Як знайти характеристичний багаточлен матриці. Характеристичний багаточлен та характеристичні числа матриці

Нехай дана квадратна матриця порядку n. Характеристичною матрицею матриці Aназивають матрицю

=зі змінною λ, яка приймає будь-які числові значення.

Визначник матриці є багаточленом матриці є багаточленом. n-й ступеня від? Цей багаточлен називають характеристичним багаточленом матриці. А, Рівняння = 0 - її характеристичним рівнянням, а його коріння називається будь-який ненульовийвектор Х, Який задовольняє умові - число.

Число називається власним значенням перетворення width="201" height="75"> (*)

Якщо відомо власне значення λ , то всі власні вектори матриці А, Що належать цьому власному значенню, перебувають як ненульові рішення цієї системи. З іншого боку, ця однорідна система із квадратною матрицею А-λЕмає ненульові рішення Хтоді і тільки тоді, коли визначник матриці цієї системи дорівнює нулю λ належить розглянутому полю Р. Але це означає, що λ є коренем характеристичного багаточлена та належить полю Р. Таким чином, характеристичні числа матриці, що належать основному полю, і тільки вони є її власними значеннями. Для відшукання всіх своїх значень матриці АНеобхідно визначити всі її характеристичні числа і їх вибрати лише ті, які належать основному полю Р, а для відшукання всіх своїх векторів матриці Апотрібно знайти все ненульовірішення системи (*) при кожному власному значенні λ матриці А.

приклад 1.Знайти власні значення та власні вектори дійсної матриці .

Рішення.Характеристичний багаточлен матриці Амає вигляд:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(домножимо (2)-йстовпець на число (-2) і складемо з (1)-мстовпцем) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(домножимо (1)-йстовпець на число (-1) і складемо з (3)-мстовпцем) = =(домножимо (1)-юрядок на число (2) і складемо зі (2)-йрядком) = =(домножимо (2)-йстовпець на число (-2) і складемо з (3)-мстовпцем) =
.

Таким чином, характеристичний багаточлен має коріння λ1=6, λ2=λ3= – 3. Усі вони дійсні і тому є власними значеннями матриці А.

При λ=6 система ( А-λЕ)Х = 0має вигляд https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src= ">.

Її спільним рішенням є Х=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, воно дає загальний вигляд власних векторів матриці А, Що належать власному значенню = - 3.

Визначення

Для даної матриці , , де Е - одинична матриця, є багаточленом від , який називається характеристичним багаточленомматриці A(іноді також "віковим рівнянням" (secular equation)).

Цінність характеристичного багаточлена в тому, що власні значення матриці є його корінням. Справді, якщо рівняння має нульове рішення, то , отже матриця вироджена та її визначник дорівнює нулю.

Пов'язані визначення

Властивості

.

Посилання

• В. Ю. Кисельов, А. С. Пяртлі, Т. Ф. КалугінаВища математика. Лінійна алгебра . – Іванівський державний енергетичний університет.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Характеристична крива завдання
• Харальд III (король Норвегії)

Дивитись що таке "Характеристичний багаточлен матриці" в інших словниках:

Характеристичний багаточлен- В математиці характеристичний багаточлен може означати: характеристичний багаточлен матриці характеристичний багаточлен лінійної рекурентної послідовності характеристичний багаточлен звичайного диференціального рівняння.

ХАРАКТЕРИСТИЧНИЙ МНОГОЧЛЕН- матриці над полем До многочлен над полем К Ступінь X. м. дорівнює порядку квадратної матриці А, коефіцієнт b1 дорівнює сліду матриці.(b1 = tr A = a11+ а 22+.. головних мінорів т гопорядку, зокрема bn = detA ... Математична енциклопедія

Мінімальний багаточлен матриці- Цей термін має й інші значення, див. Мінімальний багаточлен. Мінімальний багаточлен матриці анулюючий унітарний багаточлен мінімального ступеня. Властивості Мінімальний багаточлен ділить характеристичний багаточлен матриці.

Лямбда-матриці- Основна стаття: Функції від матриць Лямбда матриця (λ матриця, матриця багаточленів) квадратна матриця, елементами якої є багаточлени над деяким числовим полем. Якщо є певний елемент матриці, який є багаточленом … Вікіпедія

СПЕКТР МАТРИЦІ- Сукупність її власних значень. також Характеристичний багаточлен матриці … Математична енциклопедія

Характеристичне число матриці- Червоний колір позначений власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напряму та довжину, тому є власним вектором, що відповідає власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору…

Подібні матриці- Квадратні матриці A і B однакового порядку називаються подібними, якщо існує невироджена матриця P того ж порядку, така що: Подібні матриці виходять при завданні одного й того ж лінійного перетворення матрицею в різних ... Вікіпедія

Характеристична матриця

Характеристичне рівняння- Характеристичний багаточлен – це багаточлен, що визначає власні значення матриці. Інше значення: Характеристичний багаточлен лінійної рекуренти це багаточлен. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Теорема Гамільтона- Теорема Гамільтона Келі відома теорема з теорії матриць, названа на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі. Теорема Гамільтона Келі Будь-яка квадратна матриця задовольняє своє характерне рівняння. Якщо … Вікіпедія

Визначення

Для даної матриці , , де Е- одинична матриця є багаточленом від , який називається характеристичним багаточленомматриці A(іноді також "віковим рівнянням" (secular equation)).

Цінність характеристичного багаточлена в тому, що власні значення матриці є його корінням. Справді, якщо рівняння має нульове рішення, то , отже матриця вироджена та її визначник дорівнює нулю.

Пов'язані визначення

Властивості

.

Посилання

• В. Ю. Кисельов, А. С. Пяртлі, Т. Ф. КалугінаВища математика. Лінійна алгебра . – Іванівський державний енергетичний університет.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Характеристичний багаточлен матриці" в інших словниках:

В математиці характеристичний багаточлен може означати: характеристичний багаточлен матриці характеристичний багаточлен лінійної рекурентної послідовності характеристичний багаточлен звичайного диференціального рівняння.

Матриці над полем До многочлен над полем К Ступінь X. м. дорівнює порядку квадратної матриці А, коефіцієнт b1 дорівнює сліду матриці.(b1 = tr A = a11+ а 22+.. мінорів т гопорядку, зокрема bn = detA ... Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Мінімальний многочлен. Мінімальний багаточлен матриці анулюючий унітарний багаточлен мінімального ступеня. Властивості Мінімальний багаточлен ділить характеристичний багаточлен матриці.

Основна стаття: Функції від матриць Лямбда матриця (λ матриця, матриця багаточленів) квадратна матриця, елементами якої є багаточлени над деяким числовим полем. Якщо є певний елемент матриці, який є багаточленом … Вікіпедія

Сукупність її власних значень. також Характеристичний багаточлен матриці … Математична енциклопедія

Червоний позначений власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напряму та довжину, тому є власним вектором, що відповідає власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору…

Квадратні матриці A і B однакового порядку називаються подібними, якщо існує невироджена матриця P того ж порядку, така що:

Характеристичний многочлен це багаточлен, що визначає власні значення матриці. Інше значення: Характеристичний багаточлен лінійної рекуренти це багаточлен. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Теорема Гамільтона Келі відома теорема з теорії матриць, названа на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі. Теорема Гамільтона Келі Будь-яка квадратна матриця задовольняє своє характерне рівняння. Якщо … Вікіпедія

Розглянемо квадратну матрицю А = ||аik||1n. Характеристичною матрицею для матриці називається матриця лЕ-А.

л - а 11 -а 12 ... -а 1n

лЕ-А = -а21 л - а22 ... -а 2n

….…………………… .

А n1 -а n2 … л - аnn

Визначник характеристичної матриці

? (Л) = | лЕ-А | = | л дik - аik | 1n

являє собою скалярний багаточлен щодо л і називається характерним багаточленом матриці А.

Матрицю В(л) = ||bik(л)||1n , де bik(л) - алгебраїчне доповнення елемента лдik - аik у визначнику?(л), ми називатимемо приєднаною матрицею для матриці А.

Щоб знайти старші члени характеристичного багаточлена, скористаємося тим, що величина визначника дорівнює сумі творів його елементів, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця та забезпечених належними знаками. Тому, щоб отримати член, який має відносно л найвищий ступінь, необхідно взяти добутки елементів найвищого ступеня. У нашому випадку таким твором буде лише один-твір діагональних елементів (л - а11) (л - а22) … (л - аnn). Всі інші твори, що входять до складу визначника, мають ступінь не вище n-2, тому що якщо один з множників такого твору буде - аik (i ? k), то цей твір не міститиме множниками л-аii, л-акк і буде, отже , ступеня трохи більше n-2. Таким чином, ?(л) = (л – а11) … (л – аm) + члени ступеня не вище n-2, або

?(л) = лn - (а11 + … + аnn) лn-1 + … (22)

Сума діагональних елементів матриці називається її слідом. Формула (22) показує, що ступінь характеристичного многочлена матриці дорівнює порядку цієї матриці, старший коефіцієнт характеристичного багаточлена дорівнює 1, а коефіцієнт при лn-1 дорівнює сліду матриці, взятому зі зворотним знаком.

Т е о р е м а 3. Характеристичні багаточлени подібних матриць рівні один одному.

З цієї теореми випливає, зокрема, що подібні матриці мають однакові сліди та визначники, тому що слід і визначник матриці, взяті з належними знаками, є коефіцієнтами її характеристичного багаточлена.

Коріння характеристичного багаточлена матриці називаються її характеристичними числами чи власними значеннями. Коротке коріння характеристичного багаточлена називаються кратними власними значеннями матриці. Відомо, що сума всіх речових і комплексних коренів багаточлена ступеня n, що має старший коефіцієнт 1, дорівнює взятому зі зворотним знаком коефіцієнту при (n-1) ступеня змінної. Формула (22) показує тому, що у полі комплексних чисел сума всіх своїх значень матриці дорівнює її сліду.

Т е о р е м а Г а м і л ь т о н а - К е л і. p align="justify"> Кожна матриця є коренем свого характеристичного багаточлена, тобто. ? (А) = 0.

?(л) = л - 2 -1 = лІ - 5л + 7,

?(А) = АІ - 5А + 7Е = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.