Графік потенційної енергії пружинного маятника. Вільні коливання

1. Дія на тіло сили пружності, пропорційної усунення тіла х від положення рівноваги і спрямованої завжди до цього положення.

2. Інертність тіла, що коливається, завдяки якій воно не зупиняється в положенні рівноваги (коли сила пружності обертається в нуль), а продовжує рухатися в колишньому напрямку.

Вираз для циклічної частоти має вигляд:

де w – циклічна частота, k – жорсткість пружини, m – маса.

Ця формула показує, що частота вільних коливань не залежить від початкових умов і повністю визначається власними характеристиками самої коливальної системи - даному випадкужорсткістю k та масою m.

Цей вираз визначає період вільних коливань пружинного маятника.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Швидкість руху середня дорожня швидкість миттєва швидкість/ швидкість руху

Кінема тика точки розділ кінематики вивчає математичний описруху матеріальних точок основним завданням кінематики є.. основне завдання механіки визначити положення тіла в будь-який момент часу. механічний рухце зміна положення тіла в просторі з часом щодо інших тіл.

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

Енергія пружної хвилі
вектор щільності потоку енергії фізичного поля; чисельно дорівнює енер

Закон Максвелла розподілу молекул за швидкостями теплового руху
Закон Максвелла описується деякою функцією f(v), яка називається функцією розподілу молекул за швидкостями. Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, рівні dv, то на ка

Теплота
Теплота - один із двох, відомих сучасного природознавства, способів передачі енергії - міра передачі невпорядкованого руху Кількість переданої енергії називають кількістю теплоти.

Теплові двигуни та холодильні машини. Цикл Карно
Цикл Карно - ідеальний термодинамічний цикл. Теплова машинаКарно, що працює

Добридень!

Все досить просто. Зараз я, можливо, скажу дещо складних слівале потім постараюся роз'яснити їх зміст. Для простоти викладу йтиметься про одновимірний випадок, на випадок багатьох ступенів свободи все легко узагальнюється.

Отже, Головна задачаМеханіки --- знайти залежність координати тіла від часу, тобто, по суті, знайти деяку функцію, яка кожному моменту зіставляє деяке значення координати. Будь-який рух ми описуємо за допомогою другого закону Ньютона. Цей закон включає прискорення, яке є другою похідною координати тіла за часом, і сила, яка зазвичай залежить від самої координати. Також сила може залежати від швидкості тіла, тобто від першої похідної координати часу. Таким чином, з математичної точкизору другого закону Ньютона представляє деяке співвідношення між координатою, її першою і другою похідними. Таке співвідношення називається в математиці диференціальним рівнянням. Старша похідна, що входить у таке рівняння, - друга. Математика каже, що розв'язання такого рівняння, тобто загальний виглядфункції, що задовольняє наше співвідношення, залежить від двох довільних постійних, які неможливо визначити з рівняння. Ці довільні постійні визначаються кожному за конкретного випадку, наприклад, з допомогою про початкових умов. Тобто щоб точно зрозуміти, як буде рухатися тіло, потрібно знати не тільки, які сили на нього діють, але і які його початкова координата і швидкість. Дві довільні константи у рішенні підбираються таким чином, щоб отримана нами функція та її похідна (тобто швидкість) початковий моментчасу мали задані значення.

Це абсолютно загальна ситуація. Згадайте, коли ми говоримо про рух тіла з постійним прискоренням, щоб точно задати рух нам потрібно саме два числа, початкова координата і початкова швидкість.

Те саме справедливо і для вагання. Коливання конкретного маятника (тобто маятника із заданою власною частотою) визначається також двома числами. Зазвичай рішення рівняння маятника, одержуваного з другого закону Ньютона, записують як .

Тут і грають якраз роль довільних постійних, які треба визначати з початкових умов. Порахуємо швидкість: . Нехай нам відомо, що в нульовий моментчасу координата і швидкість маятника дорівнювали і . Розв'язавши систему звичайних рівнянь, можна знайти конкретні вирази для і через і.

Не наводитиму відповіді в загальному випадкуЯкщо ви захочете, то легко зробите це самі. Розповім тільки про конкретні випадки. Нехай, наприклад, відомо, що у нульовий момент часу тіло перебуває у становищі рівноваги (тобто ), яке швидкість дорівнює своїй максимальній величині (тобто ). Тоді отримуємо для конкретного випадку, що система рівнянь набуває вигляду: . З першого рівняння відразу зрозуміло, що (першому рівнянню, звичайно, задовольняє і умова, але тоді наше рішення вийде нульовим, а це не влаштовує). Друге тоді набуває вигляду: , звідки . Таким чином ми знайшли вирази для обох постійних. У результаті маємо: . При цьому для прискорення виходить. Якщо тепер позначити через звичніший вираз для амплітуди , вийдуть більш звичні формули.

Розглянемо ще один приклад. Нехай тепер вантаж знаходиться в крайньому становищі, Тобто його швидкість дорівнює нулю. Вважатимемо, що від відхилився в негативний бікосі, тобто його координата дорівнює . Тоді рівняння на початкові умовинабувають вигляду: . З другого рівняння. З першого: . Таким чином, координати має: (друга рівність за допомогою формули приведення). Для швидкості: . Для прискорення: .

Конкретні формули залежить від початкових даних. З урахуванням періодичності синусів та косінусів, користуючись різними формуламиПриведення можна з формул прибирати знаки додавати фази і т.д.

Що стосується формули в задачі, там немає частоти, тому що підставлено її конкретне значення:

Тіла під дією сили пружності, потенційна енергія якої пропорційна квадрату зміщення тіла із положення рівноваги:

де k – жорсткість пружини.

При вільних механічних коливаннях кінетична та потенційна енергії змінюються періодично. При максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги його швидкість, а отже, і кінетична енергія перетворюються на нуль. У цьому положенні потенційна енергія тіла, що коливається, досягає максимального значення. Для вантажу на горизонтально розташованій пружині потенційна енергія – це енергія пружних деформацій пружини.

Коли тіло під час свого руху проходить через положення рівноваги, його швидкість максимальна. У цей момент воно має максимальну кінетичну і мінімальну потенційну енергію. Збільшення кінетичної енергіївідбувається за рахунок зменшення потенційної енергії. При подальшому русі починає збільшуватися потенційна енергія за рахунок зменшення кінетичної енергії і т.д.

Таким чином, при гармонійних коливаннях відбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну і навпаки.

Якщо в коливальній системі немає тертя, то повна механічна енергіяпри вільних коливаннях залишається незмінною.

Для вантажу на пружині:

Запуск коливального руху тіла здійснюється за допомогою кнопки Старт. Зупинити процес у будь-який час дозволяє кнопка Стоп.

Графічно показано співвідношення між потенційною та кінетичною енергіями при коливаннях у будь-який момент часу. Зверніть увагу, що без згасання повна енергіяколивальної системи залишається незмінною, потенційна енергія досягає максимуму при максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги, а кінетична енергія приймає максимальне значенняпри проходженні тіла через становище рівноваги.

Пружинний маятник є матеріальною точкою масою, прикріплену до абсолютно пружної невагомої пружини з жорсткістю. . Розрізняють два найпростіші випадки: горизонтальний (рис.15, а) і вертикальний (рис.15, б) маятники.

а) Горизонтальний маятник(Рис. 15, а). При зміщенні вантажу
із положення рівноваги на величину на нього діє у горизонтальному напрямку повертаюча пружна сила
(Закон Гука).

Передбачається, що горизонтальна опора, по якій ковзає вантаж
при своїх коливаннях абсолютно гладка (тертя немає).

б) Вертикальний маятник(Рис.15, б). Положення рівноваги у разі характеризується умовою:

де - Величина пружної сили, що діє на вантаж
при статичному розтягуванні пружини на під дією сили тяжіння вантажу
.

а

Рис.15. Пружинний маятник: а– горизонтальний та б– вертикальний

Якщо розтягнути пружину і відпустити вантаж, він почне здійснювати вертикальні коливання. Якщо усунення в якийсь момент часу буде
, то сила пружності запишеться тепер як
.

В обох розглянутих випадках пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом

(27)

та циклічною частотою

. (28)

На прикладі розгляду пружинного маятника можна дійти невтішного висновку у тому, що гармонійні коливання – це рух, викликане силою, що зростає пропорційно зміщенню . Таким чином, якщо повертаюча сила на вигляд нагадує закон Гука
(вона отримала назвуквазіпружної сили ), то система повинна здійснювати гармонійні коливання.У момент проходження положення рівноваги на тіло не діє сила, що повертає, проте, тіло по інерції проскакує положення рівноваги і повертає сила змінює напрямок на протилежне.

Математичний маятник

Рис.16. Математичний маятник

Математичний маятникє ідеалізованою системою у вигляді матеріальної точки, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки , що робить малі коливання під впливом сили тяжіння (рис. 16).

Коливання такого маятника при малих кутах відхилення
(що не перевищують 5º) можна вважати гармонійними, і циклічна частота математичного маятника:

, (29)

а період:

. (30)

2.3. Енергія тіла при гармонійних коливаннях

Енергія, повідомлена коливальній системі при початковому поштовху, буде періодично перетворюватися: потенційна енергія деформованої пружини переходитиме в кінетичну енергію вантажу, що рухається, і назад.

Нехай пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з початковою фазою
, тобто.
(Рис.17).

Рис.17. Закон збереження механічної енергії

при коливаннях пружинного маятника

При максимальному відхиленні вантажу від рівноваги повна механічна енергія маятника (енергія деформованої пружини з жорсткістю ) дорівнює
. При проходженні положення рівноваги (
) потенційна енергія пружини стане рівною нулю, і повна механічна енергія коливальної системи визначиться як
.

На рис.18 представлені графіки залежностей кінетичної, потенційної та повної енергії у випадках, коли гармонійні коливання описуються тригонометричними функціями синуса (пунктирна лінія) або косинуса (суцільна лінія).

Рис.18. Графіки тимчасової кінетичної залежності

та потенційної енергії при гармонійних коливаннях

З графіків (рис.18) випливає, що частота зміни кінетичної та потенційної енергії вдвічі вища за власну частоту гармонійних коливань.

(1.7.1)

Якщо змістити кульку від положення рівноваги на відстань х, то подовження пружини дорівнюватиме Δl 0 + х. Тоді результуюча сила набуде значення:

Враховуючи умову рівноваги (1.7.1), отримаємо:

Знак "мінус" показує, що зміщення та сила мають протилежні напрямки.

Пружна сила f має такі властивості:

1. Вона пропорційна усунення кульки з положення рівноваги;
2. Вона завжди спрямована на положення рівноваги.

Для того, щоб повідомити систему усунення х, потрібно здійснити проти пружної сили роботу:

Ця робота йдестворення запасу потенційної енергії системи:

Під дією пружної сили кулька рухатиметься до положення рівноваги з дедалі більшою швидкістю. Тому потенційна енергія системи зменшуватиметься, зате зростає кінетична енергія (масою пружини нехтуємо). Прийшовши в положення рівноваги, кулька продовжуватиме рухатися за інерцією. Це – уповільнений рух і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перейде у потенційну. Потім такий же процес протікатиме при русі кульки в зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, кулька коливатиметься необмежено довго.

Рівняння другого закону Ньютона у разі має вигляд:

Перетворимо рівняння так:

Вводячи позначення, отримаємо лінійне однорідне диференціальне рівняннядругого порядку:

Прямою підстановкою легко переконатися, що загальне рішеннярівняння (1.7.8) має вигляд:

де а - амплітуда і - початкова фаза коливання - постійні величини. Отже, коливання пружинного маятника є гармонійним (рис. 1.7.2).

Мал. 1.7.2. Гармонічне коливання

Внаслідок періодичності косинуса різні стани коливальної системи повторюються через певний проміжок часу (період коливань) Т, протягом якого фаза коливання отримує збільшення 2π. Розрахувати період можна за допомогою рівності:

звідки слідує:

Число коливань в одиницю часу називається частотою:

За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Таку одиницю називають 1 Гц.

З (1.7.11) випливає, що:

Отже, ω 0 - це число коливань, що відбувається за 2 секунд. Величину 0 називають круговою або циклічною частотою. Використовуючи (1.7.12) та (1.7.13), запишемо:

Диференціюючи () за часом, отримаємо вираз для швидкості кульки:

З (1.7.15) випливає, що швидкість також змінюється за гармонійним законом і випереджає зміщення фазою на ½π. Диференціюючи (1.7.15), отримаємо прискорення:

1.7.2. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з нерозтяжної невагомої ниткина якій підвішено тіло, вся маса якого зосереджена в одній точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризують кутом φ, утвореним ниткою з вертикаллю (рис. 1.7.3).

Мал. 1.7.3. Математичний маятник

При відхиленні маятника від рівноваги виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху, враховуючи, що момент його інерції дорівнює ml 2:

Це рівняння можна привести до вигляду:

Обмежуючись випадком малих коливань sinφ ≈ φ і вводячи позначення:

рівняння (1.7.19) може бути подане так:

що збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. Отже, його вирішенням буде гармонійне коливання:

З (1.7.20) випливає, що циклічна частота коливань математичного маятника залежить від його довжини та прискорення вільного падіння. Використовуючи формулу для періоду коливань () та (1.7.20), отримаємо відоме співвідношення:

1.7.3. Фізичний маятник

Фізичним маятником називається тверде тілоздатне здійснювати коливання навколо нерухомої точки, що не збігається з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника знаходиться під точкою підвісу Про на одній з нею вертикалі (Рис. 1.7.4).

Мал. 1.7.4. Фізичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут φ виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

де m - маса маятника, l - відстань між точкою підвісу та центром інерції маятника.

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху, враховуючи, що момент його інерції дорівнює I:

Для малих коливань sinφ ≈ φ. Тоді, вводячи позначення:

що також збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. З рівнянь (1.7.27) та (1.7.26) випливає, що при малих відхиленнях фізичного маятникавід положення рівноваги він здійснює гармонійне коливання, частота якого залежить від маси маятника, моменту інерції та відстані між віссю обертання та центром інерції. За допомогою (1.7.26) можна обчислити період коливань:

Порівнюючи формули (1.7.28) та () отримаємо, що математичний маятник з довжиною:

матиме такий самий період коливань, як і розглянутий фізичний маятник. Величину (1.7.29) називають наведеною довжиноюфізичний маятник. Отже, наведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Крапка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром інерції, що лежить на відстані наведеної довжини від осі обертання, називається центром хитанняфізичний маятник. По теоремі Штайнера момент інерції фізичного маятника дорівнює:

де I 0 – момент інерції щодо центру інерції. Підставляючи (1.7.30) (1.7.29), отримаємо:

Отже, наведена довжина завжди більша за відстань між точкою підвісу і центром інерції маятника, так що точка підвісу і центр гойдання лежать по різні сторонивід центру інерції.

1.7.4. Енергія гармонійних коливань

При гармонійному коливанні відбувається періодичне взаємне перетворення кінетичної енергії коливається тіла Е до і потенційної енергії Е п, обумовленої дією квазіпружної сили. З цих енергій складається повна енергія Е коливальної системи:

Розпишемо останній вираз

Але до = mω 2 , тому отримаємо вираз для повної енергії тіла, що коливається

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання стала і пропорційна квадрату амплітуди і квадрату кругової частоти коливання.

1.7.5. Затухаючі коливання .

При вивченні гармонійних коливань не враховувалися сили тертя та опору, які існують у реальних системах. Дія цих сил суттєво змінює характер руху, коливання стає загасаючим.

Якщо в системі, крім квазіпружної сили, діють сили опору середовища (сили тертя), то другий закон Ньютона можна записати так:

де r - коефіцієнт тертя, що характеризує властивості середовища чинити опір руху. Підставимо (1.7.34б) у (1.7.34а):

Графік цієї функції показаний на рис.1.7.5 суцільною кривою 1, а штриховою лінією 2 зображено зміну амплітуди:

При дуже малому терті період загасаючого коливання близький до періоду незагасаючого вільного коливання(1.7.35.б)

Швидкість зменшення амплітуди коливань визначається коефіцієнтом згасання: чим більше β, тим сильніша гальмівна дія середовища і тим швидше зменшується амплітуда. На практиці, ступінь згасання часто характеризують логарифмічним декрементом згасаннярозуміючи під цим величину, рівну натурального логарифмувідносини двох послідовних амплітуд коливань, розділених інтервалом часу, рівним періоду коливань:

;

Отже, коефіцієнт загасання та логарифмічний декрементзгасання пов'язані досить простою залежністю:

При сильному згасанні формули (1.7.37) видно, що період коливання є уявною величиною. Рух у цьому випадку вже називається аперіодичним. Графік аперіодичного руху у вигляді показаний на рис. 1.7.6. Незагасні та загасаючі коливанняназивають власними або вільними. Вони виникають внаслідок початкового усунення або початкової швидкостіі відбуваються за відсутності зовнішнього впливуза рахунок спочатку накопиченої енергії.

1.7.6. Вимушені коливання. Резонанс .

Вимушеними коливаннями називаються такі, що виникають у системі за участю зовнішньої сили, Що змінюється за періодичним законом.

Припустимо, що на матеріальну точкукрім квазіпружної сили та сили тертя діє зовнішня сила, що змушує

,

де F 0 - Амплітуда; ω - кругова частота коливань сили, що змушує. Складемо диференціальне рівняння (другий закон Ньютона):

,

Амплітуда вимушеного коливання (1.7.39) прямо пропорційна амплітуді сили, що змушує, і має складну залежністьвід коефіцієнта згасання середовища та кругових частот власного та вимушеного коливання. Якщо 0 і β для системи задані, то амплітуда вимушених коливаньмає максимальне значення при деякій певній частотізмушує сили, званої резонансної.

Саме явище - досягнення максимальної амплітуди для заданих 0 і β - називають резонансом.

Мал. 1.7.7. Резонанс

За відсутності опору амплітуда вимушених коливань при резонансі дуже велика. У цьому з ω рез =ω 0 , тобто. резонанс у системі без згасання настає тоді, коли частота сили, що змушує, збігається з частотою власних коливань. Графічна залежність амплітуди вимушених коливань від кругової частоти примусової сили при різних значенняхкоефіцієнта згасання показано на рис. 5.

Механічний резонанс може бути як корисним, і шкідливим явищем. Шкідлива дія резонансу пов'язана головним чином із руйнуванням, яке може викликати. Так, у техніці, враховуючи різні вібрації, необхідно передбачати можливі виникненнярезонансних умов, в іншому випадку можуть бути руйнування та катастрофи. Тіла зазвичай мають кілька власних частот коливань і кілька резонансних частот.

Якщо коефіцієнт загасання внутрішніх органів людини був невеликий, то резонансні явища, що виникли в цих органах під впливом зовнішніх вібрацій або звукових хвиль, могли б призвести до трагічних наслідків: розриву органів, ушкодження зв'язок тощо. Однак такі явища при помірних зовнішніх впливах практично не спостерігаються, оскільки коефіцієнт загасання біологічних систем досить великий. Проте резонансні явища при дії зовнішніх механічних коливаньвідбуваються в внутрішніх органах. У цьому, мабуть, одна з причин негативного впливу інфразвукових коливань та вібрацій на організм людини.

1.7.7. Автоколивання

Існують і такі коливальні системи, які самі регулюють періодичне заповнення витраченої енергії і тому можуть коливатися тривалий час.

Незагасні коливання, які у будь-якій системі за відсутності змінного зовнішнього впливу, називаються автоколиваннями, а самі системи - автоколивальними.

Амплітуда та частота автоколивань залежать від властивостей у самій автоколивальній системі, на відміну від вимушених коливань вони не визначаються зовнішніми впливами.

У багатьох випадках автоколивальні системи можна уявити трьома основними елементами (рис.1.7.8): 1) власне коливальна система; 2) джерело енергії; 3) регулятор надходження енергії у власне коливальну систему. Коливальна система каналом зворотнього зв'язку(Рис. 6) впливає на регулятор, інформую регулятор про стан цієї системи.

Класичним прикладом механічної автоколивальної системи є годинник, в якому маятник або баланс є коливальною системою, пружина або піднята гиря - джерелом енергії, а анкер - регулятором надходження енергії від джерела в коливальну систему.

Багато біологічні системи(Серце, легені та ін) є автоколивальними. Характерний приклад електромагнітної автоколивальної системи – генератори автоколивальних коливань.

1.7.8. Складання коливань одного напряму

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармонічне коливання можна задати за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з деякою віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Якщо цей вектор обертається з кутовий швидкістюω 0 , його проекція на обрану вісь буде змінюватися за гармонійним законом. Виходячи з цього, виберемо деяку вісь Х і представимо коливання за допомогою векторів а1 і а2 (рис.1.7.9).

З рис.1.7.6 випливає, що

.

Схеми, у яких коливання зображуються графічно як векторів на площині, називаються векторними діаграмами.

З формули 1.7.40 випливає. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює, то амплітуда результуючого коливання дорівнює. Якщо частоти коливань, що складаються, не однакові, то вектори, відповідні цим коливанням будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з незмінною швидкістю. Отже, в результаті додавання виходить не гармонійне коливання, а складний коливальний процес.

1.7.9. Биття

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку мало відрізняються за частотою. Нехай частота одного з них дорівнює ω , а другого ω+∆ω, причому ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = cos ωt, x 2 = cos(ω+∆ω)t.

Склавши ці вирази і використовуючи формулу для суми косінусів, отримуємо:

Коливання (1.7.41) можна як гармонійне коливання частотою ω, амплітуда якого змінюється за законом . Ця функція є періодичною з частотою вдвічі перевищує частоту висловлювання, що стоїть під знаком модуля, тобто. із частотою ∆ω. Таким чином, частота пульсацій амплітуди, звана частотою биття, дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

1.7.10. Додавання взаємно перпендикулярних коливань (фігури Лісажу)

Якщо матеріальна точка здійснює коливання як вздовж осі х, так і вздовж осі у, то вона рухатиметься деякою криволінійною траєкторією. Нехай частота коливань однакова і початкова фаза першого коливання дорівнює нулю, тоді рівняння коливань запишемо як:

Рівняння (1.7.43) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані довільно щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та величина його півосей залежать від амплітуду а і b і різниці фаз α. Розглянемо деякі окремі випадки:

(m=0, ±1, ±2, …). У цьому випадку рівняння має вигляд

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, яке півосі рівні амплітудам (рис. 1.7.12). Якщо амплітуди рівні, то еліпс стає коло.

Рис.1.7.12

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на малу величину ∆ω, їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з різницею фаз, що повільно змінюється. У цьому випадку рівняння коливань можна записати

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

і вираз ∆ωt+α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається за кривою, що повільно змінюється, яка буде послідовно приймати форму, що відповідає всім значенням різниці фаз від -π до +π.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторія результуючого руху має вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Лісажу. Нехай, наприклад, частоти коливань, що складаються, відносяться як 1 : 2 і різницю фаз π/2. Тоді рівняння коливань мають вигляд

x = cos ωt, y = b cos.

За той час, поки вздовж осі х точка встигає переміститися з одного крайнього положення в інше, уздовж осі, вийшовши з нульового положення, вона встигає досягти одного крайнього положення, потім іншого і повернутися. Вигляд кривої показано на рис. 1.7.13. Крива при такому співвідношенні частот, але різниці фаз рівної нулю показана на рис.1.7.14. Відношення частот коливань, що складаються, назад відношенню числа точок перетину фігур Ліссажу з прямими, паралельними осям координат. Отже, за видом фігур Ліссажу можна визначити співвідношення частот коливань, що складаються, або невідому частоту. Якщо одна із частот відома.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чим ближче до одиниці раціональний дріб, що виражає відношення частот коливань, тим складніше фігури Ліссажу, що виходять.

1.7.11. Поширення хвиль у пружному середовищі

Якщо в будь-якому місці пружного (твердого рідкого або газоподібного) середовища збудити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання поширюватиметься в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю υ. процес поширення коливань у просторі називається хвилею.

Частинки середовища, у якій поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише коливання біля своїх положень рівноваги.

Залежно від напрямів коливань частинок стосовно напрямку, у якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні та поперечніхвилі. У поздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж поширення хвилі. У поперечній хвилі частки середовища коливаються у напрямах, перпендикулярних до напряму поширення хвиль. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 1.7.12 показано рух частинок при поширенні серед поперечної хвилі. Номерами 1,2 і т. д. позначені частинки відстають один від одного на відстань, що дорівнює (? υT), тобто. на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1, внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення рівноваги частка 2. Після наступу чверті періоду перша частина проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу рівний T, перша частка закінчить повний цикл коливання і перебуватиме в такому стані руху, як початковий момент. Хвиля на момент часу T, пройшовши шлях (υT), досягне частки 5.

Рис. 1.7.13 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування щодо поведінки частинок у поперечній хвилі можуть бути віднесені і до цього випадку із заміною зсувів вгору і вниз зсувами вправо і вліво.

З малюнка видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення, що чергуються, і розрядження частинок (місця згущення обведені на малюнку пунктиром), що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю υ.

Мал. 1.7.15

Мал. 1.7.16

На рис. 1.7.15 та 1.7.16 показані коливання частинок, положення, рівноваги яких лежать на осі x.Насправді коливаються як частинки, розташовані вздовж осі x,а сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерел коливань, хвильовий процес охоплює нові і нові частини простору, геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається фронтом хвилі(або хвильовим фронтом). Фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залучену в хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею . Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує безліч, тоді як хвильовий фронт кожен момент часу лише один. Хвильові поверхні залишаються не рухливими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в одній фазі ). Хвильовий фронт постійно переміщається.

Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин, у сферичній хвилі - безліч концентричних сфер.

Мал. 1.7.17

Нехай плоска хвиля поширюється вздовж осі x. Тоді всі точки сфери, положення, рівноваги яких мають однакову координату x(але відмінність значення координат yі z),коливаються у однаковій фазі.

Рис. 1.7.17 зображено криву, яка дає зміщення ξ із положення рівноваги точок з різними xу певний час. Не слід сприймати цей малюнок як видиме зображення хвилі. На малюнку показано графік функцій ξ (x, t)для деякого фіксованого моменту часу t.Такий графік можна будувати як для поздовжньої, так і для поперечної хвилі.

Відстань λ, на короткий поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що

де - швидкість хвилі, T- період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що коливаються з різницею фаз, що дорівнює 2π (див. рис. 1.7.14)

Замінивши у співвідношенні(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота коливань), отримаємо

До цієї формули можна прийти також з таких міркувань. За одну секунду джерело хвиль здійснює коливання ν, породжуючи в середовищі при кожному коливанні один "гребінь" і одну "впадину" хвилі. До того моменту, коли джерело завершуватиме - коливання, перший "гребінь" встигне пройти шлях υ. Отже, "гребенів" і "впадин" хвилі повинні вкластися в довжині υ.

1.7.12. Рівняння плоскої хвилі

Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливної частки як функцію її координат x, y, z та часу t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(маються на увазі координати рівноважного становища частинки). Ця функція має бути періодичною щодо часу t , і щодо координат x, y, z. . Періодичність за часом випливає з того, що точки, віддалені одна від одної на відстані λ , коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції ξ у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь x збігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярними до осі. x і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, ξ буде залежати тільки від x і t:

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Нехай коливання точок, що лежать у площині x = 0 (рис. 1.7.18), мають вигляд

Знайдемо вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню x . Для того, щоб пройти шлях від площини x=0 до цієї площині хвилі потрібен час( υ - швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині x , відставатимуть за часом на τ від коливань частинок у площині x = 0 , тобто. матимуть вигляд

Отже, рівняння плоскої хвилі(Поздовжньої, і поперечної), що поширюється в напрямку осі x , виглядає наступним чином:

Цей вираз визначає зв'язок між часом t і тим місцем x , В якому фаза має зафіксоване значення. Значення dx/dt, що випливає з нього, дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (1.7.48), отримаємо

Рівняння хвилі, що поширюється у бік спадання x :

При виведенні формули (1.7.53) ми припускали, що амплітуда коливань залежить від x . Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі з віддаленням від джерела коливань поступово зменшується - спостерігається згасання хвилі. Досвід показує, що в однорідному середовищі таке загасання відбувається за експоненційним законом:

Відповідно рівняння плоскої хвилі, з урахуванням згасання, має такий вигляд:

(1.7.54)

(a 0 – амплітуда у точках площині x = 0).