Pozitivno određeni kvadratni oblici

Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznato se zove pozitivno određeno, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu inercije i jednak broju nepoznanica.

Teorema. Kvadratični oblik je pozitivno određen ako i samo ako ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu vrijednosti varijabli koji nije nula.

Dokaz. Neka je kvadratni oblik nedegenerirana linearna transformacija nepoznanica

vratio u normalu

.

Za bilo koji skup vrijednosti varijabli koji nije nula, barem jedan od brojeva različito od nule, tj. . Dokazana je nužnost teorema.

Pretpostavimo da kvadratni oblik ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali je njegov indeks inercije pozitivan. Nedegeneriranom linearnom transformacijom nepoznanica

Vratimo to u normalu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili nema ili da u njega ulazi sa predznakom minus, t.j. , gdje ili . Pretpostavimo da je skup vrijednosti varijabli različit od nule, dobivenih kao rezultat rješavanja sustava linearnih jednadžbi

U ovom sustavu, broj jednadžbi je jednak broju varijabli, a determinanta sustava je različita od nule. Prema Cramerovom teoremu, sustav ima jedinstveno rješenje, a ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija s uvjetom. Dolazimo do kontradikcije s pretpostavkom, što dokazuje dostatnost teorema.

Koristeći ovaj kriterij, iz koeficijenata nije moguće utvrditi je li kvadratni oblik pozitivno određen. Odgovor na ovo pitanje daje drugi teorem, za čiju formulaciju uvodimo još jedan pojam. Glavna dijagonalna matrica manji su maloljetnici smješteni u njegovom gornjem lijevom kutu:

, , , … , .

Teorema.Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi njegovi glavni dijagonalni minori pozitivni.

Dokaz provest ćemo metodom potpune matematičke indukcije na broj n varijable kvadratnog oblika f.

Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da za kvadratne oblike s manje varijabli n izjava je točna.

Razmotrimo kvadratni oblik iz n varijable. Skupite u jednu zagradu sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi čine kvadratni oblik u varijablama. Prema indukcijskoj hipotezi, tvrdnja je za nju točna.

Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je kvadratni oblik također pozitivno određen. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, tada postoji skup vrijednosti varijabli koji nije nula , za koji i shodno tome, , što je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Po hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, t.j. svi prvi glavni minori kvadratnog oblika f su pozitivni. Zadnji glavni mol kvadratnog oblika – je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna, budući da joj se predznak podudara sa predznakom matrice njezina normalnog oblika, tj. sa predznakom determinante matrice identiteta.

Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti . Prema indukcijskoj hipotezi, kvadratni oblik je pozitivno određen, pa postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik zbroja kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija može se proširiti na nedegeneriranu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Kvadratni se oblik ovom transformacijom svodi na oblik

Kvadratni oblici.
Značaj oblika. Sylvesterov kriterij

Pridjev "kvadrat" odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stupanj), a vrlo brzo ćemo znati to "nešto" i što je oblik. Ispalo je odmah :)

Dobrodošli na moju novu lekciju, a kao neposredno zagrijavanje pogledat ćemo prugasti oblik linearni. Linearni oblik varijable pozvao homogena polinom 1. stupnja:

- neke specifične brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), i varijable su koje mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

* U ovoj temi ćemo samo razmotriti realni brojevi .

S pojmom "homogen" već smo se susreli u lekciji o homogeni sustavi linearnih jednadžbi, a u ovom slučaju to implicira da polinom nema dodanu konstantu .

Na primjer: – linearni oblik dviju varijabli

Sada je oblik kvadratan. kvadratni oblik varijable pozvao homogena polinom 2. stupnja, čiji svaki pojam sadrži ili kvadrat varijable ili dvostruko proizvod varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dviju varijabli ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i ne morate ništa mijenjati u njemu! Unatoč "strašnom" izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u jedan ili drugi pojam:
– ovaj pojam sadrži proizvod i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

- Odmah predosjećam grubu grešku kada izgube "minus" koeficijenta, ne shvaćajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji "školska" verzija dizajna u duhu, ali onda samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje ne govore baš ništa, pa je stoga teže zapamtiti "jednostavnu notaciju". Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest pojmova:

... zašto se množitelji "dva" stavljaju u "mješovite" pojmove? Ovo je zgodno, a uskoro će biti jasno zašto.

Međutim, zapisat ćemo opću formulu, prikladno je rasporediti je s "listom":

- pažljivo proučite svaki redak - u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove s kvadratnim varijablama i članove s njihovim parnim produktima (cm. kombinatorna formula kombinacija) . Ništa drugo - nema "usamljenog x" i dodane konstante (tada ne dobivate kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stupnja).

Matrična notacija kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, razmatrani oblik može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan njegov koeficijent različit od nule, tada se može pokazati pozitivnim ili negativnim (ovisno o na vrijednosti).

Ovaj oblik se zove naizmjenično. A ako je sve transparentno s linearnim oblikom, onda su stvari puno zanimljivije s kvadratnim oblikom:

Sasvim je jasno da ovaj oblik može poprimiti vrijednosti bilo kojeg znaka, dakle, kvadratni oblik može biti i naizmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako su oba jednaka nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I općenito govoreći, ako za bilo koji različit od nule vektor , , tada se kvadratni oblik naziva pozitivno određeno; ako tada negativan određen.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratnog oblika vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta se vidljivost gubi već uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je oblik pozitivno definiran, ali je li to doista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manji od nule?

Na ovaj račun, tamo teorema: Ako bi svi vlastitih vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , tada je pozitivno definirana. Ako su svi negativni, onda je negativan.

* U teoriji je dokazano da su sve vlastite vrijednosti realne simetrične matrice valjano

Napišimo matricu gornjeg oblika:
a iz jednadžbe nađimo je vlastitih vrijednosti:

Rješavamo staro dobro kvadratna jednadžba:

, dakle oblik je pozitivno definirana, tj. za bilo koje vrijednosti različite od nule, veći je od nule.

Čini se da razmatrana metoda djeluje, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu "tri po tri" traženje vlastitih vrijednosti je dug i neugodan zadatak; s velikom vjerojatnošću dobivate polinom 3. stupnja s iracionalnim korijenima.

Kako biti? Postoji lakši način!

Sylvesterov kriterij

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo da te podsjetim što kutni minori matrice. to odrednice koji "rastu" iz svog gornjeg lijevog kuta:

a posljednja je točno jednaka determinanti matrice.

Sada, zapravo, kriterij:

1) Definiran kvadratni oblik pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi kutni minori veći od nule: .

2) Definiran kvadratni oblik negativan ako i samo ako se njegovi kutni minori izmjenjuju u znaku, dok je 1. minor manji od nule: , , ako je paran ili , ako je neparan.

Ako barem jedan kutni minor ima suprotan predznak, tada oblik znakovno naizmjenično. Ako su kutni minori predznaka “onaj”, ali među njima ima nula, onda je to poseban slučaj, koji ću analizirati malo kasnije, nakon što pređemo na uobičajenije primjere.

Analizirajmo kutne minore matrice :

A to nam odmah govori da forma nije negativno određena.

Zaključak: svi manji kutovi su veći od nule, dakle oblik pozitivno definirana.

Postoji li razlika s metodom vlastitih vrijednosti? ;)

Zapisujemo matricu oblika iz Primjer 1:

njegov prvi kutni minor, a drugi , odakle slijedi da je oblik znakovno-izmjenični, t.j. ovisno o vrijednostima , može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, to je tako očito.

Uzmite oblik i njegovu matricu iz Primjer 2:

ovdje uopće bez uvida ne razumjeti. Ali s kriterijem Sylvestera, nije nas briga:
, stoga oblik definitivno nije negativan.

, i definitivno nije pozitivan. (jer svi manji kutovi moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik je naizmjeničan.

Primjeri zagrijavanja za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite kvadratne oblike za predznak-određenost

a)

U ovim primjerima sve je glatko (vidi kraj lekcije), ali zapravo, za dovršetak takvog zadatka Sylvesterov kriterij možda neće biti dovoljan.

Poanta je da postoje "granični" slučajevi, naime: ako za bilo koji različit od nule vektor , tada je oblik definiran nenegativni, ako tada nepozitivna. Ovi oblici imaju različit od nule vektori za koje .

Ovdje možete donijeti takvu "harmoniku":

Isticanje pun kvadrat, odmah vidimo nenegativnost oblik: , štoviše, jednak je nuli za bilo koji vektor s jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". nepozitivna određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako otkriti nenegativnost ili nepozitivnost forme?

Za to nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni mol je mol sastavljen od elemenata koji se nalaze na sjecištu redaka i stupaca s istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na sjecištu 1. retka i 1. stupca);
(element je na sjecištu 2. retka i 2. stupca),

i jedan veliki mol 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca.

Matrica "tri po tri" Ima sedam glavnih minora, a ovdje već morate mahati bicepsima:
- troje maloljetnika 1. reda,
tri maloljetnika 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca;
- sastavljena od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. stupca;
- sastoji se od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. stupca,
i jedan mol 3. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2., 3. reda i 1., 2. i 3. stupca.
Vježbajte za razumijevanje: zapišite sve glavne sporedne vrijednosti matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Schwarzeneggerov kriterij:

1) Definiran kvadratni oblik koji nije nula* nenegativni ako i samo ako SVI njegovi glavni maloljetnici nenegativni(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerirani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Nenulti kvadratni oblik s definiranom matricom nepozitivna ako i samo ako je:
– glavni maloljetnici 1. reda nepozitivna(manje ili jednako nuli);
su glavni maloljetnici 2. reda nenegativni;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivna(počela je izmjena);
…
– dur mol . reda nepozitivna, ako je neparan ili nenegativni, ako je paran.

Ako je barem jedan maloljetnik suprotnog predznaka, tada je oblik predznak naizmjeničan.

Pogledajmo kako funkcionira kriterij u gornjim primjerima:

Napravimo matricu oblika i kao prvo izračunajmo kutne minore - što ako je definiran pozitivno ili negativno?

Dobivene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, međutim, drugi minor nije negativan, a zbog toga je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterija, neće se automatski ispuniti, tj. odmah se donosi zaključak o izmjeni znakova oblika).

Glavni maloljetnici 1. reda:
- pozitivni su
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, SVI glavni minori su nenegativni, pa je oblik nenegativni.

Napišimo matricu oblika , za što, očito, Sylvesterov kriterij nije zadovoljen. Ali također nismo dobili suprotne predznake (jer su oba kutna minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenost kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni maloljetnici 1. reda:
- nije pozitivno
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (točka 2) oblik je određen nepozitivno.

Sada, potpuno naoružani, analizirat ćemo zabavniji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratni oblik za predznak-određenost

Ovaj obrazac je ukrašen redoslijedom "alfa", koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali bit će samo zabavnije odlučiti.

Prvo, zapišimo matricu obrasca, vjerojatno su se mnogi već prilagodili da to rade usmeno: na glavna dijagonala na kvadrate stavljamo koeficijente, a na simetrična mjesta - polovične koeficijente odgovarajućih "mješovitih" proizvoda:

Izračunajmo kutne minore:

Proširit ću treću odrednicu duž 3. retka:

Kvadratni oblik je homogeni polinom 2. stupnja u više varijabli.

Kvadratni oblik u varijablama sastoji se od dva tipa pojmova: kvadrata varijabli i njihovih parnih umnožaka s nekim koeficijentima. Uobičajeno je pisati kvadratni oblik u obliku sljedeće kvadratne sheme:

Parovi sličnih članova zapisuju se s istim koeficijentima, tako da je svaki od njih polovica koeficijenta odgovarajućeg umnoška varijabli. Stoga je svaki kvadratni oblik prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.

Također je prikladno predstaviti kvadratni oblik u sljedećem zapisu matrice. Označite sa X stupac varijabli s X - red, tj. matrica transponirana s X. Tada

Kvadratni oblici nalaze se u mnogim granama matematike i njezinim primjenama.

U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krivulje (ili površine) reda. U mehanici i fizici čini se da kvadratni oblik izražava kinetičku energiju sustava u terminima komponenti generaliziranih brzina itd. No, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika također je potrebno u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za čije je rješenje važno saznati kako zadana funkcija u blizini zadane točke odstupa od linearne funkcije koja je aproksimira. Primjer problema ovog tipa je proučavanje funkcije za maksimum i minimum.

Razmotrimo, na primjer, problem istraživanja maksimuma i minimuma za funkciju dviju varijabli koja ima kontinuirane parcijalne derivacije do reda. Neophodan uvjet da bi točka dala maksimum ili minimum funkcije je jednakost parcijalnih izvodnica reda u točki s nulom. Pretpostavimo da je taj uvjet ispunjen. Varijablama x i y dajemo male inkremente i uzimamo u obzir odgovarajući prirast funkcije. Prema Taylorovoj formuli, ovaj prirast, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti drugog derivacije izračunate u točki Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim tada funkcija ima minimum u točki; ako je negativna, tada ima maksimum. Konačno, ako oblik poprimi i pozitivne i negativne vrijednosti, tada neće biti ni maksimuma ni minimuma. Na sličan način proučavaju se i funkcije većeg broja varijabli.

Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji u proučavanju problema ekvivalencije oblika s obzirom na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dva kvadratna oblika se kaže da su ekvivalentna ako se jedan od njih može prevesti u drugi pomoću jedne od transformacija zadanog skupa. Usko vezan uz problem ekvivalencije je i problem redukcije oblika, t.j. pretvarajući ga u neki moguće najjednostavniji oblik.

U raznim pitanjima vezanim uz kvadratne oblike razmatraju se i različiti skupovi dopuštenih transformacija varijabli.

U pitanjima analize primjenjuju se sve nesingularne transformacije varijabli; Za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, tj. one koje odgovaraju prijelazu iz jednog sustava promjenjivih kartezijanskih koordinata u drugi. Konačno, u teoriji brojeva i u kristalografiji razmatraju se linearne transformacije s cjelobrojnim koeficijentima i s determinantom jednakom jedan.

Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje redukcije kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik pomoću bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, otkrijmo kako se matrica kvadratnog oblika transformira pod linearnom transformacijom varijabli.

Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.

Napravimo linearnu transformaciju varijabli, zapišite je u skraćenom obliku. Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga, tako da je matrica transformiranog kvadratnog oblika

Matrica se automatski ispostavi da je simetrična, što se lako provjerava. Dakle, problem svođenja kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik je ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na najjednostavniji oblik množenjem s lijeve i desne strane međusobno transponiranim matricama.

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbroj, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili umnožak dviju različitih varijabli, uzetih s određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvijek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Doista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a preostali elementi jednaki su polovici odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zato

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-stupca Y, t.j. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Zatim kvadratni oblik
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobiven iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matrica mu je dijagonalna.

Teorema(dokaz ovdje nije dat). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, smanjimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada odabiremo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će biti dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon tromosti kvadratnih oblika.

Provjerimo to reducirajući isti kvadratni oblik na kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje pozitivni koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (a drugom metodom dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1 /20) za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) naziva se pozitivno (negativan) izvjesni, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, on je pozitivan, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbroj kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija nešto je teže utvrditi predznačnu određenost kvadratnog oblika, pa se za to koristi jedan od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorem (Sylvesterov kriterij). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi glavni minori matrice ovog oblika pozitivni.

Dur (kutni) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redaka i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno-definirane kvadratne oblike predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 radi predznačne određenosti.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak-određenost, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednadžba će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

U ovom ćemo se odjeljku usredotočiti na posebnu, ali važnu klasu pozitivnih kvadratnih oblika.

Definicija 3. Realni kvadratni oblik naziva se nenegativan (nepozitivan) ako za bilo koje realne vrijednosti varijabli

. (35)

U ovom slučaju, simetrična matrica koeficijenata naziva se pozitivno poludefinirano (negativno poludefinirano).

Definicija 4. Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno-definitan (negativno-definiran) ako za bilo koje realne vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli

. (36)

U ovom slučaju, matrica se također naziva pozitivno određena (negativno određena).

Klasa pozitivno-definitivnih (negativno-određenih) oblika dio je klase nenegativnih (odnosno, ne-pozitivnih) oblika.

Neka je zadan nenegativni oblik. Predstavljamo ga kao zbroj nezavisnih kvadrata:

. (37)

U ovom prikazu svi kvadrati moraju biti pozitivni:

. (38)

Doista, ako ih ima, onda bi bilo moguće odabrati takve vrijednosti za koje

Ali tada bi za ove vrijednosti varijabli oblik imao negativnu vrijednost, što je uvjetom nemoguće. Očito, obrnuto, iz (37) i (38) slijedi da je oblik pozitivan.

Dakle, nenegativni kvadratni oblik karakteriziraju jednakosti .

Neka je sada pozitivan određen oblik. Zatim i nenegativni oblik. Stoga se može predstaviti u obliku (37), gdje su svi pozitivni. Iz pozitivne određenosti oblika proizlazi da . Doista, u slučaju je moguće odabrati takve vrijednosti koje nisu istovremeno jednake nuli, za koje bi sve nestalo. Ali onda, na temelju (37), na , što je u suprotnosti s uvjetom (36).

Lako je vidjeti da je, obrnuto, ako su u (37) i svi pozitivni, onda je to pozitivno određen oblik.

Drugim riječima, nenegativni oblik je pozitivno određen ako i samo ako nije singularan.

Sljedeći teorem daje kriterij za pozitivnu određenost oblika u obliku nejednakosti koje moraju zadovoljiti koeficijenti oblika. U ovom slučaju koristi se oznaka koja se već susrela u prethodnim odjeljcima za uzastopne glavne sporedne vrijednosti matrice:

.

Teorem 3. Da bi kvadratni oblik bio pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da nejednadžbe

Dokaz. Dostatnost uvjeta (39) izravno slijedi iz Jacobijeve formule (28). Nužnost uvjeta (39) utvrđuje se na sljedeći način. Iz pozitivne određenosti oblika slijedi pozitivna određenost "krnjih" oblika

.

Ali tada svi ti oblici moraju biti nejednini, t.j.

Sada imamo priliku koristiti Jacobijevu formulu (28) (za ). Budući da na desnoj strani ove formule svi kvadrati moraju biti pozitivni, onda

To implicira nejednakosti (39). Teorem je dokazan.

Budući da se bilo koji glavni minor matrice, uz pravilno prenumeriranje varijabli, može smjestiti u gornji lijevi kut, imamo

Posljedica. U pozitivno određenom kvadratnom obliku, svi glavni minori matrice koeficijenata su pozitivni:

Komentar. Iz nenegativnosti uzastopnih glavnih maloljetnika

ne prati nenegativnost oblika . Doista, forma

,

pri čemu , zadovoljava uvjete , ali nije nenegativno.

Međutim, postoji sljedeće

Teorem 4. Da bi kvadratni oblik bio nenegativan, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori njegove matrice koeficijenata budu nenegativni:

Dokaz. Uvedimo pomoćni oblik koji nije pozitivan, potrebno je i dovoljno da nejednakosti