Phương trình tuyến tính với ba ẩn số. Giải phương trình với ba ẩn số trong toán học

Một hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp nhiều phương trình được xét cùng nhau Các phương trình tuyến tính.

Hệ thống có thể có bất kỳ số lượng phương trình với bất kỳ số lượng ẩn số nào.

Giải pháp của một hệ phương trình là một tập hợp các giá trị chưa biết thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ thống, nghĩa là chuyển đổi chúng thành danh tính.

Một hệ thống có giải pháp được gọi là tương thích, ngược lại, nó được gọi là không nhất quán.

Các phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết hệ thống.

Cho phép
(số phương trình bằng số ẩn số).

Phương pháp Cramer

Xem xét giải pháp hệ thống ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số:

(7)

Để tìm cái chưa biết
Hãy áp dụng công thức Cramer:

(8)

Ở đâu - yếu tố quyết định của hệ thống, các yếu tố trong đó là hệ số của ẩn số:

.

thu được bằng cách thay thế cột đầu tiên của định thức cột thành viên miễn phí:

.

Tương tự:

;
.

ví dụ 1 Giải hệ bằng công thức Cramer:

.

Giải pháp: Hãy sử dụng công thức (8):

;

;

;

;

Trả lời:
.

Đối với bất kỳ hệ thống phương trình tuyến tính với ẩn số có thể nói:

giải pháp ma trận

Xét nghiệm của hệ (7) gồm ba phương trình tuyến tính ba ẩn số dưới dạng ma trận.

Sử dụng các quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình này có thể được viết là:
, Ở đâu

.

Hãy để ma trận không suy biến, tức là
. Nhân cả hai vế của phương trình ma trận bên trái với ma trận
, nghịch đảo của ma trận , chúng tôi nhận được:
.

Cho rằng
, chúng ta có

(9)

ví dụ 2 Giải hệ theo ma trận:

.

Giải pháp: Hãy giới thiệu ma trận:

- từ các hệ số chưa biết;

- cột thành viên tự do.

Sau đó, hệ thống có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận:
.

Ta dùng công thức (9). Hãy tìm ma trận nghịch đảo
theo công thức (6):

;

.

Kể từ đây,

Lấy:

.

Trả lời:
.

Loại bỏ liên tiếp các ẩn số (phương pháp Gauss)

Ý tưởng chính của phương pháp được sử dụng là loại bỏ liên tiếp các ẩn số. Hãy để chúng tôi giải thích ý nghĩa của phương pháp này trên hệ thống ba phương trình với ba ẩn số:

.

Hãy giả sử rằng
(Nếu như
, sau đó chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình, chọn phương trình đầu tiên là phương trình trong đó hệ số tại không bằng không).

Bước đầu tiên: a) chia phương trình
TRÊN
; b) nhân phương trình kết quả với
và trừ đi
; c) sau đó nhân kết quả với
và trừ đi
. Kết quả của bước đầu tiên, chúng ta sẽ có một hệ thống:

,

Bước thứ hai: xử lý phương trình
Và
giống như với các phương trình
.

Kết quả là, hệ thống ban đầu được chuyển thành cái gọi là dạng từng bước:

Từ hệ đã biến đổi, tất cả các ẩn số lần lượt được xác định không khó khăn.

Bình luận. Trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu rút gọn thành một dạng bậc thang không phải chính hệ phương trình mà là một ma trận các hệ số, ở ẩn số và số hạng tự do.

ví dụ 3 Giải hệ bằng phương pháp Gaussian:

.

Việc chuyển đổi từ ma trận này sang ma trận khác sẽ được viết bằng cách sử dụng dấu tương đương ~.

~
~
~
~

~
.

Sử dụng ma trận kết quả, chúng tôi viết ra hệ thống đã chuyển đổi:

.

Trả lời:
.

Lưu ý: Nếu hệ có nghiệm duy nhất, thì hệ từng bước được rút gọn thành dạng tam giác, nghĩa là thành dạng mà phương trình cuối cùng chứa một ẩn số. Trong trường hợp của một hệ thống không xác định, nghĩa là một hệ thống trong đó số ẩn số số lượng nhiều hơnđộc lập tuyến tính, sẽ không có hệ tam giác, vì phương trình cuối cùng sẽ chứa nhiều hơn một ẩn số (hệ có vô số nghiệm). Khi hệ thống không nhất quán, thì sau khi giảm nó thành dạng bậc thang, nó sẽ chứa ít nhất một giá trị loại
, nghĩa là, một phương trình trong đó tất cả các ẩn số đều có hệ số bằng 0 và phần bên phải khác không (hệ vô nghiệm). Phương pháp Gauss có thể áp dụng cho một hệ phương trình tuyến tính tùy ý (đối với bất kỳ
Và ).

Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gaussian, câu trả lời cho câu hỏi hệ đã cho tương thích hay không nhất quán chỉ có thể được đưa ra khi kết thúc các phép tính. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải giải quyết câu hỏi về tính tương thích hoặc không nhất quán của một hệ phương trình mà không cần tự tìm nghiệm. Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý Kronecker-Capelli sau đây.

Hãy để hệ thống
phương trình tuyến tính với không xác định:

(10)

Để hệ thống (10) nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận hệ thống

.

bằng với hạng của ma trận mở rộng của nó

.

Hơn nữa, nếu
thì hệ (10) có nghiệm duy nhất; nếu như
thì hệ có vô số nghiệm.

Xét một hệ thuần nhất (tất cả các số hạng tự do đều bằng 0) gồm các phương trình tuyến tính:

.

Hệ thống này luôn nhất quán vì nó có nghiệm bằng không.

Định lý sau đây đưa ra các điều kiện theo đó hệ thống cũng có các nghiệm khác không.

Terema. Để hệ thống đồng nhất phương trình đường thẳng có nghiệm bằng 0 thì cần và đủ để định thức của nó bằng không:

.

Như vậy, nếu
, thì nghiệm là duy nhất. Nếu như
, thì có vô số nghiệm khác không. Hãy chỉ ra một trong các phương pháp tìm nghiệm của hệ ba phương trình tuyến tính thuần nhất với ba ẩn số trong trường hợp
.

Có thể chứng minh rằng nếu
, và phương trình thứ nhất và thứ hai không tỷ lệ thuận (độc lập tuyến tính), thì phương trình thứ ba là hệ quả của hai phương trình đầu tiên. Nghiệm của một hệ ba phương trình thuần nhất với ba ẩn số được rút gọn thành nghiệm của hai phương trình với ba ẩn số. Cái gọi là ẩn số miễn phí xuất hiện, có thể gán các giá trị tùy ý.

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giải pháp hệ thống:

.

Giải pháp. Yếu tố quyết định của hệ thống này

.

Do đó, hệ thống không có giải pháp. Có thể thấy rằng hai phương trình đầu tiên, chẳng hạn, không tỷ lệ thuận, do đó chúng độc lập tuyến tính. Cái thứ ba là hệ quả của hai cái đầu tiên (thu được bằng cách cộng hai lần cái thứ hai vào phương trình thứ nhất). Bác bỏ nó, ta thu được hệ hai phương trình với ba ẩn số:

.

Giả sử, ví dụ,
, chúng tôi nhận được

.

Giải hệ hai phương trình tuyến tính, ta biểu diễn Và bởi vì :
. Do đó, giải pháp của hệ thống có thể được viết là:
, Ở đâu - số tùy ý.

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giải pháp hệ thống:

.

Giải pháp. Dễ thấy rằng trong hệ này chỉ tồn tại một phương trình độc lập (hai phương trình còn lại tỉ lệ thuận với nó). Một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số đã được rút gọn thành một phương trình với ba ẩn số. Hai ẩn số tự do xuất hiện. Tìm kiếm, ví dụ, từ phương trình đầu tiên
cho tùy ý Và , ta thu được nghiệm của hệ này. Hình thức chung của giải pháp có thể được viết là Và - số tùy ý.

Câu hỏi tự kiểm tra

Lập quy tắc Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính với không xác định.

Bản chất của phương pháp ma trận để giải quyết các hệ thống là gì?

Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính là gì?

Xây dựng định lý Kronecker-Capelli.

Lập điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm khác 0 của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Ví dụ để tự giải quyết

Tìm tất cả các giải pháp hệ thống:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Xác định tại những giá trị nào Và hệ phương trình

a) có nghiệm duy nhất;

b) không có giải pháp;

c) có vô số nghiệm.

16.
; 17.
;

Tìm tất cả các nghiệm của các hệ thuần nhất sau:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Câu trả lời cho các ví dụ

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- số tùy ý.

6.
, Ở đâu - số tùy ý.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Ở đâu - số tùy ý.

12. , ở đâu Và - số tùy ý.

13.
; 14.
Ở đâu Và - số tùy ý.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., ở đâu - số tùy ý.

21. , ở đâu - số tùy ý.

22. , ở đâu - số tùy ý.

23. , ở đâu Và - số tùy ý.

Đối với hệ thống, chúng tôi soạn yếu tố quyết định chính

và tính toán nó.

Sau đó, chúng tôi thực hiện các yếu tố quyết định bổ sung

và tính toán chúng.

Theo quy tắc Cramer, giải pháp của hệ thống được tìm thấy bởi các công thức

;
;
,Nếu như

1)

Hãy tính:

Theo công thức Cramer ta tìm được:

Trả lời: (1; 2; 3)

2)

Hãy tính:

Do yếu tố quyết định chính
và ít nhất một phần bổ sung không bằng 0 (trong trường hợp của chúng tôi
) thì hệ vô nghiệm.

3)

Hãy tính:

Vì tất cả các định thức đều bằng 0 nên hệ có bộ vô hạn các giải pháp có thể được tìm thấy

Giải quyết các hệ thống của riêng bạn:

MỘT)
b)

Đáp án: a) (1; 2; 5) b) ;;

Bài thực hành số 3 về chủ đề:

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó

1. Nếu được
Và
, Cái đó tích vô hướng tìm theo công thức:

∙

2. Nếu thì tích vô hướng của hai vectơ này được tìm theo công thức

1. Hai vectơ đã cho
Và

Ta tìm được tích vô hướng của chúng như sau:

.

2. Hai vectơ đã cho:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

sản phẩm chấm được tìm thấy như thế này:

3.
,

3.1 Tìm công của một lực không đổi trên một đoạn đường thẳng

1) Dưới tác dụng của một lực 15N, vật chuyển động thẳng đều 2m. Góc giữa lực và phương chuyển động =60 0 . Tính công thực hiện bởi lực để chuyển động cơ thể.

Được cho:

Giải pháp:

2) Cho:

Giải pháp:

3) Một vật chuyển động từ điểm M(1; 2; 3) đến điểm N(5; 4; 6) dưới tác dụng của một lực 60N. Góc giữa phương của lực và vectơ độ dời =45 0 . Tính công mà lực này thực hiện.

Lời giải: tìm véc tơ độ dời

Tìm mô đun vectơ chuyển vị:

Theo công thức
tìm kiếm một công việc:

3.2 Xác định trực giao của hai vectơ

Hai vectơ trực giao với nhau nếu
, đó là

bởi vì

1)

- không trực giao

2)

-trực giao

3) Xác định các vectơ  nào
Và
trực giao với nhau.

Bởi vì
, Cái đó
, Có nghĩa

Quyết định cho chính mình:

MỘT)

. Tìm tích vô hướng của chúng.

b) Tính công của lực đó
, nếu điểm ứng dụng của nó chuyển động thẳng đều từ điểm M(5; -6; 1) đến điểm N(1; -2; 3)

c) Xác định xem các vectơ có trực giao với nhau không
Và

Đáp án: a) 1 b) 16 c) đúng

3.3 Tìm góc giữa các vectơ

1)

. Tìm thấy .

Chúng ta tìm thấy

cắm vào công thức:

.

1). Cho các đỉnh của tam giác A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Tìm góc tại đỉnh A.

Thay vào công thức:

Quyết định cho chính mình:

Cho các đỉnh của tam giác A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Định nghĩa góc trongở đầu A

Đáp số: 90 o

Bài thực hành số 4 về chủ đề:

TÍCH Vectơ CỦA HAI Vectơ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ.

Công thức tìm tích chéo của hai vectơ:

	có hình thức

1) Tìm môđun tích vectơ:

Chúng tôi soạn định thức và tính toán nó (theo quy tắc Sarrus hoặc định lý về việc khai triển định thức theo các phần tử của hàng đầu tiên).

Phương pháp thứ nhất: theo quy tắc Sarrus

Cách 2: khai triển định thức theo các phần tử của hàng đầu tiên.

2) Tìm môđun của tích chéo:

4.1. TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH BÌNH ĐẲNG DẪN TRÊN HAI Vectơ.

1) Tính diện tích hình bình hành dựng trên vectơ

2). Tìm sản phẩm chéo và mô đun của nó

4.2. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Ví dụ: Cho các đỉnh của tam giác A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Tính diện tích tam giác.

Đầu tiên, hãy tìm tọa độ của hai vectơ cùng xuất phát từ một đỉnh.

Hãy tìm tích vectơ của chúng

4.3. XÁC ĐỊNH SỰ CỘNG TUYẾN CỦA HAI Vectơ

Nếu véc tơ
Và
thẳng hàng thì

, tức là tọa độ của các vectơ phải tỷ lệ thuận.

a) Dữ liệu véc tơ::
,
.

Chúng thẳng hàng vì
Và

sau khi rút gọn mỗi phân số thì thu được tỉ số

b) Dữ liệu véc tơ:

.

Chúng không thẳng hàng vì
hoặc

Quyết định cho chính mình:

a) Với những giá trị nào của m và n thì véc tơ
thẳng hàng?

Trả lời:
;

b) Tìm tích chéo và môđun của nó
,
.

Trả lời:
,
.

Bài thực hành số 5 về chủ đề:

ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MẶT BAY

Bài số 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-2; 3) song song với đường thẳng

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng
.

là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc và tọa độ ban đầu (
). đó là lý do tại sao
.

2. Vì hai đường thẳng MN và AC song song nên hệ số góc của chúng bằng nhau, tức là
.

3. Để tìm phương trình đường thẳng AC ta dùng phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc cho trước:

. Trong công thức này, thay vì Và ta thay tọa độ của điểm A(-2;3) vào hãy thay thế - 3. Kết quả của sự thay thế, chúng tôi nhận được:

Trả lời:

Nhiệm vụ số 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(1; -2) song song với đường thẳng.

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng.

Đây là phương trình tổng quát của một đường thẳng mà trong nhìn chungđược cho bởi công thức. So sánh các phương trình và chúng tôi thấy rằng A \u003d 2, B \u003d -3. Hệ số góc của đường thẳng cho bởi phương trình được tìm theo công thức
. Thay thế A = 2 và B = –3 vào công thức này, chúng tôi nhận được dốc trực tiếp MN. Vì thế,
.

2. Vì hai đường thẳng MN và KS song song nên hệ số góc của chúng bằng:
.

3. Để tìm phương trình đường thẳng KS, ta sử dụng công thức viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc cho trước
. Trong công thức này, thay vì Và ta thay tọa độ của điểm K(–2; 3), thay cho

Bài số 3. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(–1; –3) vuông góc với đường thẳng.

1. là phương trình tổng quát của một đường thẳng, thường được cho bởi căn thức.

và chúng tôi thấy rằng A = 3, B = 4.

Hệ số góc của đường thẳng cho bởi phương trình được tìm theo công thức:
. Thay A = 3 và B = 4 vào công thức này, ta được hệ số góc của đường thẳng MN:
.

2. Vì hai đường thẳng MN và KD vuông góc với nhau nên hệ số góc của chúng tỉ lệ nghịch và trái dấu:

.

3. Để tìm phương trình đường thẳng KD, ta sử dụng công thức viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc cho trước

. Trong công thức này, thay vì Và ta thay tọa độ của điểm K(–1; –3), thay cho hãy thay thế . Kết quả của sự thay thế, chúng tôi nhận được:

Quyết định cho chính mình:

1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(–4; 1) song song với đường thẳng
.

Trả lời:
.

2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(5; -2) song song với đường thẳng
.

3. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(–2; –6) vuông góc với đường thẳng
.

4. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm K(7; -2) vuông góc với đường thẳng
.

Trả lời:
.

5. Tìm phương trình đường vuông góc kẻ từ điểm K(–6; 7) đến đường thẳng
.

Sau khi tác giả của trang web có thể dạy bot của mình giải một phương trình Diophantine tuyến tính với hai biến, đã có một mong muốn dạy bot giải các phương trình tương tự, nhưng với ba ẩn số. Tôi đã phải đi sâu vào những cuốn sách.

Xuất hiện từ đó hai tháng sau, tác giả nhận ra rằng mình không hiểu gì cả. Những nhà toán học cực kỳ thông minh, họ đã viết thuật toán để suy ra các công thức phức tạp đến mức tôi cảm thấy xấu hổ với một người phàm. Tôi rất buồn, nhưng tôi vẫn tìm thấy một suy nghĩ hữu ích trong những khoảng trống của cuốn sách, và từ suy nghĩ này đã hiểu ra cách giải phương trình Diophantine với ba ẩn số.

Vì vậy, đối với tất cả những người không phải là nhà toán học, nhưng muốn trở thành :)

Phương trình Diophantine với ba ẩn số trông như thế này

đâu là số nguyên

Nếu chúng ta nghĩ gì quyết định chung có thể chưa biết, tầm thường nhất trông như thế này

Thay thế giải pháp chung của chúng tôi vào phương trình

Việc sử dụng này là gì, người đọc thiếu kiên nhẫn sẽ hỏi? Nhưng cái nào, chúng tôi nhóm mọi thứ theo ẩn số, chúng tôi nhận được

Nhìn kìa, ở phía bên phải có một số hằng số, ký hiệu là chữ d

Điều này có nghĩa là nó không phụ thuộc vào t (nó là một biến, bạn không bao giờ biết nó muốn trở thành giá trị gì), nghĩa là

Thật hợp lý khi giả sử rằng nó cũng không phụ thuộc vào z, có nghĩa là

nhưng nó phụ thuộc trực tiếp vào các giá trị không đổi của A 3 và B 3, nghĩa là

Chúng ta đã kết thúc với cái gì? Và chúng tôi có ba phương trình Diophantine cổ điển điển hình trong hai ẩn số mà chúng ta có thể quyết định một cách dễ dàng và tự nhiên.

Hãy thử quyết định xem?

Trong những dòng đầu tiên công cụ tìm kiếm tìm thấy phương trình này

Phương trình đầu tiên sẽ như thế này

rễ của nó

Hãy loại bỏ các số 0, lấy ví dụ k=-1. (Nếu muốn, bạn có thể lấy 2 hoặc 100 hoặc -3) Bật quyết định cuối cùng nó sẽ không ảnh hưởng.

Ta giải phương trình thứ hai

và gốc rễ của nó

ở đây đặt k=0 (vì X và Y chưa trùng nhau ở các giá trị 0)

VÀ thứ ba cuối cùng phương trình

Rễ là đây

Bây giờ chúng ta hãy thay thế tất cả các giá trị tìm thấy thành dạng chung

Đó là tất cả!

Lưu ý rằng mọi thứ được giải quyết rất dễ dàng và minh bạch! Chắc chắn giáo viên và học sinh có khả năng sẽ áp dụng kỹ thuật này, vì tác giả của bot đã tìm thấy nó trong sách.

Một ví dụ khác đã được giải quyết bằng bot.

Phép cộng: Khi bạn giải các phương trình tương tự với sự trợ giúp của bot, bạn có thể gặp phải thực tế là bot sẽ báo lỗi cho bạn yêu cầu bạn hoán đổi các biến để thử giải phương trình khác. Điều này là do thực tế là trong quá trình tính toán trung gian, một phương trình không thể giải được thu được

như một ví dụ

Khi cố gắng giải phương trình

trong trường hợp của chúng ta

chúng tôi sẽ gặp lỗi, bởi vì đối với bất kỳ giá trị nào, ở phía bên trái sẽ luôn có (!!) số chẵn, và vế phải, như ta thấy, là số lẻ.

Nhưng điều này không có nghĩa là phương trình ban đầu không thể giải được. Chỉ cần thay đổi các điều khoản theo một thứ tự khác là đủ, ví dụ như thế này

và nhận được câu trả lời

Việc sử dụng các phương trình là phổ biến trong cuộc sống của chúng tôi. Chúng được sử dụng nhiều trong tính toán, xây dựng các công trình và thậm chí cả trong thể thao. Các phương trình đã được con người sử dụng từ thời cổ đại và kể từ đó việc sử dụng chúng chỉ ngày càng tăng. Một hệ ba phương trình với ba ẩn số không có nghiệm trong mọi trường hợp, mặc dù một số lượng lớn phương trình. Theo quy định, loại hệ thống này được giải bằng phương pháp thay thế hoặc bằng phương pháp Cramer. Phương pháp thứ hai cho phép xác định ở giai đoạn đầu tiên liệu hệ thống có giải pháp hay không.

Giả sử chúng ta được cho hệ thống tiếp theo từ ba phương trình với ba ẩn số:

\[\left\(\begin(ma trận) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(ma trận)\right.\]

Có thể giải quyết vấn đề này hệ thống không đồng nhất tuyến tính phương trình đại số Ax = B theo phương pháp Cramer:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Định thức của hệ thống \ không bằng 0. Tìm các định thức phụ \ nếu chúng khác 0 thì không có nghiệm, nếu chúng bằng nhau thì có vô số nghiệm

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Một hệ gồm 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số, định thức của nó khác 0, luôn tương thích và có nghiệm duy nhất được tính theo công thức:

Trả lời: đã có quyết định

\[\left\(\begin(ma trận) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(ma trận)\right.\]

Tôi có thể giải một hệ phương trình với ba ẩn số trực tuyến ở đâu?

Bạn có thể giải phương trình trên trang web https://site của chúng tôi. Trình giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải một phương trình trực tuyến với bất kỳ độ phức tạp nào trong vài giây. Tất cả những gì bạn phải làm chỉ là nhập dữ liệu của mình vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem hướng dẫn bằng video và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, bạn có thể hỏi họ trong nhóm Vkontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn.

Hệ ba phương trình tuyến tính ba ẩn số

Phương trình tuyến tính (phương trình cấp một) với hai ẩn số

Định nghĩa 1 . Phương trình tuyến tính (phương trình bậc nhất) với hai ẩn số x và y đặt tên cho một phương trình giống như

Giải pháp . Chúng ta hãy biểu diễn từ đẳng thức (2) biến y theo biến x :

Từ công thức (3) suy ra tất cả các cặp số có dạng

trong đó x là bất kỳ số nào.

Nhận xét . Như có thể thấy từ giải pháp của ví dụ 1, phương trình (2) có vô số giải pháp. Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu ý là không phải bất kỳ cặp số nào (x; y) là nghiệm của phương trình này. Để có được một số nghiệm cho phương trình (2), số x có thể được lấy dưới dạng bất kỳ số nào và sau đó số y có thể được tính bằng công thức (3).

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn

Định nghĩa 3 . Một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số x và y được gọi là hệ phương trình có dạng

Ở đâu Một 1 , b 1 , c 1 , Một 2 , b 2 , c 2 được cho số.

Định nghĩa 4 . Trong hệ phương trình (4), các số Một 1 , b 1 , Một 2 , b 2 được gọi và các số c 1 , c 2 – thành viên miễn phí.

Định nghĩa 5 . Bằng cách giải hệ phương trình (4)đặt tên cho một cặp số x; y), là nghiệm của cả phương trình này và phương trình kia của hệ (4).

Định nghĩa 6 . Hai hệ phương trình được gọi là tương đương (tương đương), nếu mọi nghiệm của hệ phương trình thứ nhất là nghiệm của hệ thứ hai và mọi nghiệm của hệ thứ hai đều là nghiệm của hệ thứ nhất.

Sự tương đương của các hệ phương trình được biểu thị bằng ký hiệu ""

Các hệ phương trình tuyến tính được giải với sự trợ giúp mà chúng tôi sẽ minh họa bằng các ví dụ.

Ví dụ 2 . Giải một hệ phương trình

Giải pháp . Để giải hệ (5) chúng tôi loại bỏ ẩn số khỏi phương trình thứ hai của hệ thống X.

Để đạt được điều này, trước tiên chúng ta chuyển đổi hệ thống (5) thành một dạng trong đó các hệ số của ẩn số x trong phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống trở nên giống nhau.

Nếu nhân phương trình thứ nhất của hệ (5) với hệ số tại x ở phương trình thứ hai (số 7), và phương trình thứ hai nhân với hệ số tại x ở phương trình thứ nhất (số 2) thì hệ (5) sẽ có hình thức

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (6):

• trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thay thế phương trình thứ hai của hệ bằng sự khác biệt thu được.

Kết quả là hệ (6) được biến đổi thành hệ tương đương

Từ phương trình thứ hai ta tìm được y= 3 và thay giá trị này vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được

Trả lời . (-2 ; 3) .

Ví dụ 3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số p để hệ phương trình

MỘT) có nghiệm duy nhất;

b) có vô số nghiệm;

V) không có giải pháp.

Giải pháp . Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ hai của hệ (7) và thay biểu thức kết quả thay vì x vào phương trình đầu tiên của hệ (7), chúng ta thu được

Ta hãy nghiên cứu các nghiệm của hệ (8) phụ thuộc vào các giá trị của tham số p . Để làm điều này, trước tiên chúng tôi xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống (8):

y (2 - P) (2 + P) = 2 + P

(9)

Nếu như thì phương trình (9) có nghiệm duy nhất

Như vậy, trong trường hợp khi , hệ thống (7) có giải pháp duy nhất

Nếu như P= - 2 thì phương trình (9) có dạng

và giải pháp của nó là bất kỳ số nào . Do đó, nghiệm của hệ (7) là bộ vô hạn tất cả cặp số

,

trong đó y là bất kỳ số nào.

Nếu như P= 2 thì phương trình (9) có dạng

và không có giải pháp, từ đó nó tuân theo hệ thống đó (7) không có giải pháp.

Hệ ba phương trình tuyến tính ba ẩn số

Định nghĩa 7 . Hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số x , y và z gọi hệ phương trình có dạng

Ở đâu Một 1 , b 1 , c 1 , đ 1 , Một 2 , b 2 , c 2 , đ 2 , Một 3 , b 3 , c 3 , đ 3 được cho số.

Định nghĩa 8 . Trong hệ phương trình (10), các số Một 1 , b 1 , c 1 , Một 2 , b 2 , c 2 , Một 3 , b 3 , c 3 gọi điện hệ số chưa biết, và các số đ 1 , đ 2 , đ 3 – thành viên miễn phí.

Định nghĩa 9 . Bằng cách giải hệ phương trình (10)đặt tên cho một bộ ba số (x; y ; z) , khi thay chúng vào từng ba phương trình của hệ (10) ta được đẳng thức đúng.

Ví dụ 4 . Giải một hệ phương trình

Giải pháp . Ta sẽ giải hệ (11) bằng phương pháp loại trừ tuần tự không xác định.

Đối với điều này, đầu tiên chúng tôi loại bỏ ẩn số khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống y bằng cách thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ (11):

• chúng tôi giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thống;
• thêm phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai và thay phương trình thứ hai của hệ bằng tổng kết quả;
• trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ ba và thay thế phương trình thứ ba của hệ thống bằng sự khác biệt kết quả.

Kết quả là hệ (11) được biến đổi thành hệ tương đương

Hiện nay chúng tôi loại bỏ ẩn số khỏi phương trình thứ ba của hệ thống x bằng cách thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (12):

• chúng tôi giữ nguyên phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống;
• trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba và thay thế phương trình thứ ba của hệ thống bằng sự khác biệt kết quả.

Kết quả là hệ (12) được biến đổi thành hệ tương đương

Ngoài hệ thống (13) liên tục tìm thấy

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Trả lời . (1 ; 2 ; -2) .

Ví dụ 5 . Giải một hệ phương trình

Giải pháp . Lưu ý rằng từ hệ thống này người ta có thể có được một cách thuận tiện kết quả bằng cách thêm cả ba phương trình của hệ thống: