Một đường thẳng là mục tiêu của một hyperbola. Hyperbola và phương trình chính tắc của nó

Nghề nghiệp 10 . Các đường cong bậc hai.

10.1. hình elip. phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

10.2. đường hypebol. phương trình chính tắc. Bán trục, lệch tâm, tiệm cận, đồ thị.

10.3. Parabol. phương trình chính tắc. Parabol tham số, đồ thị.

Các đường cong bậc hai trong mặt phẳng được gọi là các đường thẳng, đặc tả ẩn của nó có dạng:

ở đâu
- cho các số thực,
- tọa độ của các điểm đường cong. Các đường quan trọng nhất trong số các đường cong bậc hai là hình elip, hyperbola, parabola.

10.1. hình elip. phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

Định nghĩa của một hình elip.Hình elip là một đường cong phẳng có tổng khoảng cách từ hai điểm cố định
mặt phẳng tới một điểm bất kỳ

(những, cái đó.). điểm
gọi là tiêu điểm của elip.

Phương trình chính tắc của một hình elip:
. (2)

(hoặc trục
) đi qua tiêu điểm
, gốc tọa độ là một điểm - Nằm ngay trung tâm phân khúc
(Hình 1). Elip (2) đối xứng qua các trục tọa độ và gốc tọa độ (tâm của elip). Dài hạn
,
gọi điện nửa trục của elip.

Nếu hình elip được cho bởi phương trình (2), thì các tiêu điểm của hình elip được tìm như sau.

1) Đầu tiên, chúng tôi xác định vị trí của tiêu điểm: tiêu điểm nằm trên trục tọa độ mà các bán trục chính nằm trên đó.

2) Sau đó, độ dài tiêu cự được tính (khoảng cách từ tiêu điểm đến gốc tọa độ).

Tại
tiêu điểm nằm trên trục
;
;
.

độ lệch tâm hình elip được gọi là giá trị: (tại
);(tại
).

Hình elip luôn có
. Độ lệch tâm là một đặc tính nén của hình elip.

Nếu di chuyển hình elip (2) sao cho tâm của hình elip nằm trên điểm

,
, thì phương trình của hình elip thu được có dạng

10.2. đường hypebol. phương trình chính tắc. Bán trục, lệch tâm, tiệm cận, đồ thị.

Định nghĩa của một hypebol.Hyperbola là một đường cong phẳng, trong đó giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ hai điểm cố định
mặt phẳng tới một điểm bất kỳ
đường cong này là hằng số, không phụ thuộc vào điểm
(những, cái đó.). điểm
được gọi là tiêu điểm của hypebol.

Phương trình chính tắc của một hypebol:
hoặc là
. (3)

Một phương trình như vậy thu được nếu trục tọa độ
(hoặc trục
) đi qua tiêu điểm
, gốc tọa độ là một điểm - Nằm ngay trung tâm phân khúc
. Hyperbolas (3) đối xứng qua các trục tọa độ và gốc tọa độ. Dài hạn
,
gọi điện nửa trục của hypebol.

Các tiêu điểm của hyperbola được tìm thấy như sau.

Tại cường điệu
tiêu điểm nằm trên trục
:
(Hình 2.a).

Tại cường điệu
tiêu điểm nằm trên trục
:
(Hình 2.b)

Nơi đây - tiêu cự (khoảng cách từ tiêu điểm đến gốc tọa độ). Nó được tính theo công thức:
.

độ lệch tâm hyperbola được gọi là giá trị:

(vì
);(vì
).

Cường điệu luôn luôn có
.

Tiệm cận của hyperbolas(3) là hai đường thẳng:
. Cả hai nhánh của hyperbola tiếp cận các tiệm cận vô thời hạn như .

Việc xây dựng đồ thị của một hyperbola nên được thực hiện như sau: đầu tiên, dọc theo các nửa trục
chúng tôi xây dựng một hình chữ nhật phụ trợ với các cạnh song song với các trục tọa độ; sau đó chúng ta vẽ các đường thẳng đi qua các đỉnh đối diện của hình chữ nhật này, đây là các đường tiệm cận của hyperbola; cuối cùng, chúng tôi mô tả các nhánh của hyperbola, chúng chạm vào điểm giữa của các cạnh tương ứng của hình chữ nhật phụ trợ và tiếp cận với sự phát triển đến tiệm cận (Hình 2).

Nếu di chuyển các đường hypebol (3) sao cho tâm của chúng rơi vào điểm
, và các nửa trục sẽ vẫn song song với các trục
,
, thì phương trình của các hyperbol kết quả có thể được viết dưới dạng

,
.

10.3. Parabol. phương trình chính tắc. Parabol tham số, đồ thị.

Định nghĩa của một parabol.Parabol là một đường cong phẳng mà tại đó với mọi điểm
đường cong này là khoảng cách từ
đến một điểm cố định mặt phẳng (gọi là tiêu điểm của parabol) cách đều
đến một đường cố định trên mặt phẳng(được gọi là đường trực của parabol) .

Phương trình parabol chính tắc:
, (4)

ở đâu là một hằng số được gọi là tham số parabol.

chấm
parabol (4) được gọi là đỉnh của parabol. trục
là trục đối xứng. Trọng tâm của parabol (4) tại điểm
, phương trình đường chuẩn
. Đồ thị parabola (4) với các giá trị
và
thể hiện trong hình. 3.a và 3.b, tương ứng.

phương trình
cũng định nghĩa một parabol trong mặt phẳng
, so với parabol (4) có trục
,
đổi chỗ.

Nếu di chuyển parabol (4) sao cho đỉnh của nó chạm vào điểm
, và trục đối xứng sẽ vẫn song song với trục
, thì phương trình của parabol kết quả có dạng

Hãy chuyển sang các ví dụ.

ví dụ 1. Đường cong bậc hai được cho bởi phương trình
. Đặt tên cho đường cong này. Tìm trọng tâm và độ lệch tâm của nó. Vẽ một đường cong và các tiêu điểm của nó trong một mặt phẳng
.

Phán quyết. Đường cong này là một hình elip có tâm tại điểm
và trục trục
. Điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách thay thế
. Phép biến đổi này có nghĩa là chuyển từ một hệ tọa độ Descartes đã cho
sang một cái mới hệ Descartes tọa độ
, trục của ai
song song với các trục
,
. Phép biến đổi tọa độ này được gọi là phép dịch chuyển hệ thống.
một cách chính xác . TẠI hệ thống mới tọa độ
phương trình đường cong được chuyển thành phương trình chính tắc hình elip
, đồ thị của nó được hiển thị trong Hình. bốn.

Hãy tìm thủ thuật.
, vì vậy các thủ thuật
elip nằm trên trục
.. Trong hệ tọa độ
:
. Tại vì
, trong hệ tọa độ cũ
tiêu điểm có tọa độ.

ví dụ 2. Cho biết tên đường cong bậc 2 và cho đồ thị của nó.

Phán quyết. Chúng tôi chọn các ô vuông đầy đủ theo các thuật ngữ có chứa các biến và .

Bây giờ, phương trình đường cong có thể được viết lại như sau:

Do đó, đường cong đã cho là một elip có tâm tại điểm
và trục trục
. Thông tin thu được cho phép chúng ta vẽ đồ thị của nó.

ví dụ 3. Đặt tên và vẽ biểu đồ đường
.

Phán quyết. . Đây là phương trình chính tắc của một hình elip có tâm tại một điểm
và trục trục
.

Vì,
, chúng tôi kết luận: mỗi phương trình đã cho xác định trên mặt phẳng
nửa dưới của hình elip (Hình 5).

Ví dụ 4. Đặt tên cho đường cong của bậc hai
. Tìm mánh khóe của cô ấy, lập dị. Cho một đồ thị của đường cong này.

- phương trình chính tắc của một hyperbola với nửa trục
.

tiêu cự.

Dấu trừ ở trước thuật ngữ với , vì vậy các thủ thuật
hyperbol nằm trên trục
:. Các nhánh của hyperbola nằm trên và dưới trục
.

là độ lệch tâm của hyperbola.

Các tiệm cận của một hypebol: .

Việc xây dựng đồ thị của hyperbola này được thực hiện theo quy trình trên: chúng tôi dựng một hình chữ nhật phụ, vẽ các tiệm cận của hyperbola, vẽ các nhánh của hyperbola (xem Hình 2.b).

Ví dụ 5. Tìm dạng của đường cong được cho bởi phương trình
và vẽ nó.

- hyperbol có tâm tại một điểm
và nửa trục.

Tại vì , ta kết luận: phương trình đã cho xác định phần hypebol nằm bên phải đường thẳng
. Tốt hơn là vẽ một hyperbola trong một hệ tọa độ phụ trợ
thu được từ hệ tọa độ
sự thay đổi
, sau đó với một đường kẻ dày, chọn phần mong muốn của hyperbola

Ví dụ 6. Tìm ra loại đường cong và vẽ đồ thị của nó.

Phán quyết. Hãy tách ra hình vuông đầy đủ theo thuật ngữ với một biến :

Hãy viết lại phương trình của đường cong.

Đây là phương trình của một parabol có đỉnh tại điểm
. Bằng một phép biến đổi shift, phương trình parabola được rút gọn về dạng chính tắc
, từ đó có thể thấy thông số gì đó parabol. Tiêu điểm parabol trong hệ thống
có tọa độ
, và trong hệ thống
(theo phép biến đổi ca). Đồ thị parabola được hiển thị trong hình. 7.

Bài tập về nhà.

1. Vẽ elip cho bởi phương trình:
Tìm bán trục, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị hình elip vị trí của các tiêu điểm của chúng.

2. Vẽ hyperbol cho bởi các phương trình:
Tìm bán trục, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị các hyperbol vị trí tiêu điểm của chúng. Viết phương trình các đường tiệm cận của các hyperbol đã cho.

3. Vẽ các parabol cho bởi các phương trình:
. Tìm tham số, tiêu cự của chúng và chỉ vị trí tiêu điểm trên các đồ thị parabol.

4. Phương trình
xác định một phần của đường cong bậc 2. Tìm phương trình chính tắc của đường cong này, viết tên của nó, xây dựng đồ thị của nó và chọn trên đó một phần của đường cong tương ứng với phương trình ban đầu.

Cường điệu được gọi là nơi hình học các điểm mà hiệu khoảng cách từ hai điểm cố định của mặt phẳng, được gọi là tiêu điểm, là một giá trị không đổi; sự khác biệt này được lấy từ giá trị tuyệt đối và thường được ký hiệu là 2a, tiêu điểm của hyperbola được ký hiệu bằng các chữ cái F 1 và F 2, khoảng cách giữa chúng là 2c. Theo định nghĩa của hyperbola 2a

Hãy để một cường điệu được đưa ra. Nếu các trục là Descartes hệ chữ nhật tọa độ được chọn sao cho các tiêu điểm của hyperbola này nằm trên trục hoành đối xứng với gốc tọa độ, thì trong hệ tọa độ này, phương trình của hyperbola có dạng

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

trong đó b \u003d √ (c 2 - a 2). Một phương trình có dạng (I) được gọi là phương trình chính tắc của một hyperbola.Với sự lựa chọn hệ tọa độ đã chỉ định, các trục tọa độ là trục đối xứng của hyperbola và gốc tọa độ là tâm đối xứng của nó (Hình. 18). Các trục đối xứng của một hypebol được gọi đơn giản là các trục của nó, tâm đối xứng là tâm của hypebol. Một hyperbol đi qua một trong các trục của nó; các giao điểm được gọi là các đỉnh của hypebol. Trên hình. 18 Các đỉnh của hypebol là các điểm A" và A.

Một hình chữ nhật có các cạnh 2a và 2b, nằm đối xứng qua các trục của hypebol và chạm vào nó tại các đỉnh, được gọi là hình chữ nhật chính của hypebol.

Các đoạn có độ dài 2a và 2b nối trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật chính của hypebol còn được gọi là các trục của nó. Các đường chéo của hình chữ nhật chính (kéo dài vô tận) là các tiệm cận của hyperbola; phương trình của chúng là:

y = b/a x, y = - b/a x

phương trình

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

xác định một đối xứng hyperbola đối với trục tọa độ với tiêu điểm trên trục y; phương trình (2), giống như phương trình (1), được gọi là phương trình chính tắc của một hypebol; trong trường hợp này, hằng số chênh lệch khoảng cách từ một điểm tùy ý của hyperbol đến tiêu điểm bằng 2b.

Hai hyperbol được xác định bởi các phương trình

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

trong cùng một hệ trục tọa độ được gọi là liên hợp.

Một hyperbola có các nửa cạnh bằng nhau (a \u003d b) được gọi là các cạnh đều ,; phương trình chính tắc của nó là

x 2 - y 2 \u003d a 2 hoặc - x 2 + y 2 \u003d a 2.

trong đó a là khoảng cách từ tâm của hyperbol đến đỉnh của nó, được gọi là độ lệch tâm của hyperbol. Rõ ràng, với mọi hypebol ε > 1. Nếu M(x; y) - điểm tùy ý hyperbola, thì các đoạn F 1 M và F 2 M (xem Hình 18) được gọi là bán kính tiêu cự của điểm M. Bán kính tiêu cự của các điểm thuộc nhánh phải của hyperbola được tính theo công thức

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

bán kính tiêu điểm của các điểm của nhánh bên trái - theo các công thức

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Nếu hyperbola được cho bởi phương trình (1), thì các đường được xác định bởi các phương trình

x = -a/ε, x = a/ε

được gọi là giám đốc của nó (xem Hình 18). Nếu hyperbola được cho bởi phương trình (2), thì các đường thẳng được xác định bởi các phương trình

x = -b/ε, x = b/ε

Mỗi giám đốc có tài sản tiếp theo: nếu r là khoảng cách từ một điểm tùy ý của hyperbol đến một tiêu điểm nào đó, d là khoảng cách từ điểm đó đến đường chuẩn một phía với tiêu điểm này, thì tỷ số r / d là một giá trị không đổi bằng độ lệch tâm của hypebol:

515. Viết phương trình của một hyperbola, các tiêu điểm của nó nằm trên trục hoành đối xứng qua gốc tọa độ, ngoài ra, biết rằng:

1) trục của nó 2a = 10 và 2b = 8;

2) khoảng cách giữa tiêu điểm 2с = 10 và trục 2b = 8;

3) khoảng cách giữa tiêu điểm 2с = 6 và độ lệch tâm ε = 3/2;

4) trục 2a = 16 và độ lệch tâm ε = 5/4;

5) phương trình của các tiệm cận y = ±4/3x và khoảng cách giữa các tiêu điểm 2c = 20;

6) khoảng cách giữa các đường thẳng là 22 2/13 và khoảng cách giữa các tiêu điểm là 2c = 26; 39

7) khoảng cách giữa các đường thẳng là 32/5 và trục 2b = 6;

8) khoảng cách giữa các đường thẳng là 8/3 và độ lệch tâm ε = 3/2;

9) các phương trình tiệm cận y = ± 3/4 x và khoảng cách giữa các đường thẳng là 12 4/5.

516. Viết phương trình của một hyperbol, các tiêu điểm của nó nằm trên trục y đối xứng qua gốc tọa độ, ngoài ra, biết rằng:

1) nửa trục của nó a = 6, b = 18 (chữ a biểu thị nửa trục của hyperbola nằm trên trục hoành);

2) khoảng cách giữa tiêu điểm 2с = 10 và độ nhạy cảm ε = 5/3; ồ tôi. 12

3) phương trình các tiệm cận y = ±12/5x và khoảng cách giữa các đỉnh là 48;

4) khoảng cách giữa các đường thẳng là 7 1/7 và độ lệch tâm ε = 7/5;

5) các phương trình tiệm cận y = ± 4/3x và khoảng cách giữa các đường thẳng là 6 2/5.

517. Xác định các nửa trục a và b của mỗi hypebol sau:

1) x 2 /9 - y 2 /4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Cho một hypebol 16x 2 - 9y 2 = 144. Tìm: 1) nửa trục a và b; 2) thủ đoạn; 3) độ lệch tâm; 4) phương trình các tiệm cận; 5) phương trình directrix.

519. Cho một hypebol 16x 2 - 9y 2 = -144. Tìm: 1) nửa trục a và b; 2) thủ đoạn; 3) độ lệch tâm; 4) phương trình các tiệm cận; 5) phương trình directrix.

520. Tính diện tích tam giác tạo bởi các tiệm cận của hypebol x 2 /4 - y 2 /9 = 1 và đường thẳng 9x + 2y - 24 = 0.

521. Xác định các đường thẳng xác định bởi các phương trình sau:

1) y \u003d + 2/3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Cho điểm M 1 (l0; - √5) nằm trên hypebol - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Lập phương trình các đường thẳng chứa các bán kính tiêu điểm của điểm M 1.

523. Xác định điểm M 1 (-5; 9/4) nằm trên hoành độ x 2 /16 - y 2 /9 = 1, xác định các tiêu cự của điểm M 1 .

524. Độ lệch tâm của hypebol ε = 2, tiêu cự của điểm M của nó vẽ từ một tiêu điểm nào đó là 16. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường trung trực cùng phía với tiêu điểm này.

525. Độ lệch tâm của hypebol ε = 3, khoảng cách từ điểm M của hyperbol đến đường chuẩn là 4. Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm nằm một phía với đường chuẩn này.

526. Độ lệch tâm của hypebol ε = 2, tâm của nó trùng gốc tọa độ, một trong các tiêu điểm là F(12; 0). Tính khoảng cách từ điểm M 1 của hypebol có hoành độ bằng 13 đến đường trung trực ứng với tiêu điểm đã cho.

527. Độ lệch tâm của hypebol ε = 3/2, tâm của nó nằm ở gốc tọa độ, một trong các đường trực phương được cho bởi phương trình x = -8. Tính khoảng cách từ điểm M 1 của hyperbol có hoành độ bằng 10 đến tiêu điểm ứng với phương trực đã cho.

528. Xác định các điểm thuộc đường hypebol - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, khoảng cách từ các điểm đó đến tiêu điểm bên phải là 4,5.

529. Xác định các điểm thuộc đường hypebol x 2 /9 - y 2 /16 = 1, khoảng cách từ các điểm đó đến tiêu điểm bên trái là 7.

530. Kẻ một đường vuông góc đi qua tiêu điểm bên trái của hypebol x 2 /144 - y 2 /25 = 1 với trục chứa các đỉnh của nó. Xác định khoảng cách từ các tiêu điểm đến các giao điểm của đường vuông góc này với hypebol.

531. Sử dụng một compa, hãy dựng các tiêu điểm của hypebol x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (giả sử rằng các trục tọa độ được hiển thị và đơn vị tỷ lệ được đưa ra).

532. Viết phương trình của một hypebol có tiêu điểm nằm trên trục x đối xứng qua gốc tọa độ, nếu cho trước:

1) các hyperbol điểm M 1 (6; -1) và M 2 (-8; 2√2);

2) điểm M 1(-5; 3) hypebol và độ lệch tâm ε = √2;

3) điểm M 1(9/2;-l) thuộc hypebol và phương trình các tiệm cận y = ± 2,3x;

4) điểm M 1(-3; 5,2) hypebol và phương trình trực tiếp x = ± 4/3;

5) phương trình tiệm cận y = ±-3/4x và phương trình đường thẳng x = ± 16/5

533. Xác định độ lệch tâm của một hypebol đều.

534. Xác định độ lệch tâm của một hypebol nếu đoạn giữa các đỉnh của nó có thể nhìn thấy từ tiêu điểm của hypebol liên hợp một góc 60°.

535. Tiêu điểm của hypebol trùng với tiêu điểm của elip x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Viết phương trình của hypebol nếu độ lệch tâm của nó ε = 2.

536. Viết phương trình cho một hyperbol có tiêu điểm nằm ở các đỉnh của elip x 2 /100 + y 2 /64 = 1, và các đường trực phương đi qua các tiêu điểm của elip này.

537. Chứng minh rằng khoảng cách từ tiêu điểm của hypebol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 đến đường tiệm cận của nó bằng b.

538. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbol x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 đến hai đường tiệm cận của nó là một giá trị không đổi bằng a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Chứng minh rằng diện tích của hình bình hành giới hạn bởi các tiệm cận của hypebol x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1 và các đường thẳng vẽ qua một điểm bất kỳ của nó song song với các tiệm cận là một giá trị không đổi bằng đến ab/2.

540. Lập phương trình của một hypebol nếu biết các nửa trục a, b của nó, tâm C(x 0; y 0) và các tiêu điểm nằm trên đường thẳng: 1) song song với trục Ox; 2) song song với trục Oy.

541. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau xác định một hyperbol, và tìm tọa độ của tâm C, bán trục, độ lệch tâm, phương trình tiệm cận và phương trình đường thẳng:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Hãy xác định các đường thẳng xác định bởi các đẳng thức sau:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Vẽ những đường này trên bản vẽ.

543. Viết phương trình của một hypebol, biết rằng:

1) khoảng cách giữa các đỉnh của nó là 24 và các tiêu điểm là F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) tiêu điểm là F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) và khoảng cách giữa các đường thẳng là 3,6;

3) góc giữa các tiệm cận là 90° và các tiêu điểm là F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Viết phương trình của một hypebol nếu độ lệch tâm của nó ε = 5/4, tiêu điểm F(5; 0) và biết phương trình của đường thẳng tương ứng 5x - 16 = 0.

545. Viết phương trình của một hypebol nếu biết độ lệch tâm e của nó - tiêu điểm F(0; 13) và phương trình của đường thẳng tương ứng 13y - 144 = 0.

546. Điểm A(-3; - 5) nằm trên một hypebol có tiêu điểm là F(-2; -3) và đường trực chính tương ứng cho bởi phương trình x + 1 = 0. Viết phương trình của hypebol này .

547. Viết phương trình của một hyperbol nếu độ lệch tâm của nó ε = √5, tiêu điểm F(2;-3) và phương trình của đường thẳng tương ứng Zx - y + 3 = 0 đã biết.

548. Điểm M 1(1; 2) nằm trên một hypebol có tiêu điểm là F(-2; 2) và đường trực chính tương ứng cho bởi phương trình 2x - y - 1 = 0. Viết phương trình của nó đường hypebol.

549. Cho phương trình của một hypebol đều x 2 − y 2 = a 2 . Tìm phương trình của nó trong hệ mới, nhận các tiệm cận của nó làm trục tọa độ.

550. Khi đã xác định được rằng mỗi phương trình sau đây xác định một hyperbol, hãy tìm cho mỗi phương trình đó phương trình tâm, nửa trục, tiệm cận và vẽ chúng trên hình vẽ: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Tìm giao điểm của đường thẳng 2x - y - 10 = 0 và hypebol x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Tìm giao điểm của đường thẳng 4x - 3y - 16 = 0 và hypebol x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Tìm giao điểm của đường thẳng 2x - y + 1 = 0 và hypebol x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Trong các trường hợp sau xác định vị trí của đường thẳng so với hyperbola: liệu nó có giao nhau, tiếp xúc hay đi ra ngoài nó hay không:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Xác định với những giá trị nào của m để đường thẳng y = 5/2x + m

1) cắt hypebol x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) chạm vào cô ấy;

3) vượt ra ngoài hypebol này.

556. Đưa ra một điều kiện theo đó đường thẳng y \u003d kx + m chạm vào hyperbola x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Lập phương trình tiếp tuyến của hypebol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 tại điểm Af, (*,; #i).

558. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một hypebol vẽ tại hai đầu của cùng một đường kính thì song song với nhau.

559. Lập phương trình các tiếp tuyến với hypebol x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1, vuông góc với đường thẳng 4x + Zy - 7 \u003d 0.

560. Lập phương trình các tiếp tuyến của hypebol x 2 /16 - y 2 /64 = 1, song song với đường thẳng 10x - 3y + 9 = 0.

561. Vẽ các tiếp tuyến của hypebol x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 song song với đường thẳng 2x + 4y - 5 = 0 và tính khoảng cách d giữa chúng.

562. Trên hypebol x 2 /24- y 2 /18 = 1, tìm điểm M 1 gần đường thẳng Zx + 2y + 1 = O nhất và tính khoảng cách d từ điểm M x đến đường thẳng này.

563. Lập phương trình các tiếp tuyến của hypebol x 2 - y 2 = 16 kẻ từ điểm A(-1; -7).

564. Các tiếp tuyến của hypebol x 2 /8 - y 2 /32 = 1 kẻ từ điểm C(1; -10) Viết phương trình dây nối các tiếp điểm.

565. Kẻ các tiếp tuyến của hypebol x 2 /3 - y 2 /5 = 1 từ điểm P(1; -5), tính khoảng cách d từ điểm P đến dây cung của hypebol nối các tiếp điểm.

566. Một hypebol đi qua điểm A(√6; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 9x + 2y - 15 == 0. Viết phương trình cho hypebol này với điều kiện các trục của nó trùng với các trục tọa độ.

567. Viết phương trình tiếp tuyến của một hypebol với hai đường thẳng: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0 với điều kiện trục của nó trùng với các trục tọa độ.

568. Đảm bảo giao điểm của elip x 2 /3 - y 2 /5 = 1 và hypebol x 2 /12 - y 2 /3 = 1 là các đỉnh của hình chữ nhật, lập phương trình các cạnh của nó .

569. Cho hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 và một số tiếp tuyến của nó: P - giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, Q - hình chiếu của tiếp điểm trên trục đó trục. Chứng minh rằng OP OQ = a 2 .

570. Chứng minh rằng các tiêu điểm của một hypebol nằm dọc theo các mặt khác nhau khỏi bất kỳ tiếp tuyến nào của nó.

571. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ tiêu điểm đến tiếp tuyến bất kỳ của hypebol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 là một hằng số bằng b 2 .

572. Đường thẳng 2x - y - 4 == 0 tiếp xúc với một hypebol có tiêu điểm là F 1 (-3; 0) và F 2 (3; 0). Viết phương trình cho hyperbola này.

573. Lập phương trình của một hyperbol, các tiêu điểm của nó nằm trên trục hoành đối xứng qua gốc tọa độ, nếu phương trình của tiếp tuyến với hyperbol 15x + 16y - 36 = 0 và khoảng cách giữa các đỉnh của nó 2a = 8 là được biết đến.

574. Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol tại một điểm M là góc bằng nhau có các tiêu cự F 1 M, F 2 M và đi qua góc F 1 MF 2 bên trong. X^

575. Từ tiêu điểm bên phải của hypebol x 2 /5 − y 2 /4 = 1 hợp với góc α(π

576. Chứng minh rằng một elip và một hyperbol có các tiêu điểm chung cắt nhau một góc vuông.

577. Hệ số nén đều của mặt phẳng lên trục Ox là 4/3. Xác định phương trình của đường mà hyperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1 được biến đổi trong quá trình nén này. Xem nhiệm vụ 509.

578. Hệ số nén đều của mặt phẳng đối với trục Oy là 4/5. Xác định phương trình của đường mà hyperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 được biến đổi trong quá trình nén này.

579. Tìm phương trình của đường thẳng biến hyperbol x 2 - y 2 \u003d 9 thành hai lần nén đều liên tiếp của mặt phẳng lên các trục tọa độ, nếu các hệ số nén đều của mặt phẳng lên các trục Ox và Oy lần lượt bằng 2/3 và 5/3.

580. Xác định hệ số q của phép nén đều của mặt phẳng lên trục Ox, tại đó hypebol - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 biến thành hypebol x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Xác định hệ số q của phép nén đều của mặt phẳng lên trục Oy, tại đó hypebol x 2 /4 - y 2 /9 = 1 biến thành hypebol x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Xác định các hệ số q 1 và q 2 của hai lực nén đều liên tiếp của mặt phẳng lên các trục Ox và Oy, tại đó hypebol x 2 /49 - y 2 /16 = 1 biến thành hypebol x 2 /25 - y 2 /64 = 1.

Hyperbola là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có khoảng cách khác nhau hai điểm đã cho, tiêu điểm, là một hằng số và bằng .

Tương tự với hình elip, chúng ta đặt các tiêu điểm tại các điểm , (xem Hình 1).

Cơm. 1

Có thể thấy từ hình vẽ rằng có thể có các trường hợp và title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

Được biết, trong một tam giác, hiệu của hai cạnh nhỏ hơn cạnh thứ ba, do đó, chẳng hạn, với ta có:

Chúng tôi đưa cả hai phần vào hình vuông và sau khi biến đổi thêm, chúng tôi tìm thấy:

ở đâu . Phương trình hypebol (1) là phương trình chính tắc của một hyperbola.

Hyperbola đối xứng qua các trục tọa độ, do đó, đối với hình elip, chỉ cần vẽ đồ thị của nó trong phần tư đầu tiên là đủ, trong đó:

Phạm vi giá trị cho quý đầu tiên.

Khi chúng ta có một trong các đỉnh của hyperbola. Đỉnh thứ hai. Nếu , thì từ (1) - không có nghiệm thực. Chúng tôi nói rằng và là đỉnh tưởng tượng của hyperbola. Từ tỷ lệ hóa ra là đủ giá trị lớn có một vị trí gần bằng nhất title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Hình dạng và đặc điểm của hyperbola

Chúng tôi điều tra phương trình (1) hình dạng và vị trí của hyperbola.

Biến và nhập phương trình (1) trong lũy thừa cặp. Do đó, nếu một điểm thuộc hyperbola thì các điểm đó cũng thuộc hyperbola. Điều này có nghĩa là hình đối xứng qua các trục và , và điểm , được gọi là tâm của hyperbola.
Hãy tìm giao điểm của các trục tọa độ. Thay thế vào phương trình (1) chúng ta nhận được rằng hyperbola cắt trục tại điểm . Đặt ta được phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là hyperbola không cắt trục. Các điểm được gọi là các đỉnh của hypebol. Đoạn = và được gọi là trục thực của hypebol và đoạn này là trục ảo của hypebol. Các số và được gọi tương ứng là các nửa trục thực và ảo của hyperbola. Hình chữ nhật tạo bởi các trục gọi là hình chữ nhật chính của hypebol.
Từ phương trình (1) nó chỉ ra rằng , nghĩa là . Điều này có nghĩa là tất cả các điểm của hyperbola đều nằm ở bên phải của đường thẳng (nhánh bên phải của hyperbola) và bên trái của đường thẳng (nhánh bên trái của hyperbola).
Hãy lấy một điểm trong góc phần tư đầu tiên trên hyperbola, nghĩa là, và do đó . Kể từ 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Kết xuất bởi QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Các đường tiệm cận của một hypebol

Có hai tiệm cận của một hyperbola. Hãy tìm đường tiệm cận của nhánh của hyperbola trong phần tư đầu tiên, rồi sử dụng phép đối xứng. Hãy xem xét một điểm trong quý đầu tiên, tức là . Trong trường hợp này , , thì tiệm cận có dạng: , trong đó

Vậy đường thẳng là tiệm cận của hàm số . Do đó, do tính đối xứng, các tiệm cận của hyperbola là các đường thẳng.

Dựa trên các đặc điểm đã thiết lập, chúng tôi xây dựng một nhánh của hyperbola, nằm trong phần tư đầu tiên và sử dụng tính đối xứng:

Cơm. 2

Trong trường hợp khi , nghĩa là, hyperbola được mô tả bởi phương trình . Trong cường điệu này, các tiệm cận, là các đường phân giác góc tọa độ.

Ví dụ về các nhiệm vụ để xây dựng một hyperbola

ví dụ 1

Một nhiệm vụ

Tìm các trục, đỉnh, tiêu điểm, độ lệch tâm và phương trình của các tiệm cận của hypebol. Dựng một hyperbola và các tiệm cận của nó.

Phán quyết

Chúng tôi giảm phương trình của hyperbola về dạng chính tắc:

So sánh phương trình này với phương trình chính tắc (1), chúng ta thấy , , . Đỉnh , tiêu điểm và . Độ lệch tâm ; đường tiệm cận; Chúng tôi xây dựng một parabola. (xem hình 3)

Viết phương trình hypebol:

Phán quyết

Sau khi viết phương trình của tiệm cận ở dạng, chúng tôi tìm thấy tỷ lệ của các bán trục của hyperbola . Theo điều kiện của vấn đề, nó tuân theo điều đó . Do đó, Bài toán được rút gọn thành việc giải một hệ phương trình:

Thay thế vào phương trình thứ hai của hệ thống, chúng tôi nhận được:

ở đâu . Bây giờ chúng tôi tìm thấy .

Do đó, hyperbola có phương trình sau:

Câu trả lời

Hyperbola và phương trình chính tắc của nó cập nhật: 17/06/2017 bởi: Bài viết khoa học.Ru

Sự định nghĩa . Hyperbola là một quỹ tích của các điểm, sự khác biệt từ mỗi điểm đến hai điểm nhất định, được gọi là tiêu điểm, là một giá trị không đổi

Hãy lấy một hệ tọa độ sao cho tiêu điểm nằm trên trục hoành và gốc tọa độ chia đôi đoạn F 1 F 2 (Hình 30). Kí hiệu F 1 F 2 = 2c. Khi đó F 1 (c; 0); F2(-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 là các bán kính tiêu cự của hypebol.

Theo định nghĩa của một hyperbola, r 1 - r 2 = const.

Hãy biểu thị nó bằng 2a

Khi đó r 2 - r 1 = ±2a nên:

=> phương trình chính tắc của một hypebol

Vì phương trình của hypebol x và y là các lũy thừa chẵn nên nếu điểm M 0 (x 0; y 0) nằm trên hyperbol thì các điểm M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0;-x 0;-y 0)M 3(-x 0;-y 0).

Do đó, hypebol đối xứng qua cả hai trục tọa độ.

Khi y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Các đỉnh của hypebol sẽ là các điểm A 1 (a; 0); A 2(-a;0).

. Do tính đối xứng, nghiên cứu được thực hiện trong quý đầu tiên

1) tại
y có một giá trị ảo, do đó các điểm của hyperbola với ascissas
không tồn tại

2) tại x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) thuộc một hypebol

3) với x > a; y > 0. Hơn nữa, với sự gia tăng không giới hạn của x, nhánh của hyperbola sẽ tiến đến vô cùng.

Theo đó, một hyperbola là một đường cong bao gồm hai nhánh vô hạn.

P 6. Các tiệm cận của một hypebol

Xét cùng với phương trình
phương trình đường thẳng

Đến đường cong sẽ nằm bên dưới đường thẳng (Hình 31). Xét các điểm N (x, Y) và M (x, y) có các trục hoành giống nhau và Y - y \u003d MN. Xét độ dài đoạn MN

Hãy tìm

Vì vậy, nếu điểm M, di chuyển dọc theo hypebol trong phần tư đầu tiên, di chuyển ra xa vô cực, thì khoảng cách của nó so với đường thẳng
giảm và có xu hướng bằng không.

Do tính chất đối xứng nên đường thẳng có cùng tính chất.
.

Sự định nghĩa. Đường thẳng tới đó
đường cong tiếp cận vô thời hạn được gọi là tiệm cận.

Và
vì vậy, phương trình của các tiệm cận của hyperbola
.

Các đường tiệm cận của hyperbol nằm dọc theo các đường chéo của một hình chữ nhật, một cạnh của nó song song với trục x và bằng 2a, còn cạnh kia song song với trục y và bằng 2b, và tâm nằm ở gốc tọa độ (Hình 32).

P 7. Độ lệch tâm và phương trực của một hypebol

r 2 – r 1 = ± 2a dấu + chỉ nhánh bên phải của hypebol

dấu hiệu - đề cập đến nhánh trái của hyperbola

Sự định nghĩa. Độ lệch tâm của một hyperbola là tỷ số giữa khoảng cách giữa các tiêu điểm của hyperbola này với khoảng cách giữa các đỉnh của nó.

. Vì c > a nên ε > 1

Chúng tôi biểu thị bán kính tiêu điểm của hyperbola theo độ lệch tâm:

Sự định nghĩa . Hãy gọi các dòng
, vuông góc với trục tiêu cự của hypebol và nằm ở khoảng cáchtừ tâm của nó bằng đường chuẩn của hyperbola tương ứng với tiêu điểm bên phải và bên trái.

t
thích cho cường điệu
do đó, các đường thẳng của hyperbola nằm giữa các đỉnh của nó (Hình 33). Chúng ta hãy chỉ ra rằng tỷ lệ khoảng cách của bất kỳ điểm nào của hyperbola với tiêu điểm và directrix tương ứng là một hằng số và bằng ε.

P. 8 Parabola và phương trình của nó

Ô
Định nghĩa. Parabola là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước gọi là tiêu điểm và cách một đường thẳng cho trước gọi là đường trung trực.

Để lập phương trình của một parabol, ta lấy trục x là đường thẳng đi qua tiêu điểm F 1 vuông góc với đường trực và coi trục x hướng từ đường trực đến tiêu điểm. Đối với gốc tọa độ, ta lấy trung điểm O của đoạn thẳng kẻ từ điểm F đến đoạn thẳng đã cho, độ dài của đoạn thẳng đó ta ký hiệu là p (Hình 34). Đại lượng p sẽ được gọi là tham số của parabol. Lấy nét tọa độ điểm
.

Cho M(x, y) là điểm tùy ý thuộc parabol.

Theo định nghĩa

tại 2 = 2px là phương trình chính tắc của parabol

Để xác định dạng của parabol, ta biến đổi phương trình của nó
điều này nghĩa là . Do đó đỉnh của parabol là gốc tọa độ và trục đối xứng của parabol là x. Phương trình y 2 \u003d -2px với p dương được rút gọn thành phương trình y 2 \u003d 2px bằng cách thay x bằng -x và đồ thị của nó trông như thế nào (Hình 35).

Tại
phương trình x 2 \u003d 2py là phương trình của một parabol có đỉnh tại điểm O(0; 0) có các nhánh hướng lên trên.

X
2 \u003d -2ru - phương trình của một parabol có tâm ở gốc tọa độ đối xứng qua trục y, các nhánh của nó hướng xuống dưới (Hình 36).

Parabol có một trục đối xứng.

Nếu x lũy thừa bậc nhất và y lũy thừa bậc hai thì trục đối xứng là x.

Nếu x là lũy thừa bậc hai và y là lũy thừa bậc nhất thì trục đối xứng là trục y.

Nhận xét 1. Phương trình đường chuẩn của một parabol có dạng
.

Nhận xét 2. Vì đối với một parabol , sau đóε parabol là 1.ε = 1 .

Xin chào các bạn sinh viên thân mến của Đại học Argemony! Tôi chào mừng bạn đến với một bài giảng khác về sự kỳ diệu của hàm số và tích phân.

Hôm nay chúng ta sẽ nói về cường điệu. Hãy bắt đầu đơn giản. Dạng đơn giản nhất của một hyperbola là:

Chức năng này, trái ngược với đường thẳng ở dạng tiêu chuẩn của nó, có một điểm kỳ dị. Như chúng ta đã biết, mẫu số của một phân số không thể bằng 0, vì bạn không thể chia hết cho 0.
x ≠ 0
Từ đó ta kết luận miền xác định là toàn bộ đường thẳng thực, trừ điểm 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Nếu x có xu hướng 0 từ bên phải (được viết như sau: x->0+), tức là trở nên rất, rất nhỏ, nhưng vẫn dương, thì y trở thành dương rất, rất lớn (y->+∞).
Nếu x có xu hướng 0 từ bên trái (x->0-), tức là trở nên rất, rất nhỏ về giá trị tuyệt đối, nhưng vẫn âm, thì y cũng sẽ âm, nhưng về giá trị tuyệt đối, nó sẽ rất lớn (y->-∞).
Nếu x có xu hướng cộng vô cực (x->+∞), tức là trở thành một số dương rất lớn, thì y sẽ ngày càng trở thành số dương nhỏ hơn, tức là sẽ có xu hướng về 0, luôn luôn dương (y->0+).
Nếu x có xu hướng âm vô cực (x->-∞), tức là trở thành một modulo lớn, nhưng là một số âm, thì y cũng sẽ luôn là một số âm, nhưng một modulo nhỏ (y->0-).

Y, giống như x, không thể nhận giá trị 0. Nó chỉ có xu hướng tiến tới không. Do đó tập giá trị trùng với miền xác định: (-∞; 0) ∪ (0; +∞) .

Dựa trên những cân nhắc này, chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm

Có thể thấy rằng hyperbol bao gồm hai phần: một phần nằm ở góc tọa độ thứ nhất, trong đó các giá trị x và y là dương và phần thứ hai nằm ở góc tọa độ thứ ba, nơi chứa các giá trị x và y. là tiêu cực.
Nếu chúng ta di chuyển từ -∞ sang +∞, thì chúng ta thấy rằng hàm của chúng ta giảm từ 0 đến -∞, sau đó có một bước nhảy vọt (từ -∞ đến +∞) và nhánh thứ hai của hàm bắt đầu, nhánh này cũng giảm, nhưng từ +∞ thành 0. Nghĩa là, hyperbola này đang giảm.

Nếu bạn chỉ thay đổi chức năng một chút: sử dụng phép thuật trừ,

(1")

Sau đó, chức năng kỳ diệu di chuyển từ 1 và 3 khu phối hợp trong quý 2 và quý 4 và sẽ ngày càng tăng.

Nhớ lại rằng chức năng là tăng, nếu cho hai giá trị x 1 và x 2 sao cho x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Và chức năng sẽ là suy tàn nếu f(x 1) > f(x 2) với cùng các giá trị của x.

Các nhánh của hyperbol tiếp cận các trục, nhưng không bao giờ cắt chúng. Những đường như vậy mà đồ thị hàm số tiệm cận nhưng không bao giờ cắt nhau được gọi là tiệm cận Chức năng này.
Đối với hàm số (1), các tiệm cận của chúng ta là các đường thẳng x=0 (trục OY, tiệm cận đứng) và y=0 (trục OX, tiệm cận ngang).

Bây giờ, hãy làm phức tạp một chút phép cường điệu đơn giản nhất và xem điều gì xảy ra với đồ thị của hàm.

(2)

Chỉ cần thêm hằng số "a" vào mẫu số. Thêm một số vào mẫu số làm số hạng cho x có nghĩa là di chuyển toàn bộ "cấu trúc hypebol" (cùng với tiệm cận đứng) theo (-a) vị trí sang phải, nếu a - số âm, và (-a) ở vị trí bên trái, nếu a - số dương.

Trên đồ thị bên trái, một hằng số âm được thêm vào x (a<0, значит, -a>0), làm cho biểu đồ di chuyển sang phải và trên biểu đồ bên phải, một hằng số dương (a>0), do đó biểu đồ được di chuyển sang trái.

Và loại ma thuật nào có thể ảnh hưởng đến việc chuyển "xây dựng hypebol" lên hoặc xuống? Cộng một số hạng không đổi vào một phân số.

(3)

Bây giờ, toàn bộ hàm của chúng ta (cả nhánh và tiệm cận ngang) sẽ đi lên b vị trí nếu b là số dương và đi xuống b vị trí nếu b là số âm.

Xin lưu ý rằng các tiệm cận di chuyển cùng với hyperbola, tức là hyperbola (cả hai nhánh của nó) và cả hai tiệm cận của nó nhất thiết phải được coi là một cấu trúc không thể tách rời, di chuyển như một sang trái, phải, lên hoặc xuống. Đó là một cảm giác rất dễ chịu khi bạn có thể làm cho toàn bộ chức năng di chuyển theo bất kỳ hướng nào chỉ bằng cách thêm một số. Tại sao không phải là ma thuật, thứ mà bạn có thể thành thạo rất dễ dàng và điều khiển nó theo ý mình đi đúng hướng?
Nhân tiện, bạn có thể điều khiển chuyển động của bất kỳ chức năng nào theo cách này. Trong các bài học tiếp theo, chúng tôi sẽ củng cố kỹ năng này.

Trước khi hỏi bạn bài tập về nhà, tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến chức năng này

(4)

Nhánh dưới của hyperbola di chuyển lên trên từ góc tọa độ thứ 3 sang góc tọa độ thứ hai, đến góc mà giá trị của y là dương, tức là nhánh này phản xạ đối xứng qua trục OX. Và bây giờ chúng ta có được một hàm chẵn.

nghĩa là gì " hàm chẵn"? Chức năng được gọi là thậm chí, nếu điều kiện được đáp ứng: f(-x)=f(x)
Chức năng được gọi là số lẻ, nếu điều kiện được đáp ứng: f(-x)=-f(x)
Trong trường hợp của chúng ta

(5)

Mọi hàm số chẵn đều đối xứng qua trục OY, tức là tờ giấy da có vẽ biểu đồ có thể được gấp dọc theo trục OY và hai phần của biểu đồ sẽ khớp chính xác với nhau.

Như bạn có thể thấy, hàm này cũng có hai tiệm cận - ngang và dọc. Không giống như các hàm được xem xét ở trên, hàm này đang tăng ở một trong các phần của nó và giảm ở phần khác.

Bây giờ chúng ta hãy thử hướng dẫn biểu đồ này bằng cách thêm các hằng số.

(6)

Nhớ lại rằng việc thêm một hằng số làm số hạng vào "x" sẽ làm cho toàn bộ biểu đồ (cùng với tiệm cận đứng) di chuyển theo chiều ngang, dọc theo tiệm cận ngang (trái hoặc phải, tùy thuộc vào dấu của hằng số này).

(7)

Và việc thêm hằng số b làm số hạng vào phân số sẽ làm cho đồ thị di chuyển lên hoặc xuống. Mọi thứ đều rất đơn giản!

Bây giờ hãy thử tự mình trải nghiệm phép thuật này.

Bài tập về nhà 1.

Mọi người đều đảm nhận hai chức năng cho thí nghiệm của mình: (3) và (7).
a = chữ số đầu tiên của LD của bạn
b=chữ số thứ hai của LD của bạn
Cố gắng hiểu được điều kỳ diệu của những hàm này, bắt đầu với phép cường điệu đơn giản nhất, như tôi đã làm trong bài học, và dần dần thêm các hằng số của riêng bạn. Chức năng (7) đã có thể được mô hình hóa dựa trên dạng cuối cùng của chức năng (3). Chỉ rõ các miền xác định, tập giá trị, tiệm cận. Các chức năng hoạt động như thế nào: giảm, tăng. Chẵn lẻ. Nói chung, hãy cố gắng tiến hành nghiên cứu giống như trong bài học. Bạn có thể tìm thấy một cái gì đó khác mà tôi quên đề cập đến.

Nhân tiện, cả hai nhánh của hyperbola đơn giản nhất (1) đều đối xứng với đường phân giác 2 và 4 của các góc tọa độ. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng hyperbol bắt đầu quay quanh trục này. Chúng tôi nhận được một con số đẹp như vậy, có thể được sử dụng.

Nhiệm vụ 2. Con số này có thể được sử dụng ở đâu? Cố gắng vẽ một hình quay của hàm số (4) quanh trục đối xứng của nó và thảo luận xem hình đó có thể được sử dụng ở đâu.

Hãy nhớ làm thế nào chúng ta có một đường thẳng với một điểm được đục lỗ ở cuối bài học trước? Và đây là cái cuối cùng nhiệm vụ 3.
Tạo một biểu đồ cho chức năng này:

(8)

Các hệ số a, b giống như ở nguyên công 1.
c=chữ số thứ 3 của LD hoặc a-b nếu LD của bạn là hai chữ số.
Một gợi ý nhỏ: đầu tiên, phân số thu được sau khi thay thế các số phải được đơn giản hóa, sau đó bạn sẽ nhận được hyperbol thông thường mà bạn cần xây dựng, nhưng cuối cùng, bạn cần tính đến miền của biểu thức ban đầu.