حساب تكامل محدد بطريقة المستطيلات. تكامل رقمي

يكاترينبورغ

حساب تكامل محدد

مقدمة

مهمة التكامل العددي للوظائف هي حساب القيمة التقريبية لتكامل معين:

بناءً على سلسلة من قيم التكامل. (f (x) | x = x k = f (x k) = y k).

تسمى الصيغ الخاصة بالحساب العددي لتكامل واحد بالصيغ التربيعية ، مزدوجة ومتعددة - التكعيب.

تتمثل التقنية المعتادة لإنشاء الصيغ التربيعية في استبدال التكامل و f (x) على مقطع بوظيفة استيفاء أو تقريبية g (x) لشكل بسيط نسبيًا ، على سبيل المثال ، متعدد الحدود ، متبوعًا بالتكامل التحليلي. هذا يؤدي إلى العرض

بإهمال المصطلح المتبقي R [f] ، نحصل على الصيغة التقريبية

قم بالإشارة بواسطة y i = f (x i) إلى قيمة التكاملاند عند نقاط مختلفة في يومنا هذا. صيغ التربيع هي صيغ من النوع المغلق إذا كانت x 0 = a ، x n = b.

كدالة تقريبية g (x) ، فإننا نعتبر أن الإقحام متعدد الحدود في شكل كثير حدود لاجرانج:

، حيث ، أين هو المصطلح المتبقي من صيغة لاغرانج.

الصيغة (1) تعطي

, (2)

. (3)

في الصيغة (2) ، تسمى الكميات () العقد ، () - الأوزان ، - خطأ الصيغة التربيعية. إذا تم حساب أوزان () معادلة التربيع بالصيغة (3) ، فإن صيغة التربيع المقابلة تسمى الصيغة التربيعية لنوع الاستيفاء.

لخص.

1. لا تعتمد الأوزان () الخاصة بالصيغة التربيعية (2) لترتيب معين من العقد على نوع التكامل.

2. في المعادلات التربيعية من نوع الاستيفاء ، يمكن تمثيل المصطلح المتبقي R n [f] كقيمة عامل تفاضلي معين على الوظيفة f (x). ل

3. بالنسبة إلى كثيرات الحدود حتى الترتيب n ، تكون الصيغة التربيعية (2) دقيقة ، أي . تسمى أعلى درجة لكثير الحدود والتي تكون صيغة التربيع فيها دقيقة درجة الصيغة التربيعية.

ضع في اعتبارك حالات خاصة من الصيغتين (2) و (3): طريقة المستطيلات ، شبه المنحرف ، القطع المكافئ (طريقة سيمبسون). تعود أسماء هذه الطرق إلى التفسير الهندسي للصيغ المقابلة.

طريقة المستطيل

التكامل المحدد لوظيفة الدالة f (x): يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني الذي يحده المنحنيات y = 0 ، x = a ، x = b ، y = f (x) (الشكل 1).

أرز. 1 المساحة الواقعة أسفل المنحنى y = f (x) لحساب هذه المنطقة ، يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها إلى n فترات فرعية متساوية من الطول h = (b-a) / n. يتم استبدال المنطقة الواقعة أسفل التكامل تقريبًا بمجموع مناطق المستطيلات ، كما هو موضح في الشكل (2).

أرز. 2 يتم تقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى y = f (x) بمجموع مناطق المستطيلات
يتم حساب مجموع مساحات كل المستطيلات بواسطة الصيغة

الطريقة الممثلة بالصيغة (4) تسمى طريقة الصندوق الأيسر ، والطريقة الممثلة بالصيغة (5) تسمى طريقة الصندوق الأيمن:

يتم تحديد الخطأ في حساب التكامل بقيمة خطوة التكامل h. كلما كانت خطوة التكامل أصغر ، كلما كان المجموع المتكامل S يقارب قيمة التكامل الأول بدقة أكبر. وبناءً على ذلك ، يتم إنشاء خوارزمية لحساب التكامل بدقة معينة. يعتبر أن المجموع المتكامل S يمثل قيمة التكامل I بدقة eps ، إذا كان الفرق في القيمة المطلقة بين المجاميع المتكاملة والمحسوبة بالخطوة h و h / 2 ، على التوالي ، لا يتجاوز eps.

لإيجاد تكامل محدد باستخدام طريقة المستطيلات الوسطى ، يتم تقسيم المنطقة التي يحدها الخطان a و b إلى n مستطيلات لها نفس الأساس h ، ستكون ارتفاعات المستطيلات هي نقاط تقاطع الدالة f (x) مع نقاط المنتصف للمستطيلات (ح / 2). سيكون التكامل مساويًا عدديًا لمجموع مناطق n من المستطيلات (الشكل 3).

أرز. 3 المساحة الواقعة أسفل المنحنى y = f (x) يتم تقريبها بمجموع مساحات المستطيلات

n هو عدد أقسام المقطع.

طريقة شبه منحرف

لإيجاد تكامل محدد باستخدام طريقة شبه المنحرف ، يتم أيضًا تقسيم مساحة شبه منحرف منحني الخط إلى n شبه منحرف مستطيل بارتفاعات h وقواعد y 1 ، y 2 ، y 3 ، .. y n ، حيث n هو رقم شبه منحرف مستطيل. سيكون التكامل مساويًا عدديًا لمجموع مناطق شبه المنحرف المستطيل (الشكل 4).

أرز. 4 يتم تقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى y = f (x) بمجموع مناطق شبه المنحنيات المستطيلة.

n هو عدد الأقسام

(6)

يتم تقدير الخطأ في صيغة شبه المنحرف من خلال الرقم

يتناقص خطأ صيغة شبه المنحرف بشكل أسرع مع النمو من خطأ صيغة المستطيل. لذلك ، تسمح لك الصيغة شبه المنحرفة بالحصول على دقة أكثر من طريقة المستطيل.

صيغة سيمبسون

إذا قمنا ببناء كثير حدود من الدرجة الثانية لكل زوج من المقاطع ، ثم قمنا بدمجها في المقطع واستخدام خاصية الجمع للتكامل ، فسنحصل على صيغة Simpson.

في طريقة Simpson لحساب التكامل المحدد ، يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها إلى فترات فرعية متساوية الطول h = (b-a) / n. عدد أقسام الأقسام هو عدد زوجي. بعد ذلك ، في كل زوج من الفترات الفرعية المجاورة ، يتم استبدال الدالة الفرعية f (x) بكثرة حدود لاجرانج من الدرجة الثانية (الشكل 5).

أرز. 5 يتم استبدال الوظيفة y = f (x) على المقطع بكثير الحدود من الرتبة الثانية

ضع في اعتبارك التكامل في الفترة. دعونا نستبدل هذا التكامل مع كثير حدود لاغرانج من الدرجة الثانية التي تتزامن مع y = عند النقاط:

ندمج في الجزء.:

نقدم تغيير المتغيرات:

بالنظر إلى الصيغ البديلة ،

بعد الدمج ، نحصل على صيغة Simpson:

تتطابق القيمة التي تم الحصول عليها من أجل التكامل مع مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها المحور ، والخطوط المستقيمة ، والقطع المكافئ الذي يمر عبر النقاط. في المقطع ، ستبدو صيغة سيمبسون كما يلي:

في صيغة القطع المكافئ ، قيمة الدالة f (x) عند نقاط الانقسام الفردية x 1 ، x 3 ، ... ، x 2 n -1 لها معامل 4 ، عند النقاط الزوجية x 2 ، x 4 ، .. . ، x 2 n -2 - المعامل 2 وعند نقطتين حدوديتين x 0 \ u003d a ، x n \ u003d b - المعامل 1.

المعنى الهندسي لصيغة سيمبسون: مساحة شبه منحني منحني الأضلاع تحت الرسم البياني للوظيفة f (x) على قطعة يتم استبدالها تقريبًا بمجموع مناطق الأشكال الواقعة تحت القطع المكافئ.

إذا كانت الدالة f (x) لها مشتق مستمر من الرتبة الرابعة ، فإن القيمة المطلقة لخطأ صيغة Simpson لا تزيد عن

حيث M هي أكبر قيمة في المقطع. نظرًا لأن n 4 ينمو أسرع من n 2 ، فإن خطأ صيغة Simpson يتناقص مع زيادة n أسرع بكثير من خطأ صيغة شبه المنحرف.

نحسب التكامل

هذا التكامل سهل الحساب:

لنأخذ n يساوي 10 ، h = 0.1 ، ونحسب قيم التكامل عند نقاط التقسيم ، وكذلك نقاط نصف عدد صحيح .

وفقًا لصيغة المستطيلات الوسطى ، نحصل على I مستقيم = 0.785606 (الخطأ 0.027٪) ، وفقًا للصيغة شبه المنحرفة I trap = 0.784981 (الخطأ حوالي 0.054. عند استخدام طريقة المستطيلات اليمنى واليسرى ، الخطأ أكثر من 3٪.

لمقارنة دقة الصيغ التقريبية ، نحسب التكامل مرة أخرى

ولكن الآن بصيغة سيمبسون لـ n = 4. نقسم المقطع إلى أربعة أجزاء متساوية بالنقاط × 0 \ u003d 0 ، × 1 \ u003d 1/4 ، × 2 \ u003d 1/2 ، × 3 \ u003d 3/4 ، × 4 \ u003d 1 وحساب القيم تقريبًا للدالة f (x) \ u003d 1 / (1 + x) في هذه النقاط: y 0 = 1.0000 ، y 1 = 0.8000 ، y 2 = 0.6667 ، y 3 = 0.5714 ، y 4 = 0.5000.

من خلال صيغة سيمبسون ، نحصل عليها

دعونا نقدر خطأ النتيجة التي تم الحصول عليها. بالنسبة للتكامل f (x) = 1 / (1 + x) لدينا: f (4) (x) = 24 / (1 + x) 5 ، ومن هنا يتبع ذلك في المقطع. لذلك ، يمكننا أن نأخذ M = 24 ، والنتيجة الخطأ لا تتجاوز 24 / (2880 × 4 4) = 0.0004. بمقارنة القيمة التقريبية بالقيمة الدقيقة ، نستنتج أن الخطأ المطلق للنتيجة التي تم الحصول عليها بواسطة صيغة Simpson أقل من 0.00011. هذا يتوافق مع تقدير الخطأ المذكور أعلاه ، بالإضافة إلى ذلك ، يشير إلى أن صيغة Simpson أكثر دقة من صيغة شبه المنحرف. لذلك ، يتم استخدام صيغة Simpson للحساب التقريبي للتكاملات المحددة في كثير من الأحيان أكثر من صيغة شبه المنحرف.

مقارنة طرق الدقة

دعونا نقارن الطرق من حيث الدقة ، لذلك سنحسب تكامل الدوال y = x ، y = x + 2 ، y = x 2 ، عند n = 10 و n = 60 ، a = 0 ، b = 10 . القيمة الدقيقة للتكاملات هي على التوالي: 50 ، 70 ، 333. [3)

الجدول 1

يوضح الجدول 1 أن الأكثر دقة هو التكامل الموجود في صيغة Simpson ، عند حساب الدوال الخطية y = x ، y = x + 2 ، تتحقق الدقة أيضًا من خلال طرق المستطيلات الوسطى وطريقة شبه المنحرف ، طريقة المستطيلات اليمنى أقل دقة. يوضح الجدول 1 أنه مع زيادة عدد الأقسام n (زيادة في عدد عمليات الدمج) ، تزداد دقة الحساب التقريبي للتكاملات

التنازل عن العمل المخبري

1) اكتب برامج لحساب تكامل محدد باستخدام طرق: المستطيل الأوسط ، والمستطيل الأيمن ، وشبه المنحرف وطريقة سيمبسون. نفذ تكامل الوظائف التالية:

على مقطع بخطوة ،

3. أداء متغير لمهمة فردية (الجدول 2)

الجدول 2 خيارات المهام الفردية

	الوظيفة f (x)	جزء من التكامل

2) إجراء تحليل مقارن للطرق.

حساب تكامل محدد: مبادئ توجيهية للعمل المخبري في تخصص "الرياضيات الحاسوبية" / شركات. آي إيه سيليفانوفا. يكاترينبورغ: GOU VPO USTU-UPI، 2006. 14 p.

التعليمات موجهة لطلبة جميع أشكال تعليم تخصص 230101 - "حاسبات ومجمعات وأنظمة وشبكات" وبكالوريوس الاتجاه 230100 - "علوم الحاسب وتقنية الحاسب الآلي". بقلم سيليفانوفا إيرينا أناتوليفنا

صورة بيانية:

دعونا نحسب القيمة التقريبية للتكامل. لتقييم الدقة ، نستخدم الحساب بطريقة المستطيلات اليمنى واليسرى.

احسب الخطوة عند التقسيم إلى 10 أجزاء:

يتم تحديد نقاط الانقسام في المقطع على أنها.

نحسب القيمة التقريبية للتكامل باستخدام صيغ المستطيلات اليسرى:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

نحسب القيمة التقريبية للتكامل باستخدام صيغ المستطيلات اليمنى:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

حل مسألة قيمة حدية لمعادلة تفاضلية عادية بطريقة المسح.

للحصول على حل تقريبي لمعادلة تفاضلية عادية ، يمكن استخدام طريقة المسح.

النظر في dp الخطي.

y "" + p (x) y "+ q (x) y = f (x) (1)

بشروط حد خطي من نقطتين

دعنا نقدم الترميز:

تتكون طريقة المسح من "تحرك للأمام" ، يتم فيه تحديد المعاملات:

بعد تنفيذ "الحركة إلى الأمام" ، يشرعون في تنفيذ "الحركة العكسية" ، والتي تتمثل في تحديد قيم الوظيفة المطلوبة وفقًا للصيغ:

باستخدام طريقة المسح ، يؤلف حل لمشكلة القيمة الحدية لمعادلة تفاضلية عادية بدقة ؛ الخطوة ح = 0.05

2 ؛ أ = 1 ؛ = 0 ؛ ب = 1.2 ؛

مشكلة ديريتشليت الخاصة بمعادلة لابلاس بطريقة الشبكة

أوجد دالة متصلة u (x، y) تحقق معادلة لابلاس داخل منطقة مستطيلة

واتخاذ حدود المنطقة مع إعطاء القيم ، أي

حيث تُعطى f l و f 2 و f 3 و f 4 وظائف.

عند تقديم الترميز ، نقرب المشتقات الجزئية وفي كل عقدة شبكة داخلية بمشتقات الفرق المركزية من الدرجة الثانية

واستبدل معادلة لابلاس بمعادلة فرق محدودة

الخطأ في استبدال معادلة تفاضلية بفارق واحد.

تشكل المعادلات (1) مع القيم الموجودة في العقد الحدودية نظامًا من المعادلات الجبرية الخطية للقيم التقريبية للدالة u (x ، y) عند عقد الشبكة. هذا النظام له أبسط أشكال عندما:

عند الحصول على معادلات الشبكة (2) ، تم استخدام مخطط العقد الموضحة في الشكل 1. 1. تسمى مجموعة العقد المستخدمة لتقريب المعادلة عند نقطة ما بالقالب.

الصورة 1

الحل العددي لمسألة Dirichlet لمعادلة لابلاس في مستطيل يتكون من إيجاد القيم التقريبية للوظيفة المرغوبة u (x ، y) في العقد الداخلية للشبكة. لتحديد الكميات ، يلزم حل نظام المعادلات الجبرية الخطية (2).

في هذا البحث ، تم حلها بطريقة Gauss-Seidel ، والتي تتكون من بناء سلسلة من التكرارات للنموذج

(يشير الحرف المرتفع إلى رقم التكرار). من أجل ، يتقارب التسلسل إلى الحل الدقيق للنظام (2). كشرط لإنهاء العملية التكرارية ، يمكن للمرء أن يأخذها

وبالتالي ، فإن خطأ الحل التقريبي الذي تم الحصول عليه بواسطة طريقة الشبكة يتكون من خطأين: خطأ تقريب المعادلة التفاضلية حسب الاختلاف ؛ ناتج عن الحل التقريبي لنظام الفروق المعادلات (2).

من المعروف أن مخطط الاختلاف الموصوف هنا له خاصية الاستقرار والتقارب. يعني استقرار النظام أن التغييرات الصغيرة في البيانات الأولية تؤدي إلى تغييرات صغيرة في حل مشكلة الاختلاف. فقط هذه المخططات منطقية للتطبيق في الحسابات الحقيقية. تقارب المخطط يعني أنه عندما تميل خطوة الشبكة إلى الصفر () ، فإن حل مشكلة الاختلاف يميل بمعنى معين إلى حل المشكلة الأصلية. وبالتالي ، باختيار خطوة صغيرة بما فيه الكفاية h ، يمكن للمرء أن يحل المشكلة الأصلية بشكل تعسفي تمامًا.

باستخدام طريقة الشبكة ، قم بتكوين حل تقريبي لمشكلة Dirichlet لمعادلة لابلاس في المربع ABCD مع الرؤوس A (0 ؛ 0) B (0 ؛ 1) C (1 ؛ 1) D (1 ؛ 0) ؛ الخطوة ح = 0.02. عند حل المشكلة ، استخدم عملية حساب متوسط ليبمان التكرارية حتى يتم الحصول على إجابة بدقة 0.01.

1) احسب قيم الوظيفة على الجانبين:

1. على الجانب AB: حسب المعادلة. ش (0 ؛ 0) = 0 ش (0 ؛ 0.2) = 9.6 ش (0 ؛ 0.4) = 16.8 ش (0 ؛ 0.6) = 19.2 ش (0 ؛ 0.8) = 14.4 ش (0 ؛ 1) = 0
2. الجانب BC = 0
3. على جانب القرص المضغوط = 0

4. على الجانب AD: بالصيغة u (0 ؛ 0) = 0 u (0.2 ؛ 0) = 29.376 u (0.4 ؛ 0) = 47.542 u (0.6 ؛ 0) = 47.567 u (0.8 ؛ 0) = 29.44 ش (1 ؛ 0) = 0
2) لتحديد قيم الوظيفة في النقاط الداخلية للمنطقة باستخدام طريقة الشبكة ، نستبدل معادلة لابلاس المعطاة في كل نقطة بمعادلة فرق محدود وفقًا للصيغة

باستخدام هذه الصيغة ، سنصنع معادلة لكل نقطة داخلية. نتيجة لذلك ، نحصل على نظام المعادلات.

يتم تنفيذ حل هذا النظام بواسطة طريقة Liebman التكرارية. لكل قيمة ، نقوم بتكوين تسلسل نقوم ببنائه للتقارب في المائة. دعونا نكتب العلاقات التي سنجد بها عناصر جميع التسلسلات:

للحسابات باستخدام هذه الصيغ ، من الضروري تحديد القيم الأولية التي يمكن العثور عليها بأي شكل من الأشكال.

3) للحصول على الحل التقريبي الأولي للمشكلة ، نفترض أن الوظيفة u (x ، y) موزعة بشكل موحد على طول أفقية المنطقة.

أولاً ، ضع في اعتبارك خطًا أفقيًا بنقاط حدية (0 ؛ 0.2) و (1 ؛ 0.2).

دعونا نشير إلى القيم المرغوبة للوظيفة عند النقاط الداخلية من خلال.

نظرًا لأن المقطع مقسم إلى 5 أجزاء ، فإن خطوة قياس الوظيفة

ثم نحصل على:

وبالمثل ، نجد قيم الدالة عند النقاط الداخلية لأفقية أخرى. بالنسبة إلى الأفقي ، مع النقاط الحدودية (0 ؛ 0.4) و (1 ؛ 0.4) لدينا

بالنسبة لأفقي بنقاط حدية (0 ؛ 0.6) و (1 ؛ 0.6) لدينا

أخيرًا ، نجد قيم الأفقي بنقاط الحدود (0 ؛ 0.8) و (1 ؛ 0.8).

سنقدم جميع القيم التي تم الحصول عليها في الجدول التالي ، والذي يسمى النمط الفارغ:

تقدير المدة المتبقية من الصيغة:

أو

مهمة الخدمة. هذه الخدمة مخصصة للحساب عبر الإنترنت لتكامل محدد باستخدام صيغة المستطيلات.

تعليمات. أدخل التكامل و f (x) ، انقر فوق حل. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word. يتم أيضًا إنشاء قالب حل في Excel. أدناه هو فيديو تعليمي.

قواعد إدخال الوظيفة

أمثلة
≡ × ^ 2 / (س + 2)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3) هذه أبسط صيغة تربيعية لحساب التكامل ، والتي تستخدم قيمة واحدة للدالة

(8.5.1)
أين ؛ ع = س 1-س 0.
الصيغة (8.5.1) هي الصيغة المركزية للمستطيلات. دعونا نحسب الباقي. دعونا نوسع الدالة y = f (x) عند النقطة 0 في سلسلة تايلور:
(8.5.2)
أين ؛ . ندمج (8.5.2):

(8.5.3)

في المصطلح الثاني ، التكامل فردي ، وحدود التكامل متماثلة بالنسبة للنقطة ε 0. إذن ، التكامل الثاني يساوي صفرًا. وبالتالي ، من (8.5.3) يتبعها .
نظرًا لأن العامل الثاني للمتكامل لا يغير العلامة ، فإننا نحصل على نظرية القيمة المتوسطة ، أين . بعد التكامل ، نحصل على . (8.5.4)
بالمقارنة مع الحد المتبقي من صيغة شبه المنحرف ، نرى أن خطأ صيغة المستطيل أقل مرتين من خطأ صيغة شبه المنحرف. تكون هذه النتيجة صحيحة إذا أخذنا في صيغة المستطيلات قيمة الدالة عند نقطة المنتصف.
نحصل على صيغة المستطيلات والمدة المتبقية من الفترة. دع الشبكة x i = a + ih ، i = 0،1 ، ... ، n ، . ضع في اعتبارك الشبكة ε i = ε 0 + ih ، i = 1،2 ، .. ، n ، ε 0 = a-h / 2. ثم . (8.5.5)
المصطلح المتبقي .
هندسيًا ، يمكن تمثيل صيغة المستطيلات بالشكل التالي:

إذا كانت الوظيفة f (x) معطاة في جدول ، فسيتم استخدام الصيغة اليسرى للمستطيلات (لشبكة موحدة)

أو الصيغة اليمنى للمستطيلات

.
يتم تقدير خطأ هذه الصيغ من خلال المشتق الأول. بالنسبة للفاصل الزمني ، الخطأ هو

; .
بعد التكامل ، نحصل على .

مثال. احسب التكامل ل n = 5:
أ) وفقًا لصيغة شبه منحرف ؛
ب) حسب صيغة المستطيلات.
ج) طبقاً لمعادلة سيمبسون.
د) طبقاً لمعادلة غاوس ؛
هـ) حسب صيغة Chebyshev.
احسب الخطأ.
قرار. بالنسبة لعقد التكامل الخمسة ، ستكون خطوة الشبكة 0.125.
عند الحل ، سنستخدم جدول قيم الوظيفة. هنا f (x) = 1 / x.

	x		و (خ)
× 0	0.5	ذ 0	2
x1	0.625	ذ 1	1.6
x2	0.750	ذ 2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

أ) صيغة شبه منحرف:
أنا = ح / 2 × ؛
أنا = (0.125 / 2) × = 0.696;
R = [- (ب-أ) / 12] × ح × ص ¢¢ (س) ؛
و ¢¢ (س) = 2 / (× 3).
القيمة القصوى للمشتق الثاني للدالة في الفترة هي 16: max (f ¢¢ (x)) ، xн = 2 / (0.5 3) = 16 ، لذلك
R = [- (1-0.5) / 12] × 0.125 × 16 = - 0.0833;
ب) صيغة المستطيلات:
للصيغة اليسرى I = h × (y0 + y1 + y2 + y3) ؛
أنا = 0.125 × (2 + 1.6 + 1.33 + 1.14) = 0.759;
R = [(b-a) / 6] × h 2 × y ¢¢ (x) ؛
R = [(1-0.5) / 6] × 0.125 2 × 16 = 0.02;
ج) صيغة سيمبسون:
أنا = (2 س / 6) × (ص 0 + ص 4 + 4 × (ص 1 + ص 3) + 2 × ص 2) ؛
أنا = (2 × 0.125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1.6 + 1.14) + 2 × 1.33) = 0.693;
R = [- (ب-أ) / 180] × س 4 × ص (4) (س) ؛
و (4) (خ) = 24 / (× 5) = 768 ؛
R = [- (1-0.5) / 180] × (0.125) 4 × 768 = - 5.2 ه-4;
د) صيغة جاوس:
أنا = (ب أ) / 2 × ؛
س أنا = (ب + أ) / 2 + تي أنا (ب أ) / 2
(A i، t i - قيم الجدول).

				ر (ن = 5)		أ (ن = 5)
x1	0.9765	ذ 1	1.02	t1	0.90617985	أ 1	0.23692688
x2	0.8846	ذ 2	1.13	T2	0.53846931	أ 2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	أ 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

أنا = (1-0.5) / 2 × (0.2416 + 0.5408 + 0.7566 + 0.7777 + 0.4525) = 0.6923;
هـ) صيغة Chebyshev:
I = [(b-a) / n] × S f (x i) ، i = 1..n ،
x i = (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - التقليل الضروري لفاصل التكامل إلى الفترة [-1 ؛ 1].
لـ n = 5

t1	0.832498
T2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

لنجد قيم x وقيم الدالة في هذه النقاط:

x1	0,958	و (× 1)	1,043
x2	0,844	و (× 2)	1,185
x3	0,75	f (x3)	1,333
x4	0,656	و (x4)	1,524
x5	0,542	f (x5)	1,845

مجموع قيم الدالة 6.927.
أنا = (1-0.5) /5 × 6.927 = 0.6927.

على العموم صيغة المستطيل الأيسرفي الجزء على النحو التالي (21) :

في هذه الصيغة x 0 = أ ، س ن = ب، لأن أي تكامل بشكل عام يبدو مثل: (انظر الصيغة 18 ).

يمكن حساب h باستخدام الصيغة 19 .

ذ 0 ، ذ 1 ، ... ، ذ ن -1 x 0 ، س 1 ، ... ، x ن -1 (x أنا = س ط -1 + ح).

صيغة المستطيلات اليمنى.

على العموم صيغة المستطيل الصحيحفي الجزء على النحو التالي (22) :

في هذه الصيغة x 0 = أ ، س ن = ب(انظر صيغة المستطيلات اليسرى).

يمكن حساب h باستخدام نفس الصيغة المستخدمة في صيغة المستطيلات اليسرى.

ذ 1 ، ذ 2 ، ... ، ذ نهي قيم الوظيفة المقابلة f (x) عند النقاط x 1 ، س 2 ، ... ، x ن (x أنا = س ط -1 + ح).

صيغة مستطيل متوسط.

على العموم صيغة المستطيل الأوسطفي الجزء على النحو التالي (23) :

أين x أنا = س ط -1 + ح.

في هذه الصيغة ، كما في الصيغ السابقة ، يُطلب من h ضرب مجموع قيم الدالة f (x) ، ولكن ليس فقط عن طريق استبدال القيم المقابلة x 0 ، س 1 ، ... ، x ن -1في الدالة f (x) ، وإضافة إلى كل من هذه القيم ح / 2(x 0 + h / 2، x 1 + h / 2، ...، x n-1 + h / 2) ثم استبدالها فقط في الوظيفة المحددة.

يمكن حساب h باستخدام نفس الصيغة المستخدمة في صيغة المستطيلات اليسرى. "[ 6 ]

في الممارسة العملية ، يتم تنفيذ هذه الأساليب على النحو التالي:

Mathcad ;

تتفوق .

Mathcad ;

تتفوق .

لحساب التكامل باستخدام صيغة متوسط المستطيلات في Excel ، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

استمر في العمل في نفس المستند كما هو الحال عند حساب التكامل باستخدام صيغ المستطيلات اليمنى واليسرى.

أدخل النص xi + h / 2 في الخلية E6 و f (xi + h / 2) في الخلية F6.

أدخل الصيغة = B7 + $ B $ 4/2 في الخلية E7 ، انسخ هذه الصيغة بالسحب إلى نطاق الخلايا E8: E16

أدخل الصيغة = ROOT (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8) في الخلية F7 ، انسخ هذه الصيغة عن طريق السحب إلى نطاق الخلايا F8: F16

أدخل الصيغة = SUM (F7: F16) في الخلية F18.

أدخل الصيغة = B4 * F18 في الخلية F19.

أدخل نص المتوسطات في الخلية F20.

نتيجة لذلك ، نحصل على ما يلي:

الجواب: قيمة التكامل المعطى 13.40797.

بناءً على النتائج التي تم الحصول عليها ، يمكن استنتاج أن صيغة المستطيلات الوسطى أكثر دقة من صيغ المستطيلات اليمنى واليسرى.

1. طريقة مونت كارلو

"الفكرة الرئيسية لطريقة مونت كارلو هي تكرار الاختبارات العشوائية عدة مرات. ومن السمات المميزة لطريقة مونت كارلو استخدام الأرقام العشوائية (القيم العددية لبعض المتغيرات العشوائية). ويمكن الحصول على هذه الأرقام باستخدام مولدات الأرقام العشوائية: على سبيل المثال ، لغة البرمجة Turbo Pascal لها وظيفة قياسية عشوائي، التي تكون قيمها أرقامًا عشوائية موزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني . هذا يعني أنك إذا قسمت المقطع المحدد إلى عدد معين من الفواصل الزمنية المتساوية وقمت بحساب قيمة الدالة العشوائية عددًا كبيرًا من المرات ، فسيقع نفس العدد تقريبًا من الأرقام العشوائية في كل فترة زمنية. في لغة برمجة الحوض ، هناك مستشعر مشابه هو الوظيفة rnd. في جدول البيانات MS Excel ، وظيفة راندإرجاع رقم عشوائي موزع بشكل موحد أكبر من أو يساوي 0 وأقل من 1 (يتغير عند إعادة الحساب) "[ 7 ].

من أجل حسابها ، تحتاج إلى استخدام الصيغة () :