Những gì nó mang lại như các điều khoản. Các thuật ngữ tương tự - Đại siêu thị tri thức

Tài liệu được trình bày dưới đây là sự tiếp nối hợp lý của lý thuyết từ bài báo dưới tiêu đề LCM - bội số ít phổ biến nhất, định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ giữa LCM và GCD. Ở đây chúng ta sẽ nói về tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM), và Đặc biệt chú ý Chúng ta hãy xem xét các ví dụ. Đầu tiên chúng ta hãy trình bày cách tính LCM của hai số theo GCD của những số này. Tiếp theo, hãy xem xét việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phân tách các số thành thừa số nguyên tố. Sau đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm LCM của ba số trở lên, và cũng chú ý đến việc tính LCM của các số âm.

Điều hướng trang.

Tính toán bội số phổ biến nhất (LCM) thông qua gcd

Một cách để tìm bội số phổ biến nhất là dựa trên mối quan hệ giữa LCM và GCD. Kết nối hiện có giữa LCM và GCD cho phép bạn tính bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương thông qua giá trị lớn nhất đã biết ước số chung. Công thức tương ứng có dạng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b) . Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm LCM theo công thức trên.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 126 và 70.

Quyết định.

Trong ví dụ này a = 126, b = 70. Chúng ta hãy sử dụng mối quan hệ giữa LCM và GCD được biểu thị bằng công thức LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Tức là, đầu tiên chúng ta phải tìm ước chung lớn nhất của các số 70 và 126, sau đó chúng ta có thể tính LCM của các số này theo công thức đã viết.

Tìm gcd (126, 70) bằng thuật toán Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó gcd (126, 70) = 14.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy bội số chung nhỏ nhất được yêu cầu: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời:

LCM (126, 70) = 630.

Ví dụ.

LCM (68, 34) là gì?

Quyết định.

Như 68 chia hết cho 34 thì gcd (68, 34) = 34. Bây giờ chúng ta tính bội số chung nhỏ nhất: LCM (68, 34) = 68 34: LCM (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời:

LCM (68, 34) = 68.

Lưu ý rằng ví dụ trước phù hợp với quy tắc sau để tìm LCM cho các số nguyên dương a và b: nếu số a chia hết cho b thì bội chung nhỏ nhất của các số này là a.

Tìm LCM bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố

Một cách khác để tìm bội số chung nhỏ nhất là dựa trên việc gộp các số thành thừa số nguyên tố. Nếu chúng ta tạo một tích của tất cả các thừa số nguyên tố của những số này, sau đó chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số nguyên tố chung có mặt trong các khai triển của các số này, thì tích kết quả sẽ bằng bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quy tắc đã công bố để tìm LCM tuân theo bình đẳng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Thật vậy, tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số a và b. Lần lượt, gcd (a, b) bằng với sản phẩm tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời có mặt trong các khai triển của số a và b (được mô tả trong phần tìm GCD bằng cách sử dụng phân rã các số thành thừa số nguyên tố).

Hãy lấy một ví dụ. Cho chúng ta biết rằng 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Lập tổng tất cả các thừa số của các khai triển này: 2 3 3 5 5 5 7. Bây giờ chúng ta loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các thừa số có cả trong khai triển của số 75 và trong khai triển của số 210 (các thừa số đó là 3 và 5), thì tích sẽ có dạng 2 3 5 5 7. Giá trị của tích này bằng bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 210, nghĩa là LCM (75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Ví dụ.

Sau khi cộng thừa số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quyết định.

Hãy phân tích các số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố:

Ta nhận được 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Bây giờ, hãy lập một tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số này: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Chúng ta hãy loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các yếu tố xuất hiện đồng thời trong cả hai lần mở rộng (chỉ có một yếu tố như vậy - đây là số 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. Vì vậy, LCM (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời:

LCM (441, 700) = 44 100.

Quy tắc tìm LCM bằng cách sử dụng phân rã các số thành thừa số nguyên tố có thể được xây dựng theo một cách khác nhau một chút. Nếu ta thêm thừa số còn thiếu từ khai triển số b với thừa số từ khai triển số a, thì giá trị của tích thu được sẽ bằng bội chung nhỏ nhất của hai số a và b..

Ví dụ, chúng ta hãy lấy tất cả các số giống nhau 75 và 210, khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố như sau: 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Để thừa số 3, 5 và 5 từ phép giảm của số 75, ta cộng thừa số còn thiếu 2 và 7 từ phép giảm của số 210, ta được tích 2 3 5 5 7, giá trị của nó là LCM (75 , 210).

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Quyết định.

Đầu tiên chúng ta nhận được sự phân rã của các số 84 và 648 thành các thừa số nguyên tố. Chúng có dạng 84 = 2 2 3 7 và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Để các thừa số 2, 2, 3 và 7 từ sự phân hủy của số 84, chúng tôi cộng các thừa số còn thiếu 2, 3, 3 và 3 từ sự phân hủy của số 648, chúng tôi nhận được tích 2 2 2 3 3 3 3 7, bằng 4 536. Do đó, bội số chung nhỏ nhất mong muốn của các số 84 và 648 là 4,536.

Trả lời:

LCM (84, 648) = 4 536.

Tìm LCM của ba số trở lên

Bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên có thể được tìm thấy bằng cách tìm liên tiếp LCM của hai số. Nhắc lại định lý tương ứng, nêu cách tìm LCM của ba số trở lên.

Định lý.

Cho phép các số nguyên được đưa ra số dương a 1, a 2,…, a k, bội số chung nhỏ nhất m k của các số này được tìm thấy bằng phép tính liên tiếp m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k − 1, a k).

Hãy xem xét ứng dụng của định lý này trong ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất của bốn số.

Ví dụ.

Tìm ƯCLN của bốn số 140, 9, 54 và 250.

Quyết định.

Trong ví dụ này, a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Đầu tiên chúng tôi tìm thấy m 2 \ u003d LCM (a 1, a 2) \ u003d LCM (140, 9). Để làm điều này, sử dụng thuật toán Euclide, chúng tôi xác định gcd (140, 9), chúng tôi có 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4, do đó, gcd ( 140, 9) = 1, khi đó LCM (140, 9) = 140 9: LCM (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Tức là, m 2 = 1 260.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy m 3 \ u003d LCM (m 2, a 3) \ u003d LCM (1 260, 54). Hãy tính nó thông qua gcd (1 260, 54), cũng được xác định bởi thuật toán Euclid: 1 260 = 54 23 + 18, 54 = 18 3. Khi đó gcd (1 260, 54) = 18, khi đó LCM (1 260, 54) = 1 260 54: gcd (1 260, 54) = 1 260 54: 18 = 3 780. Đó là, m 3 \ u003d 3 780.

Còn lại để tìm m 4 \ u003d LCM (m 3, a 4) \ u003d LCM (3 780, 250). Để làm điều này, chúng tôi tìm GCD (3 780, 250) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid: 3 780 = 250 15 + 30, 250 = 30 8 + 10, 30 = 10 3. Do đó, gcd (3 780, 250) = 10, khi đó gcd (3 780, 250) = 3 780 250: gcd (3 780, 250) = 3 780 250: 10 = 94 500. Đó là, m 4 \ u003d 94 500.

Vì vậy, bội số chung nhỏ nhất của bốn số ban đầu là 94.500.

Trả lời:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Trong nhiều trường hợp, bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên được tìm thấy một cách thuận tiện bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của các số đã cho. Trong trường hợp này, cần tuân theo quy tắc sau. Bội số chung nhỏ nhất của một số số bằng tích, được cấu tạo như sau: các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai được cộng với tất cả các thừa số từ khai triển của số thứ nhất, thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ ba được thêm vào các hệ số thu được, v.v.

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phép chia nhỏ các số thành thừa số nguyên tố.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Quyết định.

Đầu tiên, chúng ta thu được các khai triển của các số này thành các thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7 thừa số nguyên tố) và 143 = 11 13.

Để tìm LCM của các số này, với các thừa số của số đầu tiên 84 (chúng là 2, 2, 3 và 7), bạn cần thêm các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai 6. Sự mở rộng của số 6 không chứa thừa số, vì cả 2 và 3 đều đã có mặt trong sự khai triển của số 84 đầu tiên. Thêm vào các thừa số 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số 2 và 2 còn thiếu từ khai triển của số thứ ba 48, chúng ta nhận được một tập hợp các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7. Không cần thêm hệ số vào tập hợp này trong bước tiếp theo, vì 7 đã được chứa trong đó. Cuối cùng, đối với các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu 11 và 13 từ khai triển số 143. Ta nhận được tích 2 2 2 2 3 7 11 13 bằng 48 048.

Các biểu thức và nhiệm vụ toán học đòi hỏi nhiều kiến thức bổ sung. NOC là một trong những dạng chính, đặc biệt thường được sử dụng trong đề, đề được học ở trường THPT, tuy không phải là tài liệu đặc biệt khó hiểu nên sẽ không khó để một người rành về lũy thừa và bảng cửu chương lựa chọn. các số cần thiết và tìm kết quả.

Sự định nghĩa

Bội số chung là một số có thể chia hoàn toàn thành hai số cùng một lúc (a và b). Thông thường, con số này có được bằng cách nhân các số ban đầu a và b. Số phải chia hết cho cả hai số cùng một lúc, không được sai lệch.

NOC là thuật ngữ được chấp nhận cho tiêu đề ngắn, được ghép từ những chữ cái đầu tiên.

Các cách lấy số

Để tìm LCM, phương pháp nhân các số không phải lúc nào cũng phù hợp, nó phù hợp hơn nhiều đối với các số đơn giản có một chữ số hoặc hai chữ số. Theo thông lệ người ta thường chia thành các thừa số, số càng lớn thì càng có nhiều thừa số.

Ví dụ 1

Ví dụ đơn giản nhất, các trường học thường lấy các số đơn giản, một chữ số hoặc hai chữ số. Ví dụ, bạn cần giải một nhiệm vụ sau, tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số 7 và 3, cách giải khá đơn giản, chỉ cần nhân chúng. Kết quả là số 21, ít hơnđơn giản là không.

Ví dụ số 2

Lựa chọn thứ hai khó hơn nhiều. Các số 300 và 1260 được đưa ra, việc tìm LCM là bắt buộc. Để giải quyết nhiệm vụ, các hành động sau được giả định:

Phân tích số thứ nhất và số thứ hai thành các thừa số đơn giản nhất. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Giai đoạn đầu tiên đã được hoàn thành.

Giai đoạn thứ hai liên quan đến việc làm việc với dữ liệu đã thu được. Mỗi số nhận được phải tham gia vào việc tính toán kết quả cuối cùng. Đối với mỗi hệ số, nhiều nhất con số lớn những lần xuất hiện. NOC là Tổng số, vì vậy các yếu tố từ các con số phải được lặp lại trong đó cho đến cuối cùng, ngay cả những yếu tố có trong một bản sao. Cả hai con số ban đầu đều có thành phần của chúng là các số 2, 3 và 5, ở các mức độ khác nhau, 7 chỉ là trong một trường hợp.

Để tính toán kết quả cuối cùng, bạn cần đưa từng số lớn nhất trong các lũy thừa được đại diện của chúng, vào phương trình. Nó chỉ còn lại để nhân và nhận được câu trả lời, với việc điền chính xác, nhiệm vụ sẽ phù hợp với hai bước mà không cần giải thích:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Đó là toàn bộ nhiệm vụ, nếu bạn cố gắng tính số mong muốn bằng cách nhân, thì câu trả lời chắc chắn sẽ không chính xác, vì 300 * 1260 = 378,000.

Kiểm tra:

6300/300 = 21 - đúng;

6300/1260 = 5 là đúng.

Tính đúng đắn của kết quả được xác định bằng cách kiểm tra - chia LCM cho cả hai số ban đầu, nếu số đó là số nguyên trong cả hai trường hợp thì câu trả lời là đúng.

NOC có nghĩa là gì trong toán học

Như bạn đã biết, không có một hàm nào vô dụng trong toán học, hàm này cũng không ngoại lệ. Mục đích phổ biến nhất của số này là đưa các phân số về một mẫu số chung. Những gì thường được học ở lớp 5-6 Trung học phổ thông. Nó cũng là một ước số chung cho tất cả các bội số, nếu các điều kiện như vậy nằm trong bài toán. Một biểu thức như vậy có thể tìm thấy bội số không chỉ của hai số mà còn của nhiều hơn- 3, 5, v.v. Thế nào nhiều số hơn- càng nhiều hành động trong nhiệm vụ, nhưng mức độ phức tạp của việc này không tăng lên.

Ví dụ: với các số 250, 600 và 1500, bạn cần tìm tổng LCM của chúng:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ví dụ này mô tả chi tiết hóa thừa số, không giảm.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Để lập một biểu thức, cần phải đề cập đến tất cả các yếu tố, trong trường hợp này là 2, 5, 3 - đối với tất cả các số này, cần phải xác định độ lớn nhất.

Chú ý: tất cả các số nhân phải được đơn giản hóa hoàn toàn, nếu có thể, phân rã đến mức các chữ số đơn lẻ.

Kiểm tra:

1) 3000/250 = 12 - đúng;

2) 3000/600 = 5 - đúng;

3) 3000/1500 = 2 là đúng.

Phương pháp này không yêu cầu bất kỳ thủ thuật hoặc khả năng cấp độ thiên tài, mọi thứ đều đơn giản và rõ ràng.

Cách khác

Trong toán học, rất nhiều liên kết với nhau, rất nhiều có thể được giải bằng hai hoặc nhiều cách, tương tự với việc tìm bội số chung nhỏ nhất, LCM. Phương pháp tiếp theo có thể được sử dụng trong trường hợp các số đơn giản có hai chữ số và một chữ số. Một bảng được biên dịch trong đó số nhân được nhập theo chiều dọc, hệ số theo chiều ngang và sản phẩm được biểu thị trong các ô giao nhau của cột. Bạn có thể phản ánh bảng bằng một dòng, một số được lấy và kết quả của phép nhân số này với số nguyên được viết thành một hàng, từ 1 đến vô cùng, đôi khi 3-5 điểm là đủ, số thứ hai và tiếp theo là chủ đề. vào cùng một quá trình tính toán. Mọi thứ xảy ra cho đến khi tìm được bội số chung.

Với các số 30, 35, 42, bạn cần tìm LCM kết nối tất cả các số:

1) Bội số của 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, v.v.

2) Bội số của 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, v.v.

3) Bội số của 42: 84, 126, 168, 210, 252, v.v.

Đáng chú ý là tất cả các con số khá khác nhau, con số chung duy nhất trong số chúng là 210, vì vậy nó sẽ là LCM. Trong số các quá trình liên quan đến phép tính này, có một ước số chung lớn nhất, ước số này được tính theo các nguyên tắc tương tự và thường gặp trong các bài toán lân cận. Sự khác biệt là nhỏ, nhưng đủ đáng kể, LCM liên quan đến việc tính toán một số chia hết cho tất cả các giá trị ban đầu đã cho và GCM liên quan đến phép tính giá trị lớn nhất mà các số ban đầu có thể chia hết.

Khi cộng và trừ các phân số đại số với mẫu số khác nhauđầu tiên các phân số dẫn đến mẫu số chung. Điều này có nghĩa là họ tìm thấy một mẫu số duy nhất, được chia cho mẫu số ban đầu của mỗi phân số đại số là một phần của biểu thức này.

Như bạn đã biết, nếu tử số và mẫu số của một phân số được nhân (hoặc chia) với cùng một số khác 0, thì giá trị của phân số sẽ không thay đổi. Đây là thuộc tính chính của một phân số. Vì vậy, khi các phân số quy về một mẫu số chung, thì thực tế, mẫu số ban đầu của mỗi phân số được nhân với thừa số thành mẫu số chung. Trong trường hợp này, cần phải nhân với thừa số này và tử số của phân số (nó khác nhau đối với mỗi phân số).

Ví dụ, cho tổng các phân số đại số sau:

Nó được yêu cầu để đơn giản hóa biểu thức, tức là, thêm hai phân số đại số. Để làm được điều này, trước hết, cần phải thu gọn các số hạng-phân số về một mẫu số chung. Bước đầu biết đơn thức chia hết cho 3x và 2y. Trong trường hợp này, điều mong muốn là nó nhỏ nhất, tức là tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất cho 3x và 2y.

Đối với các hệ số và biến số, LCM được tìm kiếm riêng biệt. LCM (3, 2) = 6 và LCM (x, y) = xy. Hơn nữa, các giá trị tìm thấy được nhân lên: 6xy.

Bây giờ chúng ta cần xác định xem chúng ta nhân hệ số nào để nhân 3x để được 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Điều này có nghĩa là khi rút gọn phân số đại số đầu tiên xuống một mẫu số chung thì tử số của nó phải được nhân với 2y (mẫu số đã được nhân khi rút gọn mẫu số chung). Thừa số của tử số của phân số thứ hai cũng được tìm kiếm tương tự. Nó sẽ bằng 3x.

Do đó, chúng tôi nhận được:

Sau đó, bạn đã có thể hành động như với các phân số với cùng mẫu số: tử số được thêm vào và một số chung được viết ở mẫu số:

Sau khi biến đổi, một biểu thức đơn giản thu được, là một phân số đại số, là tổng của hai bản gốc:

Phân số đại số trong biểu thức ban đầu có thể chứa mẫu số là đa thức chứ không phải đơn thức (như trong ví dụ trên). Trong trường hợp này, trước khi tìm mẫu số chung, hãy nhân các mẫu số (nếu có thể). Thêm nữa mẫu số chungđược lắp ráp từ các cấp số nhân khác nhau. Nếu thừa số ở một số mẫu số ban đầu, thì nó được lấy một lần. Nếu hệ số có các mức độ khác nhau trong các mẫu số ban đầu, sau đó nó được lấy với một mẫu số lớn hơn. Ví dụ:

Ở đây đa thức a 2 - b 2 có thể được biểu diễn dưới dạng tích (a - b) (a + b). Thừa số 2a - 2b được khai triển thành 2 (a - b). Như vậy, mẫu số chung sẽ bằng 2 (a - b) (a + b).

Cho một biểu thức đã cho là tích của một số và các chữ cái. Số trong biểu thức này được gọi là hệ số. Ví dụ:

trong biểu thức, hệ số là số 2;

trong biểu thức - số 1;

trong một biểu thức, đây là số -1;

trong biểu thức, hệ số là tích của số 2 và số 3, tức là số 6.

Petya đã có 3 cái kẹo và 5 quả mơ. Mẹ cho Petya thêm 2 viên kẹo và 4 quả mơ (xem Hình 1). Tổng cộng Petya có bao nhiêu cái kẹo và quả mơ?

Cơm. 1. Minh họa cho bài toán

Quyết định

Hãy viết điều kiện của bài toán dưới dạng sau:

1) Có 3 cái kẹo và 5 quả mơ:

2) Mẹ cho 2 cái kẹo và 4 quả mơ:

3) Đó là, Petya có tất cả mọi thứ:

4) Chúng tôi thêm đồ ngọt với kẹo, mơ với mơ:

Do đó, tổng cộng có 5 cái kẹo và 9 quả mơ.

Trả lời: 5 cái kẹo và 9 quả mơ.

Trong Bài toán 1, ở bước thứ tư, chúng ta đã xử lý việc rút gọn các số hạng tương tự.

Các điều khoản có phần chữ cái giống nhau được gọi là các điều khoản tương tự. Các điều khoản tương tự có thể chỉ khác nhau về hệ số số của chúng.

Để thêm (bớt) các số hạng giống như, bạn cần thêm hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung.

Bằng cách giảm các thuật ngữ like, chúng tôi đơn giản hóa biểu thức.

Chúng là các thuật ngữ tương tự nhau, vì chúng có cùng một phần chữ cái. Do đó, để giảm chúng, cần phải cộng tất cả các hệ số của chúng - đó là 5, 3 và -1 và nhân với phần chữ cái chung - đây là một.

Biểu thức này chứa các điều khoản tương tự. Phần chữ cái chung là xy, và các hệ số là 2, 1 và -3. Đây là những điều khoản tương tự:

Trong biểu thức này, các thuật ngữ tương tự là và, hãy mang chúng:

Hãy đơn giản hóa biểu thức này. Để làm điều này, chúng tôi tìm các thuật ngữ tương tự. Có hai cặp thuật ngữ giống nhau trong biểu thức này - đó là và, và.

Hãy đơn giản hóa biểu thức này. Để thực hiện việc này, hãy mở dấu ngoặc bằng cách sử dụng luật phân phối:

Có các thuật ngữ tương tự trong biểu thức - điều này và, hãy cung cấp cho chúng:

Trong bài học này, chúng ta đã làm quen với khái niệm hệ số, học các thuật ngữ nào được gọi là tương tự và xây dựng quy tắc rút gọn các số hạng tương tự và chúng ta cũng giải một số ví dụ trong đó chúng ta sử dụng quy tắc này.

Thư mục

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Toán học 6. M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Toán lớp 6. M.: Phòng tập thể dục, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Đằng sau các trang của một cuốn sách giáo khoa toán học. Matxcova: Giáo dục, 1989.
Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Nhiệm vụ môn Toán lớp 5-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Toán 5-6. Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 6 của trường văn thư MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Toán: Sách giáo khoa-đối thoại dành cho lớp 5-6 THPT. M .: Giáo dục, Thư viện Giáo viên Toán học, 1989.

Bài tập về nhà

Cổng Internet Youtube.com ( ).
Cổng Internet For6cl.uznateshe.ru ().
Cổng thông tin Internet Festival.1september.ru ().
Cổng thông tin Internet Cleverstudents.ru ().