»Bài 15

Bài 15

Phương pháp Cramer

(SLN)
- mã định danh hệ thống
Nếu định thức của SLE là số khác, thì nghiệm của hệ thống được xác định duy nhất bằng công thức Cramer:
, , ()
ở đâu:

	Để làm điều này, trong cột có biến x, và do đó trong cột đầu tiên, thay vì các hệ số tại x, chúng ta đặt các hệ số tự do, mà trong hệ phương trình nằm ở phía bên phải của phương trình
	Để làm điều này, trong cột có biến y (cột thứ 2), thay vì các hệ số tại y, chúng ta đặt các hệ số tự do, mà trong hệ phương trình nằm ở vế phải của phương trình.
	Để thực hiện điều này, trong cột có biến z, nghĩa là cột thứ ba, thay vì các hệ số tại z, chúng ta đặt các hệ số tự do, mà trong hệ phương trình nằm ở phía bên phải của phương trình.

Bài tập 1. Giải quyết SLE với Công thức Cramer trong Excel

Tiến độ quyết định

1. Chúng tôi viết phương trình dưới dạng ma trận:

2. Nhập ma trận A và B trong Excel.

3. Tìm định thức của ma trận A. Nó phải bằng 30.

4. Do đó, hệ thức xác định khác 0 - nghiệm được xác định duy nhất bằng công thức của Cramer.

5. Điền các giá trị dX, dY, dZ trên trang tính Excel (xem hình bên dưới).

6. Để tính các giá trị dX, dY, dZ trong các ô F8, F12, F16, bạn phải nhập một hàm tính định thức dX, dY, dZ tương ứng.

7. Để tính giá trị của X trong ô I8, bạn phải nhập công thức = F8 / B5 (theo công thức của Cramer là dX / | A |).

8. Tự nhập công thức để tính Y và Z.

Nhiệm vụ 2: độc lập tìm lời giải của SLE bằng phương pháp Cramer:

Công thức của Cramer và phương pháp ma trận giải pháp hệ thống Các phương trình tuyến tínhđừng có nghiêm túc ứng dụng thực tế, vì chúng liên quan đến các tính toán rườm rà. Trong thực tế, phương pháp Gauss thường được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính.

Phương pháp Gauss

Quy trình giải pháp Gaussian bao gồm hai bước.

1. Nét thẳng: hệ thống được giảm xuống dạng bậc (cụ thể là hình tam giác).

Để giải một hệ phương trình, ma trận tăng cường của hệ này được viết ra

và trên các hàng của ma trận này tạo ra biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng khi các số không sẽ nằm bên dưới đường chéo chính.
Nó được phép thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.
Với sự trợ giúp của các phép biến đổi này, mỗi lần ma trận tăng cường thu được hệ thống mới, tương đương với bản gốc, tức là một hệ có nghiệm của nó trùng với nghiệm của hệ ban đầu.

2. Đảo ngược: có một xác định tuần tự các ẩn số từ hệ thống từng bước này.

Thí dụ.Đặt tính tương thích và giải quyết hệ thống

Dung dịch.
Di chuyển trực tiếp: Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai để phần tử bằng một (sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện các phép biến đổi ma trận theo cách này).



.

Chúng ta có Bậc của ma trận hệ thống và ma trận mở rộng của nó trùng với số ẩn số. Theo định lý Kronecker-Capelli, hệ phương trình là nhất quán và nghiệm của nó là duy nhất.
Di chuyển ngược lại: Chúng ta hãy viết ra hệ phương trình, ma trận khai triển mà chúng ta thu được do biến đổi:

Vì vậy chúng tôi có .
Hơn nữa, thay thế vào phương trình thứ ba, chúng tôi thấy .
Thay thế và vào phương trình thứ hai, chúng tôi nhận được.
Thay vào phương trình đầu tiên tìm thấy chúng ta nhận được.
Vì vậy, chúng tôi có một giải pháp cho hệ thống.

Giải pháp của SLE bằng phương pháp Gauss trong Excel:

Văn bản sẽ nhắc bạn nhập công thức có dạng: (= A1: B3 + $ C $ 2: $ C $ 3) vào phạm vi ô, v.v., đây được gọi là "công thức mảng". Microsoft Excel tự động đặt nó trong dấu ngoặc nhọn (()). Để nhập loại công thức này, hãy chọn toàn bộ phạm vi nơi bạn muốn chèn công thức, nhập công thức không có dấu ngoặc nhọn vào ô đầu tiên (ví dụ ở trên - = A1: B3 + $ C $ 2: $ C $ 3) và nhấn Ctrl + Shift + Enter.
Hãy có một hệ phương trình tuyến tính:

1. Hãy viết hệ số của hệ phương trình vào ô A1: D4 và cột số hạng tự do trong ô E1: E4. Nếu trong một ôA1là 0, bạn cần hoán đổi các hàng để ô này có giá trị khác 0. Để rõ ràng hơn, bạn có thể thêm phần điền vào các ô chứa các thành viên miễn phí.

2. Cần phải giảm hệ số tại x1 trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên xuống 0. Đầu tiên, chúng ta hãy làm điều này cho phương trình thứ hai. Sao chép dòng đầu tiên vào các ô A6: E6 mà không có thay đổi, vào các ô A7: E7, bạn cần nhập công thức: (= A2: E2- $ A $ 1: $ E $ 1 * (A2 / $ A $ 1)). Do đó, chúng tôi trừ hàng đầu tiên cho hàng thứ hai, nhân với A2 / $ A $ 1, tức là tỷ số của các hệ số đầu tiên của phương trình thứ hai và thứ nhất. Để thuận tiện cho việc điền vào các dòng 8 và 9, các tham chiếu đến các ô của dòng đầu tiên phải là tuyệt đối (chúng tôi sử dụng ký hiệu $).

3. Chúng tôi sao chép công thức đã nhập vào dòng 8 và 9, do đó loại bỏ các hệ số đứng trước x1 trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên.

4. Bây giờ, hãy đưa các hệ số đứng trước x2 trong phương trình thứ ba và thứ tư về 0. Để làm điều này, hãy sao chép kết quả hàng thứ 6 và thứ 7 (chỉ các giá trị) vào hàng 11 và 12, và trong ô A13: E13, hãy nhập công thức (= A8: E8- $ A $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)), sau đó chúng tôi sao chép vào các ô A14: E14. Do đó, sự khác biệt của hàng 8 và 7, nhân với hệ số B8 / $ B $ 7, được nhận ra. .

5. Vẫn để đưa hệ số tại x3 trong phương trình thứ tư về 0, đối với điều này, chúng tôi sẽ thực hiện lại tương tự: sao chép kết quả các hàng thứ 11, 12 và 13 (chỉ các giá trị) vào các hàng 16-18 và nhập công thức ( = A14: E14- $ A $ 13: $ E $ 13 * (C14 / $ C $ 13)). Do đó, sự khác biệt giữa hàng 14 và 13, nhân với hệ số C14 / $ C $ 13, được nhận ra. Đừng quên hoán vị các dòng để loại bỏ 0 ở mẫu số của phân số.

6. Quá trình quét về phía trước của Gaussian đã hoàn thành. Hãy bắt đầu chạy ngược lại từ hàng cuối cùng của ma trận kết quả. Cần phải chia tất cả các phần tử của hàng cuối cùng cho hệ số tại x4. Để thực hiện việc này, ở dòng 24, chúng ta nhập công thức (= A19: E19 / D19).

7. Hãy đưa tất cả các dòng về một dạng tương tự, đối với điều này, chúng ta điền vào các dòng 23, 22, 21 với các công thức sau:

23: (= (A18: E18-A24: E24 * D18) / C18) - chúng tôi trừ hàng thứ tư nhân với hệ số tại x4 của hàng thứ ba với hàng thứ ba.

22: (= (A17: E17-A23: E23 * C17-A24: E24 * D17) / B17) - trừ dòng thứ ba và thứ tư trên dòng thứ hai, nhân với các hệ số tương ứng.

21: (= (A16: E16-A22: E22 * B16-A23: E23 * C16-A24: E24 * D16) / A16) - trừ dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư trên dòng đầu tiên, nhân với các hệ số tương ứng.

Kết quả (gốc của phương trình) được tính trong các ô E21: E24.

Tổng hợp bởi: Saliy N.A.

Phương pháp của Cramer dựa trên việc sử dụng các định thức trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Điều này tăng tốc đáng kể quá trình giải pháp.

Phương pháp của Cramer có thể được sử dụng để giải một hệ thống gồm nhiều phương trình tuyến tính mà trong mỗi phương trình có ẩn số. Nếu định thức của hệ không bằng 0, thì phương pháp của Cramer có thể được sử dụng trong giải pháp; nếu nó bằng 0 thì không thể. Ngoài ra, phương pháp của Cramer có thể được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.

Sự định nghĩa. Định thức, bao gồm các hệ số của ẩn số, được gọi là định thức của hệ và được ký hiệu là (delta).

Các yếu tố quyết định

thu được bằng cách thay thế các hệ số tại các ẩn số tương ứng bằng các số hạng tự do:

;

.

Định lý Cramer. Nếu định thức của hệ khác không thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất và ẩn số bằng tỉ số của định thức. Mẫu số là định thức của hệ thống, và tử số là định thức thu được từ định thức của hệ thống bằng cách thay thế các hệ số với ẩn số bằng các số hạng tự do. Định lý này phù hợp với một hệ phương trình tuyến tính có bậc bất kỳ.

ví dụ 1 Giải hệ phương trình tuyến tính:

Dựa theo Định lý Cramer chúng ta có:

Vì vậy, giải pháp của hệ thống (2):

máy tính trực tuyến, phương pháp quyết định Kramer.

Ba trường hợp giải hệ phương trình tuyến tính

Như xuất hiện từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính, ba trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

(hệ thống nhất quán và xác định)

Trường hợp thứ hai: hệ phương trình tuyến tính có vô số quyết định

(hệ thống nhất quán và không xác định)

** ,

những thứ kia. hệ số của ẩn số và số hạng tự do là tỷ lệ thuận.

Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm

(hệ thống không nhất quán)

Vì vậy, hệ thống m phương trình tuyến tính với N các biến được gọi là không tương thích nếu nó không có giải pháp, và chung nếu nó có ít nhất một giải pháp. hệ thống chung phương trình chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn và nhiều hơn một không chắc chắn.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Hãy để hệ thống

.

Dựa trên định lý Cramer

………….
,

ở đâu
-

định danh hệ thống. Các định thức còn lại thu được bằng cách thay thế cột có hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các phần tử tự do:

Ví dụ 2

.

Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm giải pháp của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Nếu không có biến nào trong hệ phương trình tuyến tính trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức, các phần tử tương ứng với chúng bằng không! Đây là ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

.

Dung dịch. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng không. Vì vậy, định thức không bằng không, do đó, hệ thống là xác định. Để tìm lời giải của nó, chúng tôi tính toán các định thức cho các ẩn số

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vậy, nghiệm của hệ là (2; -1; 1).

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Đầu trang

Chúng ta cùng nhau tiếp tục giải quyết các hệ thống bằng phương pháp Cramer

Như đã đề cập, nếu định thức của hệ bằng 0 và định thức của ẩn số không bằng 0, thì hệ không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Hãy minh họa bằng ví dụ sau.

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

Dung dịch. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Định thức của hệ bằng không, do đó, hệ phương trình tuyến tính không nhất quán và xác định, hoặc không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Để làm rõ, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho các ẩn số

Các định thức cho ẩn số không bằng 0, do đó, hệ thống không nhất quán, tức là nó không có nghiệm.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Trong các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, cũng có những bài toán mà ngoài các chữ cái biểu thị biến số còn có các chữ cái khác. Những chữ cái này là viết tắt của một số, thường là một số thực. Trong thực tế, các phương trình và hệ phương trình như vậy dẫn đến các bài toán tìm kiếm tài sản chung bất kỳ hiện tượng hoặc đối tượng. Đó là, bạn đã phát minh ra bất kỳ vật liệu mới hoặc một thiết bị, và để mô tả các thuộc tính của nó, phổ biến bất kể kích thước hay số lượng bản sao, cần phải giải một hệ phương trình tuyến tính, trong đó thay vì một số hệ số cho các biến có các chữ cái. Bạn không cần phải tìm kiếm các ví dụ xa.

Ví dụ tiếp theo là cho một bài toán tương tự, chỉ có số phương trình, biến số và chữ cái biểu thị một số thực tăng lên.

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

Dung dịch. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Tìm định thức cho ẩn số

Giải pháp của hệ thống tuyến tính phương trình đại số trong Excel Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính được mô tả kỹ lưỡng trong sách giáo khoa "Cơ bản về Toán học Tính toán. Demidovich BP, Maron IA 1966". Tải xuống - 11Mb

1. Phương pháp ma trận nghịch đảo (giải pháp trong Excel)

Cho phương trình:
A * X = B, trong đó A là Ma trận vuông, X, B - vectơ;
và B - vector nổi tiếng(tức là một cột số), X là một vectơ chưa biết,
thì dung dịch X có thể được viết thành:
X = A -1 * B, trong đó A -1 là nghịch đảo của ma trận A.
Trong MS Excel, ma trận nghịch đảo được tính bằng hàm MIN () và ma trận (hoặc ma trận bởi vectơ) được nhân với hàm MMUM ().

Có "sự tinh tế" khi sử dụng hành động ma trận trong Excel. Vì vậy, để tính ma trận nghịch đảo từ ma trận A, bạn cần:

1. Sử dụng chuột để chọn một vùng ô vuông nơi đặt ma trận nghịch đảo. 2. Bắt đầu nhập công thức = MOBR (3. Chọn ma trận A bằng chuột. Trong trường hợp này, dải ô tương ứng sẽ nằm bên phải của dấu ngoặc. 4. Đóng dấu ngoặc, nhấn tổ hợp phím: Ctrl-Shift -Enter 5. Ma trận nghịch đảo cần được tính toán và điền vào diện tích dành cho nó Để nhân ma trận với một vectơ: 1. Dùng chuột để chọn vùng ô nơi đặt kết quả của phép nhân 2. Bắt đầu nhập công thức = MULTIPLE (3. Chọn ma trận - hệ số nhân đầu tiên bằng chuột. Trong trường hợp này, phạm vi ô tương ứng sẽ được nhập vào bên phải của dấu ngoặc vuông. 4. Nhập dấu phân tách khỏi bàn phím; (dấu chấm phẩy) 5. Dùng chuột chọn hệ số vectơ-thứ 2. Trong trường hợp này, phạm vi ô tương ứng sẽ nằm gọn bên phải của dấu ngoặc. 6. Đóng dấu ngoặc, nhấn tổ hợp phím: Ctrl-Shift-Enter 7. The sản phẩm cần được tính toán và điền vào khu vực dành cho nó. và một cách khác sử dụng nút trình tạo hàm Excel. 4 ví dụ về SLAE thứ tự

Tải xuống tài liệu Excel trong đó ví dụ này được giải quyết Các phương pháp khác nhau.

2. Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss được thực hiện chi tiết (theo từng bước) chỉ trong mục đích giáo dục khi bạn cần chứng tỏ rằng bạn có thể làm được. Và để giải quyết SLAE thực, tốt hơn là áp dụng phương pháp trong Excel ma trận nghịch đảo hoặc sử dụng các chương trình đặc biệt, ví dụ:

Mô tả ngắn.

3. Phương pháp Jacobi (phương pháp lặp đơn giản)

Để áp dụng phương pháp Jacobi (và phương pháp Seidel), cần các thành phần đường chéo của ma trận A lớn hơn tổng các thành phần còn lại của cùng một hàng. Hệ thống mục tiêu không có thuộc tính này, vì vậy tôi thực hiện các phép biến đổi sơ bộ.

(1) '= (1) + 0,43 * (2) - 0,18 * (3) - 0,96 * (4) (2)' = (2) + 0,28 * (1) - 1,73 * (3) + 0,12 * (4) (3) '= (3) - 0,27 * (1) - 0,75 * (2) + 0,08 * (4) (4)' = (4) + 0,04 * (1) - 6,50 * (2) + 8.04 * (3) Lưu ý: các hệ số đã được chọn trên sheet "Phân tích". Hệ phương trình được giải, mục đích của việc này là biến các phần tử nằm ngoài đường chéo về không. Các hệ số là kết quả làm tròn của việc giải các hệ phương trình đó. Tất nhiên, đây không phải là trường hợp. Kết quả là tôi nhận được một hệ phương trình:
Để áp dụng phương pháp Jacobi, hệ phương trình phải được biến đổi về dạng:
X = B2 + A2 * X

Tiếp theo, tôi chia mỗi hàng cho hệ số của cột bên trái, nghĩa là, tương ứng với 16, 7, 3, 70. Khi đó ma trận A2 có dạng:


Và vectơ B2:

Lý thuyết ngắn gọn từ khóa học đại số:

Cho hệ phương trình tuyến tính (1) đã cho. Phương pháp ma trận Giải hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong trường hợp số phương trình bằng số biến.

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu. Để cho NHƯNG là ma trận các hệ số cho các biến, B là vectơ của các điều khoản tự do, X là vectơ của các giá trị biến. sau đó X = A-1 × B, ở đâu A -1- ma trận, nghịch đảo NHƯNG. Hơn nữa, ma trận nghịch đảo A -1 tồn tại nếu định thức của ma trận A không bằng 0. Tích của ma trận gốc A và ma trận nghịch đảo A -1 phải bằng ma trận đồng dạng:

A -1 A \ u003d AA -1 \ u003d E.

Tập thể dục: Giải hệ phương trình tuyến tính:

Công nghệ làm việc:

Giả sử trong khoảng A11: C13, ma trận ban đầu A, bao gồm các hệ số của hệ, được cho trước. Đầu tiên, tìm định thức của ma trận A. Để làm điều này, trong ô F15, bạn cần gọi Trình hướng dẫn chức năng, Trong danh mục " Tham chiếu và mảng"tìm một chức năng MOPRED () , đặt đối số của nó thành A11: C13. Chúng tôi nhận được kết quả 344. Vì định thức của ma trận ban đầu A không bằng 0, tức là tồn tại một ma trận nghịch đảo, vì vậy bước tiếp theo là tìm ma trận nghịch đảo. Để thực hiện việc này, hãy chọn phạm vi A15: C17, nơi ma trận nghịch đảo sẽ được đặt. kêu gọi Trình hướng dẫn chức năng, trong danh mục " Tham chiếu và mảng"tìm một chức năng MOBR ( ), đặt đối số của nó thành A11: С13 và nhấn Shift + Ctrl + Enter. Để kiểm tra tính đúng đắn của ma trận nghịch đảo, hãy nhân nó với ma trận ban đầu bằng cách sử dụng hàm ĐA () . Gọi hàm này sau khi chọn phạm vi A19: A21. Chỉ định ma trận gốc A làm đối số, tức là phạm vi A11: C13 và ma trận nghịch đảo, tức là phạm vi A15: C17 và nhấn Shift + Ctrl + Enter. Được ma trận đơn vị. Do đó, ma trận nghịch đảo được tìm thấy một cách chính xác. Bây giờ để tìm kết quả, hãy chọn phạm vi F18: F20 cho nó. Gọi một hàm ĐA () sử dụng Trình hướng dẫn chức năng, chỉ định hai phạm vi mảng mà bạn sẽ nhân - ma trận nghịch đảo và cột các thành viên tự do, tức là A15: C17 và E11: E13 và nhấn Shift + Ctrl + Enter. Kết quả được thể hiện trong Hình 6.

Bây giờ bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các giải pháp được tìm thấy x 1, x 2 và x 3. Để làm điều này, hãy thực hiện phép tính của mỗi phương trình bằng cách sử dụng các giá trị tìm được x 1, x 2 và x 3. Ví dụ: trong ô G11, hãy tính giá trị và kết quả sẽ bằng 3. Hãy giới thiệu công thức sau = A11 * $ F $ 18 + B11 * $ F $ 19 + C11 * $ F $ 20. Sao chép công thức này vào hai ô bên dưới, tức là trong G12 và G13. Lấy lại chuyên mục thành viên miễn phí. Do đó, nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là đúng (Hình 80).

Hình 80 - Giải hệ phương trình tuyến tính

Các biến thể của các nhiệm vụ riêng lẻ

Nhiệm vụ số 1. Tính giá trị của một biểu thức bằng Microsoft Excel:

Bảng 16 - Các lựa chọn riêng cho công việc trong phòng thí nghiệm