Što je definicija kuta. Ravni, tupi, oštar i razvijeni kut

Kut je glavna geometrijska figura koju ćemo analizirati kroz cijelu temu. Definicije, načini postavljanja, označavanje i mjerenje kuta. Analizirajmo principe odabira kutova na crtežima. Cijela teorija je ilustrirana i ima veliki broj vizualnih crteža.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Injekcija- jednostavna važna figura u geometriji. Kut izravno ovisi o definiciji zrake, koja se pak sastoji od osnovnih pojmova točke, pravca i ravnine. Za temeljitu studiju morate proniknuti u teme ravna crta na ravnini - potrebne informacije i avion - potrebne informacije.

Pojam kuta počinje pojmovima točke, ravnine i ravne linije prikazane na ovoj ravnini.

Definicija 2

Zadana je pravac a na ravnini. Označimo neku točku O na njoj. Linija je podijeljena točkom na dva dijela, od kojih svaki ima ime Zraka, a točka O je start snopa.

Drugim riječima, greda ili polucrta - to je dio pravca koji se sastoji od točaka danog pravca, koji se nalazi na istoj strani početne točke, odnosno točke O.

Označavanje grede dopušteno je u dvije varijacije: jedno malo ili dva velika slova latinične abecede. Kada se označava s dva slova, greda ima naziv koji se sastoji od dva slova. Pogledajmo pobliže crtež.

Prijeđimo na koncept definiranja kuta.

Definicija 3

Injekcija- ovo je lik koji se nalazi u danoj ravnini, formiran od dvije neusklađene zrake koje imaju zajedničko podrijetlo. bočni kut je greda vrh- zajednički početak stranaka.

Postoji slučaj kada strane kuta mogu djelovati kao ravna crta.

Definicija 4

Kada se obje strane kuta nalaze na istoj pravoj ili njegove stranice služe kao dodatne poluprave jedne ravne, tada se takav kut naziva raspoređeni.

Slika ispod prikazuje spljošteni kut.

Točka na ravnoj crti je vrh kuta. Najčešće se označava točkom O.

Kut se u matematici označava znakom "∠". Kada su stranice kuta označene malom latinicom, tada se za ispravnu definiciju kuta pišu slova u nizu, odnosno prema stranicama. Ako su dvije stranice označene k i h, tada se kut označava kao ∠ k h ili ∠ h k .

Kada postoji oznaka velikim slovima, tada strane ugla imaju nazive O A i O B. U ovom slučaju kut ima naziv od tri slova latinične abecede, ispisana u nizu, u sredini s vrhom - ∠ A O B i ∠ B O A . Postoji oznaka u obliku brojeva kada uglovi nemaju imena ili slova. Ispod je slika na kojoj su kutovi naznačeni na različite načine.

Kut dijeli ravninu na dva dijela. Ako kut nije razvijen, tada jedan dio ravnine ima ime područje unutarnjeg kuta, drugi - područje vanjskog kuta. Ispod je slika koja objašnjava koji su dijelovi ravnine vanjski, a koji unutarnji.

Kada se na ravnini podijeli ravnim kutom, smatra se da je bilo koji njegov dio unutrašnjost ravnog kuta.

Unutarnje područje kuta je element koji služi za drugu definiciju kuta.

Definicija 5

kutu naziva se geometrijski lik koji se sastoji od dvije nepodudarne zrake, koje imaju zajedničko ishodište i odgovarajuću unutarnju površinu kuta.

Ova definicija je rigoroznija od prethodne, jer ima više uvjeta. Nije preporučljivo razmatrati obje definicije odvojeno, jer je kut geometrijski lik transformiran pomoću dviju zraka koje izlaze iz jedne točke. Kada je potrebno izvršiti radnje s kutom, tada definicija znači prisutnost dvije zrake sa zajedničkim ishodištem i unutarnjom regijom.

Definicija 6

Dva ugla se zovu povezane, ako postoji zajednička stranica, a druge dvije su komplementarne poluprave ili čine ravan kut.

Slika pokazuje da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju, budući da su nastavak jedan drugog.

Definicija 7

Dva ugla se zovu okomito, ako su strane jedne komplementarne poluprave druge ili su produžeci stranica druge. Slika ispod prikazuje sliku okomitih kutova.

Prilikom križanja linija dobivaju se 4 para susjednih i 2 para okomitih kutova. Ispod je prikazano na slici.

U članku su prikazane definicije jednakih i nejednakih kutova. Analizirat ćemo koji kut se smatra velikim, koji manji i druga svojstva kuta. Dvije figure smatraju se jednakima ako se, kada su postavljene, potpuno poklapaju. Isto svojstvo vrijedi i za uspoređivanje kutova.

Zadana dva kuta. Potrebno je doći do zaključka jesu li ti kutovi jednaki ili ne.

Poznato je da se vrhovi dvaju ugla i strana prvog kuta preklapaju s bilo kojom drugom stranom drugog. Odnosno, u slučaju potpune podudarnosti, kada se kutovi preklapaju, stranice zadanih kutova će se potpuno poklopiti, kutovi jednak.

Može se dogoditi da se pri superponiranju strane ne mogu kombinirati, a zatim uglovi nejednak, manji od kojih se sastoji od drugog, i više uključuje potpuno drugi kut. Ispod su nejednaki kutovi koji nisu poravnati kada se preklapaju.

Razvijeni kutovi su jednaki.

Mjerenje kutova počinje mjerenjem stranice mjerenog kuta i njegovog unutarnjeg područja, ispunjavajući ga jediničnim kutovima, oni se međusobno nanose. Potrebno je izbrojati broj naslaganih kutova, oni unaprijed određuju mjeru izmjerenog kuta.

Jedinica kuta može se izraziti u bilo kojem mjerljivom kutu. Postoje općeprihvaćene mjerne jedinice koje se koriste u znanosti i tehnologiji. Specijalizirani su za druge naslove.

Najčešći koncept stupanj.

Definicija 8

jedan stupanj naziva se kut koji ima sto osamdesetinu ravnog kuta.

Standardna oznaka za stupanj je "°", tada je jedan stupanj 1°. Stoga se ravan kut sastoji od 180 takvih kutova, koji se sastoje od jednog stupnja. Svi dostupni uglovi su čvrsto naslagani jedni na druge, a strane prethodnog su poravnate sa sljedećim.

Poznato je da je broj stupnjeva u kutu ista mjera kuta. Razvijeni kutak u svom sastavu ima 180 naslaganih kutova. Na slici ispod prikazani su primjeri gdje je kut položen 30 puta, odnosno jedna šestina proširenog, i 90 puta, odnosno polovica.

Za točno određivanje kutova mjerenja koriste se minute i sekunde. Koriste se kada vrijednost kuta nije cjelobrojna oznaka stupnja. Takvi dijelovi diplome omogućuju vam točnije izračune.

Definicija 9

minuta naziva se jedna šezdesetina stupnja.

Definicija 10

drugi zove jednu šezdesetu minute.

Stupanj sadrži 3600 sekundi. Minute označavaju """, a sekunde """. Označavanje se odvija:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

a oznaka za kut 17 stupnjeva 3 minute i 59 sekundi je 17° 3 "59"".

Definicija 11

Navedimo primjer mjerenja stupnja kuta jednakog 17 ° 3 "59" ". Unos ima drugi oblik 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Za precizno mjerenje kutova koristi se mjerni uređaj kao što je kutomjer. Prilikom označavanja kuta ∠ A O B i njegove mjere stupnja od 110 stupnjeva, koristi se prikladnija oznaka ∠ A O B \u003d 110 °, koja glasi "Kut A O B jednak je 110 stupnjeva".

U geometriji se koristi mjera kuta iz intervala (0 , 180 ], a u trigonometriji se mjera proizvoljnog stupnja naziva kutovi zakretanja. Vrijednost kutova uvijek se izražava kao realan broj. Pravi kut je kut koji ima 90 stupnjeva. Oštar kut je kut koji je manji od 90 stupnjeva, i tup- više.

Oštar kut se mjeri u intervalu (0, 90) , a tupi kut - (90, 180) . Dolje su jasno prikazane tri vrste kutova.

Svaka mjera stupnja bilo kojeg kuta ima istu vrijednost. Veći kut, odnosno, ima veću mjeru stupnja od manjeg. Stupanj mjera jednog kuta je zbroj svih dostupnih mjera stupnjeva unutarnjih kutova. Na slici ispod prikazan je kut AOB, koji se sastoji od kutova AOC, COD i DOB. Detaljno, to izgleda ovako: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Na temelju ovoga može se zaključiti da iznos svi susjedni kutovi je 180 stupnjeva jer svi oni čine prošireni kut.

Iz ovoga proizlazi da bilo koji okomiti kutovi su jednaki. Ako to razmotrimo na primjeru, dobivamo da su kut A O B i C O D okomiti (na crtežu), tada se parovi kutova A O B i B O C, C O D i B O C smatraju susjednim. U takvom slučaju, jednakost ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° zajedno s ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° smatra se jedinstveno istinitom. Stoga imamo da je ∠ A O B = ∠ C O D . Ispod je primjer slike i oznake okomitih hvataljki.

Osim stupnjeva, minuta i sekundi koristi se još jedna mjerna jedinica. To se zove radijan. Najčešće se može naći u trigonometriji pri označavanju kutova poligona. Ono što se zove radijan.

Definicija 12

Jedan radijanski kut zove se središnji kut, koji ima polumjer kružnice jednak duljini luka.

Na slici je radijan prikazan kao kružnica, gdje se nalazi središte, označeno točkom, s dvije točke na kružnici spojene i pretvorene u polumjere O A i O B. Po definiciji, ovaj trokut A O B je jednakostraničan, što znači da je duljina luka A B jednaka duljinama polumjera O B i Oh A.

Oznaka kuta uzima se kao "rad". To jest, unos u 5 radijana skraćen je kao 5 rad. Ponekad možete pronaći oznaku koja ima ime pi. Radijani ne ovise o duljini dane kružnice, budući da su figure ograničene pomoću kuta i njegova luka sa središtem smještenim na vrhu zadanog kuta. Smatraju se sličnima.

Radijani imaju isto značenje kao i stupnjevi, samo je razlika u njihovoj veličini. Da biste to odredili, potrebno je izračunatu duljinu luka središnjeg kuta podijeliti s duljinom njegovog polumjera.

U praksi koriste pretvoriti stupnjeve u radijane i radijane u stupnjeve radi lakšeg rješavanja problema. Navedeni članak sadrži informacije o povezanosti mjere stupnja i radijana, gdje možete detaljno proučiti prijevode iz stupnja u radijan i obrnuto.

Za vizualni i prikladan prikaz lukova, kutova, crteža se koriste. Nije uvijek moguće ispravno prikazati i označiti određeni kut, luk ili naziv. Jednaki kutovi imaju oznaku u obliku istog broja lukova, a nejednaki u obliku različitih. Na crtežu je prikazana točna oznaka oštrih, jednakih i nejednakih kutova.

Kada je potrebno označiti više od 3 kuta, koriste se posebne oznake luka, kao što su valoviti ili nazubljeni. Nije toliko bitno. Slika ispod prikazuje njihovu oznaku.

Označavanje kutova treba biti jednostavno kako ne bi ometalo druge vrijednosti. Prilikom rješavanja problema preporuča se odabrati samo kutove potrebne za rješavanje kako ne bi zatrpali cijeli crtež. To neće ometati rješenje i dokaz, a također će dati estetski izgled crtežu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ovaj članak će razmotriti jedan od glavnih geometrijskih oblika - kut. Nakon općeg uvoda u ovaj koncept, usredotočit ćemo se na određenu vrstu takve figure. Ravni kut je važan koncept u geometriji i bit će u fokusu ovog članka.

Uvod u pojam geometrijskog kuta

U geometriji postoji niz objekata koji čine osnovu svake znanosti. Kut se samo odnosi na njih i određuje se pomoću koncepta zrake, pa počnimo s njim.

Također, prije nego što nastavite s definicijom samog kuta, morate se sjetiti nekoliko jednako važnih objekata u geometriji - ovo je točka, ravna crta na ravnini i sama ravnina. Ravna crta je najjednostavniji geometrijski lik, koji nema ni početak ni kraj. Ravnina je površina koja ima dvije dimenzije. Pa, zraka (ili poluprava) u geometriji je dio ravne linije koja ima početak, ali nema kraj.

Koristeći ove pojmove, možemo dati tvrdnju da je kut geometrijski lik koji potpuno leži u određenoj ravnini i sastoji se od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem. Takve zrake nazivaju se stranicama kuta, a zajednički početak stranica je njegov vrh.

Vrste kutova i geometrija

Znamo da kutovi mogu biti sasvim različiti. Stoga će u nastavku biti data mala klasifikacija koja će pomoći boljem razumijevanju vrsta kutova i njihovih glavnih značajki. Dakle, postoji nekoliko vrsta uglova u geometriji:

1. Pravi kut. Karakterizira ga vrijednost od 90 stupnjeva, što znači da su njegove strane uvijek okomite jedna na drugu.
2. Oštar kut. Ovi kutovi uključuju sve njihove predstavnike, koji imaju veličinu manju od 90 stupnjeva.
3. Tup kut. Ovdje mogu biti i svi kutovi s vrijednošću od 90 do 180 stupnjeva.
4. Prošireni kut. Ima veličinu od strogo 180 stupnjeva i izvana njegove strane čine jednu ravnu liniju.

Koncept ravnog kuta

Pogledajmo sada razvijeni kut detaljnije. To je slučaj kada obje strane leže na istoj pravoj liniji, što se jasno vidi na donjoj slici. To znači da možemo s povjerenjem reći da je jedna od njegovih strana, zapravo, nastavak druge.

Vrijedno je zapamtiti činjenicu da se takav kut uvijek može podijeliti pomoću zrake koja izlazi iz njegovog vrha. Kao rezultat, dobivamo dva kuta, koji se u geometriji nazivaju susjednim.

Također, razvijeni kut ima nekoliko značajki. Da biste razgovarali o prvom od njih, morate se sjetiti koncepta "simetrale kuta". Podsjetimo da je ovo zraka koja dijeli bilo koji kut strogo na pola. Što se tiče pravog kuta, njegova simetrala dijeli ga na način da se formiraju dva prava kuta od 90 stupnjeva. To je vrlo lako matematički izračunati: 180˚ (stupanj ispravljenog kuta): 2 = 90˚.

Ako razvijeni kut podijelimo potpuno proizvoljnom zrakom, tada kao rezultat uvijek dobivamo dva kuta, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Svojstva ravnog kuta

Bit će prikladno razmotriti ovaj kut, okupljajući sva njegova glavna svojstva, što smo učinili na ovom popisu:

1. Stranice pravog kuta su antiparalelne i tvore pravu liniju.
2. Vrijednost razvijenog kuta je uvijek 180˚.
3. Dva susjedna kuta zajedno uvijek čine ravan kut.
4. Puni kut, koji iznosi 360˚, sastoji se od dva raspoređena i jednak je njihovom zbroju.
5. Pola ispravljenog kuta je pravi kut.

Dakle, poznavajući sve ove karakteristike ove vrste kutova, možemo ih koristiti za rješavanje niza geometrijskih problema.

Problemi s ravnim kutovima

Kako biste razumjeli jeste li svladali koncept ravnog kuta, pokušajte odgovoriti na nekoliko sljedećih pitanja.

1. Koliki je pravi kut ako njegove stranice tvore okomitu crtu?
2. Hoće li dva kuta biti susjedna ako je veličina prvog 72˚, a drugog 118˚?
3. Ako se puni kut sastoji od dva ravna kuta, koliko pravih kutova ima?
4. Ravni kut je podijeljen snopom na dva takva kuta da su njihove mjere stupnja povezane kao 1:4. Izračunajte dobivene kutove.

Rješenja i odgovori:

1. Bez obzira na to kako se nalazi ravan kut, on je po definiciji uvijek jednak 180˚.
2. Susjedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu. Stoga, da biste izračunali veličinu kuta koji su sastavili, trebate samo dodati vrijednost njihovih mjera stupnja. Dakle, 72 +118 = 190. Ali po definiciji, ravan kut je 180˚, što znači da dva zadana kuta ne mogu biti susjedna.
3. Ravni kut sadrži dva prava kuta. A budući da su u punoj dvije raspoređene, to znači da će u njoj biti 4 ravne linije.
4. Ako željene kutove nazovemo a i b, onda neka x bude koeficijent proporcionalnosti za njih, što znači da je a = x, i prema tome b = 4x. Ravni kut u stupnjevima je 180˚. A prema njegovim svojstvima, da je mjera stupnja kuta uvijek jednaka zbroju stupnjevanih mjera onih kutova na koje ga dijeli bilo koja proizvoljna zraka koja prolazi između njegovih stranica, možemo zaključiti da je x + 4x = 180 ˚, što znači 5x = 180˚. Odavde nalazimo: x=a=36˚ i b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ i 144˚.

Ako ste uspjeli odgovoriti na sva ova pitanja bez naputaka i bez zavirivanja u odgovore, onda ste spremni za prijelaz na sljedeću lekciju geometrije.

Što je kut?

Kut je lik kojeg čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke (slika 160).
Zrake koje se formiraju injekcija, nazivaju se stranice kuta, a točka iz koje izlaze naziva se vrh kuta.
Na slici 160. stranice kuta su zrake OA i OB, a njegov vrh je točka O. Ovaj kut je označen na sljedeći način: AOB.

Kada pišete kut u sredini, napišite slovo koje označava njegov vrh. Kut se također može označiti jednim slovom - imenom njegovog vrha.

Na primjer, umjesto "kut AOB" pišu kraće: "kut O".

Umjesto riječi "kut" pišu znak.

Na primjer, AOB, O.

Na slici 161, točke C i D leže unutar kuta AOB, točke X i Y leže izvan ovog kuta, a bodova M i H - na stranama kuta.

Kao i svi geometrijski oblici, kutovi se uspoređuju pomoću preklapanja.

Ako se jedan kut može preložiti na drugi tako da se poklapaju, onda su ti kutovi jednaki.

Na primjer, na slici 162 ABC = MNK.

Od vrha kuta SOK (slika 163) nacrtana je greda OR. On dijeli SOC kut na dva kuta - COP i ROCK. Svaki od ovih kutova manji je od ROC kuta.

Napisao: COP< COK и POK < COK.

Ravno i pod kutom

Dvije komplementarne jedna drugoj greda formiraju presavijeni kut. Stranice ovog kuta zajedno tvore ravnu crtu na kojoj se nalazi vrh proširenog kuta (slika 164).

Kazaljka sata i minuta na satu tvore razvijeni kut na 6 sati (slika 165).

Dvaput savijmo komad papira na pola, a zatim ga rasklopimo (slika 166).

Preklopne linije tvore 4 jednaka kuta. Svaki od ovih kutova jednak je polovici ispravljenog kuta. Takvi kutovi nazivaju se pravim kutovima.

Pravi kut je polovica ispravljenog kuta.

crtanje trokuta

Za konstruiranje pravog kuta upotrijebite crtež trokut(Sl. 167). Za konstruiranje pravog kuta, čija je jedna strana zraka OL, potrebno je:

a) rasporedi trokut za crtanje tako da se vrh njegovog pravog kuta poklapa s točkom O, a jedna od stranica ide duž zraka OA;

b) nacrtajte zraku OB duž druge stranice trokuta.

Kao rezultat, dobivamo pravi kut AOB.

Pitanja na temu

1.Što je kut?
2. Koji se kut naziva raspoređenim?
3. Koji se kutovi nazivaju jednaki?
4. Koji se kut naziva pravim?
5. Kako se pravi kut gradi pomoću nacrtanog trokuta?

Već znamo da bilo koji kut dijeli ravninu na dva dijela. Ali, ako pod kutom obje strane leže na istoj ravnoj crti, onda se takav kut naziva raspoređenim. To jest, pod razvijenim kutom, jedna njegova strana je nastavak njegove druge strane kuta.

Pogledajmo sada sliku koja samo pokazuje razvijeni kut O.

Ako uzmemo i povučemo zraku iz vrha pravog kuta, onda će on ovaj ravan kut podijeliti na još dva kuta, koji će imati jednu zajedničku stranu, a druga dva kuta će tvoriti ravnu liniju. Odnosno, iz jednog rasklopljenog kuta dobili smo dva susjedna.

Ako uzmemo ravan kut i nacrtamo simetralu, ta će simetrala podijeliti ravan kut na dva prava kuta.

A, u slučaju da iz vrha razvijenog kuta povučemo proizvoljnu zraku, koja nije simetrala, tada će takva zraka prošireni kut podijeliti na dva kuta, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Svojstva ravnog kuta

Prošireni kut ima sljedeća svojstva:

Prvo, stranice ravnog kuta su antiparalelne i tvore ravnu liniju;
drugo, razvijeni kut je 180°;
treće, dva susjedna kuta tvore ravan kut;
četvrto, razvijeni kut je polovica punog kuta;
peto, puni će kut biti jednak zbroju dva razvijena kuta;
šesto, polovica ispravljenog kuta je pravi kut.

Mjerenje kuta

Za mjerenje bilo kojeg kuta najčešće se u te svrhe koristi kutomjer u kojem je mjerna jedinica jedan stupanj. Prilikom mjerenja kutova treba imati na umu da svaki kut ima svoju specifičnu mjeru stupnja, a prirodno je da je ta mjera veća od nule. A razvijeni kut, kao što već znamo, jednak je 180 stupnjeva.

To jest, ako uzmemo bilo koju ravninu kružnice i podijelimo je polumjerima na 360 jednakih dijelova, tada će 1/360 ove kružnice biti kutni stupanj. Kao što već znate, stupanj je označen određenom ikonom, koja izgleda ovako: "°".

Sada također znamo da je jedan stupanj 1° = 1/360 kruga. Ako je kut jednak ravnini kružnice i iznosi 360 stupnjeva, onda je takav kut pun.

A sada uzimamo i dijelimo ravninu kružnice uz pomoć dva polumjera koja leže na jednoj ravnoj liniji na dva jednaka dijela. Tada će u ovom slučaju ravnina polukruga biti polovica punog kuta, odnosno 360: 2 = 180 °. Dobili smo kut koji je jednak poluravnini kružnice i ima 180°. Ovo je uvrnuti kut.

Praktični zadatak

1613. Imenuj kutove prikazane na slici 168. Zapiši njihove oznake.

1614. Nacrtaj četiri zrake: OA, OB, OS i OD. Zapiši nazive šest kutova čije su stranice ove zrake. Na koliko dijelova dijele te zrake avion?

1615. Navedite koje točke na slici 169 leže unutar kuta KOM. Koje točke leže izvan ovog kuta? Koje su točke na strani OK, a koje na strani OM?

1616. Nacrtaj kut MOD i unutar njega nacrtaj zraku OT. Imenujte i označite kutove na koje ova zraka dijeli kut MOD.

1617. Minutna kazaljka se za 10 minuta okrenula u kut AOB, u sljedećih 10 minuta - u kut BOC, a za još 15 minuta - u kut COD. Usporedite kutove AOB i BOC, BOC i COD, AOC i AOB, AOC i COD (sl. 170).

1618. Pomoću trokuta za crtanje nacrtajte 4 prava kuta u različitim položajima.

1619. Pomoću trokuta za crtanje pronađi prave kutove na slici 171. Zapišite njihove oznake.

1620. Istakni prave kutove u učionici.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Koliko je posto od 400 broj 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Pronađite broj koji nedostaje:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Nacrtaj kvadrat čija je stranica jednaka duljini 10 ćelija bilježnice. Neka ovaj kvadrat predstavlja polje. Raž zauzima 12% polja, zob - 8%, pšenica - 64%, a ostatak polja zauzima heljda. Pokažite na slici dio polja koji zauzima svaki usjev. Koliki postotak polja zauzima heljda?

1632. Petya je tijekom školske godine potrošio 40% bilježnica kupljenih početkom godine, a ostalo mu je 30 bilježnica. Koliko je bilježnica kupljeno za Petyu na početku školske godine?

1633. Bronca je legura kositra i bakra. Koliki postotak legure čini bakar u komadu bronce, koji se sastoji od 6 kg kositra i 34 kg bakra?

1634. Aleksandrijski svjetionik, izgrađen u antici, koji se nazivao jednim od sedam svjetskih čuda, 1,7 puta je viši od tornjeva moskovskog Kremlja, ali niži od zgrade Moskovskog sveučilišta za 119 m. Pronađite visinu svake od ovih građevina ako su tornjevi Moskovskog Kremlja 49 m niže Aleksandrijski svjetionik.

1635. Pronađite uz pomoć mikrokalkulatora:

a) 4,5% od 168; c) 28,3% od 569,8;
b) 147,6% od 2500; d) 0,09% od 456.800.

1636. Riješite zadatak:

1) Površina vrta je 6,4 a. Prvi dan okopano je 30% vrta, a drugi dan 35% vrta. Koliko je ari ostalo za kopanje?

2) Serezha je imao 4,8 sati slobodnog vremena. Proveo je 35% tog vremena čitajući knjigu, a 40% gledajući TV emisije. Koliko mu je vremena ostalo?

1637. Učinite sljedeće:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Nacrtajte kut BAC i označite po jednu točku unutar kuta, izvan kuta i na stranama kuta.

1639. Koje od točaka označenih na slici 172 leže unutar kuta AMK. Koja točka leži unutar kuta AMB>, ali izvan kuta AMK. Koje točke leže na stranicama kuta AMK?

1640. Pomoću trokuta za crtanje pronađite prave kutove na slici 173.

1641. Konstruiraj kvadrat sa stranicom 43 mm. Izračunajte njegov opseg i površinu.

1642. Pronađite vrijednost izraza:

a) 14,791: a + 160,961: b, ako je a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d ako je c = 100, d = 100.

1643. Radnik je morao izraditi 450 dijelova. Prvi dan je izradio 60% dijelova, a drugi dan ostalo. Koliko je dijelova učinio radnik Na drugi dan?

1644. U knjižnici je bilo 8000 knjiga. Godinu dana kasnije njihov se broj povećao za 2000 knjiga. Za koliko se postotaka povećao broj knjiga u knjižnici?

1645. Kamioni su prvog dana prešli 24% predviđenog puta, drugog dana - 46% puta, a trećeg - preostalih 450 km. Koliko su kilometara prešli ti kamioni?

1646. Pronađite koliko ih ima:

a) 1% tone; c) 5% od 7 tona;
b) 1% litre; d) 6% od 80 km.

1647. Masa mladunčeta morža je 9 puta manja od mase odraslog morža. Kolika je masa odraslog morža ako je, zajedno s mladunčetom, njihova masa 0,9 tona?

1648. Zapovjednik je tijekom manevara ostavio 0,3 svih svojih vojnika da čuvaju prijelaz, a ostale podijelio u 2 odreda za obranu dvije visine. Prvi odred imao je 6 puta više vojnika od drugog. Koliko je vojnika bilo u prvom odredu ako je bilo ukupno 200 vojnika?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Kut je geometrijski lik koji se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz jedne točke. U ovom slučaju te se zrake nazivaju stranicama kuta. Točka koja je početak zraka naziva se vrh kuta. Na slici možete vidjeti kut s vrhom u točki O, i stranke k i m.

Na stranama kuta označene su točke A i C. Ovaj kut se može označiti kao kut AOC. U sredini mora biti naziv točke u kojoj se nalazi vrh kuta. Postoje i druge oznake, kut O ili kut km. U geometriji se umjesto riječi kut često ispisuje posebna ikona.

Okretni i neokretni kut

Ako obje strane kuta leže na istoj pravoj liniji, onda se takav kut naziva raspoređeni kut. To jest, jedna strana ugla je nastavak druge strane kuta. Na slici ispod prikazan je kut O.

Treba napomenuti da bilo koji kut dijeli ravninu na dva dijela. Ako kut nije proširen, tada se jedan od dijelova naziva unutarnja regija kuta, a drugi vanjski dio ovog kuta. Slika ispod prikazuje nespljošteni kut i označena je vanjska i unutarnja područja ovog kuta.

U slučaju razvijenog kuta, bilo koji od dva dijela na koje dijeli ravninu može se smatrati vanjskim područjem kuta. Možemo govoriti o položaju točke u odnosu na kut. Točka može ležati izvan kuta (u vanjskom području), može biti na jednoj od njegovih strana ili može ležati unutar kuta (u unutarnjem području).

Na slici ispod, točka A leži izvan kuta O, točka B leži s jedne strane kuta, a točka C leži unutar kuta.

Mjerenje kuta

Za mjerenje kutova postoji uređaj koji se zove kutomjer. Jedinica kuta je stupanj. Treba napomenuti da svaki kut ima određenu mjeru stupnja, koja je veća od nule.

Ovisno o stupnjskoj mjeri, kutovi se dijele u nekoliko skupina.

Mjera kuta

Kut in se mjeri u stupnjevima (stupanj, minuta, sekunda), u okretajima - omjer duljine luka s i opsega L, u radijanima - omjer duljine luka s i polumjera r; povijesno se koristila i mjera za tuču za mjerenje kutova, koja se danas gotovo nikad ne koristi.

1 okret = 2π radijana = 360° = 400 stupnjeva.

U nautičkoj terminologiji kutovi se označavaju točkama.

Kutne vrste

Susjedni kutovi su oštar (a) i tupi (b). Obrnuti kut (c)

Osim toga, razmatra se kut između glatkih krivulja u tangentnoj točki: po definiciji, njegova je vrijednost jednaka kutu između tangenti na krivulje.

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Pogledajte što je "Razvijeni kut" u drugim rječnicima:

Kut jednak dvama pravim kutovima. * SCAN plohe je lik dobiven u ravnini s takvom kombinacijom točaka dane površine s ovom ravninom, u kojoj duljine linija ostaju nepromijenjene. Razvoj krivulje vidi Involute ... Veliki enciklopedijski rječnik

injekcija- ▲ razlika u smjeru (u prostoru) opseg kuta zaokreta iz jednog smjera u drugi; razlika u smjeru; dio punog okreta (nagib #. oblik #). nagib. sklona. odstupanje. skrenuti (put je skrenuo udesno). ... ...

Injekcija- Kutovi: 1 opći pogled; 2 susjedna; 3 susjedna; 4 okomito; 5 raspoređeno; 6 ravno, oštro i tupo; 7 između krivulja; 8 između ravne i ravnine; 9 između ravnih linija koje se sijeku (ne leže u istoj ravnini) ravnih linija. KUT, geometrijski…… Ilustrirani enciklopedijski rječnik

Geometrijski lik koji se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz iste točke. Zvale su zrake stranice U., a njihov zajednički početak je vrh U. Neka su [ BA), [ BC) stranice kuta, B njegov vrh, ravnina određena stranicama U. Slika dijeli ravninu ... ... Matematička enciklopedija

Kut jednak dvama pravim kutovima. * * * OTKRENI KUT OTKRENI KUT, kut jednak dvama pravim kutovima ... enciklopedijski rječnik

Grana matematike koja proučava svojstva različitih oblika (točke, linije, kutovi, dvodimenzionalni i trodimenzionalni objekti), njihovu veličinu i relativni položaj. Radi praktičnosti nastave geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju čvrstog tijela. NA… … Enciklopedija Collier

1) Zatvorena izlomljena crta, naime: ako različite točke, niti jedne uzastopne tri od njih ne leže na jednoj pravoj liniji, tada se skup odsječaka naziva. poligon (vidi sliku 1). M. može biti prostorna ili ravna (ispod ... ... Matematička enciklopedija

preko- ▲ pod najvećim kutom, kosi kut poprečno. poprijeko pod pravim kutom. . pravi kut maksimalnog otklona; kut jednak njegovom susjednom; četvrtina okreta. okomito. okomito pod pravim kutom. okomito...... Ideografski rječnik ruskog jezika

stupanj- a, m. 1) Mjerna jedinica ravnog kuta, jednaka 1/90 pravog kuta, odnosno 1/360 kruga. Kut od 90 stupnjeva naziva se pravi kut. Prošireni kut je 180 stupnjeva. 2) Jedinica mjere za temperaturni interval koji ima ... ... Popularni rječnik ruskog jezika

Schwartz Christoffelov teorem, važan teorem u teoriji funkcija kompleksne varijable, nosi ime njemačkih matematičara Karla Schwartza i Alvina Christoffela. Vrlo važan s praktične točke gledišta je problem konformne ... ... Wikipedije