostavniji.
Primjer, x 2 -4x-9 \u003d 0. Izračunavamo D: 2 2 +9, D \u003d 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Osim toga, lako se primjenjuje na zadane kaže da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p, drugi koeficijent s minusom (što znači suprotni predznak), a umnožak tih istih korijena će biti jednak q, slobodnom članu. Provjerite kako bi bilo lako verbalno odrediti korijene ove jednadžbe. Za nereducirane (za sve koeficijente koji nisu jednaki nuli), ovaj je teorem primjenjiv na sljedeći način: zbroj x 1 + x 2 jednak je -v / a, umnožak x 1 x 2 jednak je c / a .

Zbroj slobodnog člana c i prvog koeficijenta a jednak je koeficijentu b. U ovoj situaciji, jednadžba ima barem jedan korijen (lako ga je dokazati), prvi je nužno jednak -1, a drugi - c / a, ako postoji. Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, možete sami provjeriti. Lako peasy. Koeficijenti mogu biti u nekim međusobnim omjerima

x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
Zbroj svih koeficijenata je o.
Korijeni takve jednadžbe su 1 i c / a. Primjer, 2x 2 -15x + 13 = o.
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Postoji niz drugih načina rješavanja različitih jednadžbi drugog stupnja. Ovdje je, na primjer, metoda za izdvajanje punog kvadrata iz zadanog polinoma. Postoji nekoliko grafičkih načina. Kada se često bavite ovakvim primjerima, naučit ćete ih "klikati" kao sjemenke, jer vam sve metode automatski padaju na pamet.