Tìm sin cos. Công thức lượng giác cơ bản

Một trong những nhánh toán học mà học sinh gặp khó khăn lớn nhất là lượng giác. Không có gì lạ: để tự do nắm vững lĩnh vực kiến ​​​​thức này, bạn cần có tư duy không gian, khả năng tìm sin, cosin, tiếp tuyến, cotang bằng công thức, đơn giản hóa biểu thức và có thể sử dụng số pi trong các phép tính. Ngoài ra, bạn cần có khả năng áp dụng lượng giác khi chứng minh các định lý và điều này đòi hỏi trí nhớ toán học phát triển hoặc khả năng suy luận các chuỗi logic phức tạp.

Nguồn gốc của lượng giác

Làm quen với môn khoa học này nên bắt đầu với định nghĩa về sin, cosin và tang của góc, nhưng trước tiên bạn cần tìm hiểu xem lượng giác nói chung làm gì.

Về mặt lịch sử, đối tượng nghiên cứu chính của phần này khoa học toán học là những tam giác vuông. Sự hiện diện của một góc 90 độ giúp có thể thực hiện các thao tác khác nhau cho phép xác định giá trị của tất cả các tham số của hình đang xem xét bằng cách sử dụng hai cạnh và một góc hoặc hai góc và một cạnh. Trước đây, mọi người đã chú ý đến mô hình này và bắt đầu tích cực sử dụng nó trong việc xây dựng các tòa nhà, điều hướng, thiên văn học và thậm chí cả nghệ thuật.

Giai đoạn đầu tiên

Ban đầu, mọi người chỉ nói về mối quan hệ của các góc và cạnh trên ví dụ về tam giác vuông. Sau đó, các công thức đặc biệt đã được phát hiện giúp mở rộng ranh giới sử dụng trong Cuộc sống hàng ngày ngành toán học này.

Việc nghiên cứu lượng giác ở trường ngày nay bắt đầu với các tam giác vuông, sau đó kiến ​​​​thức thu được được học sinh sử dụng trong vật lý và giải các bài toán trừu tượng. phương trình lượng giác, công việc mà bắt đầu ở trường trung học.

lượng giác mặt cầu

Sau này, khi khoa học đến với cấp độ tiếp theo phát triển, các công thức với sin, cosin, tiếp tuyến, cotang bắt đầu được sử dụng trong hình học cầu, nơi áp dụng các quy tắc khác và tổng các góc trong một tam giác luôn lớn hơn 180 độ. phần này không được học ở trường, nhưng cần phải biết về sự tồn tại của nó, ít nhất là vì bề mặt trái đất và bề mặt của bất kỳ hành tinh nào khác là lồi, có nghĩa là bất kỳ dấu hiệu nào trên bề mặt sẽ nằm trong không gian ba chiều"cong".

Lấy quả địa cầu và sợi chỉ. Gắn sợi chỉ vào hai điểm bất kỳ trên quả địa cầu sao cho căng. Hãy chú ý - nó đã có hình dạng của một vòng cung. Chính với các dạng như vậy mà hình học cầu, được sử dụng trong trắc địa, thiên văn học, và các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng khác, đề cập đến.

tam giác vuông

Sau khi tìm hiểu một chút về cách sử dụng lượng giác, chúng ta hãy quay lại lượng giác cơ bản để hiểu thêm sin, cosin, tiếp tuyến là gì, những phép tính nào có thể được thực hiện với sự trợ giúp của chúng và sử dụng công thức nào.

Bước đầu nắm được các khái niệm liên quan đến tam giác vuông. Đầu tiên, cạnh huyền là cạnh đối diện với góc 90 độ. Cô ấy là người dài nhất. Chúng ta nhớ rằng, theo định lý Pythagore, trị số của nó bằng căn của tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Ví dụ: nếu hai cạnh lần lượt là 3 và 4 cm thì độ dài của cạnh huyền sẽ là 5 cm. Nhân tiện, người Ai Cập cổ đại đã biết về điều này khoảng bốn nghìn rưỡi năm trước.

Hai cạnh còn lại tạo thành một góc vuông được gọi là chân. Ngoài ra, chúng ta phải nhớ rằng tổng các góc trong một tam giác bằng hệ chữ nhật tọa độ là 180 độ.

Sự định nghĩa

Cuối cùng, với sự hiểu biết chắc chắn về cơ sở hình học, chúng ta có thể chuyển sang định nghĩa sin, cosin và tang của một góc.

Sin của góc là tỷ số của cạnh đối diện (nghĩa là cạnh đối diện góc mong muốn) đến cạnh huyền. Cosin của một góc là tỷ số của cạnh kề với cạnh huyền.

Hãy nhớ rằng cả sin và cosin đều không thể lớn hơn một! Tại sao? Vì cạnh huyền mặc định là dài nhất, cạnh huyền dài bao nhiêu thì cũng sẽ ngắn hơn cạnh huyền bấy nhiêu, nghĩa là tỉ số của chúng sẽ luôn nhỏ hơn 1. Do đó, nếu bạn nhận được một sin hoặc cosin có giá trị lớn hơn 1 trong câu trả lời cho vấn đề, hãy tìm lỗi trong tính toán hoặc suy luận. Câu trả lời này rõ ràng là sai.

Cuối cùng, tiếp tuyến của một góc là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh kề. Kết quả tương tự sẽ cho phép chia sin cho cosin. Nhìn: theo công thức, chúng ta chia độ dài của cạnh cho cạnh huyền, sau đó chúng ta chia cho độ dài của cạnh thứ hai và nhân với cạnh huyền. Do đó, chúng ta có được tỷ lệ tương tự như trong định nghĩa về tiếp tuyến.

Cotang tương ứng là tỷ số của cạnh kề với góc so với cạnh đối diện. Ta được kết quả tương tự khi chia đơn vị cho tiếp tuyến.

Vì vậy, chúng tôi đã xem xét các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là gì và chúng tôi có thể xử lý các công thức.

Các công thức đơn giản nhất

Trong lượng giác, người ta không thể làm gì nếu không có công thức - làm thế nào để tìm sin, cosin, tiếp tuyến, cotang mà không có chúng? Và đây chính xác là những gì được yêu cầu khi giải quyết vấn đề.

Công thức đầu tiên mà bạn cần biết khi bắt đầu học lượng giác là tổng bình phương sin và cosin của một góc bằng một. công thức này là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore, nhưng tiết kiệm thời gian nếu bạn muốn biết giá trị của góc chứ không phải cạnh.

Nhiều học sinh không nhớ được công thức thứ hai, cũng là công thức rất phổ biến khi giải toán ở trường: tổng của một và bình phương một tiếp tuyến của một góc bằng một chia cho bình phương cosin của góc. Hãy xem xét kỹ hơn: xét cho cùng, đây là mệnh đề giống như trong công thức đầu tiên, chỉ có bình phương của cosin chia cho cả hai vế của đẳng thức. Nó chỉ ra rằng một phép toán đơn giản làm cho công thức lượng giác hoàn toàn không thể nhận ra. Ghi nhớ: biết sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là gì, các quy tắc chuyển đổi và một số công thức cơ bản bất cứ lúc nào bạn có thể rút thêm yêu cầu công thức phức tạp trên một mảnh giấy.

Công thức góc kép và cộng các đối số

Hai công thức nữa mà bạn cần học liên quan đến giá trị của sin và cosin cho tổng và hiệu của các góc. Chúng được thể hiện trong hình bên dưới. Xin lưu ý rằng trong trường hợp đầu tiên, sin và cosin được nhân cả hai lần và trong trường hợp thứ hai, tích theo cặp của sin và cosin được cộng vào.

Ngoài ra còn có các công thức được liên kết với các đối số ở dạng góc đôi. Chúng hoàn toàn bắt nguồn từ những cái trước đó - như một thông lệ, hãy cố gắng tự lấy chúng bằng cách lấy góc alpha bằng góc phiên bản thử nghiệm.

Cuối cùng, lưu ý rằng các công thức góc đôi có thể được chuyển đổi để hạ thấp mức độ của sin, cosin, tiếp tuyến alpha.

định lý

Hai định lý chính trong lượng giác cơ bản là định lý sin và định lý cosin. Với sự trợ giúp của các định lý này, bạn có thể dễ dàng hiểu cách tìm sin, cosin và tiếp tuyến, cũng như diện tích của hình và kích thước của mỗi cạnh, v.v.

Định lý sin phát biểu rằng khi chia độ dài của mỗi cạnh của tam giác cho giá trị của góc đối diện, chúng ta có được Cùng một số. Hơn nữa, số này sẽ bằng hai bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tức là đường tròn chứa tất cả các điểm của tam giác đã cho.

Định lý cosin tổng quát hóa định lý Pytago, chiếu nó lên bất kỳ tam giác nào. Nó chỉ ra rằng từ tổng bình phương của hai cạnh, trừ tích của chúng nhân với cosin kép của góc kề với chúng - giá trị thu được sẽ bằng bình phương của cạnh thứ ba. Do đó, định lý Pythagore hóa ra là một trường hợp đặc biệt của định lý cosin.

Sai lầm do không chú ý

Ngay cả khi biết sin, cosin và tiếp tuyến là gì, bạn vẫn dễ mắc lỗi do đãng trí hoặc mắc lỗi trong các phép tính đơn giản nhất. Để tránh những sai lầm như vậy, hãy làm quen với những lỗi phổ biến nhất trong số chúng.

Đầu tiên, bạn không nên chuyển đổi các phân số thông thường thành số thập phân trước khi nhận được kết quả cuối cùng- bạn có thể để lại câu trả lời trong mẫu phân số chung trừ khi điều kiện quy định khác. Sự chuyển đổi như vậy không thể gọi là sai lầm, nhưng cần nhớ rằng ở mỗi giai đoạn của vấn đề, những gốc rễ mới có thể xuất hiện, theo ý tưởng của tác giả, nên giảm bớt. Trong trường hợp này, bạn sẽ lãng phí thời gian vào những việc không cần thiết Các hoạt động toán học. Điều này đặc biệt đúng đối với các giá trị như gốc của ba hoặc hai, vì chúng xuất hiện trong các tác vụ ở mọi bước. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc làm tròn số "xấu xí".

Hơn nữa, lưu ý rằng định lý cosin áp dụng cho bất kỳ tam giác nào, nhưng không áp dụng cho định lý Pythagore! Nếu bạn nhầm lẫn quên trừ sản phẩm kép các cạnh nhân với cosin của góc giữa chúng, bạn sẽ không chỉ nhận được kết quả hoàn toàn sai mà còn thể hiện sự hiểu sai hoàn toàn về chủ đề. Điều này còn tồi tệ hơn một sai lầm bất cẩn.

Thứ ba, không nhầm lẫn giữa các giá trị của góc 30 độ và 60 độ cho sin, cosin, tiếp tuyến, cotang. Hãy nhớ những giá trị này, vì sin 30 độ bằng cosin 60 và ngược lại. Thật dễ dàng để trộn lẫn chúng với nhau, kết quả là bạn chắc chắn sẽ nhận được một kết quả sai.

Đăng kí

Nhiều sinh viên không vội bắt đầu học lượng giác, vì họ không hiểu ý nghĩa ứng dụng của nó. sin, cosin, tiếp tuyến là gì đối với một kỹ sư hay nhà thiên văn học? Đây là những khái niệm nhờ đó bạn có thể tính toán khoảng cách đến các ngôi sao ở xa, dự đoán sự sụp đổ của một thiên thạch, gửi một tàu thăm dò nghiên cứu đến một hành tinh khác. Không có chúng, không thể xây dựng tòa nhà, thiết kế ô tô, tính toán tải trọng trên bề mặt hoặc quỹ đạo của vật thể. Và đây chỉ là những ví dụ rõ ràng nhất! Rốt cuộc, lượng giác ở dạng này hay dạng khác được sử dụng ở mọi nơi, từ âm nhạc đến y học.

Cuối cùng

Vì vậy, bạn là sin, cosin, tiếp tuyến. Bạn có thể sử dụng chúng trong các phép tính và giải thành công các bài toán ở trường.

Toàn bộ bản chất của lượng giác tóm lại là các tham số chưa biết phải được tính từ các tham số đã biết của tam giác. Tổng cộng có sáu lựa chọn: chiều dài của ba bên và kích thước ba góc. Toàn bộ sự khác biệt trong các nhiệm vụ nằm ở chỗ dữ liệu đầu vào khác nhau được cung cấp.

Cách tìm sin, cosin, tiếp tuyến dựa trên độ dài đã biết chân hoặc cạnh huyền, bây giờ bạn đã biết. Vì các thuật ngữ này không có nghĩa gì khác hơn là tỷ lệ và tỷ lệ là một phân số, mục tiêu chính bài toán lượng giác nó trở thành việc tìm nghiệm của một phương trình thông thường hoặc một hệ phương trình. Và ở đây toán học bình thường sẽ giúp bạn.

đồng nhất thức lượng giác là các đẳng thức thiết lập mối quan hệ giữa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc, cho phép bạn tìm bất kỳ hàm nào trong số này, với điều kiện là biết bất kỳ hàm nào khác.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Đồng nhất thức này nói rằng tổng bình phương của sin của một góc và bình phương của cosin của một góc bằng một, điều này trong thực tế cho phép tính sin của một góc khi biết cosin của nó và ngược lại .

Khi chuyển đổi biểu thức lượng giác rất thường xuyên, danh tính này được sử dụng, cho phép một người thay thế tổng bình phương của cosin và sin của một góc bằng một đơn vị và cũng có thể thực hiện thao tác thay thế theo thứ tự ngược lại.

Tìm tiếp tuyến và cotang qua sin và cosin

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Những danh tính này được hình thành từ các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang. Rốt cuộc, nếu bạn nhìn, thì theo định nghĩa, tung độ của y là sin và hoành độ của x là cosin. Khi đó tiếp tuyến sẽ bằng tỉ số \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), và tỷ lệ \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sẽ là một cotang.

Chúng tôi nói thêm rằng chỉ đối với những góc như vậy \alpha mà các hàm lượng giác có trong chúng có ý nghĩa, thì việc đồng nhất mới diễn ra, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Ví dụ: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) hợp lệ cho các góc \alpha khác với \frac(\pi)(2)+\pi z, một ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- đối với một góc \alpha khác với \pi z , z là một số nguyên.

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và cotang

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Danh tính này chỉ hợp lệ cho các góc \alpha khác với \frac(\pi)(2) z. Nếu không, cotang hoặc tiếp tuyến sẽ không được xác định.

Dựa trên những điểm trên, chúng tôi nhận được rằng tg \alpha = \frac(y)(x), một ctg\alpha=\frac(x)(y). Do đó nó theo sau đó tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Do đó, tiếp tuyến và cotang của một góc mà tại đó chúng có ý nghĩa là các số nghịch đảo lẫn nhau.

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và cosin, cotang và sin

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- tổng bình phương tiếp tuyến của góc \alpha và 1 bằng bình phương nghịch đảo của cosin của góc này. Danh tính này hợp lệ cho tất cả \alpha ngoài \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- tổng của 1 và bình phương cotang của góc \alpha , bằng bình phương nghịch đảo của sin của góc đã cho. Danh tính này hợp lệ cho bất kỳ \alpha nào ngoài \pi z .

Ví dụ với các giải pháp cho các vấn đề sử dụng danh tính lượng giác

ví dụ 1

Tìm \sin \alpha và tg \alpha nếu \cos \alpha=-\frac12 và \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Hiển thị giải pháp

Dung dịch

Các hàm \sin \alpha và \cos \alpha được liên kết bởi công thức \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Thay thế vào công thức này \cos \alpha = -\frac12, chúng tôi nhận được:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Phương trình này có 2 nghiệm:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Theo điều kiện \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Trong quý thứ hai, sin là dương, vì vậy \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Để tìm tg \alpha , chúng ta sử dụng công thức tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ví dụ 2

Tìm \cos \alpha và ctg \alpha nếu và \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Hiển thị giải pháp

Dung dịch

Thay thế vào công thức \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 số điều kiện \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), chúng tôi nhận được \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Phương trình này có hai nghiệm \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Theo điều kiện \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Trong quý thứ hai, cosin âm, vì vậy \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Để tìm ctg \alpha , chúng ta sử dụng công thức ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Chúng tôi biết các giá trị tương ứng.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

đối phó với khái niệm đơn giản: sin và cosin và tính toán cosin bình phương và sin bình phương.

Sine và cosine được nghiên cứu trong lượng giác (khoa học về tam giác với một góc vuông).

Vì vậy, hãy bắt đầu với các khái niệm cơ bản. tam giác vuông:

Cạnh huyền- cạnh luôn đối diện với góc vuông (góc 90 độ). Cạnh huyền là cạnh dài nhất của một tam giác vuông.

Hai cạnh còn lại của tam giác vuông gọi là chân.

Cũng nên nhớ rằng tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang cosin và sin của góc alpha (∠α)(vì vậy bạn có thể gọi bất kỳ góc không vuông nào trong tam giác hoặc sử dụng làm ký hiệu x - "x", không làm thay đổi bản chất).

Sin của góc alpha (sin ∠α)- đó là một thái độ đối nghịch chân (cạnh đối diện với góc tương ứng) với cạnh huyền. Nếu bạn nhìn vào hình bên, thì sin ∠ABC = AC / BC

Cosin của góc alpha (cos ∠α)- Thái độ liền kềđến góc của chân với cạnh huyền. Nhìn lại hình trên thì cos ∠ABC = AB/BC

Và chỉ để nhắc bạn: cosin và sin sẽ không bao giờ lớn hơn 1, vì bất kỳ cuộn nào cũng ngắn hơn cạnh huyền (và cạnh huyền là cạnh dài nhất của bất kỳ tam giác nào, vì cạnh dài nhất nằm đối diện với cạnh huyền góc cao trong một tam giác).

Cosin bình phương, sin bình phương

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần chính công thức lượng giác: tính cosin bình phương và sin bình phương.

Để tính toán chúng, bạn nên nhớ đồng nhất thức lượng giác cơ bản:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sin bình phương cộng cosin bình phương của một góc luôn bằng một).

Từ đẳng thức lượng giác ta rút ra kết luận về sin:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sin vuông alpha bằng một trừ cosin của góc kép alpha và chia tất cả cho hai.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Từ sự đồng nhất lượng giác, chúng tôi rút ra kết luận về cosin:

cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α

Hoặc nhiều hơn lựa chọn khó khăn công thức: cosin vuông alpha bằng một cộng cosin của góc kép alpha và cũng chia mọi thứ cho hai.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Hai công thức phức tạp hơn của sin bình phương và cosin bình phương này còn được gọi là "giảm công suất cho bình phương của các hàm lượng giác." Những thứ kia. là mức độ thứ hai, hạ xuống mức độ đầu tiên và tính toán trở nên thuận tiện hơn.

Các khái niệm sin(), cosin(), tiếp tuyến(), cotang() gắn bó chặt chẽ với khái niệm góc. Để hiểu rõ về những điều này, thoạt nhìn, những khái niệm phức tạp (gây ra trạng thái kinh hoàng ở nhiều học sinh), và để đảm bảo rằng “ma quỷ không đáng sợ như được vẽ”, chúng ta hãy bắt đầu lại từ đầu và hiểu khái niệm góc.

Khái niệm góc: radian, độ

Hãy nhìn vào hình ảnh. Vectơ "quay" so với điểm theo một lượng nhất định. Vậy số đo của chuyển động quay này so với vị trí ban đầu sẽ là góc.

Bạn cần biết gì nữa về khái niệm góc? Vâng, đơn vị của góc, tất nhiên!

Góc, cả trong hình học và lượng giác, có thể được đo bằng độ và radian.

Một góc (một độ) được gọi là góc trung tâm trong một đường tròn, dựa vào một cung tròn bằng một phần của đường tròn. Do đó, toàn bộ vòng tròn bao gồm các "mảnh" của các cung tròn hoặc góc được mô tả bởi vòng tròn bằng nhau.

Tức là hình trên vẽ một góc bằng, tức là góc này tạo bởi một cung tròn có kích thước bằng chu vi.

Một góc tính bằng radian được gọi là góc ở tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn có độ dài bằng bán kính của đường tròn. Chà, bạn đã hiểu chưa? Nếu chưa thì hãy nhìn vào bức tranh.

Vì vậy, hình vẽ cho thấy một góc bằng radian, nghĩa là góc này dựa trên một cung tròn có độ dài bằng bán kính của hình tròn (độ dài bằng độ dài hoặc bán kính bằng chiều dài các cung). Do đó, độ dài của cung được tính theo công thức:

Đâu là góc trung tâm tính bằng radian.

Chà, biết điều này, bạn có thể trả lời một góc được mô tả bằng một đường tròn có bao nhiêu radian không? Vâng, để làm được điều này, bạn cần nhớ công thức tính chu vi hình tròn. Cô ấy đây rồi:

Chà, bây giờ hãy liên hệ hai công thức này và nhận được rằng góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau. Tức là, tương quan giá trị theo độ và radian, chúng ta có được điều đó. Tương ứng, . Như bạn có thể thấy, không giống như "độ", từ "radian" bị bỏ qua, vì đơn vị đo lường thường rõ ràng trong ngữ cảnh.

Có bao nhiêu radian? Đúng rồi!

Hiểu rồi? Sau đó buộc chặt về phía trước:

Có khó khăn gì không? Sau đó nhìn câu trả lời:

Tam giác vuông: sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc

Vì vậy, với khái niệm về góc tìm ra. Nhưng sin, cosin, tang, cotang của một góc là gì? Hãy hình dung nó ra. Đối với điều này, một tam giác vuông sẽ giúp chúng ta.

Các cạnh của tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh nằm đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta, đây là cạnh); chân là hai cạnh còn lại và (những cạnh tiếp giáp với góc phải), hơn nữa, nếu chúng ta coi các chân so với góc, thì chân này là chân liền kề và chân kia là chân đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì?

sin của một góc là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

trong tam giác của chúng ta.

cosin của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

trong tam giác của chúng ta.

góc tiếp tuyến- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với chân liền kề (gần).

trong tam giác của chúng ta.

Cotang của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) so với chân đối diện (xa).

trong tam giác của chúng ta.

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ chân nào chia cho gì, bạn cần hiểu rõ điều đó trong đường tiếp tuyến và cotang chỉ có chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện trong xoang và cô sin. Và sau đó bạn có thể đưa ra một chuỗi các hiệp hội. Ví dụ, cái này:

cosin→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→kề.

Trước hết, cần nhớ rằng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở một góc). Đừng tin? Sau đó, hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, xem xét cosin của một góc. Theo định nghĩa, từ một tam giác: , nhưng chúng ta có thể tính cosin của một góc từ một tam giác: . Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị của cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, thì hãy tiếp tục và sửa chúng!

Cho tam giác như hình vẽ bên, ta tìm được .

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó, hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc.

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng tôi coi một vòng tròn có bán kính bằng. Một vòng tròn như vậy được gọi là Độc thân. Nó rất hữu ích trong việc nghiên cứu lượng giác. Do đó, chúng tôi tập trung vào nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng kết nối này được tạo sẵn hệ Descartes tọa độ. Bán kính của hình tròn bằng một, trong khi tâm của hình tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo chiều dương của trục (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính).

Mỗi điểm của đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc trục và tọa độ dọc trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, họ phải làm gì với chủ đề hiện tại? Để làm điều này, hãy nhớ về tam giác vuông được xem xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét một tam giác. Nó là hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.

Từ một tam giác bằng gì? Đúng rồi. Ngoài ra, chúng ta biết đó là bán kính của đường tròn đơn vị, và do đó, . Thay thế giá trị này vào công thức cosine của chúng tôi. Đây là những gì xảy ra:

Và những gì là bằng từ một hình tam giác? Tất nhiên, ! Thay thế giá trị của bán kính vào công thức này và nhận được:

Vì vậy, bạn có thể cho tôi biết tọa độ của một điểm thuộc về vòng tròn là gì? Vâng, không có cách nào? Và nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, tọa độ! Nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, phối hợp! Vì vậy, điểm.

Và những gì sau đó bằng nhau và? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa thích hợp về tiếp tuyến và cotang và nhận được điều đó, a.

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ở đây, ví dụ, như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy hình dung nó ra. Để làm điều này, chúng ta lại chuyển sang hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: một góc (như kề với một góc). Giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Đúng vậy, chúng tôi tuân thủ các định nghĩa tương ứng của các hàm lượng giác:

Chà, như bạn có thể thấy, giá trị của sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị cosin của góc - tọa độ; và các giá trị của tiếp tuyến và cotang với các tỷ lệ tương ứng. Do đó, các mối quan hệ này được áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo chiều dương của trục. Cho đến giờ chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có kích thước nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc dương , và khi quay theo chiều kim đồng hồ - phủ định.

Vì vậy, chúng ta biết rằng cả một vòng quay của vectơ bán kính quanh đường tròn là hoặc. Có thể xoay vectơ bán kính bằng hoặc không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ tạo thành một lần lượt đầy đủ và dừng lại ở hoặc .

Trong trường hợp thứ hai, tức là, vectơ bán kính sẽ thực hiện ba vòng quay hoàn chỉnh và dừng lại ở vị trí hoặc.

Như vậy, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bằng hoặc (trong đó là bất kỳ số nguyên nào) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy một góc. Hình ảnh tương tự tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức chung hoặc (ở đâu là số nguyên bất kỳ)

Bây giờ, biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời những giá trị bằng:

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Có khó khăn gì không? Sau đó, hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm ứng với số đo góc nào đó. Chà, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:

Không tồn tại;

Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng tôi phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ tương ứng. Biết được điều này ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm số lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự làm thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

câu trả lời:

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của các hàm lượng giác:

Nhưng các giá trị của các hàm lượng giác của các góc trong và, được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra một trong những ví dụ đầy đủ ghi nhớ giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị của sin cho cả ba số đo của góc (), cũng như giá trị của tiếp tuyến của góc trong. Khi biết các giá trị này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá dễ dàng - các giá trị cosin được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số " " sẽ bằng nhau và mẫu số " " sẽ bằng nhau. Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên thể hiện trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và ghi nhớ sơ đồ có mũi tên, thì chỉ cần nhớ toàn bộ giá trị từ bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?

Vâng, tất nhiên bạn có thể! Hãy đưa ra công thức chungđể tìm tọa độ của một điểm.

Ở đây, ví dụ, chúng ta có một vòng tròn như vậy:

Ta biết điểm đó là tâm của đường tròn. Bán kính của đường tròn bằng. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách xoay điểm theo độ.

Như có thể thấy từ hình, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn. Độ dài của đoạn tương ứng với tọa độ của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng. Độ dài của một đoạn có thể được biểu thị bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin:

Sau đó, chúng tôi có điều đó cho điểm tọa độ.

Theo logic tương tự, chúng tôi tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm. Bằng cách này,

Vì vậy, trong nhìn chung tọa độ điểm được xác định theo công thức:

Tọa độ tâm đường tròn,

bán kính vòng tròn,

Góc quay của vectơ bán kính.

Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đi đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:

Chà, hãy thử một chút các công thức này, thực hành tìm điểm trên một đường tròn?

1. Tìm tọa độ của một điểm trên một vòng tròn đơn vị thu được bằng cách quay một điểm trên.

2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách quay một điểm trên.

3. Tìm tọa độ của một điểm trên một vòng tròn đơn vị thu được bằng cách quay một điểm trên.

4. Điểm - tâm đường tròn. Bán kính của đường tròn bằng. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

5. Điểm - tâm đường tròn. Bán kính của đường tròn bằng. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?

Giải năm ví dụ này (hoặc hiểu rõ lời giải) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!

1.

Có thể thấy rằng. Và chúng tôi biết những gì tương ứng với một lượt đầy đủ của điểm xuất phát. Bằng cách này, điểm mong muốn sẽ ở vị trí giống như khi bật. Biết được điều này, chúng ta tìm tọa độ mong muốn của điểm:

2. Đường tròn là một đơn vị có tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Chúng tôi biết những gì tương ứng với hai phép quay hoàn chỉnh của điểm bắt đầu. Do đó, điểm mong muốn sẽ ở vị trí giống như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm tọa độ mong muốn của điểm:

sin và cosin là bảng giá trị. Chúng tôi ghi nhớ các giá trị của chúng và nhận được:

Do đó, điểm mong muốn có tọa độ.

3. Đường tròn là một đơn vị có tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Hãy mô tả ví dụ được xem xét trong hình:

Bán kính tạo góc với trục bằng và . Biết rằng các giá trị bảng của cosin và sin bằng nhau và đã xác định rằng cosin ở đây mất câu khẳng định, và sin là dương, ta có:

Hơn ví dụ tương tự hiểu khi học các công thức rút gọn hàm số lượng giác trong chuyên đề.

Do đó, điểm mong muốn có tọa độ.

4.

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện)

Để xác định các dấu tương ứng của sin và cosin, chúng ta dựng một đường tròn đơn vị và một góc:

Như bạn có thể thấy, giá trị tức là dương và giá trị tức là âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, chúng ta có được rằng:

Hãy thay thế các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:

Do đó, điểm mong muốn có tọa độ.

5. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó

Tọa độ của tâm đường tròn (trong ví dụ của chúng ta,

Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện).

Thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:

và - giá trị bảng. Ta ghi nhớ và thế vào công thức:

Do đó, điểm mong muốn có tọa độ.

TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Sin của một góc là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh huyền.

Cosin của một góc là tỷ số của cạnh kề (gần) với cạnh huyền.

Tang của một góc là tỷ số của cạnh đối diện (xa) với cạnh (gần).

Cotang của một góc là tỷ số giữa cạnh kề (gần) với cạnh đối diện (xa).

Ví dụ:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Đối số và giá trị

Cosin của một góc nhọn

Cosin của một góc nhọn có thể được xác định bằng cách sử dụng một tam giác vuông - nó bằng tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.

Thí dụ :

1) Cho một góc và bạn cần xác định cosin của góc này.

2) Hãy hoàn thành bất kỳ tam giác vuông nào trên góc này.

3) Sau khi đo các cạnh cần thiết, chúng ta có thể tính cosin.

cosin của một số

Vòng tròn số cho phép bạn xác định cosin của bất kỳ số nào, nhưng thường tìm cosin của các số liên quan đến : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Ví dụ: đối với số \(\frac(π)(6)\) - cosin sẽ bằng \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Và đối với số \(-\)\(\frac(3π)(4)\) nó sẽ bằng \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (xấp xỉ \ (-0 ,71\)).

Cosine cho các số khác thường gặp trong thực tế, xem.

Giá trị cosin luôn nằm giữa \(-1\) và \(1\). Trong trường hợp này, cosin hoàn toàn có thể được tính cho bất kỳ góc và số nào.

Cosin của mọi góc

Nhờ vào vòng tròn số cosin có thể được xác định không chỉ góc nhọn, nhưng cũng khó hiểu, tiêu cực và thậm chí lớn hơn \(360°\) (lượt hết). Cách thực hiện - nhìn một lần dễ hơn nghe \(100\) lần, vì vậy hãy nhìn vào hình ảnh.

Bây giờ giải thích: cần xác định cosin của góc KOA Với độ đo trong \(150°\). Chúng tôi kết hợp điểm Ô với tâm đường tròn và cạnh ĐƯỢC RỒI- với trục \(x\). Sau đó, đặt \ (150 ° \) ngược chiều kim đồng hồ sang một bên. Khi đó hoành độ của điểm NHƯNG sẽ cho chúng ta thấy cosin của góc này.

Ví dụ: nếu chúng ta quan tâm đến một góc có số đo bằng \ (-60 ° \) (góc KOV), chúng tôi cũng làm như vậy, nhưng \(60°\) đặt sang một bên theo chiều kim đồng hồ.

Và cuối cùng, góc lớn hơn \(360°\) (góc KOS) - mọi thứ tương tự như cùn, chỉ sau khi vượt qua hết một lượt theo chiều kim đồng hồ, chúng ta mới đi tiếp vào vòng thứ hai và “lấy thiếu độ”. Cụ thể, trong trường hợp của chúng tôi, góc \(405°\) được vẽ là \(360° + 45°\).

Có thể dễ dàng đoán rằng để đặt một góc sang một bên, chẳng hạn như \ (960 ° \), bạn cần thực hiện hai lượt (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) và đối với một góc trong \ (2640 ° \) - cả bảy.

Như bạn có thể thay thế, cả cosin của một số và cosin của một góc tùy ý được định nghĩa gần như giống nhau. Chỉ có phương pháp tìm một điểm trên một vòng tròn thay đổi.

Dấu hiệu cosine trong quý

Sử dụng trục cosin (nghĩa là trục hoành, được đánh dấu màu đỏ trong hình), có thể dễ dàng xác định dấu của cosin dọc theo một vòng tròn số (lượng giác):

Trường hợp các giá trị trên trục từ \(0\) đến \(1\), cosin sẽ có dấu cộng (phần tư I và IV là vùng màu xanh lá cây),
- trong đó các giá trị trên trục từ \(0\) đến \(-1\), cosin sẽ có dấu trừ (phần tư II và III - vùng màu tím).

Mối liên hệ với các hàm lượng giác khác:

- cùng một góc (hoặc số): cơ bản nhận dạng lượng giác\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- cùng một góc (hoặc số): theo công thức \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- và sin của cùng một góc (hoặc số): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Xem các công thức được sử dụng phổ biến nhất khác.

Giải phương trình \(\cos⁡x=a\)

Nghiệm của phương trình \(\cos⁡x=a\), trong đó \(a\) là một số không lớn hơn \(1\) và không nhỏ hơn \(-1\) tức là \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Nếu \(a>1\) hoặc \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Thí dụ . Giải phương trình lượng giác \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Dung dịch:

Giải phương trình bằng vòng tròn số. Đối với điều này:
1) Hãy xây dựng các trục.
2) Hãy xây dựng một vòng tròn.
3) Trên trục cosin (trục \(y\)) đánh dấu điểm \(\frac(1)(2)\) .
4) Vẽ đường vuông góc với trục cosin đi qua điểm này.
5) Xác định giao điểm của đường vuông góc và đường tròn.
6)Hãy ký các giá trị của các điểm này: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Viết tất cả các giá trị tương ứng với các điểm này bằng công thức \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Câu trả lời: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\)\(k∈Z\)

Hàm \(y=\cos(x)\)

Nếu chúng ta vẽ các góc tính bằng radian dọc theo trục \(x\) và các giá trị cosin tương ứng với các góc này dọc theo trục \(y\), chúng ta sẽ có được biểu đồ sau:

Biểu đồ này được gọi và có các thuộc tính sau:

Miền xác định là một giá trị bất kỳ của x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- phạm vi giá trị - bao gồm từ \(-1\) đến \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- chẵn: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- tuần hoàn với chu kỳ \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- giao điểm với các trục tọa độ:
trục hoành: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), trong đó \(n ϵ Z\)
trục y: \((0;1)\)
- khoảng ký tự:
hàm số dương trên các khoảng: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm số âm trên các khoảng: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), trong đó \(n ϵ Z\)
- khoảng thời gian tăng và giảm:
hàm số tăng trên các khoảng: \((π+2πn;2π+2πn)\), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm số giảm trên các khoảng: \((2πn;π+2πn)\), trong đó \(n ϵ Z\)
- Cực đại và cực tiểu của hàm số:
hàm số đạt giá trị cực đại \(y=1\) tại các điểm \(x=2πn\), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm số có giá trị cực tiểu \(y=-1\) tại các điểm \(x=π+2πn\), trong đó \(n ϵ Z\).