دعونا لا نفكر في النبيلة لفترة طويلة - لنبدأ على الفور بتعريف.

- هذا عندما يتم إجراء n تجارب مستقلة من نفس النوع ، قد يظهر في كل منها حدث A يهمنا ، واحتمال هذا الحدث P (A) \ u003d p معروف. مطلوب لتحديد احتمال وقوع الحدث A بالضبط k مرة خلال n من التجارب.

المهام التي تم حلها وفقًا لنظام برنولي متنوعة للغاية: من المهام البسيطة (مثل "العثور على احتمال أن يصوب مطلق النار مرة واحدة من أصل 10") إلى المهام الشديدة جدًا (على سبيل المثال ، المهام بالنسب المئوية أو لعب الورق). في الواقع ، غالبًا ما يستخدم هذا المخطط لحل المشكلات المتعلقة بمراقبة جودة المنتج وموثوقية الآليات المختلفة ، والتي يجب معرفة جميع خصائصها قبل بدء العمل.

دعنا نعود إلى التعريف. بسبب ال نحن نتكلمفي التجارب المستقلة ، وفي كل تجربة ، يكون احتمال الحدث A هو نفسه ، وهناك نتيجتان فقط ممكنتان:

1. A هو حدوث الحدث A مع الاحتمال p ؛
2. "ليس A" - لم يظهر الحدث A ، والذي يحدث مع الاحتمال q = 1 - p.

إن أهم شرط بدونه يفقد مخطط برنولي معناه هو الثبات. بغض النظر عن عدد التجارب التي نجريها ، فنحن مهتمون بالحدث نفسه أ ، والذي يحدث بنفس الاحتمال ص.

بالمناسبة ، لا يمكن اختزال كل المشكلات في نظرية الاحتمالات إلى ظروف ثابتة. سوف يخبرك أي مدرس مختص عن هذا. رياضيات أعلى. حتى الشيء البسيط مثل انتقاء الكرات الملونة من الصندوق لا يعد تجربة ذات ظروف ثابتة. أخذوا كرة أخرى - تغيرت نسبة الألوان في الصندوق. لذلك ، تغيرت الاحتمالات أيضًا.

إذا كانت الظروف ثابتة ، فيمكن للمرء أن يحدد بدقة احتمالية وقوع الحدث A بالضبط k مرة من n ممكن. نصوغ هذه الحقيقة في شكل نظرية:

اجعل احتمال حدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ويساوي p. ثم يتم حساب احتمال ظهور الحدث A بالضبط في n من التجارب المستقلة بواسطة الصيغة:

حيث C n k هو عدد التوليفات ، q = 1 - p.

هذه الصيغة تسمى: من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن المشاكل أدناه قد تم حلها بالكامل دون استخدام هذه الصيغة. على سبيل المثال ، يمكنك تطبيق صيغ جمع الاحتمالات. ومع ذلك ، فإن مقدار الحساب سيكون ببساطة غير واقعي.

مهمة. احتمال إنتاج منتج معيب على الجهاز هو 0.2. أوجد احتمال أن يكون k بالضبط بدون عيوب في دفعة من عشرة أجزاء منتجة على آلة معينة. حل المسألة من أجل k = 0 ، 1 ، 10.

حسب الشرط ، نحن مهتمون بالحدث A لإصدار منتجات بدون عيوب ، والذي يحدث في كل مرة مع احتمال p = 1 - 0.2 = 0.8. نحتاج إلى تحديد احتمال وقوع هذا الحدث ك مرة. الحدث أ يعارض الحدث "ليس أ" ، أي إنتاج منتج معيب.

وهكذا ، لدينا: n = 10 ؛ ع = 0.8 ؛ ف = 0.2.

لذلك ، نجد احتمال أن تكون جميع الأجزاء في الدفعة معيبة (ك = 0) ، وأن جزءًا واحدًا فقط معيب (ك = 1) ، وأنه لا توجد أجزاء معيبة على الإطلاق (ك = 10):

مهمة. تم رمي العملة 6 مرات. من المحتمل بنفس القدر فقدان شعار النبالة وذيول. أوجد احتمال أن:

1. شعار النبالة يسقط ثلاث مرات ؛
2. شعار النبالة سيسقط مرة واحدة ؛
3. سيظهر شعار النبالة مرتين على الأقل.

لذلك ، نحن مهتمون بالحدث A ، عندما يسقط شعار النبالة. احتمالية حدوث هذا الحدث هي p = 0.5. يتم مواجهة الحدث A بالحدث "ليس A" ، عندما يظهر ذيول ، والذي يحدث مع الاحتمال q = 1 - 0.5 = 0.5. من الضروري تحديد احتمال سقوط شعار النبالة k مرة.

وهكذا ، لدينا: n = 6 ؛ ع = 0.5 ؛ ف = 0.5.

دعونا نحدد احتمال سقوط شعار النبالة ثلاث مرات ، أي ك = 3:

لنحدد الآن احتمال سقوط شعار النبالة مرة واحدة فقط ، أي ك = 1:

يبقى تحديد ما هو احتمال سقوط شعار النبالة مرتين على الأقل. العقبة الرئيسية هي عبارة "لا أقل". اتضح أن أي k ، باستثناء 0 و 1 ، سوف يناسبنا ، أي تحتاج إلى إيجاد قيمة المجموع X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

لاحظ أن هذا المبلغ يساوي أيضًا (1 - P 6 (0) - P 6 (1)) ، أي ما يكفي من الجميع والخيارات"قطع" تلك عندما سقط شعار النبالة مرة واحدة (ك = 1) أو لم يسقط على الإطلاق (ك = 0). بما أن P 6 (1) نعلم بالفعل ، يبقى إيجاد P 6 (0):

مهمة. يبلغ احتمال أن يكون التلفزيون به عيوبًا خفية هو 0.2. استقبل المستودع 20 جهاز تلفزيون. ما هو الحدث الأكثر احتمالًا: وجود جهازي تلفزيون بهما عيوب خفية في هذه الدفعة أو الثلاثة؟

حدث الاهتمام A هو وجود عيب كامن. إجمالي أجهزة التلفزيون n = 20 ، احتمال وجود عيب خفي p = 0.2. وفقًا لذلك ، فإن احتمال الحصول على جهاز تلفزيون بدون عيب خفي هو q = 1 - 0.2 = 0.8.

نحصل على شروط البداية لنظام برنولي: n = 20 ؛ ع = 0.2 ؛ ف = 0.8.

لنجد احتمال الحصول على جهازي تلفاز "معيبين" (k = 2) وثلاثة (k = 3):

\ [\ start (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

من الواضح ، P 20 (3)> P 20 (2) ، أي من المرجح أن تحصل ثلاثة أجهزة تلفزيون بها عيوب خفية على جهازي تلفزيون فقط من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، فإن الاختلاف ليس ضعيفًا.

ملاحظة صغيرة حول العوامل. يشعر الكثير من الناس بشعور غامض بعدم الراحة عندما يرون الإدخال "0"! (اقرأ "صفر عاملي"). إذن ، 0! = 1 بالتعريف.

ملاحظة والاحتمال الأكبر في المهمة الأخيرة هو الحصول على أربعة أجهزة تلفزيون بها عيوب خفية. قم بالحسابات وانظر بنفسك.

أنظر أيضا:

شكرا لك على القراءة والمشاركة مع الآخرين

عند حل المشكلات الاحتمالية ، غالبًا ما يواجه المرء مواقف تتكرر فيها نفس التجربة عدة مرات وتكون نتيجة كل تجربة مستقلة عن نتائج الآخرين. هذه التجربة تسمى أيضًا مخطط الاختبارات المستقلة المتكررةأو مخطط برنولي.

أمثلة على إعادة الاختبارات:

1) الاستخراج المتعدد لكرة واحدة من الجرة ، بشرط أن تُعاد الكرة بعد تسجيل لونها إلى الجرة ؛

2) التكرار بواسطة مطلق واحد للطلقات على نفس الهدف ، بشرط أن يكون احتمال الضربة الناجحة مع كل لقطة هو نفسه (لا يؤخذ دور التصفير في الاعتبار).

لذلك ، نتيجة للاختبار ممكن نتيجتين: إما أن يظهر حدث لكن، أو الحدث المعاكس. دعونا نجري تجارب ن برنولي. هذا يعني أن جميع التجارب n مستقلة ؛ احتمال حدوث الحدث $ A $ في كل اختبار فردي أو فردي ثابت ولا يتغير من اختبار إلى آخر (على سبيل المثال ، يتم إجراء الاختبارات في نفس الظروف). دعونا نشير إلى احتمال حدوث الحدث $ A $ في تجربة واحدة بالحرف $ p $ ، أي $ p = P (A) $ ، والاحتمال حدث معاكس(لم يحدث الحدث $ А $) - بالحرف $ q = P (\ overline (A)) = 1-p $.

ثم احتمالية أن يكون الحدث لكنسوف تظهر في هذه ناختبارات بالضبط كمرات ، أعرب صيغة برنولي

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k) ، \ quad q = 1-p. $$

يسمى توزيع عدد حالات النجاح (تكرارات الحدث) توزيع ثنائي.

حاسبات على الإنترنت لصيغة برنولي

يتم تحليل بعض أكثر أنواع المشكلات شيوعًا التي تستخدم معادلة برنولي في مقالات وتزويدها بآلة حاسبة عبر الإنترنت ، يمكنك الانتقال إليها باستخدام الروابط:

أمثلة على حلول المشكلات في صيغة برنولي

مثال.تحتوي الجرة على 20 كرة بيضاء و 10 كرات سوداء. يتم إخراج 4 كرات ، ويتم إرجاع كل كرة إلى الجرة قبل سحب الكرة التالية وخلط الكرات الموجودة في الجرة.

صيغة برنولي. حل المشاكل

أوجد احتمال أن تكون 2 من الكرات الأربع المرسومة بيضاء.

المحلول.حدث لكن- حصلت على كرة بيضاء. ثم الاحتمالات
, .
وفقًا لمعادلة برنولي ، فإن الاحتمال المطلوب هو
.

مثال.حدد احتمال ألا يكون لدى الأسرة التي لديها 5 أطفال أكثر من 3 فتيات. من المفترض أن تكون احتمالات إنجاب ولد وبنت هي نفسها.

المحلول.احتمالية إنجاب فتاة
، ومن بعد .

لنجد احتمالات عدم وجود فتيات في الأسرة ، أو ولدت فتاة واحدة أو فتاتان أو ثلاث:

, ,

, .

لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب

.

مثال.من بين الأجزاء التي تمت معالجتها بواسطة العامل ، يوجد في المتوسط ​​4٪ غير قياسي. أوجد احتمال أن يكون اثنان من الأجزاء الثلاثين المأخوذة للاختبار غير قياسيين.

المحلول.هنا تكمن التجربة في فحص كل جزء من الأجزاء الثلاثين للتحقق من الجودة.

الحدث أ هو "ظهور جزء غير قياسي" ، وبالتالي يكون احتماله. من هنا ، من خلال صيغة برنولي ، نجد
.

مثال.لكل طلقة فردية من البندقية ، يكون احتمال إصابة الهدف 0.9. أوجد احتمال أن يكون عدد اللقطات الناجحة من بين 20 تسديدة 16 على الأقل و 19 على الأكثر.

المحلول.نحسب بصيغة برنولي:

مثال.تستمر المحاكمات المستقلة حتى الحدث لكنلن يحدث كذات مرة. أوجد الاحتمال الذي سيستغرقه نالتجارب (ن ³ ك) ، إذا كانت في كل منها.

المحلول.حدث في- بالضبط نالاختبارات من قبل ك- وقوع الحدث لكنهو نتاج الحدثين التاليين:

D- في نالاختبار ال لكنحدث

ج - أولا (ن – 1)الاختبار ال لكنظهر (ك -1)ذات مرة.

تعطي نظرية الضرب وصيغة برنولي الاحتمال المطلوب:

وتجدر الإشارة إلى أن استخدام القانون ذي الحدين غالبًا ما يرتبط بصعوبات حسابية. لذلك ، مع زيادة القيم نو ميصبح من المناسب استخدام الصيغ التقريبية (Poisson ، Moivre-Laplace) ، والتي ستتم مناقشتها في الأقسام التالية.

فيديو تعليمي بصيغة برنولي

بالنسبة لأولئك الذين هم أكثر وضوحًا في شرح الفيديو المتسلسل ، مقطع فيديو مدته 15 دقيقة:

صيغة الاحتمالية الكلية: النظرية وأمثلة لحل المشكلات

صيغة الاحتمال الكلي والاحتمالات الشرطية للأحداث

معادلة الاحتمال الكامل هو نتيجة للقواعد الأساسية لنظرية الاحتمالات - قاعدة الجمع وقاعدة الضرب.

تسمح لك صيغة الاحتمالية الإجمالية بإيجاد احتمالية وقوع حدث أ، والتي يمكن أن تحدث فقط مع كل من نالأحداث المتنافية التي تشكل نظامًا كاملاً إذا كانت احتمالاتها معروفة ، و الاحتمالات الشرطية التطورات أفيما يتعلق بكل من أحداث النظام متساوون.

تسمى الأحداث أيضًا بالفرضيات ، فهي متنافية. لذلك ، في الأدبيات ، يمكنك أيضًا العثور على تعيينهم ليس بالحرف ب، ولكن بحرف ح(فرضية).

لحل المشاكل مع مثل هذه الظروف ، من الضروري مراعاة 3 أو 4 أو 5 أو في الحالة العامة ناحتمال وقوع حدث أمع كل حدث.

باستخدام نظريات الجمع وضرب الاحتمالات ، نحصل على مجموع حاصل ضرب احتمال كل حدث من أحداث النظام بواسطة احتمال مشروط التطورات ألكل حدث في النظام.

21 محاكمات برنولي. صيغة برنولي

وهذا هو احتمال وقوع حدث أيمكن حسابها بالصيغة

أو بشكل عام

,

من اتصل صيغة الاحتمال الكلي .

صيغة الاحتمال الكلي: أمثلة على حل المشكلات

مثال 1هناك ثلاث جرارات متطابقة المظهر: في الأولى هناك 2 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، وفي الثانية 4 كرات بيضاء وواحدة سوداء ، وفي الثالثة هناك ثلاث كرات بيضاء. يقترب شخص ما بشكل عشوائي من إحدى الجرار ويخرج منها كرة واحدة. الاستفادة صيغة الاحتمال الكلي، أوجد احتمال أن تكون الكرة بيضاء.

المحلول. حدث أ- مظهر خارجي كرة بيضاء. طرحنا ثلاث فرضيات:

- يتم اختيار الجرة الأولى ؛

- يتم اختيار الجرة الثانية ؛

- يتم اختيار الجرة الثالثة.

احتمالات الحدث الشرطي ألكل من الفرضيات:

, , .

نطبق معادلة الاحتمال الكلي ، نتيجة لذلك - الاحتمال المطلوب:

.

مثال 2في المصنع الأول ، من بين كل 100 مصباح ، يتم إنتاج 90 مصباحًا قياسيًا ، في الثانية - 95 ، في الثالث - 85 ، ويكون ناتج هذه المصانع على التوالي 50 ٪ و 30 ٪ و 20 ٪ من يتم توريد جميع اللمبات الكهربائية للمحلات التجارية في منطقة معينة. أوجد احتمال شراء مصباح كهربائي قياسي.

المحلول. دعونا نشير إلى احتمال الحصول على مصباح كهربائي قياسي أ، والأحداث التي تم فيها تصنيع المصباح الذي تم شراؤه في المصانع الأول والثاني والثالث ، على التوالي ، من خلال. حسب الشرط ، فإن احتمالات هذه الأحداث معروفة: ، والاحتمالات الشرطية للحدث أبخصوص كل منهم: , , . هذه هي احتمالات الحصول على مصباح قياسي ، بشرط أن يتم تصنيعه في المصانع الأول والثاني والثالث على التوالي.

حدث أسيحدث في حالة وقوع حدث أو ك- المصباح مصنوع في المصنع الأول وهو قياسي أو حدث إل- المصباح مصنوع في المصنع الثاني وهو قياسي أو حدث م- المصباح الكهربائي مصنع في المصنع الثالث وهو قياسي.

الاحتمالات الأخرى لحدوث الحدث أرقم. لذلك ، الحدث أهو مجموع الأحداث ك, إلو مالتي تتعارض. بتطبيق نظرية الجمع الاحتمالية ، فإننا نمثل احتمال وقوع حدث أكما

ومن خلال نظرية الضرب الاحتمالية نحصل عليها

هذا هو، حالة خاصةمعادلات الاحتمال الكلي.

بالتعويض عن الاحتمالات في الجانب الأيسر من الصيغة ، نحصل على احتمال وقوع الحدث أ:

ليس لديك وقت للخوض في الحل؟ يمكنك طلب وظيفة!

مثال 3الطائرة تهبط في المطار. إذا سمح الطقس بذلك ، يهبط الطيار بالطائرة مستخدماً ، بالإضافة إلى الأدوات ، المراقبة البصرية. في هذه الحالة ، يكون احتمال الهبوط الناجح. إذا كان المطار ملبدًا بالغيوم المنخفضة ، فإن الطيار يهبط بالطائرة ، ويوجه نفسه فقط على الأجهزة. في هذه الحالة ، يكون احتمال الهبوط الناجح ؛ .

تتمتع الأجهزة التي توفر هبوطًا أعمى بالموثوقية (احتمال التشغيل الخالي من الأعطال) ص. في حالة وجود غيوم منخفضة وتعطل أدوات الهبوط العمياء ، يكون احتمال الهبوط الناجح ؛ . تظهر الإحصائيات أن في ك٪ من عمليات الهبوط ، المطار مغطى بالغيوم المنخفضة. تجد الاحتمال الكامل للحدثأ- هبوط الطائرة بأمان.

المحلول. الفرضيات:

- لا توجد غيوم منخفضة

- يوجد غطاء سحابة منخفض.

احتمالات هذه الفرضيات (الأحداث):

;

احتمال مشروط.

تم العثور على الاحتمال الشرطي مرة أخرى بواسطة صيغة الاحتمال الكلي بالفرضيات

- أجهزة الهبوط العمياء تعمل ؛

- فشل أجهزة الهبوط العمياء.

احتمالات هذه الفرضيات هي:

حسب معادلة الاحتمال الكلي

مثال 4يمكن للجهاز العمل في وضعين: عادي وغير طبيعي. لوحظ الوضع الطبيعي في 80٪ من جميع حالات تشغيل الجهاز ، وغير طبيعي - في 20٪ من الحالات. احتمال فشل الجهاز وقت محدد ريساوي 0.1 ؛ في 0.7 الشاذ. تجد الاحتمال الكاملفشل الجهاز في الوقت المناسب ر.

المحلول. نشير مرة أخرى إلى احتمال فشل الجهاز كـ أ. لذلك ، فيما يتعلق بتشغيل الجهاز في كل وضع (أحداث) ، تُعرف الاحتمالات بالشرط: بالنسبة للوضع العادي تكون 80٪ () ، للوضع غير الطبيعي - 20٪ (). احتمالية الحدث أ(أي فشل الجهاز) اعتمادًا على الحدث الأول (الوضع العادي) هو 0.1 () ؛ اعتمادًا على الحدث الثاني (الوضع غير الطبيعي) - 0.7 ( ). نستبدل هذه القيم في معادلة الاحتمال الإجمالي (أي مجموع حاصل ضرب احتمال كل حدث من أحداث النظام والاحتمال الشرطي للحدث أفيما يتعلق بكل حدث من أحداث النظام) ولدينا النتيجة المطلوبة.

1

1. بوجوليوبوف أ. الرياضيات. الميكانيكا: دليل السيرة الذاتية. - كييف: نوكوفا دومكا 1983.

2. Gulay T.A. ، Dolgopolova A.F. ، Litvin D.B. تحليل وتقييم أولويات أقسام التخصصات الرياضية التي درسها طلاب التخصصات الاقتصادية الجامعات الزراعية// نشرة مجمع الصناعات الزراعية في ستافروبول. - 2013. - رقم 1 (9). - ص 6-10.

3. Dolgopolova A.F.، Gulay T.A.، Litvin D.B. آفاق التطبيق الطرق الرياضيةفي البحث الاقتصادي// العلوم الزراعية ، الإبداع ، النمو. - 2013. - س 255-257.

في الرياضيات ، غالبًا ما توجد مشاكل موجودة عدد كبير منتكرار نفس الحالة أو الاختبار أو التجربة. سيتم اعتبار نتيجة كل اختبار نتيجة مختلفة تمامًا عن النتيجة السابقة. كما لن يتم ملاحظة الاعتماد على النتائج. كنتيجة للاختبار ، يمكن التمييز بين عدة احتمالات للعواقب الأولية: وقوع حدث (أ) أو وقوع حدث يكمل أ.

ثم دعونا نحاول أن نفترض أن احتمال حدوث الحدث Р (А) منتظم ويساوي р (0<р<1).

يمكن أن تكون أمثلة هذا التحدي عددًا كبيرًا من المهام ، مثل رمي عملة معدنية ، أو استخراج كرات سوداء وبيضاء من كيس مظلم ، أو ولادة أرانب سوداء وبيضاء.

تسمى هذه التجربة تكوين اختبار مستقل متكرر أو مخطط برنولي.

ولد جاكوب برنولي في عائلة صيدلانية. حاول الأب إرشاد ابنه إلى المسار الطبي ، لكن ج. برنولي أصبح مهتمًا بالرياضيات بمفرده ، وأصبحت فيما بعد مهنته. يمتلك العديد من الجوائز في أعماله حول موضوعات في نظرية الاحتمالات والأرقام ، وحساب التفاضل والتسلسل. بعد دراسة نظرية الاحتمالية من أحد أعمال Huygens "حول الحسابات في المقامرة" ، أصبح جاكوب مهتمًا بهذا. في هذا الكتاب ، لم يكن هناك حتى تعريف واضح لمفهوم "الاحتمال". كان ج. برنولي هو من أدخل معظم المفاهيم الحديثة لنظرية الاحتمالات في الرياضيات. كان برنولي أيضًا أول من عبر عن نسخته من قانون الأعداد الكبيرة. يحمل اسم جاكوب العديد من الأعمال والنظريات والمخططات: "أرقام برنولي" و "برنولي متعدد الحدود" و "معادلة برنولي التفاضلية" و "توزيع برنولي" و "معادلة برنولي".

دعنا نعود إلى التكرار. كما ذكرنا سابقًا ، نتيجة للاختبارات المختلفة ، هناك نتيجتان محتملتان: إما أن يظهر الحدث A ، أو عكس هذا الحدث. يشير مخطط برنولي نفسه إلى إنتاج العدد n من التجارب المجانية النموذجية ، وفي كل من هذه التجارب قد يظهر الحدث A الذي نحتاجه (يُعرف احتمال هذا الحدث: P (A) \ u003d p) ، يشار إلى احتمال وقوع الحدث المعاكس للحدث A بواسطة q \ u003d P (A) = 1-p. من الضروري تحديد احتمال حدوث الحدث A بالضبط بمقدار k مرة عند اختبار رقم غير معروف.

من المهم أن تتذكر الحالة الرئيسية عند حل المشكلات باستخدام مخطط برنولي وهو الثبات. بدونها ، المخطط يفقد كل المعنى.

يمكن استخدام هذا المخطط لحل المشكلات ذات المستويات المختلفة من التعقيد: من البسيط (نفس العملة) إلى المعقدة (الفائدة). ومع ذلك ، غالبًا ما يتم استخدام مخطط برنولي في حل مثل هذه المشكلات المرتبطة بالتحكم في خصائص المنتجات المختلفة والثقة في مجموعة متنوعة من الآليات. فقط لحل المشكلة ، قبل بدء العمل ، يجب معرفة جميع الشروط والقيم مسبقًا.

لا يتم اختزال كل المشكلات في نظرية الاحتمالات إلى ثبات في ظل الظروف. حتى لو أخذنا كرات سوداء وبيضاء في كيس مظلم كمثال: عندما يتم رسم كرة واحدة ، فإن نسبة عدد الكرات وألوانها في الحقيبة قد تغيرت ، مما يعني أن الاحتمال نفسه قد تغير.

ومع ذلك ، إذا كانت شروطنا ثابتة ، فيمكننا أن نحدد بدقة الاحتمال المطلوب منا بأن الحدث A سيحدث بالضبط k مرة من n ممكن.

جمع جاكوب برنولي هذه الحقيقة في نظرية ، عُرفت فيما بعد باسمه. "نظرية برنولي" هي إحدى النظريات الرئيسية في نظرية الاحتمالات. نُشر لأول مرة في عمل جيه برنولي "فن الافتراضات". ما هذه النظرية؟ "إذا كان احتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ، فإن الاحتمال Pk ، n أن الحدث سيحدث k مرة في n من التجارب المستقلة عن بعضها البعض يساوي: ، حيث q = 1-p . "

في إثبات فعالية الصيغة ، يمكن إعطاء المهام.

مهمة 1:

بسبب نفاد عدد البرطمانات الزجاجية في الشهر من التخزين ، فإن k مكسور. استغرق عشوائيا م العلب. أوجد احتمال ألا ينكسر l من بين هذه البرطمانات. ن = 250 ، ك = 10 ، م = 8 ، ل = 4.

الحل: لدينا مخطط برنولي مع القيم:

p = 10/250 = 0.04 (احتمال كسر البنوك) ؛

ن = 8 (عدد المحاولات) ؛

k = 8-4 = 4 (عدد الجرار المكسورة).

نستخدم صيغة برنولي

حصلت:

الجواب: 0.0141

المهمة رقم 2:

يبلغ احتمال تصنيع منتج معيب في الإنتاج 0.2. ابحث عن احتمال أنه من بين 10 منتجات تم تصنيعها في منشأة الإنتاج هذه ، يجب أن يكون k بالضبط في حالة جيدة. قم بتشغيل الحل لـ k = 0 ، 1 ، 10.

نحن مهتمون بالحدث A - إنتاج الأجزاء الصالحة للخدمة ، والذي يحدث مرة واحدة في الساعة مع احتمال p = 1-0.2 = 0.8. نحتاج إلى إيجاد احتمال وقوع الحدث المعين ك مرة. الحدث أ هو عكس الحدث "ليس أ" ، أي تصنيع منتج معيب.

لذلك ، لدينا: n = 10 ؛ ع = 0.8 ؛ ف = 0.2.

نتيجة لذلك ، وجدنا احتمال أن جميع المنتجات معيبة من بين 10 منتجات مصنعة (k = 0) ، أن منتجًا واحدًا في حالة جيدة (k = 1) ، أنه لا توجد منتجات معيبة على الإطلاق (k = 10) :

في الختام ، أود أن أشير إلى أنه في العصر الحديث ، يحاول العديد من العلماء إثبات أن "صيغة برنولي" لا تتوافق مع قوانين الطبيعة وأن المشاكل يمكن حلها دون تطبيقها للاستخدام. بالطبع ، هذا ممكن ، يمكن تنفيذ معظم المشاكل في نظرية الاحتمال بدون صيغة برنولي ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين كميات كبيرة من الأرقام.

رابط ببليوغرافي

Khomutova E.A.، Kalinichenko V.A. صيغة برنيلي في نظرية الاحتمال // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - رقم 3-4. ؛
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view؟id=14141 (تاريخ الوصول: 03/12/2019). نلفت انتباهكم إلى المجلات التي تصدرها دار النشر "أكاديمية التاريخ الطبيعي".

تأتي الإحصائيات لمساعدتنا في حل العديد من المشكلات ، على سبيل المثال: عندما لا يكون من الممكن بناء نموذج حتمي ، أو عندما يكون هناك الكثير من العوامل ، أو عندما نحتاج إلى تقدير احتمالية بناء نموذج مع مراعاة البيانات المتاحة. العلاقة بالإحصاءات غامضة. يُعتقد أن هناك ثلاثة أنواع من الأكاذيب: الأكاذيب والأكاذيب الصارخة والإحصاءات. من ناحية أخرى ، يعتقد العديد من "مستخدمي" الإحصاء أنها أكثر من اللازم ، ولا يفهمون تمامًا كيفية عملها: تطبيق ، على سبيل المثال ، اختبار على أي بيانات دون التحقق من طبيعتها. مثل هذا الإهمال يمكن أن يولد أخطاء جسيمة ويحول "المعجبين" للاختبار إلى كارهي الإحصاء. دعنا نحاول وضع التيارات فوق i ونكتشف نماذج المتغيرات العشوائية التي يجب استخدامها لوصف ظواهر معينة ونوع العلاقة الجينية الموجودة بينها.

بادئ ذي بدء ، ستكون هذه المادة ذات أهمية للطلاب الذين يدرسون نظرية الاحتمالات والإحصاءات ، على الرغم من أن المتخصصين "الناضجين" سيكونون قادرين على استخدامها كمرجع. في أحد الأعمال التالية ، سأعرض مثالاً على استخدام الإحصائيات لبناء اختبار لتقييم أهمية مؤشرات استراتيجيات تداول البورصة.

سينظر العمل في:

في نهاية المقال سوف تعطى للتفكير. سوف أشارك أفكاري حول هذا في مقالتي القادمة.

بعض التوزيعات المستمرة المعطاة هي حالات خاصة.

توزيعات منفصلة

تُستخدم التوزيعات المنفصلة لوصف الأحداث ذات الخصائص غير القابلة للتفاضل المحددة في نقاط معزولة. ببساطة ، للأحداث التي يمكن أن تُعزى نتيجتها إلى فئة منفصلة: النجاح أو الفشل ، العدد الصحيح (على سبيل المثال ، لعبة الروليت ، النرد) ، الرؤوس أو الذيل ، إلخ.

يتم وصف التوزيع المنفصل من خلال احتمال حدوث كل من النتائج المحتملة لحدث ما. بالنسبة لأي توزيع (بما في ذلك المستمر) ، يتم تعريف مفاهيم التوقع والتباين للأحداث المنفصلة. ومع ذلك ، يجب أن يكون مفهوماً أن توقع حدث عشوائي منفصل غير قابل للتحقيق بشكل عام كنتيجة لحدث عشوائي واحد ، ولكن بدلاً من ذلك كقيمة يميل المتوسط ​​الحسابي لنتائج الأحداث إلى الزيادة مع زيادة عددها.

في نمذجة الأحداث العشوائية المنفصلة ، تلعب التوليفات دورًا مهمًا ، حيث يمكن تعريف احتمالية نتيجة الحدث على أنها نسبة عدد التوليفات التي تعطي النتيجة المرجوة إلى العدد الإجمالي للتركيبات. على سبيل المثال: هناك 3 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء في السلة. عندما نختار كرة واحدة من السلة ، يمكننا القيام بذلك بـ 10 طرق مختلفة (إجمالي عدد المجموعات) ، ولكن فقط 3 طرق يتم فيها اختيار الكرة البيضاء (3 مجموعات تعطي النتيجة المطلوبة). وبالتالي ، فإن احتمال اختيار كرة بيضاء هو: ().

من الضروري أيضًا التمييز بين العينات مع الاستبدال وبدون الاستبدال. على سبيل المثال ، لوصف احتمال اختيار كرتين أبيضتين ، من المهم تحديد ما إذا كانت الكرة الأولى ستُعاد إلى السلة. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فنحن نتعامل مع عينة بدون استبدال () وسيكون الاحتمال كالتالي: - احتمال اختيار كرة بيضاء من العينة الأولية مضروبة في احتمال اختيار كرة بيضاء مرة أخرى من تلك المتبقية في السلة . إذا تم إرجاع الكرة الأولى إلى السلة ، فهذه عملية إحضار عودة (). في هذه الحالة ، يكون احتمال اختيار كرتين بيضاء.

إذا قمنا بإضفاء الطابع الرسمي على مثال السلة بشكل طفيف على النحو التالي: دع نتيجة حدث ما تأخذ واحدة من القيمتين 0 أو 1 مع الاحتمالات وعلى التوالي ، فسيتم تسمية توزيع احتمالية الحصول على كل من النتائج المقترحة بتوزيع برنولي :

تقليديا ، النتيجة ذات القيمة 1 تسمى "النجاح" ، والنتيجة ذات القيمة 0 تسمى "الفشل". من الواضح أن الحصول على النتيجة "نجاح أو فشل" يحدث مع الاحتمال.

توقع وتباين توزيع برنولي:

يتم وصف عدد النجاحات في التجارب ، التي يتم توزيع نتيجتها مع احتمالية النجاح (على سبيل المثال مع إعادة الكرات إلى السلة) ، من خلال التوزيع ذي الحدين:

بطريقة أخرى ، يمكننا القول أن التوزيع ذي الحدين يصف مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة التي يمكن توزيعها مع احتمال النجاح.
التوقع والتباين:

التوزيع ذو الحدين صالح فقط لأخذ العينات من جديد ، أي عندما يظل احتمال النجاح ثابتًا لسلسلة التجارب بأكملها.

إذا كانت الكميات تحتوي على توزيعات ذات حدين مع معلمات وعلى التوالي ، فسيتم أيضًا توزيع مجموعها ثنائي الحدين مع المعلمات.

تخيل حالة نقوم فيها بسحب الكرات من السلة وإعادتها مرة أخرى حتى يتم سحب كرة بيضاء. يتم وصف عدد هذه العمليات من خلال التوزيع الهندسي. بمعنى آخر: يصف التوزيع الهندسي عدد المحاولات للنجاح الأول بالنظر إلى احتمالية النجاح في كل تجربة. إذا كان رقم التجربة التي حدث فيها النجاح ضمنيًا ، فسيتم وصف التوزيع الهندسي بالصيغة التالية:

توقع وتباين التوزيع الهندسي:

يرتبط التوزيع الهندسي جينيًا بالتوزيع ، والذي يصف متغيرًا عشوائيًا مستمرًا: الوقت قبل الحدث ، مع كثافة ثابتة للأحداث. التوزيع الهندسي هو أيضا حالة خاصة.

توزيع باسكال هو تعميم للتوزيع: فهو يصف توزيع عدد حالات الفشل في التجارب المستقلة ، وتوزع نتيجتها على احتمالية النجاح قبل مجموع النجاحات. لذلك نحصل على توزيع للكمية.

أين هو عدد التركيبات من إلى.

توقع وتباين التوزيع السالب ذي الحدين:

يتم أيضًا توزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة وفقًا لباسكال وفقًا لباسكال: دعها تحصل على التوزيع ، و -. واسمحوا أيضًا أن يكونوا مستقلين ، فسيتم توزيع مجموعهم

حتى الآن ، نظرنا في أمثلة لعينات عائدة ، أي أن احتمالية النتيجة لا تتغير من تجربة إلى أخرى.

الآن ضع في اعتبارك موقفًا بدون استبدال ووصف احتمال عدد العينات الناجحة من السكان بعدد محدد مسبقًا من حالات النجاح والفشل (عدد محدد مسبقًا من الكرات البيضاء والسوداء في السلة ، والأوراق الرابحة في المجموعة ، والأجزاء المعيبة في لعبة ، وما إلى ذلك).

دع المجموعة الإجمالية تحتوي على كائنات ، تم تصنيفها كـ "1" و "0". سوف نعتبر اختيار كائن بالتسمية "1" نجاحًا ، ومع التسمية "0" على أنه فشل. دعنا نجري اختبارات n ، ولن تشارك الكائنات المحددة بعد الآن في مزيد من الاختبارات. سيتبع احتمال النجاح توزيعًا فوقيًا هندسيًا:

أين هو عدد التركيبات من إلى.

التوقع والتباين:

توزيع السم

(مأخوذ من هنا)

يختلف توزيع Poisson اختلافًا كبيرًا عن التوزيعات المذكورة أعلاه في منطقة "الموضوع" الخاصة بها: الآن لا يتم النظر في احتمال نتيجة اختبار معينة ، ولكن شدة الأحداث ، أي متوسط ​​عدد الأحداث لكل وحدة زمنية.

يصف توزيع بواسون احتمال حدوث أحداث مستقلة بمرور الوقت بمتوسط ​​كثافة الأحداث:

توقع وتباين توزيع بواسون:

التباين ومتوسط ​​توزيع بواسون متساويان بشكل مماثل.

يشكل توزيع بواسون بالاشتراك مع ، والذي يصف الفترات الزمنية بين بداية الأحداث المستقلة ، الأساس الرياضي لنظرية الموثوقية.

الكثافة الاحتمالية لمنتج المتغيرين العشوائيين x و y () مع التوزيعات ويمكن حسابها على النحو التالي:

بعض التوزيعات أدناه هي حالات خاصة لتوزيع Pearson ، والذي يعد بدوره حلًا للمعادلة:

أين و هي معلمات التوزيع. هناك 12 نوعًا من توزيع بيرسون ، اعتمادًا على قيم المعلمات.

التوزيعات التي سيتم مناقشتها في هذا القسم لها علاقات وثيقة مع بعضها البعض. يتم التعبير عن هذه الوصلات في حقيقة أن بعض التوزيعات هي حالات خاصة لتوزيعات أخرى ، أو تصف تحويلات المتغيرات العشوائية مع توزيعات أخرى.

يوضح الرسم البياني أدناه العلاقات بين بعض التوزيعات المستمرة التي سيتم مناقشتها في هذه الورقة. في الرسم التخطيطي ، تُظهر الأسهم الصلبة تحويل المتغيرات العشوائية (تشير بداية السهم إلى التوزيع الأولي ، ونهاية السهم - الناتج) ، وتُظهر الأسهم المنقطة علاقة التعميم (تشير بداية السهم التوزيع ، وهي حالة خاصة للحالة المشار إليها بنهاية السهم). بالنسبة للحالات الخاصة لتوزيع Pearson فوق الأسهم المنقطة ، تتم الإشارة إلى النوع المقابل لتوزيع Pearson.

تغطي النظرة العامة التالية للتوزيعات العديد من الحالات التي تحدث في تحليل البيانات ونمذجة العمليات ، على الرغم من أنها بالطبع لا تحتوي على جميع التوزيعات المعروفة للعلم.

التوزيع الطبيعي (التوزيع الغاوسي)

(مأخوذ من هنا)

كثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي مع المعلمات ويتم وصفها بواسطة دالة Gaussian:

إذا و ، يسمى هذا التوزيع القياسي.

توقع وتباين التوزيع الطبيعي:

مجال تعريف التوزيع الطبيعي هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

التوزيع الطبيعي هو توزيع من النوع السادس.

مجموع مربعات القيم العادية المستقلة ، ونسبة القيم المستقلة غاوسي يتم توزيعها.

التوزيع الطبيعي قابل للقسمة بلا حدود: مجموع الكميات الموزعة بشكل طبيعي ومع المعلمات وعلى التوالي له أيضًا توزيع طبيعي مع المعلمات ، أين و.

تصمم بئر التوزيع الطبيعي الكميات التي تصف الظواهر الطبيعية والضوضاء ذات الطبيعة الديناميكية الحرارية وأخطاء القياس.

بالإضافة إلى ذلك ، وفقًا لنظرية الحد المركزي ، فإن مجموع عدد كبير من المصطلحات المستقلة لنفس الترتيب يتقارب مع التوزيع الطبيعي ، بغض النظر عن توزيعات المصطلحات. نظرًا لهذه الخاصية ، فإن التوزيع الطبيعي شائع في التحليل الإحصائي ، وقد تم تصميم العديد من الاختبارات الإحصائية للبيانات الموزعة بشكل طبيعي.

يعتمد اختبار z على القسمة اللانهائية للتوزيع الطبيعي. يستخدم هذا الاختبار للتحقق مما إذا كان توقع عينة من المتغيرات الموزعة بشكل طبيعي يساوي بعض القيمة. يجب أن تكون قيمة التباين معروف. إذا كانت قيمة التباين غير معروفة وتم حسابها بناءً على العينة التي تم تحليلها ، فسيتم إجراء اختبار t بناءً على.

دعنا نحصل على عينة من n قيم مستقلة موزعة بشكل طبيعي من عامة السكان بانحراف معياري ، دعنا نفترض ذلك. ثم سيكون للقيمة توزيع عادي قياسي. من خلال مقارنة قيمة z التي تم الحصول عليها مع مقادير التوزيع القياسي ، يمكن للمرء قبول أو رفض الفرضية بمستوى الأهمية المطلوب.

نظرًا لانتشار التوزيع الغاوسي ، ينسى العديد من الباحثين الذين لا يعرفون الإحصاء جيدًا التحقق من البيانات من أجل الحالة الطبيعية ، أو تقييم مخطط كثافة التوزيع "بالعين" ، معتقدين بشكل أعمى أنهم يتعاملون مع البيانات الغاوسية. وفقًا لذلك ، قم بتطبيق اختبارات جريئة مصممة للتوزيع الطبيعي والحصول على نتائج غير صحيحة تمامًا. من المحتمل أن يكون هذا هو المكان الذي جاءت منه الشائعات حول الإحصائيات باعتبارها أفظع أنواع الكذبة.

تأمل في مثال: نحن بحاجة إلى قياس مقاومة مجموعة من المقاومات ذات قيمة معينة. المقاومة لها طبيعة فيزيائية ، فمن المنطقي أن نفترض أن توزيع انحرافات المقاومة عن القيمة الاسمية سيكون طبيعيًا. نقيس ، نحصل على دالة كثافة احتمالية على شكل جرس للقيم المقاسة مع وضع بالقرب من تصنيف المقاوم. هل هذا توزيع طبيعي؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فسنبحث عن مقاومات معيبة باستخدام ، أو اختبار z إذا كنا نعرف تباين التوزيع مسبقًا. أعتقد أن الكثيرين سيفعلون ذلك بالضبط.

لكن دعونا نلقي نظرة فاحصة على تقنية قياس المقاومة: يتم تعريف المقاومة على أنها نسبة الجهد المطبق إلى التدفق الحالي. قمنا بقياس التيار والجهد باستخدام الأدوات ، والتي بدورها توزع الأخطاء بشكل طبيعي. أي أن القيم المقاسة للتيار والجهد هي موزع طبيعيا المتغيرات العشوائية مع التوقعات الرياضية المقابلة للقيم الحقيقية للكميات المقاسة. وهذا يعني أن قيم المقاومة التي تم الحصول عليها يتم توزيعها على طول وليس وفقًا لـ Gauss.

يصف التوزيع مجموع مربعات المتغيرات العشوائية ، يتم توزيع كل منها وفقًا للقانون العادي القياسي:

اين عدد درجات الحرية.

توقع وتباين التوزيع:

مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الطبيعية غير السالبة. هو توزيع لا نهائي يقبل القسمة. إذا تم توزيع و - ولديهم درجات الحرية ، على التوالي ، فسيتم أيضًا توزيع مجموعهم على درجات الحرية.

إنها حالة خاصة (وبالتالي توزيع من النوع الثالث) وتعميم. نسبة الكميات الموزعة على الموزعة.

يعتمد اختبار بيرسون لمدى الملاءمة على التوزيع. يمكن استخدام هذا المعيار للتحقق مما إذا كانت عينة من متغير عشوائي تنتمي إلى توزيع نظري معين.

افترض أن لدينا عينة من بعض المتغيرات العشوائية. بناءً على هذه العينة ، نحسب احتمالات أن القيم ستقع في الفواصل الزمنية (). يجب أن يكون هناك أيضًا افتراض حول التعبير التحليلي للتوزيع ، وفقًا لذلك ، يجب أن تكون احتمالات الوقوع في الفترات المحددة. ثم توزع الكميات حسب القانون العادي.

نأتي إلى التوزيع الطبيعي القياسي: ،
اين و.

الكميات التي تم الحصول عليها لها توزيع طبيعي مع المعلمات (0 ، 1) ، وبالتالي ، يتم توزيع مجموع مربعاتها بدرجة من الحرية. يرتبط الانخفاض في درجة الحرية بقيود إضافية على مجموع احتمالات القيم التي تقع في فترات زمنية: يجب أن تكون مساوية لـ 1.

بمقارنة القيمة بكميات التوزيع ، يمكن للمرء قبول أو رفض الفرضية حول التوزيع النظري للبيانات بمستوى الأهمية المطلوب.

يتم استخدام توزيع الطالب لإجراء اختبار t: اختبار لتساوي القيمة المتوقعة لعينة من المتغيرات العشوائية الموزعة إلى قيمة معينة ، أو تساوي القيم المتوقعة لعينتين بنفس التباين ( يجب التحقق من المساواة في الفروق). يصف توزيع t للطالب نسبة المتغير العشوائي الموزع إلى القيمة الموزعة عليها.

اسمحوا و كن متغيرات عشوائية مستقلة مع درجات الحرية وعلى التوالي. بعد ذلك سيكون للكمية توزيع فيشر بدرجة من الحرية ، وسيكون للكمية توزيع فيشر بدرجة من الحرية.
يتم تعريف توزيع فيشر للحجج الحقيقية غير السلبية وله كثافة احتمالية:


توقع وتباين توزيع فيشر:

يتم تحديد التوقع ويتم تحديد التباين من أجله.

يعتمد عدد من الاختبارات الإحصائية على توزيع فيشر ، مثل تقييم أهمية معاملات الانحدار ، واختبار عدم التجانس ، واختبار تساوي تباينات العينة (اختبار f ، ليتم تمييزه عن دقيقاختبار فيشر).

اختبار F: يجب السماح بوجود عينتين مستقلتين وحجم بيانات موزعة على التوالي. دعونا نطرح فرضية حول تساوي تباينات العينة ونختبرها إحصائيًا.

دعونا نحسب القيمة. سيكون لها توزيع فيشر مع درجات من الحرية.

بمقارنة القيمة بكميات توزيع فيشر المقابل ، يمكننا قبول أو رفض الفرضية القائلة بأن تباينات العينة تساوي مستوى الأهمية المطلوب.

التوزيع الأسي (الأسي) وتوزيع لابلاس (الأسي المزدوج ، الأسي المزدوج)

(مأخوذ من هنا)

يصف التوزيع الأسي الفترات الزمنية بين الأحداث المستقلة التي تحدث بكثافة متوسطة. يتم وصف عدد تكرارات مثل هذا الحدث خلال فترة زمنية معينة بشكل منفصل. التوزيع الأسي مع تكوين الأساس الرياضي لنظرية الموثوقية.

بالإضافة إلى نظرية الموثوقية ، يتم استخدام التوزيع الأسي في وصف الظواهر الاجتماعية ، في الاقتصاد ، في نظرية الطابور ، في لوجستيات النقل - حيثما كان ذلك ضروريًا لنمذجة تدفق الأحداث.

التوزيع الأسي هو حالة خاصة (لـ n = 2) ، وبالتالي. نظرًا لأن الكمية الموزعة بشكل أسي هي كمية مربع كاي مع درجتين من الحرية ، فيمكن تفسيرها على أنها مجموع مربعات كميتين مستقلتين موزعتان بشكل طبيعي.

أيضا ، التوزيع الأسي هو حالة صادقة

تعريف الاختبارات المستقلة المتكررة. معادلات برنولي لحساب الاحتمال والرقم الأكثر احتمالية. صيغ مقاربة لصيغة برنولي (محلية ومتكاملة ، نظريات لابلاس). باستخدام نظرية التكامل. صيغة بواسون ، للأحداث العشوائية غير المحتملة.

تكرار الاختبارات المستقلة

من الناحية العملية ، يتعين على المرء أن يتعامل مع مثل هذه المهام التي يمكن تمثيلها على أنها اختبارات متكررة بشكل متكرر ، ونتيجة لكل منها قد يظهر أو لا يظهر الحدث "أ". في الوقت نفسه ، لا تكون نتيجة الاهتمام هي نتيجة كل "تجربة فردية ، ولكن العدد الإجمالي لوقائع الحدث" أ "نتيجة لعدد معين من التجارب. في مثل هذه المشكلات ، يجب أن يكون المرء قادرًا على تحديد الاحتمال من أي عدد م من تكرارات الحدث A نتيجة لعدد n من المحاولات. ضع في اعتبارك الحالة عندما تكون التجارب مستقلة ويكون احتمال حدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا. تسمى هذه التجارب المستقلين المتكرر.

مثال على الاختبار المستقل هو اختبار مدى ملاءمة المنتجات المأخوذة من عدد من الدفعات. إذا كانت هذه الدُفعات بها نفس النسبة المئوية من العيوب ، فإن احتمال أن يكون المنتج المحدد معيبًا في كل حالة هو رقم ثابت.

صيغة برنولي

دعنا نستخدم المفهوم حدث صعب، وهو ما يعني مزيجًا من عدة أحداث أولية ، تتكون في ظهور أو عدم ظهور الحدث A في الاختبار i -th. اسمح بإجراء تجارب n مستقلة ، في كل حدث يمكن أن يظهر A مع احتمال p أو لا يظهر مع احتمال q = 1-p. ضع في اعتبارك الحدث B_m ، والذي يتكون من حقيقة أن الحدث A في هذه التجارب n سيحدث بالضبط m مرات ، وبالتالي ، لن يحدث بالضبط (n-m) مرة. دل A_i ~ (أنا = 1،2 ، \ نقاط ، (ن))حدوث الحدث A ، a \ overline (A) _i - عدم حدوث الحدث A في المحاكمة من الدرجة الأولى. بسبب ثبات شروط الاختبار لدينا

يمكن أن يظهر الحدث "أ" مرات في تسلسلات أو مجموعات مختلفة ، بالتناوب مع الحدث المعاكس \ خط علوي (أ). عدد التركيبات الممكنة من هذا النوع يساوي عدد تركيبات n من العناصر في m ، أي C_n ^ m. لذلك ، يمكن تمثيل الحدث B_m كمجموع للأحداث المعقدة غير المتوافقة مع بعضها البعض ، وعدد المصطلحات يساوي C_n ^ m:

B_m = A_1A_2 \ cdots (A_m) \ overline (A) _ (m + 1) \ cdots \ overline (A) _n + \ cdots + \ overline (A) _1 \ overline (A) _2 \ cdots \ overline (A) _ ( n م) A_ (n-m + 1) \ cdots (A_n) ،

حيث يقع الحدث A في كل منتج م مرات ، و \ خط زائد (A) - (n-m) مرات.

إن احتمال كل حدث مركب مدرج في الصيغة (3.1) ، وفقًا لنظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة ، يساوي p ^ (m) q ^ (n-m). نظرًا لأن العدد الإجمالي لمثل هذه الأحداث يساوي C_n ^ m ، إذن ، باستخدام نظرية إضافة الاحتمال للأحداث غير المتوافقة ، نحصل على احتمال الحدث B_m (نشير إليه بـ P_ (m ، n))

P_ (m، n) = C_n ^ mp ^ (m) q ^ (n-m) \ quad \ text (or) \ quad P_ (m، n) = \ frac (n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

الصيغة (3.2) تسمى صيغة برنولي، والمحاكمات المتكررة التي تفي بشرط الاستقلال وثبات احتمالات وقوع الحدث A في كل منها تسمى محاكمات برنولي، أو مخطط برنولي.

مثال 1. احتمال تجاوز مجال التحمل عند معالجة الأجزاء على المخرطة هو 0.07. حدد احتمال أنه من بين خمسة أجزاء تم اختيارها عشوائيًا أثناء التحول ، لا يتوافق أحد أبعاد القطر مع التفاوت المحدد.

المحلول. حالة المشكلة تفي بمتطلبات مخطط برنولي. لذلك ، على افتراض n = 5، \، m = 1، \، p = 0، \! 07، بالصيغة (3.2) نحصل عليها

P_ (1،5) = C_5 ^ 1 (0، \! 07) ^ (1) (0، \! 93) ^ (5-1) \ almost0، \! 262.

مثال 2. أثبتت الملاحظات أنه في بعض المناطق في سبتمبر هناك 12 يومًا ممطرًا. ما هو احتمال هطول الأمطار لمدة 3 أيام من أصل 8 أيام مأخوذة عشوائيًا هذا الشهر؟

المحلول.

P_ (3 ؛ 8) = C_8 ^ 3 (\ left (\ frac (12) (30) \ right) \^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

العدد الأكثر احتمالاً لوقوع الحدث

الأكثر احتمالا المظهرالحدث A في n تجارب مستقلة هو مثل هذا الرقم m_0 حيث يكون الاحتمال المقابل لهذا الرقم أكبر من أو على الأقل لا يقل عن احتمال كل من الأرقام المحتملة الأخرى لحدوث الحدث A. لتحديد الرقم الأكثر احتمالية ، ليس من الضروري حساب احتمالات العدد المحتمل لوقوع الحدث ، يكفي معرفة عدد المحاولات n واحتمال حدوث الحدث A في تجربة منفصلة. دع P_ (m_0، n) تدل على الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالا m_0. باستخدام الصيغة (3.2) نكتب

P_ (m_0، n) = C_n ^ (m_0) p ^ (m_0) q ^ (n-m_0) = \ frac (n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

وفقًا لتعريف الرقم الأكثر احتمالًا ، يجب ألا تتجاوز احتمالات الحدث A الذي يحدث m_0 + 1 و m_0-1 مرة ، على الأقل ، الاحتمال P_ (m_0 ، n) ، أي

P_ (m_0، n) \ geqslant (P_ (m_0 + 1، n))؛ \ quad P_ (m_0، n) \ geqslant (P_ (m_0-1، n))

استبدال القيمة P_ (m_0، n) وتعبيرات الاحتمالات P_ (m_0 + 1، n) و P_ (m_0-1، n) في المتباينات ، نحصل عليها

نحصل على حل هذه المتباينات لـ m_0

M_0 \ geqslant (np-q) ، \ quad m_0 \ leqslant (np + p)

بدمج المتباينات الأخيرة ، نحصل على متباينة مزدوجة ، والتي تُستخدم لتحديد الرقم الأكثر احتمالية:

Np-q \ leqslant (m_0) \ leqslant (np + p).

بما أن طول الفترة المحددة بواسطة المتباينة (3.4) يساوي واحدًا ، أي

(np + p) - (np-q) = p + q = 1 ،

ويمكن أن يحدث حدث ما في عدد n من المحاولات فقط بعدد صحيح من المرات ، ثم يجب أن يوضع في الاعتبار ما يلي:

1) إذا كان np-q عددًا صحيحًا ، فهناك قيمتان من الرقم الأكثر احتمالًا ، وهما: m_0 = np-q و m "_0 = np-q + 1 = np + p؛

2) إذا كان np-q عددًا كسريًا ، فهناك رقم واحد محتمل ، وهو: العدد الصحيح الوحيد بين أعداد كسريةتم الحصول عليها من عدم المساواة (3.4) ؛

3) إذا كان np عددًا صحيحًا ، فهناك رقم واحد محتمل ، وهو: m_0 = np.

بالنسبة لقيم n الكبيرة ، من غير المناسب استخدام الصيغة (3.3) لحساب الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالًا. إذا كانت على قدم المساواة (3.3) فإننا نستبدل صيغة ستيرلنغ

N! \ تقريبًا (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n))) ،

صالح لـ n كبيرة بما فيه الكفاية ، وأخذ الرقم الأكثر احتمالاً m_0 = np ، ثم نحصل على صيغة لحساب تقريبي للاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالية:

P_ (m_0، n) \ تقريبًا \ frac (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n)) \ ، p ^ (np) q ^ (nq)) ((np) ^ (np) e ^ (- np) \ sqrt (2 \ pi (np)) \، (nq) ^ (nq) e ^ (- nq) \ sqrt (2 \ pi (nq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (npq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sqrt (npq)).

مثال 2. من المعروف أن \ frac (1) (15) بعض المنتجات التي يوفرها المصنع للقاعدة التجارية لا تلبي جميع متطلبات المعيار. تم تسليم مجموعة من المنتجات بحجم 250 قطعة إلى القاعدة. ابحث عن أكثر عدد محتمل من المنتجات التي تفي بمتطلبات المعيار ، واحسب احتمال احتواء هذه الكمية على العدد الأكثر احتمالية من المنتجات.

المحلول. حسب الشرط n = 250، \، q = \ frac (1) (15)، \، p = 1- \ frac (1) (15) = \ frac (14) (15). وفقًا للمتباينة (3.4) ، لدينا

250 \ cdot \ frac (14) (15) - \ frac (1) (15) \ leqslant (m_0) \ leqslant250 \ cdot \ frac (14) (15) + \ frac (1) (15)

أين 233، \! 26 \ leqslant (m_0) \ leqslant234، \! 26. لذلك ، فإن العدد الأكثر احتمالا للمنتجات التي تلبي متطلبات المعيار في دفعة من 250 قطعة. يساوي 234. استبدال البيانات في الصيغة (3.5) ، نحسب احتمال وجود أكثر عدد محتمل من العناصر في الدفعة:

P_ (234،250) \ تقريبًا \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi \ cdot250 \ cdot \ frac (14) (15) \ cdot \ frac (1) (15))) \ تقريبًا 0 ، \! 101

نظرية لابلاس المحلية

يعد استخدام صيغة برنولي للقيم الكبيرة لـ n أمرًا صعبًا للغاية. على سبيل المثال ، إذا ن = 50 ، \ ، م = 30 ، \ ، ف = 0 ، \! 1، ثم لإيجاد احتمال P_ (30،50) من الضروري حساب قيمة التعبير

P_ (30،50) = \ فارك (50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن حساب احتمال الفائدة دون استخدام صيغة برنولي؟ اتضح أنك تستطيع. تعطي نظرية لابلاس المحلية صيغة مقاربة تسمح لك بالعثور على احتمالية وقوع الأحداث بالضبط م مرات في n من التجارب ، إذا كان عدد المحاولات كبيرًا بما يكفي.

نظرية 3.1. إذا كان احتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن صفر وواحد ، فإن احتمال P_ (m ، n) سيظهر هذا الحدث A في n من التجارب بالضبط m مرات متساوية تقريبًا (بدقة أكثر ، أكبر ن) إلى قيمة الوظيفة

Y = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ frac (e ^ (- x ^ 2/2)) (\ sqrt (2 \ pi)) = \ frac (\ varphi (x)) (\ sqrt (npq))في .

هناك جداول تحتوي على قيم دالة \ varphi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \، e ^ (- x ^ 2/2))، المقابلة للقيم الموجبة للوسيطة x. بالنسبة لقيم الوسيطة السالبة ، يتم استخدام نفس الجداول ، لأن الدالة \ varphi (x) زوجية ، أي \ varphi (-x) = \ varphi (x).

لذلك ، تقريبًا احتمال ظهور الحدث A في n تجربة بالضبط m مرات ،

P_ (m، n) \ تقريبًا \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ ، \ varphi (x) ،أين س = \ فارك (m-np) (\ sqrt (npq)).

مثال 3. أوجد احتمال وقوع الحدث A بالضبط 80 مرة في 400 تجربة إذا كان احتمال وقوع الحدث A في كل تجربة هو 0.2.

المحلول. حسب الشرط ن = 400 ، \ ، م = 80 ، \ ، ف = 0 ، \! 2 ، \ ، ف = 0 ، \! 8. نستخدم صيغة لابلاس المقاربة:

P_ (80400) \ تقريبًا \ frac (1) (\ sqrt (400 \ cdot0، \! 2 \ cdot0، \! 8)) \، \ varphi (x) = \ frac (1) (8) \، \ varphi (خ).

دعنا نحسب القيمة x المحددة بواسطة بيانات المشكلة:

X = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (80-400 \ cdot0، \! 2) (8) = 0.

وفقًا لجدول صفة 1 ، نجد \ varphi (0) = 0 ، \! 3989. الاحتمال المطلوب

P_ (80100) = \ frac (1) (8) \ cdot0، \! 3989 = 0، \! 04986.

تؤدي صيغة برنولي إلى نفس النتيجة تقريبًا (تم حذف الحسابات بسبب إرهاقها):

P_ (80100) = 0، \! 0498.

نظرية لابلاس التكاملية

لنفترض أنه تم إجراء تجارب n مستقلة ، حيث يكون احتمال حدوث الحدث A ثابتًا ويساوي p. من الضروري حساب الاحتمال P _ ((m_1، m_2)، n) أن الحدث A سيظهر في n من التجارب على الأقل m_1 وعلى الأكثر m_2 مرة (للإيجاز ، سنقول "من m_1 إلى m_2 مرة"). يمكن القيام بذلك باستخدام نظرية لابلاس المتكاملة.

نظرية 3.2. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن صفر وواحد ، فإن الاحتمال التقريبي P _ ((m_1، m_2)، n) سيظهر هذا الحدث A في التجارب من m_1 إلى m_2 مرة ،

ف _ ((m_1، m_2)، n) \ تقريبًا \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \ ، dx ،أين .

عند حل المشكلات التي تتطلب تطبيق نظرية لابلاس المتكاملة ، يتم استخدام جداول خاصة ، منذ التكامل غير المحدد \ int (e ^ (- x ^ 2/2) \ ، dx)لا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. جدول متكامل \ Phi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (0) ^ (x) e ^ (- z ^ 2/2) \، dzفي التطبيق. 2 ، حيث يتم إعطاء قيم الدالة \ Phi (x) للقيم الموجبة لـ x ، لـ x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 يمكن أن تأخذ \ Phi (x) = 0 ، \! 5.

لذلك ، تقريبًا احتمال ظهور الحدث A في n تجارب مستقلة من m_1 إلى m_2 مرة ،

ف _ ((m_1، m_2)، n) \ تقريبًا \ Phi (x "") - \ Phi (x ") ،أين x "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) ؛ ~ x" "= \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)).

مثال 4. احتمال أن يكون جزء ما قد تم تصنيعه بما يخالف المعايير ، p = 0 ، \! 2. أوجد احتمال أنه من بين 400 جزء غير قياسي تم اختياره عشوائيًا سيكون هناك من 70 إلى 100 جزء.

المحلول. حسب الشرط ص = 0 ، \! 2 ، \ ، ف = 0 ، \! 8 ، \ ، ن = 400 ، \ ، م_1 = 70 ، \ ، م_2 = 100. دعنا نستخدم نظرية التكامل لابلاس:

ف _ ((70100) ، 400) \ تقريبًا \ Phi (x "") - \ Phi (x ").

دعونا نحسب حدود التكامل:

أدنى

X "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (70-400 \ cdot0، \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0، \! 2 \ cdot0، \! 8)) = -1، \! 25،

العلوي

X "" = \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (100-400 \ cdot0، \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0، \! 2 \ cdot0، \! 8) ) = 2، \! 5،

في هذا الطريق

ف _ ((70100) ، 400) \ تقريبًا \ Phi (2، \! 5) - \ Phi (-1، \! 25) = \ Phi (2، \! 5) + \ Phi (1، \! 25) .

وفقًا لتطبيق الجدول. 2 تجد

\ Phi (2، \! 5) = 0، \! 4938؛ ~~~~~ \ Phi (1، \! 25) = 0، \! 3944.

الاحتمال المطلوب

ف _ ((70100) ، 400) = 0 ، \! 4938 + 0 ، \! 3944 = 0 ، \! 8882.

تطبيق نظرية لابلاس التكاملية

إذا كان الرقم m (عدد مرات حدوث الحدث A في n تجارب مستقلة) سيتغير من m_1 إلى m_2 ، فإن الكسر \ فارك (m-np) (\ sqrt (npq))سوف يتغير من \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = x "قبل \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = x "". لذلك ، يمكن أيضًا كتابة نظرية لابلاس المتكاملة على النحو التالي:

P \ يسار \ (x "\ leqslant \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) \ leqslant (x" ") \ right \) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limits_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \ ، dx.

لنقم بتعيين المهمة لإيجاد احتمال أن يكون انحراف التردد النسبي \ frac (m) (n) عن الاحتمال الثابت p في قيمه مطلقهلا يتجاوز العدد المحدد \ varepsilon> 0. بعبارة أخرى ، نجد احتمال عدم المساواة \ يسار | \ frac (m) (n) -p \ يمين | \ leqslant \ varepsilon، وهو نفس الشيء - \ varepsilon \ leqslant \ frac (m) (n) -p \ leqslant \ varepsilon. سيتم الإشارة إلى هذا الاحتمال على النحو التالي: P \ يسار \ (\ يسار | \ فارك (م) (n) -p \ يمين | \ leqslant \ varepsilon \ right \). مع الأخذ في الاعتبار الصيغة (3.6) ، لهذا الاحتمال ، نحصل عليه

P \ يسار \ (\ يسار | \ frac (m) (n) -p \ يمين | \ leqslant \ varepsilon \ right \) \ تقريبًا 2 \ Phi \ left (\ varepsilon \، \ sqrt (\ frac (n) (pq ))\حقا).

مثال 5. احتمال أن يكون الجزء غير قياسي ، p = 0 ، \! 1. أوجد احتمال أن التردد النسبي لظهور الأجزاء غير القياسية من بين 400 جزء تم اختياره عشوائيًا ينحرف عن الاحتمال p = 0 ، \! 1 في القيمة المطلقة بما لا يزيد عن 0.03.

المحلول. حسب الشرط n = 400، \، p = 0، \! 1، \، q = 0، \! 9، \، \ varepsilon = 0، \! 03. علينا إيجاد الاحتمال ف \ يسار \ (\ يسار | \ فارك (م) (400) -0، \! 1 \ يمين | \ leqslant0، \! 03 \ يمين \). باستخدام الصيغة (3.7) نحصل عليها

ف \ يسار \ (\ يسار | \ فارك (م) (400) -0، \! 1 \ يمين | \ leqslant0، \! 03 \ يمين \) \ تقريبًا 2 \ Phi \ يسار (0، \! 03 \ sqrt ( \ frac (400) (0، \! 1 \ cdot0، \! 9)) \ حق) = 2 \ Phi (2)

وفقًا لتطبيق الجدول. 2 نجد \ Phi (2) = 0، \! 4772، وبالتالي 2 \ Phi (2) = 0، \! 9544. لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب يساوي 0.9544 تقريبًا. معنى النتيجة التي تم الحصول عليها هو كما يلي: إذا أخذنا عددًا كبيرًا بما فيه الكفاية من العينات من 400 جزء لكل منها ، فعندئذٍ في 95.44٪ تقريبًا من هذه العينات ، انحراف التردد النسبي عن الاحتمال الثابت p = 0 ، \! 1 in لن تتجاوز القيمة المطلقة 0.03.

صيغة بواسون للأحداث غير المتوقعة

إذا كان احتمال p لحدوث حدث في تجربة منفصلة قريبًا من الصفر ، فعندئذٍ حتى أعداد كبيرةاختبارات n ، ولكن مع قيمة صغيرة للمنتج np ، فإن الاحتمالات P_ (m ، n) التي تم الحصول عليها بواسطة صيغة لابلاس ليست دقيقة بما يكفي وهناك حاجة إلى صيغة تقريبية أخرى.

نظرية 3.3. إذا كان احتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ولكنه صغير ، فإن عدد التجارب المستقلة n كبير بما يكفي ، لكن قيمة المنتج np = \ lambda تظل صغيرة (لا تزيد عن عشرة) ، ثم الاحتمال يحدث هذا الحدث أ م مرات في هذه التجارب ،

P_ (م ، ن) \ تقريبا \ فارك (\ لامدا ^ م) (م\,e^{-\lambda}. !}

لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام صيغة بواسون ، تم تجميع جدول قيم دالة بواسون \ فارك (\ لامدا ^ م) (م\,e^{-\lambda} !}(انظر الملحق 3).

مثال 6. اجعل احتمال تصنيع جزء غير قياسي 0.004. أوجد احتمال وجود 5 أجزاء غير قياسية من بين 1000 جزء.

المحلول. هنا n = 1000، p = 0.004، ~ \ lambda = np = 1000 \ cdot0، \! 004 = 4. تلبي جميع الأرقام الثلاثة متطلبات Theorem 3.3 ، لذلك للعثور على احتمال الحدث المطلوب P_ (5،1000) نستخدم صيغة Poisson. وفقًا لجدول قيم دالة بواسون (التطبيق 3) مع \ لامدا = 4 ؛ م = 5 نحصل على P_ (51000) \ حوالي 0 ، \! 1563.

لنجد احتمال حدوث نفس الحدث باستخدام صيغة لابلاس. للقيام بذلك ، نحسب أولاً قيمة x المقابلة لـ m = 5:

X = \ frac (5-1000 \ cdot0، \! 004) (\ sqrt (1000 \ cdot0، \! 004 \ cdot0، \! 996)) \ almost \ frac (1) (1، \! 996) \ almost0 ، \! 501.

لذلك ، وفقًا لصيغة لابلاس ، الاحتمال المطلوب

P_ (5،1000) \ almost \ frac (\ varphi (0، \! 501)) (1، \! 996) \ almost \ frac (0، \! 3519) (1، \! 996) \ almost0، \ ! 1763

ووفقًا لمعادلة برنولي ، قيمتها الدقيقة

P_ (5،1000) = C_ (1000) ^ (5) \ cdot0، \! 004 ^ 5 \ cdot0، \! 996 ^ (995) \ almost0، \! 1552.

في هذا الطريق، خطأ نسبيحساب الاحتمالات P_ (5،1000) باستخدام صيغة لابلاس التقريبية هي

\ frac (0، \! 1763-0، \! 1552) (0، \! 1552) \ حوالي 0، \! 196، أو 13 ، \! 6 \٪

ووفقًا لصيغة بواسون -

\ frac (0، \! 1563-0، \! 1552) (0، \! 1552) \ almost0، \! 007، أو 0 ، \! 7 \٪

هذا هو ، مرات أقل.
انتقل إلى القسم التالي
المتغيرات العشوائية أحادية البعد تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
يجب تمكين عناصر تحكم ActiveX لإجراء العمليات الحسابية!

تسمى التجارب المستقلة المتكررة تجارب برنولي إذا كان لكل تجربة نتيجتان محتملتان فقط وظلت احتمالات النتائج كما هي بالنسبة لجميع التجارب.

عادةً ما يُطلق على هاتين النتيجتين اسم "نجاح" (S) أو "فشل" (F) ويتم الإشارة إلى الاحتمالات المقابلة صو ف. انه واضح ص 0, ف³ 0 و ص+ف=1.

تتكون مساحة الحدث الأولية لكل تجربة من حدثين Y و H.

مساحة الأحداث الابتدائية نمحاكمات برنولي Ω يحتوي على 2 نالأحداث الأولية ، وهي سلاسل (سلاسل) من نالرمزان Y و H. كل حدث ابتدائي هو أحد النتائج المحتملة للتسلسل نمحاكمات برنولي. نظرًا لأن الاختبارات مستقلة ، إذن ، وفقًا لنظرية الضرب ، يتم مضاعفة الاحتمالات ، أي أن احتمال أي تسلسل معين هو المنتج الذي تم الحصول عليه عن طريق استبدال الرمزين U و H بواسطة صو فعلى التوالي ، وهذا على سبيل المثال: ص( ) = (U U N U N ... N U) = p p q p q ... q q p .

لاحظ أن نتيجة اختبار برنولي يُرمز إليها غالبًا بالرقم 1 و 0 ، ثم حدث ابتدائيفي تسلسل ناختبارات برنولي - هناك سلسلة تتكون من الأصفار والآحاد. على سبيل المثال:  = (1 ، 0 ، 0 ، ... ، 1 ، 1 ، 0).

تعد تجارب برنولي أهم مخطط يتم النظر فيه في نظرية الاحتمالات. تم تسمية هذا المخطط على اسم عالم الرياضيات السويسري جيه برنولي (1654-1705) ، الذي درس هذا النموذج بعمق في أعماله.

المشكلة الرئيسية التي تهمنا هنا هي: ما هو احتمال وقوع الحدث في نحدثت محاكمات برنولي مالنجاح؟

إذا تم استيفاء هذه الشروط ، فإن احتمال حدوث حدث أثناء الاختبارات المستقلة سيتم ملاحظته بالضبط م مرات (بغض النظر عن التجارب) ، يتم تحديدها بواسطة صيغة برنولي:

(21.1)

أين - احتمال وقوع في كل اختبار و
هو احتمال وجود حدث في تجربة معينة لم يحدث.

إذا نظرنا ص ن (م)كوظيفة م، ثم يحدد التوزيع الاحتمالي ، وهو ما يسمى ذو الحدين. دعنا نستكشف هذه العلاقة ص ن (م)من م, 0£ م£ ن.

التطورات بم ( م = 0, 1, ..., ن) تتكون من أعداد مختلفةتكرارات الحدث لكنفي نالاختبارات ، غير متوافقة وتشكل مجموعة كاملة. بالتالي،
.

ضع في اعتبارك النسبة:

=
=
=
.

ومن ثم يتبع ذلك ص ن (م + 1)>ص ن (م) ،إذا (ن- م) ص> (م + 1) س، بمعنى آخر. وظيفة ص ن (م) يزيد إذا م< np- ف. على نفس المنوال، ص ن (م + 1)< ص ن (م) ،إذا (ن- م) ص< (م + 1) س، بمعنى آخر. ص ن (م)ينخفض ​​إذا م> np- ف.

وبالتالي هناك رقم م 0 ، في أي ص ن (م)تصل إلى أعلى قيمة لها. لنجد م 0 .

حسب معنى الرقم م 0 لدينا ص ن (م 0)³ ص ن (م 0 -1) و ص ن (م 0) ³ ص ن (م 0 +1) ، وبالتالي

, (21.2)

. (21.3)

حل المتباينات (21.2) و (21.3) فيما يتعلق م 0 ، نحصل على:

ص/ م 0 ³ ف/(ن- م 0 +1) Þ م 0 £ np+ ص,

ف/(ن- م 0 ) ³ ص/(م 0 +1) Þ م 0 ³ np- ف.

إذن الرقم المطلوب م 0 يفي بعدم المساواة

np- ف£ م 0 £ np + p. (21.4)

لان ص+ف= 1 ، إذن ، طول الفترة التي تحددها المتباينة (21.4) يساوي واحدًا ويوجد على الأقل عدد صحيح واحد م 0 إرضاء عدم المساواة (21.4):

1) إذا np - فهو عدد صحيح ، ثم هناك قيمتان م 0 ، وهي: م 0 = np - فو م 0 = np - ف + 1 = np + ص;

2) إذا np - ف- كسري ، ثم هناك رقم واحد م 0 ، وهو العدد الصحيح الوحيد بين الأعداد الكسرية التي تم الحصول عليها من عدم المساواة (21.4) ؛

3) إذا npهو عدد صحيح ، ثم هناك رقم واحد م 0 ، وهي م 0 = np.

رقم ميُطلق على 0 القيمة الأكثر احتمالًا أو الأكثر احتمالًا (رقم) لحدوث الحدث أفي سلسلة من ناختبارات مستقلة.