تعريفي- شكل من أشكال التفكير يوجه الفكر من خلاله للبعض قاعدة عامة, الموقف العام، متأصلة في جميع الكائنات الملموسة من أي فئة.
المستقطع- هذا الشكل من التفكير ، عندما يتم اشتقاق فكر جديد بطريقة منطقية بحتة من أفكار سابقة. يُطلق على تسلسل الأفكار هذا اسم الاستنتاج ، وكل مكون من مكونات هذا الاستنتاج هو إما فكرة مثبتة مسبقًا ، أو بديهية ، أو فرضية.
دليل استنتاجي- أحد أشكال الإثبات ، عندما تخضع الأطروحة ، وهي حكم فردي أو خاص ، للقاعدة العامة.
يتكون كل دليل من ثلاثة أجزاء:
الأطروحة والحجج والمظاهرات.
قواعد الإثبات:
1. يجب أن تكون الأطروحة والحجج أحكامًا واضحة ومحددة.
2. يجب أن تظل الأطروحة كما هي في جميع مراحل الإثبات.
3. أن لا تحتوي الأطروحة على تناقض منطقي.
4. يجب ألا تتعارض الأطروحة المراد إثباتها منطقيًا مع الأحكام السابقة.
5. يجب ألا تتعارض الحجج المقدمة لدعم الأطروحة مع بعضها البعض.
6. التقليل إلى اللامعقول. يمكن إثبات صحة أطروحة أو أخرى من خلال إثبات زيف الأطروحة المقابلة.
7. يجب أن تكون الأطروحة والحجج مدعمة بالوقائع.
8. يجب أن يكون الإثبات كاملاً.
9. يجب أن تكون الحجج المقدمة لدعم صحة الأطروحة كافية لهذه الأطروحة.
10. يجب أن تكون الحجج المقدمة في إثبات صحة الأطروحة صحيحة بحد ذاتها.
11. يجب أن تكون الحجج أحكامًا ، يتم إثبات حقيقتها بشكل مستقل ، بغض النظر عن الأطروحة.
ملاحظة: الرسالة - فكرة أو بيان يحتاج إلى إثبات صحته.

تعلم إثبات النظرية.

ليس من الصعب إتقان محتوى النظريات (القواعد ، الصيغ ، الهويات ، إلخ) التي تتم دراستها في المدرسة. للقيام بذلك ، من الضروري محاولة فهم معنى النظرية بشكل منهجي (القواعد ، الصيغ ، الهويات ، إلخ) ، وتطبيقها قدر الإمكان في حل المشكلات ، في إثبات النظريات الأخرى. مثل هذا العمل ، كما تظهر الممارسة ، يؤدي إلى الاستيعاب اللاإرادي لمحتواها ، وحفظ الصياغات لها. ويصعب تعلم كيفية إثبات النظريات. وفي الوقت نفسه ، لا يتعلق الأمر بحفظ إثبات نظرية معينة تم أخذها في الاعتبار في الدرس. لا تحتاج إلى حفظ الإثبات بشكل خاص ، فأنت بحاجة إلى تعلم كيفية إثبات النظريات بنفسك.

ماذا يعني إثبات نظرية ، ما هو الدليل؟

إثبات في بالمعنى الواسع- هذا تفكير منطقي ، يتم من خلاله إثبات حقيقة الفكر بمساعدة أحكام أخرى.

لذلك ، عندما تقنع رفيقك بشيء ما أو تدافع عن رأيك ، وجهة نظرك في خلاف معه ، فإنك تقدم دليلاً أساسيًا (بمهارة أو بغير مهارة سؤال آخر). في الحياة طوال الوقت ، كل يوم في التواصل مع الآخرين ، على المرء أن يثبت أفكارًا وعبارات معينة ، وعلى المرء أن يقنع بشيء ما ، أي أن يثبت.

البرهان على النظريات الرياضية حالة خاصةالأدلة بشكل عام. إنه يختلف عن الإثبات في الظروف اليومية أو في العلوم الأخرى في أنه يتم تنفيذه بأكبر قدر ممكن من الصرفة. استنتاجيًا(من كلمة لاتينيةالاستنتاج - الاستنتاج) ، أي اشتقاق فكر جديد يمكن إثباته (بيان ، حكم) من أفكار مثبتة مسبقًا أو مقبولة (البديهيات) دون إثبات وفقًا لقواعد المنطق دون أي إشارة إلى أمثلة أو خبرة. في العلوم الأخرى ، في ظروف الحياة اليومية ، غالبًا ما نلجأ إلى الأمثلة ، للتجربة من أجل الإثبات. نقول: "انظر" - وهذا يمكن أن يكون بمثابة دليل. في الرياضيات ، تعتبر طريقة الإثبات هذه غير مقبولة ؛ لا يُسمح بالإشارة ، على سبيل المثال ، إلى العلاقات الواضحة الموضحة بالرسم. إثبات رياضييجب أن تكون سلسلة من النتائج المنطقية من البديهيات الأصلية والتعريفات وشروط النظرية والنظريات المثبتة مسبقًا إلى الاستنتاج المطلوب.

وبالتالي ، في إثبات نظرية ، فإننا نختصرها إلى نظريات مثبتة مسبقًا ، وتلك بدورها ، إلى نظريات أخرى ، وما إلى ذلك. ومن الواضح أن عملية الاختزال هذه يجب أن تكون محدودة ، وبالتالي فإن أي دليل في النهاية يقلل من النظرية التي يتم إثباتها إلى التعاريف الأصلية والمقبولة دون البديهيات.

لذلك ، لا تخدم البديهيات فقط تعريف غير مباشرالمفاهيم الأولية ، ولكن أيضًا كأساس لإثبات كل نظريات الرياضيات. هذا هو السبب في أنه من بين البديهيات هناك أيضًا تلك التي تشير خصائص خاصةالمفاهيم التي لها تعريفات منطقية. لذلك ، على سبيل المثال ، الخطوط المتوازية في سياق الهندسة ليست مفهومًا أساسيًا ، ولكنها مفهوم محدد. ومع ذلك ، فإن إحدى خصائص الخطوط المتوازية ، وهي أن حمن خلال نقطة لا تقع على خط معين ، من الممكن أن نرسم على مستوى ما لا يزيد عن خط واحد موازٍ لخط معين ، فنحن مجبرون على اعتباره بديهية ، لأنه ، كما حدده الروسي العظيم مقياس الهندسة N. فقط البديهيات المتبقية في الهندسة.

تتكون كل خطوة من خطوات الإثبات من ثلاثة أجزاء:

1) الاقتراح (البديهية ، النظرية ، التعريف) الذي على أساسه يتم تنفيذ هذه الخطوة من الإثبات ؛ يسمى هذا الأساس لخطوة الإثبات الافتراض أو الحجة ؛

2) التفكير المنطقي ، والذي يتم خلاله تطبيق الفرضية على شروط النظرية أو على النتائج التي تم الحصول عليها مسبقًا ؛

3) النتيجة المنطقية لتطبيق المقدمة على الشروط أو النتائج التي تم الحصول عليها مسبقًا.

في الخطوة الأخيرة من إثبات النظرية ، كنتيجة طبيعية ، نحصل على التأكيد الذي كان لابد من إثباته. سنعرض عملية الإثبات باستخدام النظرية التالية كمثال: "أقطار المستطيل متساوية".

في هذه النظرية ، نعطي مستطيلًا عشوائيًا (أي) ، ومن أجل تسهيل التفكير في عملية الإثبات ، نتابع على النحو التالي. نرسم مستطيلًا محددًا جيدًا ABCD ، لكن في الإثبات لن نستخدم أي ميزات معينة لهذا المستطيل (على سبيل المثال ، أن جانبه AB يساوي تقريبًا ضعف الضلع AD ، وما إلى ذلك). لذلك ، تفكيرنا في هذا الأمر مستطيل معينسيكون صحيحًا لأي مستطيل آخر ، أي سيكون لديهم الطابع العاملجميع المستطيلات.

ارسم القطرين AC و BD. النظر في الواردة مثلثات ABCو ABD. في هذين المثلثين ، الزاويتان ABC و BAD متساويتان كزاوية قائمة ، والضلع AB مشترك ، والساقان BC و AD متساويتان كضلاعين متقابلتين من المستطيل. لذلك ، فإن هذه المثلثات متطابقة. هذا يعني أن الجانبين AC و BD متساويان أيضًا ، وهو ما يجب إثباته.

يمكن تمثيل الدليل الكامل لهذه النظرية على أنه المخطط التالي.

رقم الخطوة	الطرود (الحجج)	شروط	الآثار
1.	التعريف: المستطيل شكل رباعي بزوايا قائمة.	ABCD - مستطيل	مستقيم ب> - على التوالي.
2.	نظرية: الزوايا القائمة متساوية.	مستقيم ب - مستقيم.	أ = ب.
3.	نظرية: الجوانب المتقابلة من المستطيل متساوية.	ABCD - مستطيل	BC = م
4.	أول علامة على المساواة بين مثلثين.	BC = AD ، AB = AB ، B = A	ABC = BAD.
5.	تعريف مساواة المثلث.	ABC = BAD ، AC و BD الجانبين	AC = BD.

أصعب شيء في البرهان هو العثور على سلسلة من المقدمات (البديهيات ، النظريات ، التعريفات) ، التي تنطبق على شروط النظرية أو نتائج متوسطة(العواقب) في النهاية ، يمكنك الحصول على النتيجة المرجوة - إثبات الموقف.

ما القواعد التي يجب اتباعها عند البحث عن هذا التسلسل؟ من الواضح أن هذه القواعد لا يمكن أن تكون ملزمة ، فهي تشير فقط الطرق الممكنةبحث. لذلك ، يطلق عليهم قواعد الكشف عن مجريات الأمور أو مجرد الاستدلال (من كلمة اليونانيةيوريكا - العثور ، وجدت). العديد من علماء الرياضيات البارزين مثل باب (عالم الرياضيات اليوناني القديم الذي عاش في القرن الثالث) ، بليز باسكال (1623-1662) ، رينيه ديكارت (1596-1650) ، جاك هادامارد (1865-1963) ، جيورجس بويا (1887) وغيرهم الكثير شاركوا في تطوير الاستدلال لإيجاد براهين للنظريات وحل المشكلات. فيما يلي بعض الاستدلالات التي يجب وضعها في الاعتبار:

1. من المفيد استبدال أسماء الكائنات التي في السؤالفي نظرية (مشكلة) ، تعريفاتها أو سماتها.

على سبيل المثال ، في النظرية التي نوقشت أعلاه ، كنا نتحدث عن مستطيل ، واستخدمنا تعريف المستطيل للإثبات.

2. إذا كان ذلك ممكنًا ، فمن الضروري تقسيم الاقتراح الذي يتم إثباته إلى أجزاء وإثبات كل جزء على حدة.

لذلك ، على سبيل المثال ، إثبات النظرية: "إذا تقاطع الأقطار في الشكل الرباعي وكانت نقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع" - يمكن تقسيمه إلى جزأين: أولاً ، إثبات أن زوجًا واحدًا الأطراف المقابلةإذا كان الشكل الرباعي متوازيًا ، ثم أثبت أن الزوج الثاني من الأضلاع المتقابلة متوازي أيضًا.

يجب أن يتم ذلك دائمًا عندما يكون من الممكن تقسيم التأكيد الذي يتم إثباته إلى عدة أجزاء من تأكيدات أبسط.

3. عند البحث عن إثبات للنظرية ، من المفيد الانتقال من اتجاهين: من شروط النظرية إلى الاستنتاج ومن الاستنتاج إلى الشروط.

على سبيل المثال ، تحتاج إلى إثبات النظرية التالية: "إذا كان هناك تسلسل معين بحيث يكون أي من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين ، فإن هذا التسلسل يكون المتوالية العددية».

لنبدأ من حالة النظرية. ماذا يعطى لنا؟ يعطى أن كل عضو في المتوالية يبدأ من الثاني (نشير إليه أ، حيث n³ 2) ، هو الوسط الحسابي للمصطلحات السابقة والتالية ، أي

أ ن- 1 و أ ن + 1. لذا فإن المساواة التالية صحيحة:
(1)

الآن دعنا ننتقل من الاستنتاج. ماذا نحتاج لإثبات؟ نحتاج إلى إثبات أن هذا التسلسل هو تقدم حسابي. ما هو تسلسل يسمى التقدم الحسابي؟ لنتذكر التعريف:

أ ن = أ ن -1 + د ،أين ن 2 ، د- رقم ثابت. (2)

نقارن الشرط (1) المعطى لنا بالنتيجة (2). لكي يأخذ الشرط شكل استنتاج ، من الضروري تحويله على النحو التالي:

2 أ ن = أ ن -1 + أ ن + 1 ، (3)

من هنا أن- أ ن -1= أ ن + 1 - أ ن. (4)

الجزءان الأيمن والأيسر من (4) يعنيان نفس الشيء ، أي الفرق بين فترتين متتاليتين تسلسل معين. إذا في المساواة (4) صأعط القيم 2 ، 3 ، إلخ على التوالي ، ثم نحصل على: أ 2-أ 1 \ u003d أ 3 - أ 2، ومن بعد أ 3 - أ 2 \ u003d أ 4 - أ 3وهكذا فإن كل هذه الفروق تتساوى مع بعضها البعض ، مما يعني أن الفرق أ ف - أ ص-1 هو رقم ثابت يمكن الإشارة إليه بحرف ، على سبيل المثال ، الحرف d:

أ ن - أ ن -1 = د.

من هنا نحصل على: أ ن = أ ن -1 + د ،مما يعني أنه وفقًا للتعريف (2) ، فإن هذا التسلسل هو تقدم حسابي ، كان علينا إثباته.

يمكن صياغة هذا الاستدلال على النحو التالي: يجب على المرء أن يحاول تقريب الشرط والاستنتاج من النظرية عن طريق تحويلها أو استبدالها بالنتائج الطبيعية.

يُعرف أيضًا عدد من القواعد الاستكشافية الأكثر تحديدًا ، والتي تُستخدم عند البحث عن بعض النظريات فقط. على سبيل المثال ، مثل هذا الكشف عن مجريات الأمور: من أجل إثبات المساواة بين أي قطاعات ، من الضروري إيجاد أو بناء شخصيات تكون جوانبها المقابلة هي هذه الأجزاء ؛ إذا كانت الأرقام متساوية ، فستكون الأجزاء المقابلة متساوية.

عند دراسة النظريات ، لا يجب على المرء أن يحفظ فقط برهانه ، ولكن في كل مرة يفكر ويثبت بالطرق التي تم إثباتها ، ما هي القواعد الإرشادية التي تم اتباعها عند العثور على هذه البراهين ، وكيف خمّنوا (فكروا) في هذه البراهين.

في بعض الحالات ، لإثبات النظريات ، يتم استخدام تقنية خاصة تسمى "الإثبات بالتناقض" أو "الاختزال إلى السخافة".

يكمن جوهر هذه التقنية في حقيقة أنهم يفترضون عدم عدالة (زيف) استنتاج هذه النظرية ويثبتون أن مثل هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع الشرط أو مع النظريات أو المسلمات المثبتة مسبقًا. وبما أن أي بيان يمكن أن يكون إما صحيحًا أو خاطئًا (لا يمكن أن يكون أي شيء آخر) ، فإن التناقض الناتج يوضح أن الافتراض بأن استنتاج النظرية خاطئ ، وبالتالي فإن النتيجة صحيحة ، وبالتالي يتم إثبات النظرية.

لنأخذ مثالا.

نظرية. خطان مستقيمان يوازي كل منهما الآخر بشكل منفصل.

معطى: أ || ج ، ب || ج.
إثبات: أ || ب.

دعونا نثبت هذه النظرية بالتناقض. لنفترض أن استنتاج النظرية خاطئ ، أي أن الخط أ لا يوازي الخط ب. ثم يتقاطعان عند نقطة معينة M. وبما أن كل خط من هذه الخطوط ، وفقًا للشرط ، يوازي الخط c ، فقد اتضح أن الخطين a و b مرسومان خلال النقطة M ، بالتوازي مع نفس الخط c. ونعلم من بديهية التوازي أنه من خلال نقطة خارج الخط ، يمكن رسم خط واحد على الأكثر موازية للخط المعطى. لقد وصلنا إلى تناقض مع البديهية. يوضح هذا أن افتراضنا حول عدم التوازي بين الخطين a و b خاطئ ، وبالتالي ، a || b ، الذي كان مطلوبًا لإثباته.

مثال آخر.

نظرية. المتوسط ​​الحسابي لاثنين أرقام موجبةلا يقل عن (بمعنى: أكبر من أو يساوي) الوسط الهندسي لهذه الأرقام.

يمكن كتابة هذه النظرية على النحو التالي:

حيث أ> 0 ، ب> 0 ، (1)

يمكن إثباته بشكل مباشر ومن خلال التناقض. دعونا نثبت ذلك بالتناقض.

للقيام بذلك ، لنفترض أنه غير صحيح ، أي أن المتوسط ​​الحسابي أقل من المتوسط ​​الهندسي لرقمين موجبين :؛ (2)

بضرب طرفي (2) في 2 وتربيعهما ، نحصل على: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

نتيجة لذلك ، حصلنا على عبث واضح: مربع عدد ما (أ - ب) سالب ، وهو أمر لا يمكن أن يكون كذلك. لذلك ، فإن الافتراض بأن النظرية خاطئة أدى إلى تناقض ، مما يثبت صحة النظرية.

وبالتالي ، فإن الدليل من خلال تناقض بعض النظريات هو أننا نفترض أن استنتاج النظرية خاطئ. ثم نتوصل إلى عدد من الاستنتاجات المنطقية بناءً على هذا الافتراض ، ونتيجة لذلك نصل إلى موقف سخيف بشكل واضح (تناقض مع الشرط أو النظريات المثبتة مسبقًا ، والبديهيات). علاوة على ذلك ، فإننا نجادل على النحو التالي: إذا كان افتراضنا صحيحًا ، فعندئذٍ يمكننا فقط الوصول إلى الاستنتاج الصحيح ، وبما أننا توصلنا إلى نتيجة خاطئة ، فهذا يعني أن افتراضنا كان خاطئًا ، وبالتالي ، من خلال القيام بذلك ، كنا مقتنعين بأن نظرية الاستنتاج صحيحة.

لاحظ أنه إذا لم نحصل على السخافة (التناقض) نتيجة للتفكير ، فإن هذا لا يعني أن الافتراض صحيح. بمعنى آخر ، إذا انطلقنا من صحة (عدالة) خاتمة النظرية ومن هذا الافتراض حصلنا على النتيجة الصحيحة (الواضحة) ، فإن هذا لا يعني أن الافتراض صحيح: قد يحدث أن النظرية الأصلية هو مجرد خطأ.

تم بناء العديد من المغامرات على هذا (استنتاجات مبنية بشكل خاطئ وتبدو صحيحة فقط) ، وهذا يفسر العديد من الأخطاء التي ارتكبت عند حل المشكلات.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، هذه المساواة: أ - ب = ب - أ(1) أين أو ب- أرقام عشوائية. لنفترض أن (1) صحيح ، ثم نربّع كلا الجزأين من (1) ، نحصل على:

أ 2 - 2 أب + ب 2 = ب 2 - 2 أب + أ 2

نقل جميع المصطلحات إلى جانب واحد وتقليل المصطلحات المتشابهة ، نصل إلى مساواة صحيحة تمامًا: 0 = 0. لكن لا يمكن الاستنتاج من هذا أن المساواة الأصلية (1) صحيحة أيضًا. إذا توصلنا إلى مثل هذا الاستنتاج ، لكنا قد توصلنا إلى مثل هذه المغالطة: 2 أ = 2 ب أو أ = ب ، أي أن أي أرقام عشوائية تساوي بعضها البعض. الخطأ هو أن المساواة بين المربعات لرقمين لا تعني المساواة بين هذه الأرقام نفسها. على سبيل المثال ، (-2) 2 = 2 2 لكن -22.

هنا مثال على حل خاطئ للمشكلة.

مهمة. حل المعادلة 3+ س + 2 = 0 (1).

لنفترض أن المعادلة (1) لها حل ، وبالتالي فإن المساواة (1) صحيحة. ثم نحصل على: Z \ u003d - x - 2. نقوم بترتيب كلا الجزأين من المساواة: 9x \ u003d x 2 + 4x + 4 أو x 2 -5x + 4 \ u003d 0 ، وبالتالي x 1 \ u003d 4 ، x 2 \ u003d 1. هل يمكن اعتبار قيم x التي تم العثور عليها بمثابة جذور المعادلة (1)؟ يجيب بعض الطلاب على هذا السؤال بالإيجاب ، لأن جميع تحولات المعادلة صحيحة. ومع ذلك ، لا توجد أي من قيم x التي تم العثور عليها هي جذر (1). هذا يؤكد الشيك. باستبدال القيم التي تم العثور عليها لـ x في (1) ، نحصل على مساواة سخيفة بشكل واضح: 12 = 0 و 6 = 0.

لكن كيف تحل هذه المعادلة؟ لاحظ أن التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة يكون منطقيًا إذا كانت x0. بعد ذلك ، يأخذ الجانب الأيسر من المعادلة لأي قيم مقبولة لـ x قيمًا موجبة فقط ولا يمكن أن تكون مساوية لـ 0 بأي شكل من الأشكال ، وبالتالي ، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

وبالتالي ، يجب أن تتعلم إثبات النظريات (الصيغ ، والهويات ، وما إلى ذلك) ، وإتقان الطرق العامة لإيجاد براهين على النظريات.

ليس فقط كل طالب ، ولكن كل شخص متعلم يحترم نفسه يجب أن يعرف ما هي النظرية وإثبات النظريات. ربما لن تلتقي مثل هذه المفاهيم في الحياة الواقعية ، لكنها ستساعد بالتأكيد في هيكلة الكثير من المعرفة ، بالإضافة إلى استخلاص النتائج. لهذا السبب سننظر في هذه المقالة في طرق إثبات النظريات ، وكذلك التعرف على نظرية فيثاغورس الشهيرة.

ما هي النظرية

إذا أخذنا في الاعتبار مسار الرياضيات المدرسي ، فغالبًا ما توجد مصطلحات علمية مثل النظرية والبديهية والتعريف والإثبات. من أجل التنقل في البرنامج ، تحتاج إلى التعرف على كل من هذه التعريفات. الآن سننظر في ماهية النظرية وإثبات النظريات.

لذا ، فإن النظرية هي عبارة معينة تتطلب إثباتًا. يجب النظر إلى هذا المفهوم بالتوازي مع البديهية ، لأن الأخيرة لا تتطلب إثباتًا. تعريفه صحيح بالفعل ، لذلك يعتبر أمرا مفروغا منه.

نطاق النظريات

من الخطأ الاعتقاد أن النظريات تنطبق فقط على الرياضيات. في الواقع ، هذا بعيد كل البعد عن القضية. على سبيل المثال ، يوجد ببساطة عدد لا يُصدق من النظريات في الفيزياء التي تسمح لنا بالنظر في ظواهر ومفاهيم معينة بالتفصيل ومن جميع الجوانب. وتشمل هذه نظريات أمبير ، شتاينر وغيرها الكثير. تسمح البراهين لهذه النظريات بفهم جيد لحظات القصور الذاتي والإحصاءات والديناميكيات والعديد من مفاهيم الفيزياء الأخرى.

استخدام النظريات في الرياضيات

من الصعب تخيل علم كالرياضيات بدون نظريات وبراهين. على سبيل المثال ، تسمح لك البراهين الخاصة بنظرية المثلث بدراسة جميع خصائص الشكل بالتفصيل. بعد كل شيء ، من المهم جدًا فهم خصائص مثلث متساوي الساقين والعديد من الأشياء الأخرى.

يتيح لك إثبات نظرية المنطقة فهم أسهل طريقة لحساب مساحة الشكل بناءً على بعض البيانات. بعد كل شيء ، كما تعلم ، هناك عدد كبير من الصيغ التي تصف كيف يمكنك إيجاد مساحة المثلث. ولكن قبل استخدامها ، من المهم جدًا إثبات أنها ممكنة ومنطقية في حالة معينة.

كيف تثبت النظريات

يجب أن يعرف كل طالب ما هي النظرية ، وإثبات النظريات. في الواقع ، ليس من السهل إثبات أي بيان. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التعامل مع العديد من البيانات والقدرة على استخلاص استنتاجات منطقية. بالطبع ، إذا كانت لديك معرفة جيدة بالمعلومات حول تخصص علمي معين ، فلن يكون إثبات النظرية أمرًا صعبًا بالنسبة لك. الشيء الرئيسي هو تنفيذ إجراء الإثبات في تسلسل منطقي معين.

لتعلم كيفية إثبات النظريات في تخصصات علمية مثل الهندسة والجبر ، يجب أن يكون لديك قاعدة معرفية جيدة ، وكذلك معرفة خوارزمية الإثبات نفسها. إذا أتقنت هذا الإجراء ، فلن يكون حل المشكلات الرياضية لاحقًا أمرًا صعبًا بالنسبة لك.

ما تحتاج لمعرفته حول إثبات النظرية

ما هي البراهين النظرية والنظريات؟ هذا سؤال يقلق الكثير من الناس في مجتمع اليوم. من المهم جدًا تعلم كيفية إثبات النظريات الرياضية ، فهذا سيساعدك على بناء سلاسل منطقية في المستقبل والتوصل إلى نتيجة معينة.

لذلك ، من أجل إثبات النظرية بشكل صحيح ، من المهم جدًا عمل الرسم الصحيح. على ذلك ، اعرض جميع البيانات التي تم تحديدها في الشرط. من المهم أيضًا كتابة جميع المعلومات التي تم توفيرها في المهمة. سيساعدك هذا على تحليل المهمة بشكل صحيح وفهم القيم الواردة فيها بالضبط. وفقط بعد تنفيذ مثل هذه الإجراءات ، يمكنك المتابعة إلى الإثبات نفسه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى بناء سلسلة من الأفكار بشكل منطقي باستخدام نظريات أو بديهيات أو تعريفات أخرى. يجب أن تكون نتيجة الإثبات هي النتيجة التي لا شك في حقيقتها.

الطرق الرئيسية لإثبات النظريات

في دورة الرياضيات المدرسية ، هناك طريقتان لإثبات نظرية. في أغلب الأحيان ، تستخدم المشاكل الطريقة المباشرة ، وكذلك طريقة الإثبات بالتناقض. في الحالة الأولى ، يقومون ببساطة بتحليل البيانات المتاحة واستخلاص النتائج المناسبة بناءً عليها. يتم أيضًا استخدام الطريقة المعاكسة في كثير من الأحيان. في هذه الحالة ، نفترض العبارة المعاكسة ونثبت أنها خاطئة. وبناءً على ذلك ، نحصل على النتيجة المعاكسة ونقول إن حكمنا كان غير صحيح ، مما يعني أن المعلومات المحددة في الشرط صحيحة.

في الواقع ، يمكن أن يكون للعديد من المسائل الرياضية عدة حلول. على سبيل المثال ، نظرية فيرما لها عدة براهين. بالطبع ، يتم النظر إلى بعضها بطريقة واحدة فقط ، ولكن ، على سبيل المثال ، في نظرية فيثاغورس ، يمكن النظر في العديد منها في وقت واحد.

ما هي نظرية فيثاغورس

بالطبع ، يعرف كل طالب أن نظرية فيثاغورس تنطبق تحديدًا على مثلث قائم الزاوية. وهذا يبدو كالتالي: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل". على الرغم من اسم هذه النظرية ، لم يكتشفها فيثاغورس نفسه ، ولكن قبله بوقت طويل. هناك عدة طرق لإثبات هذا البيان ، وسننظر في بعضها.

وفقًا للبيانات العلمية ، في البداية ، تم اعتبار مثلث متساوي الأضلاع قائم الزاوية. ثم شيدت الساحات من جميع جوانبها. يتكون المربع المبني على الوتر من أربعة مثلثات متساوية مع بعضها البعض. بينما تتكون الأشكال المبنية على الأرجل من اثنين فقط من نفس المثلثات. هذا الدليل على نظرية فيثاغورس هو الأبسط.

النظر في دليل آخر لهذه النظرية. يحتاج إلى استخدام المعرفة ليس فقط من الهندسة ، ولكن أيضًا من الجبر. لإثبات هذه النظرية بهذه الطريقة ، نحتاج إلى إنشاء أربعة مثلثات قائمة بذاتها ، وتوقيع أضلاعها كـ a و b و c.

تحتاج إلى بناء هذه المثلثات بطريقة تجعلنا نحصل على مربعين نتيجة لذلك. سيكون للجانب الخارجي جوانب (أ + ب) ، أما الجانب الداخلي فسيكون له جوانب ج. لإيجاد مساحة المربع الداخلي ، علينا إيجاد حاصل الضرب c * c. ولكن من أجل إيجاد مساحة مربع كبير ، تحتاج إلى جمع مساحات المربعات الصغيرة وإضافة مساحات المثلثات القائمة. الآن ، بعد إجراء بعض العمليات الجبرية ، يمكننا الحصول على الصيغة التالية:

أ 2 + ب 2 \ u003d ج ​​2

في الواقع ، هناك عدد هائل من الأساليب لإثبات النظريات. يمكن اعتبار الأشكال المتعامدة أو المثلثية أو المربعة أو أي أشكال أخرى وخصائصها باستخدام نظريات وبراهين مختلفة. نظرية فيثاغورس ليست سوى دليل على ذلك.

بدلا من الاستنتاج

من المهم جدًا أن تكون قادرًا على صياغة النظريات ، وكذلك إثباتها بشكل صحيح. بالطبع ، مثل هذا الإجراء معقد للغاية ، لأنه من الضروري لتنفيذه ليس فقط أن تكون قادرًا على العمل كمية كبيرةالمعلومات ، ولكن أيضًا لبناء سلاسل منطقية. الرياضيات علم مثير للاهتمام ليس له نهاية ولا ميزة.

ابدأ في دراستها ، ولن تزيد من ذكائك فحسب ، بل ستحصل أيضًا على قدر كبير من المعلومات الشيقة. تولي مسؤولية تعليمك اليوم. من خلال فهم المبادئ الأساسية لإثبات النظرية ، يمكنك الاستفادة من وقتك بشكل جيد.

يمكن أن يكون العثور على برهان رياضي مهمة شاقة ، لكن معرفة الرياضيات والقدرة على تأطير البرهان سيساعدان. لسوء الحظ ، لا توجد طرق سريعة وسهلة لتعلم كيفية حل المشكلات الرياضية. من الضروري دراسة الموضوع بشكل صحيح وحفظ النظريات والتعريفات الرئيسية التي ستكون مفيدة لك عند إثبات فرضية رياضية واحدة أو أخرى. ادرس أمثلة على البراهين الرياضية وقم بتدريب نفسك - سيساعدك ذلك على تحسين مهاراتك.

خطوات

افهم بيان المشكلة

حدد ما تريد البحث عنه.الخطوة الأولى هي معرفة ما يجب إثباته بالضبط. سيحدد هذا ، من بين أمور أخرى ، العبارة الأخيرة في دليلك. في هذه المرحلة ، يجب أيضًا أن تضع بعض الافتراضات التي ستعمل من خلالها. لفهم المشكلة بشكل أفضل والبدء في حلها ، اكتشف ما تحتاج إلى إثباته وقم بعمل الافتراضات اللازمة.

جعل الرسم.عند حل المسائل الرياضية ، من المفيد أحيانًا تصويرها في شكل صورة أو رسم بياني. هذا مهم بشكل خاص في حالة المشكلات الهندسية - يساعد الرسم على تصور الحالة ويسهل بشكل كبير البحث عن حل.

• عند إنشاء رسم أو رسم تخطيطي ، استخدم البيانات المتوفرة في الشرط. قم بتسمية الكميات المعروفة وغير المعروفة في الشكل.
• سيسهل الرسم عليك العثور على الأدلة.

1. ادرس براهين النظريات المماثلة.إذا لم تتمكن من إيجاد حل على الفور ، فابحث عن نظريات مماثلة وانظر كيف تم إثباتها.

   اسال اسئلة.لا بأس إذا لم تتمكن من العثور على دليل على الفور. إذا كان هناك شيء غير واضح بالنسبة لك ، فاسأل معلمك أو زملائك في الفصل عن ذلك. ربما يكون لدى رفاقك نفس الأسئلة ، ويمكنك التعامل معهم معًا. من الأفضل طرح بعض الأسئلة بدلاً من المحاولة مرارًا وتكرارًا للعثور على دليل.

   • اقترب من المعلم بعد الفصل ووضح أي أسئلة غير واضحة.

   اذكر الدليل

   1. صياغة برهان رياضي.البرهان الرياضي هو سلسلة من العبارات التي تدعمها النظريات والتعريفات التي تثبت الافتراض الرياضي. البراهين هي الطريقة الوحيدة لتحديد ما إذا كان البيان صحيحًا بالمعنى الرياضي.

      • تشير القدرة على كتابة برهان رياضي إلى فهم عميق للمشكلة وامتلاك الأدوات اللازمة (lemmas والنظريات والتعريفات).
      • ستساعدك البراهين الصارمة في إلقاء نظرة جديدة على الرياضيات والشعور بقوتها الجذابة. فقط حاول إثبات أي عبارة للحصول على فكرة عن الطرق الرياضية.

   2. ضع في اعتبارك جمهورك.قبل أن تبدأ في تسجيل الأدلة ، يجب أن تفكر في من هو المقصود وأن تأخذ في الاعتبار مستوى معرفة هؤلاء الأشخاص. إذا كتبت إثباتًا لنشره لاحقًا في مجلة علمية ، فسيكون مختلفًا عما يحدث عند قيامك بفرض مدرسي.

      • ستسمح لك معرفة الجمهور المستهدف بكتابة الدليل مع وضع خلفية القارئ في الاعتبار حتى يفهمها.

   3. حدد نوع الإثبات.هناك عدة أنواع من البراهين الرياضية ، واختيار نموذج معين يعتمد على الجمهور المستهدف والمشكلة التي يتم حلها. إذا كنت لا تعرف النوع الذي تختاره ، فاستشر معلمك. في المدرسة الثانوية ، يلزم جمع الأدلة في عمودين.

      • عند كتابة الدليل في عمودين ، يتم إدخال البيانات والبيانات الأولية في عمود واحد ، ويتم إدخال الدليل المقابل لهذه العبارات في العمود الثاني. غالبًا ما يستخدم هذا الشكل من التدوين في حل المشكلات الهندسية.
      • مع وجود سجل أقل رسمية من الأدلة ، يتم استخدام التراكيب الصحيحة نحويًا وعدد أقل من الأحرف. في المستويات الأعلى ، يجب استخدام هذا الترميز.

   4. ارسم البرهان في عمودين.يساعد هذا النموذج على تبسيط الأفكار وحل المشكلة باستمرار. اقسم الصفحة إلى نصفين بخط عمودي واكتب البيانات الأصلية والبيانات التي تليها على الجانب الأيسر. على الجانب الأيمن من كل بيان ، اكتب التعاريف والنظريات المقابلة.

      اكتب إثباتًا من عمودين كدليل غير رسمي.ابدأ بإدخال من عمودين واكتب البرهان في شكل أقصر برموز واختصارات أقل.

      • على سبيل المثال: افترض أن الزاويتين A و B متجاورتان. وفقًا للفرضية ، فإن هذه الزوايا تكمل بعضها البعض. باعتبار الزاوية A والزاوية B متجاورتين ، فإنهما يشكلان خطًا مستقيمًا. إذا كانت جوانب إحدى الزوايا تشكل خطًا مستقيمًا ، فإن هذه الزاوية تساوي 180 درجة. اجمع الزاويتين A و B واحصل على خط مستقيم ABC. وبالتالي ، فإن مجموع الزاويتين A و B يساوي 180 درجة ، أي أن هاتين الزاويتين مكملتان. Q.E.D.

   اكتب الدليل

   1. إتقان لغة الدليل.لتسجيل البراهين الرياضية ، يتم استخدام العبارات والعبارات القياسية. تحتاج إلى تعلم هذه العبارات ومعرفة كيفية استخدامها.

      اكتب جميع البيانات الأصلية.عند تجميع البرهان ، فإن أول شيء يجب فعله هو تحديد وكتابة كل ما ورد في المسألة. في هذه الحالة ، سيكون أمامك جميع البيانات الأولية ، والتي على أساسها تحتاج إلى اتخاذ قرار. اقرأ حالة المشكلة بعناية واكتب كل ما ورد فيها.

   2. حدد كل المتغيرات.بالإضافة إلى تسجيل البيانات الأولية ، من المفيد أيضًا كتابة المتغيرات المتبقية. لتسهيل الأمر على القراء ، اكتب المتغيرات في بداية الإثبات. إذا لم يتم تعريف المتغيرات ، فقد يصاب القارئ بالارتباك وسوء فهم دليلك.

      • لا تستخدم المتغيرات غير المعرفة مسبقًا في الإثبات.
      • على سبيل المثال: في المسألة المذكورة أعلاه ، المتغيرات هي قيم الزاويتين أ و ب.

   3. حاول أن تجد الدليل بترتيب عكسي.العديد من المهام أسهل في الحل بترتيب عكسي. ابدأ بما تحتاج إلى إثباته وفكر في كيفية ربط الاستنتاجات بالفرضية.

      • أعد قراءة خطوات البداية والنهاية ومعرفة ما إذا كانت متطابقة. استخدم الشروط الأولية والتعريفات والبراهين المماثلة من المشاكل الأخرى.
      • اطرح على نفسك أسئلة وامض قدمًا. لإثبات البيانات الفردية ، اسأل نفسك: "لماذا هذا؟" و "هل يمكن أن يكون خطأ؟"
      • لا تنس كتابة الخطوات الفردية بالتسلسل حتى تحصل على النتيجة النهائية.
      • على سبيل المثال: إذا كانت الزاويتان A و B متكاملتان ، فيجب أن يكون مجموعهما 180 درجة. وفقًا لتعريف الزوايا المتجاورة ، تشكل الزاويتان A و B خطًا مستقيمًا ABC. بما أن الخط يشكل زاوية مقدارها 180 درجة ، فإن مجموع الزاويتين أ وب يصل إلى 180 درجة.

   4. رتب خطوات الإثبات الفردية بحيث تكون متسقة ومنطقية.ابدأ من البداية واعمل في طريقك نحو أطروحة يمكن إثباتها. على الرغم من أنه من المفيد أحيانًا البدء في البحث عن دليل من النهاية ، فمن المهم اتباع الترتيب الصحيح عند كتابته. يجب أن تتبع الأطروحات المنفصلة واحدة تلو الأخرى حتى يكون الدليل منطقيًا ولا شك فيه.

      • أولاً ، ضع في اعتبارك الافتراضات التي تم إجراؤها.
      • قم بتأكيد العبارات التي تم الإدلاء بها بخطوات بسيطة وواضحة حتى لا يساور القارئ شك في صحتها.
      • يتعين عليك أحيانًا إعادة كتابة الدليل أكثر من مرة. استمر في تجميع العبارات والبراهين الخاصة بهم حتى تصل إلى الهيكل الأكثر منطقية.
      • على سبيل المثال: لنبدأ من البداية.
        • الزاويتان A و B متجاورتان.
        • تشكل جوانب الزاوية ABC خطًا مستقيمًا.
        • الزاوية ABC تساوي 180 درجة.
        • الزاوية أ + الزاوية ب = الزاوية أ ب ج.
        • الزاوية أ + الزاوية ب = الزاوية 180 درجة.
        • الزاوية أ مكملة للزاوية ب.

   5. لا تستخدم الأسهم والاختصارات في إثباتك.يمكنك استخدام مجموعة متنوعة من الاختصارات والرموز عند العمل مع مسودة ، لكن لا تقم بتضمينها في المسودة النهائية لأنها قد تربك القراء. استخدم كلمات مثل "إذن" و "إذن" بدلاً من ذلك.

      أنهِ البراهين بعبارة "المطلوب إثباته".في نهاية الإثبات يجب أن تكون هناك أطروحة ليتم إثباتها. بعد ذلك ، يجب أن تكتب "ما كان مطلوبًا لإثباته" (يُختصر بـ "ch. t. d." أو رمز على شكل مربع مملوء) - وهذا يعني أن الإثبات قد اكتمل.

      • في اللاتينية ، تتوافق عبارة "ما كان مطلوبًا لإثباته" مع الاختصار Q.E.D. ( مظاهرة quod erat، أي "ما هو مطلوب لعرضه").
      • إذا كنت تشك في صحة الإثبات ، فاكتب بضع جمل حول الاستنتاج الذي توصلت إليه وسبب أهميته.
   • يجب أن تخدم جميع المعلومات الواردة في الدليل تحقيق الهدف. لا تُدرج في الإثبات أي شيء يمكن الاستغناء عنه.

الموضوع 13. النظريات والبراهين

في هذا الموضوع ، ستتعرف على السمة المميزة للرياضيات مقارنة بالفيزياء والعلوم الأخرى - للتعرف فقط على تلك الحقائق أو القوانين التي تم إثباتها. في هذا الصدد ، سيتم تحليل مفهوم النظرية وسيتم النظر في بعض أنواع النظريات والطرق لإثباتها.

09-13-03. سمة مميزة للرياضيات

نظرية

1.1 إذا قارنا الرياضيات والفيزياء ، فسيستخدم كلا العلمين كلاً من الملاحظة والأدلة. إلى جانب الفيزياء التجريبية ، توجد فيزياء نظرية ، يتم فيها إثبات جمل معينة ، مثل النظريات في الرياضيات ، على أساس القوانين الفيزيائية من خلال اشتقاق بعض الأحكام من البعض الآخر تباعاً. ومع ذلك ، يتم التعرف على القوانين الفيزيائية على أنها صحيحة فقط عندما يتم تأكيدها من خلال عدد كبير من التجارب. قد تتغير هذه القوانين بمرور الوقت.

تستخدم الرياضيات أيضًا الملاحظات.

مثال 1. مراقبة ذلك

يمكن افتراض أن مجموع أول ألف فردي الأعداد الطبيعيةيساوي 1000000.

يمكن التحقق من هذا البيان من خلال الحسابات المباشرة ، وقضاء قدر كبير من الوقت.

يمكننا أيضًا وضع افتراض عام أنه بالنسبة لأي عدد طبيعي ، فإن مجموع الأرقام الفردية الأولية يساوي. لا يمكن التحقق من هذه العبارة عن طريق الحسابات المباشرة ، لأن مجموعة جميع الأعداد الطبيعية لا نهائية. ومع ذلك ، فإن الافتراض الذي تم إجراؤه صحيح ، لأنه يمكن إثباته.

مثال 2. يمكننا قياس زوايا العديد من المثلثات .. gif "الارتفاع =" 20 "> ، وهذا صحيح إذا أخذنا الافتراض الخامس لإقليدس كبديهية. ثبتفي الصف السابع.

مثال 3. استبدال في كثير الحدود

بدلاً من الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، نحصل على الأعداد الأولية 43 ، 47 ، 53 ، 61 ، 71 ، 83 ، 97 ، 113 ، 131 ، 151. يمكن افتراض أن قيمة المربع ثلاثي الحدود لأي عدد طبيعي هو رقم اولي. أظهر الفحص أن هذا هو الحال بالفعل بالنسبة لأي عدد طبيعي من 1 إلى 39. ومع ذلك ، مع الافتراض غير الصحيح ، حيث اتضح أنه رقم مركب:

يعد استخدام البراهين بدلاً من الملاحظات لإثبات حقيقة النظريات سمة مميزة للرياضيات.

الاستنتاج الذي تم التوصل إليه على أساس الملاحظات العديدة يعتبر قانونًا رياضيًا فقط عندما يكون ثبت.

1.2 نحن نقتصر على المفهوم الحدسي للإثبات ، باعتباره الاشتقاق المتسق لبعض الافتراضات من البعض الآخر ، دون إجراء تحليل دقيق لمفهوم الاشتقاق أو الاستدلال. دعونا نحلل مفهوم النظرية بمزيد من التفصيل.

عادة ما تسمى النظرية بيانًا ، وحقيقته مثبتة بالدليل. تم تطوير مفهوم النظرية وصقله جنبًا إلى جنب مع مفهوم الإثبات.

بالمعنى الكلاسيكي ، تُفهم النظرية على أنها بيان يتم إثباته من خلال اشتقاق بعض الافتراضات من البعض الآخر. في القيام بذلك ، بعض القوانين الأوليةأو البديهياتالتي يتم قبولها بدون دليل.

لأول مرة ، تم بناء نظام البديهيات في الهندسة من قبل عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس في عمله الشهير في البداية. باتباع البديهيات في عناصر إقليدس ، يتم تقديم النظريات ومشاكل البناء تحت الاسم العام للجملة. النظريات مرتبة في تسلسل صارم.

يتم صياغة كل نظرية أولاً ، ثم يتم توضيح ما تم تقديمه وما يجب إثباته. ثم يتم تقديم الدليل مع جميع الإشارات إلى الافتراضات والبديهيات التي تم إثباتها مسبقًا. أحيانًا ينتهي الإثبات بالكلمات المطلوب إثباتها. ترجمت مبادئ إقليدس إلى جميع اللغات الأوروبية ، بما في ذلك 13 كتابًا ، وظلت حتى القرن الثامن عشر الكتاب المدرسي الوحيد الذي تم من خلاله دراسة الهندسة في المدارس والجامعات.

1.3 لتسهيل التمييز بين ما يتم تقديمه وما يجب إثباته ، تتم صياغة النظريات بالشكل إذا ... ثم .... الجزء الأول من بيان النظرية بين إذا ثم يسمى حالةنظرية ، والجزء الثاني ، الذي كتب بعد ذلك ، يسمى استنتاجالنظريات.

تحتوي حالة النظرية على وصف لما يتم تقديمه والاستنتاج - ما يجب إثباته.

في بعض الأحيان يتم استدعاء تدوين هذه النظرية شكل منطقيالنظريات ، ويتم اختصارها بالشكل if-then.

مثال 4 ضع في اعتبارك النظرية التالية.

إذا كان عددًا طبيعيًا ، فسيكون عددًا فرديًا.

في هذه النظرية ، الشرط هو أن يتم أخذ أي رقم زوجي ..gif "width =" 32 height = 19 "height =" 19 "> هو عدد فردي.

غالبًا ما تتم كتابة الشرط والاستنتاج باستخدام كلمات أخرى.

مثال 5. يمكن كتابة النظرية من المثال 1 بالشكل التالي:

اسمحوا أن يكون عدد طبيعي زوجي. ثم هو رقم فردي.

في هذه الحالة ، بدلاً من كلمة if ، يستخدمون الكلمة let ، وبدلاً من الكلمة ، يكتبون الكلمة بعد ذلك.

مثال 6. يمكن أيضًا كتابة النظرية من المثال 1 بالشكل التالي:

من حقيقة أنه رقم طبيعي زوجي ، يترتب على ذلك أن الرقم .gif "العرض =" 13 "الارتفاع =" 15 "> يشير إلى أن الرقم فردي.

في هذه الحالة ، تم حذف الكلمة if ، وبدلاً من الكلمة ، يتم استخدام الكلمة تعني.

في بعض الأحيان يتم استخدام أشكال أخرى من نظريات الكتابة.

1.4 في بعض الحالات ، لا يتم تدوين حالة النظرية في صياغتها. يحدث هذا عندما يتضح من النص الشكل الذي يمكن أن يتخذه هذا الشرط.

مثال 8. أنت تعرف النظرية: تتقاطع وسطاء المثلث عند نقطة واحدة.

في شكل منطقييمكن كتابة هذه النظرية على النحو التالي:

إذا تم رسم جميع المتوسطات في أي مثلث ، فإن هذه المتوسطات تتقاطع عند نقطة واحدة.

مثال 9: نظرية اللانهاية لمجموعة الأعداد الأولية يمكن كتابتها على النحو التالي:

إذا كانت مجموعة جميع الأعداد الأولية ، فهي لانهائية.

لتأسيس روابط بين النظريات في الرياضيات ، يستخدم المرء لغة خاصةوالتي ستتم مناقشتها جزئيًا في أقسام لاحقة من هذا الفصل.

أسئلة الاختبار

1. ما هي أمثلة الملاحظات في الرياضيات هل تعرف؟

2. ما البديهيات في الهندسة هل تعرف؟

3. ما هو سجل النظرية يسمى الشكل المنطقي للنظرية؟

4. ما يسمى شرط النظرية؟

5. ما يسمى خاتمة نظرية؟

6. ما هي أشكال نظريات الكتابة التي تعرفها؟

المهام والتمارين

1. ما هي الافتراضات التي يمكنك القيام بها من خلال ملاحظة:

أ) ناتج عددين طبيعيين متجاورين ؛

ب) مجموع عددين طبيعيين متجاورين ؛

ج) مجموع ثلاثة أعداد طبيعية متتالية ؛

د) مجموع ثلاثة أعداد فردية.

ه) الأرقام الأخيرة في العشريأرقام .gif "width =" 13 height = 15 "height =" 15 "> ؛

و) عدد الأجزاء التي يقسم إليها المستوى بخطوط مستقيمة مختلفة تمر بنقطة واحدة ؛

ز) عدد الأجزاء التي يقسم إليها المستوى بخطوط مستقيمة مختلفة ، منها الخطوط المستقيمة متوازية ومتقاطعة .gif "width =" 13 "height =" 20 ">. gif" height = "20"> أرقام النموذج ، أين العدد الطبيعي ؛

د) مجموع رقمين غير نسبيين؟

3. ما هو الافتراض الذي يمكنك القيام به من خلال ملاحظة مراكز الدوائر المحصورة حول المثلثات المنفرجة؟

4. اكتب النظرية في الشكل المنطقي:

أ) المبلغ الزوايا الداخليةمحدب https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif "width =" 81 height = 24 "height =" 24 "> ؛

ب) أي اثنين من المستطيلات مثلث متساوي الساقينمماثل؛

ج) المساواة تنطبق على أي أعداد صحيحة و ؛

د) ارتفاع مثلث متساوي الساقين ، مرسومًا على قاعدته ، يقسم الزاوية عند قمة هذا المثلث ؛

ه) لأية أرقام غير سالبة و ؛

و) مجموع زاويتين متقابلتين لشكل رباعي مرسوم في دائرة يساوي 180 ؛

ز) الرقم ليس رقمًا منطقيًا ؛

ح) جميع الأعداد الأولية الأكبر من 10 فردية ؛

ط) أقطار المربع متساوية ومتعامدة ومقسمة عند نقطة التقاطع ؛

ي) من جميع الأشكال الرباعية المدرجة فيها دائرة معينة، المربع به مساحة كبيرة;

ك) يوجد عدد أولي زوجي ؛

ل) لا يمكن تمثيل أي عدد أولي كمجموع عددين طبيعيين فرديين مختلفين ؛

م) مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية الأولى هو مربع عدد طبيعي ما.

5. * اكتب كل من النظريات الواردة في المسألة السابقة بعدة أشكال مختلفة.

الإجابات والتعليمات

مهمة 1. ما هي الافتراضات التي يمكنك القيام بها من خلال الملاحظة:

أ) ناتج عددين طبيعيين متجاورين ؛

ب) مجموع عددين طبيعيين متجاورين ؛

ج) مجموع ثلاثة أعداد طبيعية متتالية ؛

د) مجموع ثلاثة أعداد فردية.

ه)الأرقام الأخيرة بالتدوين العشريمع الطبيعي;

ه) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "العرض =" 9 ارتفاع = 20 "ارتفاع =" 20 "> عدد الأجزاء التي يتم تقسيم المستوى إليها https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif "width =" 17 "height =" 15 "> الخطوط متوازية ومتقاطعة في الاتجاهين.gif "width =" 13 height = 20 "height =" 20 "> عدد الأجزاء التي يتم تقسيم المستوى إليها https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "height =" 20 src = "> يمكن استلام أربعة أرقام فقط:

0 ، 1 ، 5 ، 6 ؛ و) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "height =" 20 src = ">. gif" width = "13" height = "20 src =">. gif "width = "13" ارتفاع = "15"> -gon يساوي;

ب) أي مثلثان متساوي الساقين قائم الزاوية متشابهان ؛

ج) المساواةيحمل أي أعداد صحيحةو;

يجب أن يثبت الجبر النظريات بشكل دوري. ستساعدك النظرية المثبتة في حلها. لذلك ، من المهم للغاية عدم حفظ الدليل آليًا ، ولكن الخوض في جوهر النظرية ، من أجل الاسترشاد بها في الممارسة لاحقًا.

ارسم أولاً رسمًا واضحًا وأنيقًا للنظرية. ضع علامة عليها بأحرف لاتينيةما تعرفه بالفعل. اكتب جميع القيم المعروفة في عمود "المعطى". بعد ذلك ، في عمود "الإثبات" ، قم بصياغة ما يجب إثباته. الآن يمكننا أن نبدأ الدليل. إنها سلسلة من الأفكار المنطقية ، ونتيجة لذلك تظهر حقيقة أي بيان. عند إثبات نظرية ، من الممكن (وأحيانًا ضروريًا) استخدام العديد من الأحكام والبديهيات والتناقض وحتى النظريات الأخرى التي سبق إثباتها.

وبالتالي ، فإن الدليل هو سلسلة من الإجراءات ، ونتيجة لذلك ستحصل على أمر لا يمكن إنكاره. تكمن الصعوبة الأكبر في إثبات النظرية في العثور بالضبط على تسلسل التفكير المنطقي الذي سيؤدي إلى البحث عما هو مطلوب لإثباته.

قسّم النظرية إلى أجزاء ، وإثبات ذلك بشكل منفصل ، في النهاية ستصل إلى النتيجة المرجوة. من المفيد إتقان مهارة "الإثبات بالتناقض" ، وفي بعض الحالات تكون أسهل طريقة لإثبات نظرية بهذه الطريقة. أولئك. ابدأ الإثبات بعبارة "افترض العكس" ، وأثبت تدريجيًا أن ذلك لا يمكن أن يكون كذلك. أنهِ الإثبات بعبارة "لذلك ، البيان الأصلي صحيح. لقد تم إثبات النظرية.

فرانسوا فيت - مشهور عالم رياضيات فرنسي. تسمح لك نظرية فييتا بحل المعادلات التربيعية بطريقة مبسطة ، مما يوفر الوقت المستغرق في الحساب نتيجة لذلك. ولكن من أجل فهم جوهر النظرية بشكل أفضل ، يجب على المرء أن يخترق جوهر الصياغة ويثبتها.

نظرية فييتا

يكمن جوهر هذه التقنية في إيجاد الجذور دون مساعدة المميّز. بالنسبة لمعادلة بالصيغة x2 + bx + c = 0 ، حيث يوجد جذران مختلفان حقيقيان ، فإن عبارتين صحيحة.

البيان الأول يقول أن مجموع الجذور معادلة معينةيساوي قيمة المعامل عند المتغير x (in هذه القضيةهو ب) ولكن مع علامة المعاكس. بصريًا ، يبدو الأمر كما يلي: x1 + x2 = b.

لم تعد العبارة الثانية مرتبطة بالمجموع ، ولكن بحاصل ضرب نفس الجذور. هذا المنتج يساوي معامل حر ، أي ج. أو x1 * x2 = c. تم حل كلا هذين المثالين في النظام.

تبسط نظرية فييتا الحل إلى حد كبير ، لكن لها قيد واحد. يجب اختزال المعادلة التربيعية التي يمكن إيجاد جذورها باستخدام هذه التقنية. في المعادلة أعلاه للمعامل a ، واحد قبل x2 هو يساوي واحد. يمكن اختزال أي معادلة إلى شكل مماثل بقسمة التعبير على المعامل الأول ، لكن هذه العملية ليست دائمًا منطقية.

إثبات النظرية

عليك أولاً أن تتذكر كيف أنه وفقًا للتقاليد ، من المعتاد البحث عن الجذور معادلة من الدرجة الثانية. تم العثور على الجذور الأولى والثانية ، وهي: x1 = (-b-√D) / 2 ، x2 = (-b + √D) / 2. قابلة للقسمة بشكل عام على 2 أ ، ولكن ، كما ذكرنا سابقًا ، لا يمكن تطبيق النظرية إلا عندما يكون a = 1.

من المعروف من نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني بعلامة ناقص. هذا يعني أن x1 + x2 = (-b-D) / 2 + (-b + D) / 2 = −2b / 2 = b.

وينطبق الشيء نفسه على ناتج الجذور غير المعروفة: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (b2-D) / 4. بالمقابل ، D = b2-4c (مرة أخرى ، مع a = 1). اتضح أن النتيجة هي: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c.

من الدليل البسيط أعلاه ، يمكن استخلاص استنتاج واحد فقط: تم تأكيد نظرية فييتا تمامًا.

الصيغة الثانية والإثبات

نظرية فييتا لها تفسير آخر. لنكون أكثر دقة ، إنه ليس تفسيرًا ، بل صياغة. الحقيقة هي أنه إذا تم استيفاء نفس الشروط كما في الحالة الأولى: هناك جذران حقيقيان مختلفان ، فيمكن كتابة النظرية بصيغة مختلفة.

تبدو هذه المساواة كما يلي: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). إذا كانت الوظيفة P (x) تتقاطع عند نقطتين x1 و x2 ، فيمكن كتابتها كـ P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). في الحالة التي يكون فيها P من الدرجة الثانية ، وهذا هو بالضبط ما يبدو عليه التعبير الأصلي ، فإن R هو رقم أولي ، أي 1. هذه العبارة صحيحة لسبب عدم استمرار المساواة. يجب ألا يكون المعامل x2 عند فتح الأقواس أكثر من واحد ، ويجب أن يظل التعبير مربعًا.