Phương pháp Gauss (loại trừ liên tiếp các ẩn số). Ví dụ về các giải pháp cho hình nộm

Chúng ta hãy xem xét các phương pháp chính xác để giải quyết hệ thống; đây là ma trận thứ nguyên

Một phương pháp để giải một bài toán được phân loại là chính xác nếu, với giả thiết rằng không có các phép làm tròn, nó đưa ra một lời giải chính xác cho bài toán sau một số hữu hạn các phép toán số học và logic. Nếu số phần tử khác không của ma trận của hệ có bậc, thì đối với hầu hết các phương pháp chính xác được sử dụng hiện nay để giải các hệ như vậy, số phép toán cần thiết có bậc là. Do đó, để có thể áp dụng các phương pháp chính xác, cần phải chấp nhận thứ tự số lượng thao tác như vậy đối với một máy tính nhất định; các hạn chế khác do dung lượng và cấu trúc của bộ nhớ máy tính áp đặt.

Mệnh đề về "các phương pháp hiện đang được sử dụng" có ý nghĩa như sau. Có những phương pháp giải các hệ thống như vậy với số lượng phép toán thấp hơn, nhưng chúng không được sử dụng tích cực do độ nhạy cao của kết quả đối với sai số tính toán.

Phương pháp chính xác nổi tiếng nhất để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp khử Gauss. Hãy xem xét một trong những cách triển khai có thể có của nó. Theo giả thiết, phương trình đầu tiên của hệ

chia cho hệ số, kết quả là chúng ta thu được phương trình

Sau đó, từ mỗi phương trình còn lại, phương trình đầu tiên được trừ đi, nhân với hệ số thích hợp. Kết quả là, các phương trình này được chuyển thành dạng

Ẩn số đầu tiên hóa ra bị loại khỏi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Hơn nữa, theo giả thiết rằng, chúng ta chia phương trình thứ hai cho hệ số và loại trừ ẩn số khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai, v.v. Kết quả của việc loại bỏ ẩn số liên tiếp, hệ phương trình được chuyển thành hệ phương trình với ma trận tam giác

Tập hợp các phép tính được thực hiện, trong đó bài toán ban đầu được chuyển thành dạng (2), được gọi là quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss.

Từ phương trình của hệ (2) ta xác định được, từ, v.v ... lên đến. Tổng các phép tính như vậy được gọi là quá trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Có thể dễ dàng kiểm tra rằng việc thực hiện bước tiến của phương pháp Gauss yêu cầu các phép toán số học và phép chạy ngược lại yêu cầu các phép toán số học.

Ngoại lệ xảy ra do kết quả của các phép toán sau: 1) chia phương trình cho, 2) trừ phương trình thu được sau phép chia đó, nhân với, từ phương trình có số k. Phép toán đầu tiên tương đương với việc nhân hệ phương trình bên trái với ma trận đường chéo

phép toán thứ hai tương đương với phép nhân ở bên trái với ma trận

Do đó, hệ thống (2) thu được do kết quả của các phép biến đổi này có thể được viết là

Tích của ma trận tam giác trái (phải) là ma trận tam giác trái (phải), do đó C là ma trận tam giác trái. Từ công thức cho các phần tử của ma trận nghịch đảo

theo đó ma trận nghịch đảo với một tam giác trái (phải) là một tam giác trái (phải). Do đó, ma trận là hình tam giác trái.

Hãy giới thiệu ký hiệu. Theo cách xây dựng, mọi thứ và ma trận D đều là tam giác vuông. Từ đây, chúng ta có được biểu diễn của ma trận A dưới dạng tích của ma trận tam giác trái và phải:

Bằng nhau, cùng với điều kiện, tạo thành một hệ phương trình với các phần tử của ma trận tam giác B và:. Vì cho và cho, hệ thống này có thể được viết là

(3)

hoặc, giống nhau,

Sử dụng điều kiện tất cả những gì chúng ta có được một hệ thống quan hệ lặp lại để xác định các phần tử và:

Các phép tính được thực hiện tuần tự cho các bộ. Ở đây và dưới đây, trong trường hợp giới hạn tổng trên nhỏ hơn giới hạn dưới, thì giả sử rằng tổng toàn bộ bằng không.

Vì vậy, thay vì biến đổi liên tiếp hệ (1) về dạng (2), người ta có thể tính trực tiếp ma trận B và sử dụng công thức (4). Các phép tính này chỉ có thể được thực hiện nếu tất cả các phần tử khác 0. Cho là các ma trận của các con chính theo thứ tự của các ma trận A, B, D. Theo (3). Bởi vì lúc đó . Vì thế,

Vì vậy, để thực hiện các phép tính theo công thức (4), cần và đủ các điều kiện

Trong một số trường hợp, người ta biết trước rằng điều kiện (5) được thỏa mãn. Ví dụ, nhiều bài toán của vật lý toán học được rút gọn để giải hệ với một ma trận xác định dương A. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, điều này không thể nói trước. Trường hợp như vậy cũng có thể xảy ra: mọi thứ, nhưng trong số các đại lượng có những đại lượng rất nhỏ, và khi chia cho chúng sẽ thu được những số lớn với sai số tuyệt đối lớn. Kết quả là, giải pháp sẽ bị bóp méo mạnh mẽ.

Hãy biểu thị. Kể từ đó, các bằng nhau giữ nguyên. Như vậy, sau khi phân tích ma trận của hệ ban đầu thành tích của ma trận tam giác trái và phải, nghiệm của hệ ban đầu được rút gọn thành nghiệm tuần tự của hai hệ có ma trận tam giác; điều này sẽ yêu cầu các phép toán số học.

Thường thuận tiện khi kết hợp chuỗi các phép toán để phân rã ma trận A thành tích của ma trận tam giác và để xác định vectơ d. Phương trình

hệ thống có thể được viết là

Do đó, các giá trị có thể được tính toán đồng thời với các giá trị còn lại bằng cách sử dụng công thức (4).

Khi giải các bài toán thực tế, việc giải các hệ phương trình với ma trận chứa một số lớn các phần tử bằng 0 thường trở nên cần thiết.

Thông thường, các ma trận này có cấu trúc được gọi là băng tần. Chính xác hơn, ma trận A được gọi là -bí giác hoặc có cấu trúc dải, nếu tại. Con số được gọi là chiều rộng của băng. Hóa ra là khi giải hệ phương trình với ma trận băng bằng phương pháp Gauss, số phép tính số học và dung lượng bộ nhớ máy tính cần thiết có thể giảm đáng kể.

Nhiệm vụ 1. Khảo sát đặc điểm của phương pháp Gauss và phương pháp giải hệ sử dụng phép phân tích ma trận dải A thành tích của ma trận tam giác trái và phải. Chứng tỏ rằng các phép toán số học được yêu cầu để tìm nghiệm (cho). Tìm thành viên đứng đầu của số hoạt động với điều kiện.

Nhiệm vụ 2. Ước tính dung lượng bộ nhớ máy tính được tải trong phương pháp Gauss cho ma trận băng.

Khi tính toán mà không có sự trợ giúp của máy tính, khả năng xảy ra sai số ngẫu nhiên là cao. Để loại bỏ những sai số như vậy, đôi khi một hệ thống điều khiển được đưa vào, bao gồm các phần tử điều khiển của các phương trình của hệ thống.

Khi biến đổi phương trình, các phép toán tương tự được thực hiện trên các phần tử điều khiển như trên các phần tử tự do của phương trình. Do đó, phần tử điều khiển của mỗi phương trình mới phải bằng tổng các hệ số của phương trình này. Sự khác biệt lớn giữa chúng chỉ ra lỗi trong tính toán hoặc sự không ổn định của thuật toán tính toán liên quan đến sai số tính toán.

Ví dụ, trong trường hợp đưa hệ phương trình về dạng sử dụng công thức (4), phần tử điều khiển của mỗi phương trình của hệ được tính theo cùng công thức (4). Sau khi tính toán tất cả các phần tử tại một điều khiển cố định được thực hiện bằng cách kiểm tra sự bình đẳng

Quá trình ngược lại của phương pháp Gauss cũng đi kèm với việc tính toán các phần tử điều khiển của các hàng hệ thống.

Để tránh ảnh hưởng nghiêm trọng của sai số tính toán, phương pháp Gaussian được sử dụng với sự lựa chọn của phần tử chính.

Sự khác biệt của nó so với sơ đồ của phương pháp Gaussian được mô tả ở trên là như sau. Trong quá trình loại bỏ ẩn số, hệ phương trình

Hãy để chúng tôi tìm thấy như vậy và biểu thị lại và; thì chúng ta sẽ loại bỏ ẩn số khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với. Việc đặt lại như vậy dẫn đến sự thay đổi thứ tự loại bỏ ẩn số và trong nhiều trường hợp làm giảm đáng kể độ nhạy của lời giải đối với sai số làm tròn trong tính toán.

Thông thường, yêu cầu giải một số hệ phương trình, với cùng một ma trận A. Có thể tiến hành thuận tiện như sau: bằng cách giới thiệu ký hiệu

Hãy để chúng tôi thực hiện các phép tính bằng cách sử dụng công thức (4) và tính toán các phần tử tại. Kết quả là sẽ thu được p hệ phương trình có ma trận tam giác, tương ứng với bài toán ban đầu

Chúng tôi giải quyết từng hệ thống này riêng biệt. Nó chỉ ra rằng tổng số phép tính số học trong việc giải p hệ phương trình theo cách này là.

Kỹ thuật được mô tả ở trên đôi khi được sử dụng để đưa ra phán đoán về sai số của lời giải, là hệ quả của việc làm tròn sai số trong tính toán mà không có chi phí bổ sung đáng kể. Chúng được cho bởi vectơ z với các thành phần có cùng thứ tự và dấu hiệu với các thành phần của nghiệm mong muốn, nếu có thể; thường là do họ không có đủ thông tin. Vectơ được tính, và cùng với hệ phương trình ban đầu, hệ thống được giải.

Gọi và z là các nghiệm thực sự thu được của các hệ thống này. Phán đoán về sai số của nghiệm mong muốn có thể thu được dựa trên giả thuyết: sai số tương đối khi giải theo phương pháp loại trừ của các hệ có cùng ma trận và các vế phải khác nhau, tương ứng có giá trị và khác nhau. không bằng một số lượng rất lớn lần.

Một phương pháp khác để nhận được phán đoán về giá trị thực của sai số phát sinh do làm tròn số trong phép tính là thay đổi tỷ lệ, điều này sẽ thay đổi bức tranh tích lũy sai số tính toán.

Cùng với hệ thống ban đầu, hệ thống được giải quyết theo cùng một phương pháp

Đối với và, không phải là lũy thừa nguyên của hai, việc so sánh các vectơ và đưa ra ý tưởng về độ lớn của lỗi tính toán. Ví dụ, bạn có thể lấy.

Việc nghiên cứu nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận xác định dương đối xứng. Ví dụ, hệ thống như vậy nảy sinh khi giải phương trình vi phân bằng phương pháp phần tử hữu hạn hoặc bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Trong những trường hợp này, ma trận của hệ thống cũng có cấu trúc dải.

Để giải các hệ như vậy, cũng như các hệ phương trình ở dạng tổng quát hơn với ma trận Hermitian không nhất thiết là xác định dương, phương pháp căn bậc hai (phương pháp Cholesky) được sử dụng. Ma trận A được biểu diễn dưới dạng

trong đó S là ma trận tam giác vuông, là liên hợp của nó, tức là

với tất cả là một ma trận đường chéo với các phần tử bằng hoặc -1. Đẳng thức ma trận (6) tạo thành một hệ phương trình

Các phương trình tương tự cho bị loại bỏ vì các phương trình tương ứng với các cặp và tương đương. Từ đây, chúng tôi có được các công thức lặp lại để xác định các phần tử và:

Ma trận S là tam giác vuông, và do đó, sau khi có biểu diễn (6), nghiệm của hệ ban đầu cũng được rút gọn thành Nghiệm tuần tự của hai hệ có ma trận tam giác. Lưu ý rằng trong trường hợp của tất cả và.

Nhiệm vụ 3. Ước lượng số phép toán số học và tải bộ nhớ máy tính (giả sử dung lượng bộ nhớ cần thiết để lưu ma trận A giảm) khi giải hệ với ma trận A xác định thực dương bằng phương pháp căn bậc hai.

Nhiều gói phần mềm giải các bài toán giá trị biên của vật lý toán học theo phương pháp phần tử hữu hạn được tổ chức theo sơ đồ sau. Sau khi ma trận của hệ A được hình thành bằng cách sắp xếp lại các hàng và cột (đồng thời cả hàng và cột được sắp xếp lại), hệ được chuyển sang dạng có chiều rộng băng nhỏ nhất. Tiếp theo, phương pháp căn bậc hai được áp dụng. Đồng thời, để giảm bớt khối lượng các phép tính khi giải hệ có vế phải khác ma trận S được ghi nhớ.

Trong bài này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải ở dạng tổng quát, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó ở tất cả.

Gauss có nghĩa là gì?

Đầu tiên, bạn cần viết ra hệ phương trình của chúng ta trong Nó trông như thế này. Hệ thống được thực hiện:

Các hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt - các thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.

Hơn nữa, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả của giải pháp theo phương pháp Gauss theo các thuật ngữ chung nhất. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong lời giải theo phương pháp Gauss.

Ma trận, thuộc tính của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.

Ma trận luôn luôn là hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ chỉ tập trung vào việc xây dựng ma trận tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có một kích thước. "Chiều rộng" của nó là số hàng (m), "chiều dài" của nó là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (các chữ cái Latinh viết hoa thường được sử dụng để chỉ định của chúng) sẽ được ký hiệu là A m × n. Nếu m = n, thì ma trận này là hình vuông, và m = n là bậc của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: a xy; x - số hàng, các thay đổi, y - số cột, các thay đổi.

B không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ trở nên rườm rà hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều trong đó.

Bản ngã

Ma trận cũng có một định thức. Đây là một tính năng rất quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách nó được tính toán, và sau đó cho biết thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: các đường chéo có độ dốc ở bên phải - với dấu "cộng", với độ dốc ở bên trái - với dấu "trừ".

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất trong số hàng và số cột (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó được gọi là con cơ bản của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, bạn không cần phải tính định thức. Nếu nó trở thành 0, thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ như là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc lớn nhất của định thức khác 0 của nó (nhớ số hạng cơ sở, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của số hạng cơ sở).

Theo cách mọi thứ diễn ra với thứ hạng, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. Tại của hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột gồm các thành viên tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một, do đó, các hệ thống chung cũng được chia thành:
• - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột, là cùng một thứ) bằng nhau;
• - vô thời hạn - với vô số nghiệm. Thứ hạng của ma trận cho các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. Tại hệ như vậy, bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss tốt ở chỗ nó cho phép người ta có được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các định thức của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi tiến hành trực tiếp đến lời giải của hệ thống, có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc triển khai chúng không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Dưới đây là danh sách các phép biến đổi này:

1. Hoán vị chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu ích! Với nó, bạn có thể giảm các số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không bằng không.
3. Xóa các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
4. Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là không và bị loại ra khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó là giá trị tìm hiểu chi tiết hơn về nó.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, bạn nên tháo rời quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a "21 \ u003d a 21 + -2 × a 11

a "22 \ u003d a 22 + -2 × a 12

a "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

Sau đó, trong ma trận, hàng thứ hai được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của phép cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Đây được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó ra như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và ngăn cách bằng một thanh để thuận tiện.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 / a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ hệ số đầu tiên trong hàng thứ hai mới là 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có hàng đầu tiên và hàng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử 21 được thay thế bằng 31. Sau đó, mọi thứ được lặp lại với 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng không. Bây giờ chúng ta cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự bắt đầu từ dòng thứ hai:

• hệ số k \ u003d (-a 32 / a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng "hiện tại";
• kết quả của phép cộng được thay thế ở các dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m, m-1 / a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x n = b m / a mn. Gốc kết quả được thay vào hàng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Và tương tự như vậy: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến "đỉnh" của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là một trong những duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số nghiệm

Nó có thể chỉ ra rằng trong ma trận tam giác rút gọn không có hàng nào có một phần tử - hệ số của phương trình và một - một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Cơ bản - đây là những thứ đứng "ở rìa" của các hàng trong ma trận bậc. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó được biểu diễn lại từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể.

Giải pháp với các ví dụ cụ thể

Đây là hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải theo phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất - khi đó các phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi khi đặt hàng thứ hai vào vị trí của hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 \ u003d a 21 + k × a 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

a "22 \ u003d a 22 + k × a 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \ u003d b 2 + k × b 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \ u003d b 3 + k × b 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, cần phải viết ra ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng là một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả các "minuses" khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với "-1".

Cũng cần lưu ý rằng trong hàng thứ ba tất cả các phần tử là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể giảm chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại một mình dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 trở thành bằng không.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 phân số và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ký hiệu khác hay không)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 \ u003d a 33 + k × a 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

b "3 \ u003d b 3 + k × b 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc. Do đó, không cần thực hiện các phép biến đổi tiếp theo của hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Điểm nhỏ - viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm nguyên

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán mà bây giờ sẽ tìm thấy các gốc được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị của z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Phản hồi được viết dưới dạng sau:

x 1 \ u003d -2/3, y \ u003d -65/9, z \ u003d 61/9.

Ví dụ về hệ thống vô thời hạn

Phương pháp giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ là vô nghiệm, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Dạng chính của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số ẩn số là n = 5, và hạng của ma trận của hệ thống đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m = 4, tức là, bậc lớn nhất của định thức bình phương là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và cần phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính có thể thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 / a 11) = -3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần phải chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng mong muốn, chúng ta thu được một ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nói chung giống nhau, vì vậy có thể loại bỏ một trong số chúng ngay lập tức, và phần còn lại nhân với hệ số "-1" và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.

Hóa ra một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản - đứng ở các hệ số a 11 \ u003d 1 và a 22 \ u003d 1, và miễn phí - tất cả phần còn lại.

Phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x 3, x 4, x 5, là các biến miễn phí.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Nó chỉ ra một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1. Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu thị dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không tương thích

Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau được coi là:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Và nó được rút gọn thành dạng bước:

k 1 \ u003d -2k 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán, và câu trả lời là tập hợp trống.

Ưu nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem xét trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó bị nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm một định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo phức tạp. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận - định thức, con, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc sai lầm, thì việc sử dụng phương pháp ma trận hoặc các công thức của Cramer sẽ phù hợp hơn, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các định thức và ma trận nghịch đảo.

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn "cho hình nộm", nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để chuyển phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận và do đó sẽ nhanh hơn nhiều để thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.

Cho hệ đã cho, ∆ ≠ 0. (một)
Phương pháp Gauss là một phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số.

Bản chất của phương pháp Gauss là biến đổi (1) thành một hệ có ma trận tam giác, từ đó các giá trị của tất cả các ẩn số sau đó lần lượt thu được (ngược lại). Hãy xem xét một trong các lược đồ tính toán. Mạch này được gọi là mạch phân chia đơn. Vì vậy, chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ này. Cho 11 ≠ 0 (phần tử đứng đầu) chia cho a 11 phương trình đầu tiên. Mắc phải
(2)
Sử dụng phương trình (2), có thể dễ dàng loại trừ các ẩn số x 1 khỏi các phương trình còn lại của hệ (đối với phương trình này, chỉ cần trừ đi phương trình (2) của mỗi phương trình) nhân sơ bộ với hệ số tương ứng tại x 1), điều đó là, ở bước đầu tiên, chúng tôi có được
.
Nói cách khác, ở bước 1, mỗi phần tử của các hàng tiếp theo, bắt đầu từ hàng thứ hai, bằng hiệu giữa phần tử gốc và tích của “phép chiếu” của nó trên cột đầu tiên và hàng đầu tiên (đã biến đổi).
Sau đó, để riêng phương trình đầu tiên, qua các phương trình còn lại của hệ thu được ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện một phép biến đổi tương tự: chúng ta chọn trong số chúng một phương trình có phần tử đứng đầu và sử dụng nó để loại trừ x 2 khỏi các phương trình còn lại (bước 2).
Sau n bước, thay vì (1), chúng ta nhận được một hệ thống tương đương
(3)
Như vậy, ở giai đoạn đầu, chúng ta sẽ thu được một hệ tam giác (3). Bước này được gọi là chuyển tiếp.
Ở giai đoạn thứ hai (chuyển động ngược lại), chúng ta tuần tự tìm từ (3) các giá trị x n, x n -1,…, x 1.
Hãy ký hiệu nghiệm thu được là x 0. Khi đó sự khác biệt ε = b-A x 0 được gọi là dư.
Nếu ε = 0 thì nghiệm tìm được x 0 là đúng.

Tính toán bằng phương pháp Gauss được thực hiện trong hai giai đoạn:

1. Giai đoạn đầu tiên được gọi là quá trình trực tiếp của phương pháp. Ở giai đoạn đầu, hệ thống ban đầu được chuyển sang dạng tam giác.
2. Giai đoạn thứ hai được gọi là đảo ngược. Ở giai đoạn thứ hai, một hệ thống tam giác tương đương với hệ thống ban đầu được giải quyết.

Các hệ số a 11, a 22, ..., được gọi là các phần tử hàng đầu.
Tại mỗi bước, người ta giả định rằng phần tử đứng đầu khác 0. Nếu trường hợp này không xảy ra, thì bất kỳ phần tử nào khác có thể được sử dụng làm phần tử dẫn đầu, như thể sắp xếp lại các phương trình của hệ thống.

Mục đích của phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss được dùng để giải các hệ phương trình tuyến tính. Đề cập đến các phương pháp trực tiếp của giải pháp.

Các loại phương pháp Gauss

1. Phương pháp Gauss cổ điển;
2. Các sửa đổi của phương pháp Gauss. Một trong những sửa đổi của phương pháp Gaussian là mạch với sự lựa chọn của phần tử chính. Một đặc điểm của phương pháp Gauss với việc chọn phần tử chính là hoán vị các phương trình sao cho ở bước thứ k, phần tử đứng đầu là phần tử lớn nhất trong cột thứ k.
3. Phương pháp Jordan-Gauss;

Sự khác biệt giữa phương pháp Jordan-Gauss và phương pháp cổ điển Phương pháp Gauss bao gồm việc áp dụng quy tắc hình chữ nhật khi hướng của tìm kiếm giải pháp nằm dọc theo đường chéo chính (chuyển đổi thành ma trận nhận dạng). Trong phương pháp Gauss, hướng tìm kiếm nghiệm xảy ra dọc theo các cột (chuyển đổi sang hệ có ma trận tam giác).
Minh họa sự khác biệt Phương pháp Jordan-Gauss từ phương pháp Gauss trên các ví dụ.

Ví dụ giải pháp Gauss
Hãy giải quyết hệ thống:

Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi hoán đổi các dòng:

Nhân hàng thứ 2 với (2). Thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2

Nhân hàng thứ 2 với (-1). Thêm hàng thứ 2 vào hàng thứ nhất

Từ dòng đầu tiên, chúng ta biểu thị x 3:
Từ dòng thứ 2, chúng ta biểu thị x 2:
Từ dòng thứ 3, chúng ta biểu thị x 1:

Một ví dụ về giải pháp theo phương pháp Jordan-Gauss
Chúng tôi sẽ giải quyết SLAE tương tự bằng cách sử dụng phương pháp Jordano-Gauss.

Chúng ta sẽ tuần tự chọn phần tử phân giải của RE, phần tử này nằm trên đường chéo chính của ma trận.
Phần tử cho phép bằng (1).



NE \ u003d SE - (A * B) / RE
RE - phần tử cho phép (1), A và B - phần tử ma trận tạo thành một hình chữ nhật với các phần tử STE và RE.
Hãy trình bày phép tính của từng phần tử dưới dạng bảng:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Phần tử cho phép bằng (3).
Thay cho phần tử phân giải, chúng ta nhận được 1 và trong chính cột đó, chúng ta viết số không.
Tất cả các phần tử khác của ma trận, bao gồm cả các phần tử của cột B, được xác định theo quy tắc hình chữ nhật.
Để làm điều này, hãy chọn bốn số nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật và luôn bao gồm phần tử cho phép của RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Phần tử cho phép là (-4).
Thay cho phần tử phân giải, chúng ta nhận được 1 và trong chính cột đó, chúng ta viết số không.
Tất cả các phần tử khác của ma trận, bao gồm cả các phần tử của cột B, được xác định theo quy tắc hình chữ nhật.
Để làm điều này, hãy chọn bốn số nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật và luôn bao gồm phần tử cho phép của RE.
Hãy trình bày phép tính của từng phần tử dưới dạng bảng:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Trả lời: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Thực hiện phương pháp Gauss

Phương thức Gauss được thực hiện trong nhiều ngôn ngữ lập trình, cụ thể là: Pascal, C ++, php, Delphi, và cũng có một phương pháp Gauss được triển khai trực tuyến.

Sử dụng phương pháp Gauss

Ứng dụng của phương pháp Gauss trong lý thuyết trò chơi

Trong lý thuyết trò chơi, khi tìm ra chiến lược tối ưu tối đa của một người chơi, một hệ phương trình được biên soạn, được giải bằng phương pháp Gauss.

Ứng dụng của phương pháp Gauss trong giải phương trình vi phân

Để tìm kiếm một nghiệm cụ thể cho một phương trình vi phân, trước tiên hãy tìm các đạo hàm có cấp độ tương ứng cho nghiệm cụ thể đã viết (y = f (A, B, C, D)), được thay thế vào phương trình ban đầu. Hơn nữa, để tìm các biến A, B, C, D, một hệ phương trình được biên soạn, được giải bằng phương pháp Gauss.

Ứng dụng của phương pháp Jordan-Gauss trong lập trình tuyến tính

Đặc biệt, trong lập trình tuyến tính, trong phương pháp simplex, để biến đổi một bảng simplex ở mỗi lần lặp, quy tắc hình chữ nhật được sử dụng, sử dụng phương pháp Jordan-Gauss.

Phương pháp Gauss tuyệt vời để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó có một số ưu điểm so với các phương pháp khác:

• thứ nhất, không cần khảo sát trước hệ phương trình về tính tương thích;
• thứ hai, phương pháp Gaussian có thể được sử dụng để giải không chỉ SLAE trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và ma trận chính của hệ là không suy biến, mà còn cả các hệ phương trình trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc định thức của ma trận chính bằng 0;
• thứ ba, phương pháp Gauss dẫn đến một kết quả với một số lượng phép tính tương đối nhỏ.

Đánh giá ngắn gọn về bài báo.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra các định nghĩa cần thiết và giới thiệu một số ký hiệu.

Tiếp theo, chúng ta mô tả thuật toán của phương pháp Gauss cho trường hợp đơn giản nhất, đó là đối với hệ phương trình đại số tuyến tính, số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ không bằng không. Khi giải các hệ phương trình như vậy, bản chất của phương pháp Gauss được thể hiện rõ ràng nhất, bao gồm việc loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết. Do đó, phương pháp Gauss còn được gọi là phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số. Hãy để chúng tôi hiển thị các giải pháp chi tiết của một số ví dụ.

Kết luận, chúng tôi xem xét nghiệm Gaussian của hệ phương trình đại số tuyến tính, ma trận chính của nó là hình chữ nhật hoặc suy biến. Giải pháp của các hệ thống như vậy có một số tính năng, mà chúng tôi sẽ phân tích chi tiết bằng cách sử dụng các ví dụ.

Điều hướng trang.

Các định nghĩa và ký hiệu cơ bản.

Xét một hệ phương trình tuyến tính p với n ẩn số (p có thể bằng n):

Đâu là biến chưa biết, là số (thực hoặc phức), là thành viên tự do.

Nếu một , khi đó hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Tập hợp các giá trị của các biến chưa biết, trong đó tất cả các phương trình của hệ thống biến thành đồng nhất, được gọi là Quyết định SLAU.

Nếu có ít nhất một nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính thì nó được gọi là chung, nếu không thì - không tương thích.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất, thì nó được gọi là chắc chắn. Nếu có nhiều hơn một giải pháp, thì hệ thống được gọi là không chắc chắn.

Hệ thống được cho là được viết bằng hình thức phối hợp nếu nó có dạng
.

Hệ thống này trong dạng ma trận hồ sơ có dạng, ở đâu - ma trận chính của SLAE, - ma trận của cột các biến chưa biết, - ma trận của các phần tử tự do.

Nếu chúng ta thêm vào ma trận A dưới dạng cột thứ (n + 1) cột ma trận gồm các số hạng tự do, thì chúng ta nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, ma trận tăng cường được ký hiệu bằng chữ T và cột gồm các phần tử tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng so với phần còn lại của các cột, nghĩa là

Ma trận vuông A được gọi là thoái hóa nếu định thức của nó bằng không. Nếu, thì ma trận A được gọi là không thoái hóa.

Điểm sau đây cần được lưu ý.

Nếu các thao tác sau được thực hiện với một hệ phương trình đại số tuyến tính

• hoán đổi hai phương trình,
• nhân cả hai vế của bất phương trình với một số thực (hoặc phức) k tùy ý và khác 0,
• đối với cả hai phần của bất kỳ phương trình nào, cộng các phần tương ứng của phương trình kia, nhân với một số k tùy ý,

thì chúng ta nhận được một hệ thống tương đương có các giải pháp tương tự (hoặc, giống như hệ thống ban đầu, không có giải pháp nào).

Đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính, các hành động này sẽ có nghĩa là các phép biến đổi cơ bản với các hàng:

• hoán đổi hai chuỗi
• phép nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của ma trận T với một số k khác 0,
• thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng nào của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng khác, nhân với một số k tùy ý.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành mô tả của phương pháp Gauss.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó số phương trình bằng số ẩn số và ma trận chính của hệ là không sinh bằng phương pháp Gauss.

Ở trường chúng ta sẽ làm gì nếu được giao nhiệm vụ tìm lời giải cho một hệ phương trình .

Một số sẽ làm như vậy.

Lưu ý rằng bằng cách thêm vế trái của phương trình thứ nhất vào vế trái của phương trình thứ hai, và vế phải vào vế phải, bạn có thể loại bỏ các biến chưa biết x 2 và x 3 và ngay lập tức tìm được x 1:

Chúng tôi thay thế giá trị tìm được x 1 \ u003d 1 vào phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ thống:

Nếu chúng ta nhân cả hai phần của phương trình thứ ba của hệ với -1 và cộng chúng vào các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, thì chúng ta loại bỏ biến chưa biết là x 3 và có thể tìm được x 2:

Ta thay giá trị thu được x 2 \ u003d 2 vào phương trình thứ ba và tìm biến x 3 chưa biết còn lại:

Những người khác sẽ làm khác.

Hãy giải phương trình đầu tiên của hệ với biến chưa biết x 1 và thay biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ để loại trừ biến này khỏi chúng:

Bây giờ, hãy giải phương trình thứ hai của hệ với x 2 và thay kết quả vào phương trình thứ ba để loại trừ biến x 2 chưa biết khỏi nó:

Từ phương trình thứ ba của hệ có thể thấy x 3 = 3. Từ phương trình thứ hai, chúng ta tìm thấy , và từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được.

Giải pháp quen thuộc, phải không?

Điều thú vị nhất ở đây là phương pháp giải thứ hai thực chất là phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số, tức là phương pháp Gauss. Khi chúng tôi biểu thị các biến chưa biết (x đầu tiên, x 2 tiếp theo) và thay chúng vào phần còn lại của phương trình của hệ thống, do đó chúng tôi loại trừ chúng. Chúng tôi đã thực hiện ngoại lệ cho đến thời điểm phương trình cuối cùng chỉ có một biến chưa biết. Quá trình loại bỏ tuần tự các ẩn số được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn tất chuyển động về phía trước, chúng ta có cơ hội để tính biến số chưa biết được tìm thấy trong phương trình cuối cùng. Với sự trợ giúp của nó, từ phương trình áp chót, chúng tôi tìm ra biến chưa biết tiếp theo, v.v. Quá trình liên tiếp tìm các biến chưa biết trong khi chuyển từ phương trình cuối cùng sang phương trình đầu tiên được gọi là đảo ngược phương pháp Gauss.

Cần lưu ý rằng khi chúng ta biểu thị x 1 theo x 2 và x 3 trong phương trình thứ nhất, sau đó thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba, các hành động sau dẫn đến kết quả tương tự:

Thật vậy, quy trình như vậy cũng cho phép chúng ta loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống:

Các sắc thái với việc loại bỏ các biến chưa biết bằng phương pháp Gauss nảy sinh khi các phương trình của hệ không chứa một số biến.

Ví dụ: trong SLAU trong phương trình thứ nhất, không có biến x 1 nào chưa biết (nói cách khác, hệ số đứng trước nó bằng 0). Do đó, chúng ta không thể giải phương trình đầu tiên của hệ với x 1 để loại trừ biến chưa biết này khỏi phần còn lại của phương trình. Cách thoát khỏi tình huống này là hoán đổi các phương trình của hệ thống. Vì chúng ta đang xem xét các hệ phương trình tuyến tính mà các định thức của ma trận chính khác 0, nên luôn tồn tại một phương trình trong đó biến chúng ta cần có mặt và chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này đến vị trí chúng ta cần. Đối với ví dụ của chúng tôi, chỉ cần hoán đổi phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống là đủ , sau đó bạn có thể giải phương trình đầu tiên cho x 1 và loại nó khỏi phần còn lại của hệ phương trình (mặc dù x 1 đã vắng mặt trong phương trình thứ hai).

Chúng tôi hy vọng bạn hiểu được ý chính.

Hãy mô tả Thuật toán phương pháp Gauss.

Ta cần giải một hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n biến chưa biết có dạng , và đặt định thức của ma trận chính của nó là số khác không.

Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Chúng tôi loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, cộng số nhân đầu tiên với phương trình thứ ba, v.v., cộng số nhân đầu tiên vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

nơi một .

Chúng ta sẽ đi đến kết quả tương tự nếu biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và thay biểu thức kết quả vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình thứ hai nhân với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng nhân thứ hai với phương trình thứ tư, và cứ tiếp tục cộng nhân thứ hai vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

nơi một . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, trong khi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng

Kể từ lúc này, chúng ta bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được của x n, chúng ta tìm được x n-1 từ phương trình áp chót, và cứ thế, chúng ta tìm x 1 từ phương trình đầu tiên.

Hãy phân tích thuật toán với một ví dụ.

Ví dụ.

Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Hệ số a 11 khác 0, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss, nghĩa là, loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ, ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để làm điều này, đối với phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy cộng phần bên trái và bên phải của phương trình thứ nhất, nhân với tương ứng, và :

Biến x 1 chưa biết đã bị loại bỏ, hãy chuyển sang loại trừ x 2. Đối với phần bên trái và bên phải của phương trình thứ ba và thứ tư của hệ thống, chúng tôi cộng phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với và :

Để hoàn thành quá trình chuyển tiếp của phương pháp Gauss, chúng ta cần loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Cộng vào vế trái và vế phải của phương trình thứ tư, tương ứng với vế trái và vế phải của phương trình thứ ba, nhân với :

Bạn có thể bắt đầu quá trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Từ phương trình cuối cùng, chúng ta có ,
từ phương trình thứ ba, chúng tôi nhận được,
từ thứ hai
từ đầu tiên.

Để kiểm tra, bạn có thể thay thế các giá trị thu được của các biến chưa biết vào hệ phương trình ban đầu. Tất cả các phương trình đều chuyển thành đồng nhất, có nghĩa là giải pháp theo phương pháp Gauss đã được tìm thấy chính xác.

Trả lời:

Và bây giờ chúng ta sẽ đưa ra lời giải của ví dụ tương tự bằng phương pháp Gauss ở dạng ma trận.

Ví dụ.

Tìm một lời giải cho hệ phương trình Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Ma trận mở rộng của hệ thống có dạng . Trên mỗi cột, các biến chưa biết được viết, tương ứng với các phần tử của ma trận.

Quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss ở đây liên quan đến việc đưa ma trận mở rộng của hệ thống về dạng hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Quá trình này tương tự như việc loại trừ các biến chưa biết mà chúng ta đã làm với hệ thống ở dạng tọa độ. Bây giờ bạn sẽ bị thuyết phục về nó.

Hãy biến đổi ma trận để tất cả các phần tử trong cột đầu tiên, bắt đầu từ cột thứ hai, trở thành 0. Để thực hiện việc này, đối với các phần tử của hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy thêm các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên nhân với, và trên tương ứng:

Tiếp theo, chúng tôi biến đổi ma trận kết quả để trong cột thứ hai, tất cả các phần tử, bắt đầu từ cột thứ ba, trở thành 0. Điều này sẽ tương ứng với việc loại trừ biến x 2 chưa biết. Để thực hiện việc này, hãy thêm vào các phần tử của hàng thứ ba và thứ tư các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên của ma trận, nhân với và :

Vẫn là loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Để làm điều này, đối với các phần tử của hàng cuối cùng của ma trận kết quả, chúng tôi thêm các phần tử tương ứng của hàng áp chót, nhân với :

Cần lưu ý rằng ma trận này tương ứng với hệ phương trình tuyến tính

mà đã có được trước đó sau khi di chuyển trực tiếp.

Đã đến lúc quay lại. Ở dạng ma trận của ký hiệu, quy trình ngược lại của phương pháp Gauss liên quan đến việc biến đổi ma trận kết quả sao cho ma trận được đánh dấu trong hình

trở thành đường chéo, nghĩa là, có dạng

một số con số ở đâu.

Các phép biến đổi này tương tự như của phương pháp Gauss, nhưng không được thực hiện từ dòng đầu tiên đến dòng cuối cùng mà từ dòng cuối cùng đến dòng đầu tiên.

Thêm vào các phần tử của hàng thứ ba, thứ hai và thứ nhất các phần tử tương ứng của hàng cuối cùng, nhân với , tiếp tục tương ứng:

Bây giờ, hãy thêm vào các phần tử của hàng thứ hai và đầu tiên các phần tử tương ứng của hàng thứ ba, nhân với và tương ứng:

Ở bước cuối cùng của chuyển động ngược của phương pháp Gaussian, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng thứ hai, nhân với, vào các phần tử của hàng đầu tiên:

Ma trận kết quả tương ứng với hệ phương trình , từ đó chúng tôi tìm ra các biến chưa biết.

Trả lời:

GHI CHÚ.

Khi sử dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, nên tránh các phép tính gần đúng, vì điều này có thể dẫn đến kết quả hoàn toàn không chính xác. Chúng tôi khuyên bạn không nên làm tròn số thập phân. Tốt hơn là chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường.

Ví dụ.

Giải hệ ba phương trình bằng phương pháp Gaussian .

Quyết định.

Lưu ý rằng trong ví dụ này, các biến chưa biết có ký hiệu khác (không phải x 1, x 2, x 3 mà là x, y, z). Hãy chuyển sang phân số thông thường:

Loại bỏ x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Trong hệ kết quả, không có biến y chưa biết trong phương trình thứ hai và y có trong phương trình thứ ba, do đó, chúng ta hoán đổi phương trình thứ hai và thứ ba:

Tại thời điểm này, quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss đã kết thúc (bạn không cần phải loại trừ y khỏi phương trình thứ ba, vì biến chưa biết này không còn tồn tại).

Hãy quay trở lại.

Từ phương trình cuối cùng, chúng tôi tìm thấy ,
từ áp chót


từ phương trình đầu tiên chúng ta có

Trả lời:

X = 10, y = 5, z = -20.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số hoặc ma trận chính của hệ suy biến bằng phương pháp Gauss.

Hệ phương trình có ma trận chính là hình chữ nhật hoặc hình vuông suy biến có thể không có nghiệm, có thể có một nghiệm hoặc có thể có vô số nghiệm.

Bây giờ chúng ta sẽ hiểu cách phương pháp Gauss cho phép chúng ta thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của một hệ phương trình tuyến tính và trong trường hợp tương thích của nó, hãy xác định tất cả các nghiệm (hoặc một nghiệm duy nhất).

Về nguyên tắc, quy trình loại bỏ các biến không xác định trong trường hợp SLAE như vậy vẫn giữ nguyên. Tuy nhiên, nó là giá trị xem xét chi tiết về một số tình huống có thể phát sinh.

Hãy chuyển sang bước quan trọng nhất.

Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng hệ phương trình đại số tuyến tính sau khi hoàn thành quá trình chạy về phía trước của phương pháp Gauss có dạng và không có phương trình nào rút gọn thành (trong trường hợp này, chúng tôi sẽ kết luận rằng hệ thống là không nhất quán). Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: "Làm gì tiếp theo"?

Chúng tôi viết ra các biến chưa biết ở vị trí đầu tiên của tất cả các phương trình của hệ kết quả:

Trong ví dụ của chúng tôi, chúng là x 1, x 4 và x 5. Trong phần bên trái của phương trình của hệ, chúng ta chỉ để lại những số hạng chứa các biến chưa biết đã viết x 1, x 4 và x 5, chúng ta chuyển các số hạng còn lại sang vế phải của hệ phương trình với dấu ngược lại:

Chúng ta hãy gán các giá trị tùy ý cho các biến chưa biết nằm ở phía bên phải của phương trình, trong đó - số tùy ý:

Sau đó, các con số được tìm thấy trong các phần bên phải của tất cả các phương trình của SLAE của chúng ta và chúng ta có thể tiến hành quy trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Từ phương trình cuối cùng của hệ, chúng ta có, từ phương trình áp chót, chúng ta tìm được, từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được

Nghiệm của hệ phương trình là tập hợp các giá trị của biến chưa biết

Đưa ra những con số các giá trị khác nhau, chúng ta sẽ nhận được các nghiệm khác nhau của hệ phương trình. Tức là hệ phương trình của ta có vô số nghiệm.

Trả lời:

ở đâu - số lượng tùy ý.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết lời giải của một số ví dụ khác.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Chúng ta hãy loại trừ biến x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để thực hiện việc này, hãy cộng các phần bên trái và bên phải của phương trình thứ nhất, tương ứng vào phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với và vào phần bên trái và bên phải của phương trình thứ ba, phần bên trái và bên phải của phương trình đầu tiên, nhân với:

Bây giờ chúng ta loại trừ y khỏi phương trình thứ ba của hệ phương trình kết quả:

SLAE kết quả tương đương với hệ thống .

Chúng ta chỉ để lại các số hạng chứa biến x và y chưa biết ở bên trái của phương trình của hệ, và chuyển các số hạng có biến z chưa biết sang bên phải: