Neka je sustav linearnih algebarskih jednadžbi dan u matričnom obliku, gdje je matrica A ima dimenziju n na n a njegova determinanta je različita od nule.

Budući da je matrica I je invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Pomnožimo li obje strane jednakosti ulijevo, dobivamo formulu za pronalaženje stupca matrice nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

matrična metoda.

Prepišimo sustav jednadžbi u matričnom obliku:

Kao tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sustava može se pronaći kao .

Konstruiramo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice I(ako je potrebno, pogledajte metode članka za pronalaženje inverzne matrice):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na stupcu matrice slobodnih članova (po potrebi pogledajte članak o operacijama na matricama):

ili u drugom unosu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Glavni problem u pronalaženju rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda višeg od trećeg.

Za detaljniji opis teorije i dodatne primjere pogledajte članak Metoda matrice za rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Vrh stranice

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sustava iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u uzastopnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, dakle x 2 svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, dok u posljednjoj jednadžbi ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopnu eliminaciju nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon završetka pomaka prema naprijed Gaussove metode, iz posljednje jednadžbe nalazimo x n, izračunava se korištenjem ove vrijednosti iz pretposljednje jednadžbe x n-1, i tako dalje, iz prve jednadžbe se nalazi x 1 . Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećom jednadžbom, i tako dalje, do n-ti dodajte prvu jednadžbu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik gdje .

Došli bismo do istog rezultata ako bismo izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i dobiveni izraz je zamijenjen u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da biste to učinili, dodajte sekundu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte sekundu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi, i tako dalje, do n-ti dodajte drugu jednadžbu, pomnoženu s. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik gdje . Dakle, varijabla x 2 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3 , dok slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao, koristeći dobivenu vrijednost x n pronaći x n-1 iz predzadnje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžbe.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sustava. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednadžbe dodamo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe, pomnožene sa i sa, redom:

Sada eliminiramo iz treće jednadžbe x 2 , dodajući lijevom i desnom dijelu druge jednadžbe, pomnoženo s:

Na ovome je prednji tijek Gaussove metode završen, počinjemo obrnuti tijek.

Iz posljednje jednadžbe dobivenog sustava jednadžbi nalazimo x 3 :

Iz druge jednadžbe dobivamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tijek Gaussove metode.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Za detaljnije informacije i dodatne primjere pogledajte dio o rješavanju elementarnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi Gaussovom metodom.

Vrh stranice

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznato:

Pretpostavit ćemo da glavna matrica nedegeneriran. Tada, prema teoremu 3.1, postoji inverzna matrica
Množenje matrične jednadžbe
matrica
s lijeve strane, korištenjem definicije 3.2, kao i tvrdnje 8) teorema 1.1, dobivamo formulu na kojoj se temelji matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi:

Komentar. Imajte na umu da matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, za razliku od Gaussove metode, ima ograničenu primjenu: ovom metodom mogu se rješavati samo sustavi linearnih jednadžbi za koje je, prvo, broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, a drugo, glavna matrica je nesingularna.

Primjer. Riješite sustav linearnih jednadžbi matričnom metodom.

Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
gdje

Glavna matrica sustava jednadžbi je nedegenerirana jer je njena determinanta različita od nule:

inverzna matrica
sastavite jednom od metoda opisanih u stavku 3.

Prema formuli matrične metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi dobivamo

5.3. Cramer metoda

Ova metoda, kao i matrična metoda, primjenjiva je samo za sustave linearnih jednadžbi u kojima se broj nepoznanica podudara s brojem jednadžbi. Cramerova metoda temelji se na istoimenom teoremu:

Teorem 5.2. Sustav linearne jednadžbe sa nepoznato

čija je glavna matrica nesingularna, ima jedinstveno rješenje koje se može dobiti iz formula

gdje
determinanta matrice izvedene iz glavne matrice sustav jednadžbi zamjenom
th stupac po stupac slobodnih članova.

Primjer. Pronađimo rješenje sustava linearnih jednadžbi razmatranog u prethodnom primjeru koristeći Cramerovu metodu. Glavna matrica sustava jednadžbi je nedegenerirana, jer
Izračunaj determinante

Koristeći formule predstavljene u teoremu 5.2, izračunavamo vrijednosti nepoznanica:

6. Proučavanje sustava linearnih jednadžbi.

Osnovno rješenje

Istražiti sustav linearnih jednadžbi znači utvrditi je li taj sustav kompatibilan ili nekonzistentan, au slučaju njegove kompatibilnosti utvrditi je li taj sustav određen ili neodređen.

Uvjet kompatibilnosti za sustav linearnih jednadžbi dan je sljedećim teoremom

Teorem 6.1 (Kronecker–Capelli).

Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice sustava jednak rangu njegove proširene matrice:

Za konzistentan sustav linearnih jednadžbi, pitanje njegove sigurnosti ili nesigurnosti rješava se pomoću sljedećih teorema.

Teorem 6.2. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava jednak broju nepoznanica, tada je sustav određen

Teorem 6.3. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava manji od broja nepoznanica, tada je sustav neodređen.

Dakle, formulirani teoremi impliciraju metodu proučavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Neka n je broj nepoznanica,

Zatim:

Definicija 6.1. Osnovno rješenje neodređenog sustava linearnih jednadžbi je takvo rješenje u kojem su sve slobodne nepoznanice jednake nuli.

Primjer. Istražite sustav linearnih jednadžbi. Ako je sustav nesiguran, pronađite njegovo osnovno rješenje.

Izračunajte redove glavnih i proširena matrica ovog sustava jednadžbi, za koji proširenu (ujedno i glavnu) matricu sustava dovodimo u stepenasti oblik:

Zbrajamo drugi redak matrice s njegovim prvim redom, pomnoženo s treći red - s prvim redom pomnoženim s
i četvrti redak - s prvim, pomnožen s dobijemo matricu

Trećem retku ove matrice dodajte drugi redak pomnožen s
i do četvrtog retka - prvi, pomnožen sa
Kao rezultat toga, dobivamo matricu

brisanjem od kojih treći i četvrti red dobivamo matricu koraka

Na ovaj način,

Dakle, ovaj sustav linearnih jednadžbi je konzistentan, a budući da je rang manji od broja nepoznanica, sustav je neodređen Matrica koraka dobivena kao rezultat elementarnih transformacija odgovara sustavu jednadžbi

Nepoznato i su glavni, a nepoznati i
besplatno. Dodjeljujući nulte vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo osnovno rješenje ovog sustava linearnih jednadžbi.

Dodjela usluge. Pomoću ovog online kalkulatora izračunavaju se nepoznanice (x 1 , x 2 , ..., x n ) u sustavu jednadžbi. Odluka je u tijeku metoda inverzne matrice. pri čemu:

izračunava se determinanta matrice A;
putem algebarskih sabiranja nalazi se inverzna matrica A -1;
kreira se predložak rješenja u Excelu;

Rješenje se provodi izravno na stranici (online) i besplatno je. Rezultati izračuna prezentiraju se u izvješću u Word formatu.

Uputa. Za dobivanje rješenja metodom inverzne matrice potrebno je zadati dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, ispunite matricu A i vektor rezultata B.

Podsjetimo se da je rješenje sustava linearnih jednadžbi bilo koji skup brojeva (x 1 , x 2 , ..., x n ) čija zamjena u ovaj sustav umjesto odgovarajućih nepoznanica svaku jednadžbu sustava pretvara u identitet.
Sustav linearnih algebarskih jednadžbi obično se piše kao (za 3 varijable): Vidi također Rješenje matričnih jednadžbi.

Algoritam rješenja

Izračunava se determinanta matrice A. Ako je determinanta nula, onda je kraj rješenja. Sustav ima beskonačan broj rješenja.
Kada je determinanta različita od nule, inverzna matrica A -1 nalazi se algebarskim zbrajanjem.
Vektor odluke X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) dobiva se množenjem inverzne matrice s vektorom rezultata B .

Primjer #1. Nađite rješenje sustava matričnom metodom. Matricu pišemo u obliku:

Algebarski dodaci.

A 1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3+2

2	1
3	2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Ispitivanje:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Primjer #2. Riješite SLAE metodom inverzne matrice.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Matricu pišemo u obliku:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Glavna odrednica
Minor za (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Sporedni za (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Sporedni za (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Sporedni za (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Manja odrednica
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Primjer #4. Napiši sustav jednadžbi u matričnom obliku i riješi ga pomoću inverzne matrice.
Rješenje: xls

Primjer broj 5. Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Potrebno je: 1) pronaći njegovo rješenje pomoću Cramerovih formula; 2) napišite sustav u matričnom obliku i riješite ga pomoću matričnog računa.
Smjernice. Nakon rješavanja Cramerovom metodom pronađite gumb "Rješenje inverzne matrice za početne podatke". Dobit ćete odgovarajuću odluku. Dakle, podaci se neće morati ponovno popunjavati.
Odluka. Označimo s A - matricu koeficijenata za nepoznanice; X - stupac matrice nepoznanica; B - matrica-stupac slobodnih članova:

-1	3	0
3	-2	1
2	1	-1

Vektor B:
B T =(4,-3,-3)
Uz ove oznake, ovaj sustav jednadžbi ima sljedeći matrični oblik: A*X = B.
Ako matrica A nije singularna (njena determinanta nije nula, tada ima inverznu matricu A -1. Množenjem obje strane jednadžbe s A -1, dobivamo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A=E.
Ova jednakost se zove matrični zapis rješenja sustava linearnih jednadžbi. Za pronalaženje rješenja sustava jednadžbi potrebno je izračunati inverznu matricu A -1 .
Sustav će imati rješenje ako je determinanta matrice A različita od nule.
Pronađimo glavnu odrednicu.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Dakle, determinanta je 14 ≠ 0, pa nastavljamo rješavanje. Da bismo to učinili, pronalazimo inverznu matricu pomoću algebarskih dodavanja.
Neka imamo nesingularnu matricu A:
Računamo algebarska sabiranja.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2	1
1	-1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3	1
0	-1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 =(-1) 1+3

3	-2
0	1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2.1 = (-1) 2+1

3	2
1	-1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 = (-1) 2+2

-1	2
0	-1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 = (-1) 2+3

-1	3
0	1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3.1 = (-1) 3+1

3	2
-2	1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

-3

X=1/14

-3))

Glavna odrednica
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponirana matrica
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1	3
-1	1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 =(-1) 1+3

1	0
-1	-2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2.1 = (-1) 2+1

2	0
-2	1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 = (-1) 2+2

4	0
-1	1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 = (-1) 2+3

4	2
-1	-2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3.1 = (-1) 3+1

2	0
0	3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 = (-1) 3+2

4	0
1	3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 = (-1) 3+3

1/16

6	-4	-2
-2	4	6
6	-12	-2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16	0	0
0	16	0
0	0	16

A*A -1 =

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Primjer broj 7. Rješenje matričnih jednadžbi.
Označiti:

3	0	5
2	1	4
-1	3	0

Algebarski dodaci

A 1,1 = (-1) 1+1

1	3
4	0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0	3
5	0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1+3

0	1
5	4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2	-1
4	0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3	-1
5	0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3	2
5	4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

2	-1
1	3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(4,05,6,13,7,54)
x 1 \u003d 158 / 39 \u003d 4,05
x 2 \u003d 239 / 39 \u003d 6,13
x 3 \u003d 294 / 39 \u003d 7,54
Ispitivanje.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Primjer broj 9. Označimo s A - matricu koeficijenata za nepoznanice; X - stupac matrice nepoznanica; B - matrica-stupac slobodnih članova:

-2	1	6
1	-1	2
2	4	-3

Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 \u003d 276 / 53 \u003d 5,21
x 2 \u003d 239 / 53 \u003d 4,51
x 3 \u003d 326 / 53 \u003d 6,15
Ispitivanje.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Primjer #10. Rješenje matričnih jednadžbi.
Označiti:

Algebarski dodaci
A 11 \u003d (-1) 1 + 1 -3 \u003d -3; A 12 \u003d (-1) 1 + 2 3 \u003d -3; A 21 \u003d (-1) 2 + 1 1 \u003d -1; A 22 \u003d (-1) 2 + 2 2 \u003d 2;
Inverzna matrica A -1 .
1/-9

-3	-3
-1	2

1	-2
1	1

Odgovor:

1	-2
1	1

Prema Cramerovim formulama;

Gaussova metoda;

Odluka: Kronecker-Capellijev teorem. Sustav je konzistentan ako i samo ako je rang matrice tog sustava jednak rangu njegove proširene matrice, tj. r(A)=r(A 1), gdje

Proširena matrica sustava ima oblik:

Pomnožite prvi redak s ( –3 ), a drugi na ( 2 ); zatim dodajte elemente prvog reda odgovarajućim elementima drugog reda; Oduzmite treću liniju od druge linije. U dobivenoj matrici, prvi red ostaje nepromijenjen.

6 ) i zamijenite drugi i treći red:

Pomnožite drugi red s ( –11 ) i dodajte odgovarajućim elementima trećeg reda.

Podijelite elemente trećeg reda s ( 10 ).

Nađimo determinantu matrice I.

Posljedično, r(A)=3 . Prošireni rang matrice r(A 1) također je jednako 3 , tj.

r(A)=r(A 1)=3 Þ sustav je kompatibilan.

1) Ispitivanjem kompatibilnosti sustava, proširena matrica transformirana je Gaussovom metodom.

Gaussova metoda je sljedeća:

1. Dovođenje matrice u trokutasti oblik, tj. nule moraju biti ispod glavne dijagonale (pomak naprijed).

2. Iz posljednje jednadžbe nalazimo x 3 i zamijenimo ga u drugi, nalazimo x 2, i znajući x 3, x 2 uključivši ih u prvu jednadžbu, nalazimo x 1(hod unatrag).

Napišimo proširenu matricu transformiranu Gaussovom metodom

kao sustav od tri jednadžbe:

Þ x 3 \u003d 1

x 2 = x 3Þ x 3 \u003d 1

2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 =6 Þ x 1 \u003d 3

2) Sustav rješavamo pomoću Cramerovih formula: ako je determinanta sustava jednadžbi Δ različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje koje se nalazi pomoću formula

Izračunajmo determinantu sustava Δ:

Jer determinanta sustava nije nula, tada prema Cramerovom pravilu sustav ima jedinstveno rješenje. Izračunamo determinante Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Dobivaju se iz determinante sustava Δ zamjenom odgovarajućeg stupca stupcem slobodnih koeficijenata.

Nepoznanice nalazimo pomoću formula:

Odgovor: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .

3) Sustav rješavamo pomoću matričnog računa, tj. pomoću inverzne matrice.

A×X=B Þ X \u003d A -1 × B, gdje A -1 je inverzna matrica prema I,

stupac besplatnih članova,

Matrica-stupac nepoznanica.

Inverzna matrica se izračunava po formuli:

gdje D- matrična determinanta I, I ij su algebarski komplementi elementa a i J matrice I. D= 60 (iz prethodnog odlomka). Determinanta je različita od nule, dakle, matrica A je invertibilna, a njoj inverzna matrica se može pronaći formulom (*). Nađimo algebarske dodatke za sve elemente matrice A po formuli:

I ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 pretvaraju svaku jednadžbu u identitet, a zatim su pronađene točne.

Primjer 6. Riješite sustav Gaussovom metodom i pronađite bilo koja dva osnovna rješenja sustava.