U jednadžbi harmonijskog titranja naziva se veličina pod predznakom kosinusa. Jednadžba harmonijskog titranja U jednadžbi harmonijskog titranja x acos

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacijski procesi vrlo su rašireni u prirodi i tehnici, npr. njihanje satnog njihala, izmjenična električna struja itd. Kad njihalo oscilira, mijenja se koordinata njegova središta mase, kod izmjenične struje napon i struja u krugu fluktuirati. Fizikalna priroda vibracija može biti različita, dakle postoje mehaničke, elektromagnetske itd. Međutim, različite oscilacijske procese opisuju iste karakteristike i iste jednadžbe. Otuda svrhovitost zajednički pristup proučavanju vibracija različite fizičke prirode.

Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod utjecajem unutarnjih sila koje djeluju između elemenata sustava, nakon što je sustav vanjskim silama izbačen iz ravnoteže i prepušten sam sebi. Slobodne vibracije uvijek prigušene oscilacije , jer su u stvarnim sustavima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sustava bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje traju onoliko koliko se želi) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnici često imaju karakter blizak harmonijskom.

Harmonijske oscilacije opisuju se jednadžbom koja se naziva jednadžba harmonijskih oscilacija:

Gdje A- amplituda oscilacija, najveća vrijednost oscilirajuće veličine x; - kružna (ciklička) frekvencija vlastitih oscilacija; - početna faza oscilacije u trenutku vremena t= 0; - faza titranja u trenutku vremena t. Faza titranja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u određenom trenutku. Budući da kosinus varira od +1 do -1, onda x može uzeti vrijednosti od + A prije - A.

Vrijeme T tijekom kojeg sustav izvrši jedan potpuni titraj naziva se period oscilacije. Tijekom T faza oscilacije se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrijednost perioda titranja

tj. Broj potpunih titraja izvršenih u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja. Usporedbom (14.2) i (14.3) dobivamo

Jedinica frekvencije je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se dogodi jedan potpuni titraj u 1 s.

Sustavi u kojima se mogu pojaviti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sustav da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sustav mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ovaj položaj odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sustava. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sustava koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske vibracije- oscilacije kod kojih se pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja mijenja tijekom vremena po sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, uz jednoliku rotaciju lopte u krugu, njena projekcija (sjena u paralelnim zrakama svjetlosti) izvodi harmonično oscilatorno gibanje na okomitom ekranu (slika 1).

Pomak iz ravnotežnog položaja tijekom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematički zakon harmonijskog gibanja) oblika:

gdje je x pomak - veličina koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjerena udaljenošću od ravnotežnog položaja do položaja točke u određenom trenutku; A - amplituda oscilacija - najveći pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T - period of oscillation - vrijeme jednog potpunog titraja; oni. najkraće vremensko razdoblje nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; - početna faza;

Faza titranja u trenutku t. Faza titranja je argument periodičke funkcije, koji za zadanu amplitudu titranja određuje stanje oscilatornog sustava (pomak, brzinu, ubrzanje) tijela u bilo kojem trenutku.

Ako je u početnom trenutku oscilirajuća točka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada se , a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Ako je oscilirajuća točka na u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Vrijednost V, inverzna od perioda i jednaka broju potpunih oscilacija dovršenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilacija:

Ako za vrijeme t tijelo napravi N potpunih oscilacija, tada

Veličina koji pokazuje koliko titraja tijelo napravi u s naziva se ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog gibanja može se napisati kao:

Grafički se ovisnost pomaka oscilirajuće točke o vremenu prikazuje kosinusnim valom (ili sinusom).

Slika 2, a prikazuje graf vremenske ovisnosti pomaka oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja za slučaj.

Otkrijmo kako se brzina oscilirajuće točke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremensku derivaciju ovog izraza:

gdje je amplituda projekcije brzine na x-osu.

Ova formula pokazuje da se tijekom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na x-os također mijenja prema harmonijskom zakonu s istom frekvencijom, s različitom amplitudom i ispred je pomaka u fazi za (sl. 2, b ).

Da bismo pojasnili ovisnost o ubrzanju, nalazimo vremenski izvod projekcije brzine:

gdje je amplituda projekcije ubrzanja na x-os.

Kod harmonijskih oscilacija, projekcija ubrzanja je ispred faznog pomaka za k (slika 2, c).

Harmonijske oscilacije su titraji kod kojih se fizikalna veličina tijekom vremena mijenja prema harmonijskom (sinusnom, kosinusnom) zakonu. Jednadžba harmonijske vibracije može se napisati na sljedeći način:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
ili
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - odstupanje od ravnotežnog položaja u trenutku t
A - amplituda vibracija, dimenzija A poklapa se s dimenzijom X
ω - ciklička frekvencija, rad/s (radijani u sekundi)
φ - početna faza, rad
t - vrijeme, s
T - period oscilacije, s
f - frekvencija osciliranja, Hz (Hertz)
π je konstanta približno jednaka 3,14, 2π=6,28

Period titranja, frekvencija u hercima i ciklička frekvencija povezani su relacijama.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Da biste zapamtili ove odnose, morate razumjeti sljedeće.
Svaki od parametara ω, f, T jednoznačno određuje ostale. Za opis oscilacija dovoljno je upotrijebiti jedan od ovih parametara.

Period T je vrijeme jedne oscilacije; pogodno je koristiti za crtanje grafikona oscilacija.
Ciklička frekvencija ω - koristi se za pisanje jednadžbi oscilacija, omogućuje matematičke izračune.
Frekvencija f je broj oscilacija po jedinici vremena, koristi se posvuda. U hercima mjerimo frekvenciju na koju su radioprijamnici podešeni, kao i radni domet mobilnih telefona. Frekvencija titranja žica pri ugađanju glazbenih instrumenata mjeri se u hercima.

Izraz (ωt+φ) naziva se faza titranja, a vrijednost φ početna faza, budući da je jednaka fazi titranja u trenutku t=0.

Funkcije sinus i kosinus opisuju omjere stranica u pravokutnom trokutu. Stoga mnogi ne razumiju kako su te funkcije povezane s harmoničnim vibracijama. Ovaj odnos je prikazan jednoliko rotirajućim vektorom. Projekcija jednoliko rotirajućeg vektora izvodi harmonijske oscilacije.
Na slici ispod prikazan je primjer tri harmonijske oscilacije. Jednake frekvencije, ali različite faze i amplitude.

Promjene bilo koje količine opisuju se sinusnim ili kosinusnim zakonima, a tada se takve oscilacije nazivaju harmoničkim. Razmotrimo strujni krug koji se sastoji od kondenzatora (koji je bio nabijen prije uključivanja u strujni krug) i prigušnice (slika 1).

Slika 1.

Jednadžba harmonijske vibracije može se napisati na sljedeći način:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

gdje je $t$ vrijeme; $q$ naboj, $q_0$-- maksimalno odstupanje naboja od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tijekom promjena; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscilacije; $(\alpha )_0$- početna faza; $(\omega )_0$ - ciklička frekvencija. Tijekom razdoblja faza se mijenja za $2\pi $.

Jednadžba oblika:

jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalnom obliku za titrajni krug koji neće sadržavati aktivni otpor.

Svaka vrsta periodičkih oscilacija može se točno prikazati kao zbroj harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.

Za period titranja kruga koji se sastoji od zavojnice i kondenzatora dobivamo Thomsonovu formulu:

Ako diferenciramo izraz (1) s obzirom na vrijeme, možemo dobiti formulu za funkciju $I(t)$:

Napon preko kondenzatora može se pronaći kao:

Iz formula (5) i (6) proizlazi da je jakost struje ispred napona na kondenzatoru za $\frac(\pi )(2).$

Harmonijske oscilacije mogu se prikazati u obliku jednadžbi, funkcija i vektorskih dijagrama.

Jednadžba (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.

Jednadžba prigušenih oscilacija

Promjena naboja ($q$) na pločama kondenzatora u krugu, uzimajući u obzir otpor (sl. 2), opisat će se diferencijalnom jednadžbom oblika:

Slika 2.

Ako je otpor koji je dio kruga $R\

gdje je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ ciklička frekvencija oscilacija. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficijent prigušenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:

Ako je pri $t=0$ naboj na kondenzatoru jednak $q=q_0$ i nema struje u krugu, tada za $A_0$ možemo napisati:

Faza oscilacija u početnom trenutku vremena ($(\alpha )_0$) jednaka je:

Kada $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora naziva se aperiodično.

Primjer 1

Vježba: Maksimalna vrijednost naplate je $q_0=10\ C$. Harmonijski varira s periodom od $T= 5 s$. Odredite najveću moguću struju.

Riješenje:

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo:

Da bismo pronašli jakost struje, izraz (1.1) treba diferencirati s obzirom na vrijeme:

gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jakosti struje izraz:

Iz uvjeta zadatka znamo vrijednost amplitude naboja ($q_0=10\ C$). Trebali biste pronaći prirodnu frekvenciju oscilacija. Izrazimo to kao:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\lijevo(1,4\desno).\]

U ovom slučaju, željena vrijednost će se pronaći pomoću jednadžbi (1.3) i (1.2) kao:

Budući da su sve veličine u uvjetima problema prikazane u SI sustavu, izvršit ćemo izračune:

Odgovor:$I_0=12,56\ A.$

Primjer 2

Vježba: Koliki je period titranja u krugu koji sadrži prigušnicu $L=1$H i kondenzator, ako se jakost struje u krugu mijenja prema zakonu: $I\lijevo(t\desno)=-0,1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?

Riješenje:

Iz jednadžbe strujnih fluktuacija, koja je dana u uvjetima problema:

vidimo da je $(\omega )_0=20\pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije pomoću formule:

\ \

Prema Thomsonovoj formuli za krug koji sadrži induktor i kondenzator, imamo:

Izračunajmo kapacitet:

Odgovor:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

§ 6. MEHANIČKE VIBRACIJEOsnovne formule

Harmonijska jednadžba

Gdje X - pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja; t- vrijeme; A,ω, φ - amplituda, kutna frekvencija, početna faza oscilacija, redom; - faza oscilacija u trenutku t.

Kutna frekvencija

gdje su ν i T frekvencija i period oscilacija.

Brzina točke koja izvodi harmonijske oscilacije je

Ubrzanje tijekom harmonijskog titranja

Amplituda A rezultirajuća oscilacija dobivena zbrajanjem dviju oscilacija s istim frekvencijama, koja se pojavljuju duž jedne ravne linije, određena je formulom

Gdje a 1 I A 2 - amplitude komponenti vibracija; φ 1 i φ 2 su njihove početne faze.

Početna faza φ rezultirajuće oscilacije može se pronaći iz formule

Frekvencija otkucaja koja nastaje zbrajanjem dviju oscilacija koje se javljaju duž jedne ravne linije s različitim, ali sličnim frekvencijama ν 1 i ν 2,

Jednadžba putanje točke koja sudjeluje u dva međusobno okomita osciliranja s amplitudama A 1 i A 2 i početnim fazama φ 1 i φ 2,

Ako su početne faze φ 1 i φ 2 komponenti titranja iste, tada jednadžba putanje ima oblik

odnosno točka se giba pravocrtno.

U slučaju da je fazna razlika , jednadžba ima oblik

odnosno točka se giba po elipsi.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija materijalne točke

, ili ,gdje je m masa točke; k- koeficijent kvazielastične sile ( k=Tω 2).

Ukupna energija materijalne točke koja izvodi harmonijske oscilacije je

Period titranja tijela obješenog na oprugu (opružno njihalo)

Gdje m- tjelesna masa; k- krutost opruge. Formula vrijedi za elastične vibracije u granicama u kojima je zadovoljen Hookeov zakon (uz malu masu opruge u odnosu na masu tijela).

Period titranja matematičkog njihala

Gdje l- duljina njihala; g- ubrzanje gravitacije. Period titranja fizičkog njihala

Gdje J- moment tromosti oscilirajućeg tijela u odnosu na os

oklijevanje; A- udaljenost središta mase njihala od osi titranja;

Smanjena duljina fizičkog njihala.

Navedene formule točne su za slučaj infinitezimalnih amplituda. Za konačne amplitude ove formule daju samo približne rezultate. S amplitudama ne većim od, pogreška u vrijednosti perioda ne prelazi 1%.

Period torzijskih titraja tijela obješenog na elastičnu nit je

Gdje J- moment inercije tijela u odnosu na os koja se podudara s elastičnom niti; k- krutost elastične niti, jednaka omjeru elastičnog momenta koji nastaje kada je nit upletena u kut pod kojim je nit upletena.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija , ili ,

Gdje r- koeficijent otpora; δ - koeficijent prigušenja: ;ω 0 - vlastita kutna frekvencija oscilacija *

Jednadžba prigušenih oscilacija

Gdje Na)- amplituda prigušenih oscilacija u trenutku t;ω je njihova kutna frekvencija.

Kutna frekvencija prigušenih oscilacija

O Ovisnost amplitude prigušenih oscilacija o vremenu

ja

Gdje A 0 - amplituda oscilacija u trenutku t=0.

Dekrement logaritamske oscilacije

Gdje Na) I A(t+T)- amplitude dviju uzastopnih oscilacija vremenski odvojenih periodom.

Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija

gdje je vanjska periodička sila koja djeluje na oscilirajuću materijalnu točku i uzrokuje prisilne oscilacije; F 0 - njegova vrijednost amplitude;

Amplituda prisilnih oscilacija

Rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda I

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Točka oscilira prema zakonu x(t)=, Gdje A=2 vidi Odredite početnu fazu φ ako

x(0)=cm i x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Riješenje. Iskoristimo jednadžbu gibanja i izrazimo pomak u trenutku t=0 kroz početnu fazu:

Odavde nalazimo početnu fazu:

* U prethodno navedenim formulama za harmonijske titraje ista je veličina označena jednostavno ω (bez indeksa 0).

Zamijenimo zadane vrijednosti u ovaj izraz x(0) i A:φ= = . Vrijednost argumenta zadovoljavaju dvije vrijednosti kuta:

Da bismo odlučili koja od ovih vrijednosti kuta φ također zadovoljava uvjet , prvo nalazimo:

Zamjenom vrijednosti u ovaj izraz t=0 i naizmjenično vrijednosti početnih faza i, nalazimo

T kao i uvijek A>0 i ω>0, tada samo prva vrijednost početne faze zadovoljava uvjet. Dakle, željena početna faza

Koristeći pronađenu vrijednost φ, konstruiramo vektorski dijagram (sl. 6.1). Primjer 2. Materijalna točka s masom T=5 g izvodi harmonijska osciliranja s frekvencijom ν =0,5 Hz. Amplituda oscilacija A=3 cm.Odrediti: 1) brzinu υ točke u trenutku kada je pomak x== 1,5 cm; 2) najveća sila F max koja djeluje na točku; 3) Sl. 6.1 ukupna energija E oscilirajuća točka.

a formulu za brzinu dobivamo uzimajući prvu vremensku derivaciju pomaka:

Za izražavanje brzine preko pomaka potrebno je isključiti vrijeme iz formula (1) i (2). Da bismo to učinili, kvadriramo obje jednadžbe i prvu podijelimo s A 2 , drugi na A 2 ω 2 i dodati:

, ili

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za υ , pronaći ćemo

Izvršivši izračune pomoću ove formule, dobivamo

Znak plus odgovara slučaju kada se smjer brzine podudara s pozitivnim smjerom osi X, predznak minus - kada se smjer brzine poklapa s negativnim smjerom osi X.

Pomak pri harmonijskom titranju, osim jednadžbom (1), može se odrediti i jednadžbom

Ponavljajući isto rješenje s ovom jednadžbom, dobivamo isti odgovor.

2. Silu koja djeluje na točku nalazimo koristeći drugi Newtonov zakon:

Gdje A - ubrzanje točke, koje dobivamo uzimajući vremensku derivaciju brzine:

Zamjenom izraza ubrzanja u formulu (3) dobivamo

Otuda najveća vrijednost sile

Zamjenom vrijednosti π, ν u ovu jednadžbu, T I A, pronaći ćemo

3. Ukupna energija oscilirajuće točke je zbroj kinetičke i potencijalne energije izračunate za bilo koji trenutak u vremenu.

Ukupnu energiju najlakše je izračunati u trenutku kada kinetička energija dostigne najveću vrijednost. U ovom trenutku potencijalna energija je nula. Stoga ukupna energija E točka osciliranja jednaka je maksimalnoj kinetičkoj energiji

Maksimalnu brzinu određujemo iz formule (2), stavljajući: . Zamjenom izraza za brzinu u formulu (4) nalazimo

Zamjenom vrijednosti količina u ovu formulu i izračunima, dobivamo

ili µJ.

Primjer 3. Na krajevima tanke dužine šipke l= 1 m i masa m 3 =400 g ojačane male kuglice sa masama m 1 = 200 g I m 2 =300g. Štap oscilira oko horizontalne osi, okomito

dikularna na štap i prolazi kroz njegovu sredinu (točka O na slici 6.2). Definirajte razdoblje T oscilacije koje stvara štap.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala, kao što je štap s kuglicama, određen je relacijom

Gdje J- T - njegova masa; l S - udaljenost od središta mase njihala do osi.

Moment tromosti ovog njihala jednak je zbroju momenata tromosti kuglica. J 1 i J 2 i šipka J 3:

Uzimajući lopte kao materijalne točke, izražavamo njihove momente tromosti:

Budući da os prolazi kroz sredinu štapa, njegov moment tromosti u odnosu na ovu os J 3 = =. Zamjena dobivenih izraza J 1 , J 2 I J 3 u formulu (2), nalazimo ukupni moment tromosti fizičkog njihala:

Nakon što smo izvršili izračune pomoću ove formule, nalazimo

Riža. 6.2 Masa njihala sastoji se od mase kuglica i mase štapa:

Udaljenost l S Središte mase njihala pronaći ćemo iz osi titranja na temelju sljedećih razmatranja. Ako os x usmjerite duž šipke i poravnajte ishodište koordinata s točkom OKO, zatim potrebna udaljenost l jednaka koordinati centra mase njihala, tj.

Zamjena vrijednosti količina m 1 , m 2 , m, l a nakon izvođenja proračuna nalazimo

Izvršivši izračune pomoću formule (1), dobivamo period oscilacije fizičkog njihala:

Primjer 4. Fizičko njihalo je štap duljine l= 1 m i masa 3 T 1 S pričvršćen za jedan njegov kraj obručem promjera i mase T 1 . Vodoravna os Oz

visak prolazi kroz sredinu štapa okomito na nju (slika 6.3). Definirajte razdoblje T oscilacije takvog njihala.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala određuje se formulom

(1)

Gdje J- moment tromosti njihala u odnosu na os titranja; T - njegova masa; l C - udaljenost od središta mase njihala do osi titranja.

Moment tromosti njihala jednak je zbroju momenata tromosti štapa J 1 i obruč J 2:

(2).

Moment tromosti štapa u odnosu na os koja je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase određena je formulom . U ovom slučaju t= 3T 1 i

Moment tromosti obruča nalazimo koristeći Steinerov teorem ,Gdje J- moment tromosti oko proizvoljne osi; J 0 - moment tromosti oko osi koja prolazi kroz središte mase paralelno s danom osi; A - udaljenost između naznačenih osi. Primjenjujući ovu formulu na obruč, dobivamo

Zamjena izraza J 1 i J 2 u formulu (2), nalazimo moment tromosti njihala u odnosu na os rotacije:

Udaljenost l S od osi njihala do njegova središta mase jednaka je

Zamjenom izraza u formulu (1) J, l s i mase njihala, nalazimo period njegovih oscilacija:

Nakon izračuna pomoću ove formule dobivamo T= 2,17 s.

Primjer 5. Dodaju se dva titraja istog smjera, izražena jednadžbama; x 2 = =, gdje A 1 = 1 cm, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Odrediti početne faze φ 1 i φ 2 komponenti oscilatora

Banija. 2. Odredite amplitudu A a početna faza φ rezultirajućeg titranja. Napišite jednadžbu za rezultirajuću vibraciju.

Riješenje. 1. Jednadžba harmonijskog titranja ima oblik

Pretvorimo jednadžbe navedene u tvrdnji problema u isti oblik:

Usporedbom izraza (2) s jednakošću (1) nalazimo početne faze prve i druge oscilacije:

Drago mi je i radostan.

2. Za određivanje amplitude A rezultirajuće oscilacije, prikladno je koristiti vektorski dijagram prikazan u riža. 6.4. Prema teoremu kosinusa dobivamo

gdje je fazna razlika komponenti titranja.Pošto , tada zamjenom pronađenih vrijednosti φ 2 i φ 1 dobivamo rad.

Zamijenimo vrijednosti A 1 , A 2 i u formulu (3) i izvršite izračune:

A= 2,65 cm.

Odredimo tangens početne faze φ rezultirajuće oscilacije izravno sa slike. 6.4: ,odakle dolazi početna faza?