Definicija1: Za funkciju se kaže da ima lokalni maksimum u točki ako postoji okolina točke takva da za bilo koju točku M s koordinatama (x, y) nejednakost je ispunjena: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije< 0.

Definicija2: Za funkciju se kaže da ima lokalni minimum u točki ako postoji okolina točke takva da za bilo koju točku M s koordinatama (x, y) nejednakost je ispunjena: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se lokalne minimalne i maksimalne točke ekstremne točke.

Uvjetni ekstremi

Pri traženju ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani uz tzv uvjetna krajnost. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dviju varijabli.

Neka su zadani funkcija i pravac L na površini 0xy. Zadatak je linija L pronaći takvu točku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima te funkcije u točkama pravca L nalazi u blizini točke P. Takve točke P nazvao uvjetne ekstremne točke linijske funkcije L. Za razliku od uobičajene točke ekstrema, vrijednost funkcije u uvjetnoj točki ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim točkama neke njezine okoline, već samo u onima koje leže na liniji L.

Sasvim je jasno da je točka uobičajenog ekstrema (također kažu bezuvjetni ekstrem) također je uvjetna točka ekstrema za bilo koji pravac koji prolazi ovom točkom. Obrnuto, naravno, nije točno: uvjetna točka ekstrema ne mora biti konvencionalna točka ekstrema. Dopustite mi da to objasnim jednostavnim primjerom. Graf funkcije je gornja hemisfera (prilog 3 (slika 3)).

Ova funkcija ima maksimum u ishodištu; to odgovara vrhu M hemisfere. Ako linija L postoji linija koja prolazi kroz točke I i NA(njena jednadžba x+y-1=0), tada je geometrijski jasno da se za točke ovog pravca najveća vrijednost funkcije postiže u točki koja leži u sredini između točaka I i NA. To je točka uvjetnog ekstrema (maksimuma) funkcije na zadanoj liniji; odgovara točki M 1 na hemisferi, a iz slike se vidi da ovdje ne može biti riječi ni o kakvom običnom ekstremu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema nalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području, moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem za uvjetni ekstrem.

Prijeđimo sada na praktično traženje točaka uvjetnog ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uvjetom da su varijable x i y povezane jednadžbom (x, y) = 0. Ta će relacija biti nazvana jednadžba ograničenja. Ako se iz jednadžbe veze y može eksplicitno izraziti u smislu x: y \u003d (x), dobivamo funkciju jedne varijable Z \u003d f (x, (x)) \u003d F (x).

Pronalaženjem vrijednosti x na kojoj ova funkcija doseže ekstrem, a zatim određivanjem odgovarajućih vrijednosti y iz jednadžbe veze, dobit ćemo željene točke uvjetnog ekstremuma.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednadžbe komunikacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z doseže maksimum pri x = 0,5; ali onda iz jednadžbe veze y = 0,5, te dobivamo upravo točku P, nadđenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uvjetnog ekstremuma rješava se vrlo jednostavno čak i kada se jednadžba ograničenja može prikazati parametarskim jednadžbama x=x(t), y=y(t). Zamjenom izraza za x i y u ovu funkciju ponovno dolazimo do problema pronalaska ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednadžba ograničenja ima složeniji oblik i ne možemo niti eksplicitno izraziti jednu varijablu kroz drugu, niti je zamijeniti parametarskim jednadžbama, tada problem pronalaženja uvjetnog ekstremuma postaje teži. I dalje ćemo pretpostaviti da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje je derivacija y`, pronađena pravilom diferencijacije implicitne funkcije. U točkama uvjetnog ekstremuma, pronađena ukupna derivacija mora biti jednaka nuli; ovo daje jednu jednadžbu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednadžbu ograničenja, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

Pretvorimo ovaj sustav u mnogo prikladniji tako da prvu jednadžbu zapišemo kao proporciju i uvedemo novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus je stavljen ispred radi praktičnosti). Lako je prijeći s ovih jednakosti na sljedeći sustav:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja, zajedno s jednadžbom ograničenja (x, y) = 0, čini sustav od tri jednadžbe s nepoznanicama x, y i.

Ove jednadžbe (*) najlakše je zapamtiti koristeći se sljedećim pravilom: kako bismo pronašli točke koje mogu biti točke uvjetnog ekstrema funkcije

Z= f(x, y) s jednadžbom ograničenja (x, y) = 0, trebate formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i napišite jednadžbe za pronalaženje točaka ekstrema te funkcije.

Navedeni sustav jednadžbi daje u pravilu samo potrebne uvjete, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sustav nužno uvjetna točka ekstrema. Neću dati dovoljne uvjete za uvjetne točke ekstrema; vrlo često konkretan sadržaj problema sam sugerira što je pronađena točka. Opisana tehnika rješavanja problema za uvjetni ekstrem naziva se metoda Lagrangeovih množitelja.

Razmotrimo najprije slučaj funkcije dviju varijabli. Uvjetni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u točki $M_0(x_0;y_0)$ je ekstrem ove funkcije, postignut pod uvjetom da su varijable $x$ i $y$ u blizini ove točke zadovoljavaju jednadžbu ograničenja $\ varphi(x,y)=0$.

Naziv "uvjetni" ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uvjet $\varphi(x,y)=0$ nametnut varijablama. Ako je iz jednadžbe veze moguće izraziti jednu varijablu preko druge, onda se problem određivanja uvjetnog ekstremuma svodi na problem uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako $y=\psi(x)$ slijedi iz jednadžbe ograničenja, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobivamo funkciju jedne varijable $ z=f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. U općem slučaju, međutim, ova metoda je malo korisna, pa je potreban novi algoritam.

Metoda Lagrangeovih množitelja za funkcije dviju varijabli.

Metoda Lagrangeovih množitelja sastoji se u tome da se za pronalaženje uvjetnog ekstrema Lagrangeova funkcija sastoji: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda $ naziva se Lagrangeov multiplikator). Potrebni ekstremni uvjeti dani su sustavom jednadžbi iz kojih se određuju stacionarne točke:

$$ \lijevo \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\kraj(poravnano)\desno.$$

Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uvjetni minimum u ovoj točki, ali ako je $d^2F< 0$, то условный максимум.

Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednadžbe ograničenja dobivamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tako da u bilo kojoj stacionarnoj točki imamo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)+ F_(yy)^("")\lijevo(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\desno)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\lijevo(\varphi_(y)^(") \desno)^2)\cdot\lijevo(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\desno)$$

Drugi faktor (koji se nalazi u zagradama) može se prikazati u ovom obliku:

Elementi $\lijevo| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz) \right|$ što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$ tada je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 dolara, tj. imamo uvjetni minimum funkcije $z=f(x,y)$.

Napomena o obliku determinante $H$. Pokaži sakrij

$$ H=-\lijevo|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niza) \desno| $$

U ovoj situaciji, gore formulirano pravilo mijenja se na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, a za $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritam za proučavanje funkcije dviju varijabli za uvjetni ekstrem

1. Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Rješavanje sustava $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\kraj(poravnano)\desno.$
3. Odredite prirodu ekstrema u svakoj od stacionarnih točaka iz prethodnog paragrafa. Da biste to učinili, upotrijebite jednu od sljedećih metoda:
   • Sastavi determinantu $H$ i odredi joj predznak
   • Uzimajući u obzir jednadžbu ograničenja, izračunajte predznak $d^2F$

Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli

Pretpostavimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednadžbi ograničenja ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Potrebni uvjeti za postojanje uvjetnog ekstremuma dati su sustavom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih točaka i vrijednosti Lagrangeovih množitelja:

$$\lijevo\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Ima li funkcija uvjetni minimum ili uvjetni maksimum u pronađenoj točki moguće je, kao i do sada, saznati pomoću predznaka $d^2F$. Ako je u pronađenoj točki $d^2F > 0$, tada funkcija ima uvjetni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinanta matrice $\lijevo| \begin(niz) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$ označeno crvenom bojom u $L$ matrici je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:

• Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ podudaraju se s predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna točka koja se proučava uvjetna minimalna točka funkcije $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ako su predznaci kutnih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se izmjenjuju, a predznak minora $H_(2m+1)$ podudara se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je proučavana stacionarna točka uvjetna maksimalna točka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Primjer #1

Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uvjetom $x^2+y^2=10$.

Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikate ravnine $z=x+3y$ za točke njezina presjeka s cilindrom $x^2+y^2 =10 dolara.

Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednadžbe ograničenja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.

Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\djelomični x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Zapišimo sustav jednadžbi za određivanje stacionarnih točaka Lagrangeove funkcije:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \kraj (poravnano)\desno.$$

Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednadžba postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija kaže da je $\lambda\neq 0$. Pod uvjetom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednadžbe imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobivenih vrijednosti u treću jednadžbu dobivamo:

$$ \lijevo(-\frac(1)(2\lambda) \desno)^2+\lijevo(-\frac(3)(2\lambda) \desno)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \lijevo[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\kraj(poravnano) $$

Dakle, sustav ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj točki: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj od točaka.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$

U točki $M_1(1;3)$ dobivamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle u točki $M_1(1;3)$ funkcija $z(x,y)=x+3y$ ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Slično, u točki $M_2(-1;-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj točki mnogo prikladnije otvoriti je na opći način. Kako ne bih zatrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod bilješke.

Determinantni $H$ zapis u općem obliku. Pokaži sakrij

$$ H=8\cdot\lijevo|\begin(niz)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(niz)\desno| =8\cdot\lijevo(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\lijevo(y^2+x^2\desno). $$

U principu je već očito koji predznak ima $H$. Kako se niti jedna od točaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa s ishodištem, tada je $y^2+x^2>0$. Stoga je predznak $H$ suprotan predznaku $\lambda$. Također možete dovršiti izračune:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\lijevo((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \kraj(poravnano) $$

Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim točkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se riješiti bez upotrebe determinante $H$. Pronađite predznak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj točki:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$

Napominjem da oznaka $dx^2$ znači upravo $dx$ podignuto na drugu potenciju, tj. $\lijevo(dx\desno)^2$. Stoga imamo: $dx^2+dy^2>0$, pa za $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobivamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odgovor: u točki $(-1;-3)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=-10$. U točki $(1;3)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=10$

Primjer #2

Pronađite uvjetni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uvjetom $x+y=0$.

Prvi način (metoda Lagrangeovih množitelja)

Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$ sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \lijevo \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\kraj(poravnano)\desno.$$

Rješavanjem sustava dobivamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne točke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj točki pomoću determinante $H$.

$$ H=\lijevo| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$

U točki $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tako da u ovoj točki funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Istražujemo prirodu ekstrema u svakoj od točaka različitom metodom, temeljenom na predznaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iz jednadžbe ograničenja $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Budući da je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tada je $M_1(0;0)$ uvjetna točka minimuma funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi način

Iz jednadžbe ograničenja $x+y=0$ dobivamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dobivamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Time smo problem nalaženja uvjetnog ekstremuma funkcije dviju varijabli sveli na problem određivanja ekstremuma funkcije jedne varijable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Ima bodove $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Daljnja istraživanja poznata su iz tečaja diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Ispitujući predznak $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj točki ili provjeravajući promjenu predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim točkama, dolazimo do istih zaključaka kao u prvom rješenju . Na primjer, znak za provjeru $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Budući da je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tada je $M_1$ točka minimuma funkcije $u(x)$, dok je $u_(\min)=u(0)=0 $ . Budući da $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Vrijednosti funkcije $u(x)$ pod zadanim uvjetom veze podudaraju se s vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su željeni uvjetni ekstremi funkcije $z(x,y)$.

Odgovor: u točki $(0;0)$ funkcija ima uvjetni minimum, $z_(\min)=0$. U točki $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Razmotrimo još jedan primjer u kojem otkrivamo prirodu ekstremuma određivanjem predznaka $d^2F$.

Primjer #3

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu ograničenja $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Sastavite Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \desno)$. Pronađite stacionarne točke Lagrangeove funkcije:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(poravnano) \desno.$$

Sve daljnje transformacije provode se uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (to je navedeno u uvjetu zadatka). Iz druge jednadžbe izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednadžbu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednadžbu dobivamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Kako je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Priroda ekstrema u točki $(2;1)$ određena je predznakom $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Budući da je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tada:

$$ d\lijevo(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\desno)=0; \; d\lijevo(\frac(x^2)(8) \desno)+d\lijevo(\frac(y^2)(2) \desno)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne točke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, čime dobivate:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \lijevo(-\frac(dx)(2) \desno)-10\cdot \lijevo(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Međutim, u drugim problemima za uvjetni ekstrem može postojati nekoliko stacionarnih točaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih točaka u dobiveni izraz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \lijevo(-\frac(xdx)(4y) \desno)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\lijevo(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \desno)\cdot dx^2 $$

Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobivamo:

$$ d^2 F=\lijevo(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \desno)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Budući da je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odgovor: u točki $(2;1)$ funkcija ima uvjetni maksimum, $z_(\max)=6$.

U sljedećem dijelu ćemo razmotriti primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.

Primjer

Nađite ekstrem funkcije pod uvjetom da x i na odnose se omjerom: . Geometrijski problem znači sljedeće: na elipsi
avion
.

Ovaj se problem može riješiti na sljedeći način: iz jednadžbe
pronaći
x:

pod uvjetom da
, sveden na problem pronalaženja ekstremuma funkcije jedne varijable, na intervalu
.

Geometrijski problem znači sljedeće: na elipsi dobivena križanjem cilindra
avion
, potrebno je pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost aplikacije (slika 9). Ovaj se problem može riješiti na sljedeći način: iz jednadžbe
pronaći
. Zamjenom pronađene vrijednosti y u jednadžbu ravnine dobivamo funkciju jedne varijable x:

Dakle, problem nalaženja ekstremuma funkcije
pod uvjetom da
, sveden na problem pronalaženja ekstremuma funkcije jedne varijable, na segmentu.

Tako, problem nalaženja uvjetnog ekstrema je problem nalaženja ekstrema funkcije cilja
, pod uvjetom da varijable x i na predmet ograničenja
nazvao jednadžba veze.

Reći ćemo to točka
, zadovoljavajući jednadžbu ograničenja, je točka lokalnog uvjetnog maksimuma (minimuma) ako postoji susjedstvo
takav da za bilo koje točke
, čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu ograničenja, vrijedi nejednakost.

Ako je iz jednadžbe komunikacije moguće pronaći izraz za na, zatim, zamjenom ovog izraza u izvornu funkciju, potonju pretvaramo u složenu funkciju jedne varijable X.

Opća metoda za rješavanje problema uvjetnog ekstremuma je Lagrangeova metoda multiplikatora. Kreirajmo pomoćnu funkciju, gdje ─ neki broj. Ova funkcija se zove Lagrangeova funkcija, a ─ Lagrangeov množitelj. Stoga je problem pronalaženja uvjetnog ekstremuma sveden na pronalaženje lokalnih točaka ekstremuma za Lagrangeovu funkciju. Za pronalaženje točaka mogućeg ekstrema potrebno je riješiti sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice x, y i.

Tada treba koristiti sljedeći uvjet dovoljnog ekstremuma.

TEOREMA. Neka je točka točka mogućeg ekstremuma za Lagrangeovu funkciju. Pretpostavljamo da u blizini točke
postoje neprekidne parcijalne derivacije funkcija drugog reda i . Označiti

Onda ako
, onda
─ uvjetna točka ekstrema funkcije
kod jednadžbe ograničenja
u međuvremenu, ako
, onda
─ uvjetni minimalni bod, ako
, onda
─ točka uvjetnog maksimuma.

§8. Gradijent i derivacija smjera

Neka funkcija
definirana u nekoj (otvorenoj) domeni. Razmotrite bilo koju točku
ovo područje i bilo koja usmjerena ravna linija (os) koja prolazi kroz ovu točku (slika 1). Neka
- neka druga točka ove osi,
- duljina segmenta između
i
, uzeto sa znakom plus, ako je smjer
poklapa se sa smjerom osi , a znakom minus ako su im smjerovi suprotni.

Neka
približava unedogled
. Ograničiti

nazvao izvod funkcije
prema (ili duž osi ) i označava se na sljedeći način:

.

Ova derivacija karakterizira "brzinu promjene" funkcije u točki
prema . Konkretno, i obične parcijalne derivacije ,također se mogu smatrati izvedenicama "s obzirom na smjer".

Pretpostavimo sada da funkcija
ima kontinuirane parcijalne derivacije u području koje se razmatra. Neka os oblikuje kutove s koordinatnim osima
i . Pod napravljenim pretpostavkama, derivacija smjera postoji i izražava se formulom

.

Ako vektor
postavljena svojim koordinatama
, zatim izvod funkcije
u smjeru vektora
može se izračunati pomoću formule:

.

Vektor s koordinatama
nazvao vektor gradijenta funkcije
u točki
. Vektor gradijenta označava smjer najbržeg porasta funkcije u danoj točki.

Primjer

Dana je funkcija , točka A(1, 1) i vektor
. Nađi: 1) grad z u točki A; 2) derivacija u točki A u smjeru vektora .

Parcijalne derivacije zadane funkcije u točki
:

;
.

Tada je vektor gradijenta funkcije u ovoj točki:
. Vektor gradijenta također se može napisati pomoću vektorske ekspanzije i :

. Derivacija funkcije u smjeru vektora :

Tako,
,
.◄

Nužni i dovoljni uvjeti za ekstrem funkcije dviju varijabli. Točka se naziva točkom minimuma (maksimuma) funkcije ako je u nekoj okolini točke funkcija definirana i zadovoljava nejednakost (točka maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije.

Nužan uvjet za ekstrem. Ako u točki ekstrema funkcija ima prve parcijalne derivacije, one u toj točki nestaju. Slijedi da za pronalaženje točaka ekstrema takve funkcije treba riješiti sustav jednadžbi.Točke čije koordinate zadovoljavaju ovaj sustav nazivamo kritičnim točkama funkcije. Među njima mogu biti maksimalne točke, minimalne točke, kao i točke koje nisu točke ekstrema.

Uvjeti dostatnog ekstrema koriste se za odabir ekstremnih točaka iz skupa kritičnih točaka i navedeni su u nastavku.

Neka funkcija ima kontinuiranu drugu parcijalnu derivaciju u kritičnoj točki. Ako u ovom trenutku,

uvjetu, tada je to minimalna točka na i maksimalna točka na. Ako je na kritičnoj točki, onda to nije ekstremna točka. U tom je slučaju potrebno suptilnije proučavanje prirode kritične točke, koja u ovom slučaju može, ali i ne mora biti točka ekstrema.

Ekstremi funkcija triju varijabli. U slučaju funkcije triju varijabli, definicije točaka ekstrema doslovce ponavljaju odgovarajuće definicije za funkciju dviju varijabli. Ograničavamo se na predstavljanje postupka za proučavanje funkcije za ekstrem. Rješavanjem sustava jednadžbi treba pronaći kritične točke funkcije, a zatim u svakoj od kritičnih točaka izračunati veličine

Ako su sve tri veličine pozitivne, tada je kritična točka koja se razmatra minimalna točka; ako je tada dana kritična točka maksimalna točka.

Uvjetni ekstrem funkcije dviju varijabli. Točka se naziva uvjetna minimalna (maksimalna) točka funkcije, pod uvjetom da postoji okolina točke u kojoj je funkcija definirana i u kojoj (odnosno) za sve točke čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu

Za pronalaženje uvjetnih točaka ekstrema upotrijebite Lagrangeovu funkciju

gdje se broj naziva Lagrangeov množitelj. Rješavanje sustava triju jednadžbi

pronaći kritične točke Lagrangeove funkcije (kao i vrijednost pomoćnog faktora A). Na tim kritičnim točkama može postojati uvjetni ekstrem. Gornji sustav daje samo potrebne uvjete za ekstrem, ali ne i dovoljne: njega mogu zadovoljiti koordinate točaka koje nisu točke uvjetnog ekstremuma. No, polazeći od suštine problema često je moguće utvrditi prirodu kritične točke.

Uvjetni ekstrem funkcije više varijabli. Razmotrimo funkciju varijabli pod uvjetom da su one povezane jednadžbama