Môn học: Hàm Bessel. Hàm Bessel Giảm hàm Bessel thành các hàm cơ bản

Hàm Bessel loại một

Mô tả sự phụ thuộc xuyên tâm trong các vấn đề dao động, sóng, độ dẫn nhiệt, khuếch tán và lý thuyết thế năng.

Tại Hàm Bessel được gọi là hàm hình trụ . Trong tọa độ trụ là phép biến đổi Fourier N-thứ tự trong biến góc của sóng điều hòa.

Một tập hợp có cùng μ tạo thành một cơ sở trực chuẩn với phổ liên tục trong tham số .

được Daniel Bernoulli khám phá năm 1732

được Leonhard Euler giới thiệu vào năm 1764

Friedrich Wilhelm Bessel đã biên soạn các bảng J 0 , J 1 , J 2 để mô tả chuyển động của các hành tinh vào năm 1824.

Tên của các chức năng được Oskar Schlömilch đưa ra vào năm 1857.

Daniel Bernoulli (1700–1782) Leonhard Euler (1707–1783)

Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)

Bessel là giáo sư tại Đại học Königsberg, ông độc lập nghiên cứu toán học và thiên văn học, nhưng không học ở nhà thi đấu hay trường đại học. Ông đã khám phá sao chổi Halley, thành lập đài thiên văn ở Königsberg, đo khoảng cách tới các ngôi sao bằng thị sai của chúng và thực hiện các cuộc khảo sát trắc địa về lãnh thổ Đông Phổ.. Một miệng núi lửa trên Mặt trăng được đặt theo tên ông.

Phương trình Bessel và Lommel

Hàm Bessel là một nghiệm cụ thể Phương trình Bessel

. (8.1)

Để mở rộng phạm vi áp dụng của phương trình Bessel, chúng tôi làm phức tạp nó bằng cách thay thế đối số và hàm, đồng thời đưa vào các tham số mới. Điều này mang lại phương trình Lommel

. (8.2)

Thay thế vào (8.2)

biến đổi (8.2) thành (8.1) với đối số z. Với , phương trình (8.2) trở thành (8.1).

Trong các phương trình (8.1) và (8.2), đại lượng μ có bậc hai, do đó nghiệm tổng quát (8.2) chứa các số hạng độc lập khác nhau về dấu của μ:

Phương trình này được Eugene Lommel (1837–1899) thu được vào năm 1868.

Biểu diễn tích phân Poisson

Giải phương trình (8.1) bằng phương pháp nhân tử hóa sẽ cho biểu diễn tích phân Poisson

, (8.5)

nơi sử dụng công thức Euler

và tính chẵn lẻ của hàm cosin và hàm sin được tính đến.

Chúng tôi thay thế

, ,

. (8.6)

Từ (8.6) tại ta thu được

, (8.7)

Đang tiến hành bình thường hóa

Simeon Denis Poisson (1781–1840)

Poisson là nhà toán học, cơ khí, vật lý, giáo sư tại Đại học Paris, tốt nghiệp trường Bách khoa Ecole ở Paris. Đưa khái niệm thế vào tĩnh điện và thu được “ Phương trình vi phân Poisson", kết nối tiềm năng của một hệ thống điện tích với sự phân bố của chúng trong không gian. Đối với một biến ngẫu nhiên, điều đó đã được chứng minh “ Phân bố Poisson" Thiết lập mối liên hệ giữa biến dạng dọc và biến dạng ngang của cơ thể - “ Tỷ lệ Poisson" Đã tính toán" tích phân Poisson", đã chứng minh" Công thức tính tổng Poisson" Trong cơ khí ông đã giới thiệu “ Dấu ngoặc Poisson» – quan hệ giao hoán của số lượng. Napoléon phong ông lên làm nam tước, Louis Philippe phong ông ngang hàng với nước Pháp. Trích dẫn - “Cuộc sống trở nên phong phú nhờ hai điều: làm toán và dạy toán.”.

Đặc biệt

Giới hạn x ® 0

Đóng góp chính cho (8.9) tại đến từ

, (8.11)

Giới hạn x ® ¥

Chúng tôi sử dụng phương trình Lommel (8.2) và nghiệm của nó (8.3)

với các tham số , :

Biểu diễn hàm Bessel

Khi chúng ta nhận được phương trình

Tìm giải pháp chung

Kết quả là

. (8.12)

Khi hàm số tuần hoàn đi qua 0 thì biên độ dao động giảm .

Phân tích chi tiết đưa ra giá trị Một Và MỘT

. (8.12a)

Điểm 0 của hàm Bessel

Ở đâu tôi– số sê-ri bằng 0. Vì J 0 và J 1 phép tính số cho

x 0,1 = 2,405; x 0,2 = 5,520;x 0,3 = 8,654; …

x 1,1 = 3,832; x 1,2 = 7,016; x 1,3 = 10,174 …

Chuẩn hóa

Đã thực hiện

, (8.14)

. (8.14a)

Bằng chứng:

Mối quan hệ truy hồi sẽ thu được tiếp theo:

tích hợp trong khoảng

, ,

sử dụng ở đâu

, (8.11)

. (8.12a)

Kể từ đây,

Không phụ thuộc vào m. Chúng tôi giả định rằng chúng tôi tính đến mối quan hệ sẽ có được sau này:

và chúng tôi nhận được

Diện tích dưới đường cong của hàm Bessel có bậc tùy ý bằng đơn vị.

Ham sinh

Hướng tới biểu diễn tích phân Sommerfeld (8.16)

áp dụng biến đổi Fourier nghịch đảo (1.48)

Chúng tôi nhận được Khai triển Fourier trong biến góc đối với sóng phẳng chuyển động một gócφ tới trục x :

(8.26)

Trong (8.26) ta thay thế

tìm hàm sinh

. (8.27)

Chuỗi hàm Bessel

(8.26)

phân biệt phần thực và phần ảo

Chúng tôi tính đến (8.22)

chúng tôi nhận được

, (8.28)

. (8.29)

Vì từ (8.28) ta thu được

. (8.30)

(8.26)

thay thế

, (8.31)

được tính đến ở đâu

Trong (8.31) chúng ta chọn phần thực và phần ảo

, (8.32)

, (8.33)

được tính đến ở đâu

Khi từ (8.32) và (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Quan hệ lặp lại

1. Hàm sinh (8.27)

phân biệt bằng x

Chúng tôi so sánh các hệ số

Hãy khái quát hóa cho trường hợp thứ tự tùy ý

thay thế x TRÊN bx cho

. (8.36a)

2. Hàm sinh (8.27)

phân biệt bằng t

Chúng tôi so sánh các hệ số

Đối với bất kỳ đơn hàng nào

. (8.37)

3. Cộng và trừ (8.37) và

, (8.38)

. (8.39)

4. Nhân (8.38) với và gấp vế phải

. (8.40)

5. Đối xứng (8.40)

Bằng cảm ứng

. (8.41)

6. Nhân (8.39) với và gấp vế phải

chúng tôi nhận được

. (8.42)

7. Đối xứng (8.42)

Bằng cảm ứng

. (8.43)

Quan hệ một phần

(8.39)

. (8.44)

Từ (8.36)–(8.44):

. (8.46)

Điều kiện trực chuẩn

tạo thành một cơ sở liên tục với điều kiện trực chuẩn

, . (8.48)

Bằng chứng:

Chúng tôi viết phương trình Lommel

, (8.2)

, (8.3)

tại , , và cho các hàm và

Nhân đẳng thức đầu tiên với xv, thứ hai - trên xu và trừ kết quả

Biến đổi bên trái

Chúng tôi tích hợp bằng cách x từ 0 đến ∞

. (8.47)

Phía bên trái ở giới hạn dưới cho số không. Ở giới hạn trên chúng ta sử dụng (8.12a)

Kết quả là

Chúng tôi tính đến

Để tìm, chúng tôi tích hợp đẳng thức trên R từ 0 đến ∞, thay đổi thứ tự tích phân và sử dụng điều kiện chuẩn hóa

. (8.14)

Chúng tôi nhận được

, ,

và chứng minh (6.48).

Khi có sự đóng góp khác 0 vào

, . (8.48)

chỉ cho và , sau đó

, . (8.49)

Bằng chứng:

Chúng tôi nhân (8.49) với , ở đâu , và lấy tích phân trên k từ 0 đến ∞

Chúng tôi thay đổi thứ tự tích hợp và tính đến

Tích phân bên trong cho (8.48)

và chúng ta có được danh tính.

Biểu đồ

Hàm Bessel hình cầu

, (8.57)

Hàm mô tả trong tọa độ cầu sự phụ thuộc xuyên tâm của sóng với động lượng quỹ đạo tôi và với số sóng k.

Tập hợp tại tạo thành một cơ sở trực chuẩn với phổ liên tục.

phương trình vi phân

Khi đó các phương trình và trùng nhau

Dạng hàm rõ ràng

Hãy sử dụng (8.57)

sau khi thay thế.

Kết quả là hàm Bessel cầu

. (8.59)

Tính chất chẵn lẻ

Từ (8.59) ta thu được

. (8.61)

Hàm bậc thấp hơn

Từ (8.59) ta thu được

. (8.62)

Giới hạn x ® ¥

Chúng tôi sử dụng

(8.12a)

. (8.63)

, (8.57)

chúng tôi nhận được

. (8.64)

Giới hạn x ® 0

, (8.11)

Thay thế vào (8.57)

Tại . Từ (8.57)

thể hiện

chúng ta thu được điều kiện trực chuẩn

, . (8.66)

2. Khi đóng góp khác 0 cho (8.66) chỉ cho , sử dụng , chúng ta tìm thấy

, . (8.67)

Bằng chứng:

Chúng ta nhân cả hai vế của (8.67) với , trong đó , và lấy tích phân trên khoảng . Ở bên trái chúng ta thay đổi thứ tự tích hợp và sử dụng (8.66)

Vế phải cho kết quả tương tự

được tính đến ở đâu

, , (8.67)

(8.62)

. (8.68)

Quan hệ lặp lại

1. Thay thế (8.57)

Tại . Chúng tôi nhận được

Từ (8.70) ta biểu diễn

thay thế vào đẳng thức cuối cùng và chúng ta nhận được

. (8.71)

3. Các mối quan hệ được đáp ứng

, (8.72)

, (8.74)

. (8.75)

Chức năng thoáng mát của loại đầu tiên

Mô tả:

– nhiễu xạ sóng,

– trạng thái của hạt lượng tử trong trường đều,

- trạng thái của hạt trong giếng thế tam giác,

– trạng thái của chất điểm gần điểm ngoặt của chuyển động cổ điển.

Hàm này được nhà thiên văn học người Anh Airy giới thiệu vào năm 1838 khi đang nghiên cứu sự nhiễu xạ ánh sáng.

Ngài George Biddel Airy (1801–1892)

Giám đốc Đài thiên văn Greenwich, Chủ tịch Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn. Phát triển lý thuyết nhiễu xạ ánh sáng trên thấu kính viễn vọng. Điểm sáng trung tâm tại tâm của vân nhiễu xạ trên lỗ tròn được gọi là " Đĩa thoáng».

Phương trình thoáng

Hàm Airy là một giải pháp cụ thể (8.76).

Mối liên hệ với hàm Bessel

So sánh (8.76) với phương trình Lommel

Quyết định chung

Lập luận tưởng tượng làm phức tạp việc phân tích, chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp khác.

Trong vùng của đối số phủ định, phương trình (8.76) có dạng

Trùng với phương trình Lommel có tham số

Chúng tôi nhận được một giải pháp chung

Chức năng thoáng mát của loại đầu tiên

Là một nghiệm cụ thể (8,79) có hệ số

Điều kiện chuẩn hóa

Đối với một lập luận nhỏ, chúng ta xét đến (8.11)

từ (8.80) ta tìm được

thuật ngữ đầu tiên cho số không. Chuẩn hóa

. (8.81)

Chuẩn hóa tích phân

(8.82)

suy ra từ (8.84). Đã thực hiện

. (8,82a)

Bằng chứng(8.82a):

Khi chúng ta sử dụng (8.80) và thay thế

. (8.14).

Biểu diễn tích phân

Chúng ta hãy thu được hàm Airy của một đối số dương bằng cách giải phương trình Airy bằng phương pháp biến đổi Fourier.

Chúng tôi sử dụng

, (1.35)

. (1.37) . trạng thái có hình chiếu động lượng quỹ đạo 2. Chúng ta chuyển sang tọa độ cực và xác định

Phương trình vi phân tuyến tính thông thường bậc hai có dạng \[(x^2)y"" + xy" = \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] được gọi phương trình Bessel . Số $v$ được gọi thứ tự của phương trình Bessel .

Phương trình vi phân này được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học người Đức Friedrich Wilhelm Bessel , người đã nghiên cứu nó một cách chi tiết và chỉ ra (trong $1824$) rằng nghiệm của phương trình được biểu diễn thông qua một lớp hàm đặc biệt gọi là hàm trụ hoặc Hàm Bessel .

Cách biểu diễn cụ thể của lời giải tổng quát phụ thuộc vào số $v.$ Tiếp theo, chúng ta sẽ xét riêng hai trường hợp:

Thứ tự $v$ không phải là số nguyên;

Thứ tự của $v$ là một số nguyên.

Trường hợp 1. Thứ tự $v$ không phải là số nguyên

Giả sử rằng số $v$ không phải là số nguyên và dương, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel có thể được viết dưới dạng \ trong đó $(C_1),$ $(C_2)$ là các hằng số tùy ý, và $(J_v)\ left(x \right),$ $(J_( - v))\left(x \right)$ − Hàm Bessel loại một .

Hàm Bessel loại thứ nhất có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi, các số hạng của nó được biểu diễn thông qua cái gọi là hàm gamma : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))) .\] Hàm Gamma là một phần mở rộng hàm giai thừa từ tập số nguyên đến tập số thực. Đặc biệt, nó có các thuộc tính sau: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ right)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Các hàm Bessel thuộc loại thứ tự âm thứ nhất (có chỉ số $-v$) được viết theo cách tương tự. Ở đây chúng ta giả sử rằng $v > 0.$ \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \right))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ left ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] Các hàm Bessel được tính toán trong hầu hết các gói toán học. Ví dụ: dạng hàm Bessel thuộc loại thứ tự đầu tiên từ $v = 0$ đến $v = 4$ được hiển thị trong Hình $1.$ Các hàm này cũng có thể được tính toán trong MS Excel.

Trường hợp 2. Thứ tự $v$ là số nguyên

Nếu bậc $v$ của phương trình vi phân Bessel là số nguyên thì các hàm Bessel thuộc loại thứ nhất $(J_v)\left(x \right)$ và $(J_( - v))\left (x \right)\ ) trở nên phụ thuộc lẫn nhau. Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương trình sẽ được mô tả bằng một công thức khác: \ trong đó \((Y_v)\left(x \right)$ − Hàm Bessel loại hai . Đôi khi họ chức năng này còn được gọi là hàm Neumann hoặc Hàm Weber .

Hàm Bessel loại hai $(Y_v)\left(x \right)$ có thể được biểu thị thông qua các hàm Bessel thuộc loại thứ nhất $(J_v)\left(x \right)$ và $(J_( - v))\left (x \ right):$ \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ right)))((\sin \pi v)).\] Đồ thị hàm số $(Y_v)\left(x \right)$ cho một số lệnh đầu tiên $v$ được trình bày ở trên trong Hình 2.\ )

Ghi chú: Trên thực tế, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bessel có thể được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel loại một và loại hai cũng cho trường hợp cấp không nguyên $v.$

Một số phương trình vi phân rút gọn về phương trình Bessel

1. Một phương trình nổi tiếng khác của lớp này là phương trình Bessel sửa đổi , thu được từ phương trình Bessel thông thường bằng cách thay thế $x$ bằng $-ix.$ Phương trình này có dạng: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] Nghiệm của phương trình này được thể hiện thông qua cái gọi là hàm Bessel sửa đổi loại một và loại hai : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] trong đó $(I_v)\left(x \right)$ và $(K_v )\left(x \right)$ lần lượt biểu thị các hàm Bessel đã sửa đổi thuộc loại thứ nhất và loại thứ hai.

2. Phương trình vi phân thoáng , được biết đến trong thiên văn học và vật lý, được viết dưới dạng: \ Nó cũng có thể rút gọn thành phương trình Bessel. Giải phương trình Airy được thể hiện thông qua các hàm Bessel bậc phân số $\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:$ \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \right) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\normalsize)))\right).)\]
3. Phương trình vi phân có dạng \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] khác từ phương trình Bessel chỉ có một thừa số $(a^2)$ trước $(x^2)$ và có nghiệm tổng quát ở dạng sau: \
4. Một phương trình vi phân tương tự \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] cũng rút gọn thành phương trình Bessel \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] sử dụng thay thế \ Ở đây tham số \((n^2)\ ) biểu thị \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Kết quả là, nghiệm chung cho phương trình vi phân này được xác định theo công thức \.\]
Hàm Bessel đặc biệt được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán vật lý, ví dụ như trong nghiên cứu

sự truyền sóng;

dẫn nhiệt;

rung động màng

trong trường hợp vật có tính chất đối xứng hình trụ hoặc hình cầu.

CƠ QUAN GIÁO DỤC LIÊN BANG

CHI NHÁNH STERLITAMAK

CƠ SỞ GIÁO DỤC NHÀ NƯỚC

GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO CẤP

"ĐẠI HỌC BANG BASHKIR"

Khoa Kinh tế

Khoa Toán và Tin học

Khóa học

về chủ đề:

Hàm Bessel

Hoàn thành bởi sinh viên năm thứ 2

nhóm PMII-08

Alexandrova A.Yu._________

"___"___________2010

Giám đốc khoa học

Tiến sĩ, Nghệ thuật. vân vân.

Sidorenko O.G.______

"___"___________2010

Sterlitamak 2010

Giới thiệu

1 Hàm Bessel có dấu nguyên dương

2 hàm Bessel với biểu tượng tùy ý

3 Trình bày tổng quát về hàm trụ. Hàm Bessel loại hai

4 Khai triển chuỗi hàm Bessel loại hai với dấu nguyên

5 hàm Bessel loại 3

6 hàm Bessel của một đối số tưởng tượng

7 Hàm hình trụ có chỉ số bằng một nửa số nguyên lẻ

8 Biểu diễn tiệm cận của hàm trụ cho giá trị lớn của đối số

9 Điểm 0 của hàm trụ

Phần kết luận

Thư mục

Giới thiệu

Hàm hình trụ là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

biến phức tạp ở đâu,

Thuật ngữ “hàm hình trụ” có nguồn gốc từ thực tế là phương trình (1) xảy ra khi xem xét các bài toán giá trị biên của lý thuyết thế cho một miền hình trụ.

Các lớp đặc biệt của hàm trụ được biết đến trong tài liệu là hàm Bessel, và đôi khi tên này được gán cho toàn bộ lớp hàm trụ.

Lý thuyết phát triển tốt về các hàm đang được xem xét, sự sẵn có của các bảng chi tiết và một loạt các ứng dụng cung cấp đủ lý do để phân loại các hàm hình trụ là một trong những hàm đặc biệt quan trọng nhất.

Phương trình Bessel phát sinh khi tìm nghiệm của phương trình Laplace và phương trình Helmholtz trong tọa độ trụ và tọa độ cầu. Vì vậy, hàm Bessel được sử dụng để giải nhiều bài toán về truyền sóng, thế tĩnh, v.v., ví dụ:

1) sóng điện từ trong ống dẫn sóng hình trụ;

2) độ dẫn nhiệt của vật hình trụ;

3) các dạng rung của màng tròn mỏng;

4) tốc độ của các hạt trong một hình trụ chứa đầy chất lỏng và quay quanh trục của nó.

Hàm Bessel cũng được sử dụng để giải các bài toán khác, chẳng hạn như trong xử lý tín hiệu.

Hàm Bessel hình trụ là hàm phổ biến nhất trong tất cả các hàm đặc biệt. Chúng có nhiều ứng dụng trong mọi ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật (đặc biệt là thiên văn học, cơ học và vật lý). Trong một số bài toán vật lý toán, có các hàm hình trụ trong đó đối số hoặc chỉ số (đôi khi là cả hai) nhận các giá trị phức. Để giải các bài toán như vậy bằng số, cần phải phát triển các thuật toán cho phép tính toán các hàm Bessel với độ chính xác cao.

Mục đích công việc của khóa học: nghiên cứu các hàm Bessel và ứng dụng các tính chất của chúng trong việc giải phương trình vi phân.

Nhiệm vụ:

1) Nghiên cứu phương trình Bessel và phương trình Bessel sửa đổi.

2) Xét tính chất cơ bản của hàm Bessel, biểu diễn tiệm cận.

3) Giải phương trình vi phân bằng hàm Bessel.

1 Hàm Bessel có dấu nguyên dương

Để xem xét nhiều vấn đề liên quan đến việc sử dụng hàm trụ, chỉ cần giới hạn việc nghiên cứu một lớp đặc biệt của các hàm này là đủ, tương ứng với trường hợp tham số trong phương trình (1) bằng 0 hoặc một số nguyên dương.

Nghiên cứu về loại này còn cơ bản hơn lý thuyết liên quan đến các giá trị tùy ý và có thể đóng vai trò là sự giới thiệu hay về lý thuyết tổng quát này.

Hãy chứng minh rằng một trong các nghiệm của phương trình

0, 1, 2, …, (1.1)

là hàm Bessel của loại thứ tự đầu tiên, với bất kỳ giá trị nào được xác định là tổng của chuỗi

(1.2)

Sử dụng thử nghiệm của d'Alembert, thật dễ dàng để xác minh rằng chuỗi đang xem xét hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng của biến phức và do đó, biểu thị toàn bộ hàm của .

Nếu chúng ta biểu thị vế trái của phương trình (1.1) bằng và đưa ra ký hiệu viết tắt cho các hệ số của chuỗi (1.2), đặt

sau đó là kết quả của sự thay thế chúng ta nhận được

từ đó suy ra biểu thức trong ngoặc nhọn bằng 0. Như vậy, hàm thỏa mãn phương trình (1.1), tức là hàm số hình trụ.

Các hàm đơn giản nhất của lớp đang được xem xét là các hàm Bessel bậc 0 và bậc 1:

(1.3)

Chúng ta hãy chứng minh rằng các hàm Bessel của các bậc khác có thể được biểu diễn dưới dạng hai hàm này. Để chứng minh điều này, giả sử a là số nguyên dương, nhân chuỗi (1.2) với và phân biệt với . Lúc đó chúng ta sẽ lấy được nó

(1.4)

Tương tự, nhân chuỗi với ta tìm được

(1.5)

Vi phân các đẳng thức (1,4 – 1,1) và chia cho hệ số , ta thu được các công thức:

(1.6)

trực tiếp sau đây:

(1.7)

Các công thức thu được được gọi là quan hệ truy hồi cho hàm Bessel.

Mối quan hệ đầu tiên cho phép biểu diễn một hàm có thứ tự tùy ý thông qua các hàm có bậc 0 và một, điều này làm giảm đáng kể công việc biên soạn các bảng của hàm Bessel.

Mối quan hệ thứ hai cho phép biểu diễn đạo hàm của hàm Bessel thông qua hàm Bessel. Để mối quan hệ này được thay thế bằng công thức

(1.9)

trực tiếp từ định nghĩa của các hàm này.

Hàm Bessel loại thứ nhất liên quan đơn giản đến các hệ số của khai triển hàm trong loạt Laurent):

(1.10)

Các hệ số của sự mở rộng này có thể được tính bằng cách nhân chuỗi lũy thừa:

và các hiệp hội của các thành viên có cùng trình độ. Thực hiện xong việc này, chúng tôi nhận được:

(1.11)

từ đó suy ra rằng khai triển đang xét có thể được viết dưới dạng

Hàm này được gọi là hàm sinh cho hàm Bessel có dấu nguyên; hệ thức tìm được (1.12) đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết về các hàm này.

Để thu được tích phân tổng quát của phương trình (1.1), biểu thức của hàm trụ tùy ý có dấu nguyên , cần xây dựng nghiệm thứ hai của phương trình, độc lập tuyến tính với . Như một giải pháp như vậy, có thể lấy hàm Bessel loại thứ hai, dựa trên định nghĩa mà có thể dễ dàng thu được biểu thức phân tích cho nó dưới dạng một chuỗi

Ở đâu

( là hằng số Euler) và, trong trường hợp , tổng đầu tiên phải được đặt bằng 0.

Hàm này đều đặn trong mặt phẳng có vết cắt. Một đặc điểm thiết yếu của nghiệm đang được xem xét là nó tiến tới vô cùng khi . Biểu thức tổng quát của hàm trụ biểu thị tổ hợp tuyến tính của các nghiệm được xây dựng

ở đâu và là các hằng số tùy ý,

2 hàm Bessel với biểu tượng tùy ý

Hàm hình trụ Bessel

Các hàm Bessel được thảo luận trong đoạn 1 tạo thành một trường hợp đặc biệt của các hàm trụ có dạng tổng quát hơn, được gọi là các hàm Bessel loại một với dấu tùy ý. Để xác định các hàm này, hãy xem xét chuỗi

đâu là một biến phức thuộc mặt phẳng có vết cắt

– một tham số có thể nhận bất kỳ giá trị thực hoặc phức nào.

Dễ dàng thấy rằng chuỗi này hội tụ với mọi và , và trong miền , (là các số cố định lớn tùy ý) thì sự hội tụ là đều đối với từng biến.

Thật vậy, bắt đầu từ một giá trị đủ lớn, tỷ lệ các mô-đun của thành viên tiếp theo của chuỗi so với thành viên trước đó bằng giá trị

sẽ không vượt quá một số phần dương thích hợp độc lập với và . Từ đây, theo tiêu chí hội tụ nổi tiếng, chuỗi đang xem xét hội tụ đồng đều trong vùng được chỉ định.

Vì các số hạng của chuỗi là các hàm chính quy trong mặt phẳng có đường cắt, nên tổng của chuỗi xác định một số hàm của biến phức chính quy trong mặt phẳng cắt đang xét. Hàm này gọi là hàm Bessel loại một có chỉ số và được ký hiệu bằng ký hiệu. Như vậy,

(2.1)

Dễ dàng chứng minh rằng hàm số được xác định theo cách này là một nghiệm cụ thể của phương trình

(2.2)

Thật vậy, biểu thị vế trái của phương trình này và cách đặt , chúng ta thấy, giống như ở điểm 1,

ở đâu là các hệ số của chuỗi (2.1),

nó theo sau từ đâu

Vì đối với một cố định , thuộc một mặt phẳng cắt, các số hạng của chuỗi (2.1) biểu diễn toàn bộ hàm của biến , nên từ sự hội tụ đều đối với biến này, suy ra hàm Bessel loại một, được coi là một hàm có dấu của nó là một hàm toàn bộ. Đối với một số nguyên và chuỗi (2.1) nằm trong chuỗi (1.2), do đó các hàm được xác định trong phần này là tổng quát của các hàm Bessel với số nguyên dương, được nghiên cứu ở đoạn 2. Đối với số nguyên âm bằng nhau, các số hạng đầu tiên của chuỗi (2.1) trở thành 0 và công thức đang xét có thể được viết là

từ đâu theo sau

(2.3)

Do đó, các hàm Bessel có dấu nguyên âm chỉ khác các hàm tương ứng có dấu dương ở một thừa số không đổi.

Mối quan hệ thu được cùng với các công thức (1.10 – 1.11) cho thấy khai triển (1.12) có thể viết dưới dạng

(2.4)

Nhiều đẳng thức được thiết lập trước đó cho các hàm Bessel có dấu nguyên dương được chuyển sang các hàm có chỉ số tùy ý mà không có bất kỳ thay đổi nào. Vì vậy, ví dụ, các mối quan hệ sau giữ:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

thể hiện sự khái quát hóa các công thức tương ứng của đoạn 2. Chứng minh công thức (2.5 – 2.6) lặp lại lập luận của phần này và do đó không được đưa ra. Công thức (2.7) thu được bằng cách áp dụng lặp lại các đẳng thức (2.6).

3 Trình bày tổng quát về hàm trụ. Hàm Bessel loại hai

Theo định nghĩa, hàm trụ là một nghiệm tùy ý của phương trình vi phân bậc hai

(3.1)

do đó biểu thức tổng quát của nó được chứa ở dạng

ở đâu và là bất kỳ nghiệm độc lập tuyến tính nào của phương trình đang được xem xét và là các hằng số, nói chung, là các hàm tùy ý của tham số . Dễ dàng thu được biểu thức tổng quát của hàm trụ trong trường hợp nó khác với một số nguyên. Thật vậy, bằng cách chọn , hàm Bessel được xác định trong đoạn 2 ở đâu, chúng ta có thể lấy hàm , đây cũng là một nghiệm của phương trình (3.1), vì phương trình sau không thay đổi khi được thay thế bằng .

Nếu không bằng một số nguyên thì biểu hiện tiệm cận của nghiệm đang xét sẽ là

(3.3)

do đó, các nghiệm này độc lập tuyến tính với nhau và biểu thức mong muốn của hàm trụ có thể được đưa ra dưới dạng

(3.4)

Nếu là một số nguyên thì theo quan hệ (2.3), các nghiệm từng phần được xây dựng phụ thuộc tuyến tính với nhau và biểu thức tìm được (3.4) không phải là tích phân tổng quát của phương trình Bessel (3.1). Để có được biểu diễn của hàm hình trụ tùy ý, phù hợp với bất kỳ giá trị nào của tham số, chúng tôi đưa vào xem xét hàm Bessel loại thứ hai, đối với các hàm tùy ý thuộc mặt phẳng có vết cắt, chúng tôi xác định bằng đẳng thức

(3.5)

Khi số bằng một số nguyên, vế phải của biểu thức đang xét sẽ có dạng không xác định (2.3) và chúng ta đồng ý hiểu giá trị của hàm trong trường hợp này là giới hạn

(3.6)

Vì, theo những gì đã được chứng minh, tử số và mẫu số trong (3.5) là toàn bộ hàm số, giới hạn được đề cập tồn tại và có thể được tính bằng quy tắc L'Hopital, việc áp dụng nó sẽ cho

(3.7)

Từ định nghĩa của hàm, ta suy ra rằng hàm này chính quy trong mặt phẳng có đường cắt và khi cố định, nó là toàn bộ hàm của tham số. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nó thỏa mãn phương trình (3.1), và do đó là một hàm trụ. Đối với , khác với một số nguyên, kết quả cần tìm theo trực tiếp từ công thức (3.4), do đó chỉ cần thực hiện chứng minh cho trường hợp

Cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng nguyên tắc tiếp tục phân tích. Vì là một hàm nguyên nên nó suy ra từ đẳng thức

Các nghiệm và độc lập tuyến tính với nhau. Vì kết quả này là hệ quả của tính độc lập tuyến tính của nghiệm và . Tính độc lập tuyến tính của for suy ra từ việc so sánh hành vi của các hàm đang được xem xét đối với [công thức (3.3) và (3.4)]. Như vậy, biểu thức tổng quát của hàm trụ phù hợp với mọi giá trị của , sẽ là

Các hàm Bessel loại thứ hai thỏa mãn các quan hệ truy hồi giống như các hàm loại thứ nhất, cụ thể là:

(3.9)

Đối với , khác với một số nguyên, tính hợp lệ của các công thức này tuân theo định nghĩa của hàm Bessel loại thứ hai và các công thức tương ứng cho các hàm loại thứ nhất. Đối với một số nguyên, kết quả cần tìm xuất phát từ tính liên tục của các hàm đang được xem xét đối với dấu , cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đến giới hạn trong quan hệ (3.9)

Chúng ta cũng hãy lưu ý công thức

(3.10)

đây là hệ quả của (3.7) và cho phép chúng ta quy giản việc tính các hàm có dấu nguyên âm thành phép tính các hàm có chỉ số dương.

Bằng cách thay đổi các biến trong phương trình (3.1), dễ dàng thu được một số phương trình vi phân khác, tích phân tổng quát của chúng có thể biểu diễn dưới dạng hàm trụ. Các phương trình thú vị nhất thuộc loại này được ứng dụng là các trường hợp đặc biệt khác nhau của phương trình vi phân

(3.11)

tích phân tổng quát của nó sẽ là:

(3.12)

trong đó biểu thị một hàm hình trụ tùy ý.

4 Khai triển chuỗi hàm Bessel loại hai với dấu nguyên

Để thu được khai triển chuỗi của hàm , chỉ cần sử dụng công thức (3.7) và tính đạo hàm theo dấu dựa trên khai triển (2.1), và, theo quan hệ (3.10), chúng ta có thể tự giới hạn mình xét trường hợp số nguyên dương

Vì chuỗi (2.1), như đã được chứng minh, hội tụ đều theo , nên chúng ta có thể vi phân nó theo từng số hạng và sau đó thu được

đâu là đạo hàm logarit của hàm gamma.

Tương tự chúng ta có

Tại Và do đó, các số hạng đầu tiên của chuỗi có dạng không xác định. Sử dụng các công thức nổi tiếng của lý thuyết hàm gamma

;

chúng tôi nhận được như vậy

nơi giới thiệu biểu tượng tổng hợp mới

Từ công thức (3.7), suy ra rằng khai triển mong muốn của hàm Bessel loại hai với dấu nguyên dương có dạng

trong đó trong trường hợp tổng đầu tiên phải được đặt bằng 0.

Các giá trị của đạo hàm logarit của hàm gamma có thể được tính bằng các công thức:

(4.2)

hằng số Euler ở đâu,

Xét đến đẳng thức (1.2), chúng ta có thể trình bày khai triển (4.1) dưới một dạng hơi khác, cụ thể là:

(4.3)

Từ (4.1) suy ra rằng các công thức tiệm cận là đúng

(4.4)

cho thấy rằng khi

5 hàm Bessel loại 3

Các hàm hình trụ cũng bao gồm các hàm Bessel loại thứ ba hoặc các hàm Hankel và , đối với một hàm tùy ý và thuộc mặt phẳng có đường cắt dọc theo nửa trục được xác định bằng cách sử dụng các công thức

đâu là các hàm Bessel loại thứ nhất và loại thứ hai.

Tính khả thi của việc giới thiệu các hàm này là do các tổ hợp tuyến tính được coi là có khai triển tiệm cận đơn giản nhất cho các giá trị lớn (điểm 8) và thường gặp trong các ứng dụng.

Từ định nghĩa của các hàm Hankel, ta suy ra rằng các hàm này là các hàm chính quy trong mặt phẳng với một hàm cắt và toàn bộ. Rõ ràng là các hàm đang xem xét là độc lập tuyến tính với nhau và đối với , do đó tích phân tổng quát của phương trình Bessel (3.1) có thể cùng với (3.8), được biểu diễn dưới một trong các dạng sau:

các hằng số tùy ý ở đâu.

Là sự kết hợp tuyến tính của các hàm và , các hàm Hankel thỏa mãn các mối quan hệ lặp lại giống như các hàm này, ví dụ:

(5.3)

Nếu loại trừ hàm Bessel loại hai khỏi (5.1) bằng cách sử dụng (3.5), chúng ta thu được

(5.4)

từ đó các mối quan hệ quan trọng theo sau:

6 hàm Bessel của một đối số tưởng tượng

Liên quan chặt chẽ với các hàm Bessel là hai hàm thường gặp trong các ứng dụng và , đối với , thuộc mặt phẳng cắt dọc theo bán trục âm và tùy ý , có thể được xác định bằng các công thức:

(6.1)

(6.2)

và nói chung

(6.3)

Lặp lại cách suy luận ở điểm 2, ta tìm được hàm số đó và là hàm số chính quy trong mặt phẳng có một phần cắt và hàm nguyên.

Các hàm được đề cập chỉ đơn giản liên quan đến các hàm Bessel của đối số.

Thật vậy, giả sử rằng . Sau đó và từ (2.1) suy ra

(6.4)

cho tất cả

Tương tự, từ công thức (5.4), chúng ta thu được cùng kết quả

(6.5)

Đối với các giá trị và có thể được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel của đối số. Chúng ta có

(6.6)

cho tất cả .

Dựa trên quan hệ thu được, hàm số và được gọi là hàm Bessel của đối số ảo. Hàm này còn được biết đến trong tài liệu là hàm Macdonald.

Từ các công thức dẫn xuất, ngay lập tức suy ra rằng các hàm đang xét là nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân

(6.7)

khác với phương trình Bessel chỉ ở dấu của một số hạng và biến đổi thành dấu của nó khi thay thế.

Phương trình (6.7) thường được tìm thấy trong toán vật lý. Tích phân tổng quát của phương trình tùy ý này có thể được viết dưới dạng

Hàm số và thỏa mãn quan hệ truy hồi đơn giản:

(6.9)

Công thức truy hồi chứa hàm số được chứng minh bằng cách thay thế chuỗi (6.1) vào chúng. Các công thức tương ứng cho các hàm không phải là số nguyên được kiểm tra bằng cách thay thế biểu thức (6.2) vào chúng và sử dụng các công thức của nhóm đầu tiên. Giá trị của các mối quan hệ cuối cùng đối với tổng thể xuất phát từ tính liên tục của các chức năng đang được xem xét đối với dấu hiệu.

Hãy để chúng tôi chỉ ra hai công thức hữu ích hơn:

(6.10)

giá trị đầu tiên suy ra từ (6.1), nếu chúng ta tính đến việc số hạng đầu tiên của khai triển triệt tiêu, trong khi giá trị thứ hai là hệ quả trực tiếp của định nghĩa hàm Macdonald (6.2).

Việc khai triển hàm tại có thể thu được từ (6.3) bằng cách sử dụng phương pháp ở điểm 5. Chúng tôi trình bày kết quả cuối cùng của phép tính:

Đây là đạo hàm logarit của hàm gamma, các giá trị của nó có thể được tìm thấy bằng công thức (4.2). Trong trường hợp này, tổng đầu tiên phải được coi là bằng 0.

Từ (6.11) suy ra rằng hành vi tiệm cận của hàm số tại được xác định bởi các công thức

(6.12)

7 Hàm hình trụ có chỉ số bằng một nửa số nguyên lẻ

Một lớp đặc biệt của hàm trụ được hình thành bởi các hàm trụ có chỉ số bằng một nửa số nguyên lẻ. Trong trường hợp đang xem xét, các hàm trụ có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản. Để chỉ ra điều này, trước tiên chúng ta hãy tìm các giá trị của các hàm mà chúng ta đưa vào (2.1) và sử dụng công thức nhân đôi hàm gamma để biến đổi chuỗi

Lúc đó chúng ta sẽ lấy được nó

(7.1)

và tương tự

(7.2)

Khả năng biểu diễn hàm Bessel loại thứ nhất bằng bất kỳ ký hiệu bán nguyên nào dưới dạng các hàm cơ bản giờ đây được rút ra từ công thức truy hồi (2.5)

bằng cách sử dụng mà bạn có thể liên tiếp có được:

Biểu thức tổng quát của các hàm cơ bản được lấy từ công thức (2.7). Ví dụ: nếu chúng ta đặt số thứ hai vào và sử dụng kết quả (7.1), chúng ta sẽ thấy:

(7.3)

Các công thức tương ứng cho hàm Bessel loại thứ hai và thứ ba có thể được rút ra từ các mối quan hệ tìm được nếu chúng ta sử dụng biểu thức của các hàm này thông qua các hàm Bessel loại thứ nhất (3.5 và 5.4). Ví dụ: chúng tôi có:

(7.4)

Để kết luận, chúng ta hãy chỉ ra các công thức:

(7.5)

phát sinh từ các định nghĩa của các hàm đang được xem xét (6.1 – 6.2).

Công thức cho các giá trị chỉ số nửa số nguyên khác được lấy từ các công thức này bằng cách sử dụng quan hệ lặp lại (6.9). Liouville đã chứng minh rằng trường hợp chỉ số nửa số nguyên là trường hợp duy nhất khi hàm trụ được rút gọn thành hàm cơ bản.

8 Biểu diễn tiệm cận của hàm trụ cho giá trị lớn của đối số

Hàm hình trụ có các biểu diễn tiệm cận đơn giản, thuận tiện cho việc tính gần đúng các hàm này cho các giá trị mô đun lớn và giá trị chỉ số cố định. Các số hạng chính của các công thức này có thể thu được dựa trên các phương trình vi phân được thỏa mãn bởi các hàm đang xem xét.

Trong số các hàm trụ, hàm loại ba có cách biểu diễn tiệm cận đơn giản nhất.

Để có được biểu diễn tiệm cận của hàm, chúng ta sử dụng đẳng thức

(8.1)

và biến đổi nó bằng cách sử dụng sự thay thế. Sau đó chúng tôi nhận được

(8.2)

Thay thế số nhân bằng khai triển nhị thức bằng số hạng còn lại

và tích hợp từng số hạng, chúng tôi tìm thấy

(8.3)

Ở đâu

Hãy giả vờ như vậy ( là một số dương nhỏ tùy ý) và chúng ta sẽ tạm thời giả định rằng nó được chọn sao cho Ước tính số hạng modulo của phần còn lại sau đó đưa ra

tại cố định

Vì vậy, đối với lớn

(8.4)

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều kiện áp đặt lên có thể được loại bỏ. Thật vậy, nếu , thì ta có thể chọn sao cho . Biểu diễn nó bằng công thức (8.4), trong đó nó được thay thế bằng , và nhận thấy rằng

chúng ta lại đi đến kết quả tương tự.

Cũng dễ dàng sử dụng tỷ lệ giải phóng bản thân khỏi sự hạn chế áp đặt lên tham số.

Cuối cùng, nếu chúng ta sử dụng thay vì (8.1) một biểu diễn tích phân có dạng tổng quát hơn một chút, chúng ta có thể chỉ ra rằng công thức tiệm cận tìm được vẫn đúng trong phạm vi rộng hơn .

Vì vậy, cuối cùng đối với những cái lớn

(8.5)

Biểu diễn tiệm cận của hàm được tính theo cách tương tự từ công thức

(8.6)

và có dạng sau:

(8.7)

Biểu diễn tiệm cận của hàm trụ loại một và loại hai tuân theo các công thức dẫn xuất (8.5) và (8.7) và quan hệ (5.1). Chúng ta tìm thấy

(8.8)

(8.9)

Có thể thu được công thức tiệm cận cho hàm trụ biến đổi bằng cách sử dụng các quan hệ ở đoạn 6.

Các công thức cuối cùng như sau:

(8.10)

dấu hiệu tương ứng

Với điều kiện là , số hạng thứ hai trong (8.10) sẽ nhỏ và công thức này có thể viết dưới dạng

Từ (8.5) và (8.7 – 8.12), suy ra rằng chuỗi phân kỳ thu được nếu chúng ta chính thức đặt , là tiệm cận của các hàm ở vế trái của các đẳng thức đang xét.

Phương pháp rút ra các công thức được đề cập chỉ đưa ra thứ tự độ lớn của số hạng còn lại, nhưng không cho phép đưa ra kết luận chính xác hơn. Theo các giả định đặc biệt liên quan, có thể bằng cách sửa đổi một chút lý do để thu được kết quả chính xác hơn đáng kể. Vì vậy, ví dụ, có thể chỉ ra rằng nếu và là các số thực dương và số đó được lấy lớn đến mức thì phần dư của khai triển tiệm cận của và sẽ nhỏ hơn về mặt số lượng so với số hạng đầu tiên bị loại bỏ. Trong biểu diễn tiệm cận của , kết quả tương tự cũng xảy ra với .

9 Điểm 0 của hàm trụ

Khi giải nhiều bài toán ứng dụng, cần phải có ý tưởng về sự phân bố các số 0 của các hàm trụ trên mặt phẳng của một biến phức và có thể tính gần đúng các giá trị của chúng.

Phân bố các số 0 của hàm Bessel có dấu nguyên dương, tức là nghiệm của phương trình

được thiết lập bởi định lý sau.

Định lý 4. Hàm không có các số 0 phức tạp và có vô số số 0 thực nằm đối xứng với điểm, trong trường hợp này, thuộc về số của chúng. Tất cả các số 0 của hàm đều đơn giản, ngoại trừ điểm , mà at tương ứng là số 0 của bội số .

Phân phối các số 0 của hàm Bessel với chỉ số thực tùy ý, tức là nghiệm của phương trình

– thực, (9.2)

được đưa ra bởi Định lý 5 tổng quát hơn.

Định lý 5. Hàm số là bất kỳ số thực nào) có vô số số 0 dương thực và số hữu hạn các số 0 liên hợp phức, trong đó, tùy thuộc vào giá trị của tham số,

(1) nếu hoặc

(2) tại

Nếu trong số các số 0 phức có một cặp số 0 thuần túy tưởng tượng.

Tất cả các số 0 của hàm đều đơn giản, có lẽ ngoại trừ điểm.

Trong toán vật lý, phương trình thường gặp

(trong đó và được cho các số thực, ), có thể coi là dạng tổng quát của phương trình (9.2). Với giới hạn tham số đã chỉ định, phương trình đang xét có vô số nghiệm dương và không có nghiệm phức, ngoại trừ trường hợp phương trình này có hai nghiệm thuần túy ảo.

Sự phân bố các số 0 của một hàm có thể được rút ra từ Định lý 5 bằng cách sử dụng các quan hệ ở đoạn 6. Đặc biệt, chúng ta lưu ý một kết quả quan trọng là mọi số 0 của hàm đều hoàn toàn là ảo. Hàm Macdonald cho số thực không có số 0 trong vùng. Các số 0 của hàm nằm trong phần còn lại của mặt phẳng cắt là các liên hợp phức và số lượng của chúng là hữu hạn.

Để tính gần đúng nghiệm của các phương trình chứa hàm trụ, phương pháp xấp xỉ liên tiếp được sử dụng và trong nhiều trường hợp, nghiệm của phương trình thu được từ phương trình ban đầu khi thay thế hàm trụ bằng biểu diễn tiệm cận của chúng có thể được coi là xấp xỉ ban đầu tốt .

10 Ví dụ

Giải phương trình vi phân:

Trong phương trình này chúng ta sẽ thực hiện thay thế

Ở đâu

Kể từ đây,

Thay các đạo hàm tìm được vào phương trình ban đầu, ta được:

Nhân với:

Cho phép , thì chúng ta nhận được:

Chia cho:

Dựa trên dạng tổng quát của phương trình Bessel (1), nó suy ra rằng .

Biểu thức tổng quát của hàm trụ dựa trên công thức (1.14) biểu thị tổ hợp tuyến tính của các nghiệm đã xây dựng:

ở đâu và là các hằng số tùy ý.

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu có dạng:

Phần kết luận

Trong khóa học này, các hàm Bessel (phương trình Bessel và phương trình Bessel sửa đổi), các tính chất cơ bản của các hàm trên đã được nghiên cứu và giải phương trình vi phân bằng cách sử dụng hàm Bessel.

Thư mục

1. Lebedev N.N. Các chức năng đặc biệt và ứng dụng của chúng (tái bản lần 2). – M.-L.: GIFML, 1963. – 359 giây.

2. Romanovsky P.I. Loạt Fourier. Lý thuyết trường. Chức năng phân tích và đặc biệt. Biến đổi Laplace, Sách giáo khoa cho các trường đại học. – M.: Nauka, 1983. – 336 giây.

3. Bateman G., Erdelyi A. Các chức năng siêu việt cao hơn. T. 2. Hàm Bessel, hàm số hình trụ parabol, đa thức trực giao. – M.: Nauka, 1966. – 296 giây.

4. Piskunov N.S. Phép tính vi phân và tích phân, sách giáo khoa cho các trường đại học. – M.: Nauka, 1985. – 560s.

5. G.N. Watson Một luận thuyết về lý thuyết hàm Bessel. 1945. (Có bản dịch: Watson G.N. Theory of Bessel: Bản dịch từ ấn bản tiếng Anh lần thứ 2 / Lời nói đầu của tác giả. V.S. Berman. - M.: IL, 1949 - 798 trang.)

6. Sabitov K.V. Phương trình hàm, vi phân và tích phân. – M.: Trường Cao Đẳng, 2005. – 671 giây.

7. Kuznetsov D.S. Chức năng đặc biệt. – M.: Trường Cao Đẳng, 1962. – 249 giây.

8. Morse F.M., Feshbach G. Phương pháp vật lý lý thuyết. T.2. – M.: IL, 1960. – 897s.

9. Korenev B.G. Giới thiệu lý thuyết về hàm Bessel. – M.: Nauka, 1971. – 287 giây.

10. Kuzmin R.O. Chức năng Bessel. – L.-M.: GTTI, 1933. – 152 giây.

Đơn đặt hàng.

Mặc dù $\alpha$ Và $(-\alpha)$ tạo ra các phương trình giống hệt nhau, họ thường đồng ý rằng các hàm khác nhau tương ứng với chúng (ví dụ, điều này được thực hiện sao cho hàm Bessel trơn tru trong $\alpha$ ).

Các hàm Bessel lần đầu tiên được định nghĩa bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Daniel Bernoulli và được đặt theo tên của Friedrich Bessel.

Các ứng dụng

sóng điện từ trong ống dẫn sóng hình trụ;
độ dẫn nhiệt trong vật hình trụ;
chế độ rung của màng tròn mỏng;
phân bố cường độ ánh sáng nhiễu xạ bởi lỗ tròn;
tốc độ của các hạt trong một hình trụ chứa đầy chất lỏng và quay quanh trục của nó;
hàm sóng trong hộp thế đối xứng hình cầu.

Hàm Bessel cũng được sử dụng để giải các bài toán khác, chẳng hạn như trong xử lý tín hiệu.

Các định nghĩa

Vì phương trình trên là phương trình vi phân tuyến tính bậc hai nên nó phải có hai nghiệm độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, tùy từng hoàn cảnh mà người ta lựa chọn những định nghĩa khác nhau về các quyết định này. Dưới đây là một số trong số họ.

Hàm Bessel loại một

Hàm Bessel loại một, ký hiệu $J_\alpha(x)$ , là nghiệm hữu hạn tại điểm $x=0$ cho số nguyên hoặc không âm $\alpha$ . Việc lựa chọn một hàm cụ thể và chuẩn hóa nó được xác định bởi các thuộc tính của nó. Chúng ta có thể định nghĩa các hàm này bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor quanh 0 (hoặc chuỗi lũy thừa tổng quát hơn cho các số không nguyên). $\alpha$ ):

$J_\alpha(x) = \sum_(m=0)^\infty \frac((-1)^m)(m!\, \Gamma(m+\alpha+1)) (\left((\frac( x)(2))\right))^(2m+\alpha)$

Hàm Neumann còn được gọi là hàm Bessel loại hai. Tổ hợp tuyến tính của các hàm Bessel loại một và loại hai là nghiệm hoàn chỉnh của phương trình Bessel:

$y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).$

Dưới đây là biểu đồ $Y_\alpha (x)$ Vì $\alpha = 0$ , 1 và 2:

Của cải

Tính trực giao

Cho phép $\mu_1$ Và $\mu_2$ - số không của hàm Bessel $J_(\alpha)(x)$ . Sau đó :

$\int_(0)^(1)(x J_(\alpha)(\mu_1 x) J_(\alpha)(\mu_2 x) dx) = \left\( \begin(matrix)0 & \mbox(;)\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac(1)(2)(J"_(\alpha)(\mu_1))^2 & \mbox(;)\quad \mu_1=\mu_2\end(ma trận) \right. .$

tiệm cận

Các công thức tiệm cận được biết đến với các hàm Bessel loại một và loại hai. Đối với những tranh luận nhỏ $(0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1})$ và không âm $\alpha$ chúng trông như thế này:

$J_\alpha(x) \rightarrow \frac(1)(\Gamma(\alpha+1)) \left(\frac(x)(2) \right) ^\alpha ,$ $Y_\alpha(x) \rightarrow \left\( \begin(matrix) \frac(2)(\pi) \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox(;)\quad \alpha=0 \\ \\ -\frac(\Gamma(\alpha))(\pi) \left(\frac(2)(x) \right) ^\alpha & \mbox(;)\quad\alpha > 0\end(ma trận) \right. ,$

$J_\alpha(z)=\frac((z/2)^\alpha)(\Gamma(\alpha+1)) ()_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).$

Vì vậy, đối với số nguyên $\alpha$ Hàm Bessel phân tích rõ ràng và đối với những số không nguyên - phân tích đa giá trị.

Ham sinh

Có một cách biểu diễn các hàm Bessel loại một và thứ tự số nguyên thông qua các hệ số của chuỗi Laurent của một hàm thuộc một loại nhất định, cụ thể là:

$e^(\frac(z)(2)\left(w-\frac(1)(w)\right))=\sum_(n=-\infty)^(+\infty)J_n(z)w^ N.$

Tỷ lệ

Công thức Jacobi-Anger và những vấn đề liên quan

Chúng tôi thu được các biểu thức cho hệ số tạo tại $a=1$ , $t=e^(i\phi)$ :

$e^(iz\sin\phi)=J_0(z)+2\sum_(n=1)^\infty J_(2n)(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_(n=1)^ \infty J_(2n-1)(z)\sin(2n-1)\phi.$

Tại $a=1$ , $t=ie^(i\phi)$ :

$e^(iz\cos\phi)=J_0(z)+2\sum_(n=1)^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).$

định lý cộng

Đối với bất kỳ toàn bộ $N$ và phức tạp $z_1$ Và $z_2$ thực hiện

$J_n(z_1+z_2) = \sum_(k=-\infty)^\infty J_k(z_1) J_(n-k)(z_2).$

biểu thức tích phân

Bất cứ gì $Một$ Và $b$ (bao gồm cả phức tạp) được thực hiện

$\int_0^\infty e^(-at)J_n(bt)\mathrm dt = \frac(b^n)(\sqrt(a^2+b^2)(\sqrt(a^2+b^2) +a)^n).$

Trường hợp đặc biệt của công thức cuối cùng là biểu thức

$\int_0^\infty e^(-at)J_0(bt)\mathrm dt = \frac(1)(\sqrt(a^2+b^2)).$

Xem thêm

Viết nhận xét về bài viết “Hàm Bessel”

Ghi chú

Văn học

Watson G. Lý thuyết về hàm Bessel. - M.: IL, 1949.
Bateman G., Erdelyi A. Hàm Bessel, hàm trụ parabol, đa thức trực giao // Hàm siêu việt cao hơn. T. 2. tái bản lần thứ 2. / Bản dịch. từ tiếng Anh N. Ya Vilenkina. - M.: Nauka, 1974. - 296 tr.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Các phương pháp lý thuyết hàm số phức. - M.: Nauka, 1973. - 736 tr.

Một đoạn trích mô tả chức năng Bessel

“Vera,” nữ bá tước nói với cô con gái lớn, rõ ràng là không được yêu thương. - Sao cậu chẳng biết gì cả? Bạn không cảm thấy mình lạc lõng ở đây sao? Hãy tới chỗ các chị em của cậu, hoặc...
Vera xinh đẹp cười khinh thường, hiển nhiên không hề cảm thấy chút xúc phạm nào.
“Nếu mẹ nói với con từ lâu rồi, mẹ ơi, con sẽ rời đi ngay lập tức,” cô nói và đi về phòng.
Nhưng khi đi ngang qua ghế sofa, cô nhận thấy có hai cặp đôi đang ngồi đối xứng ở hai cửa sổ. Cô dừng lại và mỉm cười khinh thường. Sonya ngồi cạnh Nikolai, người đang chép cho cô những bài thơ anh viết lần đầu tiên. Boris và Natasha đang ngồi ở một cửa sổ khác và im lặng khi Vera bước vào. Sonya và Natasha nhìn Vera với vẻ mặt tội lỗi và hạnh phúc.
Thật vui và cảm động khi nhìn những cô gái này đang yêu, nhưng rõ ràng việc nhìn thấy họ không khơi dậy được cảm giác dễ chịu trong Vera.
Cô nói: “Tôi đã bảo anh bao nhiêu lần rồi, đừng lấy đồ của tôi, anh có phòng riêng mà.”
Cô lấy lọ mực từ Nikolai.
“Nào, nào,” anh nói, làm ướt bút.
Vera nói: “Bạn biết cách làm mọi việc không đúng lúc. “Sau đó họ chạy vào phòng khách nên mọi người đều cảm thấy xấu hổ về bạn.”
Mặc dù thực tế là vậy, hay chính xác là vì những gì cô ấy nói hoàn toàn công bằng, nhưng không ai trả lời cô ấy, và cả bốn người chỉ nhìn nhau. Cô nán lại trong phòng với lọ mực trên tay.
- Và những bí mật nào có thể tồn tại ở độ tuổi của bạn giữa Natasha và Boris và giữa các bạn - tất cả chỉ là những điều vô nghĩa!
- Thế cô quan tâm làm gì, Vera? – Natasha xen vào với giọng trầm lặng.
Rõ ràng ngày hôm đó cô ấy thậm chí còn tử tế và tình cảm với mọi người hơn mọi khi.
“Thật ngu ngốc,” Vera nói, “tôi xấu hổ vì anh.” Những bí mật là gì?...
- Mỗi người đều có những bí mật riêng. Chúng tôi sẽ không chạm vào anh và Berg,” Natasha nói, trở nên phấn khích.
“Tôi nghĩ bạn sẽ không chạm vào tôi,” Vera nói, “bởi vì hành động của tôi không bao giờ có điều gì xấu cả.” Nhưng tôi sẽ kể cho mẹ biết bạn đối xử với Boris như thế nào.
Boris nói: “Natalya Ilyinishna đối xử rất tốt với tôi. “Tôi không thể phàn nàn,” anh nói.
- Bỏ đi, Boris, bạn đúng là một nhà ngoại giao (từ nhà ngoại giao được trẻ em sử dụng rất nhiều với ý nghĩa đặc biệt mà chúng gắn với từ này); Nó thậm chí còn nhàm chán nữa,” Natasha nói với giọng run run, bị xúc phạm. - Tại sao cô lại làm phiền tôi? Anh sẽ không bao giờ hiểu được điều này,” cô nói, quay sang Vera, “bởi vì anh chưa bao giờ yêu ai cả; bạn không có trái tim, bạn chỉ là madame de Genlis [Madame Genlis] (biệt danh này, bị coi là rất phản cảm, được Nikolai đặt cho Vera), và thú vui đầu tiên của bạn là gây rắc rối cho người khác. “Anh tán tỉnh Berg bao nhiêu tùy thích,” cô nói nhanh.
- Vâng, tôi chắc chắn sẽ không đuổi theo một chàng trai trẻ trước mặt khách...
“Chà, cô ấy đã đạt được mục tiêu của mình,” Nikolai can thiệp, “cô ấy đã nói những điều khó chịu với mọi người, khiến mọi người khó chịu.” Chúng ta hãy đi đến nhà trẻ.
Cả bốn người như một đàn chim sợ hãi đứng dậy rời khỏi phòng.
Vera nói: “Họ nói với tôi một số rắc rối, nhưng tôi không có ý gì với ai cả.
- Bà de Genlis! Bà de Genlis! - Tiếng cười nói từ phía sau cánh cửa.
Vera xinh đẹp, người có tác dụng khó chịu, khó chịu đối với mọi người, mỉm cười và dường như không bị ảnh hưởng bởi những gì người ta nói với mình, cô đi đến gương và vuốt thẳng khăn quàng cổ và kiểu tóc của mình. Nhìn khuôn mặt xinh đẹp của cô, dường như cô càng trở nên lạnh lùng và điềm tĩnh hơn.

Cuộc trò chuyện tiếp tục trong phòng khách.
- Ah! chere," nữ bá tước nói, "và trong cuộc đời tôi, tout n"est pas rose. Tôi không thấy rằng du train, que nous allons, [không phải mọi thứ đều là hoa hồng. - với cách sống của chúng ta,] tình trạng của chúng ta sẽ không tồn tại lâu dài với chúng tôi! Và "Tất cả chỉ là một câu lạc bộ, và lòng tốt của nó. Chúng tôi sống ở làng, chúng tôi có thực sự thư giãn không? Rạp hát, săn bắn và Chúa biết là gì. Nhưng tôi có thể nói gì về tôi! Chà, bạn đã sắp xếp tất cả như thế nào Cái này à? Tôi thường ngạc nhiên về bạn, Annette, làm sao mà ở độ tuổi của bạn, bạn lại có thể đi xe ngựa một mình đến Moscow, tới St. Petersburg, với tất cả các bộ trưởng, với tất cả giới quý tộc, bạn biết cách để có được cùng với mọi người, tôi rất ngạc nhiên! Chà, chuyện này diễn ra thế nào? Tôi không biết cách thực hiện bất kỳ điều gì trong số này.
- Ôi hồn tôi! - Công chúa Anna Mikhailovna trả lời. “Chúa cấm bạn biết rằng việc sống một góa phụ mà không có sự hỗ trợ và với một đứa con trai mà bạn yêu thương đến mức tôn thờ sẽ khó khăn như thế nào.” “Bạn sẽ học được mọi thứ,” cô ấy tiếp tục với chút tự hào. – Quá trình của tôi đã dạy tôi. Nếu tôi cần gặp một trong những con át chủ bài này, tôi sẽ viết một ghi chú: “princesse une Telle [công chúa tương tự] muốn xem thứ này thứ nọ,” và tôi tự lái xe taxi ít nhất là hai, ít nhất. ba lần, ít nhất là bốn lần, cho đến khi tôi đạt được điều mình cần. Tôi không quan tâm ai nghĩ gì về tôi.
- Chà, bạn đã hỏi ai về Borenka? – Nữ bá tước hỏi. - Rốt cuộc thì bạn đã là sĩ quan bảo vệ, còn Nikolushka là thiếu sinh quân. Không có ai để làm phiền. Bạn đã hỏi ai?
- Hoàng tử Vasily. Anh ấy rất tử tế. Bây giờ tôi đã đồng ý mọi việc, báo cáo với chủ quyền”, Công chúa Anna Mikhailovna vui mừng nói, hoàn toàn quên đi mọi tủi nhục mà cô đã phải trải qua để đạt được mục tiêu của mình.
- Rằng ông ấy đã già rồi phải không, Hoàng tử Vasily? – Nữ bá tước hỏi. – Tôi đã không gặp anh ấy kể từ rạp chiếu phim của chúng tôi ở Rumyantsevs. Và tôi nghĩ anh ấy đã quên tôi rồi. “Il me faisait la cour, [Anh ấy đang theo sau tôi,” nữ bá tước mỉm cười nhớ lại.
“Vẫn như cũ,” Anna Mikhailovna trả lời, “tốt bụng, sụp đổ.” Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Vị trí cao không hề quay đầu lại.] “Tôi rất tiếc là tôi có thể làm quá ít cho em, thưa công chúa thân yêu,” anh ấy nói với tôi, “hãy ra lệnh.” Không, anh ấy là một người đàn ông tốt và một thành viên tuyệt vời trong gia đình. Nhưng bạn biết đấy, Nathalieie, tình yêu của tôi dành cho con trai tôi. Tôi không biết mình sẽ làm gì để khiến anh ấy hạnh phúc. “Và hoàn cảnh của tôi thật tồi tệ,” Anna Mikhailovna tiếp tục với vẻ buồn bã và hạ giọng, “tệ đến mức bây giờ tôi đang ở trong tình huống khủng khiếp nhất. Quá trình đau khổ của tôi là ăn hết mọi thứ tôi có và không cử động. Bạn có thể tưởng tượng, tôi không có một la lettre [theo nghĩa đen], tôi không có một xu tiền và tôi không biết nên mặc gì cho Boris. “Cô ấy lấy ra một chiếc khăn tay và bắt đầu khóc. “Tôi cần năm trăm rúp, nhưng tôi có một tờ hai mươi lăm rúp.” Tôi đang ở vị trí này... Hy vọng duy nhất của tôi bây giờ là Bá tước Kirill Vladimirovich Bezukhov. Nếu anh ta không muốn hỗ trợ con đỡ đầu của mình - sau tất cả, anh ta đã rửa tội cho Borya - và giao cho anh ta một thứ gì đó để bảo trì, thì mọi rắc rối của tôi sẽ biến mất: Tôi sẽ không có gì để trang bị cho anh ta.
Nữ bá tước rơi nước mắt và im lặng suy nghĩ điều gì đó.
“Tôi thường nghĩ, có lẽ đây là một tội lỗi,” công chúa nói, “và tôi thường nghĩ: Bá tước Kirill Vladimirovich Bezukhoy sống một mình… đây là một khối tài sản khổng lồ… và ông ấy sống để làm gì? Cuộc sống là một gánh nặng đối với anh, nhưng Borya chỉ mới bắt đầu sống.
“Có lẽ anh ấy sẽ để lại thứ gì đó cho Boris,” nữ bá tước nói.
- Có Chúa mới biết, cưng à! [bạn thân mến!] Những người giàu có và quý tộc này thật ích kỷ. Nhưng bây giờ tôi vẫn sẽ đến gặp anh ấy cùng với Boris và nói thẳng với anh ấy chuyện gì đang xảy ra. Hãy để họ nghĩ họ muốn gì ở tôi, tôi thực sự không quan tâm khi số phận của con trai tôi phụ thuộc vào điều đó. - Công chúa đứng dậy. - Bây giờ là hai giờ, bốn giờ bạn ăn trưa. Tôi sẽ có thời gian để đi.
Và với kỹ thuật của một nữ doanh nhân St. Petersburg, người biết cách sử dụng thời gian, Anna Mikhailovna đã gọi con trai mình và cùng anh ta đi ra ngoài hành lang.
“Tạm biệt, tâm hồn của ta,” bà nói với nữ bá tước đang đi cùng bà ra cửa, “chúc mẹ thành công,” bà nói thêm với giọng thì thầm từ con trai mình.
– Bạn có đến thăm Bá tước Kirill Vladimirovich không, ma chere? - ông đếm từ phòng ăn nói, cũng đi ra hành lang. - Nếu anh ấy cảm thấy khỏe hơn, hãy mời Pierre đi ăn tối với tôi. Sau cùng, anh ấy đã đến thăm tôi và khiêu vũ với bọn trẻ. Hãy gọi cho tôi bằng mọi cách nhé, ma chere. Chà, hôm nay hãy xem Taras nổi bật như thế nào. Anh ấy nói rằng Bá tước Orlov chưa bao giờ có một bữa tối như chúng ta sẽ có.