Matrice kako riješiti primjere. Hoshin Kanri

1. godina, viša matematika, studiranje matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo osnovne operacije koje se mogu izvoditi s matricama. Gdje započeti upoznavanje s matricama? Naravno, od najjednostavnijih stvari - definicija, osnovnih pojmova i jednostavnih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svi koji im posvete barem malo vremena!

Definicija matrice

Matrica je pravokutna tablica elemenata. Pa što ako jednostavnim jezikom– tablica brojeva.

Tipično se matrice označavaju velikim slovima latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B i tako dalje. Matrice mogu biti različitih veličina: pravokutne, kvadratne, a postoje i redne i stupčaste matrice koje se nazivaju vektori. Veličina matrice određena je brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutna matrica veličina m na n , Gdje m – broj redaka, i n – broj stupaca.

Predmeti za koje i=j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice i nazivaju se dijagonalama.

Što možete učiniti s matricama? Zbrajanje/oduzimanje, pomnožiti s brojem, umnožiti među sobom, transponirati. Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.

Operacije zbrajanja i oduzimanja matrica

Odmah vas upozoravamo da možete dodavati samo matrice iste veličine. Rezultat će biti matrica iste veličine. Zbrajanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno - samo trebate zbrojiti njihove odgovarajuće elemente . Navedimo primjer. Izvršimo zbrajanje dviju matrica A i B veličine dva puta dva.

Oduzimanje se izvodi po analogiji, samo sa suprotnim predznakom.

Bilo koja matrica se može pomnožiti proizvoljnim brojem. Uraditi ovo, morate svaki njegov element pomnožiti s ovim brojem. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera s brojem 5:

Operacija množenja matrica

Ne mogu se sve matrice međusobno množiti. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu međusobno množiti samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B. U ovom slučaju svaki element rezultirajuće matrice koji se nalazi u i-tom retku i j-ti stupac, hoće jednak zbroju proizvodi odgovarajućih elemenata u i-ti redak prvi faktor i j-ti stupac drugog. Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:

I primjer s realnim brojevima. Pomnožimo matrice:

Transponiranje matrice

Transpozicija matrice je operacija u kojoj se odgovarajući redovi i stupci mijenjaju. Na primjer, transponirajmo matricu A iz prvog primjera:

Matrična determinanta

Determinanta, ili determinanta, jedan je od osnovnih pojmova linearne algebre. Jednom davno ljudi su se dosjetili linearne jednadžbe, a iza njih smo morali smisliti odrednicu. Na kraju, na vama je da se nosite sa svime ovime, dakle, posljednji guranje!

Odrednica je numerička karakteristika kvadratna matrica, koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Za izračun determinante najjednostavnije kvadratne matrice potrebno je izračunati razliku umnožaka elemenata glavne i sporedne dijagonale.

Determinanta matrice prvog reda, koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.

Što ako je matrica tri puta tri? Ovo je teže, ali možete se nositi.

Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju umnožaka elemenata glavne dijagonale i umnožaka elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim s glavnom dijagonalom, iz čega je umnožak oduzimaju se elementi sekundarne dijagonale i umnožak elemenata koji leže na trokutima s licem paralelne sekundarne dijagonale.

Srećom, u praksi je rijetko potrebno izračunati determinante matrica velikih veličina.

Ovdje smo pogledali osnovne operacije na matricama. Naravno, u stvaran život možda nikada nećete naići ni na naznaku matrični sustav jednadžbi ili obrnuto – suočiti se s mnogo više složeni slučajevi kad stvarno morate napucati glavu. Za takve slučajeve postoje stručni studentski servisi. Zatražite pomoć, dobijte kvalitetu i detaljno rješenje, uživajte u svom akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.

Matrična jednadžba je jednadžba oblika

A ⋅ x = B

x ⋅ A = B ,

Gdje A I B- dobro poznate matrice, x - nepoznata matrica, koje želite pronaći.

Kako riješiti matričnu jednadžbu u prvom slučaju? Da bi se riješila matrična jednadžba oblika A ⋅ x = B , oba dijela treba pomnožiti obrnutim brojem A matrica lijevo:

Prema definiciji inverzne matrice, umnožak inverzne matrice i zadane originalne matrice jednak je matrici identiteta: , dakle

.

Jer E - Matrica identiteta, To E ⋅ x = x . Kao rezultat, dobivamo da je nepoznata matrica x jednak je proizvodu matrice inverzne matrice A, lijevo, na matricu B :

Kako riješiti matričnu jednadžbu u drugom slučaju? Ako je dana jednadžba

x ⋅ A = B ,

odnosno onaj u kojem u umnošku nepoznate matrice x i poznata matrica A matrica A je s desne strane, tada trebate postupiti slično, ali mijenjajući smjer množenja matricom inverznom matrici A, i pomnožite matricu B s njene desne strane:

,

Kao što vidite, vrlo je važno koju stranu pomnožiti s inverznom matricom, jer . Povratak na A matrica pomnožena matricom B na strani s koje matrica A pomnoženo nepoznatom matricom x. To jest, na strani gdje se nalazi matrica u proizvodu s nepoznatom matricom A .

Kako riješiti matričnu jednadžbu u trećem slučaju? Postoje slučajevi kada se na lijevoj strani jednadžbe nalazi nepoznata matrica x nalazi se u sredini umnoška triju matrica. Zatim poznatu matricu s desne strane jednadžbe treba pomnožiti s lijeve strane s matricom koja je inverzna onoj u gore navedenoj proizvod tri matrica je bila lijevo, a desno matrici koja je inverzna matrici koja se nalazila desno. Dakle, rješavanjem matrične jednadžbe

A ⋅ x ⋅ B = C ,

je

.

Rješavanje matričnih jednadžbi: primjeri

Primjer 1. Riješite matričnu jednadžbu

.

A ⋅ x = B A i nepoznata matrica x matrica A B AA .

A :

.

A :

.

A :

Sada imamo sve da pronađemo matricu koja je inverzna matrici A :

.

Konačno, nalazimo nepoznatu matricu:

Riješite sami matričnu jednadžbu i zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Riješite matričnu jednadžbu

.

Riješenje. Ova jednadžba izgleda kao x ⋅ A = B , odnosno u produktu matrice A i nepoznata matrica x matrica A B matrici inverznoj matrici AA .

Prvo nalazimo determinantu matrice A :

.

Nađimo algebarske komplemente matrice A :

Kreirajmo matricu algebarski dodaci:

.

Transponirajući matricu algebarskih komplemenata, nalazimo matricu srodnu matrici A :

A :

.

Pronalaženje nepoznate matrice:

Do sada smo jednadžbe rješavali s matricama drugog reda, a sada su na redu matrice trećeg reda.

Primjer 4. Riješite matričnu jednadžbu

.

Riješenje. Ovo je jednadžba prve vrste: A ⋅ x = B , odnosno u produktu matrice A i nepoznata matrica x matrica A je na lijevoj strani. Dakle, rješenje treba tražiti u obliku, odnosno da je nepoznata matrica jednaka umnošku matrice B matrici inverznoj matrici A lijevo. Nađimo matricu inverznu matrici A .

Prvo nalazimo determinantu matrice A :

Nađimo algebarske komplemente matrice A :

Kreirajmo matricu algebarskih sabiranja:

Transponirajući matricu algebarskih komplemenata, nalazimo matricu srodnu matrici A :

.

Nalaženje matrice inverzne matrice A, a to radimo lako, budući da je determinanta matrice A jednako jedan:

.

Pronalaženje nepoznate matrice:

Primjer 5. Riješite matričnu jednadžbu

.

Riješenje. Ova jednadžba ima oblik x ⋅ A = B , odnosno u produktu matrice A i nepoznata matrica x matrica A je na desnoj strani. Dakle, rješenje treba tražiti u obliku, odnosno da je nepoznata matrica jednaka umnošku matrice B matrici inverznoj matrici A desno. Nađimo matricu inverznu matrici A .

Prvo nalazimo determinantu matrice A :

Nađimo algebarske komplemente matrice A :

Kreirajmo matricu algebarskih sabiranja:

.

Transponirajući matricu algebarskih komplemenata, nalazimo matricu srodnu matrici A .

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Matrica veličine m× n naziva skup m·n brojevi raspoređeni u pravokutnu tablicu od m linije i n stupci. Ova se tablica obično nalazi u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi sažetosti, matrica se može označiti s jedan veliko slovo, Na primjer, A ili U.

U opći pogled veličina matrice m× n napiši to ovako

.

Brojevi koji čine matricu nazivaju se elementi matrice. Prikladno je osigurati elemente matrice s dva indeksa a ij: Prvi označava broj retka, a drugi označava broj stupca. Na primjer, a 23– element se nalazi u 2. redu, 3. stupcu.

Ako matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica je njen redoslijed 1.

Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jedan stupac.

Poziva se matrica sa samo jednim retkom matrica – redak(ili niz), i matricu sa samo jednim stupcem matrica – stupac.

Matrica čiji su svi elementi nula naziva se ništavan i označava se s (0) ili jednostavno 0. Na primjer,

.

Glavna dijagonala kvadratne matrice nazivamo dijagonalom koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici naziva se singl matrica i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

DJELOVANJA NA MATRICAMA

Jednakost matrice. Dvije matrice A I B kaže se da su jednaki ako imaju isti broj redaka i stupaca i njihovi odgovarajući elementi su jednaki a ij = b ij. Pa ako I , To A=B, Ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 I a 22 = b 22.

Transponirati. Promotrimo proizvoljnu matricu A iz m linije i n stupci. Može se povezati sa sljedećom matricom B iz n linije i m stupaca, u kojima je svaki redak stupac matrice A s istim brojem (stoga je svaki stupac redak matrice A s istim brojem). Pa ako , To .

Ova matrica B nazvao transponirano matrica A, i prijelaz iz A Do B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redaka i stupaca matrice. Matrica transponirana u matricu A, obično označeno A T.

Komunikacija između matrice A a njegovo transponiranje može se napisati u obliku .

Na primjer. Nađi matricu transponiranu zadane.

Zbrajanje matrice. Neka matrice A I B sastoje se od istog broja redaka i isti broj stupaca, tj. imati iste veličine. Zatim kako bi se dodale matrice A I B potrebni za elemente matrice A dodati elemente matrice B stojeći na istim mjestima. Dakle, zbroj dviju matrica A I B nazvana matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Nađi zbroj matrica:

Lako je provjeriti da zbrajanje matrica poštuje sljedeće zakone: komutativni A+B=B+A i asocijativne ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k svaki element matrice je potreban A pomnožite s ovim brojem. Dakle, proizvod matrice A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koje brojeve a I b i matrice A I B vrijede sljedeće jednakosti:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova se operacija odvija prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine matrica faktora moraju biti dosljedne. Možete množiti samo one matrice u kojima se broj stupaca prve matrice podudara s brojem redaka druge matrice (tj. duljina prvog retka jednaka je visini drugog stupca). Posao matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bi se dobio proizvod (tj. u matrici C) element koji se nalazi u 1. retku i 3. stupcu od 13, trebate uzeti 1. redak u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente retka s odgovarajućim elementima stupca i zbrojiti dobivene umnoške. I ostali elementi matrice umnoška dobivaju se pomoću sličnog umnoška redaka prve matrice i stupaca druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (a ij) veličina m× n na matricu B = (b ij) veličina n× str, tada dobivamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij se dobiva kao rezultat produkta elemenata ja redak matrice A na odgovarajuće elemente j stupac matrice B i njihove dopune.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, a kao rezultat dobivamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica uvijek se može pomnožiti sama sa sobom, tj. kvadrat.

Drugi važan slučaj je množenje matrice retka matricom stupca, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, što rezultira matricom prvog reda (tj. jednim elementom). Stvarno,

.

Primjeri.

Dakle, ove jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, kada množite matrice, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se provjeriti da se množenje matrica pokorava asocijativnim i distributivnim zakonima, tj. (AB)C=A(BC) I (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti kod množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda opet dobivamo matricu A, i AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što znate, umnožak 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to možda nije slučaj, tj. umnožak 2 različite matrice može biti jednak nultoj matrici.

Na primjer, Ako , To

.

POJAM DETERMINANTI

Neka je dana matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva retka i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara zadanoj matrici je broj dobiven na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, trebate oduzeti umnožak elemenata duž druge dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i njezinu odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara danoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

.

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 a izračun determinante trećeg reda svodi na izračun determinanti drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično se mogu uvesti pojmovi odrednica četvrtog, petog itd. poredaka, snižavajući njihov poredak proširivanjem na elemente 1. reda, pri čemu se izmjenjuju predznaci “+” i “–” pojmova.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tablica brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.

, 2008.

Ovo je prvi u Rusiji praktični vodič o uvođenju Hoshina Kanrija – jedan od naj učinkoviti sustavi razvoj strategije i implementacija planova unutar tvrtke. Razvijanje strategije poduzeća nije lako. Ali još ga je teže provesti. Uostalom, za to ga je potrebno pretočiti u konkretne operativne planove pojedinih zaposlenika. Kako to učiniti? Toyota, Bridgestone i Komatsu koriste Hoshin Kanri tehniku. A ova knjiga je prvi praktični vodič u našoj zemlji o implementaciji ovog koncepta. Knjigu prati dodatni materijali V u elektroničkom obliku. Materijali sadrže prazni stolovi, dokumente i upute za popunjavanje koji će hoshin timovima biti potrebni u radu. Svi materijali su objavljeni na web straniciwww.icss.ac.ru/books na stranici knjige “Hoshin Kanri: Kako učiniti da strategija funkcionira.”

Što je Hoshin Kanri

Hoshin Kanri može značiti mnogo stvari za organizaciju. To je i metoda strateškog planiranja i alat upravljanja. složeni projekti, te sustav upravljanja kvalitetom koji omogućuje uzimanje u obzir zahtjeva i želja potrošača pri razvoju novih proizvoda, te operacijski sustav tvrtka koja osigurava pouzdan rast dobiti. To je također metoda međufunkcionalnog upravljanja i integracije opskrbnog lanca u procesu vitke proizvodnje. Ali iznad svega, Hoshin Kanri je metoda organizacijsko učenje I sustav za stvaranje konkurentnih resursa.

Na japanski hijeroglifi u riječi "kanri" znače kontrolirati, kontrolirati. Znakovi u riječi "hoshin" mogu se prevesti kao smjer I sjajna igla, a sve zajedno - lajk kompas. U pravilu se ti hijeroglifi prevode kao politika, zbog čega ćete često vidjeti ovaj prijevod hoshin kanri: upravljanje politikom ili implementacija politike. Većina čitatelja s engleskog govornog područja ima riječ politika odmah evocira birokratski svijet koji nema nikakve veze s organizacijskim učenjem. Stoga ćemo za potrebe ovog vodiča koristiti izvorni japanski izraz – hoshin kanri.

Osnove Hoshina Kanrija - Ugrađeni eksperimenti, X-Matrix i formiranje tima

U ovom poglavlju ćemo istražiti osnove Hoshin Kanrija. U tablica 1-1 (dio 1, dio 2) pružena je "karta puta" - shema Hoshina Kanrija korak po korak ( Istraži – planiraj – napravi – provjeri – djeluj) kojih će se pridržavati različite radne skupine (ili timovi) prilikom izvođenja praktičnih zadataka o uvođenju Hoshina Kanrija. Kao što je navedeno u uvodu, ovaj priručnik strukturiran je prema PDCA ciklusu ( Planirajte – učinite – provjerite – djelujte) i logiku postupnog procesa Hoshina Kanrija. U fazi istraživanja tim nastupa određeni posao prije početka implementacije PDCA ciklus unutar Hoshina Kanrija. Na pozornici "Plan" Razvija se strategija ili slijed eksperimenta, biraju se i okupljaju timovi, a odgovornosti se raspodjeljuju između četiri tima za planiranje i provedbu. Na pozornici "Čini" U procesu vođenja projekta i organiziranja obuke osoblja, obučavaju se voditelji i implementira izrađeni plan. Pozornica "Ček" uključuje organizaciju redovitog praćenja i evaluacije. Pozornica "Utjecaj" ima za cilj učiniti Hoshin Kanri dijelom korporativne kulture kroz standardizaciju i kontinuirano poboljšanje.

Korak po korak shema Hoshina Kanrija također ukazuje na potrebu formiranja timova stručnjaka, od kojih bi svaki trebao biti odgovoran za određene eksperimente. Bit će potrebno nekoliko takvih timova ili radnih skupina. Prva naredba koju morate kreirati je naredba hoshin. Tipično, hoshin tim je upravljački tim odgovoran za određenu poslovnu jedinicu (cijela tvrtka ili jedan odjel, podružnica, robna marka, linija proizvoda, odjel, radno područje ili tok vrijednosti). Radi lakšeg predstavljanja, menadžerskim timom ćemo smatrati hoshin menadžment tim, odnosno hoshin tim. Kasnije u ovom poglavlju naučit ćete kako odabrati članove za hoshin tim.

Prateći tvrtku Cybernautx, čijim primjerom ilustriramo hoshin proces, pretpostavit ćemo da je menadžerski tim odgovoran za tijek vrijednosti u cjelini. Zapravo, možete odabrati bilo koje polazište koje odgovara vašim uvjetima. Na primjer, hoshin tim može biti partner privatnog kapitalnog poduzeća koji formulira strategiju za povećanje vrijednosti svojih udjela. Ili bi hoshin tim mogao biti, kao što je opisano u knjizi Implementing Lean Management, upravitelj tvornice i njegovi izravni podređeni razvijaju TPM (potpuno održavanje tvornice) program. Ili to može biti voditelj odjela sa svojim izravnim podređenima koji oblikuju strategiju za unapređenje odjela. Gdje god odlučite započeti hoshin proces, tim za upravljanje hoshinom trebao bi uključivati ​​ključnog dionika – predstavnike poslovne jedinice u kojoj će se hoshin rasporediti ili implementirati strategija koja se formira. To znači da tim mora biti međufunkcionalan (to jest, uključivati ​​predstavnike iz različitih funkcionalnih jedinica) ili - kao u primjeru toka vrijednosti koji smo pokazali u studiji slučaja Cybernautx - međuorganizacijski (to jest, uključivati ​​predstavnike iz različitih tvrtki) .

Prije formiranja tima, tvrtka će morati istražiti svoje poslovanje

okruženje za definiranje problema ili zadatka na koje strategija treba biti usmjerena. Potrebno istraživanje može provesti hoshin tim ili, ako želite, ova se funkcija može delegirati stručnjacima specijalistima. (U našoj knjizi istraživanje provodi Hoshin tim.) Nakon što je analiza završena, Hoshin tim razvija strategiju i stvara X-matricu kako bi tvrtka mogla predstaviti svoju poslovnu strategiju u eksperimentalnom formatu, uključujući svih sedam Hoshin eksperimenti, za rješavanje identificiranog problema ili izazova. Prilikom izrade strategije hoshin tim sve strateški određuje važni elementi, uključujući prvi od sedam hoshin eksperimenata opisanih u nastavku.

Sedam Hoshin Kanri eksperimenata

Konačni rezultat primjene strategije nitko unaprijed ne zna (a ovo strategija je slična znanstvena hipoteza ), posebno dinamičnu strategiju koja uključuje poboljšanje načina na koji poslujete. Morat ćete ga implementirati da saznate što se događa. U ovom istraživačkom kontekstu vaši planovi postaju "eksperimenti". To su "eksperimenti" koji se provode u kontroliranim uvjetima standardizirani procesi rada, omogućuju svakom menadžeru i svakom zaposleniku da budu uključeni u hoshin kanri proces kako bi testirali hipotezu, tj. izvedivost strategije koju je odabrala vaša tvrtka.

Hoshin Kanri eksperimente provodi mreža radnih grupa, koje uključuju najviše menadžere, srednje menadžere i - bez greške u fazi "Do" - svo radno osoblje. Svaki eksperiment u PDCA ciklusu u sustavu Hoshin Kanri ima svoj zadatak, koji ovisi o trajanju eksperimenta i njegovoj vezi s zajednički ciljevi organizacije. Općenito, što je duži ciklus, to je viša razina odgovornosti u hijerarhiji upravljanja. Štoviše, proces Hoshin Kanri je beskonačan. Ciklusi strateškog poboljšanja ponavljaju se jednom godišnje. Tvrtke imaju početno stanje Transformatorima koji su tek počeli implementirati Lean ili Six Sigma može trebati do 18 mjeseci da završe prvi ciklus. A tvrtke koje se tim putem kreću bržim tempom mogu uspjeti ponoviti ciklus dva puta godišnje kako bi ubrzale proces organizacijskog učenja.

Kao što je gore navedeno, Hoshin tim odgovoran je za provedbu prva tri eksperimenta u sustavu Hoshin. Na pozornici "Plan" Hoshin tim pomoći će formulirati i raspodijeliti odgovornosti za posljednja četiri eksperimenta među ostale tri vrste timova, od kojih će svaki imati svoj skup zadataka za svaki ciklus "Planiraj - napravi - provjeri - djeluj". Bit će stvoreno nekoliko taktičkih timova - otprilike jedan za svakog člana hoshin tima, mnogo operativnih timova i još više timova za izvršenje. U završnoj fazi "Plan" možete uključiti svakog menadžera u hoshin proces. U konačnici na pozornici "Čini" Formiranjem timova izvođača postići ćete sudjelovanje u hoshin procesu cjelokupnog radnog tima na svim organizacijskim razinama koje postoje u vašoj tvrtki.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale koja prolazi slijeva gornji kut u donjem desnom uglu su jedinice, a ostalo su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice u kojima se broj redaka i stupaca podudara.

Teorem za uvjet postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da ona bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran, ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Stoga možemo reći da bi postojao inverzna matrica, potrebno je i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i pripišite joj matricu E s desne strane (mjesto desnih strana jednadžbi).
2. Koristeći Jordanove transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) zadnje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
4. Zapišite inverznu matricu A -1 koja je u posljednji stol pod matricom E izvorne tablice.

Primjer 1

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Napišemo matricu A i dodijelimo matricu identiteta E pomoću Jordanovih transformacija reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su dati u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica, dobivena je matrica identiteta. Stoga su izračuni napravljeni ispravno.

Odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, trebate pomnožiti ovu jednadžbu s s lijeve strane.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Primjer 2

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Uz ostale koriste se i oni matrične metode . Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste u svrhu analize složenih i višedimenzionalnih ekonomske pojave. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu procjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi sustav se formira ekonomski pokazatelji te se na temelju toga sastavlja matrica izvornih podataka, koja je tablica u kojoj su brojevi sustava prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), au okomitim stupcima - brojevi pokazatelja (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki okomiti stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najveća vrijednost i formira se matrica standardizirani koeficijenti.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom indikatoru matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se vještačenjem.

Na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjene R j su grupirani prema njihovom rastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, kada komparativna analiza razne investicijske projekte, kao i pri ocjeni drugih ekonomskih pokazatelja organizacija.