ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Пусть известно, что сл. величина x подчиняется нормальному закону с неизвестным средним μ и известной σ 2: X~N(μ,σ 2 ), σ 2 задано, μ не известно. Задано β. По выборке x 1, x 2, … , x n надо построить I β (θ) (сейчас θ=μ), удовлетворяющий (13)

Выборочное среднее (говорят также выборочная средняя) подчиняется нормальному закону с тем же центром μ, но меньшей дисперсией X~N (μ , D ), где дисперсией D =σ 2 =σ 2 /n.

Нам понадобится число К β , определяемое для ξ~N(0,1) условием

Словами: между точками -К β и К β оси абсцисс лежит площадь под кривой плотности стандартного нормального закона, равная β

Например, К 0,90 =1,645 квантиль уровня 0,95 величины ξ

K 0,95 = 1,96. ; К 0,997 =3 .

В частности, отложив от центра любого нормального закона 1,96 стандартных отклонений вправо и столько же влево, мы захватим площадь под кривой плотности, равную 0.95, в силу чего К 0 95 является квантилью уровня 0,95 + 1/2*0,005 = 0,975 для этого за­кона.

Искомый доверительный интервал для генерального среднего μ есть I А (μ) = (х-σ, х+σ),

где δ = (15)

Дадим обоснование:

По сказанному, сл. величина в интервал J=μ±σ попадает с вероятностью β (рис.9). В этом случае величина отклоняется от центра μ меньше, чем на δ , и случайный интервал ± δ (со случайным центром и такой же как у J ширины) накроет точку μ. То есть Є J <=> μ Є I β , а потому Р{μЄІ β } = Р{ Є J }=β.

Итак, постоянный по выборке интервал I β содержит среднее μ с вероятностью β.

Ясно, чем больше n, тем меньше σ и уже интервал, а чем больше мы берем гарантию β, тем доверительный интервал шире.

Пример 21.

По выборке с n=16 для нормальной величины с известной дисперсией σ 2 =64 найдено х=200. Построить доверительный интервал для генерального среднего (иначе говоря, для математического ожидания) μ, приняв β=0,95.

Решение. I β (μ)= ± δ, где δ = К β σ/ -> К β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ)=200 4=(196;204).

Делая вывод, что с гарантией β=0,95 истинное среднее принадлежат интервалу (196,204), мы понимаем, что возможна ошибка.

Из 100 доверительных интервалов I 0. 95 (μ) в среднем 5 не содержат μ.

Пример 22.

Каким в условиях предыдущего примера 21 следует взять n, чтобы вдвое сузить доверительный интервал? Чтобы иметь 2δ=4, надо взять

На практике часто пользуются односторонними доверительными интервалами. Так, если полезны или не страшны высокие значения μ, но не.приятны низкие, как в случае с прочностью или надежностью, то резонно строить односторонний интервал. Для этого следует максимально поднять его верхнюю границу. Если мы построим, как в примере 21, двусторонний доверительный интервал для заданного β, а затем максимально расширим его за счет одной из границ, то получим односторонний интервал с большей гарантией β" = β + (1-β) / 2 = (1+β)/2, например, если β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Например, будем считать, что речь идет о прочности изделия и поднимем верхнюю границу интервала до . Тогда для μ в примере 21 получим односторонний доверительный интервал (196,°°) с нижней границей 196 и доверительной вероятностью β"=0,95+0,05/2=0,975.

Практическим недостатком формулы (15)_является то, что она выведена в предположении, что дисперсия = σ 2 (отсюда и = σ 2 /n) известна; а это бывает в жизни редко. Исключение составляет случай, когда объем выборки велик, скажем, n измеряется сотнями или тысячами и тогда за σ 2 можно практически принять ее оценку s 2 или .

Пример 23.

Положим, в некотором большом городе в результате выборочного обследования жилищных условий жителей получена следу­ющая таблица данных (пример из работы ).

Таблица 8

Исходные данные к примеру

Естественно допустить, что сл. величина X - общая (полезная) площадь (в м 2), приходящаяся на одного человека подчиняется нор­мальному закону. Среднее μ и дисперсия σ 2 не известны. Для μ тре­буется построить 95%-ный доверительный интервал. Чтобы по группи­рованным данным найти выборочные средние и дисперсию, составим следующую таблицу выкладок (табл.9).

Таблица 9

Вычисления X и 5 по сгруппированным данным

N группы з	Общая площадь в расчете на 1 человека, м 2	Число жителей в группе г j	Середина интервала x j	r j x j	rjxj 2
	До 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	более 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

В этой вспомогательной таблице по формуле (2) подсчитаны первый и второй начальные статистические моменты а 1 и а 2

Хотя дисперсия σ 2 здесь неизвестна, из-за большого объема выборки можно практически применить формулу (15), положив в ней σ= =7.16.

Тогда δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Доверительный интервал для генерального среднего при β=0,95 равен I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Следовательно, среднее значение площади на одного человека в данном городе с гарантией 0.95 лежит в промежутке (18.54; 19.46).

2. Доверительный интервал для математического ожидания μ в случае неизвестной дисперсии σ 2 нормальной величины. Этот интервал для заданной гарантии β строится по формуле ,где ν = n-1 ,

(16)

Коэффициент t β,ν имеет тот же смысл для t – распределения с ν степенями свободы, что к β для распределения N(0,1), а именно:

.

Другими словами, сл. Величина tν попадает в интервал (-t β,ν ; +t β,ν) с вероятностью β. Значения t β,ν даны в табл.10 для β=0.95 и β=0.99.

Таблица 10.

Значения t β,ν

Возвращаясь к примеру 23, видим, что в нем доверительный интервал был построен по формуле (16) с коэффициентом t β,υ =k 0..95 =1.96, т. к. n=1000.

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.

Искать только в данном разделе

Доверительные интервалы: список решений задач

Доверительные интервалы: теория и задачи

Общие сведения о доверительных интервалах

Введем кратко понятие доверительного интервала, который
1) оценивает некоторый параметр числовой выборки непосредственно по данным самой выборки,
2) накрывает значение этого параметра с вероятностью γ.

Доверительным интервалом для параметра X (при вероятности γ) называется интервал вида , такой что , а значения вычисляются некоторым образом по выборке .

Обычно в прикладных задачах доверительную вероятность берут равной γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Рассмотрим некоторую выборку объема n, сделанную из генеральной совокупности, распределенной предположительно по нормальному закону распределения . Покажем, по каким формулам находятся доверительные интервалы для параметров распределения - математического ожидания и дисперсии (среднего квадратического отклонения).

Доверительный интервал для математического ожидания

Случай 1. Дисперсия распределения известна и равна . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению

Случай 2. Дисперсия распределения неизвестна, по выборке вычислена точечная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
, где - выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Стьюдента

Пример. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.

Решение. Найдем . Тогда доверительные границы для интервала, заключающего истинное значение измеряемой величины можно найти по формуле:
, где - выборочное среднее, - выборочная дисперсия. Подставляем все величины и получаем:

Доверительный интервал для дисперсии

Считаем, что вообще говоря, математическое ожидание неизвестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал имеет вид:
, где - квантили распределения , определяемые из таблиц.

Пример. По данным 7 испытаний найдено значение оценки для среднеквадратического отклонения s=12 . Найти с вероятностью 0,9 ширину доверительного интервала, построенного для оценки дисперсии.

Решение. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии генеральной совокупности можно найти по формуле:

Подставляем и получаем:


Тогда ширина доверительного интервала равна 465,589-71,708=393,881.

Доверительный интервал для вероятности (доли)

Случай 1. Пусть в задаче известен объем выборки и выборочная доля (относительная частота) . Тогда доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) имеет вид:
, где параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению .

Случай 2. Если в задаче дополнительно известен общий объем совокупности , из которой была сделана выборка, доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) можно найти по скорректированной формуле:
.

Пример. Известно, что Найти границы, в которых с вероятностью заключена генеральная доля.

Решение. Используем формулу:

Найдем параметр из условия , получим Подставляем в формулу:

Другие примеры задач по математической статистике вы найдете на странице

Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения X N(m ;  ). Это основное предположение математической статистики основано на центральной предельной теореме. Пусть известно генеральное среднее квадратическое отклонение  , но неизвестно математическое ожидание теоретического распределения m (среднее значение ).

В таком случае среднее выборочное , полученное в ходе эксперимента (п.3.4.2), также будет являться случайной величинойm ;
). Тогда «нормализованное» отклонение
N(0;1) – является стандартной нормальной случайной величиной.

Задача состоит в поиске интервальной оценки для m . Построим двусторонний доверительный интервал для m так, чтобы истинное математическое ожидание принадлежало ему с заданной вероятностью (надежностью)  .

Установить такой интервал для величины
– это значит найти максимальное значение этой величины
и минимальное
, которые являются границам критической области:
.

Т.к. такая вероятность равна
, то корень этого уравнения
можно найти с помощью таблиц функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1).

Тогда с вероятностью  можно утверждать, что случайная величина
, то есть искомое генеральное среднее принадлежит интервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

называют точностью оценки.

Число
– квантиль нормального распределения – можно найти как аргумент функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1), учитывая соотношение 2Ф(u )= , т.е. Ф(u )=
.

Обратно, по заданному значению отклонения  можно найти, с какой вероятностью, неизвестное генеральное среднее принадлежит интервалу
. Для этого нужно вычислить

. (3.15)

Пусть из генеральной совокупности извлечена случайная выборка методом повторного отбора. Из уравнения
можно найти минимальный объем повторной выборки n , необходимый для того, чтобы доверительный интервал с заданной надежностью не превышал наперед заданного значения . Оценку требуемого объема выборки производят по формуле:

. (3.16)

Исследуем точность оценки
:

1) При возрастании объема выборки n величина  уменьшается , и значит, точность оценки увеличивается .

2) С увеличением надежности оценки увеличивается значение аргументаu (т.к. Ф (u ) монотонно возрастает) и значит увеличивается  . В таком случае увеличение надежности уменьшает точность ее оценки  .

Оценку
(3.17)

называют классической (где t - некий параметр, зависящий от и n ), т.к. она характеризует наиболее часто встречающиеся законы распределения.

3.5.3 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении 

Пусть известно, что генеральная совокупность подчинена закону нормального распределения X N(m ; ), где величина среднего квадратического отклонения неизвестна.

Для построения доверительного интервала оценки генерального среднего в этом случае используется статистика
, имеющая распределение Стъюдента с k = n –1 степенями свободы. Это следует из того, что N(0;1) (см. п.3.5.2), а
(см. п.3.5.3) и из определения распределения Стъюдента (ч.1.п.2.11.2).

Найдем точность классической оценки распределения Стъюдента: т.е. найдем t из формулы (3.17). Пусть вероятность выполнения неравенства
задана надежностью  :

. (3.18)

Поскольку T St(n -1), очевидно, что t зависит от  и n , поэтому обычно пишут
.

(3.19)

где
– функция распределения Стъюдента сn -1 степенями свободы.

Решая это уравнение относительно m , получим интервал
который с надежностью  покрывает неизвестный параметр m .

Величина t  , n -1 , служащая для определения доверительного интервала случайной величины T (n -1), распределенной по Стъюденту с n -1 степенями свободы, называется коэффициентом Стъюдента . Его следует находить по заданным значениям n и  из таблиц «Критические точки распределения Стьюдента». (Таблица 6, приложение 1), которые и представляют собой решения уравнения (3.19).

В итоге получаем следующее выражение точности  доверительного интервала для оценки математического ожидания (генерального среднего), если неизвестна дисперсия:

(3.20)

Т.о., существует общая формула построения доверительных интервалов для математического ожидания генеральной совокупности:

где точность доверительного интервала  в зависимости от известной или неизвестной дисперсии находится по формулам соответственно 3.16. и 3.20.

Задача 10. Проведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:

x i

Известно, что они подчиняются закону нормального распределения с
. Найти оценкуm * для математического ожидания m , построить для него 90% доверительный интервал.

Решение:

Итак, m (2.53;5.47).

Задача 11. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределяются по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением  =15м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибками не более 5м при доверительной вероятности 90%?

Решение:

По условию задачи имеем X N(m ;  ), где  =15м,  =5м,  =0.9. Найдем объем n .

1) С заданной надежностью = 0.9 найдем по таблицам 3 (Приложение 1) аргумент функции Лапласа u  = 1.65.

2) Зная заданную точность оценки  =u  =5, найдем
. Имеем

. Поэтому число испытаний n 25.

Задача 12. Выборка температуры t за первые 6 дней января представлена в таблице:

Найти доверительный интервал для математического ожидания m генеральной совокупности с доверительной вероятностью
и оценить генеральное стандартное отклонение s .

Решение:

и
.

2) Несмещённую оценку найдем по формуле
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, но известна ее оценка, то для оценки математического ожидания m используем распределение Стъюдента (Таблица 6, приложение 1) и формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 =6, то ,
, s 1 =6.85 имеем:
, отсюда -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Поэтому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогично имеем,
, s 2 = 4.8, , поэтому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) и m 2 (-34.9;-29.1).

В прикладных науках, например, в строительных дисциплинах, для оценки точности объектов используются таблицы доверительных интервалов, которые приведены в соответствующей справочной литературе.

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение s этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. В данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического ожидания с надёжностью b. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности) b, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (6.9а):

где Ф(t ) – функция Лапласа (5.17а).

В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = s 2:

1. Задать значение надёжности – b .
2. Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5× b. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t) (см. Приложение 1).
3. Вычислить отклонение e по формуле (6.10).
4. Записать доверительный интервал по формуле (6.12) такой, что с вероятностью b выполняется неравенство:

.

Пример 5 .

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если даны:

1) генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5;

2) выборочная средняя ;

3) объём выборки n = 49.

В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания а с надёжностью b все величины, кроме t, известны. Значение t можно найти, используя (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее значение t = 2,06. Следовательно, . Подставив в формулу (6.12) вычисленное значение e, можно получить доверительный интервал: 30-1,47 < a < 30+1,47.

Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания равен: 28,53 < a < 31,47.

Для начала напомним следующее определение:

Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma $. Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами

Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma $.

Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство

Из нее получим

Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta $.

Напомним таблицу значений функции $Ф\left(t\right)$:

Рисунок 1. Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$

Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при неизвестном ${\mathbf \sigma }$

В этом случае мы будем пользоваться значением исправленной дисперсии $S^2$. Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma $ на $S$, получим:

Пример задач на нахождение доверительного интервала

Пример 1

Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$. Пусть объем выборки $n=64$, а надежность равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.

Нам необходимо найти интервал ($\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta)$.

Как мы видели выше

\[\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}\]

Параметр $t$ найдем из формулы

\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475\]

Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$.