كيفية حل أمثلة طريقة كرامر. أمثلة على حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر

تعتمد طريقة كرامر على استخدام المحددات في حل الأنظمة المعادلات الخطية. هذا يسرع عملية الحل بشكل كبير.

يمكن استخدام طريقة كرامر لحل نظام من عدد من المعادلات الخطية حيث توجد مجاهيل في كل معادلة. إذا كان محدد النظام لا يساوي صفرًا ، فيمكن استخدام طريقة كرامر في الحل ؛ وإذا كانت تساوي صفرًا ، فلا يمكنها ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية التي لها حل فريد.

تعريف. المحدد ، المكون من معاملات المجهول ، يسمى محدد النظام ويشار إليه بـ (دلتا).

المحددات

يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المعاملات في المجهول المقابل بشروط مجانية:

;

.

نظرية كرامر. إذا كان محدد النظام غير صفري ، فإن نظام المعادلات الخطية له حل واحد ، والمجهول يساوي نسبة المحددات. المقام هو محدد النظام ، والبسط هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد النظام عن طريق استبدال المعاملات بالمجهول بشروط مجانية. تنطبق هذه النظرية على نظام المعادلات الخطية من أي ترتيب.

مثال 1حل نظام المعادلات الخطية:

وفق نظرية كرامرنملك:

إذن حل النظام (2):

آلة حاسبة على الانترنت، طريقة حاسمةكرامر.

ثلاث حالات في حل أنظمة المعادلات الخطية

كما يبدو من نظريات كرامر، عند حل نظام المعادلات الخطية ، قد تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام متسق ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية لا يحصىقرارات

(النظام متسق وغير محدد)

** ,

أولئك. معاملات المجهول والمصطلحات الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذا فإن النظام مالمعادلات الخطية مع نالمتغيرات تسمى غير متوافقإذا لم يكن لديها حلول ، و مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل. نظام مشتركالمعادلات التي لها حل واحد فقط تسمى تأكيد، وأكثر من واحد غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر

دع النظام

.

بناء على نظرية كرامر

………….
,

أين
-

معرّف النظام. يتم الحصول على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بأعضاء أحرار:

مثال 2

.

لذلك ، فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب المحددات

من خلال صيغ كرامر نجد:

لذا ، (1 ؛ 0 ؛ -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

إذا لم تكن هناك متغيرات في نظام المعادلات الخطية في معادلة واحدة أو أكثر ، فعندئذٍ في المحدد ، تكون العناصر المقابلة لها مساوية للصفر! هذا هو المثال التالي.

مثال 3حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

.

المحلول. نجد محدد النظام:

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال في الحالات التي يكون فيها عنصر واحد أو أكثر من المحدد يساوي صفرًا. إذن ، المحدد لا يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب محددات المجهول

من خلال صيغ كرامر نجد:

إذن ، حل النظام هو (2 ؛ -1 ؛ 1).

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

أعلى الصفحة

نستمر في حل الأنظمة باستخدام طريقة كرامر معًا

كما ذكرنا سابقًا ، إذا كان محدد النظام يساوي صفرًا ، ولم تكن محددات المجهول مساوية للصفر ، فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول. دعنا نوضح بالمثال التالي.

مثال 6حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

المحلول. نجد محدد النظام:

محدد النظام يساوي صفرًا ، وبالتالي ، فإن نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ومحدّد ، أو غير متسق ، أي ليس له حلول. للتوضيح ، نحسب محددات المجهول

محددات المجهول لا تساوي الصفر ، وبالتالي فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

في المشاكل المتعلقة بأنظمة المعادلات الخطية ، توجد أيضًا تلك التي توجد فيها أحرف أخرى بالإضافة إلى الأحرف التي تشير إلى المتغيرات. تشير هذه الأحرف إلى بعض الأرقام ، وغالبًا ما تكون رقمًا حقيقيًا. في الممارسة العملية ، مثل هذه المعادلات وأنظمة المعادلات تؤدي إلى مشاكل البحث الخصائص المشتركةأي ظواهر أو أشياء. هذا هو ، هل اخترعت أي مواد جديدةأو جهاز ، ولوصف خصائصه الشائعة بغض النظر عن حجم أو عدد النسخ ، من الضروري حل نظام المعادلات الخطية ، حيث توجد أحرف بدلاً من بعض معاملات المتغيرات. ليس عليك البحث بعيدًا عن الأمثلة.

المثال التالي لمشكلة مماثلة ، فقط عدد المعادلات والمتغيرات والحروف التي تدل على بعض الأرقام الحقيقية تزداد.

المثال 8حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

المحلول. نجد محدد النظام:

البحث عن محددات المجهول

طريقة كرامر أو ما يسمى بقاعدة كرامر هي طريقة للبحث عن كميات غير معروفة من أنظمة المعادلات. يمكن استخدامه فقط إذا كان عدد القيم المطلوبة مكافئًا لعدد المعادلات الجبرية في النظام ، أي أن المصفوفة الرئيسية المكونة من النظام يجب أن تكون مربعة ولا تحتوي على صفوف صفرية ، وأيضًا إذا كان المحدد يجب أن لا تكون صفرا.

نظرية 1

نظرية كرامرإذا كان المحدد الرئيسي $ D $ للمصفوفة الرئيسية ، الذي تم تجميعه على أساس معاملات المعادلات ، لا يساوي الصفر ، فإن نظام المعادلات يكون ثابتًا ، وله حل فريد. يتم حساب حل مثل هذا النظام باستخدام ما يسمى بصيغ كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $

ما هي طريقة كريمر

جوهر طريقة كرامر هو كما يلي:

1. لإيجاد حل للنظام بطريقة كرامر ، أولاً وقبل كل شيء ، نحسب المحدد الرئيسي للمصفوفة $ D $. عندما تبين أن المحدد المحسوب للمصفوفة الرئيسية ، عند حسابه بواسطة طريقة كرامر ، يساوي صفرًا ، فإن النظام لا يحتوي على حل واحد أو يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. في هذه الحالة ، للعثور على إجابة عامة أو إجابة أساسية للنظام ، يوصى بتطبيق طريقة Gaussian.
2. ثم تحتاج إلى استبدال العمود الأخير من المصفوفة الرئيسية بعمود الأعضاء الأحرار وحساب المحدد $ D_1 $.
3. كرر الأمر نفسه لجميع الأعمدة ، مع الحصول على المحددات من $ D_1 $ إلى $ D_n $ ، حيث $ n $ هو رقم العمود الموجود في أقصى اليمين.
4. بعد العثور على كافة محددات $ D_1 $ ... $ D_n $ ، يمكن حساب المتغيرات غير المعروفة باستخدام الصيغة $ x_i = \ frac (D_i) (D) $.

تقنيات لحساب محدد المصفوفة

لحساب محدد مصفوفة ذات بُعد أكبر من 2 في 2 ، يمكن استخدام عدة طرق:

• حكم المثلثات ، او حكم ساروس تشبه نفس القاعدة. جوهر طريقة المثلث هو أنه عند حساب محدد حاصل ضرب جميع الأرقام المتصلة في الشكل بخط أحمر على اليمين ، يتم كتابتها بعلامة زائد ، وجميع الأرقام متصلة بطريقة مماثلة في الشكل الموجود على اليسار - بعلامة ناقص. كلتا القاعدتين مناسبتان لمصفوفات 3 × 3. في حالة قاعدة Sarrus ، تتم إعادة كتابة المصفوفة نفسها أولاً ، وبجانبها تتم إعادة كتابة عموديها الأول والثاني مرة أخرى. يتم رسم الأقطار من خلال المصفوفة وهذه الأعمدة الإضافية ، تتم كتابة أعضاء المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي أو الموازي لها بعلامة زائد ، والعناصر الموجودة على القطر الثانوي أو الموازية لها مكتوبة بعلامة ناقص.

الشكل 1. قاعدة المثلثات لحساب المحدد لطريقة كرامر

• باستخدام طريقة تُعرف باسم طريقة Gaussian ، يُشار إلى هذه الطريقة أحيانًا باسم الاختزال المحدد. في هذه الحالة ، يتم تحويل المصفوفة وتقليلها إلى الثلاثي، ثم اضرب جميع الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي. يجب أن نتذكر أنه في مثل هذا البحث عن المحدد ، لا يمكن للمرء أن يضرب أو يقسم الصفوف أو الأعمدة بأرقام دون إخراجها كعامل أو مقسوم. في حالة البحث عن مُحدد ، من الممكن فقط طرح وإضافة صفوف وأعمدة لبعضها البعض ، بعد ضرب الصف المقتطع بواسطة عامل غير صفري. أيضًا ، مع كل تبديل لصفوف أو أعمدة المصفوفة ، يجب على المرء أن يتذكر الحاجة إلى تغيير العلامة النهائية للمصفوفة.
• عند حل Cramer's SLAE مع 4 مجاهيل ، من الأفضل استخدام طريقة Gaussian للبحث والعثور على المحددات أو تحديد المحدد من خلال البحث عن القاصرين.

حل أنظمة المعادلات بطريقة كرامر

نطبق طريقة كرامر لنظام من معادلتين وكميتين مطلوبتين:

$ \ start (الحالات) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end (cases) $

دعنا نعرضها في شكل موسع للراحة:

$ A = \ start (array) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \ end (array) $

ابحث عن محدد المصفوفة الرئيسية ، ويسمى أيضًا المحدد الرئيسي للنظام:

$ D = \ start (array) (| cc |) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot a_4 - a_3 \ cdot a_2 $

إذا لم يكن المحدد الرئيسي مساويًا للصفر ، فعند حل عملية التسطيح باستخدام طريقة كرامر ، من الضروري حساب عدة محددات أخرى من مصفوفتين مع استبدال أعمدة المصفوفة الرئيسية بصف من الأعضاء الأحرار:

$ D_1 = \ start (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end (array) = b_1 \ cdot a_4 - b_2 \ cdot a_4 $

$ D_2 = \ start (array) (| cc |) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \ end (array) = a_1 \ cdot b_2 - a_3 \ cdot b_1 $

لنجد الآن المجهولين $ x_1 $ و $ x_2 $:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

مثال 1

طريقة كرامر لحل SLAE بمصفوفة رئيسية من الدرجة الثالثة (3 × 3) وثلاثة مصفوفة مرغوبة.

حل نظام المعادلات:

$ \ begin (الحالات) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \ end (cases) $

نحسب المحدد الرئيسي للمصفوفة باستخدام القاعدة أعلاه تحت الفقرة رقم 1:

$ D = \ start (array) (| ccc |) 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 4 \ cdot ( -1) + 2 \ cdot (-2) \ cdot 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 4 \ cdot 4 \ cdot 2 - 3 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (- 1) \ cdot 2 \ cdot 3 = - 12-8-12-32-6 + 6 = - 64 دولارًا

والآن هناك ثلاثة محددات أخرى:

$ D_1 = \ start (array) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end (array) = 21 \ cdot 4 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot 2 \ cdot 10 + 9 \ cdot (-1) \ cdot 4 - 4 \ cdot 4 \ cdot 10-9 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 دولارًا أمريكيًا

$ D_2 = \ start (array) (| ccc |) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 9 \ cdot (- 1) + 3 \ cdot 10 \ cdot 4 + 21 \ cdot 2 \ cdot 2 - 4 \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 2 \ cdot 10 \ cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 دولارات

$ D_3 = \ start (array) (| ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end (array) = 3 \ cdot 4 \ cdot 10 + 3 \ cdot (-1) \ cdot 21 + (-2) \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 4 \ cdot 2 - (-2) \ cdot 3 \ cdot 10 - (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 \ u003d 120-63-36-168 + 60 + 27 \ u003d - 60 دولارًا

لنجد القيم المطلوبة:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (- 296) (- 64) = 4 \ frac (5) (8) $

$ x_2 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (108) (-64) = - 1 \ frac (11) (16) $

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $

دع نظام المعادلات الخطية يحتوي على العديد من المعادلات مثل عدد المتغيرات المستقلة ، أي لديه الشكل

تسمى أنظمة المعادلات الخطية هذه من الدرجة الثانية. محدد يتكون من معاملات مستقلة متغيرات النظام(1.5) يسمى المحدد الرئيسي للنظام. سنشير إليه بالحرف اليوناني D. وهكذا ،

. (1.6)

إذا كان في المحدد الرئيسي تعسفيًا ( يث) ، استبدلها بعمود الأعضاء الأحرار في النظام (1.5) ، ثم يمكننا الحصول على المزيد نالمحددات المساعدة:

(ي = 1, 2, …, ن). (1.7)

حكم كرامرحل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية على النحو التالي. إذا كان المحدد الرئيسي D للنظام (1.5) غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد يمكن العثور عليه من خلال الصيغ:

(1.8)

مثال 1.5.حل جملة المعادلات باستخدام طريقة كرامر

.

دعونا نحسب المحدد الرئيسي للنظام:

منذ D¹0 ، يتمتع النظام بحل فريد يمكن العثور عليه باستخدام الصيغ (1.8):

في هذا الطريق،

إجراءات المصفوفة

1. ضرب مصفوفة بعدد.يتم تعريف عملية ضرب المصفوفة برقم على النحو التالي.

2. لكي تضرب مصفوفة في رقم ، عليك أن تضرب كل عناصرها في هذا الرقم. هذا هو

. (1.9)

مثال 1.6. .

إضافة مصفوفة.

يتم تقديم هذه العملية فقط لمصفوفات من نفس الترتيب.

لإضافة مصفوفتين ، من الضروري إضافة العناصر المقابلة من المصفوفة الأخرى إلى عناصر مصفوفة واحدة:

(1.10)
عملية إضافة المصفوفة لها خصائص الترابط والتبادل.

مثال 1.7. .

ضرب المصفوفة.

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة لكنيطابق عدد صفوف المصفوفة في، ثم بالنسبة لمثل هذه المصفوفات ، يتم تقديم عملية الضرب:

2

وهكذا ، عند ضرب المصفوفة لكنأبعاد م´ نإلى المصفوفة فيأبعاد ن´ كنحصل على مصفوفة منأبعاد م´ ك. في هذه الحالة ، عناصر المصفوفة منحسب الصيغ التالية:

مشكلة 1.8.ابحث ، إن أمكن ، عن ناتج المصفوفات ABو بكالوريوس:

المحلول. 1) للعثور على عمل AB، أنت بحاجة إلى صفوف المصفوفة أاضرب في أعمدة المصفوفة ب:

2) العمل الفني بكالوريوسغير موجود ، لأن عدد أعمدة المصفوفة بلا يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة أ.

مصفوفة معكوسة. حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

مصفوفة أ- 1 يسمى معكوس المصفوفة المربعة لكنإذا كانت المساواة:

حيث من خلال أنايعني مصفوفة الهويةنفس ترتيب المصفوفة لكن:

.

لكي يكون للمصفوفة المربعة معكوس ، من الضروري والكافي أن يكون محددها غير صفري. يمكن إيجاد المصفوفة المعكوسة بالصيغة:

, (1.13)

أين أ- الإضافات الجبرية للعناصر aijالمصفوفات لكن(لاحظ أن الإضافات الجبرية إلى صفوف المصفوفة لكنمرتبة في معكوس المصفوفة في شكل أعمدة مقابلة).

مثال 1.9.أوجد معكوس المصفوفة أ- 1 إلى المصفوفة

.

نوجد المصفوفة العكسية بالصيغة (1.13) ، والتي بالنسبة للحالة ن= 3 يشبه:

.

دعونا نجد det أ = | أ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. بما أن محدد المصفوفة الأصلية يختلف عن الصفر ، فإن معكوس المصفوفة موجود.

1) ابحث عن الإضافات الجبرية أ:

من أجل راحة البحث مصفوفة معكوسة، وضعنا الإضافات الجبرية في صفوف المصفوفة الأصلية في الأعمدة المقابلة.

من وردت الإضافات الجبريةيؤلف مصفوفة جديدة ويقسمها على المحدد det أ. وهكذا نحصل على معكوس المصفوفة:

يمكن حل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية ذات المحدد الأساسي غير الصفري باستخدام معكوس المصفوفة. لهذا ، تم كتابة النظام (1.5) شكل المصفوفة:

أين

ضرب طرفي المساواة (1.14) على اليسار بمقدار أ- 1 ، نحصل على حل النظام:

، أين

لذلك ، من أجل إيجاد حل لنظام مربع ، تحتاج إلى إيجاد معكوس المصفوفة للمصفوفة الرئيسية للنظام وضربها على اليمين في مصفوفة العمود للمصطلحات الحرة.

المشكلة 1.10.حل نظام معادلات خطية

باستخدام معكوس المصفوفة.

المحلول.نكتب النظام في شكل مصفوفة: ،

أين هي المصفوفة الرئيسية للنظام ، وهي عمود المجهول ، وهي عمود المصطلحات المجانية. منذ المحدد الرئيسي للنظام ، ثم المصفوفة الرئيسية للنظام لكنلديه مصفوفة معكوسة لكن-واحد . لإيجاد معكوس المصفوفة لكن-1 ، احسب المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة لكن:

من الأرقام التي تم الحصول عليها نقوم بتكوين مصفوفة (علاوة على ذلك ، الإضافات الجبرية إلى صفوف المصفوفة لكناكتب في الأعمدة المناسبة) وقسمها على المحدد D. وهكذا وجدنا معكوس المصفوفة:

تم إيجاد حل النظام بالصيغة (1.15):

في هذا الطريق،

حل أنظمة المعادلات الخطية باستثناءات الأردن العادية

دع نظام المعادلات الخطية التعسفي (ليس بالضرورة مربعًا) يُعطى:

(1.16)

مطلوب لإيجاد حل للنظام ، أي هذه المجموعة من المتغيرات التي ترضي جميع المساواة في النظام (1.16). في الحالة العامةيمكن أن يحتوي النظام (1.16) ليس فقط على حل واحد ، ولكن أيضًا على عدد لا نهائي من الحلول. قد لا يكون لها أيضًا حلول على الإطلاق.

في حل مثل هذه المشاكل المعروفة دورة مدرسيةطريقة القضاء على المجهول والتي تسمى أيضًا طريقة الإزالة الأردنية العادية. يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه في إحدى معادلات النظام (1.16) يتم التعبير عن أحد المتغيرات من حيث المتغيرات الأخرى. ثم يتم استبدال هذا المتغير في معادلات أخرى للنظام. والنتيجة هي نظام يحتوي على معادلة واحدة ومتغير واحد أقل من النظام الأصلي. يتم تذكر المعادلة التي تم التعبير عن المتغير منها.

تتكرر هذه العملية حتى تبقى معادلة أخيرة في النظام. في عملية إزالة المجهول ، يمكن أن تتحول بعض المعادلات إلى هويات حقيقية ، على سبيل المثال. يتم استبعاد مثل هذه المعادلات من النظام ، لأنها صالحة لأي قيم من المتغيرات ، وبالتالي ، لا تؤثر على حل النظام. إذا أصبحت معادلة واحدة على الأقل ، في عملية التخلص من المجهول ، مساواة لا يمكن تلبيتها لأي قيم للمتغيرات (على سبيل المثال ،) ، فإننا نستنتج أن النظام ليس له حل.

إذا لم تظهر أثناء حل المعادلات غير المتسقة ، فسيتم العثور على أحد المتغيرات المتبقية فيها من المعادلة الأخيرة. إذا بقي متغير واحد فقط في المعادلة الأخيرة ، فسيتم التعبير عنه كرقم. إذا بقيت المتغيرات الأخرى في المعادلة الأخيرة ، فإنها تعتبر معلمات ، وسيكون المتغير الذي يتم التعبير عنه من خلالها دالة لهذه المعلمات. ثم ما يسمى ب عكس السكتة الدماغية". يتم تعويض المتغير الموجود في آخر معادلة تم حفظها وإيجاد المتغير الثاني. ثم يتم استبدال المتغيرين اللذين تم العثور عليهما في المعادلة المحفوظة قبل الأخيرة ويتم إيجاد المتغير الثالث وهكذا حتى المعادلة الأولى المحفوظة.

نتيجة لذلك ، نحصل على حل النظام. هذا الحلستكون فريدة إذا كانت المتغيرات الموجودة هي أرقام. إذا كان المتغير الأول الذي تم العثور عليه ، ثم كل المتغيرات الأخرى تعتمد على المعلمات ، فسيكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول (كل مجموعة من المعلمات تتوافق مع حل جديد). الصيغ التي تسمح بإيجاد حل للنظام اعتمادًا على مجموعة معينة من المعلمات تسمى الحل العام للنظام.

المثال 1.11.

x

بعد حفظ المعادلة الأولى وإحضار المصطلحات المتشابهة في المعادلتين الثانية والثالثة ، نصل إلى النظام:

يعبر ذمن المعادلة الثانية واستبدالها في المعادلة الأولى:

تذكر المعادلة الثانية ، ومن الأولى نجدها ض:

بالقيام بخطوة عكسية ، نجد على التوالي ذو ض. للقيام بذلك ، نعوض أولاً في آخر معادلة محفوظة ، والتي نجد منها ذ:

.

ثم نعوض في المعادلة الأولى المحفوظة من حيث نجد x:

المشكلة 1.12.حل نظام المعادلات الخطية بحذف المجهول:

. (1.17)

المحلول.دعونا نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى xواستبدله في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

تذكر المعادلة الأولى

في هذا النظام ، تتعارض المعادلتان الأولى والثانية مع بعضهما البعض. في الواقع ، معربا ذ نحصل على أن 14 = 17. هذه المساواة غير راضية عن أي قيم للمتغيرات x, ذ، و ض. وبالتالي ، فإن النظام (1.17) غير متسق ، أي ، ليس له حل.

القراء مدعوون للتحقق بشكل مستقل من أن المحدد الرئيسي للنظام الأصلي (1.17) يساوي صفرًا.

ضع في اعتبارك نظامًا يختلف عن النظام (1.17) بمصطلح واحد فقط.

المشكلة 1.13.حل نظام المعادلات الخطية بحذف المجهول:

. (1.18)

المحلول.كما في السابق ، نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى xواستبدله في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

تذكر المعادلة الأولى ونقدم مصطلحات متشابهة في المعادلتين الثانية والثالثة. نصل إلى النظام:

تعبير ذمن المعادلة الأولى واستبدالها بالمعادلة الثانية نحصل على الهوية 14 = 14 والتي لا تؤثر على حل النظام وبالتالي يمكن استبعادها من النظام.

في المساواة الأخيرة المحفوظة ، المتغير ضسيعتبر معلمة. نحن نؤمن . ثم

بديل ذو ضفي أول المساواة المحفوظة وتجد x:

.

وبالتالي ، فإن النظام (1.18) لديه مجموعة لا نهائية من الحلول ، ويمكن إيجاد أي حل من الصيغ (1.19) عن طريق اختيار قيمة عشوائية للمعامل ر:

(1.19)
وبالتالي ، فإن حلول النظام ، على سبيل المثال ، هي مجموعات المتغيرات التالية (1 ؛ 2 ؛ 0) ، (2 ؛ 26 ؛ 14) ، إلخ. تعبر الصيغ (1.19) عن الحل العام (أي) للنظام (1.18 ).

في حالة وجود ما يكفي من النظام الأصلي (1.16) عدد كبير منمعادلات ومجهول ، فإن الطريقة المحددة للإلغاء الأردني العادي تبدو مرهقة. ومع ذلك ، فهي ليست كذلك. يكفي اشتقاق خوارزمية لإعادة حساب معاملات النظام في خطوة واحدة نظرة عامةوإضفاء الطابع الرسمي على حل المشكلة في شكل جداول الأردن الخاصة.

دع نظام الأشكال الخطية (المعادلات) يُعطى:

, (1.20)
أين xj- المتغيرات المستقلة (المرغوبة) ، aij- معاملات ثابتة
(أنا = 1, 2,…, م; ي = 1, 2,…, ن). الأجزاء الصحيحة من النظام ذ أنا (أنا = 1, 2,…, م) يمكن أن يكون كلا من المتغيرات (التابعة) والثوابت. مطلوب إيجاد حلول لهذا النظام من خلال القضاء على المجهول.

دعونا ننظر في العملية التالية ، المشار إليها فيما بعد على أنها "خطوة واحدة من استثناءات الأردن العادية". من تعسفي ( صث) المساواة ، نعبر عن متغير عشوائي ( س س) والتعويض في جميع أوجه المساواة الأخرى. بالطبع ، هذا ممكن فقط إذا أ روبية¹ 0. معامل أ روبيةيسمى عنصر الحل (التوجيهي أو الرئيسي في بعض الأحيان).

سوف نحضر النظام القادم:

. (1.21)

من سالمساواة في النظام (1.21) ، سنجد المتغير لاحقًا س س(بعد العثور على المتغيرات الأخرى). سيتم تذكر السطر الثالث ومن ثم استبعاده من النظام. سيحتوي النظام المتبقي على معادلة واحدة ومتغير مستقل واحد أقل من النظام الأصلي.

دعونا نحسب معاملات النظام الناتج (1.21) من حيث معاملات النظام الأصلي (1.20). دعنا نبدء ب صالمعادلة التي ، بعد التعبير عن المتغير س سمن خلال بقية المتغيرات ستبدو كما يلي:

وهكذا ، فإن المعاملات الجديدة صيتم حساب المعادلة بالصيغ التالية:

(1.23)
دعونا الآن نحسب المعاملات الجديدة ب ij(أنا¹ ص) معادلة عشوائية. للقيام بذلك ، نعوض بالمتغير المعبر عنه في (1.22) س سفي أنامعادلة النظام (1.20):

بعد إحضار الشروط المتشابهة ، نحصل على:

(1.24)
من المساواة (1.24) نحصل على الصيغ التي يتم من خلالها حساب المعاملات المتبقية للنظام (1.21) (باستثناء صالمعادلة):

(1.25)
يتم عرض تحويل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الحذف الأردني العادي في شكل جداول (مصفوفات). تسمى هذه الجداول "جداول الأردن".

وعليه فإن المشكلة (1.20) مرتبطة بجدول الأردن التالي:

الجدول 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	س س	…	x ن
ذ 1 =	أ 11	أ 12		أ 1ي		أ 1س		أ 1ن
…………………………………………………………………..
ذ أنا=	أنا 1	أنا 2		aij		أ هو		أ في
…………………………………………………………………..
ص ص=	أ ص 1	أ ص 2		ار جيه		أ روبية		أ رن
………………………………………………………………….
ذ ن=	صباحا 1	صباحا 2		م		مللي		آمين

يحتوي جدول الأردن 1.1 على العمود الرأسي الأيسر ، حيث تتم كتابة الأجزاء اليمنى من النظام (1.20) ، والسطر العلوي ، حيث تتم كتابة المتغيرات المستقلة.

تشكل العناصر المتبقية من الجدول المصفوفة الرئيسية لمعاملات النظام (1.20). إذا ضربنا المصفوفة لكنإلى المصفوفة التي تتكون من عناصر صف الرأس العلوي ، ثم نحصل على المصفوفة المكونة من عناصر عمود الرأس الأيسر. هذا ، في جوهره ، جدول الأردن هو شكل مصفوفة لكتابة نظام من المعادلات الخطية:. في هذه الحالة ، يتوافق جدول الأردن التالي مع النظام (1.21):

الجدول 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	ص ص	…	x ن
ذ 1 =	ب 11	ب 12		ب 1 ي		ب 1 س		ب 1 ن
…………………………………………………………………..
ذ أنا =	ب ط 1	ب ط 2		ب ij		ب هو		سلة مهملات
…………………………………………………………………..
س =	ر 1	ر 2		ب rj		ر		ب rn
………………………………………………………………….
ص ن =	بي ام 1	بي ام 2		bmj		ب مللي ثانية		bmn

عنصر متساهل أ روبية سوف نبرز بخط عريض بخط سميك. تذكر أنه من أجل تنفيذ خطوة واحدة من استثناءات الأردن ، يجب أن يكون عنصر الحل غير صفري. يُطلق على صف الجدول الذي يحتوي على عنصر متساهل اسم الصف المتساهل. العمود الذي يحتوي على عنصر التمكين يسمى عمود التمكين. عند الانتقال من جدول معين إلى الجدول التالي ، متغير واحد ( س س) من صف الرأس العلوي للجدول إلى عمود الرأس الأيسر ، وعلى العكس من ذلك ، يتم نقل أحد الأعضاء الأحرار في النظام ( ص ص) من عمود الرأس الأيسر للجدول إلى صف الرأس العلوي.

دعونا نصف خوارزمية إعادة حساب المعامِلات بالمرور من جدول الأردن (1.1) إلى الجدول (1.2) التالي من الصيغتين (1.23) و (1.25).

1. يتم استبدال عنصر التمكين بالرقم المعكوس:

2 - تقسم العناصر المتبقية من الخط المسموح به على عنصر السماح وإشارة التغيير إلى العكس:

3. العناصر المتبقية من عمود التمكين مقسمة إلى عنصر التمكين:

4. تتم إعادة حساب العناصر التي لم يتم تضمينها في صف الحل وعمود الحل وفقًا للصيغ:

يسهل تذكر الصيغة الأخيرة إذا لاحظت أن العناصر المكونة للكسر ، في التقاطع أنا-أوه و ص-الخطوط و يال و سالأعمدة -th (حل الصف والعمود والصف والعمود عند تقاطع العنصر المراد إعادة حسابه). بتعبير أدق ، عند حفظ الصيغة يمكنك استخدام الرسم البياني التالي:

-21 -26 -13 -37

تنفيذ الخطوة الأولى من الاستثناءات الأردنية ، أي عنصر من عناصر الجدول 1.3 يقع في الأعمدة x 1 ,…, x 5 (جميع العناصر المحددة لا تساوي الصفر). لا يجب عليك فقط تحديد عنصر التمكين في العمود الأخير ، لأن بحاجة إلى إيجاد متغيرات مستقلة x 1 ,…, x 5. نختار ، على سبيل المثال ، المعامل 1 مع متغير x 3 في الصف الثالث من الجدول 1.3 (يظهر عنصر التمكين بخط غامق). عند الانتقال إلى الجدول 1.4 ، فإن المتغير xيتم تبديل الرقم 3 من صف الرأس العلوي بالثابت 0 لعمود الرأس الأيسر (الصف الثالث). في نفس الوقت ، المتغير x 3 يتم التعبير عنها من حيث المتغيرات المتبقية.

سلسلة x 3 (الجدول 1.4) ، بعد أن تذكرت سابقًا ، يمكن استبعادها من الجدول 1.4. يستبعد الجدول 1.4 أيضًا العمود الثالث بصفر في خط الرأس العلوي. النقطة المهمة هي أنه بغض النظر عن معاملات هذا العمود ب ط 3 كل الحدود المقابلة لها من كل معادلة 0 ب ط 3 أنظمة ستساوي صفرًا. لذلك ، لا يمكن حساب هذه المعاملات. حذف متغير واحد x 3 وتذكر إحدى المعادلات ، نصل إلى نظام مطابق للجدول 1.4 (مع شطب الخط x 3). الاختيار في الجدول 1.4 كعنصر حل ب 14 = -5 ، اذهب إلى الجدول 1.5. في الجدول 1.5 ، نتذكر الصف الأول ونستبعده من الجدول مع العمود الرابع (مع صفر في الأعلى).

الجدول 1.5 الجدول 1.6

من الجدول الأخير 1.7 نجد: x 1 = - 3 + 2x 5 .

بالتسلسل استبدال المتغيرات الموجودة بالفعل في السطور المحفوظة ، نجد المتغيرات المتبقية:

وبالتالي ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. عامل x 5 ، يمكنك تعيين قيم عشوائية. هذا المتغير بمثابة معلمة x 5 = ر. أثبتنا توافق النظام ووجدناه قرار مشترك:

x 1 = - 3 + 2ر

x 2 = - 1 - 3ر

x 3 = - 2 + 4ر . (1.27)
x 4 = 4 + 5ر

x 5 = ر

إعطاء المعلمة ر معاني مختلفة، نحصل على عدد لا حصر له من الحلول للنظام الأصلي. لذلك ، على سبيل المثال ، حل النظام هو مجموعة المتغيرات التالية (- 3 ؛ - 1 ؛ - 2 ؛ 4 ؛ 0).

في الجزء الأول ، نظرنا إلى البعض مادة نظريةوطريقة الاستبدال وطريقة إضافة معادلات النظام لكل مصطلح على حدة. لكل من جاء إلى الموقع من خلال هذه الصفحة أنصحك بقراءة الجزء الأول. ربما سيجد بعض الزائرين أن المادة بسيطة للغاية ، لكن أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، صنعت سلسلة من ملاحظات هامةوالاستنتاجات المتعلقة بالقرار مسائل حسابيةعموما.

والآن سنحلل قاعدة كرامر ، وكذلك حل نظام المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة ، بالتفصيل والوضوح ، سيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الأساليب المذكورة أعلاه.

ننظر أولاً إلى قاعدة كرامر بالتفصيل لنظام من معادلتين خطيتين في مجهولين. لاجل ماذا؟ - بعد كل شيء أبسط نظاميمكن حلها بطريقة المدرسة ، عن طريق إضافة الفصل الدراسي!

الحقيقة هي أنه حتى لو في بعض الأحيان ، ولكن هناك مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كرامر. ثانيًا ، سيساعدك مثال أبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر للمزيد حالة صعبة- أنظمة من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك أنظمة من المعادلات الخطية بمتغيرين ، يُنصح بحلها تمامًا وفقًا لقاعدة كرامر!

ضع في اعتبارك نظام المعادلات

في الخطوة الأولى ، نحسب المحدد ، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة جاوس.

إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب أن نحسب محددين آخرين:
و

في الممارسة العملية ، يمكن أيضًا الإشارة إلى المحددات المذكورة أعلاه حرف لاتيني.

تم العثور على جذور المعادلة بواسطة الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام معادلات خطية

المحلول: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا ، في الجانب الأيمن موجودة الكسور العشريةبفاصلة. الفاصلة ضيف نادر في مهام عمليةفي الرياضيات ، أخذت هذا النظام من مشكلة اقتصادية قياسية.

كيف تحل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن أحد المتغيرات من حيث متغير آخر ، ولكن في هذه الحالة ستحصل بالتأكيد على كسور خيالية رهيبة ، والتي من غير الملائم للغاية العمل بها ، وسيبدو تصميم الحل سيئًا. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد في حد ، لكن نفس الكسور ستظهر هنا.

ماذا أفعل؟ في مثل هذه الحالات ، تأتي صيغ كرامر للإنقاذ.

;

;

إجابه: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويتم العثور عليهما تقريبًا ، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمشاكل الاقتصاد القياسي.

التعليقات غير مطلوبة هنا ، نظرًا لأن المهمة يتم حلها وفقًا للصيغ الجاهزة ، ومع ذلك ، هناك تحذير واحد. عند الاستخدام هذه الطريقة, اجباريجزء المهمة هو الجزء التالي: "لذا فإن النظام لديه حل فريد". خلاف ذلك ، قد يعاقب المراجع على عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من الضروري التحقق من ذلك ، وهو أمر مناسب للتنفيذ على الآلة الحاسبة: نحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة من النظام. نتيجة لذلك ، مع وجود خطأ بسيط ، يجب الحصول على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن.

المثال 8

عبر عن إجابتك بشكل عادي الكسور غير الصحيحة. قم بإجراء شيك.

هذا مثال على قرار مستقل(مثال على الإنهاء والإجابة في نهاية الدرس).

ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متسق (ليس له حلول). في هذه الحالة ، لن تساعد قاعدة كرامر ، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا ، يتم حساب الإجابة بواسطة الصيغ:

كما ترى ، لا تختلف حالة "ثلاثة في ثلاثة" بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين" ، عمود المصطلحات الحرة "يمشي" بالتسلسل من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

المثال 9

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

المحلول: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

إجابه: .

في الواقع ، لا يوجد شيء مميز يمكن التعليق عليه هنا مرة أخرى ، بالنظر إلى حقيقة أن القرار يتم اتخاذه وفقًا للصيغ الجاهزة. لكن هناك بضع ملاحظات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات ، يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال ، على سبيل المثال:.
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن هناك جهاز كمبيوتر في متناول اليد ، فسنقوم بذلك:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تصادف لقطة "سيئة" ، يجب أن تتحقق على الفور مما إذا كان سيتم عرضها هو الشرط المعاد كتابته بشكل صحيح. إذا تمت إعادة كتابة الشرط بدون أخطاء ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسيع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم العثور على أخطاء نتيجة الفحص ، فمن المرجح أن يكون قد حدث خطأ إملائي في حالة المهمة. في هذه الحالة ، قم بحل المهمة بهدوء وحذر حتى النهاية ، ثم تأكد من التحققورسمها على نسخة نظيفة بعد القرار. بالطبع ، يعد التحقق من الإجابة الجزئية مهمة غير سارة ، لكنها ستكون حجة مزعجة للمعلم ، الذي ، حسنًا ، يحب حقًا وضع ناقص لأي شيء سيء مثل. تم توضيح كيفية التعامل مع الكسور بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول يدك ، فاستخدم برنامجًا آليًا للتحقق منه ، والذي يمكن تنزيله مجانًا في بداية الدرس. بالمناسبة ، من الأفضل استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل) ، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم الآلة الحاسبة نفسها تلقائيًا بحساب حل النظام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. من وقت لآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات الخاصة بها ، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير ، في الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات ، من المهم جدًا تدوين المحدد الرئيسي بشكل صحيح وحذر:
- يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة ، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار في الصف (العمود) حيث يوجد الصفر ، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من العمليات الحسابية.

المثال 10

قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر.

هذا مثال على الحل الذاتي (إنهاء العينة والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة نظام مكون من 4 معادلات ذات 4 مجاهيل ، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في درس الخصائص المحددة. تخفيض ترتيب المحددات - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل النظام باستخدام معكوس المصفوفة

طريقة المصفوفة العكسية هي أساسًا حالة خاصة معادلة المصفوفة(انظر المثال رقم 3 للدرس المحدد).

لدراسة هذا القسم ، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات ، وإيجاد معكوس المصفوفة وإجراء عملية ضرب المصفوفة. سيتم تقديم الروابط ذات الصلة أثناء تقدم التفسير.

المثال 11

حل النظام بطريقة المصفوفة

المحلول: نكتب النظام على شكل مصفوفة:
، أين

الرجاء النظر في نظام المعادلات والمصفوفات. بأي مبدأ نكتب العناصر في المصفوفات ، أعتقد أن الجميع يفهم. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة في المعادلات ، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد معكوس المصفوفة بالصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولاً ، لنتعامل مع المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد بالسطر الأول.

انتباه! إذا ، فإن معكوس المصفوفة غير موجود ، ومن المستحيل حل النظام بطريقة المصفوفة. في هذه الحالة ، يتم حل النظام عن طريق إزالة المجهول (طريقة غاوس).

أنت الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القاصرين

المرجعي:من المفيد معرفة معنى الأحرف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يوجد فيه العنصر:

أي أن الرمز المنخفض يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث ، بينما ، على سبيل المثال ، العنصر في الصف الثالث والعمود الثاني

اعتبر نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل

باستخدام محددات الدرجة الثالثة ، يمكن كتابة حل مثل هذا النظام بنفس الشكل كما هو الحال بالنسبة لنظام من معادلتين ، أي

(2.4)

إذا 0. هنا

إنها حكم كرامر حل نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل.

مثال 2.3.حل نظام معادلات خطية باستخدام قاعدة كرامر:

المحلول . إيجاد محدد المصفوفة الرئيسية للنظام

منذ 0 ، ثم لإيجاد حل للنظام ، يمكنك تطبيق قاعدة كرامر ، ولكن عليك أولاً حساب ثلاثة محددات أخرى:

فحص:

لذلك ، تم العثور على الحل بشكل صحيح. 

قواعد كرامر مشتقة ل أنظمة خطيةالدرجة الثانية والثالثة ، تشير إلى أنه يمكن صياغة نفس القواعد للأنظمة الخطية من أي ترتيب. حقا يحدث

نظرية كرامر. نظام تربيعي من المعادلات الخطية مع محدد غير صفري للمصفوفة الرئيسية للنظام (0) له حل واحد فقط ، ويتم حساب هذا الحل بواسطة الصيغ

(2.5)

أين  – محدد المصفوفة الرئيسي,  أنا – محدد المصفوفة, مشتق من البديل الرئيسيأناالعمود العاشر الأعضاء الحرة.

لاحظ أنه إذا كانت = 0 ، فإن قاعدة كرامر غير قابلة للتطبيق. هذا يعني أن النظام إما ليس لديه حلول على الإطلاق ، أو أنه يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

بعد صياغة نظرية كرامر ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو حساب محددات الترتيب الأعلى.

2.4 محددات الترتيب التاسع

قاصر إضافي م اي جايعنصر أ اي جاييسمى المحدد الذي تم الحصول عليه من المعطى عن طريق الحذف أنا-الخط و يالعمود. الجمع الجبري أ اي جايعنصر أ اي جاييسمى الصغرى لهذا العنصر ، مأخوذ بعلامة (-1) أنا + ي، بمعنى آخر. أ اي جاي = (–1) أنا + ي م اي جاي .

على سبيل المثال ، لنجد العناصر الثانوية والمكملات الجبرية للعناصر أ 23 و أ 31 محددات

نحن نحصل



باستخدام مفهوم التكملة الجبرية ، يمكننا الصياغة نظرية التوسع المحددنالترتيب حسب الصف أو العمود.

نظرية 2.1. محدد المصفوفةأيساوي مجموع حاصل ضرب جميع العناصر في صف (أو عمود) ما ومكملاتها الجبرية:

(2.6)

هذه النظرية تكمن وراء إحدى الطرق الرئيسية لحساب المحددات ، ما يسمى. طريقة تخفيض الطلب. نتيجة لتوسيع المحدد نالترتيب في أي صف أو عمود ، نحصل على n محددات ( ن–1) الترتيب. من أجل الحصول على عدد أقل من المحددات ، يُنصح باختيار الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. في الممارسة العملية ، عادةً ما تتم كتابة صيغة التوسع للمُحدد على النحو التالي:

أولئك. تتم كتابة الإضافات الجبرية صراحة من حيث القصر.

أمثلة 2.4.احسب المحددات بتوسيعها أولاً في أي صف أو عمود. عادة في مثل هذه الحالات ، اختر العمود أو الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. سيتم تمييز الصف أو العمود المحدد بسهم.



2.5 الخصائص الأساسية للمحددات

بتوسيع المحدد في أي صف أو عمود ، نحصل على محددات n ( ن–1) الترتيب. ثم كل من هذه المحددات ( ن–1) - الترتيب الثالث يمكن أيضًا أن يتحلل إلى مجموع المحددات ( ن- 2) الترتيب. مع استمرار هذه العملية ، يمكن للمرء أن يصل إلى محددات الترتيب الأول ، أي لعناصر المصفوفة التي يتم حساب محدداتها. لذلك ، لحساب محددات الترتيب الثاني ، سيتعين عليك حساب مجموع فترتين ، لمحددات الترتيب الثالث - مجموع 6 شروط ، لمحددات الترتيب الرابع - 24 مصطلحًا. سيزداد عدد المصطلحات بشكل حاد مع زيادة ترتيب المحدد. هذا يعني أن حساب محددات الطلبات العالية جدًا يصبح مهمة شاقة إلى حد ما ، تتجاوز قوة الكمبيوتر. ومع ذلك ، يمكن حساب المحددات بطريقة أخرى ، باستخدام خصائص المحددات.

خاصية 1 . لن يتغير المحدد إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه ، أي عند نقل المصفوفة:

.

تشير هذه الخاصية إلى مساواة صفوف وأعمدة المحدد. بمعنى آخر ، أي بيان حول أعمدة المحدد يكون صحيحًا لصفوفه ، والعكس صحيح.

خاصية 2 . يتم تسجيل تغييرات المحدد عند تبادل صفين (عمودين).

عاقبة . إذا كان المحدد يحتوي على صفين متطابقين (أعمدة) ، فإنه يساوي صفرًا.

الملكية 3 . يمكن إخراج العامل المشترك لجميع العناصر في أي صف (عمود) من علامة المحدد.

فمثلا،

عاقبة . إذا كانت جميع عناصر الصف (العمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا.

الملكية 4 . لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر صف واحد (عمود) إلى عناصر صف آخر (عمود) مضروبًا في بعض الأرقام.

فمثلا،

الملكية 5 . محدد حاصل ضرب المصفوفة يساوي حاصل ضرب محددات المصفوفة: