Чому дорівнює площа куба? Як знайти площу та об'єм куба

Куб має безліч цікавих математичних властивостейі відомий людям з давніх-давен. Представники деяких давньогрецьких шкіл вважали, що елементарні частки(Атоми), з яких складається наш світ, мають форму куба, а містики та езотерики навіть обожнювали цю фігуру. І сьогодні представники паранауки приписують кубу дивовижні енергетичні властивості.

Куб - це ідеальна фігура, одне із п'яти Платонових тіл. Платонове тіло – це

правильна багатогранна фігура, що задовольняє три умови:

1. Усі її ребра та грані рівні.

2. Кути між гранями рівні (у куба кути між гранями рівні й становлять 90 градусів).

3. Усі вершини фігури стосуються поверхні описаної навколо неї сфери.

Точну кількість цих фігур назвав давньогрецький математик Теетет Афінський, а учень Платона Евклід у 13-й книзі Початок дав їм докладний математичний опис.

Стародавні греки, схильні за допомогою кількісних величинописувати будову нашого світу, надавали Платоновим тілам глибокий сакральний зміст. Вони вважали, що кожна з фігур символізує світові початки: тетраедр – вогонь, куб – землю, октаедр – повітря, ікосаедр – воду, додекаедр – ефір. Сфера, описана навколо них, символізувала досконалість, божественне начало.

Отже, куб, званий також гексаедром (від грец. "hex" - 6), - це тривимірна правильна його також називають або прямокутним паралелепіпедом.

У куба шість граней, дванадцять ребер та вісім вершин. У цю фігуру можна вписати інші тетраедр (чотиригранник з гранями у вигляді трикутників), октаедр (восьмигранник) та ікосаедр (двадцятигранник).

Називається відрізок, що з'єднує дві симетричні щодо центру вершини. Знаючи довжину ребра куба a можна знайти довжину діагоналі v: v = a 3.

У куб, як говорилося вище, можна вписати сферу, при цьому радіус вписаної сфери (позначимо r) дорівнюватиме половині довжини ребра: r = (1/2) а.

Якщо ж сферу описати навколо куба, то радіус описаної сфери (позначимо його R) дорівнюватиме: R= (3/2)a.

Досить поширене у шкільних завданнях питання: як обчислити площу

поверхні куба? Дуже просто, досить наочно уявити куб. Поверхня куба складається із шести граней у формі квадратів. Отже, для того щоб знайти площу поверхні куба, спочатку потрібно знайти площу однієї з граней і помножити на їх кількість: S п = 6а 2.

Аналогічно тому, як ми знайшли площу поверхні куба, розрахуємо площу його бічних граней: S б = 4а2.

З цієї формули зрозуміло, що дві протилежні грані куба – це підстави, а решта чотирьох – бічні поверхні.

Знайти куба можна й іншим способом. Враховуючи той факт, що куб – це прямокутний паралелепіпед, можна скористатися поняттям трьох просторових вимірів. Це означає, що куб, будучи тривимірною фігурою, має 3 параметри: довжину (а), ширину (b) та висоту (c).

Використовуючи ці параметри, обчислимо площу повної поверхнікуба: S п = 2(ab+ас+bc).

Об'єм куба - це добуток трьох складових - висоти, довжини та ширини:
V= abc чи трьох суміжних ребер: V=а 3.

Це сумарна площа всіх поверхонь фігури. Площа поверхні куба дорівнює сумі площ усіх його шести граней. Площа поверхні є числовою характеристикоюповерхні. Для обчислення площі поверхні куба Вам необхідно знати певну формулута довжину однієї зі сторін куба. Для того щоб Ви могли оперативно обчислити площу поверхні куба, необхідно запам'ятати формулу і сам порядок дій. Трохи нижче ми докладно розберемо порядок обчислення повної площіповерхні кубата наведемо конкретні приклади.

Виконується за формулою SA = 6а2. Куб (правильний гексаедр) - це один із 5 видів правильних багатогранників, який є правильним прямокутним паралелепіпедом, куб має 6 граней, кожна з цих граней є квадратом.

Для обчислення площі поверхні кубаВам необхідно записати формулу SA = 6а2. Тепер давайте розберемо чому дана формуламає такий вигляд. Як ми говорили раніше, куб має шість рівних квадратних граней. Виходячи з того, що сторони квадрата рівні, площа квадрата складати - a 2 , де а - сторона куба. Так куба має 6 рівних квадратних граней, то для визначення площі його поверхні Вам необхідно помножити площу однієї грані (квадрату) на шість. У результаті отримуємо формулу для обчислення площі поверхні (SA) куба: SA = 6а 2 де а - ребро куба (сторона квадрата).

Чому дорівнює площа поверхні куба.

Вимірюється в квадратних одиницях, Наприклад, в мм 2 см 2 м 2 і так далі. Для подальших розрахунків Вам необхідно виміряти ребро куба. Як ми знаємо, ребра у куба рівні, тому Вам достатньо виміряти тільки одне (будь-яке) ребро куба. Виконати такий замір Ви можете за допомогою лінійки (або рулетки). Зверніть увагу на одиниці вимірювання на лінійці або рулетці та запишіть значення, позначивши його через а.

приклад: а = 2 см.

Отримане значення зведіть у квадрат. Таким чином, Ви зведіть у квадрат довжину ребра куба. Для того, щоб звести число в квадрат, помножте його на себе. Наша формула матиме наступний вигляд: SA = 6 * а 2

Ви обчислили значення площі однієї із граней куба.

приклад: а = 2 см

a 2 = 2 х 2 = 4 см 2

Отримане значення множте на шість. Не забувайте, що куб 6 рівних граней. Визначивши площу однієї з граней, помножте отримане значення на 6, щоб усі грані куба брали участь у розрахунку.

Ось ми і прийшли до кінцевої дії щодо обчислення площі поверхні куба.

приклад: а 2 = 4 см 2

SA = 6 х а 2 = 6 х 4 = 24 см 2

Куб - дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може миттєво стати основою або бічною. І від цього нічого не зміниться. А формули для нього завжди легко запам'ятовуються. І неважливо, що потрібно знайти – об'єм чи площу поверхні куба. У останньому випадкунавіть не потрібно вивчати щось нове. Достатньо пам'ятати лише формулу площі квадрата.

Що таке майдан?

Цю величину прийнято позначати латинською літерою S. Причому це справедливо для шкільних предметів, таких як фізика та математика. Вимірюється вона у квадратних одиницях довжини. Все залежить від даних у задачі величин. Це може бути мм, див, м чи кілометрів у квадраті. Причому можливі випадки, коли одиниці не вказані. Йдеться просто про числовому вираженніплощі без назви.

То що таке площа? Це величина, яка є числовою характеристикою розглянутої фігури чи об'ємного тіла. Вона показує розмір поверхні, яка обмежена сторонами фігури.

Яка постать називається кубом?

Ця постать є багатогранником. Причому, непростим. Він правильний, тобто він має всі елементи рівні один одному. Будь то сторони чи грані. Кожна поверхня куба є квадратом.

Інша назва куба - правильний гексаедр, якщо російською, то шестигранник. Він може бути утворений із чотирикутної призми або паралелепіпеда. При дотриманні умови, коли всі ребра дорівнюють і кути утворюють 90 градусів.

Ця фігура настільки гармонійна, що часто використовується у побуті. Наприклад, перші іграшки малюка – кубики. А гра для тих, хто старший, — кубик Рубіка.

Як пов'язаний куб з іншими фігурами та тілами?

Якщо накреслити переріз куба, який проходить через три його грані, то він матиме вигляд трикутника. У міру віддалення від вершини перетин буде дедалі більше. Настане момент, коли будуть перетинатися вже 4 грані, і фігура в перерізі стане чотирикутником. Якщо провести перетин через центр куба так, щоб він був перпендикулярний його головним діагоналям, то вийде правильний шестикутник.

Усередині куба можна накреслити тетраедр ( трикутну піраміду). За вершину тетраедра береться один із його кутів. Інші три збігатимуться з вершинами, які лежать на протилежних кінцях ребер вибраного кута куба.

У нього можна вписати октаедр (опуклий правильний багатогранник, який нагадує дві з'єднані піраміди). Для цього необхідно знайти центри всіх граней куба. Вони будуть вершинами октаедра.

Можлива і зворотна операція, тобто всередину октаедра можна вписати куб. Тільки тепер центри граней першого стануть вершинами для другого.

Метод 1: обчислення площі куба з його ребра

Для того щоб обчислити всю площу поверхні куба, знання одного з його елементів. Найпростіший спосіб вирішення, коли відоме його ребро або, іншими словами, сторона квадрата, з якого він складається. Зазвичай ця величина позначається латинською літерою "а".

Тепер слід згадати формулу, за якою обчислюється площа квадрата. Щоб не заплутатися, введено її позначення літерою S1.

Для зручності краще задати номери всім формулам. Ця буде першою.

Але це площа лише одного квадратика. Усього їх шість: 4 з боків і 2 знизу та зверху. Тоді площа поверхні куба обчислюється за такою формулою: S = 6 * a2. Її номер 2.

Метод 2: як обчислити площу, якщо відомий об'єм тіла

З математичного виразудля об'єму гексаедра виводиться те, яким можна порахувати довжину ребра. Ось вона:

Нумерація продовжується, і тут уже цифра 3.

Тепер його можна обчислити та підставити у другу формулу. Якщо діяти за нормами математики, потрібно вивести такий вираз:

Це формула площі всієї поверхні куба, яку можна скористатися, якщо відомий обсяг. Номер цього запису 4.

Метод 3: розрахунок площі по діагоналі куба

Це формула №5.

З неї легко вивести вираз для ребра куба:

Це шоста формула. Після обчислення можна знову скористатися формулою під другим номером. Але краще записати таку:

Вона виявляється пронумерованою цифрою 7. Якщо уважно подивитися, можна помітити, що остання формула зручніше, ніж поетапний розрахунок.

Метод 4: як скористатися радіусом вписаного або описаного кола для обчислення площі куба

Якщо позначити радіус описаного біля гексаедра кола буквою R, то площу поверхні куба буде легко обчислити за такою формулою:

Її порядковий номер 8. Вона легко виходить завдяки тому, що діаметр кола повністю збігається з головною діагоналлю.

Позначивши радіус вписаного кола латинською буквою r, можна отримати таку формулу для площі всієї поверхні гексаедра:

Це формула №9.

Декілька слів про бічній поверхні гексаедра

Якщо завдання потрібно знайти площу бічної поверхні куба, потрібно скористатися вже описаним вище прийомом. Коли вже дано ребро тіла, то просто площу квадрата потрібно помножити на 4. Ця цифра з'явилася через те, що бічних граней у куба всього 4. Математична запис цього виразу така:

Її номер 10. Якщо дано якісь інші величини, то надходять аналогічно до описаних вище методів.

Приклади завдань

Умова першої. Відома площа поверхні куба. Вона дорівнює 200 см ². Необхідно визначити головну діагональ куба.

1 спосіб. Потрібно скористатися формулою, яка позначена цифрою 2. З неї нескладно вивести «а». Цей математичний запис буде виглядати як квадратний корінь із приватного, що дорівнює S на 6. Після підстановки чисел виходить:

а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).

П'ята формула дозволяє відразу визначити головну діагональ куба. Для цього потрібно значення ребра помножити на √3. Це просто. У відповіді виходить, що діагональ дорівнює 10 див.

2 спосіб. Якщо забулася формула для діагоналі, але пам'ятається теорема Піфагора.

Аналогічно тому, як було в першому способі знайти ребро. Потім потрібно записати теорему для гіпотенузи двічі: першу для трикутника на межі, другу для того, що містить діагональ, яку шукає.

х² = а² + а², де х діагональ квадрата.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 а². З цього запису легко видно, як виходить формула діагоналі. А далі всі розрахунки будуть, як у першому способі. Він трохи довший, але дозволяє не запам'ятовувати формулу, а отримати її самостійно.

Відповідь: діагональ куба дорівнює 10 см.

Умова другої. за відомої площіповерхні, яка дорівнює 54 см 2 обчислити об'єм куба.

Користуючись формулою під другим номером, необхідно дізнатися значення ребра куба. Те, як це робиться, докладно описано у першому способі вирішення попередньої задачі. Провівши всі обчислення, отримаємо, що а = 3 см.

Тепер потрібно скористатися формулою обсягу куба, у якій довжина ребра зводиться у третій ступінь. Отже, обсяг вважатиметься так: V = 3 3 = 27 см 3 .

Відповідь: об'єм куба дорівнює 27 см 3 .

Умова третьої. Потрібно знайти ребро куба, для якого виконується наступна умова. У разі збільшення ребра на 9 одиниць площа всієї поверхні збільшується на 594.

Оскільки явних чисел у завданні не дано, тільки різниці між тим, що було, і тим, що стало, потрібно запровадити додаткові позначення. Це не складно. Нехай шукана величина дорівнюватиме «а». Тоді збільшене ребро куба буде рівним (а + 9).

Знаючи це, потрібно записати формулу для площі поверхні куба двічі. Перша - для початкового значенняребра - збігається з тією, яка пронумерована цифрою 2. Друга трохи відрізнятиметься. У ній замість «а» слід записати суму (а + 9). Бо в завданні йдетьсяпро різницю площ, то треба відняти з більшої площіменшу:

6 * (а + 9) 2 - 6 * а 2 = 594.

Потрібно провести перетворення. Спочатку винести за дужку 6 у лівій частині рівності, а потім спростити те, що залишиться у дужках. А саме (а + 9) 2 – а 2 . Тут записана різниця квадратів, яку можна перетворити так: (а + 9 - а) (а + 9 + а). Після спрощення виразу виходить 9(2а + 9).

Тепер його потрібно помножити на 6, тобто число, що було перед дужкою, і прирівняти до 594: 54(2а + 9) = 594. Це лінійне рівняння з однією невідомою. Його легко вирішити. Спочатку потрібно розкрити дужки, а потім перенести до лівої частини рівності доданок з невідомою величиною, а числа — до правої. Вийде рівняння: 2а = 2. З нього видно, що величина, що шукається, дорівнює 1.