Ekonomsko-matematičke metode u ekonomiji. Lab: Ekonomsko-matematičke metode i modeli

Prilikom konstruiranja ekonomskih modela identificiraju se značajni čimbenici, a odbacuju se detalji koji nisu bitni za rješavanje problema.

Ekonomski modeli mogu uključivati ​​modele:

• ekonomski rast
• izbor potrošača
• ravnoteža na financijskim i robnim tržištima i mnogi drugi.

Model je li to logično ili matematički opis komponente i funkcije koje odražavaju bitna svojstva modeliranog objekta ili procesa.

Model se koristi kao uvjetna slika dizajnirana za pojednostavljenje proučavanja objekta ili procesa.

Priroda modela može biti drugačija. Modeli se dijele na: realne, znakovne, verbalne i tablične opise itd.

Ekonomski i matematički model

U upravljanju poslovnim procesima najveća vrijednost imati prije svega ekonomski i matematički modeli, često kombinirani u sustave modela.

Ekonomski i matematički model(EMM) je matematički opis ekonomskog objekta ili procesa u svrhu njihovog proučavanja i upravljanja. Ovo je matematički zapis ekonomskog problema koji se rješava.

Glavne vrste modela

• Ekstrapolacijski modeli
• Faktorski ekonometrijski modeli
• Optimizacijski modeli
• Modeli ravnoteže, Model međuindustrijske ravnoteže (ISB)
• Stručne procjene
• Teorija igara
• mrežni modeli
• Modeli sustava čekanja

Ekonomski i matematički modeli i metode korištene u ekonomskoj analizi

R a \u003d PE / VA + OA,

U općenitom obliku, mješoviti model može se prikazati sljedećom formulom:

Dakle, prvo je potrebno izgraditi ekonomsko-matematički model koji opisuje utjecaj pojedinih čimbenika na opće ekonomske pokazatelje organizacije. Velika distribucija u analizi ekonomska aktivnost dobio multifaktorijalni multiplikativni modeli, jer nam omogućuju proučavanje utjecaja značajnog broja čimbenika na generalizirajuće pokazatelje i time postizanje veće dubine i točnosti analize.

Nakon toga trebate odabrati način rješavanja ovog modela. Tradicionalni načini : metoda lančanih supstitucija, metoda apsolutnih i relativnih razlika, metoda bilance, metoda indeksa, kao i metode korelacijsko-regresijske, klaster, disperzijske analize i dr. Uz ove metode i metode, specifične matematičke metode a metode se koriste i u ekonomskoj analizi.

Integralna metoda ekonomske analize

Jedna od tih metoda (metoda) je integralna. Primjenu nalazi u određivanju utjecaja pojedinih čimbenika pomoću multiplikativnih, višestrukih i mješovitih (višestruko aditivnih) modela.

U uvjetima korištenja integralne metode moguće je dobiti razumnije rezultate za izračunavanje utjecaja pojedinih čimbenika nego pri korištenju metode lančane supstitucije i njezinih varijanti. Metoda lančane supstitucije i njezine varijante, kao i metoda indeksa, imaju značajne nedostatke: 1) rezultati izračuna utjecaja faktora ovise o prihvaćenom slijedu zamjene osnovnih vrijednosti pojedinih faktora stvarnim; 2) dodatno povećanje generalizirajućeg pokazatelja, uzrokovano međudjelovanjem čimbenika, u obliku nerazgradljivog ostatka, dodaje se zbroju utjecaja posljednjeg čimbenika. Kada se koristi integralna metoda, ovo povećanje se ravnomjerno dijeli na sve faktore.

Integralna metoda skupova opći pristup na rješavanje modela raznih vrsta, bez obzira na broj elemenata koji su uključeni u taj model, kao i bez obzira na oblik povezanosti tih elemenata.

Integralna metoda faktorske ekonomske analize temelji se na zbrajanju priraštaja funkcije definirane kao djelomična derivacija pomnoženih priraštajem argumenta u beskonačno malim intervalima.

U procesu primjene integralne metode potrebno je ispuniti nekoliko uvjeta. Prvo se mora poštovati uvjet kontinuirane diferencijabilnosti funkcije, pri čemu se kao argument uzima neki ekonomski pokazatelj. Drugo, funkcija između početne i krajnje točke elementarne periode mora se mijenjati pravocrtno G e. Konačno, treće, mora postojati konstantnost omjera stopa promjene vrijednosti faktora

dy / dx = konst

Kada se koristi integralna metoda, račun određeni integral za zadani integrand i zadani interval integracija se provodi prema raspoloživom standardnom programu korištenjem suvremene računalne tehnologije.

Ako rješavamo multiplikativni model, tada se pomoću sljedećih formula može izračunati utjecaj pojedinih čimbenika na opći ekonomski pokazatelj:

∆Z(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ g

Z(y)=x 0 * Δ g +1/2 Δ x* Δ g

Prilikom rješavanja višestrukog modela za izračun utjecaja faktora koristimo sljedeće formule:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Postoje dvije glavne vrste problema koji se rješavaju integralnom metodom: statički i dinamički. U prvom tipu nema podataka o promjenama analiziranih čimbenika tijekom tog razdoblja. Primjeri takvih zadataka su analiza realizacije poslovnih planova ili analiza promjena ekonomskih pokazatelja u odnosu na prethodno razdoblje. Dinamički tip zadataka odvija se uz prisutnost informacija o promjeni analiziranih čimbenika tijekom određenog razdoblja. Ova vrsta zadataka uključuje izračune koji se odnose na proučavanje vremenskih nizova ekonomskih pokazatelja.

Ovo su najvažnije značajke integralne metode faktorske ekonomske analize.

Log metoda

Osim ove metode, u analizi se koristi i metoda (metoda) logaritma. Koristi se u faktorskoj analizi pri rješavanju multiplikativnih modela. Bit metode koja se razmatra leži u činjenici da pri njenom korištenju postoji logaritamski proporcionalna raspodjela količine zajedničko djelovanje faktora između potonjih, odnosno ta se vrijednost raspoređuje među čimbenicima razmjerno udjelu utjecaja svakog pojedinog čimbenika na zbroj generalizirajućeg pokazatelja. Integralnom metodom navedena se vrijednost ravnomjerno raspoređuje na faktore. Stoga metoda logaritma čini izračun utjecaja faktora razumnijim od metode integrala.

U procesu logaritmiranja, ne apsolutne vrijednosti rast ekonomskih pokazatelja, kao što je slučaj kod integralne metode, te relativni, odnosno indeksi promjena tih pokazatelja. Na primjer, generalizirajući ekonomski pokazatelj definiran je kao umnožak tri faktora – čimbenika f = x y z.

Pronađimo utjecaj svakog od ovih čimbenika na generalizirajući ekonomski pokazatelj. Dakle, utjecaj prvog faktora može se odrediti sljedećom formulom:

Δf x \u003d Δf lg (x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Kakav je bio utjecaj sljedećeg faktora? Kako bismo pronašli njegov utjecaj, koristimo se sljedećom formulom:

Δf y \u003d Δf lg (y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Konačno, kako bismo izračunali utjecaj trećeg faktora, primjenjujemo formulu:

Δf z \u003d Δf lg (z 1 / z 0) / log (f 1 / f 0)

Tako se ukupni iznos promjene generalizirajućeg pokazatelja dijeli između pojedinih faktora u skladu s omjerima omjera logaritama pojedinih faktorskih indeksa prema logaritmu generalizirajućeg pokazatelja.

Pri primjeni metode koja se razmatra mogu se koristiti bilo koje vrste logaritama - prirodni i decimalni.

Metoda diferencijalnog računa

Pri provođenju faktorske analize koristi se i metoda diferencijalnog računa. Potonji pretpostavlja da je ukupna promjena funkcije, odnosno generalizirajućeg pokazatelja, podijeljena na zasebne članove od kojih se vrijednost svakog izračunava kao umnožak određene parcijalne derivacije i prirasta varijable za koju je ta derivacija je određen. Odredimo utjecaj pojedinih čimbenika na generalizirajući pokazatelj, koristeći kao primjer funkciju dviju varijabli.

Funkcija je postavljena Z = f(x,y). Ako je ova funkcija diferencijabilna, tada se njezina promjena može izraziti sljedećom formulom:

Objasnimo pojedinačne elemente ove formule:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- veličina promjene funkcije;

Δx \u003d (x 1 - x 0)- veličina promjene jednog faktora;

Δ y = (y 1 - y 0)- iznos promjene drugog faktora;

- infinitezimalna vrijednost visokog reda, kako

U ovom primjeru utjecaj pojedinih faktora x i g za promjenu funkcije Z(generalizirajući pokazatelj) izračunava se na sljedeći način:

ΔZx = δZ / δx Δx; ΔZy = δZ / δy Δy.

Zbroj utjecaja oba ova faktora glavni je, linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije, odnosno generalizirajućeg pokazatelja, u odnosu na prirast tog faktora.

Metoda udjela

U uvjetima rješavanja aditivnih, kao i višestruko aditivnih modela, metodom vlasničkog udjela izračunava se i utjecaj pojedinih faktora na promjenu općeg pokazatelja. Njegova je bit u tome da se prvo odredi udio svakog čimbenika u ukupnom iznosu njihovih promjena. Zatim se taj udio množi s ukupnom promjenom sumarnog pokazatelja.

Pretpostavimo da utvrđujemo utjecaj tri faktora − a,b i S za sažetak g. Zatim, za faktor a, određivanje njegovog udjela i množenje s ukupnom vrijednošću promjene generalizirajućeg pokazatelja može se provesti prema sljedećoj formuli:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Za faktor u razmatranoj formuli imat će sljedeći oblik:

Δyb =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Konačno, za faktor c imamo:

∆y c =∆c/∆a +∆b +∆c*∆y

To je bit metode udjela koja se koristi za potrebe faktorske analize.

Metoda linearnog programiranja

Vidi dalje:

Teorija čekanja

Vidi dalje:

Teorija igara

Teorija igara također nalazi primjenu. Kao i teorija čekanja, teorija igara je jedna od grana primijenjene matematike. Teorija igara proučava optimalna rješenja koja su moguća u situacijama prirode igre. To uključuje takve situacije koje su povezane s izborom optimalnog upravljačke odluke, uz izbor najprikladnijih opcija za odnose s drugim organizacijama itd.

Za rješavanje takvih problema u teoriji igara, algebarske metode, koji se temelje na sustavu linearnih jednadžbi i nejednadžbi, iterativne metode, kao i metode za smanjenje ovog problema na određeni sustav diferencijalne jednadžbe.

Jedna od ekonomsko-matematičkih metoda koja se koristi u analizi ekonomske aktivnosti organizacija je tzv. analiza osjetljivosti. Ova metodačesto se koristi u procesu analize investicijskih projekata, kao i za predviđanje iznosa dobiti koja ostaje na raspolaganju određenoj organizaciji.

Kako bi se optimalno planirale i prognozirale aktivnosti organizacije potrebno je analiziranim ekonomskim pokazateljima predvidjeti one promjene koje se mogu dogoditi u budućnosti.

Na primjer, potrebno je unaprijed predvidjeti promjenu vrijednosti onih čimbenika koji utječu na iznos dobiti: razinu nabavnih cijena za nabavljene materijalne resurse, razinu prodajnih cijena za proizvode određene organizacije, promjene u potražnji kupaca za tim proizvodima.

Analiza osjetljivosti sastoji se u određivanju buduće vrijednosti generalizirajućeg ekonomskog pokazatelja, pod uvjetom da se promijeni vrijednost jednog ili više čimbenika koji utječu na taj pokazatelj.

Tako, na primjer, utvrđuju za koliko će se dobiti promijeniti u budućnosti, ovisno o promjeni količine prodanih proizvoda po jedinici. Stoga analiziramo osjetljivost neto dobiti na promjenu jednog od faktora koji na nju utječu, a to je u ovom slučaju faktor obujma prodaje. Ostali čimbenici koji utječu na profitnu maržu ostaju nepromijenjeni. Moguće je odrediti visinu dobiti i uz istovremenu promjenu u budućnosti utjecaja nekoliko čimbenika. Dakle, analiza osjetljivosti omogućuje utvrđivanje snage odgovora generalizirajućeg ekonomskog pokazatelja na promjene pojedinih čimbenika koji utječu na taj pokazatelj.

Matrična metoda

Uz navedene ekonomsko-matematičke metode koriste se iu analizi gospodarske aktivnosti. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri.

Metoda mrežnog planiranja

Vidi dalje:

Ekstrapolacijska analiza

Uz razmatrane metode koristi se i ekstrapolacijska analiza. Uključuje razmatranje promjena u stanju analiziranog sustava i ekstrapolaciju, odnosno proširenje postojećih karakteristika ovog sustava za buduća razdoblja. U procesu provedbe ove vrste analize mogu se razlikovati sljedeće glavne faze: primarna obrada i transformacija početnih nizova raspoloživih podataka; izbor vrste empirijskih funkcija; određivanje glavnih parametara ovih funkcija; ekstrapolacija; utvrđivanje stupnja pouzdanosti analize.

U ekonomskoj analizi također se koristi metoda glavnih komponenti. Koriste se namjenski komparativna analiza pojedinac sastavni dijelovi, odnosno parametrima analize aktivnosti organizacije. Glavne komponente su najvažnije karakteristike linearne kombinacije komponenti, odnosno parametara provedene analize koji imaju najznačajnije vrijednosti disperzije, odnosno najveća apsolutna odstupanja od prosječnih vrijednosti.

Suvremena ekonomska teorija uključuje matematičke modele i metode kao neophodan alat. Korištenje matematike u ekonomiji omogućuje rješavanje kompleksa međusobno povezanih problema.

Prvo, izdvojiti i formalno opisati najvažnije, bitne veze ekonomskih varijabli i objekata. Ova je odredba temeljne prirode, budući da proučavanje svake pojave ili procesa, zbog određenog stupnja složenosti, podrazumijeva visok stupanj apstrakcije.

Drugo, iz formuliranih početnih podataka i relacija, metodama dedukcije mogu se dobiti zaključci koji su primjereni predmetu koji se proučava u istoj mjeri kao i postavljene pretpostavke.

Treće, metode matematike i statistike omogućuju dobivanje novih znanja o objektu indukcijom, na primjer, procjenu oblika i parametara ovisnosti njegovih varijabli u najvećoj mjeri koja odgovara dostupnim opažanjima.

Četvrto, korištenje matematičke terminologije omogućuje nam da točno i kompaktno navedemo odredbe ekonomske teorije, da formuliramo njezine koncepte i zaključke.

Razvoj makroekonomskog planiranja u modernim uvjetima povezan s povećanjem razine njegove formalizacije. Osnova za ovaj proces postavljena je napretkom u polju primijenjene matematike, naime: teorije igara, matematičkog programiranja, matematička statistika i drugi znanstvenih disciplina. Veliki doprinos matematičkom modeliranju gospodarstva bivšeg SSSR-a dali su poznati sovjetski znanstvenici V.S. Nemčinov, V.V. Novožilov, L.V. Kantorovich, N.P. Fedorenko. S. S. Shatalin i dr. Razvoj ekonomskog i matematičkog smjera uglavnom je bio povezan s pokušajima da se formalno opiše takozvani "sustav optimalnog funkcioniranja socijalističke ekonomije" (SOFE), u skladu s kojim višerazinski sustavi modeli nacionalnog gospodarskog planiranja, optimizacijski modeli industrija i poduzeća.

Ekonomsko-matematičke metode imaju sljedeća područja:

Ekonomske i statističke metode, uključuju metode ekonomske i matematičke statistike. ekonomske statistike bavi se statističkim proučavanjem nacionalnog gospodarstva u cjelini i njegovih pojedinih grana na temelju periodičnih izvješća. Alati matematičke statistike koji se koriste za ekonomska istraživanja su disperzijska i faktorska analiza korelacije i regresije.

Modeliranje ekonomskih procesa sastoji se u izgradnji ekonomskih i matematičkih modela i algoritama, provođenju izračuna na njima kako bi se dobile nove informacije o objektu koji se modelira. Uz pomoć ekonomskog i matematičkog modeliranja mogu se riješiti problemi analize gospodarskih objekata i procesa, predviđanja mogućih načina njihova razvoja (igranje različitih scenarija), priprema informacija za donošenje odluka od strane stručnjaka.

Pri modeliranju ekonomskih procesa široku upotrebu primljene su: proizvodne funkcije, modeli gospodarskog rasta, input-output bilanca, metode simulacijskog modeliranja i dr.

Operacijska istraživanja– znanstveni smjer povezan s razvojem metoda za analizu ciljanih akcija i kvantitativno opravdanje odluka. Tipični zadaci operacijska istraživanja uključuju: probleme čekanja, upravljanja zalihama, popravka i zamjene opreme, rasporeda, problema distribucije itd. Za njihovo rješavanje koriste se metode matematičkog programiranja (linearno, diskretno, dinamičko i stohastičko), metode teorije čekanja, teorije igara, teorija upravljanja zalihama, teorija rasporeda i dr., te programsko-ciljane metode i metode mrežnog planiranja i upravljanja.

Ekonomska kibernetika- znanstveni pravac koji se bavi proučavanjem i unapređenjem ekonomskih sustava na temelju opća teorija kibernetika. Njegovi glavni pravci: teorija ekonomskih sustava, teorija ekonomskih informacija, teorija sustava upravljanja u gospodarstvu. S obzirom na upravljanje nacionalnim gospodarstvom kao informacijski proces, služi ekonomska kibernetika znanstvena osnova razvoj automatizirani sustavi upravljanje.

Osnova ekonomsko-matematičkih metoda je opisivanje promatranih ekonomskih procesa i pojava putem modela.

Matematički model ekonomski objekt - njegov homomorfni prikaz u obliku skupa jednadžbi, nejednakosti, logičkih odnosa, grafikona, kombinirajući grupe odnosa elemenata predmeta koji se proučava u slične odnose elemenata modela. Model je uvjetna slika ekonomskog objekta, izgrađena da pojednostavi proučavanje potonjeg. Pretpostavlja se da proučavanje modela ima dvostruko značenje: s jedne strane, daje nova znanja o objektu, s druge strane, omogućuje vam da odredite najbolje rješenje u odnosu na različite situacije.

Matematički modeli koji se koriste u gospodarstvu mogu se podijeliti u klase prema nizu značajki koje se odnose na značajke modeliranog objekta, svrhu modeliranja i alate koji se koriste. To su makro- i mikroekonomski modeli, teorijski i primijenjeni, ravnotežni i optimizacijski, deskriptivni, matrični, statički i dinamički, deterministički i stohastički, simulacijski itd.

Ekonomsko-matematičke metode (EMM)- opći naziv za kompleks ekonomskih i matematičkih znanstvenih disciplina, objedinjenih za proučavanje gospodarstva. Uveo ga je akademik V.S. Nemchinov ranih 60-ih. Postoje izjave da je ovaj naziv vrlo uvjetan i da ne odgovara trenutnoj razini razvoja ekonomske znanosti, budući da „oni (EMM. - Autor) nemaju vlastiti predmet istraživanja osim predmeta istraživanja u određenim ekonomskim disciplinama.

Međutim, iako je trend točno uočen, ne čini se da će se uskoro ostvariti. EMM zapravo ima zajednički objekt istraživanje s drugima ekonomske discipline- gospodarstvo (ili šire: društveno-ekonomski sustav), ali drugi predmet znanosti: t.j. proučavaju različite aspekte ovog predmeta, pristupaju mu s različitih pozicija. I što je najvažnije, u ovom slučaju koriste se posebne istraživačke metode, razvijene toliko da same postaju zasebne znanstvene discipline posebne metodološke prirode. Za razliku od disciplina u kojima prevladavaju ontološki aspekti, a istraživačke metode djeluju samo u većoj ili manjoj mjeri kao pomagala, u "metodološkim" disciplinama koje čine značajan dio EMM kompleksa, same metode se pokazuju predmetom proučavanja. Osim toga, prava sinteza ekonomije i matematike tek predstoji i proći će još dosta vremena dok se u potpunosti ne ostvari.

Općeprihvaćena klasifikacija ekonomsko-matematičkih disciplina, koje su bile spoj ekonomije, matematike i kibernetike, još uvijek nije razvijena. Uz određeni stupanj konvencionalnosti, može se prikazati u obliku sljedeće sheme.

0. Načela ekonomskih i matematičkih metoda:

teorija ekonomsko i matematičko modeliranje, uključujući ekonomsko i statističko modeliranje;

teorija optimizacija ekonomskih procesa.

1. Matematička statistika (njene ekonomske primjene):

metoda uzorkovanja;

analiza disperzije;

korelacijska analiza;

regresijska analiza;

višedimenzionalni Statistička analiza;

faktorska analiza;

teorija indeksa itd.

2. Matematička ekonomija i ekonometrija:

teorija gospodarskog rasta (modeli makroekonomske dinamike);

teorija proizvodnih funkcija;

međusektorske bilance (statičke i dinamičke);

nacionalni računi, integrirane materijalne i financijske bilance;

analiza potražnje i potrošnje;

regionalna i prostorna analiza;

globalno modeliranje itd.

3. Metode za donošenje optimalnih odluka, uključujući operacijsko istraživanje:

optimalno (matematičko) programiranje;

linearno programiranje;

nelinearno programiranje;

dinamičko programiranje;

diskretno (cjelobrojno) programiranje;

blok programiranje;

frakcijsko linearno programiranje;

parametarsko programiranje;

odvojivo programiranje;

stohastičko programiranje;

geometrijsko programiranje;

metode grananja i vezanja;

mrežne metode planiranje i upravljanje;

programsko-ciljane metode planiranja i upravljanja;

teorija i metode upravljanja zalihama;

teorija čekanja;

teorija igara;

teorija odlučivanja;

teorija rasporeda.

4. EMM i discipline specifične za centralno planirano gospodarstvo:

teorija optimalnog funkcioniranja socijalističkog gospodarstva (SOFE);

optimalno planiranje:

ekonomski;

perspektivno i aktualno;

sektorski i regionalni;

teorija optimalne cijene;

5. EMM specifičan za konkurentno gospodarstvo:

modeli tržišta i slobodne konkurencije;

modeli poslovnog ciklusa;

modeli monopola, duopola, oligopola;

indikativni modeli planiranja;

modeli međunarodnih ekonomskih odnosa;

modeli teorije poduzeća.

6. Ekonomska kibernetika:

analiza sustava Ekonomija;

ekonomska teorija informacija, uključujući ekonomska semiotika;

teorija sustava upravljanja, uključujući teorija automatiziranih sustava upravljanja.

7. Metode eksperimentalna studija ekonomske pojave (eksperimentalni Ekonomija):

matematičke metode planiranja i analize ekonomski eksperimenti;

metode simulacija stroja i eksperimentiranje na stolu;

poslovne igre.

EMM koristi različite grane matematike, matematička statistika i matematička logika ; veliku ulogu u odlučivanju stroja ekonomski i matematički problemi igra računalna matematika, teorija algoritama i druge srodne discipline.

Praktična primjena EMM-a u nekim je zemljama postala raširena, u neku ruku rutinska. U tisućama tvrtke zadaci su riješeni planiranje proizvodnja, distribucija resursi korištenjem utvrđenih i često standardiziranih softver osigurati instaliran na računalima. Ova praksa se proučava na terenu - ankete, ankete.. U SAD-u čak izlazi poseban časopis "Interfaces" koji redovito objavljuje informacije o praktičnoj upotrebi EMM-a u raznim sektorima gospodarstva. Na primjer, evo sažetka jednog od članaka ovog časopisa: “U 2005. i 2006. godini Coca-Cola Enterprises (CCE), najveći proizvođač i distributer pića Coca-Cola, softver ORTEC za usmjeravanje transporta. Trenutno ga koristi više od tri stotine kontrolera softver, planirajući rute za otprilike 10.000 kamiona dnevno. Uz prevladavanje nekih nestandardnih ograničenja, korištenje ove tehnologije ističe se svojim progresivnim (neometajućim) prijelazom s prethodnih poslovnih praksi. CCE je smanjio godišnje troškove za 45 milijuna dolara i poboljšao korisničku uslugu. Ovo iskustvo je bilo toliko uspješno da ga je (matična multinacionalna kompanija) Coca Cola proširila izvan HGK, na druge tvrtke za proizvodnju i distribuciju ovog pića, ali i piva.

1. Ekonomsko-matematičke metode u analizi gospodarske aktivnosti

Popis korištenih izvora

1. Ekonomsko-matematičke metode u analizi gospodarske aktivnosti

Jedan od načina unapređenja analize gospodarske aktivnosti je uvođenje ekonomsko-matematičkih metoda i suvremenih računala. Njihovom primjenom povećava se učinkovitost ekonomske analize proširivanjem proučavanih faktora, potkrepljivanjem menadžerskih odluka, izborom optimalnog slučaja uporabe. ekonomski resursi, identificiranje i mobilizacija rezervi za poboljšanje učinkovitosti proizvodnje.

Matematičke metode temelje se na metodologiji ekonomsko-matematičkog modeliranja i znanstveno potkrijepljenoj klasifikaciji problema u analizi gospodarske aktivnosti. Ovisno o ciljevima ekonomske analize, razlikuju se sljedeći ekonomsko-matematički modeli: u determinističkim modelima - logaritam, udio, diferencijacija; u stohastičkim modelima - korelacijsko-regresijska metoda, linearno programiranje, teorija čekanja, teorija grafova itd.

Stohastička analiza je metoda za rješavanje široke klase problema statističke procjene. Podrazumijeva proučavanje masovnih empirijskih podataka izgradnjom modela promjena pokazatelja zbog čimbenika koji nisu u izravnim vezama, u izravnoj međuovisnosti i međuzavisnosti. Stohastički odnos postoji između slučajnih varijabli i očituje se u činjenici da se pri promjeni jedne od njih mijenja zakon raspodjele druge.

U ekonomskoj analizi razlikuju se sljedeći najtipičniji zadaci stohastičke analize:

Proučavanje prisutnosti i čvrstoće odnosa između funkcije i čimbenika, kao i između čimbenika;

Rangiranje i klasifikacija čimbenika ekonomskih pojava;

Otkrivanje analitičkog oblika povezanosti proučavanih pojava;

Izglađivanje dinamike promjena u razini pokazatelja;

Otkrivanje parametara redovitih periodične fluktuacije razina pokazatelja;

Proučavanje dimenzija (složenosti, svestranosti) ekonomskih pojava;

Kvantitativna promjena informativnih pokazatelja;

Kvantitativna promjena utjecaja faktora na promjenu analiziranih pokazatelja (ekonomska interpretacija dobivenih jednadžbi).

Stohastičko modeliranje i analiza odnosa između proučavanih pokazatelja započinje korelacijskom analizom. Korelacija je u tome Prosječna vrijednost jedan od predznaka se mijenja ovisno o vrijednosti drugog. Atribut o kojem ovisi drugi atribut naziva se faktorski atribut. Zavisni predznak naziva se efektivnim. U svakom konkretnom slučaju, da bi se utvrdile faktorske i efektivne karakteristike u nejednakim skupovima, potrebno je analizirati prirodu odnosa. Dakle, kada analizirate različite značajke u jednom skupu plaća radnika u vezi s njihovim radnim iskustvom djeluje kao djelotvorna značajka, au vezi s pokazateljima životni standard odnosno kulturne potrebe – kao čimbenik. Često se ovisnosti ne razmatraju od jednog znaka faktora, već od nekoliko. Za to se koristi skup metoda i tehnika za identifikaciju i kvantificiranje odnosa i međuovisnosti između značajki.

U proučavanju masovnih društveno-ekonomskih pojava očituje se korelacija između čimbeničkih znakova, pri čemu na vrijednost djelotvornog znaka, osim čimbenika, utječu i mnogi drugi znakovi koji djeluju u različitim smjerovima istovremeno ili uzastopno. Često se korelacija naziva nepotpuna statistička ili djelomična, za razliku od funkcionalne, koja se izražava u činjenici da kada određena vrijednost varijabla (neovisna varijabla - argument) druga (ovisna varijabla - funkcija) poprima strogu vrijednost.

Korelacija se može identificirati samo u obliku općeg trenda u masovnoj usporedbi činjenica. Svaka vrijednost atributa faktora neće odgovarati jednoj vrijednosti efektivnog atributa, već njihovoj kombinaciji. U ovom slučaju, za otvaranje veze, potrebno je pronaći prosječnu vrijednost efektivnog atributa za svaku vrijednost faktora.

Ako je odnos linearan:

.

Vrijednosti koeficijenata a i b nalaze se iz sustava jednadžbi dobivenih metodom najmanjih kvadrata prema formuli:

, n - broj opažanja.

U slučaju pravocrtnog oblika odnosa između proučavanih pokazatelja, koeficijent korelacije izračunava se formulom:

.

Ako se koeficijent korelacije kvadrira, tada se dobiva koeficijent determinacije.

Diskontiranje je proces pretvaranja buduće vrijednosti kapitala, novčanih tokova ili neto prihoda u sadašnju vrijednost. Stopa po kojoj se vrši diskontiranje naziva se diskontna stopa (diskontna stopa). Osnovna premisa na kojoj se temelji koncept diskontiranog tijeka stvarnog novca je da novac ima vremensku vrijednost, to jest da iznos novca koji je trenutno dostupan vrijedi više od istog iznosa u budućnosti. Ta se razlika može izraziti kao kamatna stopa koja karakterizira relativne promjene određeno razdoblje(obično jednako godinu dana).

Mnogi zadaci s kojima se ekonomist mora susresti u svakodnevnoj praksi analizirajući ekonomske aktivnosti poduzeća su viševarijantni. Budući da nisu sve opcije jednako dobre, među mnogim mogućim opcijama morate pronaći najbolju. Značajan dio takvih problema dugo se rješavao na temelju zdrav razum i iskustvo. U isto vrijeme nije bilo sigurnosti da je pronađena varijanta najbolja.

U suvremenim uvjetima čak i manje pogreške mogu dovesti do velikih gubitaka. U tom smislu postalo je nužno uključiti optimizacijske ekonomsko-matematičke metode i računala u analizu i sintezu ekonomskih sustava, čime se stvara temelj za usvajanje znanstvenih informirane odluke. Ove su metode spojene u jednu skupinu pod uobičajeno ime "metode optimizacije odlučivanja u gospodarstvu". Za rješavanje ekonomskog problema matematičkim metodama potrebno je prije svega izgraditi njemu adekvatan matematički model, odnosno formalizirati cilj i uvjete problema u obliku matematičke funkcije, jednadžbe i (ili) nejednadžbe.

NA opći slučaj matematički model optimizacijskog problema ima oblik:

max (min): Z = Z(x),

pod ograničenjima

f i (x) Rb i , i =

,

gdje su R odnosi jednakosti, manji ili veći od.

Ako su funkcija cilja i funkcije uključene u sustav ograničenja linearne u odnosu na nepoznanice uključene u problem, takav se problem naziva problemom linearnog programiranja. Ako funkcija cilja ili sustav ograničenja nije linearan, takav se problem naziva problem nelinearnog programiranja.

U osnovi, u praksi se problemi nelinearnog programiranja svode linearizacijom na problem linearnog programiranja. Od posebnog praktičnog interesa među problemima nelinearnog programiranja su problemi dinamičkog programiranja, koji se zbog svoje višestupanjske prirode ne mogu linearizirati. Stoga ćemo razmotriti samo ove dvije vrste optimizacijskih modela, za koje trenutno postoji dobar matematički i softver.

Metoda dinamičkog programiranja je posebna matematička tehnika za optimizaciju nelinearnih problema matematičkog programiranja, koja je posebno prilagođena višekoračnim procesima. Proces koji se sastoji od više koraka obično se smatra procesom koji se razvija tijekom vremena i rastavlja se u više "koraka" ili "faza". No, metoda dinamičkog programiranja koristi se i za rješavanje problema u kojima se vrijeme ne pojavljuje. Neki se procesi prirodno slažu u korake (na primjer, proces planiranja gospodarske aktivnosti poduzeća za razdoblje od nekoliko godina). Mnogi procesi mogu se umjetno podijeliti u faze.

Bit metode dinamičkog programiranja je da umjesto pronalaženja optimalnog rješenja za cjelinu izazovan zadatak radije pronaći optimalna rješenja za još nekoliko jednostavni zadaci sličnog sadržaja na koji se dijeli izvorni problem.

Metodu dinamičkog programiranja također karakterizira činjenica da se izbor optimalnog rješenja u svakom koraku mora napraviti uzimajući u obzir posljedice u budućnosti. To znači da pri optimizaciji procesa u svakom pojedinom koraku ni u kojem slučaju ne smijete zaboraviti sve sljedeće korake. Dakle, dinamičko programiranje je dalekovidno planiranje s perspektivom.

Načelo izbora odluke u dinamičkom programiranju je definirajuće i naziva se Bellmanovo načelo optimalnosti. Formuliramo je na sljedeći način: optimalna strategija ima svojstvo da, bez obzira na početno stanje i odluku donesenu u početnom trenutku, naknadne odluke trebaju dovesti do poboljšanja situacije u odnosu na stanje koje proizlazi iz početne odluke.

Dakle, pri rješavanju optimizacijskog problema metodom dinamičkog programiranja potrebno je u svakom koraku voditi računa o posljedicama do kojih će dovesti odluka donesena u budućnosti. ovaj trenutak. Iznimka je zadnji korak, koji završava proces. Ovdje možete donijeti takvu odluku kako biste osigurali maksimalan učinak. Nakon optimalno isplaniranog posljednjeg koraka, na njega se može “pričvrstiti” pretposljednji korak kako bi rezultat ova dva koraka bio optimalan i tako dalje. Na taj način - od kraja prema početku - može se razviti postupak odlučivanja. Optimalno rješenje koje se nađe pod uvjetom da je prethodni korak završio na određeni način naziva se uvjetno optimalno rješenje.

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI RUSKE FEDERACIJE

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

država obrazovna ustanova visoko stručno obrazovanje

RUSKO DRŽAVNO TRGOVAČKO-GOSPODARSKO SVEUČILIŠTE

PODRUŽNICA TULA

(TF GOU VPO RGTEU)

Esej iz matematike na temu:

"Ekonomski i matematički modeli"

Završeno:

studenti 2. godine

"Financije i kredit"

dnevni odjel

Maksimova Kristina

Vitka Natalija

Provjereno:

Doktor tehničkih znanosti,

Profesor S.V. Yudin _____________

Uvod

1.Ekonomsko-matematičko modeliranje

1.1 Osnovni pojmovi i vrste modela. Njihova klasifikacija

1.2 Ekonomske i matematičke metode

Razvoj i primjena ekonomsko-matematičkih modela

2.1 Faze ekonomsko-matematičkog modeliranja

2.2 Primjena stohastičkih modela u ekonomiji

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Relevantnost.Manekenstvo u znanstveno istraživanje počeo se koristiti u antičko doba i postupno je zahvatio sve više i više novih područja znanstveno znanje: tehničko projektiranje, građevinarstvo i arhitektura, astronomija, fizika, kemija, biologija i, konačno, društvene znanosti. Velik uspjeh i priznanje u gotovo svim granama moderne znanosti donijela je metoda modeliranja XX. stoljeća. Međutim, metodologiju modeliranja pojedine su znanosti dugo vremena razvijale samostalno. Nije bilo jedinstvenog sustava pojmova, jedinstvene terminologije. Tek se postupno počela shvaćati uloga modeliranja kao univerzalne metode znanstvene spoznaje.

Izraz "model" naširoko se koristi u razna polja ljudska aktivnost i ima mnogo značenja. Razmotrimo samo takve "modele" koji su alati za stjecanje znanja.

Model je takav materijalni ili misaono prikazan predmet koji u procesu istraživanja zamjenjuje izvorni objekt tako da se njegovim neposrednim proučavanjem dobiva nova spoznaja o izvornom objektu.

Modeliranje se odnosi na proces izgradnje, proučavanja i primjene modela. Usko je povezan s takvim kategorijama kao što su apstrakcija, analogija, hipoteza, itd. Proces modeliranja nužno uključuje konstrukciju apstrakcija, zaključivanje po analogiji i konstrukciju znanstvenih hipoteza.

Ekonomsko-matematičko modeliranje sastavni je dio svakog istraživanja u području ekonomije. Nagli razvoj matematičke analize, operacijskih istraživanja, teorije vjerojatnosti i matematičke statistike pridonio je formiranju različitih vrsta ekonomskih modela.

Svrha matematičkog modeliranja ekonomskih sustava je korištenje matematičkih metoda za najučinkovitije rješavanje problema koji se javljaju u području ekonomije, uz korištenje, u pravilu, suvremene računalne tehnologije.

Zašto možemo govoriti o učinkovitosti primjene metoda modeliranja u ovom području? Prvo, ekonomski objekti različitih razina (počevši od razine jednostavnog poduzeća i završavajući s makrorazinom - gospodarstvom zemlje ili čak svjetskom ekonomijom) mogu se razmatrati sa stajališta sistemski pristup. Drugo, karakteristike ponašanja ekonomskih sustava kao što su:

-varijabilnost (dinamika);

-nedosljednost ponašanja;

-tendencija degradacije performansi;

-izlaganje okoliš

unaprijed određuju izbor metode njihova istraživanja.

Prodor matematike u ekonomija povezana sa značajnim izazovima. Za to je dijelom "kriva" i matematika, koja se razvijala kroz nekoliko stoljeća, uglavnom u vezi s potrebama fizike i tehnike. Ali glavni razlozi ipak leže u prirodi ekonomskih procesa, u specifičnostima ekonomske znanosti.

Složenost ekonomije ponekad se smatrala opravdanjem za nemogućnost njenog modeliranja, proučavanja pomoću matematike. Ali ovo gledište je u osnovi pogrešno. Možete modelirati objekt bilo koje prirode i bilo koje složenosti. A upravo su složeni objekti od najvećeg interesa za modeliranje; ovdje modeliranje može dati rezultate koji se ne mogu dobiti drugim metodama istraživanja.

Svrha ovog rada- otkriti pojam ekonomsko-matematičkih modela i proučiti njihovu klasifikaciju i metode na kojima se temelje, te razmotriti njihovu primjenu u gospodarstvu.

Zadaci ovog rada:sistematizacija, akumulacija i konsolidacija znanja o ekonomskim i matematičkim modelima.

1.Ekonomsko-matematičko modeliranje

1.1 Osnovni pojmovi i vrste modela. Njihova klasifikacija

U procesu proučavanja nekog objekta često je nepraktično ili čak nemoguće izravno se baviti tim objektom. Možda bi bilo prikladnije zamijeniti ga drugim objektom sličnim danom u onim aspektima koji su važni ovu studiju. Općenito modelmože se definirati kao uvjetna slika stvarnog objekta (procesa), koja je stvorena za dublje proučavanje stvarnosti. Metoda istraživanja koja se temelji na razvoju i korištenju modela naziva se modeliranje. Potreba za modeliranjem je zbog složenosti, a ponekad i nemogućnosti neposrednog proučavanja stvarnog objekta (procesa). Puno je pristupačnije stvarati i proučavati prototipove stvarnih objekata (procesa), tj. modeli. Može se reći da teorijsko znanje o nečemu, u pravilu, je zbirka različitih modela. Ovi modeli odražavaju bitna svojstva stvarnog objekta (procesa), iako je u stvarnosti stvarnost mnogo sadržajnija i bogatija.

Modelje mentalno prikazan ili materijalno realiziran sustav koji, prikazujući ili reproducirajući predmet proučavanja, može ga zamijeniti na način da njegovo proučavanje daje nove informacije o tom predmetu.

Do danas ne postoji općeprihvaćena jedinstvena klasifikacija modela. Međutim, od mnoštva modela mogu se izdvojiti verbalni, grafički, fizikalni, ekonomsko-matematički i neki drugi modeli.

Ekonomski i matematički modeli- to su modeli ekonomskih objekata ili procesa, u opisu kojih se koriste matematička sredstva. Ciljevi njihova stvaranja su različiti: izgrađeni su za analizu određenih preduvjeta i odredbi ekonomske teorije, za obrazloženje ekonomskih obrazaca, za obradu i dovođenje empirijskih podataka u sustav. NA u praktičnom smislu ekonomski i matematički modeli koriste se kao alat za predviđanje, planiranje, upravljanje i poboljšanje različitih aspekata ekonomske aktivnosti društva.

Ekonomski i matematički modeli odražavaju najbitnija svojstva stvarnog objekta ili procesa pomoću sustava jednadžbi. Ne postoji jedinstvena klasifikacija ekonomsko-matematičkih modela, iako je moguće izdvojiti njihove najznačajnije skupine ovisno o atributu klasifikacije.

Za predviđenu namjenumodeli se dijele na:

· Teorijsko-analitički (korišten u studiji zajednička svojstva i obrasci ekonomskih procesa);

· Primijenjeni (koristi se u rješavanju specifičnih ekonomskih problema, kao što su problemi ekonomske analize, predviđanja, upravljanja).

Uzimajući u obzir faktor vremenamodeli se dijele na:

· Dinamički (opisati gospodarski sustav u razvoju);

· Statistički (ekonomski sustav je opisan u statistici, u odnosu na jednu specifičnu točku u vremenu; to je kao snimka, isječak, fragment dinamički sustav u nekom trenutku u vremenu).

Prema trajanju razmatranog vremenskog razdobljarazlikovati modele:

· Kratkoročno predviđanje ili planiranje (do godinu dana);

· Srednjoročno predviđanje ili planiranje (do 5 godina);

· Dugoročno predviđanje ili planiranje (više od 5 godina).

Prema namjeni nastanka i primjenerazlikovati modele:

· ravnoteža;

· ekonometrijski;

· Optimizacija;

· Mreža;

· Sustavi čekanja;

· Oponašanje (stručnjak).

NA bilanca stanjaModeli odražavaju zahtjev usklađivanja raspoloživosti resursa i njihove upotrebe.

OptimizacijaModeli omogućuju pronalaženje najbolje varijante proizvodnje, distribucije ili potrošnje iz skupa mogućih (alternativnih) opcija. Ograničeni resursi bit će iskorišteni na najbolji mogući način za postizanje cilja.

Mrežamodeli se najviše koriste u upravljanju projektima. Mrežni model prikazuje skup radova (operacija) i događaja, te njihov odnos u vremenu. Obično je mrežni model dizajniran za obavljanje posla u takvom slijedu da je vremenski okvir projekta minimalan. U ovom slučaju problem je pronaći kritični put. Međutim, postoje i mrežni modeli koji nisu usmjereni na kriterij vremena, već, primjerice, na minimiziranje troškova rada.

Modeli sustavi čekanjastvoreni su kako bi minimizirali vrijeme provedeno u čekanju u redu čekanja i vrijeme prekida servisnih kanala.

Imitacijamodel uz strojne odluke sadrži blokove u kojima odluke donosi osoba (stručnjak). Umjesto izravnog sudjelovanja osobe u donošenju odluka može djelovati baza znanja. U ovom slučaju osobno računalo, specijalizirani softver, baza podataka i baza znanja čine ekspertni sustav. Stručnjaksustav je dizajniran za rješavanje jednog ili više zadataka simulacijom radnji osobe, stručnjaka u ovom području.

Uzimajući u obzir faktor nesigurnostimodeli se dijele na:

· Deterministički (s jedinstvenim određene rezultate);

· Stohastički (probabilistički; s različitim, probabilističkim rezultatima).

Tip matematički aparat razlikovati modele:

· Linearno programiranje (optimalni plan se postiže u krajnja točka područja promjene varijabli sustava ograničenja);

· Nelinearno programiranje (optimalne vrijednosti ciljna funkcija može ih biti nekoliko);

· Korelacija-regresija;

· Matrica;

· Mreža;

· teorija igara;

· Teorije čekanja itd.

S razvojem ekonomsko-matematičkih istraživanja, problem klasifikacije primijenjenih modela postaje sve kompliciraniji. Uz pojavu novih tipova modela i novih obilježja njihove klasifikacije odvija se proces integracije modela. različiti tipovi u složenije strukture modela.

simulacija matematički stochastic

1.2 Ekonomsko-matematičke metode

Kao i svako modeliranje, i ekonomsko-matematičko modeliranje temelji se na principu analogije, tj. mogućnost proučavanja objekta konstruiranjem i razmatranjem drugog, njemu sličnog, ali jednostavnijeg i pristupačnijeg objekta, njegovog modela.

Praktične zadaće ekonomskog i matematičkog modeliranja su, prvo, analiza gospodarskih objekata, drugo, ekonomsko predviđanje, predviđanje razvoja ekonomskih procesa i ponašanja pojedinih pokazatelja, i treće, razvoj upravljačkih odluka na svim razinama upravljanja.

Bit ekonomsko-matematičkog modeliranja leži u opisivanju društveno-ekonomskih sustava i procesa u obliku ekonomsko-matematičkih modela, koje treba shvatiti kao proizvod procesa ekonomsko-matematičkog modeliranja, a ekonomsko-matematičke metode – kao alat.

Razmotrimo pitanja klasifikacije ekonomskih i matematičkih metoda. Ove metode su kompleks ekonomskih i matematičkih disciplina, koje su spoj ekonomije, matematike i kibernetike. Stoga se klasifikacija ekonomskih i matematičkih metoda svodi na klasifikaciju znanstvenih disciplina koje ulaze u njihov sastav.

Uz određeni stupanj konvencionalnosti, klasifikacija ovih metoda može se prikazati na sljedeći način.

· Ekonomska kibernetika: sistemska analiza ekonomije, ekonomska teorija informacija i teorija upravljačkih sustava.

· Matematička statistika: ekonomske primjene ove discipline - metoda uzorkovanja, analiza varijance, korelacijska analiza, regresijska analiza, multivarijatna statistička analiza, teorija indeksa itd.

· Matematička ekonomija i kvantitativna ekonometrija: teorija ekonomskog rasta, teorija proizvodne funkcije, input-output bilance, nacionalni računi, analiza potražnje i potrošnje, regionalna i prostorna analiza, globalno modeliranje.

· Metode donošenja optimalnih odluka, uključujući proučavanje poslovanja u gospodarstvu. Ovo je najobimniji dio koji uključuje sljedeće discipline i metode: optimalno (matematičko) programiranje, metode mrežnog planiranja i upravljanja, teorije i metode upravljanja zalihama, teorija čekanja, teorija igara, teorija i metode odlučivanja.

Optimalno programiranje pak uključuje linearno i nelinearno programiranje, dinamičko programiranje, diskretno (cjelobrojno) programiranje, stohastičko programiranje itd.

· Metode i discipline koje su specifične i za centralno planirano gospodarstvo i za tržišno (konkurentno) gospodarstvo. Prvi uključuju teoriju optimalnog određivanja cijena funkcioniranja gospodarstva, optimalno planiranje, teoriju optimalnog određivanja cijena, modele logistike itd. Potonji uključuju metode koje omogućuju razvoj modela slobodne konkurencije, modele kapitalističkog ciklusa, modele monopol, modeli teorije poduzeća itd. . Mnoge metode razvijene za centralno planirano gospodarstvo također mogu biti korisne u ekonomskom i matematičkom modeliranju u tržišnom gospodarstvu.

· Metode eksperimentalnog proučavanja ekonomskih pojava. To uključuje, u pravilu, matematičke metode analize i planiranja ekonomskih eksperimenata, metode strojne simulacije ( simulacijsko modeliranje), poslovne igre. Ovo također uključuje metode stručne procjene, osmišljen za procjenu fenomena koji nisu izravno mjerljivi.

U ekonomskim i matematičkim metodama koriste se različite grane matematike, matematička statistika i matematička logika. Važnu ulogu u rješavanju ekonomskih i matematičkih problema imaju računalna matematika, teorija algoritama i druge discipline. Korištenje matematičkog aparata donijelo je opipljive rezultate u rješavanju problema analize procesa proširene proizvodnje, određivanja optimalnih stopa rasta kapitalnih ulaganja, optimalne lokacije, specijalizacije i koncentracije proizvodnje, problema selekcije. najbolji načini proizvodnje, određivanje optimalnog redoslijeda puštanja u proizvodnju, poslovi pripreme proizvodnje metodama mrežnog planiranja i mnogi drugi.

Rješavanje standardnih problema karakterizira jasan cilj, sposobnost razvijanja postupaka i pravila za provođenje izračuna unaprijed.

Postoje sljedeći preduvjeti za korištenje metoda ekonomsko-matematičkog modeliranja, od kojih su najvažniji visoka razina poznavanje ekonomske teorije, ekonomskih procesa i pojava, metodologije njihove kvalitativne analize, kao i visok stupanj matematičke osposobljenosti, poznavanje ekonomsko-matematičkih metoda.

Prije početka izrade modela potrebno je pažljivo analizirati situaciju, identificirati ciljeve i odnose, probleme koje je potrebno riješiti, te početne podatke za njihovo rješavanje, održavati sustav notacije, a tek onda opisati situaciju u obliku matematičkih odnosa.

2. Razvoj i primjena ekonomsko-matematičkih modela

2.1 Faze ekonomsko-matematičkog modeliranja

Proces ekonomskog i matematičkog modeliranja je opis ekonomskih i društveni sustavi te procese u obliku ekonomskih i matematičkih modela. Ova vrsta modeliranja ima niz bitne značajke povezana kako s objektom modeliranja tako i s korištenim aparatima i sredstvima modeliranja. Stoga je uputno detaljnije analizirati slijed i sadržaj faza ekonomsko-matematičkog modeliranja, ističući sljedećih šest faza:

.Izjava o ekonomskom problemu i njegovom kvalitativna analiza;

2.zgrada matematički model;

.Matematička analiza modeli;

.Priprema početnih informacija;

.Numeričko rješenje;

.

Razmotrimo svaku od faza detaljnije.

1.Postavka ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza. Ovdje je glavna stvar jasno artikulirati bit problema, postavljene pretpostavke i pitanja na koja treba odgovoriti. Ova faza uključuje isticanje najvažnijih značajki i svojstava objekta koji se modelira i apstrahiranje od manjih; proučavanje strukture objekta i glavnih ovisnosti koje povezuju njegove elemente; formuliranje hipoteza (barem preliminarnih) koje objašnjavaju ponašanje i razvoj objekta.

2.Izgradnja matematičkog modela. Ovo je faza formaliziranja ekonomskog problema, izražavanja u obliku specifičnih matematičkih ovisnosti i odnosa (funkcije, jednadžbe, nejednadžbe itd.). Obično se prvo odredi glavna konstrukcija (vrsta) matematičkog modela, a zatim se specificiraju detalji te konstrukcije (specifičan popis varijabli i parametara, oblik odnosa). Stoga je konstrukcija modela podijeljena u nekoliko faza.

Pogrešno je to pretpostaviti više činjenica uzima u obzir model, to bolje "radi" i daje vrhunski rezultati. Isto se može reći o takvim karakteristikama složenosti modela kao što su oblici korištenih matematičkih ovisnosti (linearne i nelinearne), uzimajući u obzir faktore slučajnosti i nesigurnosti itd.

Pretjerana složenost i glomazan model komplicira proces istraživanja. Potrebno je uzeti u obzir ne samo stvarne mogućnosti informacije i softver, ali i usporediti troškove modeliranja s dobivenim učinkom.

Jedan od važne karakteristike matematički modeli - potencijalna mogućnost njihove uporabe za rješavanje problema različite kvalitete. Stoga, čak i kad se suočimo s novim ekonomskim izazovom, ne treba težiti "izmišljanju" modela; Prvo je potrebno pokušati primijeniti već poznate modele za rješavanje ovog problema.

.Matematička analiza modela.Svrha ovog koraka je razjasniti opća svojstva modela. Ovdje se koriste čisto matematičke metode istraživanja. Najviše važna točka- dokaz postojanja rješenja u formuliranom modelu. Ako je to moguće dokazati matematički problem nema rješenja, nema potrebe za naknadnim radom na početnoj verziji modela, već treba korigirati ili formulaciju ekonomskog problema ili metode njegove matematičke formalizacije. Tijekom analitičkog proučavanja modela razjašnjavaju se pitanja kao što je, na primjer, je li rješenje jedinstveno, koje varijable (nepoznate) mogu biti uključene u rješenje, kakvi će biti odnosi između njih, u kojim granicama i ovisno o početnom uvjete u kojima se mijenjaju, koji su trendovi njihove promjene itd. d. Analitičko proučavanje modela u usporedbi s empirijskim (numeričkim) ima prednost u tome što dobiveni zaključci ostaju valjani za različite specifične vrijednosti vanjskih i unutarnjih parametara modela.

4.Priprema početnih informacija.Modeliranje postavlja stroge zahtjeve na informacijski sustav. Istodobno, stvarne mogućnosti dobivanja informacija ograničavaju izbor modela namijenjenih praktičnu upotrebu. Ovo ne uzima u obzir samo temeljnu mogućnost pripreme informacija (za određeno vremensko razdoblje), već i troškove pripreme relevantnih nizova informacija.

Ti troškovi ne bi smjeli premašiti učinak korištenja dodatnih informacija.

U procesu pripreme informacija naširoko se koriste metode teorije vjerojatnosti, teorijske i matematičke statistike. U sustavnom ekonomskom i matematičkom modeliranju, početne informacije korištene u nekim modelima rezultat su funkcioniranja drugih modela.

5.Numeričko rješenje.Ova faza uključuje razvoj algoritama za numeričko rješavanje problema, kompilaciju računalnih programa i izravne izračune. Poteškoće ove faze uzrokovane su, prije svega, velikom dimenzijom ekonomskih problema, potrebom za obradom značajnih količina informacija.

Istraživanje se provodi numeričke metode, može značajno nadopuniti rezultate analitičke studije, a za mnoge je modele i jedini izvediv. Klasa ekonomskih problema koji se mogu riješiti numeričkim metodama mnogo je šira od klase problema dostupnih analitičkom istraživanju.

6.Analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.Na ovo završna faza ciklusu, postavlja se pitanje o ispravnosti i potpunosti rezultata simulacije, o stupnju praktične primjenjivosti potonjih.

Matematičke metode verifikacije mogu otkriti netočne konstrukcije modela i time suziti klasu potencijalno ispravnih modela. Neformalna analiza teorijskih zaključaka i numeričkih rezultata dobivenih pomoću modela, njihova usporedba s dostupnim znanjem i činjenicama iz stvarnosti također omogućuju otkrivanje nedostataka formulacije ekonomskog problema, konstruiranog matematičkog modela, njegovih informacija. i matematička potpora.

2.2 Primjena stohastičkih modela u ekonomiji

Osnova učinkovitosti bankovnog menadžmenta je sustavna kontrola optimalnosti, uravnoteženosti i stabilnosti funkcioniranja u kontekstu svih elemenata koji tvore resursni potencijal te utvrđivanje izgleda za dinamičan razvoj kreditne institucije. Njegove metode i alate potrebno je modernizirati kako bi odgovorili na promjene ekonomski uvjeti. Istodobno, potreba za unaprjeđenjem mehanizma za implementaciju novih bankovnih tehnologija određuje izvedivost znanstvenog istraživanja.

korišteno u postojeće metodologije integralni pokazatelji financijske stabilnosti (CFS) poslovnih banaka često karakteriziraju ravnotežu njihovog stanja, ali ne dopuštaju potpuni opis trenda razvoja. Treba imati na umu da rezultat (KFU) ovisi o mnogim slučajnim uzrocima (endogenim i egzogenim) koji se ne mogu unaprijed u potpunosti uzeti u obzir.

S tim u vezi opravdano je razmotriti moguće rezultate studije dobrog stanja banaka kao slučajne varijable imaju istu distribuciju vjerojatnosti, budući da se studije provode prema istoj metodologiji koristeći isti pristup. Štoviše, one su međusobno neovisne, tj. rezultat svakog pojedinačnog koeficijenta ne ovisi o vrijednostima ostalih.

Uzimajući u obzir da u jednom pokusu slučajna varijabla poprima jednu i samo jednu moguću vrijednost, zaključujemo da događaji x1 , x2 , …, xnčine potpunu grupu, stoga će zbroj njihovih vjerojatnosti biti jednak 1: str1 +str2 +…+strn=1 .

Diskretna slučajna varijabla x- koeficijent financijske stabilnosti banke "A", Y- banka "B", Z- Banka "C" za određeno razdoblje. Kako bi se dobio rezultat na temelju kojeg se može zaključiti o održivosti razvoja banaka, procjena je provedena na temelju 12-godišnjeg retrospektivnog razdoblja (tablica 1.).

stol 1

Redni broj godine Banka "A" Banka "B" Banka "C"11.3141.2011.09820.8150.9050.81131.0430.9940.83941.2111.0051.01351.1101.0901.00961.0981.1541.01771.1121.1151.02981.3111.3281.0 2451.1911.145101.5701.2041.296111.3001.1261.084121.1431.1511.028Min0.8150.9050.811Max1.5701.3281.296Step0.07550.04230.0485

Za svaki uzorak za određenu banku vrijednosti su podijeljene na Nintervalima, određuju se minimalne i maksimalne vrijednosti. Postupak određivanja optimalnog broja grupa temelji se na primjeni Sturgessove formule:

N\u003d 1 + 3,322 * ln N;

N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

Gdje n- broj grupa;

N- broj stanovništva.

h=(KFUmax- KFUmin) / 10.

tablica 2

Granice intervala vrijednosti diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z (koeficijenti financijske stabilnosti) i učestalost pojavljivanja ovih vrijednosti unutar navedenih granica

Broj intervala Granice intervala Učestalost pojavljivanja (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Na temelju pronađenog koraka intervala izračunate su granice intervala dodavanjem pronađenog koraka minimalnoj vrijednosti. Dobivena vrijednost je granica prvog intervala (lijeva granica - LG). Da bi se pronašla druga vrijednost (desna granica PG-a), korak i se ponovno dodaje pronađenoj prvoj granici, i tako dalje. Granica posljednjeg intervala podudara se s maksimalnom vrijednošću:

LG1 =KFUmin;

PG1 =KFUmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 =KFUmax.

Podaci o učestalosti pada koeficijenata financijske stabilnosti (diskretne slučajne varijable X, Y, Z) grupirani su u intervale, te je određena vjerojatnost da njihove vrijednosti padnu unutar zadanih granica. pri čemu lijeva vrijednost granica je uključena u interval, ali desna nije (tablica 3).

Tablica 3

Distribucija diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z

IndikatorVrijednosti indikatoraBanka "A"X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Banka "B"Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Banka "C" Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Po učestalosti pojavljivanja vrijednosti nnalaze se njihove vjerojatnosti (učestalost pojavljivanja se dijeli s 12, na temelju broja jedinica populacije), a sredine intervala korištene su kao vrijednosti diskretnih slučajnih varijabli. Zakoni njihove distribucije:

Pja=nja /12;

xja= (LGja+PGja)/2.

Na temelju distribucije može se prosuditi vjerojatnost neodrživog razvoja svake banke:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Dakle, s vjerojatnošću od 0,083, banka "A" može postići vrijednost koeficijenta financijske stabilnosti jednaku 0,853. Drugim riječima, postoji 8,3% šanse da će njegovi troškovi premašiti prihode. Za banku B vjerojatnost pada koeficijenta ispod jedan također je iznosila 0,083, međutim, uzimajući u obzir dinamičan razvoj organizacije, to će se smanjenje ipak pokazati beznačajnim - na 0,926. Naposljetku, postoji velika vjerojatnost (16,7%) da će aktivnost banke C, pod ostalim jednakim uvjetima, karakterizirati vrijednost financijske stabilnosti od 0,835.

Istodobno, prema tablicama distribucije vidi se vjerojatnost održivog razvoja banaka, tj. zbroj vjerojatnosti, gdje opcije koeficijenata imaju vrijednost veću od 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Može se primijetiti da se najmanje održivi razvoj očekuje u banci "C".

Općenito, zakon raspodjele zadaje slučajnu varijablu, ali češće je svrsishodnije koristiti brojeve koji opisuju slučajnu varijablu u zbroju. Nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable, uključuju matematičko očekivanje. Matematičko očekivanje približno je jednako prosječnoj vrijednosti slučajne varijable i približava se prosječnoj vrijednosti što je više testova provedeno.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj umnožaka svih mogućih varijabli i njezine vjerojatnosti:

M(X) = x1 str1 +x2 str2 +…+xnstrn

Rezultati izračuna vrijednosti matematičkih očekivanja slučajnih varijabli prikazani su u tablici 4.

Tablica 4

Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli X, Y, Z

BankExpectationDispersionStandardna devijacija"A" M (X) \u003d 1,187 D (X) \u003d 0,027 σ (x) \u003d 0,164 "B" M (Y) \u003d 1,124 D (Y) \u003d 0,010 σ (y) \u003d 0,101 "C" M (Z) \u003d 1,037 D (Z) \u003d 0,012 σ (z) = 0,112

Dobivena matematička očekivanja omogućuju procjenu prosječnih vrijednosti očekivanih vjerojatnih vrijednosti koeficijenta financijske stabilnosti u budućnosti.

Dakle, prema izračunima može se procijeniti da je matematičko očekivanje održivog razvoja banke "A" 1,187. Matematičko očekivanje banaka "B" i "C" je 1,124 odnosno 1,037, što odražava očekivanu profitabilnost njihovog rada.

Međutim, poznavajući samo matematičko očekivanje, koje pokazuje "središte" navodnih mogućih vrijednosti slučajne varijable - KFU, još uvijek je nemoguće prosuditi niti o njegovim mogućim razinama niti o stupnju njihove disperzije oko dobivenog matematičkog očekivanja.

Drugim riječima, matematičko očekivanje zbog svoje prirode ne karakterizira u potpunosti stabilnost razvoja banke. Iz tog razloga postaje potrebno izračunati i druge numeričke karakteristike: disperziju i standardnu ​​devijaciju. Koji omogućuju procjenu stupnja disperzije mogućih vrijednosti koeficijenta financijske stabilnosti. Matematička očekivanja i standardna odstupanja omogućuju procjenu intervala u kojem će se nalaziti moguće vrijednosti omjera financijske stabilnosti kreditnih institucija.

Uz relativno visoku karakterističnu vrijednost matematičkog očekivanja stabilnosti za banku "A", standardna devijacija iznosila je 0,164, što ukazuje da se stabilnost banke može za taj iznos povećati ili smanjiti. Uz negativnu promjenu stabilnosti (što je još uvijek malo vjerojatno, s obzirom na dobivenu vjerojatnost neprofitabilne aktivnosti, jednaku 0,083), koeficijent financijske stabilnosti banke ostat će pozitivan - 1,023 (vidi tablicu 3).

Aktivnost banke "B" s matematičkim očekivanjem od 1,124 karakterizira manji raspon vrijednosti koeficijenata. Tako će iu nepovoljnim okolnostima banka ostati stabilna, budući da je standardna devijacija od predviđene vrijednosti iznosila 0,101, što će joj omogućiti da ostane u zoni pozitivne profitabilnosti. Stoga možemo zaključiti da je razvoj ove banke održiv.

Banka C, naprotiv, s niskim matematičkim očekivanjem svoje pouzdanosti (1,037) suočit će se, uz ostale uvjete, s odstupanjem od 0,112, što je za nju neprihvatljivo. U nepovoljnoj situaciji, te s obzirom na visoku vjerojatnost poslovanja s gubitkom (16,7%), ova će kreditna institucija vjerojatno smanjiti svoju financijsku stabilnost na 0,925.

Važno je napomenuti da je, nakon izvlačenja zaključaka o stabilnosti razvoja banaka, nemoguće unaprijed predvidjeti koju će od mogućih vrijednosti omjer financijske stabilnosti uzeti kao rezultat testa; To ovisi o mnogim razlozima, koji se ne mogu uzeti u obzir. S ove pozicije imamo vrlo skromne informacije o svakoj slučajnoj varijabli. S tim u vezi, teško da je moguće utvrditi obrasce ponašanja i zbroj dovoljno velikog broja slučajnih varijabli.

Međutim, pokazuje se da pod određenim relativno širokim uvjetima ukupno ponašanje dovoljno velikog broja slučajnih varijabli gotovo gubi svoj slučajni karakter i postaje regularno.

Ocjenjujući stabilnost razvoja banaka, ostaje procijeniti vjerojatnost da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja ne prijeđe apsolutnu vrijednost pozitivnog broja. ε. Procjenu koja nas zanima može dati P.L. Čebišev. Vjerojatnost da je odstupanje slučajne varijable X od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti manje od pozitivnog broja ε ne manje od :

ili u slučaju inverzne vjerojatnosti:

Uzimajući u obzir rizik povezan s gubitkom stabilnosti, procijenit ćemo vjerojatnost odstupanja diskretne slučajne varijable od matematičkog očekivanja na manju stranu i, smatrajući odstupanja od središnje vrijednosti i na manju i na veću stranu jednakovjerojatnim , prepisujemo nejednakost još jednom:

Nadalje, na temelju postavljenog zadatka, potrebno je procijeniti vjerojatnost da buduća vrijednost koeficijenta financijske stabilnosti neće biti manja od 1 od predloženog matematičkog očekivanja (za banku "A" vrijednost ε uzmimo jednako 0,187, za banku "B" - 0,124, za "C" - 0,037) i izračunajte ovu vjerojatnost:

staklenka":

Banka "C"

Prema P.L. Chebyshev, najstabilnija u svom razvoju je banka "B", budući da je vjerojatnost odstupanja očekivanih vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja niska (0,325), dok je relativno manja nego u drugim bankama. Banka A je na drugom mjestu po usporednoj razvojnoj stabilnosti, gdje je koeficijent ovog odstupanja nešto veći nego u prvom slučaju (0,386). U trećoj banci, vjerojatnost da vrijednost koeficijenta financijske stabilnosti odstupi ulijevo od matematičkog očekivanja za više od 0,037 je praktički siguran događaj. Štoviše, ako uzmemo u obzir da vjerojatnost ne može biti veća od 1, prelazeći vrijednosti, prema dokazu L.P. Chebyshev treba uzeti kao 1. Drugim riječima, činjenica da razvoj banke može prijeći u nestabilnu zonu, koju karakterizira koeficijent financijske stabilnosti manji od 1, pouzdan je događaj.

Dakle, karakterizirajući financijski razvoj poslovnih banaka, možemo izvući sljedeće zaključke: matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable (prosječna očekivana vrijednost koeficijenta financijske stabilnosti) banke "A" je 1,187. Standardna devijacija ove diskretne vrijednosti je 0,164, što objektivno karakterizira mali raspon vrijednosti koeficijenata od prosječnog broja. Međutim, stupanj nestabilnosti ove serije potvrđuje prilično velika vjerojatnost negativnog odstupanja koeficijenta financijske stabilnosti od 1, jednakog 0,386.

Analiza aktivnosti druge banke pokazala je da je matematičko očekivanje KFU 1,124 sa standardnom devijacijom od 0,101. Dakle, djelatnost kreditne institucije karakterizira mali raspon u vrijednostima koeficijenta financijske stabilnosti, tj. je koncentriraniji i stabilniji, što potvrđuje i relativno niska vjerojatnost (0,325) prelaska banke u zonu gubitka.

Stabilnost banke "C" karakterizira niska vrijednost matematičkog očekivanja (1,037) i mali raspon vrijednosti (standardna devijacija je 0,112). Nejednakost L.P. Chebyshev dokazuje činjenicu da je vjerojatnost dobivanja negativne vrijednosti koeficijenta financijske stabilnosti jednaka 1, tj. očekivanje pozitivne dinamike njegovog razvoja, pod jednakim uvjetima, izgledat će vrlo nerazumno. Dakle, predloženi model, temeljen na utvrđivanju postojeće distribucije diskretnih slučajnih varijabli (vrijednosti pokazatelja financijske stabilnosti poslovnih banaka) i potvrđen procjenom njihovog jednakovjerojatnog pozitivnog ili negativnog odstupanja od dobivenog matematičkog očekivanja, omogućuje odrediti njegovu sadašnju i buduću razinu.

Zaključak

Korištenje matematike u ekonomiji dalo je poticaj razvoju kako same ekonomije tako i primijenjene matematike, u smislu metoda ekonomsko-matematičkog modela. Poslovica kaže: "Sedam puta mjeri - jednom reži." Korištenje modela je vrijeme, trud, materijalna sredstva. Osim toga, izračuni temeljeni na modelima suprotni su voljnim odlukama, jer omogućuju unaprijed procijeniti posljedice svake odluke, odbaciti neprihvatljive opcije i preporučiti one najuspješnije. Ekonomsko-matematičko modeliranje temelji se na principu analogije, tj. mogućnost proučavanja objekta konstruiranjem i razmatranjem drugog, njemu sličnog, ali jednostavnijeg i pristupačnijeg objekta, njegovog modela.

Praktične zadaće ekonomsko-matematičkog modeliranja su, prvo, analiza ekonomskih objekata; drugo, ekonomsko predviđanje, predviđanje razvoja ekonomskih procesa i ponašanja pojedinih pokazatelja; treće, razvoj menadžerskih odluka na svim razinama menadžmenta.

U radu je utvrđeno da se ekonomski i matematički modeli mogu podijeliti prema sljedećim obilježjima:

· namjena;

· uzimajući u obzir faktor vremena;

· trajanje razdoblja koje se razmatra;

· svrha stvaranja i primjene;

· uzimajući u obzir faktor nesigurnosti;

· vrsta matematičkog aparata;

Opis ekonomskih procesa i pojava u obliku ekonomsko-matematičkih modela temelji se na korištenju jedne od ekonomsko-matematičkih metoda koje se koriste na svim razinama upravljanja.

· formuliranje ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza;

· izgradnja matematičkog modela;

· matematička analiza modela;

· priprema početnih informacija;

· numeričko rješenje;

· analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.

Rad je predstavio članak kandidata ekonomskih znanosti, izvanrednog profesora Katedre za financije i kredit S.V. Boyko, koji napominje da se domaće kreditne institucije podložne utjecaju vanjskog okruženja suočavaju sa zadatkom pronalaženja upravljačkih alata koji uključuju provedbu racionalnih antikriznih mjera usmjerenih na stabilizaciju stope rasta osnovnih pokazatelja njihovih aktivnosti. S tim u vezi, važnost adekvatne definicije financijske stabilnosti korištenjem različitih metoda i modela, od kojih su jedna od varijanti stohastički (probabilistički) modeli, koji omogućuju ne samo identificiranje očekivanih čimbenika rasta ili smanjenja stabilnosti, već i formirati skup preventivnih mjera za njegovo očuvanje, raste.

Potencijalna mogućnost matematičkog modeliranja bilo kojih ekonomskih objekata i procesa ne znači, naravno, njegovu uspješnu izvedivost na danoj razini ekonomsko-matematičkog znanja, raspoložive specifične informacijske i računalne tehnologije. I premda je nemoguće naznačiti apsolutne granice matematičke formalizabilnosti ekonomskih problema, uvijek će postojati neformalizirani problemi, kao i situacije u kojima matematičko modeliranje nije dovoljno učinkovito.

Bibliografija

1)Krass M.S. Matematika za ekonomske specijalnosti: Udžbenik. -4. izdanje, rev. - M.: Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Matematički modeli u ekonomiji. - M.: Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Uvod u matematičku ekonomiju. - M.: Nauka, 1984.

)Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. i dr. Matematičko modeliranje ekonomskih procesa. - M.: Agropromizdat, 1990.

)ur. Fedoseeva V.V. Ekonomsko-matematičke metode i primijenjeni modeli: udžbenik za srednje škole. - M.: UNITI, 2001.

)Savitskaya G.V. Ekonomska analiza: udžbenik. - 10. izd., ispravljeno. - M.: Novo znanje, 2004.

)Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Moskva: Viša škola, 2002

)Operacijska istraživanja. Zadaci, principi, metodika: udžbenik. dodatak za sveučilišta / E.S. Wentzel. - 4. izd., stereotip. - M.: Drofa, 2006. - 206, str. : ilustr.

)Matematika u ekonomiji: udžbenik / S.V. Yudin. - M.: Izdavačka kuća RGTEU, 2009.-228 str.

)Kochetygov A.A. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika: Proc. Dodatak / Tul. Država. sveuč. Tula, 1998. 200 str.

)Boyko S.V., Probabilistički modeli u ocjeni financijske stabilnosti kreditnih institucija /S.V. Boyko // Financije i kredit. - 2011. N 39. -