Primjene elementarnih funkcija if. Elementarna funkcija

1) Domena funkcije i područje funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenata x(varijabilno x), za koju je funkcija y = f(x) odlučan. Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g, što funkcija prihvaća.

U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Funkcijske nule.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost je istinita f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi: f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafikoni

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b realni brojevi.

Broj A koji se naziva nagib pravca, jednak je tangensu kuta nagiba ovog pravca na pozitivan smjer x-osi. Graf linearne funkcije je pravac. Definiraju ga dvije točke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija poprima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) na cijeloj domeni definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencijabilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c realni brojevi naziva se kvadratni.

Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstvena svojstva i odgovarajući grafovi jedna su od osnova matematičkog znanja, po važnosti slična tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, oslonac za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Članak u nastavku pruža ključni materijal o temi osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

stalna funkcija (konstanta);
n-ti korijen;
funkcija snage;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija definirana je formulom: y = C (C je određeni realni broj) i također ima naziv: konstanta. Ova funkcija određuje podudarnost bilo koje stvarne vrijednosti nezavisne varijable x s istom vrijednošću varijable y - vrijednosti C.

Graf konstante je pravac koji je paralelan s apscisnom osi i prolazi točkom s koordinatama (0, C). Radi jasnoće prikazujemo grafove konstantnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na crtežu označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija definirana je formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijante funkcije.

n-ti korijen, n – paran broj

Radi jasnoće, označavamo crtež koji prikazuje grafove takvih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove značajke označene su bojama: crna, crvena i plava.

Grafikoni funkcije parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Definicija 3

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

domena definicije – skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
raspon: [ 0 , + ∞) ;
ova funkcija y = x n s parnim korijenskim eksponentima raste kroz cijelu domenu definicije;
funkcija ima konveksnost usmjerenu prema gore kroz cijelo područje definicije;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
graf funkcije za parno n prolazi kroz točke (0; 0) i (1; 1).

n-ti korijen, n – neparan broj

Takva je funkcija definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava su boje krivulja.

Ostale neparne vrijednosti eksponenta korijena funkcije y = x n dat će graf sličnog tipa.

Definicija 4

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je neparan broj

domena definicije – skup svih realnih brojeva;
ova funkcija je neparna;
raspon vrijednosti - skup svih realnih brojeva;
funkcija y = x n za eksponente neparnih korijena raste u cijeloj domeni definicije;
funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
točka infleksije ima koordinate (0; 0);
nema asimptota;
Graf funkcije za neparno n prolazi kroz točke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) i (1 ; 1).

Funkcija snage

Definicija 5

Funkcija potencije definirana je formulom y = x a.

Izgled grafova i svojstva funkcije ovise o vrijednosti eksponenta.

kada potencna funkcija ima cjelobrojni eksponent a, tada vrsta grafa potencne funkcije i njezina svojstva ovise o tome je li eksponent paran ili neparan, kao i kakav predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
eksponent može biti frakcijski ili iracionalan - ovisno o tome, vrsta grafova i svojstva funkcije također variraju. Analizirat ćemo posebne slučajeve postavljanjem nekoliko uvjeta: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija potencije može imati eksponent nula, pa ćemo i ovaj slučaj detaljnije analizirati u nastavku.

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y = x (crna grafička boja), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (grafička boja zelena). Kada je a = 1, dobivamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva funkcije potencije kada je eksponent neparan pozitivan

funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
točka infleksije ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
nema asimptota;
točke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y = x 2 (grafička boja crna), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafa). Kada je a = 2, dobivamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i pozitivan:

domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
opadajući za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
točke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova funkcija snage y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (crna grafička boja); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (grafička boja zelena). Kada je a = - 1, dobivamo obrnutu proporcionalnost čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, jer je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x);
funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kada je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

točke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova funkcije snage y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafička boja crna); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafa).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i negativan:

domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, jer je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je parna jer je y(-x) = y(x);
funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; 0) i padajuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0, jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

točke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sljedeći aspekt: u slučaju kada je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domenu definiranja ove funkcije snage; + ∞ , uz uvjet da je eksponent a nesvodivi razlomak. U ovom trenutku, autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. U nastavku ćemo se držati upravo ovog stava: uzet ćemo skup [ 0 ; + ∞) . Preporuka za učenike: saznajte učiteljev stav o ovoj točki kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a , kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj, pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Ilustrirajmo funkcije snage grafovima y = x a kada je a = 11 12 (grafička boja crna); a = 5 7 (crvena boja grafa); a = 1 3 (plava boja grafa); a = 2 5 (zelena boja grafa).

Ostale vrijednosti eksponenta a (uz uvjet 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
nema točaka infleksije;
nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je eksponent necijeli racionalni ili iracionalni broj, pod uvjetom da je a > 1.

Ilustrirajmo grafovima funkciju snage y = x a pod zadanim uvjetima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafova, odnosno).

Ostale vrijednosti eksponenta a, pod uvjetom da je a > 1, dat će sličan graf.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

domena definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
prolazne točke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Napominjemo!Kada je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji mišljenje da je domena definicije u tom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz napomenu da je eksponent a nesvodivi razlomak. U ovom trenutku autori obrazovnih materijala o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, držimo se upravo ovog stajališta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu definiranja funkcija potencije s razlomačkim negativnim eksponentima. Preporuka za učenike: Razjasnite viziju svog učitelja na ovom mjestu kako biste izbjegli nesuglasice.

Nastavimo temu i analizirajmo funkciju snage y = x a pod uvjetom: - 1< a < 0 .

Predstavimo crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena boja linije, odnosno).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
nema točaka infleksije;

Na donjem crtežu prikazani su grafovi funkcija snage y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krivulja, redom).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
funkcija je padajuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0;
točka prolaza funkcije: (1; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobivamo funkciju y = x 0 = 1, koja definira liniju iz koje se isključuje točka (0; 1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 neće pridavati nikakvo značenje ).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a graf ove funkcije izgleda drugačije ovisno o vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, pogledajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nula do jedan (0< a < 1) . Dobar primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krivulje) i a = 5 6 (crvena boja krivulje).

Grafikoni eksponencijalne funkcije imat će sličan izgled za ostale vrijednosti baze pod uvjetom 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan pada u cijeloj domeni definicije;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0 s varijablom x koja teži + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrirajmo ovaj poseban slučaj grafom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krivulje) i y = e x (crvena boja grafa).

Ostale vrijednosti baze, veće jedinice, dat će sličan izgled grafu eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

domena definicije – cijeli skup realnih brojeva;
raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste s x ∈ - ∞; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ - ∞; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
horizontalna asimptota – pravac y = 0 s varijablom x koja teži - ∞;
točka prolaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Takva je funkcija definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritamske funkcije ima drugačiji izgled, ovisno o vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ostale vrijednosti baze, a ne veće jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže +∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
logaritamski
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;

Pogledajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na donjem crtežu prikazani su grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafova).

Ostale vrijednosti baze veće od jedan dat će sličan tip grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
logaritamska funkcija je rastuća za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
nema točaka infleksije;
nema asimptota;
točka prolaza funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Pogledajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuće grafike.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcija ponavljaju za različite vrijednosti argumenta, razlikuju se jedna od druge za razdoblje f (x + T) = f (x) (T je razdoblje). Tako se na popis svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka “najmanji pozitivni period”. Osim toga, naznačit ćemo vrijednosti argumenta pri kojima odgovarajuća funkcija postaje nula.

Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

domena definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funkcija nestaje kada je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
funkcija je rastuća za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i opadajuća za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
funkcija sinusa ima lokalne maksimume u točkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u točkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
funkcija sinusa je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nema asimptota.

Kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
najmanji pozitivni period: T = 2 π;
raspon vrijednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
ova funkcija je parna, jer je y (- x) = y (x);
funkcija je rastuća za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i opadajuća za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u točkama 2 π · k ; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u točkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
funkcija kosinus je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
nema asimptota.

Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf ove funkcije zove se tangens.

Definicija 20

Svojstva funkcije tangente:

domena definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje funkcije tangente na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, pravci x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
funkcija nestaje kada je x = π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste kao - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
funkcija tangente je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
točke infleksije imaju koordinate π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

domena definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje funkcije kotangensa na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, pravci x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivni period: T = π;
funkcija nestaje kada je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funkcija kotangens je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Nema kosih i horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Često se, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučnim funkcijama .

Arkus sinus funkcija: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva funkcije arksinus:

ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija arksinusa ima konkavnost za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
točke infleksije imaju koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
nema asimptota.

Arkus kosinusna funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva ark kosinusne funkcije:

domena definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
raspon: y ∈ 0 ; π;
ova funkcija je općeg oblika (niti parna niti neparna);
funkcija je opadajuća u cijeloj domeni definicije;
arc kosinusna funkcija ima konkavnost na x ∈ - 1; 0 i konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
točke infleksije imaju koordinate 0; π 2;
nema asimptota.

Funkcija arktangens: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva funkcije arktangensa:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
ova funkcija je neparna, jer je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste u cijeloj domeni definicije;
funkcija arktangensa ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
točka infleksije ima koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
horizontalne asimptote su ravne linije y = - π 2 kao x → - ∞ i y = π 2 kao x → + ∞ (na slici su asimptote zelene linije).

Arkus tangens funkcija: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva arkotangens funkcije:

domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon: y ∈ (0; π) ;
ova funkcija je općeg oblika;
funkcija je opadajuća u cijeloj domeni definicije;
funkcija arc kotangens ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
točka infleksije ima koordinate 0; π 2;
vodoravne asimptote su ravne linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kompletan popis osnovnih elementarnih funkcija

Klasa osnovnih elementarnih funkcija uključuje sljedeće:

Konstantna funkcija $y=C$, gdje je $C$ konstanta. Takva funkcija uzima istu vrijednost $C$ za bilo koji $x$.
Funkcija stepena $y=x^(a) $, gdje je eksponent $a$ realan broj.
Eksponencijalna funkcija $y=a^(x) $, gdje je baza stupanj $a>0$, $a\ne 1$.
Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$, gdje je baza logaritma $a>0$, $a\ne 1$.
Trigonometrijske funkcije $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
Inverzne trigonometrijske funkcije $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Funkcije snage

Razmotrit ćemo ponašanje funkcije potencije $y=x^(a) $ za one najjednostavnije slučajeve kada njezin eksponent određuje cjelobrojno potenciranje i vađenje korijena.

Slučaj 1

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je prirodan broj, odnosno $y=x^(n) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k) $ paran i neograničeno raste kao da argument $\left(x\to +\infty \ right )$, a s njegovim neograničenim smanjenjem $\left(x\to -\infty \right)$. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, što znači da funkcija u oba slučaja raste bez ograničenja ($\lim $ je granica). Primjer: graf funkcije $y=x^(2) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k-1) $ neparna, neograničeno raste kako argument raste neograničeno, a opada neograničeno kako argument smanjuje unedogled. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=x^(3) $.

Slučaj 2

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je negativan cijeli broj, to jest $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ paran i asimptotski (postupno) se približava nuli kao s argumentom neograničenog povećanja , te s njegovim neograničenim smanjenjem. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, što znači da s neograničenim porastom argumenta u apsolutnoj vrijednosti limit funkcije je nula. Nadalje, kako argument teži nuli i lijevo $\lijevo(x\to 0-0\desno)$ i desno $\lijevo(x\to 0+0\desno)$, funkcija raste bez ograničiti. Prema tome, izrazi $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\ granice_ su važeće (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, što znači da je funkcija $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k ) ) $ u oba slučaja ima beskonačnu granicu jednaku $+\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ neparna i asimptotski se približava nuli kao da oboje kada argument se povećava i kada se neograničeno smanjuje. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Osim toga, kako se argument približava nuli s lijeve strane, funkcija opada bez ograničenja, a kako se argument približava nuli s desne strane, funkcija raste bez ograničenja, to jest, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x) $.

Slučaj 3

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je inverz prirodnog broja, to jest, $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ dvovrijedna i definirana je samo za $x\ge 0 $. Neograničenim povećanjem argumenta vrijednost funkcije $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ neograničeno raste, a vrijednost funkcije $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ neograničeno opada, to jest, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ i $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\pm \sqrt(x) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ neparna, raste neograničeno s neograničenim povećanjem argumenta i neograničeno se smanjuje kada je neograničeno, smanjuje se, to jest, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ i $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\sqrt[(3)](x) $.

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalna $y=a^(x) $ i logaritamska $y=\log _(a) x$ funkcija međusobno su inverzne. Njihovi su grafikoni simetrični u odnosu na zajedničku simetralu prvog i trećeg koordinatnog kuta.

Kako se argument $\left(x\to +\infty \right)$ neograničeno povećava, eksponencijalna funkcija ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ raste neograničeno, ako je $a>1$, ili se asimptotski približava nuli $\mathop(\lim)\limits_(x\to +\infty) a^(x) =0$, ako je $a1$, ili $\mathop raste bez ograničenja (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, ako $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=a^(x) $ je vrijednost $x=0$. U tom slučaju sve eksponencijalne funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku $Oy$ os u $y=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=2^(x) $ i $y = \lijevo (\frac(1)(2) \desno)^(x) $.

Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$ definirana je samo za $x > 0$.

Kako argument $\left(x\to +\infty \right)$ raste neograničeno, logaritamska funkcija ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ povećava neograničeno infty $, ako $a>1$, ili se smanjuje bez ograničenja $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, ako $a1 $, ili bez ograničenja $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ raste ako $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=\log _(a) x$ je vrijednost $y=0$. U tom slučaju sve logaritamske funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku $Ox$ os u $x=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=\log _(2) x$ i $y=\log _(1/2) x$.

Neke logaritamske funkcije imaju posebne oznake. Konkretno, ako je baza logaritma $a=10$, tada se takav logaritam naziva decimalnim, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\lg x$. A ako se kao baza logaritma odabere iracionalni broj $e=2,7182818\ldots $, tada se takav logaritam naziva prirodnim, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\ln x$. Njen inverz je funkcija $y=e^(x) $, koja se naziva eksponent.

Odjeljak sadrži referentni materijal o glavnim elementarnim funkcijama i njihovim svojstvima. Dana je klasifikacija elementarnih funkcija. Ispod su poveznice na pododjeljke koji raspravljaju o svojstvima specifičnih funkcija - grafovima, formulama, derivacijama, antiderivacijama (integralima), proširenjima nizova, izrazima kroz kompleksne varijable.

Sadržaj

Referentne stranice za osnovne funkcije

Klasifikacija elementarnih funkcija

Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava jednadžbu:
,
gdje je polinom u ovisnoj varijabli y i nezavisnoj varijabli x. Može se napisati kao:
,
gdje su polinomi.

Algebarske funkcije se dijele na polinome (cijele racionalne funkcije), racionalne funkcije i iracionalne funkcije.

Cjelokupna racionalna funkcija, koji se također naziva polinom ili polinom, dobiva se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja (oduzimanja) i množenja. Nakon otvaranja zagrada polinom se svodi na kanonski oblik:
.

Razlomačka racionalna funkcija, ili jednostavno racionalna funkcija, dobiva se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja (oduzimanja), množenja i dijeljenja. Racionalna funkcija može se svesti na formu
,
gdje su i polinomi.

Iracionalna funkcija je algebarska funkcija koja nije racionalna. U pravilu se pod iracionalnom funkcijom podrazumijevaju korijeni i njihovi sastavi s racionalnim funkcijama. Korijen stupnja n definiran je kao rješenje jednadžbe
.
Označava se na sljedeći način:
.

Transcendentalne funkcije nazivaju se nealgebarske funkcije. To su eksponencijalne, trigonometrijske, hiperboličke i njihove inverzne funkcije.

Pregled osnovnih elementarnih funkcija

Sve elementarne funkcije mogu se prikazati kao konačni broj operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja koje se izvode na izrazu oblika:
z t .
Inverzne funkcije također se mogu izraziti logaritmima. Osnovne elementarne funkcije navedene su u nastavku.

Funkcija snage:
y(x) = x p,
gdje je p eksponent. Ovisi o bazi stupnja x.
Inverzna funkcija snage također je funkcija snage:
.
Za cjelobrojnu nenegativnu vrijednost eksponenta p, to je polinom. Za cjelobrojnu vrijednost p - racionalna funkcija. S racionalnim značenjem – iracionalna funkcija.

Transcendentalne funkcije

Eksponencijalna funkcija:
y(x) = a x,
gdje je a baza stupnja. Ovisi o eksponentu x.
Inverzna funkcija je logaritam s bazom a:
x = prijavite se.

Eksponent, e na x potenciju:
y(x) = e x,
Ovo je eksponencijalna funkcija čija je derivacija jednaka samoj funkciji:
.
Baza eksponenta je broj e:
≈ 2,718281828459045... .
Inverzna funkcija je prirodni logaritam - logaritam baze broja e:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonometrijske funkcije:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangenta: ;
Kotangens: ;
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = -1.

Inverzne trigonometrijske funkcije:
Arkusinus: x = arcsin y, ;
Arkus kosinus: x = arccos y, ;
Arktangens: x = arctan y, ;
Arkus tangens: x = arcctg y, .