Riješite jednadžbe koje se svode na kvadratne. Racionalne jednadžbe

Artikal

algebra

Klasa

Tema i broj lekcije u temi

"Kvadratne jednadžbe"; Lekcija 14

Osnovni tutorial

"Algebra 8", ur. Sh.A. Alimov et al., Moskva: Obrazovanje, 2009.

5. Svrha lekcije: konsolidirati algoritme za rješavanje bikvadratnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi.

6. Zadaci:

- obrazovni: poznavati oblik bikvadratne i frakcijske racionalne jednadžbe; algoritam za rješavanje bikvadratnih

i frakcijska racionalna jednadžba; znati rješavati bikvadratne i frakcijske racionalne jednadžbe;

- razvijanje : razvijanje sposobnosti isticanja glavnoga, uspoređivanja, analize i donošenja zaključaka;

razvijanje sposobnosti oblikovanja kognitivnih zadataka i planiranja kognitivnih aktivnosti;

razvijati osobine ličnosti - marljivost, točnost, ustrajnost u postizanju ciljeva;

- obrazovni: proizvodnja objektivna procjena vaša postignuća; formiranje odgovornosti;

razvoj vještina timskog rada.

7. Vrsta lekcije: narock konsolidacija znanja.

8. Oblici rada studenata: frontalni, pojedinačni;skupina

9. Potrebna tehnička oprema: računalo, projektor, ID.

TEHNOLOŠKA KARTA LEKCIJA

Didaktički struktura neba krug lekcije	Metodička struktura sata
Didaktički struktura neba krug lekcije		Obnavljanje znanja	Formiranje ZUN-a	Konsolidacija	Kontrolirati		Instrukcije kući
	Priprema učenika za rad u nastavi	Osigurati motivaciju, obnoviti osnovna znanja i vještine	Ponoviti algoritam za rješavanje bikvada. ur-te i metode za rješavanje frakci-rat. jednadžbe	Poznavati algoritam za rješavanje bikvada. ur-te i metode za rješavanje frakci-rat. jednadžbe i sposobnost njihove primjene u praksi	Grupni rad	Analizirati i vrednovati uspješnost ostvarenja cilja nastavnog sata i ocrtati izglede za daljnji rad	Omogućiti razumijevanje svrhe, sadržaja i načina izvođenja zadatka
		Danas ćemo biti dodekaedar. Da biste popravili lica dodekaedra, morate riješiti određena vrsta jednadžbe Koje ste vrste jednadžbi naučili rješavati u prethodnim lekcijama?	1. Zajedno s učenikom formulirajte svrhu lekcije 2.Ponoviti algoritam za rješavanje bikvadratne jednadžbe; uvjeti jednakosti razlomka 0; formula kvadratnog korijena jednadžbe	1. Predloženo je nekoliko opcija za formulu za kvadratni korijen. ur. - odaberite ispravan Pres. L.br.2 2. Uspostavite korespondenciju između faza algoritma i točaka rješavanja biqu. ur-I Prez. L.br.3 3. Od tri odgovora odaberite uvjet postojanja razlomka Prez. L.br.4 4. Pronađite pogrešku u rješavanju jednadžbe. Pritisni.	L.br.5 Grupe različitih razina izvršavaju zadatke pomoću kartica. Adj. br. 1	Slajd sadrži lica dodekaedra s točnim odgovorima. Pritisni.	l. broj 6. Svakom timu unaprijed je dodijeljena boja, ako je tim točno riješio jednadžbe, njegova odabrana lica odgovarat će njegovoj boji na tri mjesta. Na kraju rada učenici provjeravaju rezultate konstruiranja mreže dodekaedra br Učitelj i učenici rezimiraju obavljeni rad. Ispravak pogrešaka: ispravno rješavanje jednadžbi
odličan posao		, u kojem je bilo grešaka	, u kojem je bilo grešaka	Nastavne metode	Reproduktivni	Djelomična pretraga	Djelomična pretraga
Djelomično traženje, traženje, samokontrola		Samo kontrola	Samo kontrola	Samo kontrola	Oblici org. spoznavač-	Frontalni	Samo kontrola
Skupina	Individualno, frontalno	Pravi rezultat U radnu sredinu uključili su se svi učenici	Učenici su se pripremili za aktivno učenje	kognitivnu aktivnost	Učenici su se upoznali s jednadžbama koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe i metodama njihova rješavanja.	Učenici znaju rješavati kvadratne jednadžbe	Učenici imaju predodžbu o stupnju do kojeg su svladali gradivo koje su učili, svojim postignućima i nedostacima u temi koja se proučava

Učenik je proveo samoprovjeru znanja i vještina o temi, donoseći zaključak o rezultatu svog rada Stvoreni su uvjeti za izradu domaćih zadaća U ovom članku ću vam pokazati sedam vrsta algoritama rješenja

racionalne jednadžbe

, koji se promjenom varijabli može svesti na kvadratni. U većini slučajeva, transformacije koje dovode do zamjene vrlo su netrivijalne i vrlo je teško sami pogoditi o njima.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijable u njoj, a zatim prikazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorialu.

1 Imate priliku sami nastaviti rješavati jednadžbe, a zatim svoje rješenje provjeriti pomoću video lekcije.

Dakle, počnimo.

1. . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Imajte na umu da se na lijevoj strani jednadžbe nalazi umnožak četiriju zagrada, a na desnoj strani broj.

Grupirajmo zagrade po dvije tako da zbroj slobodnih članova bude isti.

2. Umnožite ih.

3. Uvedimo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi grupirat ćemo prvu zagradu s trećom, a drugu s četvrtom, jer (-1)+(-4)=(-7)+2:

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita:

2 .

Jednadžba ovog tipa slična je prethodnoj s jednom razlikom: na desnoj strani jednadžbe nalazi se umnožak broja i . I to se rješava na potpuno drugačiji način:

1. Grupiramo zagrade po dvije tako da umnožak slobodnih članova bude isti.

2. Pomnožite svaki par zagrada.

3. Oduzimamo x iz svakog faktora.

4. Podijelite obje strane jednadžbe s .

5. Uvodimo promjenu varijable.

U ovoj jednadžbi grupiramo prvu zagradu s četvrtom, a drugu s trećom, jer:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izdvojimo faktor iz svake zagrade:

Budući da x=0 nije korijen izvorne jednadžbe, obje strane jednadžbe dijelimo s . Dobivamo:

Dobivamo jednadžbu:

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita:

3 .

Imajte na umu da nazivnici oba razlomka sadrže kvadratne trinome, u kojima su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvadimo x iz zagrade, kao u jednadžbi drugog tipa. Dobivamo:

Podijelite brojnik i nazivnik svakog razlomka s x:

Sada možemo uvesti zamjenu varijable:

Dobivamo jednadžbu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe simetrični u odnosu na središnji. Ova se jednadžba zove povratna .

Da bi to riješio,

1. Podijelimo obje strane jednadžbe s (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednadžbe.) Dobivamo:

2. Grupirajmo pojmove na ovaj način:

3. U svakoj skupini izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

4. Predstavimo zamjenu:

5. Izrazite kroz t izraz:

Odavde

Dobivamo jednadžbu za t:

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju homogenu strukturu mogu se susresti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednadžbe, pa ga morate znati prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj jednakosti A, B i C su brojevi, a kvadrat i kružić označavaju identične izraze. To jest, na lijevoj strani homogene jednadžbe nalazi se zbroj monoma istog stupnja (u u ovom slučaju stupanj monoma je 2), a nema slobodnog člana.

Riješiti homogena jednadžba, podijelite obje strane s

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Idemo prvim putem. Dobivamo jednadžbu:

Sada uvodimo zamjenu varijabli:

Pojednostavimo izraz i dobijemo bikvadratnu jednadžbu za t:

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita: ili

7 .

Ova jednadžba ima sljedeću strukturu:

Da biste to riješili, trebate odabrati na lijevoj strani jednadžbe savršen kvadrat.

Da biste odabrali puni kvadrat, trebate dodati ili oduzeti dva puta umnožak. Tada dobivamo kvadrat zbroja ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijabli.

Počnimo pronalaženjem dvostrukog proizvoda. Ovo će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi dvostruki proizvod jednaki

Sada shvatimo što nam je prikladnije imati - kvadrat zbroja ili razlike. Razmotrimo prvo zbroj izraza:

Sjajno! Ovaj izraz je točno jednak dvostrukom umnošku. Zatim, da biste dobili kvadrat zbroja u zagradama, trebate zbrojiti i oduzeti dvostruki umnožak:

Kvadratna jednadžba je jednadžba ax²+bx+c=0, gdje su a, b, c zadani brojevi, a0, x nepoznati. Koeficijenti a, b, c kvadratne jednadžbe obično se nazivaju na sljedeći način: a – prvi ili vodeći koeficijent, b – drugi koeficijent, c – slobodni član. Na primjer, u jednadžbi 3x²-x+2=0, viši (prvi) koeficijent je a=3, drugi koeficijent je b=-1, a slobodni član je c=2. Rješavanje mnogih problema iz matematike, fizike i tehnologije svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. Pri rješavanju mnogih problema dobivaju se jednadžbe koje pomoću algebarske transformacije svode se na kvadratne. Na primjer, jednadžba 2x²+3x=x²+2x+2, nakon pomicanja svih članova na lijevu stranu i dovođenja sličnih članova, reducira se na kvadratnu jednadžbu x²+x-2=0.

Razmotrimo jednadžbu opći pogled: ax²+bx+c=0, gdje je a0. Korijeni jednadžbe nalaze se pomoću formule: Izraz se naziva diskriminanta kvadratne jednadžbe. Ako je D 0, tada jednadžba ima dva realna korijena. U slučaju kada je D=0, ponekad se kaže da kvadratna jednadžba ima dva identična korijena.

Nepotpune kvadratne jednadžbe. Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax²+bx+c=0 drugi koeficijent b ili slobodni član c jednak nuli, tada se kvadratna jednadžba naziva nepotpunom. Nepotpuna kvadratna jednadžba može imati jedan od sljedeće vrste: Nepotpune jednadžbe su izolirani jer za pronalaženje njihovih korijena ne morate koristiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe - lakše je riješiti jednadžbu rastavljanjem njezine lijeve strane na faktore.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 +px+q=0 zove se reducirana. U ovoj jednadžbi vodeći koeficijent jednako jedan: a=1. Korijeni gornje kvadratne jednadžbe nalaze se formulom: Ovu je formulu zgodno koristiti kada je p paran broj. Primjer: Riješite jednadžbu x 2 -14x-15=0. Pomoću formule nalazimo: Odgovor: x 1 =15, x 2 =-1.

Francois Viet? Vietin teorem. Ako reducirana kvadratna jednadžba x 2 +px+q=0 ima realne korijene, tada je njihov zbroj jednak -p, a produkt jednak q, odnosno x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q (zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom iz suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu). Proučavanje odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe.

Tvrdnja 1: Neka su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 +ph+q=0. Tada su brojevi x 1, x 2, p, q povezani jednakostima: x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q Tvrdnja 2: Neka su brojevi x 1, x 2, p, q povezani jednakostima x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q. Tada su x 1 i x 2 korijeni jednadžbe x 2 +ph+q=0 Posljedica: x 2 +ph+q=(x-x 1)(x-x 2). Situacije u kojima se može koristiti Vietin teorem. Provjera ispravnosti pronađenih korijena. Određivanje predznaka korijena kvadratne jednadžbe. Usmeno pronalaženje cjelobrojnih korijena zadane kvadratne jednadžbe. Sastavljanje kvadratnih jednadžbi sa zadanim korijenima. Raspad kvadratni trinom po množiteljima.

Bikvadratne jednadžbe Bikvadratna jednadžba je jednadžba oblika gdje je a 0. Bikvadratna jednadžba rješava se uvođenjem nove varijable: stavljajući, dobivamo kvadratnu jednadžbu Primjer: Riješimo jednadžbu x 4 +4x 2 -21=0 Stavljajući x 2 =t, dobivamo kvadratnu jednadžbu t 2 +4t -21=0, iz gdje nalazimo t 1 = -7, t 2 =3. Sada se problem svodi na rješavanje jednadžbi x 2 = -7, x 2 =3. Prva jednadžba nema pravih korijena, iz druge nalazimo: koji su korijeni zadane bikvadratne jednadžbe.

Rješavanje zadataka pomoću kvadratnih jednadžbi. Zadatak 1: Autobus je krenuo s autobusnog kolodvora prema zračnoj luci udaljenoj 40 km. 10 minuta kasnije, iza autobusa je izašao putnik u taksiju. Brzina taksija je 20 km/h veća od brzine autobusa. Pronađite brzinu taksija i autobusa ako su stigli u zračnu luku u isto vrijeme. Brzina V (km/h) Vrijeme t (h) Put S (km) Busx40 TaxiX+2040 Za 10 min 10 min = h Napravimo i riješimo jednadžbu:

Množenjem obje strane jednadžbe sa 6x(x+20), dobivamo: Korijeni ove jednadžbe: Za ove vrijednosti x, nazivnici razlomaka uključenih u jednadžbu nisu jednaki 0, stoga su korijeni jednadžbe. Kako je brzina sabirnice pozitivna, samo jedan korijen zadovoljava uvjete problema: x=60. Dakle, brzina taksija je 80 km/h. Odgovor: Brzina autobusa je 60 km/h, brzina taksija je 80 km/h.

Problem 2: Prvi daktilograf troši 3 sata manje na pretipkavanje rukopisa od drugog. Radeći istovremeno, dovršili su pretipkavanje cijelog rukopisa za 6 sati i 40 minuta. Koliko bi svakom od njih trebalo da pretipka čitav rukopis? Količina rada po satu Vrijeme t (h) Količina rada Prvi daktilograf x1 Drugi daktilograf x+31 Zajedno za 6 sati 40 minuta 6 sati 40 minuta = 6 sati Kreirajmo i riješimo jednadžbu:

Ova se jednadžba može napisati na sljedeći način: Množenjem obje strane jednadžbe s 20x(x+3), dobivamo: Korijeni ove jednadžbe: Za ove vrijednosti od x, nazivnici razlomaka uključenih u jednadžbu nisu jednak 0, dakle - korijeni jednadžbe. Kako je vrijeme pozitivno, onda je x=12h. Dakle, prva daktilografkinja provede 12 sati na poslu, druga - 12 sati + 3 sata = 15 sati Odgovor: 12 sati i 15 sati 15

Francois Viet Francois Viet rođen je 1540. godine u Francuskoj. Vietov otac bio je tužitelj. Sin je odabrao očevo zanimanje i postao odvjetnik, diplomirajući na sveučilištu u Poitouu. Godine 1563. napustio je jurisprudenciju i postao učitelj u plemićkoj obitelji. Upravo je podučavanje kod mladog pravnika pobudilo zanimanje za matematiku. Viet se seli u Pariz, gdje je lakše upoznati postignuća vodećih europskih matematičara. Od 1571. Viet je zauzimao važne vladina mjesta, ali je 1584. suspendiran i protjeran iz Pariza. Sada je imao priliku ozbiljno se baviti matematikom. Godine 1591. objavio je raspravu "Uvod u analitičku umjetnost", gdje je pokazao da se operiranjem sa simbolima može dobiti rezultat primjenjiv na bilo koju odgovarajuću količinu. Poznati teorem objavljen je iste godine. Stekao je veliku slavu pod Henrikom III. tijekom Francusko-španjolskog rata. U roku od dva tjedna, radnim danima i noćima, pronašao je ključ španjolske šifre. Umro u Parizu 1603., postoje sumnje da je ubijen.

Razmotrimo Cauchyjev problem: (14) (15) gdje su parametri. U budućnosti ćemo funkcionale koji ovise o parametrima razmatrati kroz rješenje Cauchyjevog problema (14), (15). Tada će gradijentne jednadžbe ovisiti o derivacijama rješenja problema (14), (15)...

Identifikacija parametara oscilirajućih procesa u živoj prirodi modeliranih diferencijalnim jednadžbama

Napišimo Cauchyjev problem za Lotkine jednadžbe (5) točka 2 koristeći više standarda matematička notacija: , (1) , (2) Cauchyjev problem (17), (18) točka 1 bit će sljedeći: , , (3) , (4) Kao što vidimo, Cauchyjev problem (1), (2), (3), (4) polinom...

Invarijantnost stacionarne distribucije mreže s tri čvora Čekanje u redu

Pretpostavimo da postoji stacionarna distribucija. Napravimo jednadžbu ravnoteže...

Integracija diferencijalne jednadžbe pomoću potencijski nizovi

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda za funkciju argumenta je relacija oblika (1.10) gdje je - dana funkcija svoje argumente. U ime ove klase matematičke jednadžbe pojam "diferencijal" naglašava...

Iracionalne jednadžbe

Primjer 1. Riješite jednadžbu. Riješenje. Kvadratirajmo obje strane izvorne jednadžbe: (6). Primjer 2: Riješite jednadžbu. Riješenje. Na lijevoj strani izvorne jednadžbe nalazi se aritmetika Korijen- po definiciji je nenegativan...

Iracionalne jednadžbe

Vrlo često pri rješavanju ovakvih jednadžbi učenici koriste sljedeću formulaciju svojstva umnoška: “Umnožak dvaju faktora jednak je nuli ako je barem jedan od njih jednak nuli.” Bilješka...

Iracionalne jednadžbe

Te se jednadžbe mogu riješiti osnovnom metodom rješavanja iracionalnih jednadžbi (kvadriranje obje strane jednadžbe), ali ponekad se mogu riješiti i drugim metodama. Razmotrimo jednadžbu (1). Neka je korijen jednadžbe (1)...

Kvadratne jednadžbe riješeno i u Indiji. Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski znanstvenik...

Kvadratne jednadžbe i jednadžbe višeg reda

Recipročna jednadžba je algebarska jednadžba a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an =0, u kojoj je ak = an - k, gdje je k = 0, 1, 2 ...n, i, ha? 0...

Linearne i kvadratne ovisnosti, funkcija x i povezane jednadžbe i nejednadžbe

U nekim zadacima prijemnog ispita potrebno je ne samo proučiti položaj korijena kvadratnog trinoma, već i saznati pri kojim je vrijednostima parametra određena logička tvrdnja zadovoljena...

Logaritamska funkcija u zadacima

Primjer 1: Riješite jednadžbu. Rješenje: Regija prihvatljive vrijednosti- puno svih realni brojevi, budući da je pred svima. Po definiciji logaritma imamo. Dobivamo eksponencijalna jednadžba, koju rješavamo metodom redukcije na algebarsku...

Metodologija rješavanja jednadžbi konvolucijskog tipa

Primjer 3.1. Nelinearne jednadžbe s Hilbertovom jezgrom: (3.12) (3.13) Imaju jedinstveno rješenje u Hilbertovom prostoru. Godine 1977. G.M. Magomedov je razmatrao nelinearne singularne integralne jednadžbe s Cauchyjevom jezgrom oblika (3...

Približne metode rješavanja rubnih problema za parcijalne diferencijalne jednadžbe

Prisjetimo se Poissonove jednadžbe (4) (4) U praksi se koristi nekoliko predložaka za konstruiranje shema konačnih razlika. 1. "Križna" shema konačnih razlika...

Primjena diferencijalne i integralni račun do rješavanja fizičkih i geometrijski problemi u MATLabu

Puno fizikalni zakoni imaju oblik diferencijalnih jednadžbi, tj. odnosa između funkcija i njihovih izvodnica. Problem integracije ovih jednadžbi je najvažniji zadatak matematika...

Primjena trigonometrijske supstitucije za rješavanje algebarskih problema

Iracionalne jednadžbe se često nalaze u prijemni ispiti u matematici, budući da je uz njihovu pomoć lako dijagnosticirati poznavanje takvih koncepata kao što su ekvivalentne transformacije, domena definicije i drugi...

Standardne vrste jednadžbi i metode za njihovo rješavanje

1. Jednadžba oblika
= b↔ f(x) = b 2, za b ≥ 0; nema rješenja za b

Zlatno pravilo. Za rješavanje potrebno je izolirati korijen.

Primjeri.

3)
. Rješenja nema, jer...

2. Jednadžba oblika

Primjeri.

Odgovor: x = - 1

2) U primjerima koji se svode na ove vrste jednadžbi, pri korištenju ekvivalentnih prijelaza potrebno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti.

Primjer.

Odgovor

3. Jednadžba oblika

ili

Odaberite nejednadžbu koja je jednostavnija.

Primjeri.

, sinh = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 1

2t 2 + t – 1 = 0

t = -1 , t = ½ Podložno ograničenjima t = ½

U ovom trenutku zamjena varijable postaje očita:

4. Jednadžbe koje se svode na kvadratne

Takve jednadžbe sadrže korijene s identičnim radikalnim izrazima, čiji se stupnjevi razlikuju za faktor dva (
). Riješeno zamjenom korijena
, podložno ograničenjima.

Primjeri.

= t, gdje je t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, uzimajući u obzir da je t ≥ 0, t = 3

= 3

Odgovor: x = ± 7

= t, tada

= 2 ili = ½

= 32 = 1/32

16z =32 16·32z – z = - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Jednadžbe koje sadrže više od jednog korijena u obliku članova

U jednadžbama ovog tipa potrebno je riješiti se korijena. Najčešće se to radi kvadriranjem oba dijela. Treba napomenuti da se kod kvadriranja ODZ nepoznatog širi, što može dovesti do stranih korijena jednadžbe Kvadriranje ne daje ekvivalentan prijelaz, tako da se dobivene vrijednosti nepoznanice moraju provjeriti.

Prilikom donošenja odluke potrebno je pridržavati se sljedećih pravila:

Raširite korijenje poprijeko različite strane, budući da su transformacije u ovom slučaju jednostavnije;
Pronađite skup vrijednosti za koje postoje korijeni;
Kvadrat oba dijela;
Dovedite jednadžbu u standardni oblik;
Rješavati prema vrstama 1 – 3;
Uklonite strane korijene;
Provjerite preostale korijene.

Primjeri.

riješiti izvođenjem koraka 5 (jednadžba oblika)

Provjera x = 3

Jednakost je istina.

Odgovor: x = 3.
2)

3x – 4 - 2
= x – 2

2x – 2 = (1) x – 1 =

Imajte na umu da na temelju ekvivalencije rješavamo samo jednadžbu (1), a ne izvornu, pa moramo provjeriti.

Možete riješiti bez uzimanja u obzir ODZ i ne koristiti ekvivalenciju, ali u ovom slučaju sve dobivene vrijednosti x moraju biti provjerene. U nekim je jednadžbama to prilično komplicirano.

Ispitivanje. x = 3

Jednakost je istina.

Odgovor: x = 3
6. Jednadžbe rješavane promjenom varijabli.

6.1 Očite zamjene.

Ako primjer sadrži članove s izrazima koji se ponavljaju, tada je preporučljivo zamijeniti varijable, što u biti nije izravno rješenje, ali značajno pojednostavljuje transformaciju izraza i dovođenje jednadžbe u standardni oblik.

zlatno pravilo . Izvršena zamjena - odredite područje promjene nove varijable. (stavite ograničenja na novu varijablu)

Primjeri.

Neka je = t, gdje je t ≥ 0, budući da je korijen aritmetički.

Dobivamo: t 2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Budući da je t ≥ 0, t = 3

Prijeđimo na x

= 3 x 2 + 32 = 81, x = ± 7.

Odgovor: x = ± 7.

Jer
I
međusobno inverzni izrazi, onda if
= t,

= , gdje je t > 0.

Dobivamo t + = , 2t 2 – 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= ili = 2

8x = 1+2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6. x = - 2/3

Najveći korijen x = 1/6.

= t, t ≥ 0 Zamijenite korijen i izrazite desnu stranu kroz t.

= t 2,
t 2 – 20

t = - (t 2 – 20), t 2 + t – 20 = 0. t = - 5 ili t = 4.

Jer t ≥ 0, tada je t = 4

= 4,

x 2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 ili x = 2.

Odgovor: x = - 4, x = 2.

4)
. Proizvodit ćemo dvostruka zamjena:

t =
, gdje je t ≥ 0, d =
, gdje je d ≥ 0.

Izrazimo x iz svakog: x = 5 - t 2 ili x = d 2 + 3. Uhvatimo sustav:

. t = 0 ili d = 0

= 0 ili = 0

x = 5 ili x = 3

Odgovor: x = 5; x = 3.

6.2 Neočigledna zamjena

Zamjena varijable se ne mora dogoditi odmah, već nakon što su transformacije provedene.

Primjeri.

ODZ: - 1 ≤ x ≤ 3

Odgodimo termin
pravo za više složeni izraz
jedna stvar ostala.

Kvadrirajmo obje strane, očekujući da ćemo dobiti iste izraze:

Očekivanja su bila opravdana.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 – 4t + 4 = 0, (t – 2) 2 = 0, t = 2

= 2,
= 4,

x = 1 je korijen jednadžbe, budući da je zbroj koeficijenata i slobodnog člana jednak nuli.

podijelimo se
na x – 1. Dobivamo x 2 – 2x + 1 = 0. x = 1 ±
.

Sva tri korijena su rješenja jer zadovoljavaju uvjet - 1 ≤ x ≤ 3.

Odgovor: x = 1, x = 1 ±
7. Jednadžbe oblika umnožak jednak nuli.

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a drugi ne gubi značenje.

f(x) g(x) = 0

Primjeri.

= 0

nema rješenja x = - 1, x = 2.

Odgovor: x = - 1, x = 2.

Nejednadžbe uključene u sustav ne mogu se odmah riješiti, ali se dobiveni korijen može zamijeniti u nejednadžbu.

2) Potrebno je faktorizirati.

= 4

nema rješenja x = 0, x = 5.

Odgovor: x = 0, x = 5.

Jednadžbe koje sadrže kvadratne i kubne korijene.

Ove jednadžbe treba riješiti zamjenom svakog korijena, izražavanjem nepoznanice u terminima zamijenjenih varijabli i konstruiranjem sustava jednadžbi.

Primjeri.

= t,
= d, gdje je d ≥ 0

x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Kreirajmo sustav:

Jer za sve pronađene vrijednosti t d ≥ 0, tada se d ne može pronaći iz sustava, ali x se može pronaći iz uvjeta x = 2 - t 3 .

x = 2, x = 10, x = 1

Odgovor: x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 način. Riješite kao prethodnu jednadžbu.

Metoda 2. Imajte na umu da lijeva strana jednadžbe predstavlja rastuću funkciju, jer se sastoji od zbroja dviju rastućih funkcija na domeni definicije: x ≥ - 1. Desni dio- konstantno. Grafovi ovih funkcija sijeku se u jednoj točki čija će apscisa biti rješenje ove jednadžbe, tj. jednadžba ima jedno rješenje. Pokušajmo to pokupiti.

Očito, izbor se mora provesti u ODZ jednadžbama. Mora se pretpostaviti da se korijenje mora ukloniti, jer... zbroj je 3.

Provjeravamo da je x = 3 korijen jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

3)
.

Jer
Smanjimo korijenje na isti stupanj.

, x = - 1

(x + 1) (x 2 – 4x + 4)

x 2 – 4x + 4 =0 x = 2.

Oba korijena zadovoljavaju ODZ.

Odgovor: x = - 1, x = 2

Jednadžba koja sadrži zbroj (razliku) dva treća korijena.

Za rješavanje takvih jednadžbi prikladno je koristiti formulu:

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

Imajte na umu da je zagrada (a ± b) =

Primjeri.

1)
. Isjecimo oba dijela na kocke:

Ali
= 2, pa zadnju zagradu zamijenite s 2.

Dobivamo

x = 0

odgovor: x = 0.

Imajte na umu da se izrazi 2 – x i 7 + x ponavljaju. Napravimo zamjenu:

t =
, d =
. Gdje je x = 2 - t 3 ili x = d 3 – 7

Ne morate pronaći t i d, ali koristite činjenicu da je td = 2

= 2

- x 2 – 5x + 14 = 8, x 2 + 5x - 6 = 0, x = - 6, x = 1.

Odgovor: x = - 6, x = 1.

Jednadžbe koje sadrže složene radikale.

U prisutnosti složenih radikala, na primjer, korijen ispod korijena, koristite sljedeći program djelovanja:

Odredite je li radikalni izraz potpuni kvadrat;
Odaberite cijeli kvadrat;
U nedostatku stavka 1. primijeniti formule složenih radikala;
U nedostatku paragrafa 1-3, primijenite standardne transformacije (zamjena, faktorizacija, potenciranje, itd.)

Primjeri.

Pokušajmo pronaći savršeni kvadrat. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2. U ovom slučaju treba razmišljati na sljedeći način:

Neka
- dvostruki proizvod, 2ab.

Neka
- prvi broj a.

Tada je drugi broj b = 1. Dakle, zbroj kvadrata prvog i drugog broja je x – 3. Radikalni izraz je potpuni kvadrat.

Neka
- dvostruki proizvod.

Neka je prvi broj a.

Tada je drugi broj b = 2. Dakle, zbroj kvadrata prvog i drugog broja jednak je x. Radikalni izraz je potpuni kvadrat.

+ = 1

Jer
│a│, tada dobivamo jednadžbu:
│
│ + │
│ = 1

Sada napravimo zamjenu = t , = t – 1

│t │ + │t – 1 │ = 1

Nađimo nule modula: t = 0, t = 1

│t │

- │ + │ +

│t – 1 │- 0 - 1 + x

nema rješenja
nema rješenja

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 Jer Svi dijelovi nejednadžbe su pozitivni, kvadrirajmo ih.

1 ≤ x – 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8.

Odgovor:

Metode rješavanja iracionalnih jednadžbi

Korištenje svojstava monotonosti funkcija.

11.1 Ako je f(x) = g(x), a f(x) raste (opada) i g(x) se smanjuje (povećava) ili je jedna od funkcija konstanta, tada se grafovi ovih funkcija sijeku u jednom točka. Rješenje jednadžbe je apscisa sjecišta. Jednadžba ima jedno rješenje, koje se može odrediti odabirom.

Morate imati na umu sljedeće:

Zbroj dviju rastućih (opadajućih) funkcija je rastuća (opadajuća) funkcija.
Porast i opadanje funkcije može se odrediti njezinom derivacijom.

Primjeri.

1)
.

Neka je f(x) =
. f(x) – smanjuje se za D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 – konstanta. Grafovi funkcija sijeku se u jednoj točki. Jednadžba ima jedno rješenje.

Odabiremo od D(f) = (-∞; 3], uzimajući u obzir da se korijeni moraju izvući.

x = - 1.

Ispitivanje.

, 4 + 2 = 6, jednakost je istinita.

Odgovor: x = - 1.

Neka je f(x) =
. Funkcija se smanjuje.

Dokažimo to. D(f) =

f ′(x) =

f ′(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, D(g) =

g ′(x) =

g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

Imajte na umu da iste vrijednosti funkcije dobivamo samo za x = 2

Također možete razmišljati na sljedeći način: najveća vrijednost jedna funkcija je jednaka najniža vrijednost drugu funkciju za iste vrijednosti x. Prema tome, rješenje jednadžbe f(x) = g(x) su ove vrijednosti x.

max f = 3, min g = 3, max f = min g = 3 pri x = 2

Odgovor: x = 2

1 način.

Neka je f(x) =
, D(f) = R.

f ′(x) = 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

f ′(x) = 0 4h 3 + 12h 2 + 12h + 4 = 0,

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f ′(x) - │ +

f(x) - 1
f min = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g ′(x) =
, g ′(x) = 0 x = - 1

g ′(x) + -

g(x) │- 1

g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 pri x = -1.

Odgovor: x = - 1.

Metoda 2.

Odaberite potpuni kvadrat polinoma:

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x. Dobivamo:

(X 2 + 2x) 2 + 2(x 2 + 2x) +
.

Sada možete napraviti zamjenu:

x 2 + 2x = t

t 2 + 2 t +
= 2

Moguće je da u dana jednadžba Poželjna je metoda 2. Ali potrebno je dobro savladati metodu procjene jer se mnoge jednadžbe, sustavi i nejednadžbe rješavaju upravo na ovaj način.

Upotreba DZ

Ponekad je korisno pronaći ODZ nepoznanice, što može dovesti do sužavanja potrage za rješenjem i rješavanja same jednadžbe.
Analiza pokazuje da je korištenje bilo koje metode teško. Pokušajmo pronaći ODZ.
Stoga je x = 4 jedina moguća vrijednost.
Ispitivanje.
, 0 = 0 jednakost je istinita.
Odgovor: x = 4.
14. Korištenje očitih nejednakosti
Poznato je da
(aritmetička sredina je veća ili jednaka geometrijskoj sredini). U ovom slučaju jednakost se poštuje ako je a = b.
Ako ispod korijena jednadžbe postoji umnožak, preporučljivo je primijeniti ovo svojstvo.
Primjeri.
1)

Faktorizirajmo radikalni izraz.
Neka je a = x + 1, b = 2x + 3, tada je a + b = 3x + 4.
S lijeve strane je geometrijska sredina, s desne aritmetička sredina.
Jednakost će biti ako je a = b.
x + 1 = 2x + 3, x = - 2.
Odgovor: x = - 2.
15. Korištenje točkastog produkta
Neka vektor ima koordinate (a 1 ; a 2), vektor (b 1 ; b 2).
Zatim skalarni proizvod· = a 1 b 1 + a 2 b 2 . Budući da je a 1 b 1 + a 2 b 2 = ││∙ ││· cosα, dakle, a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ ││∙ ││
││ =
││=
│ =

Razmislite o korištenju ODZ-a;

Razmotrite korištenje monotonosti funkcije;

Razmotrite korištenje svojstava funkcije (raspon vrijednosti, najveće, najmanje), tj. primijeniti procjene;

Razmotrite korištenje konjugiranih izraza;

Razmotrimo mogućnost korištenja očitih nejednakosti i skalarnog umnoška.
Imajte na umu da se ista jednadžba može riješiti različiti putevi. Treba odabrati metodu koja se bolje uči, koja je racionalnija za danu jednadžbu.