Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljeni trapez).

U kartezijanskom pravokutni sustav koordinate xOy, dana je figura (vidi sliku) omeđena osi x, ravne linije x = a, x = b (zakrivljeni trapez. Potrebno je izračunati površinu zakrivljenog trapeza.
Riješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina mnogokuta i nekih dijelova kruga (sektor, segment). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, razmišljajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (baza zakrivljenog trapeza) na n jednake dijelove; ova se podjela provodi pomoću točaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Povucimo ravne linije kroz te točke paralelne s y-osi. Tada će zadani krivocrtni trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbroju površina stupova.

Razmotrimo zasebno k-ti stupac, tj. zakrivljeni trapez čija je osnovica segment. Zamijenimo ga pravokutnikom iste baze i visine jednake f(x k) (vidi sliku). Površina pravokutnika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) duljina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir rezultirajući proizvod kao približnu vrijednost površine k-tog stupca.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S zadanog krivocrtnog trapeza približno je jednaka površini S n stepenaste figure sastavljene od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi jednoobraznosti zapisa, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - duljina segmenta, \(\Delta x_1 \) - duljina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se gore dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \approx S_n \), a ova približna jednakost je točnija što je n veći.
Prema definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivocrtnog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju točke)
Kreće se pravocrtno materijalna točka. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Nađite kretanje točke kroz neko vrijeme [a; b].
Riješenje. Kad bi kretanje bilo jednoliko, tada bi se problem riješio vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima se temeljilo rješenje prethodnog problema.
1) Podijelimo vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Promotrimo vremenski period i pretpostavimo da je tijekom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Stoga pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost pomicanja točke u određenom vremenskom razdoblju; tu ćemo približnu vrijednost označiti s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Odredite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \točke + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \točke + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak jednak je granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sažmimo. Rješenja raznih problema svodila su se na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih područja znanosti i tehnologije vode do istog modela u procesu rješavanja. Tako da je ovo matematički model potrebno posebno proučavati.

Pojam određenog integrala

Dajmo matematički opis model koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno i nenegativnu, kako se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) razdvojite segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) sastavite zbroj $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Znam matematička analiza dokazano je da ta granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je pozvan određeni integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] i označava se na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojeve a i b nazivamo granicama integracije (donja odnosno gornja).

Vratimo se zadacima o kojima smo govorili gore. Definicija površine dana u problemu 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina zakrivljenog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b, dana u problemu 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton - Leibnizova formula

Najprije odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivacije?

Odgovor se može pronaći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b izračunava se pomoću formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne točke je antiderivacija za brzinu - označimo je s(t); to znači da se pomak s izražava formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobivamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivacija v(t).

Sljedeći teorem je dokazan tijekom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na intervalu [a; b], tada je formula valjana
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivacija f(x).

Zadana formula se obično zove Newton-Leibnizova formula u čast engleski fizičar Isaac Newton (1643.-1727.) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646.-1716.), koji su je primili neovisno jedan o drugome i gotovo istovremeno.

U praksi se umjesto pisanja F(b) - F(a) koristi oznaka \(\lijevo. F(x)\desno|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, prema tome, prepišite Newton-Leibnizovu formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Pri računanju određenog integrala najprije pronađite antiderivaciju, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na temelju Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Svojstvo 1. Integral sume funkcija jednak zbroju integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Svojstvo 2. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih likova pomoću određenog integrala

Pomoću integrala možete izračunati površine ne samo krivocrtnih trapeza, već i ravnih figura. složeni tip, na primjer onaj prikazan na slici. Lik P ograničen je ravnim linijama x = a, x = b i grafovima neprekidnih funkcija y = f(x), y = g(x), te na odsječku [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S lika omeđenog ravnim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranih na segmentu i takvih da za bilo koji x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata formulom
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Tema: Izračunavanje površine ravna figura pomoću određenog integrala

Ciljevi: naučiti definiciju i formule za pronalaženje površine krivocrtnog trapeza;

smatrati raznim slučajevima pronalaženje područja krivocrtnog trapeza;

Znati izračunati površinu zakrivljenog trapeza.

Plan:

Krivolinijski trapez.

Formule za izračunavanje površine zakrivljenog trapeza.

Krivolinijski trapez je figura koja je ograničena grafom kontinuirane, nenegativne funkcije f(x) na interval, odsječke x=a i x=b, kao i odsječak x-osi između točaka a i b .

Slike zakrivljenih trapeza:

Sada prijeđimo na moguće opcije mjesto figura čija se površina mora izračunati na koordinatnoj ravnini.

Prvi bit će najjednostavnija opcija (prva slika), uobičajena zakrivljeni trapez, kao u definiciji. Ovdje nema potrebe ništa izmišljati, samo uzmite integral od a prije b od funkcije f(x). Ako nađemo integral, znat ćemo i površinu ovog trapeza.


U drugi opciju, naša slika neće biti ograničena osi x, već drugom funkcijom g(x). Stoga, da biste pronašli područje CEFD, prvo moramo pronaći područje AEFB(koristeći integral od f(x)), zatim pronađite područje ACDB(koristeći integral od g(x)). I potrebno područje figure CEFD, postojat će razlika između prvog i drugog područja zakrivljenog trapeza. Budući da su granice integracije ovdje iste, sve se to može napisati pod jednim integralom (vidi formule ispod slike), sve ovisi o složenosti funkcija, u tom slučaju će biti lakše pronaći integral.



Treći vrlo sličan prvom, ali samo je naš trapez postavljen, ne iznad x-os, i ispod njega. Dakle, ovdje treba uzeti isti integral, samo s predznakom minus, jer će vrijednost integrala biti negativna, a vrijednost površine treba biti pozitivna. Ako umjesto funkcije f(x) preuzeti funkciju –f(x), tada će njegov grafikon biti isti, jednostavno simetrično prikazan u odnosu na x-os.


I Četvrta opciju kada je dio naše figure iznad x-osi, a dio ispod nje. Stoga prvo moramo pronaći područje figure AEFB, kao u prvoj opciji, a zatim područje figure ABCD, kao u trećoj opciji, a zatim ih preklopite. Kao rezultat, dobivamo područje figure DEFC. Budući da su granice integracije ovdje iste, sve se to može napisati pod jednim integralom (vidi formule ispod slike), sve ovisi o složenosti funkcija, u tom slučaju će biti lakše pronaći integral.

Pitanja za samotestiranje:

Koji se lik naziva zakrivljeni trapez?

Kako pronaći područje zakrivljenog trapeza?

Određeni integral. Kako izračunati površinu figure

Prijeđimo na aplikacije integralni račun. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak – kako pomoću određenog integrala izračunati površinu figure u ravnini. Konačno traženje smisla V viša matematika- neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati parcelu dače pomoću elementarnih funkcija i pronaći njezino područje koristeći određeni integral.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na prosječnoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, puno vise aktualno pitanje bit će vaše znanje i vještine u crtanju. U tom smislu, korisno je osvježiti svoje pamćenje grafikonima glavnih elementarne funkcije, i, najmanje, biti u stanju konstruirati ravnu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (za mnoge je potrebno) pomoću metodološki materijal i članke o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svatko je upoznat sa zadatkom pronalaženja površine pomoću određenog integrala još od škole, i nećemo ići dalje od školski plan i program. Ovaj članak možda uopće ne bi postojao, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada učenik pati od omražene škole i s entuzijazmom svladava tečaj iz više matematike.

Materijali ove radionice prezentirani su jednostavno, detaljno i s minimumom teorije.

Počnimo s zakrivljenim trapezom.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i graf funkcije kontinuirane na intervalu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-os:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisna činjenica. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednako površini odgovarajući zakrivljeni trapez.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prvo i najvažniji trenutak rješenja – crtež. Štoviše, crtež mora biti konstruiran PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: isprva bolje je konstruirati sve ravne (ako postoje) i samo Zatim– parabole, hiperbole, grafove drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija točku po točku, tehnika gradnje točka po točka može se pronaći u referentni materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Dovršimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Neću šrafirati zakrivljeni trapez, ovdje je očito kolika je površina govorimo o. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad osi, Zato:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja.

Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U u ovom slučaju„Okom“ brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Potpuno je jasno da kada bismo dobili, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure, ograničena linijama, , i os

Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Te dvije vrste zadataka ne treba brkati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravnog lika omeđenog linijama, .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:

To znači da je donja granica integracije Gornja granica integracija
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Puno je isplativije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Tehnika konstrukcije od točke do točke za različite grafove detaljno je objašnjena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se kod točkaste konstrukcije granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veći ili jednak neki kontinuirana funkcija, tada se površina slike ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je graf VIŠI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Gotovo rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Zapravo, školska formula za područje krivuljastog trapeza u donjoj poluravnini (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os određena jednadžbom, a nalazi se i graf funkcije ne viši sjekire, dakle

A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Odredite površinu lika omeđenog linijama , .

Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješan događaj. Crtanje je urađeno ispravno, proračuni su bili točni, ali zbog nepažnje... pronađeno je područje pogrešne figure, upravo tako je tvoj ponizni sluga zeznuo nekoliko puta. Ovdje pravi slučaj iz života:

Primjer 7

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo, napravimo crtež:

...Eh, crtež je ispao bezveze, ali čini se da je sve čitljivo.

Lik čije područje trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "greška" da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelena!

Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se graf ravne linije;

2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Prijeđimo na drugi smisleni zadatak.

Primjer 8

Izračunaj površinu figure omeđene linijama,
Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku i nacrtajmo točku po točku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica “dobra”: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da to nije cijeli broj, ali što je to? Može biti ? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se ispostaviti da... Ili korijen. Što ako smo krivo napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo sjecišne točke pravca i parabole.
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:


,

Stvarno,.

Daljnje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima; izračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , ,

Riješenje: Hajde da nacrtamo ovu figuru na crtežu.

Kvragu, zaboravio sam potpisati raspored i, oprostite, nisam htio ponoviti sliku. Nije dan za izvlačenje, ukratko, danas je taj dan =)

Za gradnju od točke do točke morate znati izgled sinusoide (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se pronaći u trigonometrijska tablica. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati shematski crtež na kojem bi grafikoni i granice integracije trebali biti temeljno ispravno prikazani.

Ovdje nema problema s granicama integracije; one slijede izravno iz uvjeta: "x" se mijenja od nule do "pi". Donesimo daljnju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad osi, dakle:

Neka je funkcija nenegativna i kontinuirana na intervalu. Zatim, prema geometrijski smisao određenog integrala, područje krivuljastog trapeza omeđeno gore grafom ove funkcije, dolje osi, lijevo i desno ravnim crtama i (vidi sl. 2) izračunava se formulom

Primjer 9. Pronađite površinu figure ograničenu linijom i osi.

Riješenje. Grafikon funkcije je parabola čiji su ogranci usmjereni prema dolje. Sagradimo ga (slika 3). Da bismo odredili granice integracije, nalazimo točke sjecišta pravca (parabole) s osi (pravca). Da bismo to učinili, rješavamo sustav jednadžbi

Dobivamo: , gdje , ; stoga, , .

Riža. 3

Pronalazimo površinu figure pomoću formule (5):

Ako je funkcija nepozitivna i kontinuirana na segmentu , tada se površina krivocrtnog trapeza omeđenog dolje grafom te funkcije, gore osi, lijevo i desno ravnim linijama i , izračunava formula

. (6)

Ako je funkcija kontinuirana na segmentu i mijenja se prijavite se konačan broj bodova, tada je površina osjenčane figure (slika 4) jednaka algebarski zbroj odgovarajući određeni integrali:

Riža. 4

Primjer 10. Izračunajte površinu lika omeđenog osi i grafa funkcije na .

Riža. 5

Riješenje. Napravimo crtež (slika 5). Tražena površina je zbroj površina i . Pronađimo svako od ovih područja. Prvo, rješavanjem sustava određujemo granice integracije Dobivamo,. Stoga:

;

.

Dakle, područje osjenčane figure je

(kvadratne jedinice).

Riža. 6

Konačno, neka je krivolinijski trapez omeđen gore i dolje grafovima funkcija kontinuiranim na segmentu i ,
a lijevo i desno - ravne linije i (slika 6). Tada se njegova površina izračunava formulom

. (8)

Primjer 11. Pronađite površinu figure omeđenu linijama i.

Riješenje. Ova slika je prikazana na sl. 7. Izračunajmo njegovu površinu pomoću formule (8). Rješavanjem sustava jednadžbi nalazimo, ; stoga, , . Na segmentu imamo: . To znači da u formuli (8) uzimamo kao x, a kvalitetom – . Dobivamo:

(kvadratne jedinice).

Više složeni zadaci Izračun površina rješava se dijeljenjem figure na dijelove koji se ne sijeku i izračunavanjem površine cijele figure kao zbroja površina tih dijelova.

Riža. 7

Primjer 12. Odredite površinu lika omeđenog linijama , , .

Riješenje. Napravimo crtež (slika 8). Ova se figura može smatrati krivolinijskim trapezoidom, ograničenim odozdo osi, lijevo i desno - ravnim linijama i, odozgo - grafovima funkcija i. Budući da je lik odozgo ograničen grafovima dviju funkcija, da bismo izračunali njegovu površinu, podijelimo ovu ravnu figuru na dva dijela (1 je apscisa točke sjecišta pravaca i ). Površina svakog od ovih dijelova nalazi se pomoću formule (4):

(kvadratne jedinice); (kvadratne jedinice). Stoga:

(kvadratne jedinice).

Riža. 8

x= j ( na)

Riža. 9

Zaključno, napominjemo da ako je krivuljasti trapez ograničen ravnim linijama i , osi i kontinuirano na krivulji (slika 9), tada se njegovo područje nalazi formulom

Volumen tijela revolucije

Neka krivolinijski trapez, omeđen grafom funkcije kontinuirane na segmentu, osi, ravnim linijama i , rotira oko osi (slika 10). Zatim se volumen rezultirajućeg tijela rotacije izračunava formulom

. (9)

Primjer 13. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi krivocrtnog trapeza omeđenog hiperbolom, ravnim crtama i osi.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 11).

Iz uvjeta zadatka slijedi da je , . Iz formule (9) dobivamo

.

Riža. 10

Riža. jedanaest

Volumen tijela dobiven rotacijom oko osi OU krivolinijski trapez omeđen ravnim linijama y = c I y = d, os OU i graf funkcije kontinuirane na segmentu (slika 12), određene formulom

. (10)

x= j ( na)

Riža. 12

Primjer 14. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi OU krivolinijski trapez omeđen linijama x 2 = 4na, y = 4, x = 0 (slika 13).

Riješenje. U skladu s uvjetima zadatka nalazimo granice integracije: , . Koristeći formulu (10) dobivamo:

Riža. 13

Duljina luka ravninske krivulje

Neka krivulja zadan jednadžbom, gdje , leži u ravnini (slika 14).

Riža. 14

Definicija. Duljina luka podrazumijeva se kao granica kojoj teži duljina izlomljene linije upisane u taj luk, kada broj karika izlomljene linije teži beskonačnosti, a duljina najveće karike teži nuli.

Ako su funkcija i njezina derivacija kontinuirane na segmentu, tada se duljina luka krivulje izračunava po formuli

. (11)

Primjer 15. Izračunajte duljinu luka krivulje zatvorene između točaka za koje .

Riješenje. Iz uvjeta problema koje imamo . Koristeći formulu (11) dobivamo:

4. Nepravi integrali
s beskonačnim granicama integracije

Pri uvođenju pojma određenog integrala pretpostavljeno je da su zadovoljena sljedeća dva uvjeta:

a) granice integracije A i konačni su;

b) integrand je ogranicen na intervalu.

Ako barem jedan od ovih uvjeta nije zadovoljen, tada se poziva integral ne svoj.

Razmotrimo prvo neprave integrale s beskonačnim granicama integracije.

Definicija. Neka je tada funkcija definirana i kontinuirana na intervalu a neograničeno s desne strane (slika 15).

Ako nepravilan integral konvergira, tada je ovo područje konačno; ako nepravi integral divergira, tada je ovo područje beskonačno.

Riža. 15

Nepravi integral s beskonačnom donjom granicom integracije definira se na sličan način:

. (13)

Ovaj integral konvergira ako granica na desnoj strani jednakosti (13) postoji i konačna je; inače se integral naziva divergentnim.

Nepravi integral s dvije beskonačne granice integracije definiran je na sljedeći način:

, (14)

gdje je s bilo koja točka intervala. Integral konvergira samo ako konvergiraju oba integrala s desne strane jednakosti (14).

;

G) = [odaberite u nazivniku savršen kvadrat: ] = [zamjena:

] =

To znači da nepravi integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .