Sve vrijednosti su grijeh. Vrijednosti trigonometrijske funkcije

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Prije svega, dopustite mi da vas podsjetim na jednostavan, ali vrlo koristan zaključak iz lekcije "Što su sinus i kosinus? Što su tangens i kotangens?"

Ovo je izlaz:

Sinus, kosinus, tangens i kotangens usko su povezani sa svojim kutovima. Znamo jedno, što znači da znamo drugo.

Drugim riječima, svaki kut ima svoj konstantni sinus i kosinus. I gotovo svatko ima svoj tangens i kotangens. Zašto skoro? Više o tome u nastavku.

Ovo znanje vam puno pomaže u studiranju! Puno je zadataka u kojima treba prijeći od sinusa do kuta i obrnuto. Za ovo postoji tablica sinusa. Slično, za zadatke s kosinusom - tablica kosinusa. A, kao što možda pretpostavljate, postoji tangentna tablica I tablica kotangenata.)

Stolovi su različiti. Duge, gdje možete vidjeti čemu je, recimo, sin37°6’ jednako. Otvorimo Bradisove tablice, tražimo kut od trideset sedam stupnjeva šest minuta i vidimo vrijednost od 0,6032. Jasno je da apsolutno nema potrebe pamtiti ovaj broj (i tisuće drugih tabličnih vrijednosti).

Zapravo, u naše vrijeme duge tablice kosinusa, sinusa, tangensa, kotangenata zapravo nisu potrebne. Jedan dobar kalkulator ih potpuno zamjenjuje. Ali ne boli znati o postojanju takvih tablica. Za opću erudiciju.)

I čemu onda ova lekcija?! - pitaš.

Ali zašto. Među beskonačnim brojem kutova postoje poseban, za koje biste trebali znati svi. Sva školska geometrija i trigonometrija izgrađena je na tim kutovima. Ovo je neka vrsta "tablice množenja" trigonometrije. Ako ne znate koliko je sin50° jednako, na primjer, nitko vas neće osuđivati.) Ali ako ne znate koliko je sin30° jednako, budite spremni dobiti zasluženu dvojku...

Takav poseban Kutovi su također dosta dobri. Školski udžbenici obično ljubazno nude učenje napamet tablica sinusa i tablica kosinusa za sedamnaest kutova. I naravno, tablica tangensa i tablica kotangensa za istih sedamnaest uglova... tj. Predlaže se zapamtiti 68 vrijednosti. Koje su, usput rečeno, vrlo slične jedna drugoj, ponavljaju se s vremena na vrijeme i mijenjaju znakove. Za osobu bez savršenog vizualnog pamćenja, ovo je prilično težak zadatak...)

Ići ćemo drugim putem. Zamijenimo učenje napamet logikom i domišljatošću. Tada ćemo morati zapamtiti 3 (tri!) Vrijednosti za tablicu sinusa i tablicu kosinusa. I 3 (tri!) vrijednosti za tablicu tangensa i tablicu kotangenata. To je sve. Čini mi se da je šest vrijednosti lakše zapamtiti nego 68...)

ostalo tražene vrijednosti izvući ćemo se iz ovih šest uz pomoć moćne pravne varalice - trigonometrijski krug. Ako niste proučavali ovu temu, slijedite vezu, nemojte biti lijeni. Ovaj krug nije potreban samo za ovu lekciju. On je nezamjenjiv za svu trigonometriju odjednom. Ne koristiti takav alat jednostavno je grijeh! Ne želite? To je tvoja stvar. Zapamtite tablica sinusa. Tablica kosinusa. Tablica tangenti. Tablica kotangenata. Svih 68 vrijednosti za različite kutove.)

Dakle, počnimo. Najprije podijelimo sve te posebne kutove u tri skupine.

Prva skupina kutova.

Razmotrimo prvu skupinu sedamnaest uglova poseban. To je 5 kutova: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Ovako izgleda tablica sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenata za ove kutove:

Kut x (u stupnjevima)	0	90	180	270	360
Kut x (u radijanima)	0
grijeh x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	imenica	0	imenica	0
ctg x	imenica	0	imenica	0	imenica

Tko se želi sjećati, sjeća se. Ali odmah ću reći da se sve te jedinice i nule jako zbune u glavi. Puno jače nego što želite.) Stoga uključujemo logiku i trigonometrijski krug.

Nacrtamo krug i na njemu označimo ove iste kutove: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Označio sam ove uglove crvenim točkama:

Odmah se vidi što je posebno u ovim kutovima. Da! Ovo su kutovi koji padaju točno na koordinatnoj osi! Zapravo, zato se ljudi zbunjuju... Ali mi se nećemo zbuniti. Smislimo kako pronaći trigonometrijske funkcije ovih kutova bez puno učenja napamet.

Usput, položaj kuta je 0 stupnjeva potpuno podudara s položajem kuta od 360 stupnjeva. To znači da su sinusi, kosinusi i tangensi ovih kutova potpuno isti. Označio sam kut od 360 stupnjeva da dovršim krug.

Pretpostavimo da ste u teškom stresnom okruženju Jedinstvenog državnog ispita nekako sumnjali... Zašto jednak sinusu 0 stupnjeva? Čini se kao nula... Što ako je jedan?! Mehaničko pamćenje je takva stvar. U teškim uvjetima sumnje počinju gristi...)

Mirno, samo mirno!) Reći ću ti praktična tehnika, koji će dati 100% točan odgovor i potpuno otkloniti sve nedoumice.

Kao primjer, shvatimo kako jasno i pouzdano odrediti, recimo, sinus od 0 stupnjeva. I u isto vrijeme, kosinus 0. Upravo u tim vrijednostima, čudno, ljudi se često zbunjuju.

Da biste to učinili, nacrtajte krug proizvoljan kutak x. U prvom kvartalu bilo je blizu 0 stupnjeva. Označimo sinus i kosinus tog kuta na osi X, sve je u redu. Kao ovo:

A sada - pozor! Smanjimo kut x, približite pokretnu stranu osi OH. Zadržite kursor iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjet ćete sve.

Sada uključimo elementarnu logiku! Pogledajmo i razmislimo: Kako se sinx ponaša dok se kut x smanjuje? Kako se kut približava nuli? Smanjuje se! I cosx se povećava! Ostaje shvatiti što će se dogoditi sa sinusom kada se kut potpuno sruši? Kada se pokretna stranica kuta (točka A) umiri na osi OX i kut postane jednak nuli? Očito je da će sinus kuta ići na nulu. A kosinus će se povećati na... na... Kolika je duljina pomične strane kuta (polumjer trigonometrijske kružnice)? Jedan!

Evo odgovora. Sinus od 0 stupnjeva jednak je 0. Kosinus od 0 stupnjeva jednak je 1. Apsolutno glatko i bez ikakve sumnje!) Jednostavno zato što inače ne može biti.

Na potpuno isti način možete saznati (ili razjasniti) sinus od 270 stupnjeva, na primjer. Ili kosinus 180. Nacrtaj krug, proizvoljan kut u četvrtini pored koordinatne osi koja nas zanima, mentalno pomaknite stranicu kuta i shvatite što će sinus i kosinus postati kada stranica kuta padne na os. To je sve.

Kao što vidite, za ovu skupinu kutova nema potrebe ništa pamtiti. Nije potrebno ovdje tablica sinusa... da i tablica kosinusa- također.) Usput, nakon nekoliko upotreba trigonometrijskog kruga, sve ove vrijednosti će se same zapamtiti. A ako zaborave, nacrtao sam krug u 5 sekundi i pojasnio. Mnogo lakše nego nazvati prijatelja iz WC-a i riskirati svoj certifikat, zar ne?)

Što se tiče tangensa i kotangensa, sve je isto. Na kružnicu nacrtamo tangentu (kotangens) - i sve je odmah vidljivo. Gdje su jednaki nuli, a gdje ih nema. Što, ne znate o tangentama i kotangensima? Ovo je tužno, ali popravljivo.) Posjetili smo odjeljak 555 Tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici - i nema problema!

Ako znate kako jasno definirati sinus, kosinus, tangens i kotangens za ovih pet kutova, čestitamo! Za svaki slučaj, obavještavam vas da sada možete definirati funkcije bilo koji kutovi koji padaju na osi. A ovo je 450°, i 540°, i 1800°, i beskonačan broj drugih...) Izbrojao sam (točno!) kut na kružnici - i nema problema s funkcijama.

No, upravo kod mjerenja kutova nastaju problemi i pogreške... Kako ih izbjeći piše u lekciji: Kako nacrtati (brojiti) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u stupnjevima. Elementarno, ali vrlo korisno u borbi protiv grešaka.)

Evo lekcije: Kako nacrtati (izmjeriti) bilo koji kut na trigonometrijskoj kružnici u radijanima - bit će hladnije. Što se tiče mogućnosti. Recimo, odredite na koju od četiri poluosi kut pada

možete to učiniti za nekoliko sekundi. Ne šalim se! Samo za par sekundi. Pa, naravno, ne samo 345 pi...) I 121, i 16, i -1345. Bilo koji cijeli koeficijent prikladan je za trenutni odgovor.

A ako kut

Samo misli! Točan odgovor se dobiva za 10 sekundi frakcijska vrijednost radijana s dva u nazivniku.

Zapravo, to je ono što je dobro u tome trigonometrijski krug. Jer sposobnost rada sa neki kutovima na koje se automatski proširuje beskonačan skup kutovi

Dakle, razvrstali smo pet kutova od sedamnaest.

Druga skupina kutova.

Sljedeća grupa kutovi su kutovi od 30°, 45° i 60°. Zašto baš ove, a ne npr. 20, 50 i 80? Da, nekako je tako ispalo... Povijesno.) Zatim ćemo vidjeti zašto su ovi kutovi dobri.

Tablica sinusa kosinusa tangensa kotangenata za ove kutove izgleda ovako:

Kut x (u stupnjevima)	0	30	45	60	90
Kut x (u radijanima)	0
grijeh x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		imenica
ctg x	imenica		1		0

Ostavio sam vrijednosti za 0° i 90° iz prethodne tablice da upotpunim sliku.) Tako da možete vidjeti da ti kutovi leže u prvoj četvrtini i rastu. Od 0 do 90. Ovo će nam kasnije biti od koristi.

Treba zapamtiti tablične vrijednosti za kutove od 30°, 45° i 60°. Zapamti ga ako želiš. Ali i ovdje postoji prilika da si olakšate život.) Obratite pozornost na vrijednosti tablice sinusa ove kutove. I usporedite sa vrijednosti tablice kosinusa...

Da! Oni isti! Nalazi se samo u obrnuti redoslijed. Kutovi se povećavaju (0, 30, 45, 60, 90) - i sinusne vrijednosti povećati od 0 do 1. Možete provjeriti kalkulatorom. A vrijednosti kosinusa su se smanjuju od 1 do nule. Štoviše, same vrijednosti isti. Za kutove od 20, 50, 80 ovo ne bi radilo...

Ovo je koristan zaključak. Dovoljno za naučiti tri vrijednosti za kutove od 30, 45, 60 stupnjeva. I zapamtite da se za sinus povećavaju, a za kosinus smanjuju. Prema sinusu.) Na pola puta (45°) se sastaju odnosno sinus 45 stupnjeva jednak je kosinusu 45 stupnjeva. I onda se opet razilaze... Tri značenja se mogu naučiti, zar ne?

Kod tangenti - kotangenata slika je potpuno ista. Jedan na jedan. Samo su značenja različita. Ove vrijednosti (još tri!) također treba naučiti.

Pa gotovo je svo pamćenje gotovo. Shvatili ste (nadamo se) kako odrediti vrijednosti za pet kutova koji padaju na os i naučili vrijednosti za kutove od 30, 45, 60 stupnjeva. Ukupno 8.

Ostaje obraditi posljednju skupinu od 9 kutova.

Ovo su kutovi:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Za ove kutove morate znati tablicu sinusa, tablicu kosinusa itd.

Noćna mora, zar ne?)

A ako ovdje dodate kutove, kao što su: 405°, 600° ili 3000° i mnogo, mnogo jednako lijepih?)

Ili kutove u radijanima? Na primjer, o kutovima:

i mnoge druge koje biste trebali znati svi.

Najsmješnije je znati ovo svi - u principu nemoguće. Ako koristite mehaničku memoriju.

I to je vrlo jednostavno, zapravo elementarno - ako koristite trigonometrijski krug. Jednom kada se naučite raditi s trigonometrijskim krugom, svi ti strašni kutovi u stupnjevima mogu se jednostavno i elegantno svesti na one dobre stare:

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s konceptom kuta. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i uvjerili se da „vrag nije tako strašan kako ga slikaju“, pođimo od samog početka i razumjeti pojam kuta.

Pojam kuta: radijan, stupanj

Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.

Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, naravno, kutne jedinice!

Kut se, i u geometriji i u trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.

Poziva se kut od (jedan stupanj). središnji kut u krugu, na temelju kružnog luka jednakog dijelu kruga. Dakle, cijeli se krug sastoji od “komada” kružnih lukova ili je kut koji opisuje krug jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje kut jednak, odnosno, ovaj kut počiva na kružnom luku veličine opsega.

Kut u radijanima je središnji kut u krugu koji obuhvaća kružni luk čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li shvatili? Ako ne, onda to shvatimo iz crteža.

Dakle, na slici je prikazan kut jednak radijanu, odnosno taj kut počiva na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjeru jednaka duljini lukovi). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:

Gdje je središnji kut u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko je radijana sadržano u kutu opisanom krugom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg. evo je:

Pa, povežimo sada ove dvije formule i utvrdimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.

Koliko ima radijana? Tako je!

kužiš Zatim samo naprijed i popravite to:

Imate poteškoća? Onda pogledajte odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta

Dakle, shvatili smo koncept kuta. Ali što je sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.

Kako se zovu strane? pravokutni trokut? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica); noge su dvije preostale strane i (one uz pravi kut), a ako uzmemo u obzir krake u odnosu na kut, tada je krak susjedni krak, a krak suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta- ovo je omjer suprotne (udaljene) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu.

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu.

Tangens kuta- ovo je omjer suprotne (daleke) strane prema susjednoj (blizu).

U našem trokutu.

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

U našem trokutu.

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedan.

Prije svega, trebate zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod istim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Bit će vrlo koristan pri proučavanju trigonometrije. Stoga, pogledajmo ga malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruiran u Kartezijanski sustav koordinate Polumjer kruga jednako jedan, dok središte kružnice leži u ishodištu koordinata, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je radijus).

Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati osi i koordinati osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.

Čemu je jednak trokut? Tako je. Osim toga, znamo da je to polumjer jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo što se događa:

Čemu je jednak trokut? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijte:

Dakle, možete li reći koje koordinate ima točka koja pripada krugu? Pa, nema šanse? Što ako to shvatite i ako ste samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, točka.

Čemu su onda jednaki i ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovno pravokutnom trokutu. Razmotrite pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijske funkcije:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije vrijede za bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, dobit ćete i kut određene vrijednosti, ali samo negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Je li moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni krug i zaustaviti se na položaju ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, poznavanje definicija osnovnih trigonometrijskih funkcija i njihova uporaba jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim kutnim mjerama. Pa, počnimo redom: kut pri odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, pridržavajući se iste logike, otkrivamo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Nemojte se bojati, sada ćemo vam pokazati jedan primjer dovoljno jednostavno pamćenje odgovarajuće vrijednosti:

Za korištenje ove metode bitno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa prenose se u skladu sa strelicama, to jest:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?

Pa naravno da možete! Izvadimo ga opća formula pronaći koordinate točke.

Na primjer, ovdje je krug ispred nas:

Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Zatim to imamo za koordinatu točke.

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Tako,

Dakle, u opći pogled koordinate točaka određuju se formulama:

Koordinate centra kruga,

polumjer kruga,

Kut rotacije radijusa vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta jednake nuli, a polumjer jednak jedan:

Pa, hajdemo isprobati ove formule vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

4. Točka je središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka je središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili postanite dobri u njihovom rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!

1.

To možete primijetiti. Ali znamo što odgovara punom okretaju početne točke. Tako, željenu točku bit će u istom položaju kao i pri uključivanju. Znajući to, nalazimo tražene koordinate točke:

2. Jedinični krug je centriran u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Znamo što odgovara dvojci puna brzina Polazna točka. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo tražene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Prisjećamo se njihovih značenja i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Jedinični krug je centriran u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To možete primijetiti. Oslikajmo dotični primjer na slici:

Polumjer čini kutove jednake s osi i s osi. Znajući da su vrijednosti kosinusa i sinusa u tablici jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivnu vrijednost, imamo:

Više detalja slični primjeri razumiju se pri proučavanju formula za smanjenje trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

4.

Kut rotacije polumjera vektora (po uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije polumjera vektora (po uvjetu).

Zamijenimo sve vrijednosti u formulu i dobijemo:

i - tablične vrijednosti. Zapamtimo i zamijenimo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotne (dalje) strane prema susjednoj (bližoj) strani.

Kotangens kuta je omjer susjedne (bliže) stranice i suprotne (daleke) stranice.

TABLICA VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sastavljena je za kutove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stupnjeva i odgovarajuće vrijednosti kutova u vradijanima. Od trigonometrijskih funkcija tablica prikazuje sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Za praktičnost rješenja školski primjeri vrijednosti trigonometrijskih funkcija u tablici su napisane u obliku razlomka, čuvajući znakove za vađenje kvadratnog korijena brojeva, što vrlo često pomaže smanjiti složene matematičke izraze. Za tangens i kotangens ne mogu se odrediti vrijednosti nekih kutova. Za vrijednosti tangensa i kotangensa takvih kutova postoji crtica u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Općenito je prihvaćeno da su tangens i kotangens takvih kutova jednaki beskonačno. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.

Tablica vrijednosti za trigonometrijsku sinusnu funkciju prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 u stupanjska mjera, što odgovara sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri kuta. Školski stol sinusa.

Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju tablica prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stupnjevima, što odgovara cos 0 pi , cos pi sa 6, cos pi sa 4, cos pi sa 3, cos pi sa 2, cos pi, cos 3 pi sa 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Školska tablica kosinusa.

Trigonometrijska tablica za trigonometrijsku tangentnu funkciju daje vrijednosti za sljedeće kutove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u stupnjevima, što odgovara tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijske tangentne funkcije nisu definirane tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Za trigonometrijsku funkciju kotangens u trigonometrijskoj tablici date su vrijednosti sljedećih kutova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stupnjevima, što odgovara ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih funkcija kotangensa nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekans i kosekans date su za iste kutove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove u stupnjevima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stupnja i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su razlomcima i kvadratnim korijenima kako bi se lakše smanjivali razlomci u školskim primjerima.

Još tri trigonometrijska čudovišta. Prvi je tangens od 1,5 jedan i pol stupanj ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus pi podijeljen s 240, pi/240. Najduži je kosinus pi podijeljen sa 17, pi/17.

Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinus i kosinus vizualno predstavlja predznake sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, vrijednosti kosinusa su podvučene zelenom crticom kako bi se smanjila zabuna. Pretvorba stupnjeva u radijane također je vrlo jasno prikazana kada su radijani izraženi u pi.

Ova trigonometrijska tablica predstavlja vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove od 0 nula do 90 devedeset stupnjeva u intervalima od jednog stupnja. Za prvih četrdeset i pet stupnjeva nazive trigonometrijskih funkcija treba gledati na vrhu tablice. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata ispisane su u sljedeća četiri stupca.

Za kutove od četrdeset pet stupnjeva do devedeset stupnjeva nazivi trigonometrijskih funkcija ispisani su na dnu tablice. Posljednji stupac sadrži stupnjeve; u prethodna četiri stupca ispisane su vrijednosti kosinusa, sinusa i tangensa. Budite oprezni jer se nazivi trigonometrijskih funkcija na dnu trigonometrijske tablice razlikuju od naziva na vrhu tablice. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangens i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Predznaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. Sinus ima pozitivne vrijednosti od 0 do 180 stupnjeva, ili 0 do pi. Negativne vrijednosti sinus ima 180 do 360 stupnjeva ili pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stupnjeva, ili od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangens i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stupnjeva i od 180 do 270 stupnjeva, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i pi do 3/2 pi. Negativne vrijednosti tangensa i kotangensa su od 90 do 180 stupnjeva i od 270 do 360 stupnjeva, odnosno od 1/2 pi do pi i od 3/2 pi do 2 pi. Pri određivanju predznaka trigonometrijskih funkcija za kutove veće od 360 stupnjeva ili 2 pi, trebali biste koristiti svojstva periodičnosti tih funkcija.

Trigonometrijske funkcije sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan kutće biti pozitivan. Kod množenja i dijeljenja trigonometrijskih funkcija moraju se poštovati pravila znakova.

1. Tablica vrijednosti za trigonometrijsku sinusnu funkciju prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove

   Dokument

   Na posebnoj stranici nalaze se formule redukcije trigonometrijskifunkcije. U stolvrijednostiZatrigonometrijskifunkcijesinusdanovrijednostiZasljedećekutovi: grijeh 0, grijeh 30, grijeh 45 ...

2. Predloženi matematički aparat je potpuni analog složenog računa za n-dimenzionalne hiperkompleksne brojeve s bilo kojim brojem stupnjeva slobode n i namijenjen je matematičkom modeliranju nelinearnih

   Dokument

   ... funkcije jednaki funkcije Slike. Iz ove teoreme trebao bi, Što Za nalaženje koordinata U, V, dovoljno je izračunati funkcija... geometrija; polinaran funkcije(višedimenzionalni analozi dvodimenzionalnog trigonometrijskifunkcije), njihova svojstva, stolovi i primjena; ...

3. U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

   Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

   Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju do danas, kako bi se došlo do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa znanstvena zajednica do sada to nije bilo moguće... bili smo uključeni u proučavanje pitanja matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu se prijevara sastoji.

   S matematičkog gledišta Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s kvantitete na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava točka u trenutku kad Ahilej stiže do kornjače. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

   Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči sa stalna brzina. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će sustići kornjaču beskrajno brzo."

   Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostani unutra konstantne jedinice mjerenja vremena i ne idu na recipročne veličine. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

   U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

   Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

   Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

   Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

   U ovoj aporiji logički paradoks može se prevladati vrlo jednostavno - dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije različite točke prostor u jednom trenutku u vremenu, ali je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, dodatni podaci su još uvijek potrebni za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim istaknuti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

   Srijeda, 4. srpnja 2018

   Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.

   Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

   Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

   Ma koliko se matematičari krili iza fraze “jebi me, ja sam u kući”, odnosno “matematika studira apstraktni pojmovi", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ta pupčana vrpca je novac. Prijavite se matematička teorija postavlja samim matematičarima.

   Odlično smo učili matematiku i sad sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istih apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.

   Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različite količine blato, kristalna struktura a raspored atoma u svakom novčiću je jedinstven...

   A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.

   Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione isto područje polja. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

   Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

   Nedjelja, 18.03.2018

   Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali oni su zato šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

   Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojke jesu grafički simboli, uz pomoć kojeg pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

   Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

   1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

   2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

   3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

   4. Zbrojite dobivene brojeve. E sad, to je matematika.

   Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve.

   S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima U računici će zbroj znamenki istog broja biti različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S veliki broj 12345 Ne želim si zavaravati glavu, pogledajmo broj 26 iz članka o . Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.

   Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

   Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.

   Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

   Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.
   

   Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

   Oh! Nije li ovo ženski WC?
   - Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

   Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.

   Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

   Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

   Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova djevojka glupa, ne poznavatelj fizike. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

   1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

   Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi izračuni se odnose na sferna trigonometrija, dok u školski tečaj proučavati omjere stranica i kutova ravnog trokuta.

   Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i kutova trokuta.

   Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere znanje se širilo iz Stari Istok u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenistanski znanstvenik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangens i kotangens i sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojmove sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Trigonometriji je posvećena velika pažnja u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

   Osnovne veličine trigonometrije

   Osnovne trigonometrijske funkcije numerički argument– to su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

   Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

   Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštri kutovi i stranice bilo kojeg pravokutnog trokuta. Navedimo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:

   

   Kao što se vidi, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako nogu a zamislimo kao proizvod sin A i hipotenuze c, te kraka b u obliku cos A * c, dobivamo sljedeće formule za tangens i kotangens:

   

   Trigonometrijski krug

   Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

   

   Opseg, in u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivna vrijednost ovisno o veličini kuta. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

   Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

   

   Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

   

   Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova vrijednost je uveden kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; pri računanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

   

   Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

   

   Dakle, nije teško pogoditi da je 2π potpuni krug ili 360°.

   Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

   Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

   Smatrati usporedna tablica svojstva za sinus i kosinus:

   

   Sinusni val	Kosinus
   y = sinx	y = cos x
   ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
   sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
   sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, pri x = 2πk, gdje je k ϵ Z
   sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
   	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
   sin x › 0, pri čemu x pripada 1. i 2. četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   raste u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
   opada na intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
   izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

   Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u protivnom je neparna.

   

   Uvođenje radijana i enumeracije osnovna svojstva sinusoide i kosinusa omogućuju nam davanje sljedećeg uzorka:

   

   Vrlo je lako provjeriti je li formula točna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcije za dane vrijednosti.

   Svojstva tangentoida i kotangensoida

   Grafovi funkcija tangens i kotangens bitno se razlikuju od funkcija sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg su recipročne vrijednosti jedna drugoj.

   

   

   1. Y = ten x.
   2. Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
   3. Najmanje pozitivno razdoblje tangente jednaka je π.
   4. Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
   5. Tg x = 0, za x = πk.
   6. Funkcija se povećava.
   7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

   Razmotrimo grafička slika kotangentoidi ispod u tekstu.

   

   Glavna svojstva kotangentoida:

   1. Y = cotg x.
   2. Za razliku od funkcija sinusa i kosinusa, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
   3. Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
   4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
   5. Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
   6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
   7. Funkcija se smanjuje.
   8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Derivacija (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Točno