تعتبر المعادلات ذات المعلمات من بين أكثر المعادلات المهام الصعبةفي رياضيات المدرسة الثانوية. إنها بالضبط مثل هذه المهام التي تنتهي من سنة إلى أخرى في قائمة المهام من النوع B و C في واحدة امتحان الدولةاستعمال. ومع ذلك ، بين عدد كبيرالمعادلات مع المعلمات هي تلك التي يمكن حلها بسهولة بيانيا. لنفكر في هذه الطريقة في مثال حل العديد من المشكلات.

أوجد مجموع قيم الأعداد الصحيحة لـ a التي تكون المعادلة لها | x 2 - 2x - 3 | = أ أربعة جذور.

المحلول.

للإجابة على سؤال المشكلة ، نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف على مستوى إحداثي واحد

ص = | س 2 - 2 س - 3 | و ص = أ.

رسم بياني للدالة الأولى y = | x 2 - 2x - 3 | سيتم الحصول عليها من الرسم البياني للقطع المكافئ y = x 2 - 2x - 3 من خلال العرض بشكل متماثل حول محور الإحداثي لجزء الرسم البياني أسفل محور الثور. سيظل جزء الرسم البياني الموجود أعلى المحور x بدون تغيير.

لنفعل ذلك خطوة بخطوة. الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 - 2x - 3 هو قطع مكافئ ، يتم توجيه فروعه لأعلى. لبناء التمثيل البياني ، أوجد إحداثيات الرأس. يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة x 0 = -b / 2a. وبالتالي ، x 0 \ u003d 2/2 \ u003d 1. للعثور على إحداثيات الجزء العلوي من القطع المكافئ على طول المحور y ، فإننا نستبدل القيمة التي تم الحصول عليها لـ x 0 في معادلة الوظيفة قيد النظر. نحصل على y 0 \ u003d 1-2-3 \ u003d -4. ومن ثم ، فإن إحداثيات رأس القطع المكافئ (1 ؛ -4).

بعد ذلك ، تحتاج إلى إيجاد نقاط تقاطع فروع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات. عند نقاط تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثيات ، تكون قيمة الوظيفة صفرًا. لذلك ، نحن نقرر معادلة من الدرجة الثانيةس 2 - 2 س - 3 = 0. ستكون جذوره هي النقاط المرغوبة. وفقًا لنظرية فييتا ، لدينا x 1 = -1 ، x 2 = 3.

عند نقاط تقاطع فروع القطع المكافئ مع المحور y ، تكون قيمة الوسيطة صفرًا. وبالتالي ، فإن النقطة y = -3 هي نقطة تقاطع فروع القطع المكافئ مع المحور y. يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل 1.

للحصول على الرسم البياني للدالة y = | x 2 - 2x - 3 | ، سنعرض جزء الرسم البياني ، أسفل المحور x ، بشكل متماثل حول المحور x. يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل 2.

التمثيل البياني للدالة y = a هو خط مستقيم يوازي المحور x. وهو موضح في الشكل 3. وباستخدام الشكل نجد أن الرسوم البيانية لها أربع نقاط مشتركة (والمعادلة لها أربعة جذور) إذا كان a ينتمي إلى الفترة (0 ؛ 4).

القيم الصحيحة للرقم أ من الفاصل الزمني المستلم: 1 ؛ 2 ؛ 3. للإجابة على سؤال المسألة ، لنجد مجموع هذه الأرقام: 1 + 2 + 3 = 6.

الجواب: 6.

أوجد الوسط الحسابي للقيم الصحيحة للرقم أ ، والتي تكون معادلتها | س 2-4 | س | - 1 | = أ لها ستة جذور.

لنبدأ بتخطيط الدالة y = | x 2-4 | x | - 1 |. للقيام بذلك ، نستخدم المساواة أ 2 = | أ | 2 وحدد المربع الكامل في تعبير الوحدة الفرعية المكتوب على الجانب الأيمن من الوظيفة:

× ٢ - ٤ | س | - 1 = | س | 2 - 4 | س | - 1 = (| س | 2-4 | س | + 4) - 1-4 = (| س | - 2) 2-5.

ثم ستبدو الوظيفة الأصلية مثل y = | (| x | - 2) 2-5 |.

لإنشاء رسم بياني لهذه الوظيفة ، نقوم ببناء رسوم بيانية متتالية للوظائف:

1) y \ u003d (x - 2) 2-5 - قطع مكافئ برأس عند نقطة ذات إحداثيات (2 ؛ -5) ؛ (رسم بياني 1).

2) y = (| x | - 2) 2 - 5 - يتم عرض جزء القطع المكافئ المبني في الفقرة 1 ، والذي يقع على يمين المحور الإحداثي ، بشكل متماثل على يسار محور Oy ؛ (الصورة 2).

3) ص = | (| س | - 2) 2-5 | - يتم عرض جزء الرسم البياني الذي تم إنشاؤه في الفقرة 2 ، والذي يقع أسفل المحور السيني ، بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور الإحداثيات لأعلى. (تين. 3).

ضع في اعتبارك الرسومات الناتجة:

التمثيل البياني للدالة y = a هو خط مستقيم يوازي المحور x.

بمساعدة الشكل ، نستنتج أن الرسوم البيانية للوظيفة بها ستة النقاط المشتركة(تحتوي المعادلة على ستة جذور) إذا كان a ينتمي إلى الفترة الزمنية (1 ؛ 5).

يمكن ملاحظة ذلك في الشكل التالي:

ابحث عن المتوسط ​​الحسابي لقيم الأعداد الصحيحة للمعلمة a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

الجواب: 3.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

معهد داغستان للتطوير المهني

الطاقم البيداغوجي

قسم التربية البدنية والرياضية وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات

مشروع

حول الموضوع:

«البناء وص الإصلاحات

الرسوم البيانية الوظيفية

في دورة مدرسيةالرياضيات »

رابادانوفا ب.

مدرس رياضيات

MBOU "مدرسة Kochubey الثانوية"

منطقة تاروموفسكي

2015

1. مقدمة ……………………………………………………………………… ..… .3

2. الفصل أنا. مراجعة الأدبيات حول موضوع المشروع ………………………… ..… .5

3. الفصل ثانيًا. الجزء التجريبي:

3.1. الطرق الأساسية لتحويل الرسوم البيانية للوظائف ……….… .7

3.2. التآمر حتىوالدوال الفردية …………… .. 10

3.3. التخطيط وظيفة عكسية………………………... 11

3.4. تشوه (ضغط وتوتر) الرسوم البيانية………………….12

3.5. الجمع بين النقل والانعكاس والتشوه ...... 13

4. مهام الحل المستقل …………………… ..…… 14

5. الاستنتاج …………………………………………………………………………… .. 15

6. الاستنتاجات ……………………………………………………………… .. ……… 17

المقدمة

يعد تحويل الرسوم البيانية للوظائف أحد المفاهيم الرياضية الأساسية المرتبطة مباشرة بالأنشطة العملية. تعكس الرسوم البيانية التباين والديناميكية العالم الحقيقي, العلاقات المتبادلةأشياء وظواهر حقيقية.

الخط الوظيفي هو الموضوع الأساسي الذي يتم تناوله في امتحانات الدولة الأساسية والموحدة.أيضا العديد مفاهيم رياضيةتعتبر من خلال طرق الرسم. على سبيل المثال ، لمن الدرجة الثانيةيتم تقديم الوظيفة ودراستها في اغلق الاتصالمع المعادلات التربيعية وعدم المساواة.ومن ثم يتبع ذلكيعد تعليم الطلاب كيفية بناء وتحويل الرسوم البيانية لوظيفة واحدة من المهام الرئيسية لتدريس الرياضيات في المدرسة.

دراسة الوظيفة تجعل من الممكن العثور عليهامجال التعريف ونطاق الوظيفة والنطاقتناقص أو زيادة المعدلات ، الخطوط المقاربة ، الفتراتعلامة الثبات ، إلخ. ومع ذلك ، لبناء رسم بيانييمكن أن يكون kov العديد من الوظائفاستخدم عددًا من الطرقاجعلها اسهلبناء. لذلك ، يجب أن يتمتع الطلاب بالكفاءة لبناء الرسوم البيانية وفقًا لمخططات منهجية.

ما ورد أعلاه يعرّفملاءمة مواضيع البحث.

موضوع الدراسة هو دراسة تحويل الرسوم البيانية الخطية الوظيفية إلى رياضيات المدرسة.

موضوع الدراسة - عملية بناء وتحويل الرسوم البيانية للوظائف في مدرسة ثانوية.

الغرض من الدراسة: تعليمي - يتكون في تحديد مخطط منهجي لإنشاء وتحويل الرسوم البيانية للوظيفة ؛تطوير - تطوير الخوارزمية المجردة ، التفكير المنطقي، الخيال المكاني.التعليمية - تعليم الثقافة التصويرية لأطفال المدارس ، وتكوين المهارات العقلية.

الأهداف أدت إلى قرار ما يليمهام:

1. تحليل تعليمي ومنهجي على المشكلة قيد الدراسة.

2. تحديد المخططات المنهجيةتحويل الرسوم البيانية الوظيفية في مقرر الرياضيات بالمدرسة.

3. حدد أكثر طرق فعالةوالأموالبناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية في مدرسة ثانويةالمساهمة في: الاستيعاب الهادف المواد التعليمية؛ مقوي النشاط المعرفيالطلاب؛ تنمية قدراتهم الإبداعية.

فرضيةابحاث: سوف تكوين المهارات الرسومية في عملية دراسة الوظائف وتعليم الثقافة الرسومية للطلاب فعال إذا كان لدى الطلاب مخطط منهجي لبناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية في دورة الرياضيات المدرسية.

الفصل أنا . مراجعة الأدبيات حول موضوع المشروع.

استعدادًا للمشروع ، درسنا الأدبيات التالية:

Sivashinsky، I. Kh. نظريات ومشاكل في الجبر ، وظائف الابتدائية- م ، 2002. - 115 ص.

Gelfand، I. M.، Glagoleva، E.G، Shnol، E.E. الوظائف والرسوم البيانية (التقنيات الأساسية) - M.، 1985. - 120 s

V.Z.Zaitsev ، V.V. ريجكوف ، م. سكانافي. الرياضيات الابتدائية - M. ، 2010 (إعادة إصدار). - 590 ص.

كوزمين ، إم ك. بناء رسم بياني لوظيفة - J. الرياضيات في المدرسة. - 2003. - رقم 5. - ص 61-62.

شيلوف ج. كيف نبني الرسوم البيانية؟ - م ، 1982.

إسحاق تاناتار. التحولات الهندسيةالرسوم البيانية الوظيفية - MTsNMO ، 2012

فيلوحظ أن القدرة على "قراءة" سلوك دالة على مجموعة معينة باستخدام رسم بياني يجد التطبيق ليس فقط في سياق الرياضيات ، ولكن أيضًا في أي الأنشطة العمليةالشخص الذي عليه أن يتعامل مع بعض الصور الرسوميةالتبعيات. لذلك ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على تحديد بعض خصائصه من الرسم البياني للدالة.

المادة النظرية لتحويل الرسوم البيانية مذكورة بدقة في. هذه التقنية مصحوبة برسوم توضيحية وأمثلة متفاوتة التعقيد وحلولها ، مما يجعل من الممكن تعميق المعرفة ورسم وظائف معقدة.

يمثل الكترونيا دورة تدريبية، يتوافق حجمها ومحتواها مع متطلبات مقرر الرياضيات في المدرسة الثانوية المدرسة الثانوية. يتم دعم المواد النظرية من خلال الرسوم التوضيحية الرسوم المتحركة التي تعطي تمثيلات بصريةحول الموضوع قيد الدراسة. تتضمن الدورة ثلاث وحدات: وحدة تعليمية مادة نظرية، وحدة الاختبار الذاتي ووحدة التحكم في المعرفة.

من ، مخططات الرسوم البيانية المنهجية ، تم استخدام أمثلة للعمل المستقل للجزء التجريبي من المشروع.

استنتاجات للفصل الأول

سمحت دراسة الأدب التربوي والمنهجي بما يلي:

1. تحديد مخطط منهجيدراسة وبناء وتحويل الرسوم البيانية لوظيفة ما في دورة الرياضيات المدرسية.

2. حدد أكثر الطرق والوسائل فعاليةبناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية في الرياضيات المدرسية ،المساهمة:

الاستيعاب الهادف للمواد التعليمية ؛

زيادة النشاط المعرفي للطلاب ؛

تنمية قدراتهم الإبداعية.

3. تبين ذلك الخط الوظيفي له تأثير كبير في الدراسة مفاهيم مختلفةفي الرياضيات.

الفصل 2. جزء تجريبي

في هذا الفصل ، سننظر في الطرق الرئيسية لتحويل الرسوم البيانية للوظائف ، وسنقدم مخططات منهجية لبناء مجموعات مختلفة من الرسوم البيانية للوظائف المختلفة.

2.1. التقنيات الأساسية لتحويل الرسومات الوظيفية

الترجمة على طول المحور ص

F ( x ) F ( x )+ ب .

إلى عن علىبالتآمر على وظيفةذ = F( x) + بأثرم:

1. بناء الرسم البياني للدالةذ= F( x)

2. تحريك المحورالإحداثي على| ب| وحدات تصل فيب>0 او عند| ب| تأكليسجد عندب < 0. وردت في نظام جديدكورمخطط دينات هو الرسم البياني للدالةذ = F( x) + ب.

2. التحويل على طول المحاور الإحداثي السيني

F ( x ) F ( x + أ ) .

ذ = F( x+ أ) أثرم:

3. رسم دالة في النموذج ذ = F (- x )

F (x ) F (- x ).

لرسم وظيفةذ = F( - خ) ما يلي:

مؤامرة وظيفةذ = F( x)

عكسها مرة أخرىبالنسبة لمحور ص

الرسم البياني الناتج هوالرسم البياني للوظيفةذ = F( - X).

4. رسم دالة للنموذج ص = - F ( x )

F ( x ) - F ( x )

- F( x) يتبع:

مؤامرة وظيفةذ= F( x)

تعكسه حول المحور السيني

2.2. التآمر حتى و ميزات غريبة

عند التخطيطحتى ولا دالة زوجيةمناسب للاستخدام الخصائص التالية:

1. رسم بياني لوظيفة زوجية simmetتزداد نسبة إلى المحور ص.

2. برنامج وظيفة غريبةمتماثل حول الأصل.

لرسم الدوال الزوجية والفردية ، يكفي رسم الفرع الأيمن فقط من الرسم البياني لـ القيم الإيجابيةجدال. يكتمل الفرع الأيسر بشكل متماثل حول أصل دالة فردية وحول المحور y للدالة الزوجية.

لرسم دالة زوجية ذ = F ( x ) بعد، بعدما دويتو:

إنشاء فرع من الرسم البياني لهذه الوظيفة فقط فينطاق القيم الموجبة للوسيطة x≥0.

اتتبع هذا الفرع حول المحور ص

لرسم دالة فردية ذ = F ( x ) يتبع:

بناء فرع الرسم البياني لهذه الوظيفة فقط فيمنطقة القيم الموجبة للوسيطة (х≥0).

اتتبع هذا الفرع فيما يتعلق بالأصلللمنطقة القيم السالبة X.

2.3 رسم الدالة العكسية

كما لوحظ بالفعل ، الدالات المباشرة والعكسيةتظهر نفس العلاقة بين المتغيراتx و y ، مع الاختلاف الوحيد بينهما في الدالة العكسيةلقد تغيرت المتغيرات الأدوار ، وهو ما يعادل التغييرتدوين محاور الإحداثيات. لذلك ، الرسم البيانيالدالة العكسية متناظرة مع الرسم البياني للدالة المباشرةحول المنصفأناوثالثاتنسيق الزوايا ،أي مستقيم نسبيًاص = س. وهكذا نحصلالقاعدة التالية.

لرسم الدالة y = (x) معكوس للدالةذ = F( x) ، يجب بناؤهابرنامجذ = F( x) وعكسها بالنسبة للخط المستقيم y = x.

2.4 تشوه (ضغط وتوتر) الرسوم البيانية

1. ضغط (توسيع) الرسم البياني على طول المحور ص

F ( x ) أ ∙ F ( x ).

لرسم وظيفةذ= أ∙ F( x) يتبع:

8. ضغط (توسيع) الرسم البياني على طول المحور السيني

F( x)

لرسم وظيفة y= F( x) يتبع:

2.5 مزيج من الترجمة والانعكاس والتشويه

في كثير من الأحيان عند رسم الرسوم البيانية للوظائف لـتغيير التركيبة.

التطبيق المتسق لعدد من تقنيات الموقف هذهيسمح لتبسيط بناء الرسم البياني بشكل ملحوظ باستخدامتشغيل وظيفة وتقليلها في كثير من الأحيان في النهاية إلىبناء واحدة من أبسط الوظائف الأوليةنشوئها. تأمل كيف سيتبع ذلك ، في ضوء ما تقدمبناء الرسوم البيانية للوظائف.

دعونا نلاحظ أن الوقت قد حانيُنصح بتنفيذ رصيف التبسيط في الخلف التالينيس.

باستخدام التكافؤ أووظيفة الغرابة.

نقل المحاور.

انعكاس وتشوه.

يتم إنشاء الرسم البياني بترتيب عكسي.

مثال. ارسم دالة

سيتم تنفيذ البناء في الخطوات التالية:

1. بناء رسم بياني اللوغاريتم الطبيعي :

2. ضغطعلى المحورOY2 مرات:;
3. عرض بشكل متماثلحول المحورOY: ;
4. التحرك على طول المحورثورعلى ال(!!!) إلى اليمين::

5. عرض متماثل حول المحورثور: ;
6. التحركعلى طول المحورOY3 وحدات تصل::

أمثلة على البناء وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية

مثال 1 ارسم دالة.

أولاً ، ارسم مخططًا للجيب ، فدورته تساوي:

الرسم البياني للوظيفةتم الحصول عليها عن طريق ضغط الرسم البيانيمرتين للمحور ص.سجل .

ارسم دالةفي = 2 كوسX.

ارسم دالةذ = الخطيئةx .

استنتاج

أثناء العمل على مشروع العملمختلف الأدب التربويبشأن هذه المسألة. أتاحت نتائج الدراسة تحديد أكثر الخصائص المميزة الجوانب الإيجابيةدراسةوبناء وتحويل الرسوم البيانية لوظيفة ما في دورة الرياضيات المدرسية

الهدف الرئيسي للمشروع هو تطوير مهارات الطلاب وقدراتهم في قراءة الرسومات ورسمها ، في تكوين طرق عقلانية للنشاط المستقل.

إن الحاجة إلى تحسين تعليم الرسم ككل لا تمليه فقط المتطلبات الحديثةالإنتاج ، ولكن أيضًا دور الرسومات في التطوير التفكير التقنيو القدرات المعرفيةالطلاب. تعد قدرة الشخص على معالجة المعلومات الرسومية أحد مؤشراته التطور العقلي والفكري. لذلك ، يجب أن يصبح التدريب على الرسم جزءًا لا يتجزأ من التدريب التعليمي العام.

الاستنتاجات

وهكذا ، فإن المشروع المطور "إنشاء وتحويل الرسوم البيانية للوظيفة" ، مكرس لأحد المفاهيم المركزيةالرياضيات - الاعتماد الوظيفي ، الذي يركز على تنظيم وتوسيع معرفة الطلاب. يتم إجراء دراسة الطرق المحددة لتحويل الرسوم البيانية للوظائف عن طريق التحليل بيانياوفقًا لإرشادات صارمة. يمكن استخدام المواد التي تم جمعها في الفصل وللتدريب الذاتي للطلاب. يمكن استخدام مجموعة متنوعة من أشكال وطرق التنظيم والتدريب لإجراء الفصول الدراسية.

في درس الفيديو هذا ، موضوع "الوظيفة ص \ u003d × 2. حل رسوميالمعادلات ". خلال هذا الدرس ، سيتمكن الطلاب من التعرف على طريقة جديدة لحل المعادلات - الرسوم البيانية ، والتي تعتمد على معرفة خصائص الرسوم البيانية للوظائف. سيوضح لك المدرس كيفية حل الدالة y = x 2 بيانياً.

عنوان:دور

درس:دور. حل المعادلات الرسومي

يعتمد الحل الرسومي للمعادلات على معرفة الرسوم البيانية للوظائف وخصائصها. نسرد الوظائف التي نعرف رسومها البيانية:

1) ، الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم موازٍ للمحور x ، يمر بنقطة على المحور y. فكر في مثال: y = 1:

للقيم المختلفة ، نحصل على عائلة من الخطوط المستقيمة الموازية للمحور x.

2) دالة التناسب المباشر الرسم البياني لهذه الوظيفة هو خط مستقيم يمر عبر الأصل. فكر في مثال:

لقد قمنا بالفعل ببناء هذه الرسوم البيانية في الدروس السابقة ، تذكر أنه لبناء كل سطر ، عليك تحديد النقطة التي ترضيه ، واتخاذ الأصل كنقطة ثانية.

تذكر دور المعامل k: مع زيادة الوظيفة ، تكون الزاوية بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور x حادة ؛ عندما تنخفض الدالة ، تكون الزاوية بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور x منفرجة. بالإضافة إلى ذلك ، هناك العلاقة التالية بين معلمتين k من نفس العلامة: بالنسبة للإيجابية k ، كلما كانت أكبر ، فإن وظيفة أسرعيزيد ، وللسلبي - تقل الوظيفة بشكل أسرع عندما قيم كبيرةك مودولو.

3) الوظيفة الخطية. عندما - نحصل على نقطة التقاطع مع المحور الصادي وكل الخطوط من هذا النوع تمر عبر النقطة (0 ؛ م). بالإضافة إلى ذلك ، مع زيادة الوظيفة ، تكون الزاوية بين الخط والاتجاه الإيجابي للمحور x حادة ؛ عندما تنخفض الدالة ، تكون الزاوية بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور x منفرجة. وبالطبع فإن قيمة k تؤثر على معدل تغير قيمة الدالة.

أربعة). الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1 - حل المعادلة بيانياً:

نحن لا نعرف وظائف من هذا النوع ، لذلك نحن بحاجة إلى التحويل معادلة معينةللعمل بوظائف معروفة:

حصلنا على دوال مألوفة في كلا الجزأين من المعادلة:

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف:

الرسوم البيانية لها نقطتا تقاطع: (-1 ؛ 1) ؛ (2 ؛ 4)

دعنا نتحقق مما إذا تم العثور على الحل بشكل صحيح ، استبدل الإحداثيات في المعادلة:

تم العثور على النقطة الأولى بشكل صحيح.

, , , , , ,

تم العثور على النقطة الثانية أيضًا بشكل صحيح.

إذن ، حلول المعادلة هي و

نتصرف بشكل مشابه للمثال السابق: نقوم بتحويل المعادلة المعطاة إلى الوظائف المعروفة لنا ، ونرسم الرسوم البيانية الخاصة بهم ، ونجد تيارات التقاطع ، ومن هنا نشير إلى الحلول.

نحصل على وظيفتين:

لنقم ببناء الرسوم البيانية:

لا تحتوي هذه الرسوم البيانية على نقاط تقاطع ، مما يعني أن المعادلة المعطاة ليس لها حلول

الخلاصة: في هذا الدرسراجعنا الوظائف المعروفة لدينا والرسوم البيانية الخاصة بها ، وتذكرنا خصائصها واعتبرنا طريقة رسومية لحل المعادلات.

1. Dorofeev G.V. ، Suvorova S.B. ، Bunimovich E.A. وآخرون. الجبر 7. الطبعة السادسة. م: التنوير. 2010

2. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.B. ، Yakir MS الجبر 7. M: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M.، Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. وغيرها الجبر 7 م: التربية والتعليم. 2006

المهمة 1: Makarychev Yu.N. ، Mindyuk NG ، Neshkov K.I. وآخرون. Algebra 7، no. 494، p. 110؛

المهمة 2: Makarychev Yu.N. ، Mindyuk NG ، Neshkov K.I. وغيرها: الجبر 7 ، رقم 495 ، البند 110.

المهمة 3: Makarychev Yu.N. ، Mindyuk NG ، Neshkov K.I. وآخرون. Algebra 7، no. 496، p. 110؛

مستوى اول

حل المعادلات والمتباينات والأنظمة باستخدام الرسوم البيانية للوظائف. دليل مرئي (2019)

يمكن حل العديد من المهام التي اعتدنا عليها في الحساب جبريًا بحتًا بشكل أسهل وأسرع ، وسيساعدنا استخدام الرسوم البيانية للوظائف في ذلك. أنت تقول "كيف ذلك؟" لرسم شيء ، وماذا ترسم؟ صدقني ، في بعض الأحيان يكون الأمر أكثر ملاءمة وأسهل. هل نبدأ؟ لنبدأ بالمعادلات!

حل المعادلات الرسومي

الحل الرسومي للمعادلات الخطية

كما تعلم بالفعل ، فإن الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط مستقيم ، ومن هنا جاء اسم هذا النوع. من السهل جدًا حل المعادلات الخطية جبريًا - فنحن ننقل جميع المجهول إلى جانب واحد من المعادلة ، وكل ما نعرفه - إلى الجانب الآخر ، وفويلا! لقد وجدنا الجذر. الآن سأوضح لك كيفية القيام بذلك طريقة الرسم.

إذن لديك معادلة:

كيف حلها؟
الخيار 1، والأكثر شيوعًا هو نقل المجهول إلى جانب ، والمعروف للآخر ، نحصل على:

والآن نحن نبني. على ماذا حصلت؟

ما رأيك هو جذر معادلتنا؟ هذا صحيح ، تنسيق نقطة تقاطع الرسوم البيانية:

جوابنا هو

هذه هي الحكمة الكاملة للحل الرسومي. كما يمكنك التحقق بسهولة ، فإن جذر معادلتنا هو رقم!

كما قلت أعلاه ، هذا هو الخيار الأكثر شيوعًا ، بالقرب من محلول جبري، ولكن يمكن أيضًا أن يتم ذلك بطريقة مختلفة. للنظر في حل بديل ، دعنا نعود إلى معادلتنا:

هذه المرة لن ننقل أي شيء من جانب إلى آخر ، لكننا سننشئ الرسوم البيانية مباشرة ، كما هي الآن:

مبني؟ نظرة!

ما الحل هذه المرة؟ حسنا. نفس الشيء هو إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية:

ومرة أخرى ، إجابتنا هي.

كما ترى ، مع المعادلات الخطية ، كل شيء بسيط للغاية. حان الوقت للتفكير في أمر أكثر تعقيدًا ... على سبيل المثال ، الحل البياني للمعادلات التربيعية.

الحل الرسومي للمعادلات التربيعية

فلنبدأ الآن في حل المعادلة التربيعية. لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذور هذه المعادلة:

بالطبع ، يمكنك الآن البدء في العد من خلال المميز ، أو وفقًا لنظرية فييتا ، لكن العديد من الأعصاب يرتكبون أخطاء عند الضرب أو التربيع ، خاصةً إذا كان المثال مع أعداد كبيرة، وكما تعلم ، لن يكون لديك آلة حاسبة في الامتحان ... لذلك ، دعونا نحاول الاسترخاء قليلاً والرسم أثناء حل هذه المعادلة.

إيجاد الحلول بيانياً معادلة معينةيستطيع طرق مختلفة. انصح خيارات مختلفةويمكنك اختيار أيهما تفضله.

الطريقة 1. مباشرة

نحن فقط نبني القطع المكافئ وفقًا لهذه المعادلة:

لتسريع الأمر ، سأعطيك تلميحًا صغيرًا: من الملائم بدء البناء عن طريق تحديد قمة القطع المكافئ.ستساعد الصيغ التالية في تحديد إحداثيات رأس القطع المكافئ:

أنت تقول "توقف! الصيغة الخاصة بـ تشبه إلى حد بعيد صيغة إيجاد المميز "نعم ، إنه كذلك ، وهذا عيب كبير في بناء القطع المكافئ" المباشر "للعثور على جذوره. ومع ذلك ، دعنا نعد حتى النهاية ، وبعد ذلك سأوضح لك كيف نجعل الأمر أسهل كثيرًا (كثيرًا!)!

هل عدت؟ ما إحداثيات رأس القطع المكافئ؟ دعنا نكتشفها معًا:

بالضبط نفس الجواب؟ أحسنت! والآن نحن نعرف إحداثيات الرأس ، ولإنشاء القطع المكافئ ، نحتاج إلى المزيد من النقاط. ما رأيك ، كم عدد النقاط الدنيا التي نحتاجها؟ بشكل صحيح.

أنت تعلم أن القطع المكافئ متماثل حول رأسه ، على سبيل المثال:

وفقًا لذلك ، نحتاج إلى نقطتين إضافيتين على طول الفرع الأيسر أو الأيمن من القطع المكافئ ، وفي المستقبل سنعكس بشكل متماثل هذه النقاط على الجانب الآخر:

نعود إلى القطع المكافئ لدينا. بالنسبة لحالتنا ، النقطة. نحتاج إلى نقطتين إضافيتين ، على التوالي ، هل يمكننا أخذ نقاط موجبة ، لكن هل يمكننا أخذ النقاط السالبة؟ ما هي أفضل النقاط بالنسبة لك؟ من الملائم أكثر بالنسبة لي العمل مع الإيجابية ، لذلك سأحسب مع و.

الآن لدينا ثلاث نقاط ، ويمكننا بسهولة بناء القطع المكافئ من خلال عكس النقطتين الأخيرتين حول قمته:

ما رأيك في حل المعادلة؟ هذا صحيح ، النقاط التي عندها ، أي ، و. لان.

وإذا قلنا ذلك ، فهذا يعني أنه يجب أن يكون متساويًا أيضًا ، أو.

فقط؟ لقد انتهينا من حل المعادلة معك بطريقة رسومية معقدة ، أو سيكون هناك المزيد!

بالطبع ، يمكنك التحقق من إجابتنا جبريًا - يمكنك حساب الجذور من خلال نظرية فييتا أو التمييز. على ماذا حصلت؟ نفس؟ هنا ترى! الآن دعنا نرى حلاً رسوميًا بسيطًا للغاية ، أنا متأكد من أنك ستحبه كثيرًا!

الطريقة 2. تقسيمها إلى عدة وظائف

لنأخذ كل شيء أيضًا معادلتنا: لكننا نكتبها بطريقة مختلفة قليلاً ، وهي:

هل يمكننا كتابتها هكذا؟ نستطيع ، لأن التحول معادل. دعونا ننظر إلى أبعد من ذلك.

دعونا نبني وظيفتين بشكل منفصل:

1. - الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ بسيط ، يمكنك بناؤه بسهولة حتى بدون تحديد قمة الرأس باستخدام الصيغ وإنشاء جدول لتحديد النقاط الأخرى.
2. - الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم ، يمكنك بناؤه بسهولة عن طريق تقدير القيم وفي رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

مبني؟ قارن مع ما حصلت عليه:

هل تعتقد أن في هذه القضيةهي جذور المعادلة؟ بشكل صحيح! الإحداثيات التي يتم الحصول عليها عن طريق عبور رسمين بيانيين ، وهذا هو:

وعليه فإن حل هذه المعادلة هو:

ماذا تقول؟ موافق ، طريقة الحل هذه أسهل بكثير من الطريقة السابقة وأسهل من البحث عن الجذور من خلال المميز! إذا كان الأمر كذلك ، فجرب هذه الطريقة لحل المعادلة التالية:

على ماذا حصلت؟ دعنا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

توضح الرسوم البيانية أن الإجابات هي:

هل تستطيع فعلها؟ أحسنت! الآن دعونا نلقي نظرة أكثر تعقيدًا على المعادلات ، وهي الحل معادلات مختلطة، أي المعادلات التي تحتوي على وظائف من أنواع مختلفة.

الحل الرسومي للمعادلات المختلطة

لنحاول الآن حل ما يلي:

بالطبع ، كل شيء يمكن إحضاره إليه القاسم المشترك، ابحث عن جذور المعادلة الناتجة ، دون أن ننسى أن نأخذ في الاعتبار ODZ ، ولكن مرة أخرى ، سنحاول حلها بيانياً ، كما فعلنا في جميع الحالات السابقة.

هذه المرة دعنا نرسم الرسمين البيانيين التاليين:

1. - الرسم البياني عبارة عن قطع زائد
2. - الرسم البياني هو خط مستقيم يمكنك بناؤه بسهولة عن طريق تقدير القيم وفي رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

أدرك؟ الآن ابدأ البناء.

هذا ما حدث لي:

بالنظر إلى هذه الصورة ، ما هي جذور معادلتنا؟

هذا صحيح و. هنا التأكيد:

حاول إدخال الجذور في المعادلة. حدث؟

حسنا! موافق ، حل مثل هذه المعادلات بيانيا هو متعة!

حاول حل المعادلة بنفسك بيانياً:

أعطيك تلميحًا: انقل جزءًا من المعادلة إلى اليمين بحيث يكون للطرفين أبسط الوظائف للبناء. هل فهمت التلميح؟ أبدي فعل!

الآن دعنا نرى ما حصلت عليه:

على التوالى:

1. - قطع مكافئ مكعب.
2. - خط مستقيم عادي.

حسنًا ، نحن نبني:

كما كتبت لفترة طويلة ، فإن جذر هذه المعادلة هو -.

بعد حل هذا العدد الكبير من الأمثلة ، أنا متأكد من أنك أدركت كيف يمكنك بسهولة وبسرعة حل المعادلات بيانياً. حان الوقت لمعرفة كيفية اتخاذ القرار بطريقة مماثلةالأنظمة.

الحل الجرافيكي للأنظمة

لا يختلف الحل الرسومي للأنظمة بشكل أساسي عن الحل الرسومي للمعادلات. سنقوم أيضًا ببناء رسمين بيانيين ، وستكون نقاط تقاطعهما هي جذور هذا النظام. يمثل الرسم البياني معادلة واحدة ، والرسم البياني الثاني هو معادلة أخرى. كل شيء بسيط للغاية!

لنبدأ بأبسط أنظمة حل المعادلات الخطية.

حل أنظمة المعادلات الخطية

لنفترض أن لدينا النظام التالي:

بادئ ذي بدء ، سنقوم بتحويله بحيث يوجد على اليسار كل شيء متصل به ، وعلى اليمين - ما هو مرتبط به. بمعنى آخر ، نكتب هذه المعادلات كدالة بالصيغة المعتادة لنا:

والآن نبني خطين مستقيمين. ما هو الحل في حالتنا؟ بشكل صحيح! نقطة تقاطعهم! وهنا عليك أن تكون حذرا للغاية! فكر لماذا؟ سأعطيك تلميحًا: نحن نتعامل مع نظام: يحتوي النظام على كلا الأمرين ، و ... هل فهمت التلميح؟

حسنا! عند حل النظام ، يجب أن ننظر إلى كلا الإحداثيين ، وليس فقط ، كما هو الحال عند حل المعادلات! اخر نقطة مهمة- اكتبها بشكل صحيح ولا تخلط بين أين لدينا القيمة وأين القيمة! مسجل؟ الآن دعنا نقارن كل شيء بالترتيب:

والأجوبة: i. قم بإجراء فحص - استبدل الجذور الموجودة في النظام وتأكد من أننا حللناها بشكل صحيح بطريقة رسومية؟

حل أنظمة المعادلات غير الخطية

ولكن ماذا لو كان لدينا معادلة تربيعية بدلاً من خط مستقيم واحد؟ حسنا! أنت فقط تبني قطعًا مكافئًا بدلاً من خط مستقيم! لا تثق؟ حاول حل النظام التالي:

ما هي خطوتنا التالية؟ هذا صحيح ، قم بتدوينه حتى يكون مناسبًا لنا لبناء الرسوم البيانية:

والآن الأمر كله يتعلق بالشيء الصغير - لقد أنشأته بسرعة وإليك الحل المناسب لك! مبنى:

هل الرسومات هي نفسها؟ الآن حدد حلول النظام في الصورة واكتب الإجابات التي تم الكشف عنها بشكل صحيح!

لقد فعلت كل شيء؟ قارن مع ملاحظاتي:

حسنا؟ أحسنت! لقد قمت بالفعل بالنقر فوق مثل هذه المهام مثل المكسرات! وإذا كان الأمر كذلك ، فلنقدم لك نظامًا أكثر تعقيدًا:

ماذا نفعل؟ بشكل صحيح! نكتب النظام بحيث يكون مناسبًا للبناء:

سأعطيكم تلميحًا بسيطًا ، لأن النظام يبدو معقدًا للغاية! عند بناء الرسوم البيانية ، قم ببنائها "أكثر" ، والأهم من ذلك ، لا تتفاجأ بعدد نقاط التقاطع.

إذا هيا بنا! زفير؟ الآن ابدأ البناء!

حسنا كيف؟ جميل؟ كم عدد نقاط التقاطع التي حصلت عليها؟ لدي ثلاثة! دعنا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

نفس الطريقة؟ اكتب الآن بعناية جميع حلول نظامنا:

الآن انظر إلى النظام مرة أخرى:

هل يمكنك أن تتخيل أنك قمت بحلها في 15 دقيقة فقط؟ موافق ، الرياضيات لا تزال بسيطة ، خاصة عند النظر إلى تعبير ، فأنت لا تخشى ارتكاب خطأ ، لكن عليك أن تأخذها وتقرر! أنت فتى كبير!

الحل الرسومي لعدم المساواة

حل رسومي للمتباينات الخطية

بعد، بعدما المثال الأخيرلديك كل شيء على كتفك! الزفير الآن - مقارنة بالأقسام السابقة ، سيكون هذا الجزء سهلًا جدًا!

سنبدأ ، كالعادة ، بحل رسومي عدم المساواة الخطية. على سبيل المثال ، هذا:

بادئ ذي بدء ، سنجري أبسط التحولات - سنفتح الأقواس المربعات الكاملةوأضف المصطلحات المشابهة:

المتباينة ليست صارمة ، لذلك - لا يتم تضمينها في الفترة ، والحل سيكون جميع النقاط الموجودة على اليمين ، لأن المزيد والمزيد وهكذا:

إجابه:

هذا كل شئ! بسهولة؟ لنحل متباينة بسيطة ذات متغيرين:

لنرسم دالة في نظام الإحداثيات.

هل لديك مثل هذا الرسم البياني؟ والآن ننظر بعناية إلى ما لدينا في عدم المساواة؟ أقل؟ لذلك ، نرسم كل شيء على يسار الخط المستقيم. ماذا لو كان هناك المزيد؟ هذا صحيح ، ثم يرسمون فوق كل شيء على يمين خطنا المستقيم. كل شيء بسيط.

جميع حلول عدم المساواة هذه "مظللة" البرتقالي. هذا كل شيء ، تم حل المتباينة ذات المتغيرين. هذا يعني أن الإحداثيات وأي نقطة من المنطقة المظللة هي الحلول.

حل رسومي لعدم المساواة التربيعية

الآن سنتعامل مع كيفية حل المتباينات التربيعية بيانياً.

لكن قبل أن نصل مباشرة إلى هذه النقطة ، دعنا نلخص بعض الأشياء عن دالة التربيع.

ما هي مسؤولية التمييز؟ هذا صحيح ، بالنسبة لموضع الرسم البياني بالنسبة للمحور (إذا كنت لا تتذكر ذلك ، فاقرأ النظرية حول الدوال التربيعية بالتأكيد).

على أي حال ، إليك تذكيرًا بسيطًا:

الآن بعد أن قمنا بتحديث كل المواد الموجودة في ذاكرتنا ، دعنا نبدأ العمل - سنحل المتباينة بيانياً.

سأخبرك على الفور أن هناك خيارين لحلها.

الخيار 1

نكتب القطع المكافئ الخاص بنا كدالة:

باستخدام الصيغ ، نحدد إحداثيات رأس القطع المكافئ (بنفس طريقة حل المعادلات التربيعية):

هل عدت؟ على ماذا حصلت؟

الآن لنأخذ اثنين آخرين نقاط مختلفةواحسب لهم:

نبدأ في بناء فرع واحد من القطع المكافئ:

نعكس بشكل متماثل نقاطنا على فرع آخر من القطع المكافئ:

الآن نعود إلى عدم المساواة لدينا.

نحتاج أن يكون أقل من صفر ، على التوالي:

نظرًا لوجود علامة أقل في عدم المساواة لدينا ، فإننا نستبعد النقاط النهائية - نحن "نخرج".

إجابه:

طريق طويل ، أليس كذلك؟ سأعرض عليكم الآن نسخة أبسط من الحل الرسومي باستخدام نفس عدم المساواة كمثال:

الخيار 2

نعود إلى عدم المساواة لدينا ونحدد الفترات التي نحتاجها:

موافق ، إنه أسرع بكثير.

دعنا نكتب الإجابة الآن:

لنفكر في طريقة حل أخرى تبسط الجزء الجبري ، لكن الشيء الرئيسي هو عدم الخلط.

اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بـ:

حاول حل ما يلي عدم المساواة التربيعيةبأي طريقة تريدها.

هل تستطيع فعلها؟

انظر كيف تحول الرسم البياني الخاص بي:

إجابه: .

حل رسومي لعدم المساواة المختلطة

الآن دعنا ننتقل إلى متباينات أكثر تعقيدًا!

كيف تحب هذا:

فظيع ، أليس كذلك؟ بصراحة ، ليس لدي أي فكرة عن كيفية حل هذا جبريًا ... لكن هذا ليس ضروريًا. بيانيا ، لا يوجد شيء معقد في هذا! العيون خائفة ولكن الأيدي تفعل!

أول شيء نبدأ به هو بناء رسمين بيانيين:

لن أكتب جدولًا للجميع - أنا متأكد من أنه يمكنك القيام بذلك بمفردك (بالطبع ، هناك العديد من الأمثلة لحلها!).

رسم؟ الآن قم ببناء رسمين بيانيين.

دعونا نقارن رسوماتنا؟

هل لديك نفس الشيء؟ ممتاز! الآن دعونا نضع نقاط التقاطع ونحدد باللون الذي يجب أن يكون الرسم البياني الذي يجب أن يكون لدينا ، من الناحية النظرية ، أكبر ، أي. انظر ماذا حدث في النهاية:

والآن ننظر فقط إلى أين يكون المخطط المختار أعلى من المخطط؟ لا تتردد في أخذ قلم رصاص والطلاء على هذه المنطقة! سيكون الحل لعدم المساواة المعقدة لدينا!

في أي فترات على طول المحور نحن أعلى من؟ الصحيح، . هذا هو الجواب!

حسنًا ، يمكنك الآن التعامل مع أي معادلة وأي نظام ، وأكثر من ذلك ، أي متباينة!

باختصار حول الرئيسي

خوارزمية لحل المعادلات باستخدام الرسوم البيانية للوظائف:

1. عبر عن طريق
2. حدد نوع الوظيفة
3. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف الناتجة
4. أوجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية
5. اكتب الإجابة بشكل صحيح (مع مراعاة علامات ODZ وعدم المساواة)
6. تحقق من الإجابة (استبدل الجذور في المعادلة أو النظام)

لمزيد من المعلومات حول رسم الرسوم البيانية للوظائف ، راجع الموضوع "".

العمل البحثي للطلاب حول الموضوع:

"طلب دالة خطيةفي حل المشاكل "

"تطبيق الرسم البياني للوظيفة الخطية على حل المشكلات"

MKOU "Bogucharskaya الأوسط مدرسة شاملة№1 "

عمل بحثي في ​​الرياضيات.

الموضوع: "تطبيق رسم بياني لدالة خطية لحل المشكلات"

7 "ب"
الرأس: فومينكو أولغا ميخائيلوفنا

مدينة بوغوشار

1. مقدمة ……………………………………………………………………………… 2

2.الجزء الرئيسي ……………………………………………………………………………؛ 3-11

2.1 تقنية لحل مسائل النص باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية

2.2 حل مشاكل النص للحركة باستخدام الرسوم البيانية

3. الخلاصة ………………………………………………………………………………. 11

4. الأدب ……………………………………………………………………………… .12

المقدمة

فئة "الجبر 7" تعتبر المهام التي الجدول الزمني المحددعدد من الأسئلة تحتاج إلى إجابة.

فمثلا:

332 الساكن في الصيف ذهب من منزله بالسيارة إلى القرية. قاد أولاً على الطريق السريع ، ثم واصل القيادة درب ريفيمع إبطاء السرعة. الجدول الزمني لحركة المقيم الصيفي مبين في الشكل. أجب على الأسئلة:

أ) كم من الوقت قاد المقيم الصيفي على طول الطريق السريع وكم عدد الكيلومترات التي قطعها ؛ كم كانت سرعة السيارة في هذا الجزء من الطريق؟

ب) ما هي المدة التي قضاها المقيم في الصيف بالسيارة على طول طريق البلد وعدد الكيلومترات التي قطعها ؛ كم كانت سرعة السيارة في هذا القسم؟

ج) ما هي المدة التي قطعها المقيم الصيفي طوال الطريق من المنزل إلى القرية؟

في سياق البحث عن مادة حول هذا الموضوع في الأدب والإنترنت ، اكتشفت بنفسي ذلك في العالم الاعتماد الخطيهناك العديد من المادية ، وحتى العامة و الظواهر الاقتصاديةوالعمليات ، لكنني استقرت على الحركة ، باعتبارها الأكثر شهرة وشعبية بيننا جميعًا. في المشروع ، وصفت مشاكل الكلمات وكيفية حلها باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية.

فرضية:بمساعدة الرسوم البيانية ، لا يمكنك فقط الحصول على تمثيل مرئي لخصائص الوظيفة ، والتعرف على خصائص الوظيفة الخطية وشكلها الخاص ، والتناسب المباشر ، ولكن أيضًا حل مشاكل النص.

الهدف من بحثيكانت دراسة استخدام الرسوم البيانية للدالة الخطية في حل مشاكل النص للحركة. من أجل تحقيق هذه الأهداف ، ما يلي مهام:

لدراسة منهجية حل مشاكل النص للحركة باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية ؛

تعلم كيفية حل مشاكل الحركة باستخدام هذه الطريقة ؛

قم بعمل استنتاجات مقارنة حول مزايا وعيوب حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية.

موضوع الدراسة:الرسم البياني للدالة الخطية.

طريقة البحث:

نظري (دراسة وتحليل) ، بحث نظام ، عملي.

الجزء الرئيسي.

في بحثي ، قررت أن أحاول تقديم تفسير رسومي لمهام الحركة المعروضة في كتابنا المدرسي ، ثم ، وفقًا للجدول الزمني ، أجب على سؤال المهمة. لمثل هذا الحل ، أخذت المهام بطريقة مباشرة حركة موحدةعلى جزء من الطريق. اتضح أن العديد من المشكلات يتم حلها بهذه الطريقة ببساطة أكثر من الطريقة المعتادة باستخدام المعادلة. العيب الوحيد لهذه التقنية هو أنه من أجل الحصول على إجابة دقيقة لمسألة المشكلة ، يجب أن يكون المرء قادرًا على التحديد الصحيح لمقياس وحدات القياس على محاور الإحداثيات. دور كبير في الاختيار الصحيحمن هذا النطاق يلعب تجربة الحل. لذلك ، من أجل إتقان فن حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية ، كان علي أن أضعها في الاعتبار بأعداد كبيرة.

اضبط نظام الإحداثيات مع محور الإحداثي Ot والمحور الإحداثي Os. للقيام بذلك ، وفقًا لحالة المشكلة ، من الضروري اختيار الأصل: بداية حركة الكائن أو من عدة كائنات ، يتم تحديد الكائن الذي بدأ يتحرك في وقت سابق أو سافر لمسافة أكبر. على محور الإحداثي ، حدد الفواصل الزمنية في وحدات القياس الخاصة به ، وعلى المحور الإحداثي ، حدد المسافة في المقياس المحدد لوحدات القياس الخاصة به.

يجب تحديد النقاط الموجودة على مستوى الإحداثيات وفقًا لمقياس المهمة ، ويجب رسم الخطوط بدقة. دقة حل المشكلة تعتمد على هذا. لذلك ، من المهم جدًا اختيار مقياس التقسيمات على محاور الإحداثيات بنجاح: يجب اختياره بطريقة يتم بها تحديد إحداثيات النقاط بدقة أكبر ، وإذا أمكن ، تحديد موقعها عند النقاط العقدية ، أي. عند تقاطعات الانقسامات محاور الاحداثيات. من المفيد في بعض الأحيان أن تأخذ ، كقطعة وحدة على محور الإحداثي ، عدد الخلايا الذي يعد مضاعفًا لظروف المشكلة فيما يتعلق بالوقت ، وعلى المحور الإحداثي - عدد الخلايا الذي يعد مضاعفًا للشروط للمشكلة فيما يتعلق بالمسافة. على سبيل المثال ، تتطلب 12 دقيقة في الوقت المناسب اختيار عدد الخلايا في مضاعفات 5 ، لأن 12 دقيقة هي خمس ساعة.

حل مشاكل النص للحركة باستخدام الرسوم البيانية

الجواب: 9 كم.

الحل باستخدام المعادلة:

س / 12 ح. - الوقت من أ إلى ب

س / 18 ساعة. - الوقت الخلفي

الجواب: 9 كم

المهمة 2. (رقم 156 في كتاب يو.ن. ماكاريشيف "الجبر 7".)

تسير سيارتان على الطريق السريع بنفس السرعة. إذا زادت السرعة الأولى بمقدار 10 كم / ساعة ، وقللت الثانية بمقدار 10 كم / ساعة ، فإن الأول سيغطي ما يصل إلى ساعتين مثل الثانية في 3 ساعات. ما هي السرعة التي تسير بها السيارات؟

الحل باستخدام المعادلة:

اسمحوا x km / h أن تكون سرعة السيارات ؛

(x + 10) و (x-10) على التوالي السرعة بعد الزيادة والنقصان ؛

2 (× + 10) = 3 (× 10)

الجواب: 50 كم / ساعة

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1 مجموعة خطة تنسيقمع محور الإحداثي Оt ، الذي نحتفل فيه بالفواصل الزمنية للحركة ، والمحور المنسق Os ، الذي نحتفل فيه بالمسافة التي تقطعها المركبات

2. دعونا نضع الانقسامات على مقياس على طول محور الإحداثي - ساعة واحدة في 5 خلايا (في خلية واحدة - 12 دقيقة) ؛ نطبق التقسيمات على طول المحور ص ، لكن لا نحدد المقياس.

3. لنبني خط حركة للسيارة الأولى I: بداية الحركة عند نقطة c

4. لنقم ببناء خط حركة الآلة الثانية II: بداية الحركة عند النقطة مع الإحداثيات (0 ؛ 0). بعد ذلك ، نلاحظ نقطة تعسفية(3 ؛ ق 1) على متن الطائرة ، لأن كانت السيارة بالسرعة الجديدة على الطريق لمدة 3 ساعات.

4. لنحدد سرعة السيارات قبل تغييرها. دعونا نشير إلى الاختلاف في إحداثيات النقاط الموجودة على الخطوط ذات الحد الفاصل 1 بالعلامة ∆s. حسب الشرط يقابل هذا المقطع أطوال (10 + 10) كم وذلك لأن في أحدهما انخفضت السرعة ، وفي الآخر زادت السرعة بمقدار 10 كم / ساعة. وهذا يعني أن خط حركة السيارات قبل تغيير السرعة يجب أن يكون على مسافة متساوية من الخطين الأول والثاني وأن يقع على مستوى الإحداثيات بينهما .. حسب الجدول الزمني ، Δs \ u003d 2cl. يتوافق مع 20 كم ، v = 5 خلايا ، لذلك نحل النسبة v = 50 km / h.

الجواب: 50 كم / ساعة.

المهمة 3

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

النقطة المرجعية هي رصيف م

ضع علامة على النقطة N (0 ؛ 162).

الجواب: ساعتان و 20 دقيقة.

الحل باستخدام المعادلة:

162-45 (س + 0.75) -36 س = 0

162-45x - 33.75 -36x = 0

81 س = 128.25

2)

الجواب: ساعتان و 20 دقيقة.

المهمة 4.

النقطة اليسرى لراكب الدراجة A. في الوقت نفسه ، بعده ، قام سائق دراجة بخارية بسرعة 16 كم / ساعة على اليسار النقطة B ، والتي تبعد 20 كم عن A. كان الدراج يسير بسرعة 12 كم / ساعة. في أي مسافة من النقطة (أ) يتخطى سائق الدراجة النارية راكب الدراجة النارية؟

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. اضبط المستوى الإحداثي sOt مع محور الإحداثي Ot ، الذي نحدد عليه الفواصل الزمنية للحركة ، والمحور y Os ، الذي سنحدد فيه المسافة التي قطعها سائق الدراجة النارية وراكب الدراجة

2. دعونا نرسم تقسيمات على مقياس: على طول المحور ص - في خليتين 8 كم ؛ على طول الإحداثي - في خليتين - ساعة واحدة.

3. دعونا نبني خط حركة لسائق دراجة نارية II: نحتفل ببداية حركته عند أصل الإحداثيات B (0 ؛ 0). كان سائق الدراجة النارية يقود بسرعة 16 كم / ساعة ، مما يعني أن الخط المستقيم II يجب أن يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (1 ؛ 16).

4. دعونا نبني خط حركة لراكب الدراجة الأول: ستكون بدايته عند النقطة أ (0 ؛ 20) ، لأن تقع النقطة B على مسافة 20 كم من النقطة A ، وغادر في نفس الوقت مع سائق الدراجة النارية. كان الدراج يسير بسرعة 12 كم / ساعة ، مما يعني أن الخط يجب أن يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (1 ؛ 32).

5. أوجد P (5 ؛ 80) - نقطة تقاطع الخطين الأول والثاني ، والتي تعكس حركة سائق دراجة نارية وراكب دراجة: سيظهر إحداثياتها المسافة من النقطة B ، والتي عندها سيلحق سائق الدراجة النارية براكب الدراجة .

P (5؛ 80) | = s = 80، | = 80-20 = 60 (km) - المسافة من النقطة A التي عندها سيلحق سائق الدراجة النارية براكب الدراجة ..

الجواب: 60 كم.

الحل باستخدام المعادلة:

لنفترض أن x km هي المسافة من النقطة A إلى نقطة الالتقاء

x / 12 وقت الدراج

(x +20) / 16 وقت سائق الدراجة النارية

س / 12 = (س +20) / 16

16 س = 12 س + 240

4 س = 240

س = 60

الجواب: 60 كم

المهمة 5.

تم قطع المسافة بين المدن بواسطة راكب دراجة نارية في ساعتين ، وراكب دراجة بخمس ساعات ، وكانت سرعة السائق أقل بـ 18 كم / ساعة من سرعة سائق دراجة نارية. أوجد سرعات راكب الدراجة النارية والموتوسيكل والمسافة بين المدن.

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. اضبط مستوى الإحداثيات sOt مع محور الإحداثيات Ot ، والذي نحدد عليه الفواصل الزمنية للحركة ، والمحور y-Os ، الذي نحتفل به بالمسافة.

2. لنضع قسمة على طول محور الإحداثي في ​​خليتين لمدة ساعة واحدة ، فلنترك المسافة بدون انقسامات على طول المحور الإحداثي.

3. لنرسم خط الحركة الأول لراكب الدراجة النارية خلال 5 ساعات وخط حركة السائق الثاني خلال ساعتين. يجب أن يكون لنهاية كلا السطرين نفس الإحداثي.

4. لنرسم مقطعًا به السطر 1 بين الخطين الأول والثاني. يعكس طول هذا الجزء مسافة تساوي 18 كم. من الرسم نحصل على أن 3 خلايا تساوي 18 كم ، مما يعني أن هناك 6 كيلومترات في الخلية الواحدة.

5. بعد ذلك ، وفقًا للجدول ، نحدد سرعة الدراج 12 كم / ساعة ، وسرعة السائق 30 كم / ساعة ، والمسافة بين المدن 60 كم.

الحل باستخدام المعادلة:

اجعل x km / h هي سرعة سائق الدراجة ، ثم (x +18) km / h هي سرعة سائق الدراجة النارية

2 (س + 18) = 5 س

2 س + 36 = 5 س

س = 12

2) 12 + 18 = 30 (كم / ساعة) سرعة المتسابق

3) (كم) المسافة بين المدن

الجواب: 12 كم / ساعة ؛ 30 كم / ساعة 60 كم

الجواب: 60 كم.

المهمة 6.

يقطع القارب مسافة 30 كم في 3 ساعات و 20 دقيقة على طول النهر ، و 28 كم مقابل التيار في 4 ساعات. إلى أي مدى سيغطي القارب البحيرة في 1.5 ساعة؟

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. اضبط المستوى الإحداثي sOt مع محور الإحداثي Ot ، الذي نحدد عليه الفواصل الزمنية للحركة ، والمحور y Os ، الذي نحدد عليه المسافة التي يقطعها القارب

2. دعونا نرسم تقسيمات على مقياس: على طول المحور ص - في خليتين 4 كم ؛ على طول محور الإحداثي - في 6 خلايا - ساعة واحدة (في خلية واحدة - 10 دقائق) ، لأن حسب حالة المشكلة ، يُعطى الوقت بالدقائق.

3. لنقم ببناء خط حركة للقارب على طول النهر I: ستكون بداية السطر عند النقطة مع الإحداثيات (0 ؛ 0). يبحر القارب لمسافة 30 كم في 3 ساعات و 20 دقيقة ، مما يعني أن الخط يجب أن يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (؛ 30) ، لأن 3 ساعات و 20 دقيقة. = ح.

4. لنقم ببناء خط حركة للقارب مقابل تيار النهر II: نأخذ بداية الحركة عند نقطة بإحداثيات (0 ؛ 0). يبحر القارب لمسافة 28 كم في 4 ساعات ، مما يعني أن خط الحركة يجب أن يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (4 ؛ 28).

5. دعونا نبني خط حركة القارب على البحيرة: سنأخذ بداية الحركة عند النقطة مع الإحداثيات (0 ؛ 0). يجب أن يكون خط الحركة الخاصة بالقارب على مسافة متساوية بين خطوط حركة القارب على طول النهر. هذا يعني أننا يجب أن نقسم الجزء ، الذي يتكون من جميع النقاط التي تحتوي على حد أقصى 1 بين خطوط الحركة على طول النهر ، إلى النصف ونضع علامة على منتصفه. من (0 ؛ 0) من خلال هذه النقطة المحددة سنرسم شعاعًا ، والذي سيكون خط الحركة على طول البحيرة.

6. وفقًا لظروف المشكلة ، من الضروري إيجاد المسافة التي يقطعها القارب على البحيرة في 1.5 ساعة ، مما يعني أنه يجب علينا تحديد إحداثي النقطة مع الإحداثي t = 1.5 ، | = ق = 12 ، | = 12 كم ، سيمر القارب عبر البحيرة خلال 1.5 ساعة.

الجواب: 12 كم.

الحل باستخدام نظام المعادلات:

اجعل x km / h هي سرعة البحيرة و y km / h هي سرعة النهر

الجواب: 12 كم.

المهمة 7.

يسافر القارب على طول النهر لمسافة 34 كم في نفس الوقت الذي يسافر فيه 26 كم مقابل التيار. سرعة القارب 15 كم / ساعة. أوجد سرعة النهر.

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. اضبط المستوى الإحداثي sOt مع محور الإحداثي Ot ، الذي نحدد عليه الفواصل الزمنية للحركة ، والمحور y Os ، الذي نحدد عليه المسافة التي يقطعها القارب.

2. لنرسم تقسيمات على مقياس: على طول المحور ص - في خلية واحدة 1 كم ؛ على محور الإحداثي ، نترك الوقت بدون انقسامات.

3. لنقم ببناء الخط الأول لحركة القارب على طول النهر من 0 كم إلى نقطة 34 كم: ستكون بداية الخط عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 0) وسيكون الإحداثي الثاني (x ؛ 34).

4. لنقم ببناء خط II لحركة القارب مقابل تيار النهر من 0 كم إلى نقطة 26 كم: ستكون بداية الخط عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 0) وسيكون الإحداثي الثاني ( العاشر ؛ 26).

5. ارسم شعاعًا III من الأصل (0 ؛ 0) عبر منتصف مقطع تعسفي يتكون من جميع النقاط التي لها نفس الحد الفاصل بين خطي الحركة الأول والثاني. هذا الشعاع سوف ينعكس الحركة الخاصةالقوارب لأن سرعة القارب الخاصة هي المتوسط ​​الحسابي لسرعتين أعلى النهر وأسفله. على الحزمة الناتجة ، نجد نقطة ذات إحداثي 15 ، لأن سرعة القارب 15 كم / ساعة. سيتوافق الحد الأقصى للنقطة التي تم العثور عليها مع قسمة ساعة واحدة.

6. لإيجاد سرعة النهر ، يكفي إيجاد طول المقطع الذي يحتوي على السطر 1 من السطر III إلى السطر II. سرعة النهر 2 كم / ساعة.

الجواب: 2 كم / ساعة

الحل باستخدام المعادلة:

سرعة النهر × كم / ساعة

34 / (15 + x) \ u003d 26 / (15-x) بحل النسبة ، نحصل على:

الجواب: 2 كم / ساعة

استنتاج.

مزايا:

يمكن تدوين المهام بإيجاز ؛

عيوب:

المؤلفات.

1. Makarychev Yu. N.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B.، Algebra: Textbook for Grade 7 المؤسسات التعليمية، "التنوير" ، م ، 2000.

2.بولينين V. ، التطبيق طرق الرسمعند حل مسائل النص ، جريدة تربوية ومنهجية "رياضيات" العدد 14 ، 2005.

3. Zvavich L.I. مواد تعليمية عن الجبر للصف السابع.

عرض محتوى الوثيقة
"الكلمات"

في دروس الجبر في الصف السابع ، تعرفت على موضوع "الوظيفة الخطية. الترتيب المتبادل للرسوم البيانية للوظائف الخطية. تعلمت كيفية بناء الرسوم البيانية لوظيفة خطية ، وتعلمت خصائصها ، وتعلمت كيف الصيغ المعطاةتحديد الترتيب المتبادلالرسوم البيانية. لقد لاحظت ذلك في الكتاب المدرسي لـ Yu.N. Makarychev

تدرس "فئة الجبر 7" المهام التي ، وفقًا لجدول زمني معين ، من الضروري الإجابة على عدد من الأسئلة. يتم عرض مثال على هذه المهمة على الشريحة.

وفقًا للجدول الزمني المحدد ، يمكن تحديد ذلك

وكان لدي سؤال ، هل من الممكن حل مسائل الحركة ليس بالأفعال أو باستخدام المعادلات ، ولكن باستخدام رسومات دالة خطية لهذا؟

يتم عرض الفرضيات والأهداف والغايات على الشريحة

في بحثي ، قررت أن أحاول تقديم تفسير رسومي لمهام الحركة المعروضة في كتابنا المدرسي ، ثم ، وفقًا للجدول الزمني ، أجب على سؤال المهمة. لمثل هذا الحل ، أخذت المهام بحركة منتظمة مستقيمة في جزء واحد من المسار.

اتضح أن العديد من المشاكل يتم حلها بهذه الطريقة. العيب الوحيد لهذه التقنية هو أنه من أجل الحصول على إجابة دقيقة لمسألة المشكلة ، يجب أن يكون المرء قادرًا على التحديد الصحيح لمقياس وحدات القياس على محاور الإحداثيات. تلعب تجربة الحل دورًا كبيرًا في الاختيار الصحيح لهذا المقياس. لذلك ، من أجل إتقان فن حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية ، كان علي أن أعتبرها بأعداد كبيرة.

أسلوب لحل مشاكل النص باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية.

كي تقرر مهمة نصيةباستخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية ، فأنت بحاجة إلى:

اضبط نظام الإحداثيات للقيام بذلك ، وفقًا لحالة المشكلة ، من الضروري اختيار الأصل: بداية حركة الكائن أو من عدة كائنات ، الشيء الذي بدأ يتحرك في وقت مبكر أو سافر لمسافة أكبر المحدد. على محور الإحداثي ، حدد الفواصل الزمنية في وحدات القياس الخاصة به ، وعلى المحور الإحداثي ، حدد المسافة في المقياس المحدد لوحدات القياس الخاصة به.

ارسم خطوط الحركة لكل من الكائنات المحددة في بيان المشكلة من خلال إحداثيات نقطتين على الأقل من الخطوط المستقيمة. عادةً ما تعطي سرعة الجسم معلومات حول مرور مسافة في وحدة زمنية واحدة من بداية حركته. إذا بدأ الكائن في التحرك لاحقًا ، فسيتم إزاحة نقطة بداية حركته بعدد معين من الوحدات إلى يمين الأصل على طول المحور x. إذا بدأ الكائن في التحرك من مكان بعيد عن النقطة المرجعية بمقدار مسافة معينة، ثم يتم إزاحة نقطة بداية حركته لأعلى على طول المحور الإحداثي.

تتم الإشارة إلى نقطة التقاء عدة كائنات على مستوى الإحداثيات من خلال نقطة تقاطع الخطوط التي تصور حركتها ، مما يعني أن إحداثيات هذه النقطة توفر معلومات حول وقت الاجتماع ومسافة مكان الاجتماع من الأصل.

يتم تحديد الاختلاف في سرعات حركة كائنين من خلال طول المقطع ، الذي يتكون من جميع النقاط ذات الإحداثية 1 ، الواقعة بين خطوط حركة هذه الكائنات.

يجب تحديد النقاط الموجودة على مستوى الإحداثيات وفقًا لمقياس المهمة ، ويجب رسم الخطوط بدقة. دقة حل المشكلة تعتمد على هذا.

المشكلة 1. (رقم 673 في كتاب يو.ن. ماكاريشيف "الجبر 7".)

قطع أحد الدراجين المسار AB بسرعة 12 كم / ساعة. عند عودته ، طور سرعة 18 كم / ساعة وقضى عليها رحلة العودة 15 دقيقة أقل من الرحلة من أ إلى ب. كم عدد الكيلومترات من أ إلى ب.

الحل باستخدام المعادلة:

لنفترض أن x km هي المسافة من A إلى B.

س / 12 ح. - الوقت من أ إلى ب

س / 18 ساعة. - الوقت الخلفي

نظرًا لأنه أمضى 15 دقيقة أقل في طريق العودة ، فسنقوم بتكوين المعادلة

الجواب: 9 كم

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. دعونا نضبط المستوى الإحداثي sOtc مع محور الإحداثي Ot ، حيث نحتفل بالفواصل الزمنية للحركة ، والمحور y Os ، الذي نحدد المسافة عليه.

2. لنرسم تقسيمات على مقياس: على طول المحور ص - في خلية واحدة 3 كم ؛ على طول محور الإحداثي - ساعة واحدة في 4 خلايا (في خلية واحدة - 15 دقيقة).

3. لنقم ببناء خط حركة هناك: حدد بداية الحركة بنقطة (0 ؛ 0). كان الدراج يسير بسرعة 12 كم / ساعة ، مما يعني أن الخط المستقيم يجب أن يمر عبر النقطة (1 ؛ 12).

4. لنقم ببناء خط حركة للخلف: ضع علامة على نهاية السطر بنقطة (؛ 0) ، لأن أمضى الدراج 15 دقيقة أقل في رحلة العودة. كان يقود سيارته بسرعة 18 كم / ساعة ، مما يعني أن النقطة التالية من الخط لها الإحداثيات (؛ 18).

5. ملاحظة (؛ 9) - نقطة تقاطع الخطوط: إحداثياتها ستظهر المسافة: s = 9

الجواب: 9 كم.

المهمة 2 (رقم 757 في كتاب يو.ن. ماكاريشيف "الجبر 7")

المسافة بين الأرصفة M و N هي 162 كم. غادرت سفينة بمحرك من الرصيف M بسرعة 45 كم / ساعة. بعد 45 دقيقة ، غادرت سفينة أخرى من الرصيف N باتجاهه ، وسرعتها 36 كم / ساعة. في كم ساعة بعد مغادرة أول سفينة سيلتقون؟

الحل باستخدام المعادلة:

يجب ألا يكون هناك اجتماع في x ساعة

162-45 (س + 0.75) -36 س = 0

162-45x - 33.75 -36x = 0

81 س = 128.25

2)

الجواب: ساعتان و 20 دقيقة.

الحل باستخدام الرسم البياني للوظيفة الخطية:

1. اضبط مستوى الإحداثيات sOt مع محور الإحداثي Ot ، حيث نحتفل بالفواصل الزمنية للحركة ، والمحور الصادي Os ، حيث

لاحظ المسافة من الرصيف M إلى الرصيف N ، والتي تساوي 162 كم. البداية

النقطة المرجعية هي رصيف م

2. لنرسم تقسيمات على مقياس: على طول المحور ص - في خليتين بطول 18 كم ؛ على طول محور الإحداثي - ساعة واحدة في 6 خلايا (في خلية واحدة - 10 دقائق) ، منذ ذلك الحين يحدد شرط المهمة الوقت بالدقائق.

ضع علامة على النقطة N (0 ؛ 162).

3. لنقم ببناء خط حركة السفينة الأولى I: ستكون بداية حركتها عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 0). أبحرت السفينة الأولى بسرعة 45 كم / ساعة ، مما يعني أن الخط المستقيم يجب أن يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (1 ؛ 45).

4. لنقم ببناء خط حركة السفينة الثانية II: بداية الحركة ستكون عند النقطة c

إحداثيات (؛ 162) ، لأنه غادر النقطة N ، على بعد 162 كم من M ، 45 دقيقة. بعد الأول و 45 دقيقة. \ u003d h. أبحرت السفينة الثانية بسرعة 36 كم / ساعة ، مما يعني أن الخط المستقيم يجب أن يمر عبر النقطة (؛ 126) ، لأن السفينة الثانية غادرت في اتجاه النقطة M: 162 - 36 \ u003d 126 (كم).

5. نقطة تقاطع الخطين الأول والثاني هي النقطة أ (؛ 108). يُظهر الحد الأقصى للنقطة الوقت الذي التقيا بعده بعد مغادرة السفينة الأولى: t = ، | = h = 2h20min. - موعد اجتماع السفينتين بعد مغادرة السفينة الأولى.

الجواب: ساعتان و 20 دقيقة.

استنتاج.

في نهاية الدراسة ، تمكنت من تحديد مزايا وعيوب حل المشكلات بيانياً.

مزايا:

يمكن تدوين المهام بإيجاز ؛

من السهل جدًا العمل بأعداد صغيرة.

عيوب:

من الصعب العمل بأرقام كبيرة.

مشاهدة محتوى العرض التقديمي
"مشروع"