Tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng số tùy ý. Phương pháp biến đổi các hằng số tùy ý

Bây giờ xét phương trình tuyến tính không thuần nhất
. (2)
Cho y 1 ,y 2 ,.., y n - hệ thống cơ bản quyết định, và quyết định chung liên quan, thích hợp phương trình thuần nhất L(y)=0 . Tương tự như trường hợp phương trình bậc nhất ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (2) dưới dạng
. (3)
Hãy để chúng tôi xác minh rằng một giải pháp trong hình thức này tồn tại. Để làm điều này, chúng tôi thay thế chức năng vào phương trình. Để thế hàm này vào phương trình, ta tìm đạo hàm của nó. Đạo hàm đầu tiên là
. (4)
Khi tính đạo hàm cấp hai, vế phải của (4) xuất hiện bốn số hạng, khi tính đạo hàm cấp ba, xuất hiện tám số hạng, v.v. Do đó, để thuận tiện cho các phép tính tiếp theo, số hạng đầu tiên trong (4) được giả sử bằng không. Với suy nghĩ này, đạo hàm bậc hai bằng
. (5)
Vì những lý do tương tự như trước đây, trong (5), chúng tôi cũng đặt thuật ngữ đầu tiên bằng không. Cuối cùng, đạo hàm bậc n bằng
. (6)
Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào phương trình ban đầu, ta có
. (7)
Số hạng thứ hai trong (7) bằng 0, vì các hàm y j , j=1,2,..,n, là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng L(y)=0. Kết hợp với cái trước, chúng ta có được hệ thống phương trình đại sốđể tìm các chức năng C" j (x)
(8)
Định thức của hệ này là định thức Wronsky của hệ nghiệm cơ bản y 1 ,y 2 ,..,y n của phương trình thuần nhất tương ứng L(y)=0 và do đó không bằng 0. Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất. Sau khi tìm thấy nó, chúng tôi thu được các hàm C "j (x), j=1,2,…,n và do đó, C j (x), j=1,2,…,n Thay thế các giá trị này vào (3), ta thu được nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Phương pháp được mô tả được gọi là phương pháp biến đổi của một hằng số tùy ý hoặc phương pháp Lagrange.

Bậc phái sinh tối đa 2 3 4 5 6

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Xét phương trình thuần nhất tương ứng y"" + 4y" + 3y = 0. Căn nguyên của nó phương trình đặc trưng r 2 + 4r + 3 = 0 là -1 và -3. Do đó, hệ nghiệm cơ bản của một phương trình thuần nhất bao gồm các hàm y 1 = e - x và y 2 = e -3 x. Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp cho một phương trình không thuần nhất ở dạng y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Để tìm đạo hàm C " 1 , C" 2 ta lập hệ phương trình (8)

giải quyết mà, chúng tôi tìm thấy , Tích hợp các chức năng thu được, chúng tôi có
Cuối cùng chúng tôi nhận được

Ví dụ #2. giải tuyến tính phương trình vi phân thứ tự thứ hai với hệ số không đổi bằng phương pháp biến thiên hằng số tùy ý:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Dung dịch:
Phương trình vi phân này thuộc phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng.
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình ở dạng y = e rx . Để làm điều này, chúng tôi soạn phương trình đặc trưng của một phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính với các hệ số không đổi:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Các nghiệm của phương trình đặc trưng: r 1 = 4, r 2 = 2
Do đó, hệ nghiệm cơ bản là các hàm:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Tìm nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý.
Để tìm đạo hàm của C"i, ta lập hệ phương trình:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Thể hiện C" 1 từ phương trình đầu tiên:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
và thay thế trong lần thứ hai. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Chúng tôi tích hợp các chức năng thu được C"i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Vì , sau đó chúng tôi viết các biểu thức kết quả ở dạng:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
hoặc
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Ta tìm nghiệm cụ thể với điều kiện:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Thay x = 0 vào phương trình vừa tìm được:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Chúng tôi tìm thấy đạo hàm đầu tiên của giải pháp chung thu được:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Thay x = 0, ta được:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Ta được hệ hai phương trình:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
hoặc
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
hoặc
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Ở đâu:
C1=0, C*2=2
Một giải pháp cụ thể sẽ được viết là:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

lý thuyết tối thiểu

Trong lý thuyết về phương trình vi phân, có một phương pháp được cho là có mức độ phổ quát đủ cao cho lý thuyết này.
Chúng ta đang nói về phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý, áp dụng cho việc giải các loại phương trình vi phân khác nhau và cách giải của chúng.
các hệ thống. Đây chính xác là trường hợp khi lý thuyết - nếu bạn lấy bằng chứng của các tuyên bố ra khỏi ngoặc - là tối thiểu, nhưng cho phép bạn đạt được
kết quả quan trọng, vì vậy trọng tâm chính sẽ là các ví dụ.

Ý tưởng chung của phương pháp này khá đơn giản để hình thành. Để cho phương trình đã cho(hệ phương trình) khó giải hoặc không rõ ràng chút nào,
làm thế nào để giải quyết nó. Tuy nhiên, có thể thấy rằng khi một số thuật ngữ bị loại khỏi phương trình, nó sẽ được giải. Sau đó, họ giải quyết một cách đơn giản như vậy
phương trình (hệ), nhận được một nghiệm chứa một số hằng số tùy ý - tùy thuộc vào thứ tự của phương trình (số
phương trình trong hệ). Khi đó giả sử hằng số trong nghiệm tìm được không thực sự là hằng số, nghiệm tìm được
được thay thế vào phương trình (hệ thống) ban đầu, một phương trình vi phân (hoặc hệ phương trình) thu được để xác định "hằng số".
Có một tính đặc hiệu nhất định trong việc áp dụng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý cho nhiệm vụ khác nhau, nhưng đây đã là những chi tiết cụ thể sẽ được
hiển thị với các ví dụ.

Xem xét riêng giải pháp của tuyến tính phương trình không thuần nhấtđơn đặt hàng cao hơn, tức là phương trình dạng
.
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất là tổng của nghiệm chung của phương trình thuần nhất tương ứng và nghiệm riêng
phương trình đã cho. Chúng ta hãy giả sử rằng nghiệm chung của phương trình thuần nhất đã được tìm thấy, cụ thể là hệ nghiệm cơ bản (FSR) đã được xây dựng
. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là .
Cần phải tìm bất kỳ giải pháp cụ thể nào của phương trình không thuần nhất. Đối với điều này, các hằng số được coi là phụ thuộc vào biến.
Tiếp theo, bạn cần giải hệ phương trình
.
Lý thuyết đảm bảo rằng hệ phương trình đại số này đối với các đạo hàm của hàm số có một nghiệm duy nhất.
Khi tự tìm các hàm, các hằng số tích phân không xuất hiện: xét cho cùng, bất kỳ một giải pháp nào cũng được tìm kiếm.

Trong trường hợp giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc nhất dạng

thuật toán hầu như không thay đổi. Trước tiên, bạn cần tìm FSR của hệ phương trình thuần nhất tương ứng, soạn ma trận cơ bản
system , các cột trong đó là các thành phần của FSR. Tiếp theo, phương trình
.
Giải hệ ta xác định hàm số , từ đó tìm nghiệm riêng cho hệ ban đầu
(ma trận cơ bản được nhân với cột tính năng tìm thấy).
Chúng tôi thêm nó vào giải pháp chung của hệ phương trình thuần nhất tương ứng, được xây dựng trên cơ sở FSR đã được tìm thấy.
Nghiệm tổng quát của hệ ban đầu thu được.

Ví dụ.

ví dụ 1 Phương trình không thuần nhất tuyến tính bậc nhất.

Chúng ta hãy xem xét phương trình thuần nhất tương ứng (chúng ta ký hiệu hàm cần thiết bởi ):
.
Phương trình này được giải dễ dàng bằng cách tách các biến:

.
Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của phương trình ban đầu dưới dạng , nơi chức năng vẫn chưa được tìm thấy.
Chúng tôi thay thế loại giải pháp này vào phương trình ban đầu:
.
Như bạn có thể thấy, số hạng thứ hai và thứ ba ở vế trái triệt tiêu lẫn nhau - đây là tính năng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý.

Ở đây đã có - thực sự, một hằng số tùy ý. Bằng cách này,
.

ví dụ 2 phương trình Bernoulli.

Chúng tôi hành động tương tự như ví dụ đầu tiên - chúng tôi giải phương trình

phương pháp tách biến. Hóa ra , vì vậy chúng tôi đang tìm nghiệm của phương trình ban đầu ở dạng
.
Thay thế chức năng này vào phương trình ban đầu:
.
Và một lần nữa có những vết cắt:
.
Ở đây bạn cần nhớ đảm bảo rằng khi chia cho thì nghiệm không bị mất. Và trường hợp tương ứng với giải pháp của bản gốc
phương trình. Hãy nhớ đến anh ấy. Vì thế,
.
Cùng viết nào .
Đây là giải pháp. Khi viết câu trả lời, bạn cũng nên chỉ ra giải pháp được tìm thấy trước đó, vì nó không tương ứng với bất kỳ giá trị cuối cùng nào
hằng số .

ví dụ 3 Phương trình không thuần nhất tuyến tính bậc cao.

Chúng tôi lưu ý ngay rằng phương trình này có thể được giải đơn giản hơn, nhưng thật tiện lợi khi hiển thị phương pháp trên đó. Mặc dù một số lợi thế
phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý cũng có nó trong ví dụ này.
Vì vậy, bạn cần bắt đầu với FSR của phương trình thuần nhất tương ứng. Nhớ lại rằng để tìm FSR, đặc tính
phương trình
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
.
Các hằng số bao gồm ở đây sẽ được thay đổi. Biên soạn một hệ thống

Phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý, hay phương pháp Lagrange, là một cách khác để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một và phương trình Bernoulli.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng y’+p(x)y=q(x). Nếu vế phải bằng 0: y’+p(x)y=0, thì đây là một tuyến tính đồng nhất phương trình bậc 1. Theo đó, một phương trình với một số khác không bên phải, y'+p(x)y=q(x), — không đồng nhất phương trình đường thẳngđơn hàng đầu tiên.

Phương pháp biến thiên hằng số tùy ý (phương pháp Lagrange) bao gồm những điều sau đây:

1) Chúng ta đang tìm nghiệm tổng quát cho phương trình thuần nhất y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Trong nghiệm tổng quát, C không được coi là một hằng số mà là một hàm của x: C=C(x). Ta tìm đạo hàm của nghiệm tổng quát (y*)' và thế biểu thức kết quả của y* và (y*)' vào điều kiện ban đầu. Từ phương trình kết quả, chúng ta tìm được hàm С(x).

3) Trong nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, thay C vào biểu thức tìm được C(x).

Xét các ví dụ về phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý. Hãy thực hiện các nhiệm vụ tương tự như trong , so sánh tiến trình của giải pháp và đảm bảo rằng các câu trả lời nhận được đều giống nhau.

1) y'=3x-y/x

Hãy viết lại phương trình ở dạng chuẩn (trái ngược với phương pháp Bernoulli, trong đó chúng ta chỉ cần ký hiệu để thấy rằng phương trình là tuyến tính).

y'+y/x=3x (I). Bây giờ chúng ta đang đi theo kế hoạch.

1) Chúng ta giải phương trình thuần nhất y’+y/x=0. Đây là một phương trình biến có thể tách rời. Đại diện cho y’=dy/dx, thay thế: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Chúng ta nhân cả hai phần của phương trình với dx và chia cho xy≠0: dy/y=-dx/x. Chúng tôi tích hợp:

2) Trong nghiệm tổng quát thu được của phương trình thuần nhất, ta sẽ coi С không phải là hằng số mà là một hàm của x: С=С(x). Từ đây

Các biểu thức kết quả được thay thế vào điều kiện (I):

Chúng tôi tích hợp cả hai mặt của phương trình:

ở đây C đã là một hằng số mới.

3) Trong nghiệm chung của phương trình thuần nhất y \u003d C / x, trong đó chúng ta đã xét C \u003d C (x), nghĩa là y \u003d C (x) / x, thay vì C (x), chúng ta thay thế tìm thấy biểu thức x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x hoặc y=x²+C/x. Ta được đáp án giống như khi giải bằng phương pháp Bernoulli.

Trả lời: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Ở đây phương trình đã được viết sẵn ở dạng chuẩn, không cần chuyển đổi.

1) Chúng ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Chúng tôi tích hợp:

Để có được một ký hiệu thuận tiện hơn, chúng ta sẽ lấy số mũ lũy thừa của C như một C mới:

Phép biến đổi này được thực hiện để thuận tiện hơn cho việc tìm đạo hàm.

2) Trong nghiệm tổng quát thu được của phương trình tuyến tính thuần nhất, ta coi С không phải là hằng số mà là một hàm của x: С=С(x). dưới điều kiện này

Các biểu thức kết quả y và y' được thay thế vào điều kiện:

Nhân cả hai vế của phương trình với

Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình bằng cách sử dụng công thức tích hợp từng phần, chúng tôi nhận được:

Ở đây C không còn là một hàm nữa mà là một hằng số bình thường.

3) Vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

chúng ta thay thế hàm tìm được С(x):

Ta được đáp án giống như khi giải bằng phương pháp Bernoulli.

Phương pháp biến thiên một hằng số tùy ý cũng được áp dụng để giải.

y’x+y=-xy².

Ta đưa phương trình về chế độ xem tiêu chuẩn: y'+y/x=-y² (II).

1) Chúng ta giải phương trình thuần nhất y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Nhân cả hai vế của phương trình với dx và chia cho y: dy/y=-dx/x. Bây giờ hãy tích hợp:

Ta thế các biểu thức thu được vào điều kiện (II):

Đơn giản hóa:

Chúng tôi có một phương trình với các biến có thể tách rời cho C và x:

Ở đây C đã là một hằng số bình thường. Trong quá trình tích hợp, thay vì C(x), chúng tôi chỉ viết C, để không làm quá tải ký hiệu. Và cuối cùng, chúng tôi quay lại C(x) để không nhầm C(x) với C mới.

3) Ta thế hàm tìm được С(x) vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y=C(x)/x:

Ta được đáp án giống như khi giải bằng phương pháp Bernoulli.

Ví dụ để tự kiểm tra:

1. Hãy viết lại phương trình ở dạng chuẩn: y'-2y=x.

1) Ta giải phương trình thuần nhất y'-2y=0. y’=dy/dx, do đó dy/dx=2y, nhân cả hai vế của phương trình với dx, chia cho y và lấy tích phân:

Từ đây ta tìm được y:

Chúng tôi thay thế các biểu thức cho y và y’ vào điều kiện (để cho ngắn gọn, chúng tôi sẽ cung cấp C thay vì C (x) và C’ thay vì C "(x)):

Để tìm tích phân ở vế phải, chúng ta sử dụng công thức tích phân từng phần:

Bây giờ chúng ta thay thế u, du và v vào công thức:

Ở đây C = const.

3) Bây giờ chúng ta thế vào dung dịch của đồng thể

Xem xét một phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính với các hệ số không đổi của bậc n tùy ý:
(1) .
Phương pháp hằng số biến thiên mà ta đã xét cho phương trình bậc nhất cũng có thể áp dụng cho phương trình bậc cao.

Giải pháp được thực hiện trong hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta loại bỏ vế phải và giải phương trình thuần nhất. Kết quả là ta thu được nghiệm chứa n hằng số tùy ý. Trong bước thứ hai, chúng tôi thay đổi các hằng số. Nghĩa là, chúng ta coi các hằng số này là các hàm của biến độc lập x và tìm dạng của các hàm này.

Mặc dù chúng ta đang xem xét các phương trình với hệ số không đổi ở đây, nhưng phương pháp Lagrange cũng có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình tuyến tính không thuần nhất nào. Tuy nhiên, đối với điều này, hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất phải được biết.

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất

Như trong trường hợp của phương trình bậc nhất, trước tiên chúng ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, đánh đồng phần không thuần nhất bên phải bằng 0:
(2) .
Giải pháp chung của một phương trình như vậy có dạng:
(3) .
Đây là các hằng số tùy ý; - n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) lập thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình này.

Bước 2. Biến thể của hằng số - Thay thế hằng số bằng hàm

Trong bước thứ hai, chúng ta sẽ xử lý sự thay đổi của các hằng số. Nói cách khác, chúng ta sẽ thay thế các hằng bằng các hàm của biến độc lập x :
.
Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp cho phương trình ban đầu (1) ở dạng sau:
(4) .

Nếu thay (4) vào (1), ta được một phương trình vi phân cho n hàm số. Trong trường hợp này, chúng ta có thể kết nối các hàm này với các phương trình bổ sung. Sau đó, bạn nhận được n phương trình, từ đó bạn có thể xác định n hàm số. phương trình bổ sung có thể được thực hiện những cách khác. Nhưng chúng tôi sẽ làm điều đó theo cách mà giải pháp có dạng đơn giản nhất. Để làm được điều này, khi lấy đạo hàm, bạn cần phải bằng 0 các số hạng chứa đạo hàm của các hàm. Hãy chứng minh điều này.

Để thay thế nghiệm đề xuất (4) vào phương trình ban đầu (1), chúng ta cần tìm các đạo hàm của n bậc đầu tiên của hàm được viết ở dạng (4). Phân biệt (4) bằng cách áp dụng quy tắc phân biệt tổng và hoạt động:
.
Hãy nhóm các thành viên lại. Đầu tiên, chúng tôi viết ra các thuật ngữ có đạo hàm của , và sau đó là các thuật ngữ có đạo hàm của :

.
Chúng tôi áp đặt điều kiện đầu tiên cho các chức năng:
(5.1) .
Khi đó biểu thức của đạo hàm bậc nhất đối với sẽ có dạng đơn giản hơn:
(6.1) .

Theo cách tương tự, chúng tôi tìm thấy đạo hàm thứ hai:

.
Chúng tôi áp đặt điều kiện thứ hai cho các chức năng:
(5.2) .
sau đó
(6.2) .
Và như thế. Trong các điều kiện bổ sung, chúng ta đánh đồng các số hạng chứa đạo hàm của các hàm bằng không.

Do đó, nếu chúng ta chọn các phương trình bổ sung sau cho các hàm:
(5.k) ,
thì đạo hàm bậc nhất đối với sẽ có dạng đơn giản nhất:
(6.k) .
Nơi đây .

Ta tìm đạo hàm bậc n:
(6.n)
.

Chúng tôi thay thế vào phương trình ban đầu (1):
(1) ;






.
Chúng tôi tính đến việc tất cả các hàm thỏa mãn phương trình (2):
.
Khi đó tổng các số hạng chứa bằng không. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
(7) .

Kết quả là, chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính cho các đạo hàm:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Giải hệ này, ta tìm được các biểu thức đạo hàm dưới dạng hàm của x . Tích hợp, chúng tôi nhận được:
.
Ở đây, là các hằng số không còn phụ thuộc vào x. Thay vào (4) ta được nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu.

Lưu ý rằng chúng tôi chưa bao giờ sử dụng thực tế là các hệ số a i không đổi để xác định giá trị của các đạo hàm. đó là lý do tại sao phương pháp Lagrange được áp dụng để giải bất kỳ phương trình không thuần nhất tuyến tính nào, nếu biết hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (2).

ví dụ

Giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange).

Chúng ta hãy chuyển sang xét các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng

ở đâu - chức năng đối số mong muốn , và các chức năng



đã cho và liên tục trên một khoảng nào đó
.

Chúng ta hãy xem xét một phương trình thuần nhất tuyến tính, vế trái của nó trùng với vế trái của phương trình không thuần nhất (2.31),

Phương trình dạng (2.32) được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình không thuần nhất (2.31).

Định lý sau về cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (2.31) đúng.

Định lý 2.6. Nghiệm tổng quát của phương trình (2.31) tuyến tính không thuần nhất trong miền

là tổng của bất kỳ nghiệm riêng nào của nó và nghiệm chung của phương trình thuần nhất tương ứng (2.32) trong miền (2.33), tức là

ở đâu - nghiệm riêng của phương trình (2.31),
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (2.32), và
là các hằng số tùy ý.

Bằng chứng của định lý này có thể được tìm thấy trong .

Sử dụng ví dụ về phương trình vi phân cấp hai, chúng tôi trình bày một phương pháp mà người ta có thể tìm một nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất tuyến tính. Phương pháp này được gọi là Biến thể phương pháp Lagrange của hằng số tùy ý.

Vì vậy, giả sử có một phương trình tuyến tính không thuần nhất

(2.35)

nơi hệ số
và bên phải
liên tục trong một khoảng nào đó
.

Biểu thị bởi
và
hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất

(2.36)

Khi đó nghiệm tổng quát của nó có dạng

(2.37)

ở đâu và là các hằng số tùy ý.

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (2.35) ở dạng tương tự , cũng như nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, thay hằng số tùy ý bằng một số hàm khả vi của (chúng tôi thay đổi các hằng số tùy ý), những thứ kia.

ở đâu
và
là một số chức năng khả vi từ , vẫn chưa biết và chúng ta sẽ cố gắng xác định sao cho hàm (2.38) là một nghiệm của phương trình (2.35) không thuần nhất. Đạo hàm hai vế của đẳng thức (2.38), ta được

Vì vậy khi tính toán không có đạo hàm cấp hai của
và
, chúng tôi yêu cầu rằng ở mọi nơi trong
điều kiện

Sau đó sẽ có

Tính đạo hàm bậc hai

Thay thế biểu thức cho ,,từ (2.38), (2.40), (2.41) vào phương trình (2.35) ta được

Biểu thức trong dấu ngoặc vuông, đều bằng 0 ở mọi nơi trong
, tại vì và - nghiệm riêng của phương trình (2.36). Khi đó (2.42) có dạng Kết hợp điều kiện này với điều kiện (2.39) ta được hệ phương trình xác định
và

(2.43)

Hệ thứ hai là một hệ gồm hai phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất đối với
và
. Định thức của hệ này là định thức Wronsky đối với hệ nghiệm cơ bản ,và do đó khác 0 ở mọi nơi trong
. Điều này có nghĩa là hệ (2.43) có nghiệm duy nhất. Đã giải quyết nó theo bất kỳ cách nào liên quan đến
,
tìm thấy

ở đâu
và
là những hàm quen thuộc.

Thực hiện tích hợp và tính đến điều đó như
,
người ta nên lấy bất kỳ một cặp hàm nào, chúng tôi đặt các hằng số tích phân bằng không. Lấy

Thay biểu thức (2.44) vào quan hệ (2.38) ta viết được nghiệm mong muốn của phương trình (2.35) dưới dạng

Phương pháp này có thể được tổng quát hóa để tìm nghiệm cụ thể cho phương trình tuyến tính không thuần nhất -thứ tự.

Ví dụ 2.6. giải phương trình
tại
nếu chức năng

lập hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng.

Hãy để chúng tôi tìm một giải pháp cụ thể của phương trình này. Để làm điều này, theo phương pháp Lagrange, trước tiên ta phải giải hệ (2.43), trong trường hợp của chúng ta có dạng
Rút gọn cả hai vế của mỗi phương trình bằng chúng tôi nhận được

Trừ số hạng phương trình thứ nhất theo số hạng từ phương trình thứ hai, chúng tôi tìm thấy
và sau đó từ phương trình đầu tiên, nó theo sau
Thực hiện tích phân và đặt các hằng số tích phân bằng 0, ta có

Một giải pháp cụ thể cho phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng

ở đâu và là các hằng số tùy ý.

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý một tính chất đáng chú ý, thường được gọi là nguyên tắc áp đặt các giải pháp và được mô tả bởi định lý sau.

Định lý 2.7. Nếu ở giữa
hàm số
- một nghiệm cụ thể của phương trình hàm
một nghiệm cụ thể của phương trình trên cùng một khoảng, hàm
là nghiệm riêng của phương trình