Найменшої дії є принцип. Принцип найменшої дії

Названий на честь Вільяма Гамільтона, який використовував цей принцип для побудови так званого гамільтонового формалізму в класичній механіці.

Принцип стаціонарності дії - найважливіший серед сімейства екстремальних принципів. Не всі фізичні системимають рівняння руху, які можна одержати з цього принципу, проте всі фундаментальні взаємодії йому підкоряються, у зв'язку з чим цей принцип є одним із ключових положень сучасної фізики. Одержувані з його допомогою рівняння руху мають назву рівнянь Ейлера-Лагранжа.

Перше формулювання принципу дав П. Мопертюї (фр. P. Maupertuis) в 1744 році, відразу ж вказавши на його універсальну природу і вважаючи його придатним до оптики та механіки. З цього принципу він вивів закони відображення та заломлення світла.

У 1746 році Мопертюї в новій роботіпогодився з думкою Ейлера і проголосив найзагальнішу версію свого принципу: «Коли у природі відбувається деяка зміна, кількість дії, необхідне цього зміни, є найменшим можливим. Кількість дії є добуток маси тіл на їхню швидкість і на відстань, яку вони пробігають». У широкої дискусії, що розгорнулася, Ейлер підтримав пріоритет Мопертюї і аргументував загальний характер нового закону: «вся динаміка і гідродинаміка можуть бути з дивовижною легкістю розкриті за допомогою одного тільки методу максимумів і мінімумів».

Новий етап розпочався у 1760-1761 роках, коли Жозеф Луї Лагранж ввів суворе поняття варіації функції, надав варіаційного числення сучасний вигляді поширив принцип найменшого на довільну механічну систему (тобто як на вільні матеріальні точки). Тим самим було започатковано аналітичної механіки. Подальше узагальнення принципу здійснив Карл Густав Якоб Якобі в 1837 році - він розглянув проблему геометрично, як знаходження екстремалей варіаційного завдання в конфігураційному просторі з неевклідовою метрикою. Зокрема, Якобі зазначив, що за відсутності зовнішніх силтраєкторія системи є геодезичну лінію в конфігураційному просторі.

Слід зазначити, що з умов завдання принципово можна знайти закон руху, це автоматично неозначає, що можна побудувати функціонал, що набуває стаціонарного значення при істинному русі. Прикладом може бути спільний рух електричних зарядівта монополів - магнітних зарядів- В електромагнітному полі. Їхні рівняння руху неможливо вивести з принципу стаціонарності дії. Аналогічно деякі гамільтонові системи мають рівняння руху, які не виводяться з цього принципу.

Тривіальні приклади допомагають оцінювати використання принципу дії через рівняння Ейлера-Лагранжа. Вільна частка (маса mта швидкість v) в евклідовому просторі переміщається прямою лінією. Використовуючи рівняння Ейлера Лагранжа, це можна показати в полярних координатах наступним чином. За відсутності потенціалу функція Лагранжа просто дорівнює кінетичної енергії

У квантової теоріїПоля принцип стаціонарності дії також успішно застосовується. У лагранжеву густину тут входять оператори відповідних квантових полів. Хоча правильніше тут по суті (за винятком класичної межі і частково квазікласики) говорити не про принцип стаціонарності дії, а про фейнманівське інтегрування по траєкторіях у конфігураційному або фазовому просторі цих полів - з використанням згаданої щойно лагранжової щільності.

Ширше, під впливом розуміють функціонал, що задає відображення з конфігураційного простору на безліч дійсних чиселі, загалом, не повинен бути інтегралом, оскільки нелокальні події у принципі можливі, по крайнього заходу, теоретично. Більше того, конфігураційний простір не обов'язково є функціональним простором, тому що може мати

Ми коротко розглянули один з найбільш чудових фізичних принципів- принцип найменшого дії, і зупинилися з прикладу, який, начебто, йому суперечить. У цій статті ми розберемося з цим принципом трохи докладніше і подивимося, що відбувається в даному прикладі.

На цей раз нам знадобиться трохи більше математики. Однак основну частину статті я знову намагатимуся викласти на елементарному рівні. Трохи суворіші та складніші моменти я виділятиму кольором, їх можна пропустити без шкоди для основного розуміння статті.

Граничні умови
Почнемо ми з найпростішого об'єкта – кулі, що вільно рухається в просторі, на яку не діють жодні сили. Така куля, як відомо, рухається рівномірно та прямолінійно. Для простоти, припустимо, що він рухається вздовж осі

Щоб точно описати його рух, зазвичай задаються початкові умови. Наприклад задається, що в початковий моментчасу

куля знаходилася в точці

з координатою

і мав швидкість

Задавши початкові умови в такому вигляді, ми однозначно визначаємо подальший рух кулі - він рухатиметься з постійною швидкістю, та його становище в момент часу

дорівнюватиме початковому положенню плюс швидкість, помножена на час:

Такий спосіб завдання початкових умовдуже природний та інтуїтивно звичний. Ми поставили всю необхідну інформаціюпро рух кулі у початковий час, і далі його рух визначається законами Ньютона.

Однак це не єдиний спосібзавдання руху кулі. Інший альтернативний спосіб - це задати положення кулі в два різні моменти часу

Тобто. поставити, що:
1) у момент часу

куля знаходилася в точці

(З координатою

);
2) у момент часу

куля знаходилася в точці

(З координатою

Вираз «перебував у точці

» не означає, що куля спочивала в точці

У момент часу

він міг пролітати через крапку

Мається на увазі, що його становище в момент часу

збігалося з точкою

Те саме стосується і точки

Ці дві умови також однозначно визначають рух кулі. Його рух легко вирахувати. Щоб задовольнити обох умов, швидкість кулі, очевидно, повинна бути

Положення кулі в момент часу

буде знову дорівнює початковому становищу плюс швидкість, помножена на час:

Зауважте, що в умовах завдання нам не потрібно було ставити початкову швидкість. Вона однозначно визначилася з умов 1) та 2).

Завдання умов другим способом виглядає незвично. Можливо, незрозуміло навіщо взагалі може знадобитися задавати їх у такому вигляді. Однак, у принципі найменшої дії використовуються саме умови у вигляді 1) та 2), а не у вигляді завдання початкового стану та початкової швидкості.

Траєкторія з найменшою дією.
Тепер трохи відвернемося від реального вільного руху кулі та розглянемо наступне суто математичне завдання. Припустимо, у нас є куля, яку ми можемо вручну переміщати будь-яким способом. При цьому нам потрібно виконати умови 1) та 2). Тобто. у проміжок часу між

ми повинні перемістити його з точки

Це можна зробити зовсім різними способами. Кожен такий спосіб ми будемо називати траєкторією руху кулі і він може бути описаний функцією положення кулі від часу

Відкладемо кілька таких траєкторій на графіку залежності положення кульки від часу:

Наприклад, ми можемо переміщати кульку з тією самою швидкістю, що дорівнює

(зелена траєкторія). Або ми можемо половину часу тримати його у точці

А потім із подвійною швидкістю перемістити в точку

(Синя траєкторія). Можна спершу рухати його в протилежну від

бік, а потім вже перемістити в

(коричнева траєкторія). Можна рухати його взад і вперед (червона траєкторія). Загалом, можна пересувати його як завгодно, аби дотримувалися умови 1) та 2).

Для кожної такої траєкторії ми можемо порівняти число. У прикладі, тобто. без будь-яких сил, що діють на кулю, це число дорівнює загальної накопиченої кінетичної енергії за весь час його руху в проміжок часу між

і називається дією.

У даному випадкуслово "накопичена" кінетична енергія не дуже точно передає сенс. Реально кінетична енергія ніде не накопичується, накопичення використовується лише обчислення дії для траєкторії. У математиці для такого накопичення є дуже гарне поняття- інтеграл:

Дія зазвичай позначається буквою

означає кінетичну енергію. Цей інтеграл означає, що дія дорівнює накопиченій кінетичній енергії кулі за проміжок часу від

Як приклад, давайте візьмемо кулю масою 1 кг., задамо якісь граничні умови і обчислимо дію для двох різних траєкторій. Нехай крапка

знаходиться на відстані 1 метр від точки

відстоїть від часу

на секунду. Тобто. ми повинні перемістити кулю, яка в початковий момент часу була в точці

За одну секунду на відстань 1 м. вздовж осі

У першому прикладі (зелена траєкторія) ми переміщали кулю поступово, тобто. з однаковою швидкістю, яка, очевидно, повинна дорівнювати:

м/с. Кінетична енергія кулі в кожний момент часу дорівнює:

1/2 Дж. За одну секунду накопичиться 1/2 Дж

з кінетичної енергії. Тобто. дійство для такої траєкторії дорівнює:

Тепер давайте кулю не відразу переноситимемо з точки

А півсекунди притримаємо його у точці

А потім, за час, що залишився, рівномірно перенесемо його в точку

У перші півсекунди куля спочиває і її кінетична енергія дорівнює нулю. Тому внесок у дію цієї частини траєкторії також дорівнює нулю. Другі півсекунди ми переносимо кулю з подвійною швидкістю:

м/с. Кінетична енергія при цьому дорівнюватиме

2 Дж. Вклад цього проміжку часу на дію дорівнюватиме 2 Дж помножити на півсекунди, тобто. 1 Дж

с. Тому спільна діядля такої траєкторії виходить одно

Аналогічно, будь-який інший траєкторії із заданими нами крайовими умовами 1) і 2) відповідає деяке число, що дорівнює дії для даної траєкторії. Серед усіх таких траєкторій є траєкторія, у якої найменша дія. Можна довести, що траєкторією є зелена траєкторія, тобто. рівномірний рухкулі. Для будь-якої іншої траєкторії, якою б хитрою вона не була, дія буде більшою за 1/2.

У математиці таке зіставлення кожної функції певного числа називається функціоналом. Досить часто у фізиці та математиці виникають завдання подібні до нашої, тобто. на відшукання такої функції, на яку значення певного функціонала мінімально. Наприклад, одне із завдань, які мали велике історичне значеннядля розвитку математики – це завдання про бахістохроні. Тобто. знаходження такої кривої, по якій кулька скочується найшвидше. Знову, кожну криву можна уявити функцією h(x), і кожної функції зіставити число, у разі час скочування кульки. Знову завдання зводиться до знаходження такої функції, котрій значення функціонала мінімально. Область математики, яка займається такими завданнями, називається варіаційним обчисленням.

Принцип найменшого впливу.
У розібраних вище прикладах ми з'явилися дві спеціальні траєкторії, отримані двома різними способами.

Перша траєкторія отримана із законів фізики і відповідає реальній траєкторії вільної кулі, на яку не діють жодні сили і для якої задані граничні умови у вигляді 1) та 2).

Друга траєкторія отримана з математичного завданнязнаходження траєкторії із заданими граничними умовами 1) та 2), для якої дія мінімальна.

Принцип найменшої дії стверджує, що ці дві траєкторії мають співпадати. Іншими словами, якщо відомо, що кулька рухалася так, що виконувались граничні умови 1) і 2), то вона обов'язково рухалася по траєкторії, для якої дія мінімальна порівняно з будь-якою іншою траєкторією з тими самими граничними умовами.

Можна було б вважати це простим збігом. Чи мало завдань, у яких з'являються рівномірні траєкторії та прямі лінії. Однак принцип найменшої дії виявляється дуже загальним принципом, справедливим та інших ситуаціях, наприклад, для руху кулі в рівномірному полі тяжкості. Для цього тільки потрібно замінити кінетичну енергію на різницю кінетичної та потенційної енергії. Цю різницю називають Лагранжіаном або функцією Лагранжа і дія тепер стає рівною загальному накопиченому Лагранжіану. Фактично, функція Лагранжа містить усю необхідну інформацію про динамічні властивості системи.

Якщо ми запустимо кулю в рівномірному полі тяжкості таким чином, щоб вона пролетіла крапку

у момент часу

і прилетів у крапку

у момент часу

То він, згідно із законами Ньютона, полетить по параболі. Саме ця парабола збігатиметься з траєкторій, для якої дія буде мінімальною.

Таким чином, для тіла, що рухається в потенційному полі, наприклад, гравітаційному полі Землі, функція Лагранжа дорівнює:

Кінетична енергія

залежить від швидкості тіла, а потенційна - з його становища, тобто. координат

В аналітичній механіці всю сукупність координат, що визначають положення системи, зазвичай позначають однією літерою

Для кулі, що вільно рухається в полі тяжкості,

означає координати

Для позначення швидкості зміни будь-якої величини у фізиці дуже часто просто ставлять крапку над цією величиною. Наприклад,

позначає швидкість зміни координати

Або, іншими словами, швидкість тіла у напрямку

Використовуючи ці угоди, швидкість нашої кулі в аналітичній механіці позначається як

означає компоненти швидкості

Оскільки функція Лагранжа залежить від швидкості і координат, а також може явно залежати від часу (явно залежить від часу означає, що значення

в різні моменти часу різне, при однакових швидкостях і положеннях кулі) то дія в загальному виглядізаписується як

Не завжди мінімальне
Однак наприкінці попередньої частини ми розглянули приклад, коли принцип найменшої дії явно не працює. Для цього ми знову взяли вільну кульку, на яку не діють жодні сили і помістили поряд з нею пружну стінку.

Граничні умови ми поставили такими, що точки

збігаються. Тобто. і в момент часу

і в момент часу

куля повинна опинитися в одній і тій же точці

Однією з можливих траєкторій буде стояння кулі на місці. Тобто. весь проміжок часу між

він простоїть у точці

Кінетична і потенційна енергія в цьому випадку дорівнюватимуть нулю, тому дія для такої траєкторії також дорівнюватиме нулю.

Строго кажучи, потенційну енергію можна взяти рівною не нулю, а будь-якому числу, оскільки важлива різниця потенційної енергії в різних точкахпростору. Однак зміна значення потенційної енергії не впливає на пошук траєкторії з мінімальною дією. Просто для всіх траєкторій значення дії зміниться на те саме число, і траєкторія з мінімальною дією так і залишиться траєкторією з мінімальною дією. Для зручності, для нашої кулі ми виберемо потенційну енергію, що дорівнює нулю.

Іншою можливою фізичною траєкторією з тими ж граничними умовами буде траєкторія, при якій кулька спочатку летить вправо, пролітаючи крапку.

у момент часу

Потім він стикається з пружиною, стискає її, пружина, розпрямляючись, відштовхує кульку назад, і він знову пролітає повз крапку

Можна підібрати швидкість руху кулі такою, щоб вона, відскочивши від стінки, пролетіла крапку

точно в момент

Дія за такої траєкторії буде в основному рівно накопиченої кінетичної енергії під час польоту між точкою

і стінкою та назад. Буде якийсь проміжок часу, коли кулька стисне пружину і її потенційна енергія збільшиться, і в цей проміжок часу потенційна енергія зробить негативний внесок у дію. Але такий проміжок часу буде не дуже великим і сильно не зменшить дію.

На малюнку намальовані обидві фізично можливі траєкторії руху кулі. Зелена траєкторія відповідає кулі, що покоїться, у той час як синя відповідає кулі, що відскочила від пружинної стінки.

Однак мінімальну дію має тільки одна з них, а саме перша! У другій траєкторії дія більша. Виходить, що в цьому завданні є дві фізично можливі траєкторії і всього одна з мінімальною дією. Тобто. у разі принцип найменшого дії не працює.

Стаціонарні точки.
Щоб зрозуміти в чому тут справа, давайте відвернемося поки що від принципу найменшої дії і займемося звичайними функціями. Давайте візьмемо якусь функцію

та намалюємо її графік:

На графіку я відзначив зеленим кольоромчотири особливі точки. Що загальне для цих точок? Уявимо, що графік функції – це реальна гірка, якою може котитися кулька. Чотири позначені точки особливі тим, що якщо встановити кульку точно в дану точку, то він нікуди не покотиться. В інших точках, наприклад, точці E він не зможе встояти на місці і почне скочуватися вниз. Такі точки називають стаціонарними. Знаходження таких точок є корисним завданням, оскільки будь-який максимум або мінімум функції, якщо вона не має різких зламів, обов'язково має бути стаціонарною точкою.

Якщо точніше класифікувати ці точки, то точка A є абсолютним мінімумом функції, тобто. її значення менше, ніж будь-яке інше значення функції. Точка B - не є ні максимумом, ні мінімумом і називається сідловою точкою. Точка С називається локальним максимумом, тобто. значення у ній більше, ніж у сусідніх точках функції. А точка D – локальним мінімумом, тобто. значення у ній менше, ніж у сусідніх точках функції.

Пошуком таких точок займається розділ математики, який називається математичним аналізом. Інакше його іноді називають аналізом нескінченно малих, оскільки він вміє працювати з нескінченно малими величинами. З точки зору математичного аналізустаціонарні точки мають одну особливу властивість, завдяки якій їх і знаходять. Щоб зрозуміти, що це за властивість, нам потрібно зрозуміти, як виглядає функція дуже малих відстанях від цих точок. Для цього ми візьмемо мікроскоп і подивимося на наші точки. На малюнку показано як виглядає функція в околиці різних точокпри різному збільшенні.

Видно, що при дуже великому збільшенні (тобто при дуже малих відхиленнях x) стаціонарні точки виглядають абсолютно однаково та сильно відрізняються від нестаціонарної точки. Легко зрозуміти у чому полягає ця відмінність – графік функції у стаціонарній точці зі збільшенням стає строго горизонтальної лінією, а нестаціонарної – похилої. Саме тому кулька, встановлена ​​в стаціонарній точці, не скочуватиметься.

Горизонтальність функції в стаціонарній точці можна виразити інакше: функція в стаціонарній точці практично не змінюється при дуже малій зміні свого аргументу

Навіть порівняно із самою зміною аргументу. Функція ж у нестаціонарній точці при малій зміні

змінюється пропорційно до зміни

І що більше кут нахилу функції, то сильніше змінюється функція за зміни

Насправді, функція зі збільшенням стає дедалі більше схожа дотичну до графіку в точці.

На суворому математичною мовоювираз «функція практично не змінюється в точці

при дуже малій зміні

» означає, що відношення зміни функції та зміни її аргументу

прагне до 0 при

що прагне до 0:

$$display$$lim_(∆x to 0) frac (∆y(x_0))(∆x) = lim_(x to 0) frac (y(x_0+∆x)-y(x_0))(∆x) = 0$$display$$

Для нестаціонарної точки це ставлення прагне ненульовому числу, яке дорівнює тангенсу кута нахилу функції у цій точці. Це число називають похідної функції у цій точці. Похідна функції показує, наскільки швидко змінюється функція біля цієї точки при невеликій змініїї аргументу

Отже, стаціонарні точки – це точки, у яких похідна функції дорівнює 0.

Стаціонарні траєкторії.
За аналогією зі стаціонарними точками можна запровадити поняття стаціонарних траєкторій. Згадаймо, що у нас кожній траєкторії відповідає певне значенняподії, тобто. якесь число. Тоді може бути така траєкторія, що з близьких до неї траєкторій із тими самими граничними умовами, відповідні їм значення дії мало відрізнятимуться від дії для самої стаціонарної траєкторії. Така траєкторія називається стаціонарною. Іншими словами, будь-яка траєкторія близька до стаціонарної мати значення дії, дуже мало відрізняється від дії для цієї стаціонарної траєкторії.

Знову, математичною мовою «мало відрізняється» має наступний точний зміст. Припустимо, що у нас заданий функціонал

для функцій із необхідними граничними умовами 1) та 2), тобто.

Припустимо, що траєкторія

- Стаціонарна.

Ми можемо взяти будь-яку іншу функцію

Таку, що на кінцях вона приймає нульові значення, тобто.

0. Також візьмемо змінну

Яку ми робитимемо все менше і менше. З цих двох функцій та змінної

ми можемо скласти третю функцію

Яка також задовольнятиме граничним умовам

При зменшенні

траєкторія, що відповідає функції

Буде все сильніше наближатися до траєкторії

При цьому для стаціонарних траєкторій при малих

значення функціоналу у траєкторій

буде відрізнятися дуже мало від значення функціоналу для

навіть у порівнянні з

$$display$$lim_(ε to 0) frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=lim_(ε to 0) frac (S(x(t)+εg(t) ))-S(x(t)))ε = 0$$display$$

До чого це має бути справедливо для будь-якої траєкторії

Задовольняє граничним умовам

Зміна функціоналу при малій зміні функції (точніше, лінійна частиназміни функціоналу, пропорційна зміні функції) називається варіацією функціоналу та позначається

Від терміна «варіація» і походить назва «варіаційне обчислення».

Для стаціонарних траєкторій варіація функціоналу

Метод знаходження стаціонарних функцій (як для принципу найменшого дії, а й багатьох інших завдань) знайшли два математика - Ейлер і Лагранж. Виявляється, що стаціонарна функція, чий функціонал виражається інтегралом, подібним до інтегралу дії, повинна задовольняти певному рівнянню, яке тепер називається рівнянням Ейлера-Лагранжа.

Принцип стаціонарного впливу.
Ситуація з мінімумом дії для траєкторій аналогічна ситуації з мінімумом функцій. Щоб траєкторія мала найменшою дією, вона повинна бути стаціонарною траєкторією. Проте чи всі стаціонарні траєкторії – це траєкторії з мінімальною дією. Наприклад, стаціонарна траєкторія може мати мінімальну дію локально. Тобто. у неї дія буде меншою, ніж у будь-якої іншої сусідньої траєкторії. Однак десь далеко можуть бути інші траєкторії, для яких дія буде ще меншою.

Виявляється, реальні тіламожуть рухатися не обов'язково траєкторіями з найменшою дією. Вони можуть рухатися ширшим набором спеціальних траєкторій, а саме - стаціонарним траєкторіям. Тобто. реальна траєкторія тіла завжди буде стаціонарною. Тому принцип найменшого впливу правильніше назвати принципом стаціонарного впливу. Однак за традицією, що склалася, його часто називають принципом найменшої дії, маючи на увазі за цим не тільки мінімальність, а й стаціонарність траєкторій.

Тепер ми можемо записати принцип стаціонарної дії математичною мовою, як її зазвичай записують у підручниках:

Це узагальнені координати, тобто. набір чисел, що однозначно задає положення системи.

Швидкість зміни узагальнених координат.

Функція Лагранжа, яка залежить від узагальнених координат, їх швидкостей та, можливо, часу.

Дія, яка залежить від конкретної траєкторії руху системи (тобто від

Реальні траєкторії системи стаціонарні, тобто. для них варіація дії

Якщо повернутись наприклад з кулею і пружною стінкою, то пояснення цієї ситуації тепер стає дуже простим. За заданих граничних умов, що куля повинна і під час

і під час

опинитися в точці

існують дві стаціонарні траєкторії. І за будь-якою з цих траєкторій може реально рухатися куля. Щоб явно вибрати одну з траєкторій, на рух кулі можна накласти додаткову умову. Наприклад, сказати, що куля має відскочити від стінки. Тоді траєкторія визначиться однозначно.

З принципу найменшої (точніше стаціонарної) дії випливають деякі чудові наслідки, про які ми поговоримо у наступній частині.

Принцип найменшої дії, вперше точно сформульований Якобі, аналогічний принципу Гамільтона, але менш загальний і важчий для доказу. Цей принцип застосовується тільки до того випадку, коли зв'язки та силова функція не залежать від часу і, отже, існує інтеграл живої сили.

Цей інтеграл має вигляд:

Принцип Гамільтона, викладений вище, стверджує, що варіація інтеграла

дорівнює нулю при переході дійсного руху до будь-якого іншого нескінченно близького руху, який переводить систему з того самого початкового положення в той же кінцевий стан за той самий проміжок часу.

Принцип Якобі, навпаки, виражає властивість, рухи, що не залежить від часу. Якобі розглядає інтеграл

визначальний дію. Встановлений ним принцип стверджує, що варіація цього інтеграла дорівнює нулю, коли ми порівнюємо дійсний рух системи з будь-яким іншим нескінченно близьким рухом, що переводить систему з того самого початкового положення в той же кінцевий стан. При цьому ми не звертаємо уваги на проміжок часу, що витрачається, але дотримуємось рівняння (1), тобто рівняння живої сили з тим же значенням постійної h, що і в дійсному русі.

Це необхідна умоваекстремуму приводить, взагалі кажучи, до мінімуму інтеграла (2), звідки і походить назва принцип найменшої дії. Умова мінімуму є найбільш природною, оскільки величина Т істотно позитивна, і тому інтеграл (2) необхідно мати мінімум. Існування мінімуму може бути суворо доведено, якщо проміжок часу - досить малий. Доказ цього можна знайти у відомому курсі Дарбу з теорії поверхонь. Ми, однак, не наводитимемо його тут і обмежимося виведенням умови

432. Доказ принципу найменшої дії.

При дійсному обчисленні ми зустрічаємося з одним складним трудом, якого немає в доказі теореми Гамільтона. Змінна t не залишається більш незалежною від варіацій; тому варіації q i та q. пов'язані з варіацією t складним співвідношенням, яке випливає з рівняння (1). Найпростіший спосіб обійти це утруднення полягає в тому, щоб змінити незалежну змінну, вибравши таку, значення якої розташовувалися б між постійними межами, що не залежать від часу. Нехай є нова незалежна змінна, межі якої і передбачаються не залежать від t. При переміщенні системи параметри та t будуть функціями від цієї змінної

Нехай літери зі штрихами q позначатимуть похідні від параметрів q за часом.

Оскільки зв'язки, за припущенням, не залежить від часу, то декартові координатих, у, z є функціями від q, що не містять часу. Тому їх похідні будуть однорідними лінійними функціями від q і 7 буде однорідною квадратичною формою від q, коефіцієнти якої суть функції від q. Маємо

Щоб відрізняти похідні q за часом, позначимо за допомогою дужок, (q), похідні від q, взяті за і покладемо відповідно до цього

тоді матимемо

і інтеграл (2), виражений через нову незалежну змінну А, набуде вигляду;

Похідну можна виключити з допомогою теореми живої сили. Справді, інтеграл живої сили буде

Підставивши цей вираз у формулу для наведемо інтеграл (2) до виду

Інтеграл, що визначає дію, набув, таким чином, остаточного вигляду (3). Підінтегральна функція є квадратний коріньз квадратичної формивід величин

Покажемо, що диференційне рівнянняекстремалей інтеграла (3) є точності рівняння Лагранжа. Рівняння екстремалей, на підставі загальних формулваріаційного обчислення, будуть:

Помножимо рівняння на 2 і виконаємо приватні диференціювання, зважаючи на те, що не містить тоді отримаємо, якщо не писати індексу ,

Це рівняння екстремалей, виражені через незалежну змінну. Завдання полягає тепер у тому, щоб повернутися до незалежної змінної.

Оскільки Г є однорідна функція другого ступеня від - однорідна функція першого ступеня, то маємо

З іншого боку, до множників при похідних у рівняннях екстремалей можна застосувати теорему живої сили, яка призводить, як ми бачили вище, до підстановки

В результаті всіх підстановок рівняння екстремалей наводяться до вигляду

Таким чином, ми прийшли до рівнянь Лагранжа.

433. Випадок, коли немає рушійних сил.

У випадку, коли рушійних силні, рівняння живої сили є і ми маємо

Умова, що інтеграл є мінімум, полягає в даному випадку в тому, що відповідне значення -10 має бути найменшим. Таким чином, коли рушійних сил немає, то серед усіх рухів, при яких жива силазберігає одне й те саме дане значення, Реальний рух є те, що переводить систему з її початкового положення в кінцеве положення в найкоротший час.

Якщо система зводиться до однієї точки, що рухається нерухомою поверхнею, то дійсний рух, серед усіх рухів по поверхні, що відбуваються з тією ж швидкістю, є такий рух, при якому точка переходить зі свого початкового положення в кінцеве положення в найкоротший

проміжок часу. Інакше кажучи, точка описує на поверхні найкоротшу лініюміж двома її положеннями, тобто геодезичну лінію.

434. Зауваження.

Принцип найменшої дії передбачає, що система має кілька ступенів свободи, оскільки якби була лише одна ступінь свободи, то одного рівняння було б достатньо для визначення руху. Так як рух може бути в даному випадку цілком визначено рівнянням живої сили, то дійсний рух буде єдиним, що задовольняє цього рівняння, і тому не може бути порівнюваним з іншим рухом.

Коли я вперше дізнався про цей принцип, у мене виникло відчуття якоїсь містики. Таке враження, що природа таємниче перебирає все можливі шляхируху системи та вибирає з них найкращий.

Сьогодні я хочу трохи розповісти про один із найчудовіших фізичних принципів – принцип найменшої дії.

Передісторія

З часів Галілея було відомо, що тіла, на які не діють жодні сили, рухаються прямими лініями, тобто найкоротшим шляхом. По прямих лініях поширюються і світлові промені.

При відображенні світло також рухається таким чином, щоб дістатися з однієї точки до іншої найкоротшим шляхом. На картинці найкоротшим буде зелений шлях, при якому кут падіння дорівнює кутувідображення. Будь-який інший шлях, наприклад, червоний, виявиться довшим.

Це нескладно довести, просто відобразивши шляхи променів на протилежний біквід дзеркала. На зображенні вони показані пунктиром.

Видно, що зелений шлях ACB перетворюється на пряму ACB'. А червоний шлях перетворюється на зламану лінію ADB', яка, звичайно, довша за зелену.

У 1662 році П'єр Ферма припустив, що швидкість світла в щільній речовині, наприклад, у склі, менша, ніж у повітрі. До цього загальноприйнятою була версія Декарта, згідно з якою швидкість світла в речовині повинна бути більшою, ніж у повітрі, щоб виходив правильний законзаломлення. Для Ферма припущення, що світло може рухатися в більш щільному середовищі швидше, ніж у розрідженому здавалося протиприродним. Тому він припустив, що все навпаки і довів дивовижна річ– при такому припущенні світло переломлюється так, щоб досягти призначення за мінімальний час.

На малюнку знову зеленим кольором показаний шлях, яким насправді рухається світловий промінь. Шлях, позначений червоним кольором, є найкоротшим, але не найшвидшим, тому що світові доводиться більший шлях проходити у склі, а в ньому його швидкість менша. Найшвидшим є реальний шлях проходження світлового променя.

Всі ці факти наводили на думку, що природа діє якимось раціональним чином, світло і тіла рухаються найбільш оптимально, витрачаючи якнайменше зусиль. Але що це за зусилля і як їх порахувати залишалося загадкою.

У 1744 році Мопертюї вводить поняття «дії» і формулює принцип, згідно з яким справжня траєкторія частки відрізняється від будь-якої іншої тим, що дія для неї є мінімальною. Однак сам Мопертюї, так і не зміг дати чіткого визначення чому ця дія. Суворе математичне формулювання принципу найменшої дії було розроблено вже іншими математиками – Ейлером, Лагранжем, і остаточно було дано Вільямом Гамільтоном:

Математичною мовою принцип найменшої дії формулюється досить коротко, проте не для всіх читачів може бути зрозумілий зміст позначень, що використовуються. Я хочу спробувати пояснити цей принцип більш наочно та простими словами.

Вільне тіло

Отже, уявіть, що ви сидите в машині в точці і в даний момент вам дана просте завдання: до моменту часу вам потрібно доїхати машиною до точки .

Паливо для машини дорого коштує і, звичайно, вам хочеться витратити його якнайменше. Машина у вас зроблена за новітніми супер-технологіями і може розганятися або гальмувати як завгодно швидко. Проте, влаштована вона так, що чим швидше вона їде, то більше споживає палива. Причому споживання палива пропорційне квадрату швидкості. Якщо ви їдете вдвічі швидше, то за той самий проміжок часу споживаєте вчетверо більше палива. Крім швидкості, на споживання палива, звичайно, впливає і маса автомобіля. Чим важчий наш автомобіль, тим більше палива він споживає. У нашого автомобіля споживання палива в кожний момент часу рівне, тобто. точно точно кінетичної енергії автомобіля.

То як же треба їхати, щоб дістатися пункту до точно призначеного часу і витратити палива якнайменше? Зрозуміло, що їхати треба прямою. При збільшенні відстані палива, що проїжджається, витратиться точно не менше. А далі можна вибрати різні тактики. Наприклад, можна швидко приїхати в пункт заздалегідь і просто посидіти, почекати, коли настане час. Швидкість їзди, а значить і споживання палива в кожний момент часу, при цьому вийде великий, але й час їзди скоротиться. Можливо, загальна витрата палива при цьому буде не така вже й велика. Або можна їхати рівномірно, з однією і тією ж швидкістю, такою, щоб, не поспішаючи, точно приїхати в момент часу. Або частину шляху проїхати швидко, а частина повільніша. Як краще їхати?

Виявляється, що найоптимальніший, найекономніший спосіб їзди - це їхати з постійною швидкістю, такою, щоб опинитися в пункті в точно призначений час. При будь-якому іншому варіанті палива витрачається більше. Можете самі перевірити на кількох прикладах. Причина полягає в тому, що споживання палива зростає пропорційно квадрату швидкості. Тому зі збільшенням швидкості споживання палива зростає швидше, ніж скорочується час їзди, і загальна витрата палива також зростає.

Отже, ми з'ясували, що якщо автомобіль у кожний момент часу споживає паливо пропорційно своєї кінетичної енергії, то найекономніший спосіб дістатися з точки в крапку до точно призначеного часу - це їхати рівномірно і прямолінійно, точно так, як рухається тіло без діючих на нього сил. Будь-який інший спосіб руху призведе до більшої загальної витрати палива.

У полі тяжкості

Тепер давайте трохи вдосконалимо наш автомобіль. Давайте приробимо до нього реактивні двигунищоб він міг вільно літати у будь-якому напрямку. Загалом конструкція залишилася тією ж, тому витрата палива знову залишилася суворо пропорційною кінетичній енергії автомобіля. Якщо тепер дано завдання вилетіти з точки в момент часу і прилетіти в точку до моменту часу, то найбільш економічний спосіб, як і раніше, буде летіти рівномірно і прямолінійно, щоб опинитися в точці в точно призначений час. Це знову відповідає вільному рухутіла у тривимірному просторі.

Проте в останню модель автомобіля встановили незвичайний апарат. Цей апаратвміє виробляти паливо буквально з нічого. Але конструкція така, що чим вище знаходиться автомобіль, тим більше палива кожен момент часу виробляє апарат. Вироблення палива прямо пропорційне висоті, на якій в даний момент знаходиться автомобіль. Також, чим важчий автомобіль, тим потужніший апарат на ньому встановлений і тим більше палива він виробляє, і вироблення прямо пропорційне масі автомобіля. Апарат вийшов таким, що вироблення палива точно рівне (де – прискорення вільного падіння), тобто. потенційної енергії автомобіля.

Споживання палива в кожен момент часу виходить рівним кінетичній енергії мінус потенційної енергії автомобіля (мінус потенційної енергії, тому що встановлений апарат виробляє паливо, а не витрачає). Тепер наше завдання найекономнішого руху автомобіля між пунктами і стає складнішим. Прямолінійний рівномірний рух виявляється в даному випадку не найефективнішим. Виявляється, оптимальніше - трохи набрати висоти, якийсь час там затриматися, виробивши більше палива, а потім уже спуститися в крапку. При правильній траєкторії польоту загальне виробленняпалива за рахунок набору висоти перекриє додаткові витрати палива на збільшення довжини колії та збільшення швидкості. Якщо акуратно порахувати, то найекономнішим способом для автомобіля летітиме по параболі, точно за такою траєкторією і з точно такою швидкістю, з якою летів би камінь у полі тяжіння Землі.

Тут варто роз'яснити. Звичайно, можна з точки кинути камінь багатьма різними способами так, щоб він потрапив у крапку. Але кидати його потрібно так, щоб він, вилетівши з точки в момент часу, потрапив у крапку точно в момент часу. Саме цей рух буде найекономнішим для нашого автомобіля.

Функція Лагранжа та принцип найменшої дії

Тепер ми можемо перенести цю аналогію на реальні фізичні тіла. Аналог інтенсивності споживання палива для тіл називають функцією Лагранжа або Лагранжіаном (на честь Лагранжа) та позначають буквою . Лагранжіан показує, наскільки багато «палива» споживає тіло в даний момент часу. Для тіла, що рухається в потенційному полі, Лагранжіан дорівнює його кінетичній енергії мінус потенційної енергії.

Аналог загальної кількостівитраченого палива весь час руху, тобто. значення Лагранжіана, накопичене весь час руху, називається «дією».

Принцип найменшої дії полягає в тому, що тіло рухається таким чином, щоб дія (яка залежить від траєкторії руху) була мінімальною. У цьому не слід забувати, що задані початкове і кінцеве умови, тобто. де тіло знаходиться в момент часу та в момент часу.

При цьому тіло не обов'язково має рухатись у однорідному полі тяжіння, яке ми розглядали для нашого автомобіля. Можна розглядати зовсім інші ситуації. Тіло може коливатися на гумці, гойдатися на маятнику чи літати навколо Сонця, у всіх випадках воно рухається те щоб мінімізувати «загальний витрата палива» тобто. дія.

Якщо система складається з кількох тіл, то Лагранжіан такої системи дорівнюватиме сумарній кінетичній енергії всіх тіл мінус сумарної потенційної енергії всіх тіл. І знову всі тіла будуть узгоджено рухатися так, щоб дія всієї системи при такому русі була мінімальною.

Не все так просто

Насправді я трохи обдурив, сказавши, що тіла завжди рухаються так, щоб мінімізувати дію. Хоча в дуже багатьох випадках це справді так, можна вигадати ситуації, в яких дія явно не мінімальна.

Наприклад, візьмемо кульку і помістимо її в порожній простір. На деякому віддаленні від нього поставимо пружну стінку. Припустимо, ми хочемо, щоб через деякий час кулька опинилася в тому самому місці. За таких заданих умов кулька може рухатися двома різними способами. По-перше, може просто залишатися дома. По-друге, можна його штовхнути у напрямку до стіни. Кулька долетить до стінки, відскочить від неї і повернеться назад. Зрозуміло, що можна штовхнути його з такою швидкістю, щоб він повернувся у потрібний час.

НАЙМЕНШОГО ДІЇ ПРИНЦИП

Один з варіаційних принципів механіки, згідно до якого для даного класу порівнюваних один з одним рухів механіч. системи дійсним є те, для якого фіз. величина, зв. дією, має найменше (точніше, стаціонарне) значення. Зазвичай Н. д. п. застосовується в одній із двох форм.

а) Н. д. п. у формі Гамільтона - Остроградського встановлює, що серед усіх кінематично можливих переміщеньсистеми з однієї конфігурації в іншу (близьку до першої), що здійснюються за один і той же проміжок часу, дійсним є те, для якого дію за Гамільтоном S буде найменшим. Матем. вираз Н. д. п. має в цьому випадку вид: dS = 0, де d - символ неповної (ізохронної) варіації (тобто на відміну від повної варіації в ній час не варіюється).

б) Н. буд. повної енергіїсистеми, дійсним є те, для якого дія по Лагранжу W буде найменшою. Матем. вираз Н. д. п. у цьому випадку має вигляд DW=0, де D - символ повної варіації (на відміну від принципу Гамільтона - Остроградського, тут варіюються не тільки координати та швидкості, але й час переміщення системи з однієї конфігурації до іншої) . Н. д. п. ст. цьому випадку справедливий тільки для консервативних і притому голономних систем, у той час як у першому випадку Н. д. п. є більш загальним і, зокрема, може бути поширений на неконсервативні системи. Н. д. п. користуються для складання ур-ний руху механіч. систем й у дослідження загальних св-в цих рухів. При відповідному узагальненні понять Н. д. п. знаходить додатки в механіці безперервного середовища, електродинаміки, квант. механіки та ін.

• - те саме, що...

  Фізична енциклопедія

• - m-оператор, оператор мінімізації і,- спосібпобудови нових функцій з інших функцій, що полягає в наступному...

  Математична енциклопедія

• - один з варіаційних принципів механіки, згідно до якого для даного класу порівнюваних один з одним рухів механіч. системи здійснюється те, для якого дія мінімально...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - одне із найважливіших законів механіки, встановлений російським ученим М.В. Остроградським...

  Російська енциклопедія

• Словник юридичних термінів

• - у конституційному праві низки держав принцип, за яким загальновизнані принципи та норми міжнародного праває складовою правової системивідповідної країни...

  Енциклопедія юриста

• - у конституційному праві низки держав принцип, за яким загальновизнані норми міжнародного права є складовою національної правової системи.

  Великий юридичний словник

• - найкоротша відстаньвід центру заряду вибухової речовинидо вільної поверхні - лінія на най-малкото спротив - křivka найменшого odporу - Linie der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - хамгійн бага...

  Будівельний словник

• - при можливості переміщення точок деформованого тіла в різних напрямках кожна точка цього тіла переміщується у напрямку найменшого опору.

  Енциклопедичний словник з металургії

• - правило, за яким наявні запаси прийнято оцінювати або за найменшою собівартістю або за найнижчою ціноюпродажі...

  Словник бізнес термінів

• - у конституційному праві низки держав - принцип, згідно з яким загальновизнані принципи та норми міжнародного права є складовою правової системи відповідної держави та діють...

  Енциклопедичний словник економіки та права

• - один із варіаційних принципів механіки, згідно з яким для даного класу порівнюваних один з одним рухів механічної системидійсним є те, для якого фізична величина,...
• - те ж, що Гауса принцип...

  Велика Радянська Енциклопедія

• - один із варіаційних принципів механіки; те саме, що Найменшої діїпринцип...

  Велика Радянська Енциклопедія

• - один з варіаційних принципів механіки, згідно з яким для даного класу рухів механічної системи, що порівнюються один з одним, здійснюється те, для якого дія мінімально...

  Великий енциклопедичний словник

• - Книжковий. Вибирати найбільш легкий спосібдії, уникаючи перешкод, ухиляючись від труднощів.

  Фразеологічний словникросійської літературної мови

"НАМЕНШОГО ДІЇ ПРИНЦИП" у книгах

2.5.1. Принцип дії пристрою

З книги Цікава електроніка [Нешаблонна енциклопедія корисних схем] автора Кашкаров Андрій Петрович

2.5.1. Принцип дії пристрою Принцип дії пристрою простий. Коли світловий потік, що випромінюється світлодіодом HL1, відбивається від об'єкта та потрапляє на фотоприймач, електронний вузол, реалізований на 2 мікросхемах – компараторі КР1401СА1 та таймері КР1006ВІ1, виробляє

Принцип дії терафіму

З книги Потаємне знання. Теорія та практика Агні Йоги автора Реріх Олена Іванівна

Принцип дії терафіма 24.02.39 Ви знаєте, що кожне усвідомлення та уявлення будь-якого об'єкта тим самим наближає нас до нього. Як Ви знаєте, психічні нашарування об'єкта можуть бути перенесені на його терафім. Особливо важливі астральні терафими далеких світів та

Три умови для дії Закону Найменшого Зусилля

З книги Мудрість Діпака Чопри [Знайди бажане, дотримуючись 7 законів Всесвіту] автора Гудмен Тім

Три умови для дії Закону Найменшого Зусилля Давайте подивимося, які умови потрібні для залучення у ваше життя цього творчого потоку енергії Всесвіту - енергії кохання, а значить, і для того, щоб Закон Найменшого Зусилля почав працювати у вашому

Глава 19 ПРИНЦИП НАЙМЕНШОЇ ДІЇ

З книги 6. Електродинаміка автора Фейнман Річард Філліпс

Розділ 19 ПРИНЦИП НАЙМЕНШОЇ ДІЇ Додавання, зроблене після лекції Коли я навчався в школі, наш учитель фізики, на прізвище Бадер, одного разу закликав мене до себе після уроку і сказав: «У тебе вигляд такий, ніби тобі все страшно набридло; послухай-но про одну цікаву

5. Принцип найменшої дії

З книги Революція у фізиці автора де Бройль Луї

5. Принцип найменшої дії рівняння динаміки матеріальної точкиу полі сил, що мають потенціал, можна отримати, виходячи з принципу, який у загальному вигляді носить назву принципу Гамільтона, або принципу стаціонарної дії. Відповідно до цього принципу, з усіх

Принцип дії

З книги Керівництво слюсаря по замках автора Філіпс Білл

Принцип дії Можливість повороту циліндра залежить від положення пінів, яке в свою чергу визначається силою тяжіння, дією пружин та зусиллям ключа (або відмички; інформацію про відмички див. розділ 9). За відсутності ключа сила тяжкості та пружини вдавлюють

Стаціонарного дії принцип

З книги Велика Радянська Енциклопедія(СТ) автора Вікіпедія

Найменшої дії принцип

Вікіпедія

Найменшого примусу принцип

З книги Велика Радянська Енциклопедія (НА) автора Вікіпедія

2.5.1. Принцип дії

З книги Релейний захист у розподільних електричних мережах Б90 автора Буличов Олександр Віталійович

2.5.1. Принцип дії В електричних мережах із двостороннім живленням та в кільцевих мережах звичайні струмові захисту не можуть діяти селективно. Наприклад, в електричній мережі з двома джерелами живлення (рис. 2.15), де вимикачі та захист встановлені з обох сторін

Принцип дії

З книги Турбо-Суслік. Як припинити трахкати собі мозок і почати жити автора Леушкін Дмитро

Принцип дії «Оброби це» - це, фактично, своєрідний «макрос», який однією фразою запускає цілу купу процесів у підсвідомості, метою яких є обробка обраного ментального матеріалу. У сам цей обробник входить 7 різних модулів, частина з яких

Як почати слідувати Закону Найменшого Зусилля: три необхідні дії

З книги Посібник з вирощування капіталу від Джозефа Мерфі, Дейла Карнегі, Екхарта Толле, Діпака Чопри, Барбари Шер, Ніла Уолша автора Штерн Валентин

Як почати слідувати Закону Найменшого Зусилля: три необхідні дії Щоб Закон Найменшого Зусилля почав працювати, потрібно не тільки дотримуватися названих вище трьох умов, але ще й виконати три дії.

11. Фізика та айкідо найменшої дії

автора Мінделл Арнольд

11. Фізика та айкідо найменшої дії Коли дме, тобто лише вітер. Коли йде дощ, то є лише дощ. Коли хмари йдуть, крізь них світить сонце. Якщо ти відкриваєшся прозрінню, то ти заразом із прозрінням. І можеш використати його повністю. Якщо ти відкриваєшся

Принцип найменшої дії Лейбниця Vis Viva

З книги Геопсихологія в шаманізму, фізиці та даосизмі автора Мінделл Арнольд

Принцип найменшої дії Лейбниця Vis Viva За принцип найменшої дії ми всі повинні бути вдячні Вільгельму Готфріду Лейбніцу (1646–1716). Один із перших «сучасних» фізиків і математиків, Лейбніц жив у часи Ньютона - в епоху, коли вчені відкрито

Айкідо – втілення принципу найменшої дії

З книги Геопсихологія в шаманізму, фізиці та даосизмі автора Мінделл Арнольд

Айкідо - втілення принципу найменшої дії Наші психологія та технологія значною мірою керуються концепцією, дуже близькою до ідеї найменшої дії. Ми постійно намагаємось полегшити собі життя. Сьогоднішні комп'ютери недостатньо швидкі; вони повинні